5. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
%
8. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
%
9. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
§
Le parachutiste
¦
%
¤
¥
12. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
§
Le parachutiste
¦
%
¤
¥
13. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
&
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
14. El´ments de bases du probl`me 3
e
e
'
Un parachutiste amateur de
chute ”libre” saute depuis un
h´licopt`re d’une altitude h.
e
e
Quelles sont les caract´ristiques
e
de son mouvement?
$
§
¤ R´f´rentiel terrestre (li´ au sol
ee
e
Le parachutiste
ee
e
¦
¥ de la Terre) consid´r´ galil´en le
temps de la chute.
%
z
h
O
Figure 1
33. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b.
dt
34. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
35. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
36. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
• Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le
e
e
second membre b :
Si b = cste alors sp = cste
37. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
• Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le
e
e
second membre b :
Si b = cste alors sp = cste
• Solution globale : s = sh + sp .
38. Obtention d’une ´quation d’´quation
e
e
diff´rentielle avec second membre
e
Soit une ´quation du type
e
dy
+a y = b. R´solution en trois temps :
e
dt
• Recherche de la solution de l’´quation homog`ne :
e
e
dy
+ a y = 0 =⇒ solution sh
dt
• Recherche d’une solution particuli`re de mˆme forme que le
e
e
second membre b :
Si b = cste alors sp = cste
• Solution globale : s = sh + sp .
D´termination des constantes de s ` l’aide des conditions
e
a
initiales.
40. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
41. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
43. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires
e
|vz | = g τ 1 − exp −
t
τ
44. Courbe |vz | = f (t), frottements lin´aires
e
|vz | = g τ 1 − exp −
t
τ
vlim
69.5
|vz |(m.s−1 )
60
40
Cas des frottements lin´aires
e
20
0
0
10
20
t(s)
Figure 1
30
40
45. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
46. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
47. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
7.3.3 Temps caract´ristique
e
49. Temps caract´ristique et r´gimes
e
e
vlim
69.5
|vz |(m.s−1 )
60
40
R´gime transitoire
e
R´gime permanent
e
20
0
0
τ 10
20
30 5τ 40
t(s)
Figure 2
50
50. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
7.3.3 Temps caract´ristique
e
51. Plan
1.
2.
3.
4.
5.
Introduction
Probl`me 3
e
Syst`me
e
R´f´rentiel et base
ee
Forces
5.1 Bilan des forces
5.2 Deux types de frottements
e
6. 2`me loi de Newton
7. R´solution dans le cas de frottements lin´aires
e
e
7.1 Equation diff´rentielle
e
7.2 Solution
7.3 Courbe |vz | = f (t) et caract´ristiques
e
7.3.1 Courbe
7.3.2 Vitesse limite
7.3.3 Temps caract´ristique
e
7.4 Position
57. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
58. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
59. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
62. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
63. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
64. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
65. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
66. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
40
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
67. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
40
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
68. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
40
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
69. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
v (m.s−1 )
60
B
40
A
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
70. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
71. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
72. La m´thode d’Euler
e
• M´thode num´rique it´rative ;
e
e
e
• Obtention d’une solution approch´e d’une ´quation
e
e
diff´rentielle ` partir des conditions initiales.
e
a
Rappels math´matiques
e
• D´riv´e = cœfficient directeur de la tangente ` la courbe.
e e
a
• Calcul d’une d´riv´e en un point ais´e :
e e
e
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
dv
dt
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
=
t=10 s
∆v
∆t
74. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
75. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
76. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
77. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
78. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
0
5
10
15
t(s)
20
25
79. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
δv
δt
0
5
10
15
t(s)
20
25
80. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
δv
δt
0
5
10
15
t(s)
20
25
Si on consid`re un intervalle de temps δt suffisamment petit :
e
81. La m´thode d’Euler
e
Que donne un zoom sur la courbe?
60
B
B’
v (m.s−1 )
∆v = vB − vA
40
A
A’
∆t = tB − tA
20
0
δv
δt
0
5
10
15
t(s)
20
25
Si on consid`re un intervalle de temps δt suffisamment petit :
e
dv
dt
=
t
δv
δt
83. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
84. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
85. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
Mise en œuvre de la m´thode
e
lorsque δt → 0
86. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
87. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;
88. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;
• On calcule :
2
v1 = v0 + δv = v0 + (A v0 + B) × δt
89. La m´thode d’Euler
e
On peut ainsi exprimer la petite variation de vitesse δv qui se
produit pendant le petit intervalle de temps δt grˆce ` l’´quation
a a e
diff´rentielle.
e
Si
dv
= A v 2 +B
dt
alors
δv = (A v 2 + B) × δt
lorsque δt → 0
Mise en œuvre de la m´thode
e
• On part de la condition initiale, la valeur de v (t = 0) = v0 ;
• On choisit le pas de calcul, soit la valeur de δt ;
• On calcule :
2
v1 = v0 + δv = v0 + (A v0 + B) × δt
• Et ainsi de suite.
91. La m´thode d’Euler
e
• Un tableur viendra nous assister dans la r´p´tition des calculs.
e e
92. La m´thode d’Euler
e
• Un tableur viendra nous assister dans la r´p´tition des calculs.
e e
• Le choix du pas de calcul δt doit ˆtre judicieux : il faut
e
prendre un intervalle suffisamment petit pour que
l’approximation soit valable, mais pas trop petit afin que les
calculs ne soient pas trop longs.
93. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
94. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas
99. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas
100. Plan
8. R´solution dans le cas de frottements quadratiques
e
8.1 Equation diff´rentielle
e
8.2 Vitesse limite
8.3 M´thode d’Euler
e
8.3.1 Qu’est-ce que la m´thode d’Euler ?
e
8.3.2 Mise en œuvre dans notre cas
9. Quel type de frottements est le plus probable pour la chute
d’un parachutiste ?