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Qualité des maillages
- 1. Qualité des maillages Julien Dompierre julien@cerca.umontreal.ca ´ Centre de Recherche en Calcul Applique (CERCA) ´ ´ Ecole Polytechnique de Montreal ´ Qualite des maillages – p.1/329
- 2. Auteurs Professionnels de recherche Julien Dompierre Paul Labbé Marie-Gabrielle Vallet Professeurs François Guibault Jean-Yves Trépanier Ricardo Camarero ´ Qualite des maillages – p.2/329
- 3. Références – 1 J. D OMPIERRE , P. L ABBÉ , M.-G. VALLET, F. G UIBAULT ET R. C AMARERO, Critères de qualité pour les maillages simpliciaux. Dans Maillage et adaptation, Hermès, octobre 2001, Paris, pages 311–348. ´ Qualite des maillages – p.3/329
- 4. Références – 2 A. L IU et B. J OE, Relationship between Tetrahedron Shape Measures, Bit, Vol. 34, pages 268–287, (1994). ´ Qualite des maillages – p.4/329
- 5. Références – 3 P. L ABBÉ, J. D OMPIERRE, M.-G. VALLET, F. G UIBAULT et J.-Y. T RÉPANIER, A Universal Measure of the Conformity of a Mesh with Respect to an Anisotropic Metric Field, Submitted to Int. J. for Numer. Meth. in Engng, (2003). ´ Qualite des maillages – p.5/329
- 6. Références – 4 P. L ABBÉ, J. D OMPIERRE, M.-G. VALLET, F. G UIBAULT et J.-Y. T RÉPANIER, A Measure of the Conformity of a Mesh to an Anisotropic Metric, Tenth International Meshing Roundtable, Newport Beach, CA, pages 319–326, (2001). ´ Qualite des maillages – p.6/329
- 7. Références – 5 P.-L. G EORGE ET H. B OROU - CHAKI, Triangulation de De- launay et maillage, applica- tions aux éléments finis. Her- mès, 1997, Paris. ´ Qualite des maillages – p.7/329
- 8. Références – 6 P. J. F REY AND P.-L. G EORGE, Maillages. Ap- plications aux éléments finis. Hermès, 1999, Paris. ´ Qualite des maillages – p.8/329
- 9. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpli 2. Définition d’un sim- ciaux plexe 9. Représentation des 3. Dégénérescence des critères de forme simplexes 10. Équivalence des cri 4. Qualité de forme des tères de forme simplexes 11. Qualité globale e 5. Formules pour les optimisation simplexes 12. Qualité en taille des 6. Voronoï, Delaunay et simplexes Riemann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et 14. Conclusions – p.9/329 ´ Qualite des maillages
- 10. Introduction et justifications On travaille sur la génération, l’adaptation et l’optimisation de maillages. Comment choisir la configuration qui donne les plus beaux triangles ? Il faut un critère de qualité des triangles. ´ Qualite des maillages – p.10/329
- 11. Retournement d’une face Comment choisir la configuration qui donne les plus beaux tétraèdres ? Il faut un critère de qualité des tétraèdres. ´ Qualite des maillages – p.11/329
- 12. Retournement d’une arête S4 S3 S4 S3 S5 S5 A A B B S2 S2 S1 S1 Comment choisir la configuration qui donne les plus beaux tétraèdres ? Il faut un critère de qualité des tétraèdres. ´ Qualite des maillages – p.12/329
- 13. Optimisation de maillages Soit et , deux ptimiseurs de maillages tridimensionnels tétraédriques non structurés. ´ Qualite des maillages – p.13/329
- 14. Optimisation de maillages Soit et , deux ptimiseurs de maillages tridimensionnels tétraédriques non structurés. Quelle est la norme d’un optimiseur de maillage ? ´ Qualite des maillages – p.13/329
- 15. Optimisation de maillages Soit et , deux ptimiseurs de maillages tridimensionnels tétraédriques non structurés. Quelle est la norme d’un optimiseur de maillage ? Comment peut-on affirmer que ? ´ Qualite des maillages – p.13/329
- 16. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). ´ Qualite des maillages – p.14/329
- 17. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . ´ Qualite des maillages – p.14/329
- 18. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . ´ Qualite des maillages – p.14/329
- 19. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . La sagesse populaire dit : “On juge un arbre à ses fruits”. ´ Qualite des maillages – p.14/329
- 20. Mais c’est très simple ! Soit , un banc d’essai (un benchmark). Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . Soit , le maillage optimisé obtenu avec l’optimiseur . La sagesse populaire dit : “On juge un arbre à ses fruits”. Si alors . ´ Qualite des maillages – p.14/329
- 21. Bancs d’essais d’optimisation de maill J. D OMPIERRE, P. L ABBÉ, F. G UIBAULT et R. C AMARERO. Proposal of Benchmarks for 3D Unstructured Tetrahedral Mesh Optimization. 7th International Meshing Roundtable, Dearborn, MI, octobre 1998, pages 459–478. ´ Qualite des maillages – p.15/329
- 22. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. ´ Qualite des maillages – p.16/329
- 23. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. Quelle est la norme d’un maillage ? ´ Qualite des maillages – p.16/329
- 24. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. Quelle est la norme d’un maillage ? Comment peut-on affirmer que ? ´ Qualite des maillages – p.16/329
- 25. Le piège... Parce qu’on ne connaît pas la norme d’un optimiseur, on a remplacé la comparaison de deux optimiseurs par la comparaison de deux maillages. Quelle est la norme d’un maillage ? Comment peut-on affirmer que ? C’est ce que vous saurez bientôt, ou vous serez remboursés ! ´ Qualite des maillages – p.16/329
- 26. Ce qu’il faut retenir Cet exposé portera sur les notions de qualité des éléments d’un maillage et sur la qualité de tout un maillage. ´ Qualite des maillages – p.17/329
- 27. Ce qu’il faut retenir Cet exposé portera sur les notions de qualité des éléments d’un maillage et sur la qualité de tout un maillage. La notion de qualité des éléments est nécessaire pour les algorithmes de retournement d’arêtes et de faces. ´ Qualite des maillages – p.17/329
- 28. Ce qu’il faut retenir Cet exposé portera sur les notions de qualité des éléments d’un maillage et sur la qualité de tout un maillage. La notion de qualité des éléments est nécessaire pour les algorithmes de retournement d’arêtes et de faces. La notion de qualité de tout un maillage est nécessaire dans la recherche sur l’optimisation des maillages. ´ Qualite des maillages – p.17/329
