Diseño de columnas conceto 1

DISEÑO DE COLUMNAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN 2
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9. DISEÑO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO
9.1 Introducción
Los elementos estructurales sometidos principalmente a carga axial de compresión se
conocen con el nombre genérico de columnas o pilares. Cuando hay presencia de
flexión y esta es importante se le denomina “ viga- columna “. En el primer caso se
tienen como ejemplo típico los bloques de hormigón a compresión y los pedestales; en
estos no hay presencia de flexión y la columna trabaja prácticamente a carga axial. En el
segundo caso se tienen los elementos verticales típicos en los edificios “ columnas “ las
cuales pueden ser cortas si su resistencia es controlada por las dimensiones de la sección
y la capacidad mecánica de sus materiales o esbeltas si la resistencia es controlada por
sus deformaciones laterales ( pandeo ).
En el estudio de la flexión del hormigón armado se introdujo el concepto de sección
transformada fisurada y no fisurada y para ello se utilizo el ejemplo de las columnas
cargadas axialmente. El lector debe revisar nuevamente este concepto para entender la
metodología de trabajo en el diseño de columnas de hormigón armado. De la revisión de
los temas anteriores se concluye que: La resistencia de una columna cargada axialmente
se determina con la ecuación 9.1, con la inclusión de un factor de reducción de
resistencia “ Φ “. Los factores que afectan la resistencia de las columnas son mas bajos
que los de vigas ya que las columnas, a diferencia de estas, son parte vital de la
estabilidad de una estructura ( la falla de una viga es localizada y no produce colapso de
la estructura, por el contrario la falla de una columna la afecta parcial o totalmente con
una alta posibilidad de colapso).
Ya que es poco probable en la practica encontrar columnas en donde la excentricidad
sea nula se recomienda realizar su diseño para una excentricidad mínima que varia de
acuerdo al tipo de amarre transversal. Si la columna tiene amarres rectangulares la
excentricidad mínima es del 10% de la dimensión de su sección en la dirección
perpenticular al eje de la flexión. Si tiene amarre en espiral es de un 5%.
Con el fin de simplificar y garantizar un diseño confiable de columnas con
excentricidad mínima el código ACI ( NSR ) especifica una reducción del 20 % de la
carga axial para columnas con amarres y un 15% para columnas con espirales. En estos
casos las ecuaciones de diseño son la 9.2 y la 9.3.
Columnas con amarres:
64
n ( g s ) c s y P = 0.85. A − A . f ´ + A . f ( 9.1 )
( ( ) ) n c g s s y φ.P = 0.80φ. 0.85 f ´. A − A + A . f ( 9.2 )
Columnas con espiral:
( ( ) ) n c g s s y φ .P = 0.85φ. 0.85 f ´. A − A + A . f ( 9.3 )
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003

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En donde el valor de “ Φ “ depende de como es el comportamiento de la columna en la
falla. Si controla la compresión “ εt < 0.002 “ => “ Φ = 0.65 “ en columnas con amarres
y “ Φ = 0.70 “ en columnas con espiral. Si controla la tracción “ εt > 0.005 “ => “ Φ =
0.90 “ en ambos casos. Para zonas de transición ( es decir hay agotamiento simultaneo
por compresión y tracción ) “ 0.002 < εt < 0.005 “ el valor de “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para
columnas con amarres y “ Φ = 0.48 + 83 εt “ para columnas con espiral. El valor de la
deformación “ εt “ es el de la capa de acero en la cara mas traccionada de la sección.
9.2 Comportamiento y falla de columnas cargadas axialmente
Cuando una columna corta con amarres transversales se somete a una carga de
compresión axial cercana a la falla ( caso típico de las cargas inducidas por sismos o
fuertes impactos ), parte del hormigón que recubre el refuerzo se desprende y el acero
longitudinal queda por tanto sin confinamiento lateral permitiendo así su pandeo y el
posterior colapso de la columna. Este fenómeno conocido como “ descascaramiento “
puede evitarse si los amarres transversales están dispuestos de tal forma que su bajo
espaciamiento evite el pandeo lateral del elemento.
Si se considera ahora una situación similar a la anterior pero ya la columna tiene
amarres en espiral, el hormigón del recubrimiento también se desprenderá pero el
núcleo de hormigón continuara vertical y si la espiral tiene bajo espaciamiento la
columna continuara soportando carga adicional superior a la que produce el
desprendimiento del recubrimiento. Esta situación demuestra la efectividad de la espiral
correctamente espaciada para confinar el hormigón en la columna y lo que es mas
importante permite avisar con suficiente holgura la proximidad de la falla una vez se
desprenda el recubrimiento.
Comportamiento con alta
cuantía de espiral
Comportamiento con
amarres transversales
Comportamiento con
cuantía del ACI
Comportamiento con baja
cuantía de espiral
Carga
Acortamiento
Desprendimiento
del recubrimiento
Figura 9.1 Comportamiento bajo carga axial de columnas con amarres y en espiral
65

