1. Il confronto a coppie
□ Le persone sono molto più abili nell’esprimere un giudizio relativo
piuttosto che uno assoluto
□ La ridondanza dei giudizi permette la riduzione dell’errore di misura e
produce una stima del livello di consistenza
□ La preferenza di un elemento rispetto ad un altro non è mai in senso
assoluto, è sempre relativa (con riferimento all’elemento del livello
superiore).
□ I pesi e le priorità sono derivati da un insieme di giudizi e non
assegnati, misurati e non contati
□ In tempi recenti il procedimento del confronto a coppie è stato
riconosciuto nell’ordinamento giuridico italiano. In particolare il Dpr
21 dicembre 1999, n. 554, regolamento generale di attuazione della
Legge 109/1994 e ss. mm. e ii., disciplina l’utilizzo del confronto a
coppie nell’ambito di procedure multicriteri nell’ambito
dell’aggiudicazione di lavori pubblici secondo il criterio dell’offerta
economicamente più vantaggiosa (art. 91 e allegati A, B e C).

2. I confronti a coppie
□ Importanza
□ Preferenza
□ Probabilità

3. La scala
□ Deve permettere la rappresentazione
di tutte le possibili differenze di giudizio
□ xi+1-xi=1
□ Il decisore deve apprezzare tutte le
gradazioni della scala

4. “THE MAGIC NUMBER SEVEN PLUS OR
MINUS TWO”

5. La scala di Saaty
INTENSITA’ DI DEFINIZIONE SPIEGAZIONE
IMPORTANZA
aij
1 UGUALE LE DUE ATTIVITA’ CONTRIBUISCONO ALLA
IMPORTANZA STESSA MISURA
3 PREVALENZA L’ESPERIENZA ED IL GIUDIZIO
DEBOLE FAVORISCONO LEGGERMENTE L’ATTIVITA’ i
5 PREVALENZA L’ESPERIENZA ED IL GIUDIZIO
FORTE FAVORISCONO CHIARAMENTE
L’ATTIVITA’ i
7 PREVALENZA LA PREVALENZA DELL’ATTIVITA’ i E’
DIMOSTRATA DIMOSTRATA IN PRATICA
9 PREVALENZA LA PREVALENZA DELL’ATTIVITA’ i E’
ASSOLUTA DIMOSTRATA CON IL MASSIMO POSSIBILE
LIVELLO DI CERTEZZA
2, 4, 6, 8 VALORI INTERMEDI DA UTILIZZARE SE COMPATIBILI CON LA
CAPACITA’ DI DISCRIMINAZIONE

6. Matrice dei confronti a coppie
PER OGNI NODO
DELLA GERARCHIA
AVENTE DEI FIGLI
 a11 a ... a 
 12 1n  Matrice dei confronti a
 a21 a ... a 2n  coppie per un livello
A 22
... ... ... ...  dell’albero contenente n
 

 an1 a n2
... ann 
elementi

7. L’inconsistenza dei giudizi
□ L’AHP permette l’inconsistenza dei
giudizi e ne fornisce la misura per ogni
set
□ Una consistenza maggiore uguale al
90% è considerata accettabile
□ Una consistenza paria zero è indice di
giudizi random

8. Cause di inconsistenza
□ Errori nell’inserimento dei dati
□ Carenza di informazioni
□ Mancanza di concentrazione
□ Reale inconsistenza
□ Struttura del modello inadeguata

9. □ Una bassa inconsistenza è condizione
necessaria, ma non sufficiente, per
ottenere una “buona decisione”.

10. Il metodo Delphi
□ Sviluppato a partire dagli anni 50
□ Processo di comunicazione strutturato
□ Progettato per raggiungere il massimo
grado di convergenza delle opinioni di un
gruppo di esperti
□ Elementi:
□ panel
□ sistema di comunicazione
□ amministratori
□ informazione

11. Intransitività delle preferenze
collettive
INDIVIDUI PREFERENZE
1 X Y Z
2 Z X Y
3 Y Z X
XPY PZPX

12. AHP – Principali assiomi
□ Assioma della reciprocità
□ Assioma dell’omogeneità
□ Il giudizio su (o le priorità di) elementi
presenti in un livello della gerarchia
non dipendono dagli elementi dei
livelli sottostanti

13. Pesi locali e pesi globali
□ I pesi locali sono le priorità interne ad
un gruppo (importanza relativa
all’elemento sovraordinato)
□ I pesi globali denotano l’importanza
dei singoli elementi rispetto al goal

14. Matrice dei confronti a coppie
PER OGNI NODO
DELLA GERARCHIA
AVENTE DEI FIGLI
 a11 a ... a 
 12 1n  Matrice dei confronti a
 a21 a ... a 2n  coppie per un livello
A 22
... ... ... ...  dell’albero contenente n
 
  elementi
 an1 a n2
... ann 

15. Wi,j = GIUDIZIO ASSEGNATO
w
aij  i
DAL DECISORE AL
w j CRITERIO i,j

16. 1 2 … n
 a11 a12 ... a1n 
  1 w1/w1 w1/w2 … w1/wn
a a22 ... a2 n 
A   21 2 w2/w1 w2/w2 … w2/wn
... ... ... ... 
 