- 29. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux 2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri- 3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères 4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi- 5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim- 6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.18/329
- 30. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 31. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux qui ont le nombre minimal de sommets. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 32. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux qui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 33. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux qui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 34. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux qui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. Le tétraèdre en trois dimensions. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 35. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux qui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. Le tétraèdre en trois dimensions. Le hypertétraèdre en quatre dimensions. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 36. Définition d’un simplexe Les maillages en deux et trois dimensions sont constitués de polygones ou de polyèdres appelés éléments. Les plus simples d’entre eux, les simplexes, sont ceux qui ont le nombre minimal de sommets. Le segment en une dimension. Le triangle en deux dimensions. Le tétraèdre en trois dimensions. Le hypertétraèdre en quatre dimensions. Les quadrilatères, les pyramides, les prismes, les hexaèdres et autres bizarreries sont des éléments non simpliciaux. ´ Qualite des maillages – p.19/329
- 37. Définition d’un -simplexe dans £ Soient points , ¡ ¢ £ , non situés dans le même hyperplan, c’est-à-dire tel que la matrice d’ordre , ¡¡ ¡¢ ¥¡ £ ¦¡ ¤ ¢¡ ¢¢ ¤ ¢ £ ¦¡ . . . . ... . . . . . £¡ £¢ ¤ £ £ ¦¡ soit inversible. On appelle -simplexe des points , l’enveloppe convexe des points . ´ Qualite des maillages – p.20/329
- 38. Un simplexe engendre £ ©§ £ Tout point , de coordonnées cartésiennes § ¡ ¨ est caractérisé par la donnée des scalaires définis comme solution du système linéaire £ ¦¡ § pour § £ ¨ ¡ ¦¡ ¨ ¡ dont la matrice est . ´ Qualite des maillages – p.21/329
- 39. Ce qu’il faut retenir En deux dimensions, le simplexe est le triangle. ´ Qualite des maillages – p.22/329
- 40. Ce qu’il faut retenir En deux dimensions, le simplexe est le triangle. En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre. ´ Qualite des maillages – p.22/329
- 41. Ce qu’il faut retenir En deux dimensions, le simplexe est le triangle. En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre. £ Les sommets d’un simplexe dans engendrent £ vecteurs qui forment une base de . ´ Qualite des maillages – p.22/329
- 42. Ce qu’il faut retenir En deux dimensions, le simplexe est le triangle. En trois dimensions, le simplexe est le tétraèdre. £ Les sommets d’un simplexe dans engendrent £ vecteurs qui forment une base de . £ Les coordonnées d’un point dans la base engendrée par le simplexe sont les coordonnées barycentriques. ´ Qualite des maillages – p.22/329
- 43. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux 2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri- 3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères 4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi- 5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim- 6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.23/329
- 44. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe formé de sommets est dégénéré si ses sommets sont situés dans le même hyperplan, c’est-à-dire, si la matrice est non inversible. ´ Qualite des maillages – p.24/329
- 45. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £ n’engendrent pas l’espace . ´ Qualite des maillages – p.25/329
- 46. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £ n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dans un espace de dimension inférieure à . ´ Qualite des maillages – p.25/329
- 47. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £ n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dans un espace de dimension inférieure à . Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus. ´ Qualite des maillages – p.25/329
- 48. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £ n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dans un espace de dimension inférieure à . Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont coplanaires, colinéaires ou confondus. ´ Qualite des maillages – p.25/329
- 49. Dégénérescence des simplexes Un -simplexe est dégénéré si ses sommets £ n’engendrent pas l’espace . C’est le cas si les sommets sont contenus dans un espace de dimension inférieure à . Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont coplanaires, colinéaires ou confondus. Notez qu’à strictement parler, un simplexe dégénéré n’est plus un simplexe au sens de la définition. ´ Qualite des maillages – p.25/329
- 50. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est non inversible. Une matrice est non inversible si son déterminant est nul. ´ Qualite des maillages – p.26/329
- 51. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est non inversible. Une matrice est non inversible si son déterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deux dimensions et son volume en trois dimensions. ´ Qualite des maillages – p.26/329
- 52. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est non inversible. Une matrice est non inversible si son déterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deux dimensions et son volume en trois dimensions. La mesure d’un -simplexe formé de sommets est donnée par ´ Qualite des maillages – p.26/329