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La practica que se ha difundido a nivel general es despreciar cualquier aumento de
resistencia una vez se alcance el desprendimiento del recubrimiento ya que una vez se
presente este fenómeno la columna pierde su confiabilidad en servicio, afirmación
importante de los propietarios y usuarios de los edificios, a pesar de que aun funcione y
continué funcionando bien por un determinado tiempo de servicio.
Por esta razón recomienda diseñar la espiral para lograr una resistencia de la columna
justo por encima de la que produce el desprendimiento del recubrimiento, permitiendo
así mantener en posición la columna y permitir grandes deformaciones sin producir
colapso lo que en definitiva se traduce en mayor confiabilidad cuando se produzcan
sobrecargas excepcionales en la estructura.
db
dc
D
s
La ecuación que define la cantidad optima de refuerzo en espiral recomendada en los
códigos de construcción tiene en cuenta las recomendaciones anteriores y su deducción
es la siguiente: la resistencia de la capa de hormigón que recubre el refuerzo esta dada
por la expresión: 0.85. f ´. ( A − A ) c g c en donde “ Ac “ es el área del núcleo cuyo perímetro
esta definido por el borde exterior de la espiral. Se puede demostrar que la resistencia de
la espiral de cuantía “ ρs “ es: 2.ρ s .A f c . y . Igualando las dos tensiones y resolviendo para
hallar la cuantía de la espiral se obtiene:
ρ = − . Para mantener mayor
Una vez se determine el porcentaje de la espiral se debe seleccionar su diámetro y
espaciamiento ( paso ) con las siguientes ecuaciones:
66
Figura 9.2 Definición de variables en columnas con espiral
c
y
A
g
f


1 425 . 0  
 
s A
f
c
´
seguridad en “ ρs “ se recomienda usar la siguiente expresión:
A ´
ρ = − c
( 9.4 )
y

 0 . 45 g
1  f

 
s A
f
c
V
espiral
= Volumen de una vuelta de la espiral =
ρ . . . . . .
s V
nucleo
volumen del nucleo de hormigon para el paso s
. . . . . . . .( )

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En estas formulas “ Aesp “ es el área transversal del refuerzo en espiral, “ dc “ es el
diámetro del núcleo de hormigón, “ db “ el diámetro de refuerzo en espiral como se
indica en la figura 9.2. El procedimiento de calculo es sencillo: se asume un diámetro
para la espiral y se halla el paso requerido “ s “. Si los resultados no son adecuados se
puede ensayar otro diámetro hasta lograr los valores correctos.
9.3 Requisitos constructivos en columnas de hormigón armado
Los códigos y normas de construcción ( ACI-318 y NSR-98 ) especifican algunas
limitaciones en dimensiones, refuerzo, restricción lateral y otros conceptos relativos al
diseño de las columnas de los edificios. A continuación se presentan las que son mas
importantes para el diseño estructural.
ƒ El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser inferior al 1 % del área total
de la columna “ ρmin = 0.01 Ag “. Se ha comprobado que columnas que tienen
cantidades de refuerzo menores del 1% fallan súbitamente en forma similar a
una columna sin refuerzo. El valor del 1% cubre también problemas de tensiones
internas debidas a la fluencia y la retracción del hormigón en servicio. En
algunos casos se permiten cuantías inferiores al 1% si por razones
arquitectónicas o constructivas las dimensiones son tales que prácticamente con
ellas se soporta holgadamente toda la carga aplicada. Sin embargo se especifica
que en ningún caso la cuantía sea inferior al 0.5% de Ag.
ƒ El porcentaje de refuerzo longitudinal no debe ser mayor del 8% de la sección
total de la columna. Con esto se previene la congestión del refuerzo y las
dificultades en el acabado final del hormigón. En la practica se han encontrado
los problemas anteriores aun con cuantías del 5% y 6%. El uso de cuantías altas
no solo afecta la apariencia final del hormigón sino también su capacidad de
carga. Cuando se van a utilizar empalmes al traslapo es recomendable no superar
la cuantía del 4%. En ningún caso se deben usar paquetes de barras para altas
cuantías de refuerzo.
ƒ El numero mínimo de barras longitudinales en una columna es de 4 para
secciones con amarres rectangulares o circulares, 3 para amarres triangulares y 6
para secciones con espiral. La disposición de las barras afectara la resistencia a
flexión de las columnas cargadas excéntricamente.
ƒ Por lo general no se especifica una sección mínima de columna, sin embargo
para dar un adecuado recubrimiento y espaciamiento al refuerzo es obvio que las
mínimas dimensiones son de aproximadamente 200 mm o 250 mm. En edificios
es aconsejable disminuir las dimensiones al máximo para lograr mayores
espacios y donde sea posible tratar de ocultar las columnas dentro de los muros.
ƒ Cuando se utilizan columnas con amarres, estos no deben tener diámetros
menores que la barra # 3 para refuerzo longitudinal menor o igual a la # 10. Para
barras longitudinales mayores a la # 10 o paquetes de barras se deben usar
amarres # 4. Se pueden usar mallas electro soldadas o alambre corrugado con
áreas equivalentes.
67
( )
( )
( )
A d d 4.
−
A d d
esp c b
−
π
esp c b
ρ =
=
( 9.5 )
s s d
2 . 2
. .
d s
π
. / 4 .
c
c

