Explicação da teoria de kirchhoff para placas finas

1. Solução de Placas utilizando o
Método dos Elementos de Contorno
Eng. Romildo Aparecido Soares Junior
Prof.Dr. : Leandro Palermo Junior

2. Definição de Placa
• As placas são elementos estruturais limitados por duas superfícies planas distanciadas entre si
de uma grandeza designada por espessura. No caso da dimensão da espessura ser muito
menor que as dimensões das superfícies planas limitantes, as placas são designadas por placas
finas.

3. Solução pela Teoria Clássica
• A chamada Teoria Clássica das Placas Finas desenvolvida por Lagrange em 1811,
para a qual são consideradas válidas as chamadas hipóteses de Kirchhoff. As
hipóteses de Kirchhoff que são consideradas válidas para placas finas, com isotropia
total e submetidas a ações normais ao plano médio, são:
• O material é homogêneo, isotrópico e elástico linear;
• Os deslocamentos são pequenos, comparados com a espessura;
• A superfície média da placa é plana e indeformável, ou seja, as deformações no plano Ox1 x2 são nulas: ε11 =
ε22 = ε12 = 0 para x3 = 0
• A placa é fina Menor vão / h > 20
• A tensão na direção normal ao plano médio, σ33, é irrelevante quando comparada com as tensões σ11 e σ22
• Um segmento de reta normal à superfície média indeformada se conserva normal à superfície média após a
deformação, permanecendo reto e com o mesmo comprimento.

4. Deslocamento Transversal
• Os deslocamentos, u1 e u2, de um ponto P da placa, situado a uma distância x3 do plano médio, podem ser
calculados a partir do deslocamento transversal ω (x1,x2) do ponto contido na normal que passa pelo ponto e
situado na superfície média. Na figura, representa-se a deformada de um segmento linear sobre a normal à
superfície média e o campo de deslocamentos, no plano Ox1 x3, para o ponto P cuja posição é sobre a normal
ao plano médio antes de deformado.

5. Relações Tensão e Deformação
• As deformações no plano x1 x2 a uma distância x3 do plano médio da placa são:
• Na superfície média a coordenada x3 = 0 e portanto é:
• O que implica que a superfície média seja uma superfície neutra, uma vez que não sofre qualquer deformação.
• A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos com comportamento linear elástico, estabelece uma
relação entre as tensões e deformações no plano x1 x2 com a forma seguinte:

6. Relações Tensão e Deformação
• Tendo em conta as equações para deformação em um ponto localizado em x3 /= 0 é possível relacionar as
tensões com os deslocamentos transversais do seguinte modo:
• As tensões σ11, σ22 e σ12 variam linearmente ao longo do eixo x3 como se representa na figura acima, sendo
nulas para x3= 0, como seria de esperar tendo em conta a hipótese de Kirchhoff.

7. Esforços Solicitantes
• Na análise de placas à flexão, é conveniente considerar os esforços unitários que são: os momentos fletores
unitários M11 e M22, o momento torsor unitário M12 e os esforços transversos unitários T1 e T2.
• O momento fletor unitário M11 é o momento resultante por unidade de comprimento da direção x1, das tensões
normais σ11 ao longo da espessura da placa, ou seja :
• Substituindo a relação da tensão com as derivadas dos deslocamentos transversais temos :

8. Esforços Solicitantes
• De modo semelhante se definem momentos unitários, M22 e M12 ou seja:
• Os esforços transversos unitários(cortante) calculam-se a partir das tensões σ13 e σ23 do seguinte modo:
• Temos então os esforços solicitantes unitários :
• D= módulo de rigidez à flexão da placa

9. Equações de Equilíbrio
• As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas em termos dos esforços unitários que resultam das tensões
atuantes num elemento paralelepipédico da placa de dimensões dx1, segundo x1, dx2 segundo x2 e segundo x3
considerada uma dimensão igual à espessura da placa.

10. Equações de Equilíbrio
• Para se obterem as forças que atuam sobre o elemento de dimensões infinitesimais têm de
multiplicar-se os esforços unitários pelo comprimento do lado elemento de área em que atuam.
• As equações de equilíbrio estático a considerar são três: equilíbrio de momentos em relação aos
eixos x1 e x2 e equilíbrio de forças segundo o eixo x3.

11. Equações de Equilíbrio
• A equação de equilíbrio de momentos em relação ao eixo x2 é:
• simplificando esta equação, obtém-se:
• - De modo análogo se obtém a expressão para x1: - O equilíbrio de forças na direção do eixo x3:

12. Equação de Lagrange
• Substituindo as equações de equilíbrio de momento na direção x1 e x2 na equação de equilíbrio
de força na direção x3 temos : ( substituímos a cortante pelo momento )
• Os esforços unitários M11, M22 e M12 podem ser calculados a partir dos deslocamentos
transversais ω, recorrendo às expressões que relacionam os momentos ao deslocamento, a
equação de equilíbrio toma a forma seguinte:
• - Sendo esta a equação de Lagrange.

13. Exemplos Numéricos
• Discretização em 40 elementos iguais (10 elementos/lado)
• Carga uniformemente distribuída igual a 1 N/m2 em sentido
contrário a x3
• Comprimento do Lado: 2m.
• Espessuras: 0,2 m (10% do lado).
• Módulo de Elasticidade: 205.000 MPa.
• Elementos de contorno lineares contínuos

14. Exemplos Numéricos
• Discretização de uma placa simplesmente apoiada :

15. Exemplos Numéricos
• Resultados para placa simplesmente apoiada :

16. Exemplos Numéricos
• Discretização de uma placa engastada :

17. Exemplos Numéricos
• Resultados para placa engastada :

18. Exemplos Numéricos
• Discretização de uma placa com Três Lados Engastados e Um Livre :

19. Exemplos Numéricos
• Resultados para uma placa de Três Lados Engastados e Um Livre :

20. Conclusão
• O estudo de flexão de placas com variação de espessura é
exercica em vários campos, tais como engenharia civil, engenharia
aeroespacial e projeto de máquinas.
• O método de elementos de contorno tem ferramentas poderosas
para análise de uma vasta gama de problemas na mecânica e na
engenharia. A principal vantagem do MEC em comparação com
outros métodos numéricos (método dos elementos finitos (FEM),
por exemplo) é que, somente os elementos no contorno BEM as e
funções desconhecidas em seus nós devem de ser aproximadas.
Isso leva a redução do problema. Como resultado, a quantidade de
cálculo significativamente reduzida.