- 53. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est non inversible. Une matrice est non inversible si son déterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deux dimensions et son volume en trois dimensions. La mesure d’un -simplexe formé de sommets est donnée par Un triangle est dégénéré si son aire est nulle. ´ Qualite des maillages – p.26/329
- 54. Critère de dégénérescence Un -simplexe est dégénéré si la matrice est non inversible. Une matrice est non inversible si son déterminant est nul. La mesure d’un simplexe est son aire en deux dimensions et son volume en trois dimensions. La mesure d’un -simplexe formé de sommets est donnée par Un triangle est dégénéré si son aire est nulle. Un tétraèdre est dégénéré si son volume est nul. ´ Qualite des maillages – p.26/329
- 55. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents états dégénérés possibles des simplexes. ´ Qualite des maillages – p.27/329
- 56. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents états dégénérés possibles des simplexes. Il y a trois cas de triangles dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.27/329
- 57. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents états dégénérés possibles des simplexes. Il y a trois cas de triangles dégénérés. Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.27/329
- 58. Taxonomie des simplexes dégénérés Cette taxonomique repose sur les différents états dégénérés possibles des simplexes. Il y a trois cas de triangles dégénérés. Il y a dix cas de tétraèdres dégénérés. Dans ce catalogue, les quatre symboles , , et représentent des sommets de multiplicité simple, double, triple et quadruple respectivement. ´ Qualite des maillages – p.27/329
- 59. 1 – Le chapeau Nom Chapeau (cap) Arêtes dégénérées : Aucune Rayon du plus petit cercle circonscrit : ´ Qualite des maillages – p.28/329
- 60. 2 – L’aiguille Nom Aiguille , (needle) Arêtes dégénérées : Rayon du plus petit cercle circonscrit : ´ Qualite des maillages – p.29/329
- 61. 3 – Le Big Crunch Nom Big , , Crunch Arêtes dégénérées : Toutes Rayon du plus petit cercle circonscrit : Le Big Crunch est la théorie inverse du Big Bang. ´ Qualite des maillages – p.30/329
- 62. Dégénérescence des tétraèdres Il y a un cas de dégénérescence en quatre sommets confondus. Il y a cinq cas de dégénérescence en quatre sommets colinéaires. Il y a quatre cas de dégénérescence en quatre sommets coplanaires. d a b c ´ Qualite des maillages – p.31/329
- 63. 1 – L’aileron Nom Aileron Arêtes dégénérées : Aucune Faces dégénérées : Un chapeau Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.32/329
- 64. 2 – Le chapeau Nom Chapeau (Cap) Arêtes dégénérées : Aucune Faces dégénérées : Aucune Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.33/329
- 65. 3 – Le cerf-volant Nom Cerf-volant (sliver) Arêtes dégénérées : Aucune Faces dégénérées : Aucune Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ou ´ Qualite des maillages – p.34/329
- 66. 4 – Le coin Nom Coin (Wedge) Arêtes dégénérées : Faces dégénérées : Deux aiguilles Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.35/329
- 67. 5 – La paillette Nom Paillette Arêtes dégénérées : Aucune Faces dégénérées : Quatre chapeaux Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.36/329
- 68. 6 – Le fuseau Nom Fuseau Arêtes dégénérées : Faces dégénérées : Deux chapeaux et deux aiguilles Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.37/329
- 69. 7 – Le ciseau Nom Ciseau Arêtes dégénérées : Faces dégénérées : Deux chapeaux et deux aiguilles Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.38/329
- 70. 8 – Le berlingot Nom Berlingot Arêtes dégénérées : et Faces dégénérées : Quatre aiguilles Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.39/329
- 71. 9 – L’aiguille Nom Aiguille (needle) Arêtes dégénérées : , et Faces dégénérées : Trois aiguilles et un Big Crunch Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.40/329
- 72. 10 – Le Big Crunch Nom Big Crunch Arêtes dégénérées : Toutes Faces dégénérées : Quatre Big Crunchs Rayon de la plus petite sphère circonscrite : ´ Qualite des maillages – p.41/329
- 73. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. ´ Qualite des maillages – p.42/329
- 74. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. Il y a trois cas de dégénérescence des triangles. ´ Qualite des maillages – p.42/329
- 75. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. Il y a trois cas de dégénérescence des triangles. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont coplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si son volume est nul. ´ Qualite des maillages – p.42/329
- 76. Ce qu’il faut retenir Un triangle est dégénéré si ses sommets sont colinéaires ou confondus, et donc si son aire est nulle. Il y a trois cas de dégénérescence des triangles. Un tétraèdre est dégénéré si ses sommets sont coplanaires, colinéaires ou confondus, et donc si son volume est nul. Il y a dix cas de dégénérescence des tétraèdres. ´ Qualite des maillages – p.42/329
- 77. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux 2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri- 3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères 4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi- 5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim- 6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.43/329
- 78. Qualité en forme des simplexes Une façon habituelle de quantifier la qualité d’un maillage est faite par le biais de la qualité des éléments qui le composent. ´ Qualite des maillages – p.44/329
- 79. Qualité en forme des simplexes Une façon habituelle de quantifier la qualité d’un maillage est faite par le biais de la qualité des éléments qui le composent. Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifier la qualité d’un élément est le critère de forme. ´ Qualite des maillages – p.44/329
- 80. Qualité en forme des simplexes Une façon habituelle de quantifier la qualité d’un maillage est faite par le biais de la qualité des éléments qui le composent. Un critère de qualité couramment utilisé pour quantifier la qualité d’un élément est le critère de forme. Cette section fait le tour des différents critères de forme utilisés pour les simplexes. ´ Qualite des maillages – p.44/329