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ƒ El espaciamiento centro a centro de los amarres no debe ser mayor que: a) 16
veces el diámetro de las barras longitudinales b) 48 veces el diámetro de los
amarres y c) la menor dimensión de la columna.
16 db
S < 48 de
Min. ( b , h )
h
b
ƒ Los amarres deben estar dispuestos de tal forma que en cada esquina de la
sección una barra longitudinal sirva de soporte lateral al amarre para este
sujetarse de el con un gancho menor o igual a 135°. Se recomienda que ninguna
barra longitudinal sea colocada a una distancia libre mayor de 150 mm de cada
barra de soporte lateral. La figura 9.4 ilustra este requisito gráficamente para
diferentes secciones de columna. Las secciones de la figura 9.4 con amares
adicionales interiores son alternativamente costosas. Cuando las barras
longitudinales se dispongan en circulo, se deben colocar también amarres
circulares y ninguna barra debe amarrarse o restringirse individualmente. El ACI
permite diseñar columnas sin amarres cuando por ensayos y análisis estructural
se comprueba que estos no son necesarios sin afectar la resistencia y facilidad de
construcción. Ya que existe poca evidencia experimental sobre el
comportamiento de las columnas con barras empalmadas o paquetes de barras de
refuerzo el ACI especifica colocar amarres adicionales en cada extremo del
empalme y recomienda aplicar requisitos adicionales en aquellas regiones donde
los empalmes son cercanos a la base de la columna. Los amarres no deben
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Figura 9.3 Separación de los amarres en columnas

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colocarse a mas de la mitad de su separación en la parte superior de las zapatas o
losas de piso ni mas de la mitad de su separación por debajo de las losas.
ƒ El código ACI y la norma NSR recomiendan que la separación mínima de
espirales sea de 25 mm y la máxima de 75 mm. Cuando sean necesario
empalmar barras longitudinales se debe usar soldadura o traslapo.
Max.150 mm
69
Max. 150 mm Max. 150 mm
> 150 mm > 150 mm > 150 mm
Max. 150 mm
Max. 150 mm
Figura 9.4 Disposición típica de amarres en columnas

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Ejemplo 9.1 Diseñar una columna corta con amarres transversales cargada axialmente
con un Pu = 2800 kN. Considerar f´c = 28 MPa y fy = 350 MPa.
Solución: El procedimiento mas rápido es asumir una cuantía inicial de refuerzo y
determinar con ella las dimensiones requeridas. Sea ρ = 0.02 ( Por lo general se asume
un valor entre 0.01 y 0.03 ) Î Si Pu ≥ Φ Pn despejando Ag de la ecuación 9.2 se tiene:
=> Usar amarres # 3 cada 400 mm
Estribos # 3 @ 400 mm
70
2800 103
≥ × g A
0.70 × 0.80 × (0.85 × 28 − 0.85 × 0.02 × 28 + 0.02 ×
350)
A 164886.mm2 Seleccionar : b h 400.mm A 160000.mm2 g g ∴ ≥ ⇒ = = ⇒ =
Para esta sección la cantidad de refuerzo se debe determinar nuevamente con 9.2 =>
3
×
2800 10 3
− × × ×
0.85 28 160 10
×
0.70 0.80
≥ st A Î A 3654.mm2 st ≥
(350 − 0.85 ×
28)