  … … … … …
 an 1 an 2 ... ann 
n wn/w1 wn/w2 … wn/wn
a ii  1 i  1,..., n SOLO
a  1 i , j  1,..., n ij n n  1 
ij a ji
2
a ij  0 i , j  1,..., n
GIUDIZI

17. Determinazione dei pesi locali
Come determinare il peso di ciascun elemento
all’interno della propria classe di appartenenza?
W = [w1, w2,…, wn] è il vettore dei pesi locali
a11w1  a12w2  ...  a1n wn  nw1
a w  a w  ...  a w  nw Forma matriciale
 21 1 22 2 2n n 2

... Aw=nw
an1w1  an 2 w2  ...  ann wn  nwn

Per def. n è autovalore
di A e w è autovettore

18. Consistenza della matrice
□ La relazione Aw=nw è valida solo se A
è consistente.
□ Una matrice è consistente se ( i,j,k):
 aij=1/aji
 aij=aikakj

19. Obbligando gli esperti ad essere
perfettamente coerenti nei giudizi li
costringeremmo implicitamente (e
indebitamente) a rispettare quel
principio di transitività della preferenza
e dell’indifferenza che non dovrebbe
mai essere imposto a priori (Armstrong
1939, Luce 1956, Vincke 1981)

20. Matrice inconsistente
□ Se la matrice non è consistente il
problema di ricavare w imponendo
aij=wi/wj potrebbe essere irresolubile
□ Ipotizziamo che gli aijwi/wj
□ Moltiplicando la matrice A per il
vettore w otterremmo una serie di
valori statistici “dispersi” attorno a w
□ Possiamo assumere che la matrice A
sia una “perturbazione” di quella
consistente Ac

21. Metodo dell’autovalore
□ Approccio originale di Saaty
□ Piccole perturbazioni di aij dal
rapporto perfetto wi/wj portano a
piccole perturbazioni dell’autovalore
della matrice dei confronti a coppie A
attorno all’autovalore della matrice
consistente Ac

22. Teorema di Frobenius-Perron
Data una matrice A quadrata, non
negativa e irriducibile esiste un
autovalore max reale positivo e radice
semplice del polinomio caratteristico
di A tale che max è maggiore di tutti gli
altri autovalori e l’autovettore ad esso
associato è unico (a meno di una
costante) ed ha tutte le componenti
positive

23. Matrice irriducibile
□ Non è possibile, scambiando alcune righe
con le rispettive colonne, ottenere una
matrice triangolare a blocchi.
□ Una matrice positiva è irriducibile
□ Una matrice con aij≠0  i,j è irriducibile
 A11 A12 
 a11 a12 ... a1n  
 0 
   A22 

a a22 ... a2 n 
A   21
... ... ... ... 
   A 11 0 

 an 1 an 2 ... ann  
A 
A 22 
 21 

24. In caso di perfetta consistenza, la
matrice A possiede un solo autovalore
non nullo il cui valore è uguale
all’ordine n della matrice (in realtà la
matrice possiede anche n-1 autovalori
nulli a cui corrispondono altrettanti
autovettori nulli).

25. Teorema 1
□ Una matrice quadrata di rango 1, cioè
tale che ogni sua riga sia ottenibile
come combinazione lineare delle
altre, possiede un solo autovalore
diverso da zero (tutti gli altri sono nulli)
Quando è perfettamente consistente la matrice A ha
rango 1

26. Teorema 2
□ La somma degli autovalori di una
matrice quadrata è uguale alla sua
traccia, cioè alla somma della sua
diagonale principale
Quindi, se A è perfettamente consistente max =n

27. Matrici non perfettamente
consistenti
□ In caso di matrice non perfettamente
consistente:
 Aw= maxw
 max n (max n)
 i 0 per i=1,…,n-1
□ La stima dei pesi può essere fatta
normalizzando l’autovettore corrispondente
al più grande autovalore della matrice A

28. Indice di (In)Consistenza
max  n
CI 
n 1

29. Random Index
□ Il metodo AHP prevede che il CI sia confrontato
con il RI (Random Index), calcolato effettuando la
media di CI di numerose matrici reciproche dello
stesso ordine, i cui coefficienti vengono generati in
modo random da un computer
□ Quando il valore di CI della matrice in esame
supera una soglia posta uguale al 10% del valore
del RI, la deviazione dalla condizione di consistenza
perfetta viene giudicata inaccettabile
□ E’ necessario che l’esperto (o gli esperti) modifichi
totalmente o in parte le stime di aij

30. Rapporto di Consistenza
□ I RI sono tabulati
N. alternative 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
RI 0 0 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49
□ Il rapporto di consistenza è CR= CI/RI
□ CR<0,1