- 81. Le simplex régulier Définition : Un élément simplicial est régulier s’il maximise sa mesure pour une mesure donnée de sa frontière. ´ Qualite des maillages – p.45/329
- 82. Le simplex régulier Définition : Un élément simplicial est régulier s’il maximise sa mesure pour une mesure donnée de sa frontière. Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui a l’aire optimale pour un périmètre donné. ´ Qualite des maillages – p.45/329
- 83. Le simplex régulier Définition : Un élément simplicial est régulier s’il maximise sa mesure pour une mesure donnée de sa frontière. Le triangle équilatéral est régulier car c’est celui qui a l’aire optimale pour un périmètre donné. Le tétraèdre équilatéral est régulier car c’est celui qui a le volume optimal pour une surface donnée de ses faces. ´ Qualite des maillages – p.45/329
- 84. Critère de forme simplicial Définition A : Un critère de forme simplicial est une fonction continue qui évalue la forme d’un simplexe, et qui est invariante par translation, rotation, réflexion et homothétie du simplexe. Il est dit valide s’il est maximal uniquement pour le simplexe régulier et s’il est minimal pour tous les simplexes dégénérés. Les critères de forme simpliciaux sont normalisés dans l’intervalle , avec pour le simplexe régulier et pour tous les simplexes dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.46/329
- 85. Remarques L’invariance par translation, rotation et réflexion signifie que les critères de forme simpliciaux doivent être indépendants du système de coordonnées. ´ Qualite des maillages – p.47/329
- 86. Remarques L’invariance par translation, rotation et réflexion signifie que les critères de forme simpliciaux doivent être indépendants du système de coordonnées. L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ils doivent être adimensionnels (indépendants du système d’unités). ´ Qualite des maillages – p.47/329
- 87. Remarques L’invariance par translation, rotation et réflexion signifie que les critères de forme simpliciaux doivent être indépendants du système de coordonnées. L’invariance par une homothétie valide signifie qu’ils doivent être adimensionnels (indépendants du système d’unités). La continuité signifie que les critères de forme varient continûment en fonction de la position des sommets du simplexe. ´ Qualite des maillages – p.47/329
- 88. Le rapport des rayons Le rapport des rayons d’un simplexe est un critère de forme défini par , où et sont les rayons des cercles (sphères en 3D) inscrit et circonscrit à , et est la dimension de l’espace. ´ Qualite des maillages – p.48/329
- 89. La rapport des moyennes Soit ¡ , un simplexe équilatéral ayant le ¢ même [aire|volume] que le simplexe . Soit ¡ ¢ , la matrice de la transformation affine de vers , i.e. , , où est un vecteur de § § translation. ´ Qualite des maillages – p.49/329
- 90. La rapport des moyennes Alors, le rapport des moyennes d’un simplexe est le rapport de la moyenne géométrique sur la moyenne algébrique des valeurs propres , [, ] de la matrice ¡ ¢ . ! ¡ ¢ en D £ § ¢ ¡ ¢ § ¡ § ©§ ¡ ¨ £ £ ¡ ¢ # # § ¡ ¢ en D ©§ ¡ ¨ § ¢ ¡ ¢ ¡ § ´ Qualite des maillages – p.50/329
- 91. Le conditionnement F ORMAGGIA et P EROTTO (2000) utilisent l’inverse du conditionnement de la matrice. § ¡ § § £ § si les valeurs propres sont ordonnées en ordre croissant. ´ Qualite des maillages – p.51/329
- 92. Le norme de Frobenius Freitag et Knupp (1999) utilise la norme de Frobenius de la ¡ matrice pour définir un critère de forme. ¡ £ £ ¡ § § ©§ ¡ ©§ ¡ ¨ ¨ où les sont les valeurs propres du tenseur . § ´ Qualite des maillages – p.52/329
- 93. Le minimum des angles solides Le critère de forme simplicial basé sur le minimum des %§ $ angles solides du -simplexe est défini par ¡ %§ § $ ¡ § £ ¦¡ Le coefficient est la valeur de chaque angle solide du -simplexe régulier, soit en deux dimensions et en trois dimensions. ´ Qualite des maillages – p.53/329
- 94. Le sinus de Un critère de forme simplicial moins coûteux du point de vue numérique est le sinus minimum. On évite ainsi le calcul de la fonction dans le calcul de en 2D et § de en 3D. § ¡ %§ § $ ¡ § £ ¦¡ où en 2D et en 3D. est la valeur § § § § de pour tous les angles solides du simplexe régulier, § soit en 2D et en 3D. ´ Qualite des maillages – p.54/329
- 95. Angles des faces On pourrait définir un critère de forme basé sur le minimum des douze angles des quatre faces du tétraèdre. Cet angle est de pour le tétraèdre régulier. Mais ce n’est pas un critère de forme valide au sens de la Définition A car il ne détecte pas les tétraèdres dégénérés qui n’ont pas de faces dégénérées (le cerf-volant et le chapeau). ´ Qualite des maillages – p.55/329
- 96. Angles dièdres L’angle dièdre est l’angle entre l’intersection des deux faces adjacentes à l’arête avec le plan perpendiculaire à l’arête. § § Le minimum des six angles dièdres est utilisé comme %§ $ critère de forme. ´ Qualite des maillages – p.56/329
- 97. Angles dièdres %§ § § ¡ § ¢ $ ¡ § ¡ § où et sont les normales aux deux faces adjacentes § ¡ § ¢ à l’arête , et où est la valeur des § six angles dièdres du tétraèdre régulier. Ce n’est pas un critère de forme valide au sens de la Définition A. Le plus petit angle dièdre de l’aiguille, du fuseau et de la paillette peut être aussi grand que . ´ Qualite des maillages – p.57/329
- 98. Le coefficient de l’erreur d’interpolation En éléments finis, l’erreur d’interpolation d’une fonction sur un élément est bornée par un coefficient fois la semi-norme de la fonction. Ce coefficient est le rapport où est le diamètre de l’élément et est la rondeur de l’élément . en D en D ´ Qualite des maillages – p.58/329
- 99. Le rapport des arêtes Rapport de la plus petite arête sur la plus grande %§ $ Le rapport des arêtes est un critère de forme non valide selon la Définition A, car il est non-nul pour certains simplexes dégénérés. En 2D, il peut être aussi grand que pour le chapeau. En 3D, il peut valoir pour le cerf-volant, pour l’aileron, pour le chapeau et pour la paillette. ´ Qualite des maillages – p.59/329