 

 
Con barras # 9 ( 645 mm2 ) => 3654 / 645 = 5.7 barras => 6 # 9 Ù Ast = 3870 mm2
Si se asumen amarres transversales # 3 Î
ƒ 16 x 28.7 = 459 mm
ƒ 48 x 9.5 = 456 mm
ƒ Menor dimensión de columna = 400 mm
h = 400 mm
b = 400 mm
70 mm
70 mm
260 mm
70 mm 260 mm 70 mm
Figura 9.5 Sección transversal de columna del ejemplo 9.1

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Ejemplo 9.2 Una columna de hormigón armado soporta en servicio una carga axial
muerta y viva de Psd = 820 kN y Psv = 1360 kN. Determinar su refuerzo longitudinal la
cuantía de la espiral y el diámetro de su sección si f´c = 28 MPa y fy = 420 MPa.
Solución: Î Pu = 1.2 x 820 + 1.5 x 1360 = 3024 kN Si ρ = 0.02⇒
Con barras # 7 ( 387 mm2 ) se tienen: 2419 / 387 = 6.25 barras => Usar 8 # 7 que
equivalen a un Ast = 3096 mm2. El Φ.Pn = 3195 kN > Pu = 3024 kN => Cumple!
Considerando un recubrimiento libre de hormigón de 40 mm => El área del núcleo de la
columna es: Ac = π ( 370 )2 / 4 = 107521 mm2
71
3024 103
≥ × g A Î A 149525.mm2 g ≥
0.75 × 0.85 × (0.85 × 28 − 0.85 × 0.02 × 28 + 0.02 ×
420)
El diámetro de la columna es: D = 4 ×149525 = 436.mm
π
Î Usar D = 450 mm
Para este diámetro la columna tiene una sección de: A 4502 / 4 159043.mm2 g =π × =

 
− × ×
0.85 28 159043
3024 ×
103
×
0.75 0.85

 
≥ st A => A 2419.mm2 g ≥
El refuerzo requerido es: (420 − 0.85 ×
28)
0.45 159043 1  × 28
= min 
ρ =  −
La cuantía mínima de espiral es: 0.0144
420
107521
Si se asume un espiral de diámetro igual a la barra # 3 => despejando “ s “ de 9.5:
( ) s 52.mm
= 4 × 71 × 370 − 9.5
Î Usar espiral # 3 con paso de 50 mm.
×
0.0144 370
2 =
450 mm 370 mm
Espiral # 3 con
paso de 50 mm
Figura 9.6 Sección de columna del ejemplo 9.2

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9.4 Columnas sometidas a compresión y flexión uniaxial
9.4.1 Generalidades
Las columnas sometidas solo carga axial son excepcionalmente escasas en el diseño
estructural, por lo general siempre existe la posibilidad combinar la carga axial con
flexión aun cuando esta no sea producida por acción externa alguna. La flexión se
presenta por la continuidad de las estructuras que permite la transmisión de tensiones
entre las diferentes componentes de la edificación. Por ejemplo la carga vertical y lateral
en un edificio inicialmente actúa en las losas de piso, estas la transmiten a las vigas las
cuales a su vez la llevan a las columnas para finalmente desplegarla en la cimentación.
Esta secuencia en la transmisión de tensiones es la que da origen a la interacción de las
diferentes solicitaciones en el interior de una estructura. Las losas pueden recibir la
carga y transmitirla en una o en dos direcciones, las vigas pueden estar sometidas a
flexión uni o biaxial mas cortante y torsión igualmente las columnas columnas con la
particularidad de que en estas la carga axial es importante. Es requisito fundamental en
el diseño de una columna considerar la flexión aunque el análisis de tensiones indique
esta no esta presente o su magnitud no es importante; la razón de esto es que siempre
existen desfases en la construcción que inevitablemente introducirán excentricidades
adicionales a las inicialmente consideradas en los cálculos.
Cuando un elemento de hormigón armado se somete a una combinación de carga axial
mas flexión ( Mu , Pu ) como se indica en la figura 9.7 es conveniente reemplazar el
sistema por uno estáticamente equivalente que representa la carga axial aplicada a una
determinada distancia del eje de la columna. Esta distancia, llamada “ e: excentricidad “,
se determina como la relación entre el momento y la carga axial: “ e = M / P “.
P
M
P
e = M / P
Las columnas se pueden clasificar en función de la excentricidad equivalente, aquellas
cuyo valor de “ e “ es pequeño se conocen como columnas sometidas principalmente a
carga axial y su falla se iniciara por agotamiento del hormigón a compresión. De otra
parte cuando “ e “ es alto la flexión controla el comportamiento y la falla se iniciara por
la fluencia del refuerzo en la cara mas traccionada de la sección.
72
Figura 9.7 Excentricidad equivalente en columnas

