solucion de el problema de las torres de hanoi mediante el metodo de divide y conquista

1. TORRES DE HANOI
Por: José Herrera
Tutora: Ing. María Aguilera
Monagas , julio del
2012

2. Torres de Hanói
Es un rompecabezas o juego matemático inventado en 1883 por el
matemático francés Éduard Lucas. Este se trata de un juego de ocho
discos de radio creciente que se apilan insertándose en una de las
tres estacas de un tablero. El objetivo del juego es crear la pila en
otra de las estacas siguiendo dos reglas: Las piezas se trasladan de
una en una y no se puede colocar una pieza mayor sobre una menor.
El problema es muy conocido en la ciencia de la computación y
aparece en muchos libros de texto como introducción a la teoría de
algoritmos.

3. El problema
El problema de las Torres de Hanói es curiosísimo porque su
solución es muy rápida de calcular, pero el número de pasos para
resolverlo crece exponencialmente conforme aumenta el número de
discos. Existen algunas versiones del problema con un número
diferente de varillas. Aunque se conocen algoritmos eficientes que
resuelven el problema con 3 varillas de manera óptima, no se han
encontrado aún sus contrapartidas para cualquier número (N igual o
superior a 3) de ellas

4. Reseña historica
El enigma de las Torres de Hanoi trata de un juego oriental muy
antiguo, sin embargo fue presentado, a nivel mundial, en 1883 por el
matemático francés Edouard Lucas, bajo el seudónimo de N. Lucas
de Siam.
La leyenda que acompaña a este juego cuenta que en Benares
(ubicado en la India), durante el reinado del Emperador Fo Hi, existía
un templo con una cúpula que marcaba el centro del mundo. Los
monjes del templo tenían que mover sesenta y cuatro discos
sagrados de un emplazamiento a otro. Pero éstos eran tan frágiles
que sólo se podía mover de uno en uno. Y además, tenían que tener
cuidado al colocarlos, puesto que no se podía emplazar uno más
valioso encima de otro de valor inferior. En este caso, el mencionado
valor de los aros iba en proporción a su tamaño, cuanto más pequeño
fuera el anillo menor era su valía.

5. Reseña historica
Para realizar los traslados de los referidos discos, solamente se
disponía de otro lugar en el templo (además del de partida y del final)
lo suficientemente sagrado como para que estas anillas pudieran ser
depositadas en él. Así pues, los monjes comienzan el movimiento de
éstas entre el montón inicial, el destino final y la posición intermedia,
eso sí, manteniendo siempre el orden antes comentado (el más
grande en el fondo y el más pequeño en la cima). La leyenda dice
que antes de que los monjes logren reubicar todos los discos en la
nueva localización, el templo volverá a convertirse en polvo y el
mundo terminará.
El objetivo de este juego es colocar n discos en una barra de manera
que el más grande quede en el fondo y el más pequeño en la
cúspide. Para este fin, el jugador puede servirse la barra inicial o de
partida, de la barra final, donde deben terminar los aros ordenados, y
de una intermedia. El propósito del citado enigma es realizar esta
ordenación con el menor número de movimientos posible. El acertijo
con cuatro anillas se conoce como enigma de Reve.

6. Solucion Algoritmica
Una forma de resolver la colocación de la torre es fundamentándose
en el disco más pequeño, en este caso el de hasta arriba. El
movimiento inicial de este es hacia la varilla auxiliar. El disco
número dos por regla, se debe mover a la varilla número tres.
Luego; el disco uno se mueve a la varilla tres para que quede sobre
el disco dos. A continuación se mueve el disco que sigue de la
varilla uno, en este caso el disco número tres, y se coloca en la
varilla dos. Finalmente el disco número uno regresa de la varilla tres
a la uno (sin pasar por la dos) y así sucesivamente. Es decir, el
truco está en el disco más pequeño.

7. Torre de Hanói mediante el
método divide y conquista
A B C
 Ejemplo. Problema de las torres de Hanoi.
Mover n discos del poste A al C:
◦ Mover n-1 discos de A a B
◦ Mover 1 disco de A a C
◦ Mover n-1 discos de B a C

8. Torre de Hanói mediante el
método divide y conquista
Método general:
Hanoi (n, A, B, C: entero)
si n==1 entonces
mover (A, C)
sino
Hanoi (n-1, A, C, B)
mover (A, C)
Hanoi (n-1, B, A, C)
finsi

9. Divide y conquista
Para aplicar el meodo de divide y conquista se necesita:
• Necesitamos un método lo mas directo posible para resolver
los problemas pequeños.
• El problema original debe poder dividirse fácilmente en un
conjunto de subproblemas que sean del mismo tipo que el
problema original pero con una resolución mas simple.
• La solución de un subproblema debe obtenerse
independientemente de los otros.
• Es necesario poder combinar los resultados de los
subproblemas.