- 100. Autres critères de forme – 1 , le rapport du diamètre du tétraèdre sur le rayon de la sphère circonscrite, dans B AKER, (1989). Ce critère de forme est non valide. , le rapport de la plus petite arête du tétraèdre %§ $ sur le rayon de la sphère circonscrite, dans M ILLER et al (1996). Ce critère de forme est non valide. , le rapport entre le volume du tétraèdre et le rayon de la sphère circonscrite, dans M ARCUM et W EATHERILL, (1995). ´ Qualite des maillages – p.60/329
- 101. Autres critères de forme – 2 § ¢ , le rapport entre le volume du tétraèdre ©§ ¡ ¨ et l’aire de ses faces, dans D E C OUGNY et al (1990). L’évaluation de ce critère de forme, ainsi que sa validité, sont assez problématiques pour les tétraèdres dégénérés en quatre sommets colinéaires. , le rapport entre le volume du § ¡ § tétraèdre et la moyenne de ses six arêtes, dans DANNELONGUE et TANGUY (1991), Z AVATTIERI et al (1996) et W EATHERILL et al (1993). ´ Qualite des maillages – p.61/329
- 102. Autres critères de forme – 3 ¢ § ¡¢ ¡ ¢ ¢ ¡ § § ¢ ¡ ¢ ¡ § le rapport entre le volume du tétraèdre et une somme, à la puissance trois demis, de plusieurs termes homogènes à des carrés de longueurs d’arêtes, dans B ERZINS (1998). ´ Qualite des maillages – p.62/329
- 103. Autres critères de forme – 4 § ¢ , le rapport entre le volume du ¡ § tétraèdre et la moyenne quadratique de ses six arêtes, dans G RAICHEN et al (1991). Etc... Cette liste n’est pas exhaustive. ´ Qualite des maillages – p.63/329
- 104. Il y a une infinité de critères de forme ¦ Si et sont deux critères de forme valides, si , alors , ' ©( ¡0 ) avec , ) £ avec , '£ ' sont aussi des critères de forme simpliciaux valides. ´ Qualite des maillages – p.64/329
- 105. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie, dont toutes les arêtes sont de même longueur. ´ Qualite des maillages – p.65/329
- 106. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie, dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. ´ Qualite des maillages – p.65/329
- 107. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie, dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pour tous les simplexes dégénérés. ´ Qualite des maillages – p.65/329
- 108. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie, dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pour tous les simplexes dégénérés. Il existe des zillions de critères de formes valides. ´ Qualite des maillages – p.65/329
- 109. Ce qu’il faut retenir Un simplexe régulier est un simplexe équilatéral, ie, dont toutes les arêtes sont de même longueur. Un critère de forme mesure le rapport à l’équilatéralité. Les critères de forme non valides ne sont pas nuls pour tous les simplexes dégénérés. Il existe des zillions de critères de formes valides. Le but de la recherche n’est pas d’en trouver un autre bien meilleur que les autres. ´ Qualite des maillages – p.65/329
- 110. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpliciaux 2. Définition d’un simplexe 9. Représentation des cri- 3. Dégénérescence des sim- tères de forme plexes 10. Équivalence des critères 4. Qualité de forme des sim- de forme plexes 11. Qualité globale et optimi- 5. Formules pour les sim- sation plexes 12. Qualité en taille des sim- 6. Voronoï, Delaunay et Rie- plexes mann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et de 14. Conclusions Delaunay ´ Qualite des maillages – p.66/329
- 111. Formules pour le triangle La donnée de la longueur des trois arêtes d’un triangle le détermine entièrement. Donc, les grandeurs mesurables telles les rayons des cercles inscrit et circonscrit, les angles, la surface, etc, peuvent s’écrire en fonction de la longueur des trois arêtes d’un triangle. Soit un triangle non dégénéré de sommets , et . ¡ ¢ Les longueurs des arêtes de sont § notées , . § § ´ Qualite des maillages – p.67/329
- 112. Le demi-périmètre Le demi-périmètre est donné par ¡¢ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.68/329
- 113. Formule de Héron L’aire d’un triangle peut aussi s’exprimer en terme de longueurs d’arête, à l’aide de la formule de Héron : ¢ ¡¢ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.69/329
- 114. Rayon du cercle inscrit Le rayon du cercle inscrit au triangle est donné par ´ Qualite des maillages – p.70/329
- 115. Rayon du cercle circonscrit Le rayon du cercle circonscrit au triangle est donné par ¡¢ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.71/329
- 116. Diamètre de l’élément Le diamètre d’un élément est la plus grande distance euclidienne entre deux points de l’élément. Pour un triangle, c’est aussi la longueur de la plus grande arête ¡¢ ¡ ¢ La longueur de la plus petite arête est notée %§ $ %§ ¡¢ ¡ ¢ $ ´ Qualite des maillages – p.72/329
- 117. Angle solide L’angle au sommet du triangle est la longueur de § § l’arc de cercle obtenu en projetant l’arête du triangle opposée à sur un cercle unitaire de centre . Il § § s’exprime en terme de longueurs d’arête comme ¡ § § §B A 1@ 3762 154 @# 8 4 9 ´ Qualite des maillages – p.73/329
- 118. Formules pour le tétraèdre La donnée de la longueur des six arêtes d’un tétraèdre le détermine entièrement. Donc, les grandeurs mesurables telles les rayons des sphères inscrite et circonscrite, les angles, le volume, etc, peuvent s’écrire en fonction de la longueur des six arêtes d’un tétraèdre. ´ Qualite des maillages – p.74/329
- 119. Formules pour le tétraèdre Soit un tétraèdre non dégénéré de sommets , , ¡ ¢ et . Les longueurs des arêtes de sont notées § , . Les aires des faces du § § tétraèdre, , , et , sont ¢ ¡ ¡ ¢ ¡ ¢ désignées par , , et . Enfin, est le volume du ¡ ¢ tétraèdre . ´ Qualite des maillages – p.75/329
- 120. Formule de “Héron” 3D Soit , , , , et , les longueurs des six arêtes du tétraèdre de manière à ce que les arêtes , et soient connectées à un même sommet, soit l’arête opposée à , l’arête opposée à et l’arête opposée à . Alors le volume est ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ´ Qualite des maillages – p.76/329