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En el estudio de las columnas, a diferencia de las vigas, el comportamiento antes de
alcanzar la resistencia del elemento no es importante desde el punto de vista del diseño.
La fisuración del hormigón aun en casos de altas excentricidades y las deflexiones
laterales bajo cargas de servicio generalmente no son factores determinantes en su
diseño estructural. Sin embargo para continuar una metodología de trabajo ya iniciada
en el caso de la flexión se presentara aquí una resumen del comportamiento de las
columnas excéntricas antes de alcanzar su resistencia estructural. El lector puede
continuar con el numeral 9.4.5 si a su juicio lo considera conveniente.
9.4.2 Comportamiento de columnas bajo carga excéntrica
Los primeros intentos por tratar de modelar el comportamiento de las columnas
excéntricas mostraron grandes dificultades en la adopción de expresiones adecuadas que
permitieran a los ingenieros interpretar matemáticamente el problema. Solo el análisis
elástico y el principio de superposición permitió encontrar una expresión racional para
la flexión y la carga axial. Las tensiones por flexión y fuerza axial en cualquier punto de
una columna se pueden representar por la ecuación 9.6:
En donde “ r2 = ( I / A ) “. Cuando la excentricidad es nula => fc = P / A y se tiene la
columna concéntrica. El signo positivo es tracción y el negativo compresión. Para
encontrar la excentricidad que produce tensión de compresión nula en una de las caras
de la columna => de la ecuación 9.6 “ fc = 0.0 “ y se despeja el valor de “ e “ Î
Esta excentricidad es la distancia del centroide de la sección al punto donde termina
teóricamente la compresión, este punto se conoce como “ punto Kern “. Si el proceso se
repite para cada eje de la sección se encuentra una región o área interior de la columna
la cual se denomina “ Área Kern “. Cualquier carga aplicada dentro de esta región solo
produce tensiones de compresión en la columna, si la carga se aplica fuera de esta área
se producirá tracción en la cara opuesta a la donde se plica la carga. Por ejemplo para
una sección rectangular de b = h = 400 mm el área Kern es la indicada en la figura 9.8.
Este valor es aproximadamente el 17 % de la dimensión de la sección. Considerando las
otras caras y hallando el área Kern se encuentra que el tercio medio de la sección
representa la región donde solo hay tensiones de compresión. En otras palabras si la
excentricidad “ e < h / 6 “ se puede concluir que la sección no tiene tensiones de
tracción en ningún de sus puntos y esta sometida solo a compresión.
73
( ) 
f P M . y
P
P . e . y
P
1 e .
y
( 9.6 )
c = ± = ± =  ± 2
 r

A
I
A
I
A
P 2
e r
y
e y


0 =  1 −
.  ⇒ = A
r
2
400
3
400 400
×
× ×
12 400 400
2

 

 
e 66.67.mm
×
12 200
200
=
=
=

_________________________________________________________________________________________________________
h = 400 mm
b = 400 mm
Área Kern
133 mm
Si la carga se aplica
en esta zona no se
produce tracción en
la columna
En las primeras ediciones del código ACI se indicaba que si la relación “ e / h ≤ 1.0 “ se
podía utilizar en los cálculos la sección elástica sin fisurar. En opinión de muchos
investigadores de la época esta recomendación no solo era imprecisa sino poco realista
respecto al comportamiento real de la columna ya que para esta cantidad la fisuración en
la cara traccionada de la columna debía ser severa. En ediciones posteriores el ACI
reconoció el hecho y propuso utilizar la sección sin fisurar si “ e / h ≤ 2 / 3“. Sin
embargo aun para esta condición la fisuración era severa y muchos diseños realizados
con esta especificación fueron adecuados no por la limitación en “ e / h “ sino por la
aplicación de los factores de minoración de resistencia que permitían lograr altos
márgenes de seguridad.
9.4.3 Columnas excéntricas sometidas a bajas excentricidades
Los ensayos realizados en la Universidad de Illinois por los investigadores Richart y
Olson en el año de 1938 mostraron que la capacidad de carga de las columnas de
hormigón armado no disminuye tan rápidamente a medida que aumenta la excentricidad
tal como lo había predicho el método anterior al calcular fc. Sobre estas bases el ACI
nuevamente modifico la expresión de diseño de las columnas y adopto una ecuación
74
Figura 9.8 Área Kern en una columna

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consistente con los nuevos resultados experimentales. La expresión indica que la
relación entre las tensiones axiales reales por compresión ( fa ) y las admisibles ( Fa )
mas la relación entre las tensiones axiales por flexión real ( fb ) y las admisibles ( Fb )
deben ser menor o igual a la unidad, expresada matemáticamente es la 9.7.
Los valores de “ fa “ y “ fb “ se obtienen de las cargas, Fa = γ ( 0.225fć + fs.ρg ) donde γ
es igual a 1.0 para columnas en espiral y 0.80 en otros casos. Fb = 0.45.fć.
La forma de la ecuación 9.7 es similar a la que se usa en el diseño de estructuras
metálicas. En el limite superior cuando f + = 1.0
es la ecuación de una línea recta
la cual se muestra en la figura 9.9. Se debe resaltar que en la practica es este limite
superior es el que se usa en el diseño y el campo de aplicación de 9.7 esta limitado a
relaciones “ e / h ≤ 2 / 3“.
fa / Fa
1.0
mb / Mb
Zona admisible
1.0
( pa / Pa )
fb / Fb
Figura 9.9 Tensiones admisibles en columnas a compresión excéntricas ACI-318-56
Por ejemplo si una columna de hormigón armado de b = h = 400 mm y una cuantía del
0.02 con fć = 28 MPa y fy = 420 MPa esta sometida a una carga axial de 1000 kN y un
momento de 75 kN.m => se verifica que:
75
f + f
b
≤ 1.0
( 9. 7 )
F
b
a
F
a
b
f
F
b
a
F
a
Cumple
e = = 0.075. m ⇒ e = 0.075
= 0.1875 < 2/ 3⇒
h
0.400
75
1000

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= F MPa a = 0.225× 28 + 420× 0.02 = 14.70.
Se concluye que la columna es satisfactoria para las condiciones de carga impuestas. Si
por ejemplo la carga es de 1500 kN y el momento es de 100 kN.m esta misma columna
no es correcta y se debe modificar su diseño.
Llama la atención la similitud de la grafica de la figura 9.9 con lo que mas adelante se
denominaran los diagramas de interacción para el diseño de columnas. Si por ejemplo se
multiplican los valores de las ordenadas de la figura 9.9 por “ Ag / Ag “ se obtiene la
relación carga axial aplicada sobre carga axial admisible. Igualmente si se multiplican
las abscisas por la relación “ I / A “ se obtiene la relación momento aplicado sobre
momento admisible. Se tiene así un grafico de relaciones unitarias de P y M.
La figura 9.10 muestra la sección transversal de una columna rectangular cargada
excéntricamente, lo mismo que su sección transformada y el perfil de cargas aplicadas,
donde “ P “ esta localizada a una distancia “ e “ del centro de gravedad de la sección
transformada. Si “ As = A´s “, hipótesis muy frecuente en columnas, la excentricidad se
puede medir desde el centroide de la sección.
e
( n – 1 ) A´s
A´s
As
La carga axial produce tensiones uniformes de magnitud “ fa = P / At “ mientras el
momento flector produce tensiones máximas de magnitud “ fb = ( M.y ) / It. Si se
sustituye “ y = h / 2 “ las tensiones en la sección quedan:
76
1000 ×
103
fa 6.25.MPa
×
400 400
=
6
= 75 × 10 × 200
F = b 0.45× 28 = 12.60.
MPa f MPa b 7.03.
3
×
400 400 /12
=
7.03
6.25
La relación de tensiones es: + = 0.425 + 0.558 = 0.983 < 1.0⇒ Cumple
12.60
14.70
Figura 9.10 Comportamiento de columnas en rango elástico no fisurado
M h
f P
(max.min) = ± . ( 9.8 )
c A
2.
I
t t
P
( n – 1 ) As
h
b