- 121. Rayon de la sphère inscrite Le rayon de la sphère inscrite au tétraèdre est donné par ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.77/329
- 122. Rayon de la sphère circonscrite Le rayon de la sphère circonscrite au tétraèdre est donné par où , et sont les produits ¡¢ ¡ ¢ ¡ ¢ des longueurs des arêtes opposées de (deux arêtes sont opposées si elles n’ont pas de sommet commun). ´ Qualite des maillages – p.78/329
- 123. Diamètre de l’élément Le diamètre d’un élément est la plus grande distance euclidienne entre deux points de l’élément. Pour un tétraèdre, c’est aussi la longueur de la plus grande arête ¡¢ ¡ ¡ ¢ ¢ La longueur de la plus petite arête est notée %§ $ %§ ¡¢ ¡ ¡ ¢ ¢ $ ´ Qualite des maillages – p.79/329
- 124. Angle solide L’angle solide au sommet d’un tétraèdre, est l’aire du § § secteur sphérique obtenue en projetant la face opposée à sur la sphère unitaire centrée en . § § ¡ ¡ ¢ ´ Qualite des maillages – p.80/329
- 125. Angle solide L IU et J OE (1994) donnent la formule pour calculer l’angle solide en fonction de la longueur des arêtes : ¡ ¢ ¢ B ¢ § § §B A 1@ 3762 154 C@ 8 4 9 ´ Qualite des maillages – p.81/329
- 126. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpli 2. Définition d’un sim- ciaux plexe 9. Représentation des 3. Dégénérescence des critères de forme simplexes 10. Équivalence des cri 4. Qualité de forme des tères de forme simplexes 11. Qualité globale e 5. Formules pour les optimisation simplexes 12. Qualité en taille des 6. Voronoï, Delaunay et simplexes Riemann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et 14. Conclusions – p.82/329 ´ Qualite des maillages
- 127. Quel est le plus beau triangle ? ´ Qualite des maillages – p.83/329
- 128. Quel est le plus beau triangle ? A ´ Qualite des maillages – p.83/329
- 129. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.83/329
- 130. Si vous avez choisi le triangle A... ´ Qualite des maillages – p.84/329
- 131. Si vous avez choisi le triangle A... A Vous avez tort ! ´ Qualite des maillages – p.84/329
- 132. Si vous avez choisi le triangle B... ´ Qualite des maillages – p.85/329
- 133. Si vous avez choisi le triangle B... B Vous avez encore tort ! ´ Qualite des maillages – p.85/329
- 134. Quel est le plus beau triangle ? A B Aucune de ces réponses ! ´ Qualite des maillages – p.86/329
- 135. Quelle est la plus belle femme ? ´ Qualite des maillages – p.87/329
- 136. Quelle est la plus belle femme ? A ´ Qualite des maillages – p.87/329
- 137. Quelle est la plus belle femme ? A B ´ Qualite des maillages – p.87/329
- 138. Vous avez probablement choisi... ´ Qualite des maillages – p.88/329
- 139. Vous avez probablement choisi... A B La femme A. ´ Qualite des maillages – p.88/329
- 140. Et si on demandait à ces messieurs... ´ Qualite des maillages – p.89/329
- 141. Et si on demandait à ces messieurs... ´ Qualite des maillages – p.89/329
- 142. Ces messieurs choisiraient... ´ Qualite des maillages – p.90/329
- 143. Ces messieurs choisiraient... A B La femme B. ´ Qualite des maillages – p.90/329
- 144. Quelle est la plus belle femme... Il n’y a pas de réponse dans l’absolue car la question est incomplète. On n’a pas spécifié qui allait juger les candidates, quel était le barême d’évaluation, quelles étaient les mesures utilisées, etc. ´ Qualite des maillages – p.91/329
- 145. Quel est le plus beau triangle ? ´ Qualite des maillages – p.92/329
- 146. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.92/329
- 147. Quel est le plus beau triangle ? A B La question est incomplète. Il manque une façon de mesurer la qualité d’un triangle. ´ Qualite des maillages – p.92/329
- 148. Diagramme de Voronoï Georgy Fedoseevich VORO - NOÏ. 28 avril 1868, Ukraine – 20 novembre 1908, Var- sovie. Nouvelles applications des paramètres continus à la théorie des formes qua- dratiques. Recherches sur les parallélloèdes primitifs. Journal Reine Angew. Math, Vol 134, 1908. ´ Qualite des maillages – p.93/329
- 149. La médiatrice Soit et , deux som- mets dans . La mé- diatrice est le lieu des points équi- distants de et . où est la distance euclidienne entre deux points de l’espace. ´ Qualite des maillages – p.94/329
- 150. Un nuage de sommets Soit , un nuage de sommets. ´ Qualite des maillages – p.95/329
- 151. Cellule de Voronoï Définition : La cellule de Voronoï associée au sommet est le lieu des points de l’espace qui sont plus proche de que de tout autre sommet : ´ Qualite des maillages – p.96/329
- 152. Diagramme de Voronoï L’ensemble des cellules de Voronoï associées à tous les sommets du nuage de sommets forme le diagramme de Voronoï. ´ Qualite des maillages – p.97/329
- 153. Propriétés des diagrammes de Vorono Les cellules de Voronoï sont des polygones en 2D, des polyèdres en 3D, des -polytopes en D. Les cellules de Voronoï sont convexes. Les cellules de Voronoï recouvrent l’espace sans chevauchement. ´ Qualite des maillages – p.98/329
- 154. Ce qu’il faut retenir Les diagrammes de Voronoï sont des partitions de l’espace en cellules basées sur la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.99/329
- 155. Triangulation de Delaunay Boris Nikolaevich D ELONE ou D ELAUNAY. 15 mars 1890, Saint Petersbourg — 1980. Sur la sphère vide. À la mé- moire de Georges Voronoi, Bulletin de l’Académie des Sciences de l’URSS, Vol. 7, pp. 793–800, 1934. ´ Qualite des maillages – p.100/329
- 156. Triangulation d’un nuage de points Le même nuage de points peut se trianguler de beaucoup de façons différentes. ... ´ Qualite des maillages – p.101/329
- 157. Triangulation d’un nuage de points ... ... ´ Qualite des maillages – p.102/329
- 158. Triangulation d’un nuage de points ... ... ´ Qualite des maillages – p.103/329
- 159. Triangulation de Delaunay Parmi toutes ces façons, il y en a une (ou parfois plusieurs) triangulation de l’enveloppe convexe du nuage de point qui est dite de Delaunay. ´ Qualite des maillages – p.104/329