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Las tensiones dadas por la expresión 9.8 se indican en la figura 9.11. Dependiendo del
valor de “ fc,min “ la sección puede estar totalmente comprimida ( fc > 0.0 ) o
traccionada ( fc < 0.0 ). En este ultimo caso si “ fc,min “ es menor que el modulo de
rotura del hormigón “ fr “ la sección esta en rango elástico no fisurado y los cálculos de
las tensiones internas se pueden hacer utilizando el concepto de la sección transformada.
En caso contrario la sección esta fisurada.
= + =
P
M
fa fb fa + fb
fc max
Por medio de la ecuación 9.8 se puede determinar aquel valor de la excentricidad para la
cual la sección esta fisurada. Este valor de se denomina excentricidad limite y se
determina igualando las tensiones resultantes en la cara traccionada al valor “ fr “.
Por ejemplo para una columna de b = h = 400 mm con f´c = 28 MPa y sometida a una
carga axial P = 1000 kN Î la excentricidad limite es:
El resultado indica que la sección se mantiene en rango elástico sin fisurar si el
momento flector no supera el valor de 1000 x 0.102 = 102 kN.m. Este calculo se realizo
sin considerar la presencia del acero de refuerzo, en el siguiente ejemplo se muestra
como son los cálculos completos.
Ejemplo 9.3 Se requiere determinar la excentricidad limite de una columna de
hormigón armado de dimensiones b = 300 mm y h = 500 mm la cual esta sometida a
una carga de compresión P = 1500 kN. La sección esta reforzada con 4 # 8 colocadas
simétricamente como se indica en la figura 9.12. Utilizar f´c = 21 MPa y fy = 420 MPa.
77
Figura 9.11 Tensiones en columnas excéntricas en rango elástico no fisurado
P e h
P
M h
f f P
. .
= − = − . = −
c r A
2.
I
A
2.
I
t t t t
( ) ( )
e P At fr It
∴ lim = 2. + . ( 9. 9 )
P .
h
( ) ( × 3 3 )( 4
) e = × + × ×
102.mm
lim 2.1000 10 /160 10 0.62 28 400 /12 3
× ×
1000 10 400
=

_________________________________________________________________________________________________________
Solución: Para determinar la “ elim. “ se requiere conocer las propiedades de At e It de la
sección transformada no fisurada Î
( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2
( 9 – 1 ) 2 x 510 = 8160 mm2
200 mm
200 mm
300 mm
500 mm
Si la columna se somete a momentos flectores M ≤ 1500 x .119 = 179 kN.m se puede
concluir que la sección trabaja elásticamente sin fisurar.
9.4.4 Columnas sometidas a grandes excentricidades
Si la excentricidad en una columna supera el valor de “ e ( lim) “ nuevamente, al igual
que en vigas, parte de la sección se hace ineficaz para soportar las tensiones generadas
por las cargas y la situación cambia totalmente respecto al caso anterior. La figura 9.13
muestra la sección de una columna sometida a una carga axial con gran excentricidad si
se define “ kt “ como la altura de la zona comprimida, “ dc “ la distancia del borde mas
78
n = 204000 = ≈
A 300 500 150000.mm2 g = × = 9.29 9
4790 21
A 150000 8160 8160 166320.mm2 t = + + =

 × =
I 300 500 mm T × = × × +  
2 6 4
3
2 8160 200 3778 10
12
 
f MPa r = 0.62× 21 = 2.8.

× ×  
2.8 3778 10

× +
2 1500 10
166320
6
3
 
e =
119.mm
(lim) 3
× ×
1500 10 500
=

_________________________________________________________________________________________________________
comprimido al eje central de la columna y “ ds “ la distancia del borde mas traccionado
al eje central de la columna se tiene por cálculos estáticos lo siguiente:
( 2n – 1) A´s
kt dc
d´
ds
d
Cs
Cc
n.As
T
fc
fs / n
d - kt
   − − = b f k C c t
e
 − ´

f d e
h P
n A f d k c
 + −  
 
 − − − 
h d e k f b k e h n A k d
( ) 0.0
 

 − +  
 
  − + − 

´ ´ = 2
79
Figura 9.13 Tensiones en columnas excéntricas fisuradas
Del equilibrio de la sección y tomando momentos respecto al eje de la carga =>
T d + e −C  k + e − d C e d d c s c
( ) ( ) 0.0
t
 3

´ = + − − 
s c
f n
f
f = d − k
.
s t f
= Î c
Ahora por semejanza de triángulos: c
s
k
( d −
k
)t
t
t
k
n

´

C 2.n 1 .A . k d .
T A . f n.A . f . d k ( ) c
 
 − = =
 
t
t
s s s c k
´
 
s s f
t
t
k
= .
c .
2
Reemplazando en la ecuación de equilibrio se obtiene:
 