- 160. Critère de la sphère vide de Delaunay Critère de la sphère vide : Un simplexe satisfait le critère de la sphère vide si la boule ouverte circonscrite au simplexe est vide (ie, ne contient aucun sommet de la triangulation). ´ Qualite des maillages – p.105/329
- 161. Critère de la sphère vide violé Un simplexe ne satisfait pas le critère de la sphère vide si la boule ouverte circonscrite au simplexe n’est pas vide (ie, contient un ou plusieurs sommets de la triangulation). ´ Qualite des maillages – p.106/329
- 162. Triangulation de Delaunay Triangulation de Delaunay : Si tous les éléments d’une triangulation satisfont le critère de la sphère vide, alors la triangulation est dite de Delaunay. ´ Qualite des maillages – p.107/329
- 163. Algorithme de Delaunay Il faut trouver la sphère circonscrite à un simplexe. Cela revient à trouver son centre. Le centre est le point à égale dis- tance des som- mets du simplexe. ´ Qualite des maillages – p.108/329
- 164. Algorithme de Delaunay Comment savoir si un point viol le critère de la sphère vide d’un simplexe ? Il faut trouver le centre et le rayon de la sphère circonscrite au simplexe . Il faut trouver la distance entre le point et le centre . Si la distance est supérieure au rayon , le point n’est pas dans la sphère circonscrite au simplexe . ´ Qualite des maillages – p.109/329
- 165. Ce qu’il faut retenir Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.110/329
- 166. Dualité Delaunay-Voronoï Le diagramme de Voronoï est le dual de la triangulation de Delaunay et vice versa. ´ Qualite des maillages – p.111/329
- 167. Voronoï et Delaunay dans la nature Les diagrammes de Voronoï et les triangulations de Delaunay ne sont pas juste un trip de matheux, ce sont des structures qu’on retrouve dans la nature. ´ Qualite des maillages – p.112/329
- 168. Voronoï et Delaunay dans la nature ´ Qualite des maillages – p.113/329
- 169. Une tortue ´ Qualite des maillages – p.114/329
- 170. Un ananas ´ Qualite des maillages – p.115/329
- 171. La Tour Du Diable ´ Qualite des maillages – p.116/329
- 172. Boue séchée ´ Qualite des maillages – p.117/329
- 173. Nids d’abeilles ´ Qualite des maillages – p.118/329
- 174. Ailes de libellule ´ Qualite des maillages – p.119/329
- 175. Maïs soufflé ´ Qualite des maillages – p.120/329
- 176. Yeux de mouches ´ Qualite des maillages – p.121/329
- 177. Nanotubes de carbone ´ Qualite des maillages – p.122/329
- 178. Bulles de savon ´ Qualite des maillages – p.123/329
- 179. Un dôme geodésique ´ Qualite des maillages – p.124/329
- 180. Biosphère de Montréal ´ Qualite des maillages – p.125/329
- 181. Rue de Paris ´ Qualite des maillages – p.126/329
- 182. Routes de la Sarthe ´ Qualite des maillages – p.127/329
- 183. Routes dans la Loire ´ Qualite des maillages – p.128/329
- 184. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. ´ Qualite des maillages – p.129/329
- 185. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.129/329
- 186. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.129/329
- 187. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. On généralise la notion de distance. ´ Qualite des maillages – p.129/329
- 188. Où s’en va le gars en avant ? Un critère de forme d’un simplexe mesure le rapport à l’équilatéralité. Le diagramme de Voronoï d’un nuage de points est une partition de l’espace en cellules basée sur la notion de distance. Une triangulation de Delaunay d’un nuage de points est une triangulation basée sur la notion de distance. On généralise la notion de distance. On généralise ainsi les notions de critère de forme, de diagramme de Voronoï et de triangulation de Delaunay. ´ Qualite des maillages – p.129/329
- 189. Nikolai Ivanovich Lobachevsky N IKOLAI I VANOVICH LOBACHEVSKY, 1 décembre 1792, Nizhny Novgorod — 24 février 1856, Kazan. ´ Qualite des maillages – p.130/329
- 190. János Bolyai J ÁNOS BOLYAI, 15 dé- cembre 1802 à Kolozsvár, Empire Austrichien (Cluj, Roumanie) — 27 janvier 1860 à Marosvásárhely, Empire Austrichien (Tirgu- Mures, Roumanie). ´ Qualite des maillages – p.131/329
- 191. Bernhard RIEMANN G EORG F RIEDRICH B ERN - HARD RIEMANN, 7 sep- tembre 1826, Hanovre — 20 juillet 1866, Selasca. Über die Hypothesen welche der Geo- metrie zu Grunde liegen. 10 juin 1854. ´ Qualite des maillages – p.132/329
- 192. Géométrie non euclidienne Riemann a généralisé la géométrie euclidienne sur le plan à la géométrie riemannienne sur une surface. Il a définit la distance entre deux points sur une surface comme étant la longueur du plus court chemin entre ces deux points (géodésique). Il a introduit le métrique riemannienne qui définit la courbure de l’espace. ´ Qualite des maillages – p.133/329
- 193. Définition d’une métrique Soit un ensemble quelconque, alors la fonction est appelée une métrique sur si elle satisfait (i) pour tous , dans ; (ii) si et seulement si ; (iii) pour tous , dans ; (iv) pour tous , , dans . ´ Qualite des maillages – p.134/329
- 194. La distance euclidienne est une métriq Dans la définition précédente de la métrique, supposons que soit , alors la fonction est une métrique sur . ´ Qualite des maillages – p.135/329
- 195. Le produit scalaire est une métrique Soit un espace vectoriel muni d’un produit scalaire . Alors la norme du produit scalaire de la différence de deux éléments de l’espace vectoriel est une métrique. ´ Qualite des maillages – p.136/329
- 196. Le produit scalaire est une métrique Si l’espace vectoriel est , alors la norme du produit scalaire du vecteur est la distance euclidienne. ´ Qualite des maillages – p.137/329
- 197. Tenseur métrique Un tenseur métrique est une matrice symétrique définie positive en 2D, en 3D. ´ Qualite des maillages – p.138/329
- 198. Longueur dans la métrique La longueur d’une arête entre les sommets et dans la métrique est donnée par ´ Qualite des maillages – p.139/329
- 199. Longueur euclidienne avec ´ Qualite des maillages – p.140/329
- 200. Longueur métrique avec ´ Qualite des maillages – p.141/329
- 201. Longueur dans une métrique variable D’une façon générale, la métrique n’est pas constante mais varie continûment en tout point de l’espace. La longueur d’une courbe paramétrée est évaluée dans la métrique par où est un point de la courbe et est le vecteur tangent à la courbe en ce point. ´ Qualite des maillages – p.142/329
- 202. Aire et volume dans une métrique Aire du triangle dans la métrique : Volume du tétraèdre dans la métrique : ´ Qualite des maillages – p.143/329
- 203. Métrique et maillage de Delaunay ´ Qualite des maillages – p.144/329
- 204. Quel est le plus beau triangle ? A B La question est incomplète. Il manque une façon de mesurer la qualité d’un triangle. ´ Qualite des maillages – p.145/329
- 205. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.146/329
- 206. Quel est le plus beau triangle ? A B ´ Qualite des maillages – p.147/329
- 207. Exemple d’un maillage adapté Maillage adapté et solution pour un écoulement compressible visqueux transonique à Mach 0.85 et Reynolds = 5 000. ´ Qualite des maillages – p.148/329
- 208. Zoom couche limite–choc ´ Qualite des maillages – p.149/329
- 209. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. ´ Qualite des maillages – p.150/329
- 210. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu. ´ Qualite des maillages – p.150/329
- 211. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu. “Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une métrique. ´ Qualite des maillages – p.150/329
- 212. Ce qu’il faut retenir La beauté, la qualité, la forme, est une notion toute relative. Il faut d’abord être capable de définir qu’est-ce qu’on veut pour pouvoir juger ce qu’on a obtenu. “Qu’est-ce qu’on veut” s’écrit sous forme d’une métrique. Un critère de forme est une mesure de l’équilatéralité d’un simplexe dans la métrique. ´ Qualite des maillages – p.150/329
- 213. Critère de forme dans la métrique Première méthode (métrique constante) Sur le simplexe , évaluer la métrique en plusieurs points (de Gauss) et trouver une métrique moyenne. Supposer que cette métrique moyenne est constante sur tout le simplexe et évaluer le critère de forme avec cette métrique. ´ Qualite des maillages – p.151/329
- 214. Critère de forme dans la métrique Deuxième méthode (métrique constante) Sur le simplexe , évaluer la métrique en un point (de Gauss), supposer que cette métrique est constante sur tout le simplexe et évaluer le critère de forme en ce point avec cette métrique. Répéter cette opération en plusieurs points et faire la moyenne des critères de forme. C’est ce qui est fait à l’INRIA. ´ Qualite des maillages – p.152/329
- 215. Critère de forme dans la métrique Troisième méthode (métrique variable) Exprimer le critère de forme en fonction seulement de longueurs d’arêtes. Évaluer les longueurs d’arêtes dans la métrique. C’est ce qui est fait dans OORT. ´ Qualite des maillages – p.153/329
- 216. Critère de forme dans la métrique Quatrième méthode (métrique variable) Exprimer le critère de forme en fonction de longueurs d’arêtes, d’aire et de volume. Évaluer longueurs, aire et volume dans la métrique. ´ Qualite des maillages – p.154/329
- 217. Critère de forme dans la métrique Cinquième méthode (métrique variable) Savoir évaluer des quantités telles le rayon du cercle inscrit, du cercle circonscrit, un angle solide, etc, dans une métrique variable. D’une façon générale, la métrique variable ne satisfait pas l’inégalité triangulaire, la somme des angles n’est pas 180 degrés, etc. L’évaluation d’un critère de forme dans une métrique variable, dans toutes sa généralité, est un problème ouvert. Dans l’immédiat, on se contente d’approximations. ´ Qualite des maillages – p.155/329
- 218. Table des matières 1. Introduction 8. Éléments non simpli 2. Définition d’un sim- ciaux plexe 9. Représentation des 3. Dégénérescence des critères de forme simplexes 10. Équivalence des cri 4. Qualité de forme des tères de forme simplexes 11. Qualité globale e 5. Formules pour les optimisation simplexes 12. Qualité en taille des 6. Voronoï, Delaunay et simplexes Riemann 13. Qualité universelle 7. Critères de formes et 14. Conclusions – p.156/329 ´ Qualite des maillages
- 219. Critères de formes et de Delaunay Les maillages de Delaunay ont plusieurs propriétés de régularité. Le maximum des rayons des sphères minimales associées aux éléments de la triangulation est minimum si la triangulation est de Delaunay. Si tous les simplexes d’une triangulation contiennent le centre de leur sphère circonscrite, alors cette triangulation est de Delaunay. Dans une triangulation de Delaunay, la somme des carrés des longueurs d’arêtes pondérées par le volume des éléments partageant ces arêtes est minimal. ´ Qualite des maillages – p.157/329
- 220. Delaunay 3D et dégénérescence En trois dimensions, il est bien connu que les maillages de Delaunay peuvent contenir de éléments dégénérés du type cerf-volant. Pourquoi ? Comment y remédier ? ´ Qualite des maillages – p.158/329
- 221. Critère de la sphère vide de Delaunay Le critères de la sphère vide de Delaunay n’est pas un critère de forme, mais il peut être utilisé comme un critère de forme dans un algorithme de retournement d’arêtes. ´ Qualite des maillages – p.159/329
- 222. Retournement d’arêtes et critère Dans le retournement d’arêtes, appliquer le critère de la sphère vide (critère de Delaunay) Appliquer le critère (maximiser le minimum des angles). ´ Qualite des maillages – p.160/329
- 223. Ce qu’il faut comprendre Le critère de la sphère vide de Delaunay n’est pas un critère de forme mais il peut être utilisé comme un critère de forme. ´ Qualite des maillages – p.161/329
- 224. Ce qu’il faut comprendre Le critère de la sphère vide de Delaunay n’est pas un critère de forme mais il peut être utilisé comme un critère de forme. En deux dimensions, dans l’algorithme de retournement d’arêtes (méthode de Lawson), le critère de la sphère vide de Delaunay est équivalent au critère de forme . ´ Qualite des maillages – p.161/329