. . . . t c t
2 1 . . . .
´
3 2
.
. .
2
2
k
k
t
t
s
t
t
s c
= n A f  h − d + e s c
 
ψ
= 2n − 1 .A´ . f .  d´ + e −
h s c  

α . . . ´
( ) Sean: 2

2
. c β = b f
2
y
γ = e − h Se obtiene una expresión mas simplificada para resolver “ kt “:
2

´
=  
 − − 
α d k β γ ψ
k k k d
 
. 0.0

−  +  
 
t t
3
 −
 
. . .
t
t
t
t
k
k
Esta es una ecuación cúbica para hallar el valor de “ kt “, organizando términos Î

_________________________________________________________________________________________________________
Una vez conocido el valor de “ kt “ se determinan las tensiones en el hormigón “ fc “ y
en las dos capas de acero para finalmente determinar la carga admisible.
Ejemplo 9.4 Una columna de b = h = 450 mm esta reforzada con seis barras # 9 como
se indica en la figura 9.14. Determinar la carga axial admisible en rango elástico
fisurado para una excentricidad e = 480 mm. f´c = 21 MPa y fy = 280 MPa.
60 mm
60 mm
P (adm)
450 mm
450 mm
380 mm
390 mm
Solución: Inicialmente se determinara la posición del eje neutro “ kt “ y luego las cargas
internas “ T “, “ Cc “ y “ Cs “ para finalmente calcular “ Padm “.
80
k3 + k2 + + k − d + d´ = t t t β β γ α ψ α ψ
. . . ( ). ( . . ) 0.0
3
n = 204000 = 9.29 ≅ 9
As = A´s = 3 x 645 = 1935 mm2
4790 21
A 9 1935 17415.mm2 t = × = A´ (2 9 1).1935 32895.mm2 t = × − =
La tensión admisible a compresión del hormigón es: fc = 0.45 x 21 = 9.45 MPa
= n A f  h − d + e s c
 
α . . . = 9 x 1935 x 9.45x ( 225 – 60 + 380 )=90 x 106

´
2
ψ = 2n − 1 .A´ . f .  d´ + e −
h s c =(18 – 1 ).1935 x 9.45 x ( 60 + 380 – 225 ) =67 x 106
 

( ) 2
. c b f β = = ( 450 x 9.45 ) / 2 = 2126
2
γ = e − h = ( 380 – 225 ) = 155
2

_________________________________________________________________________________________________________
9.4.5 Comportamiento a nivel de resistencia . Refuerzo en dos capas ( As y A´s )
Cuando las cargas externas se incrementan a valores tales que la resistencia del acero
tiende a “ fy “ y la del hormigón a “ f´c “ se presenta una redistribución no lineal de
tensiones entre los dos materiales. Este proceso no solo es complejo sino que solo se
puede interpretar mediante una correcta formulación de un modelo matemático racional
ajustado a la evidencia experimental. En principio se puede considerar para el análisis
la columna de la figura 9.15 sometida a una carga axial “ Pn “ localizada a una distancia
“ e´ ” del centroide del refuerzo a tracción. Para mayor generalidad se asume que las dos
capas de acero tienen áreas diferentes “ As ≠ A´s “ que obliga a localizar su eje
centroidal en un punto diferente al eje geométrico de la sección. De forma similar al
diseño a flexión en vigas y losas, se puede presentar una falla a tracción o una falla a
compresión dependiendo de si el acero a tracción alcanza o no la tensión de fluencia.
Sin embargo, contrario a lo de vigas, en este caso no se puede evitar una falla a
compresión limitando la posición del eje neutro respecto a la altura efectiva de la
sección tal como se procede en esos casos ya que el tipo de falla depende es de la
81
2126 3 + × 2 + × 6 + × 6 − × 8 + × 8 = t t t k k k
. 2126 155. (90 10 67 10 ). (351 10 40 10 ) 0
3
3 + 465. 2 + 221543. − 5517×104 = 0 t t t k k k
Al resolver la cúbica se encuentra que la raíz correcta es “ kt = 168 mm “.
 −
= s y f 9.45 112.MPa 0.5. f
9 390 168 As en rango elástico
 
⇒ < = × 
168
= × − × − s y f 9.45 103.MPa 0.5. f
´ 2 9 1 168 60 A´s en rango elástico
 
( ) × 
= < ⇒ 168
Se concluye que las tensiones en ambos aceros cumplen los limites admisibles.
= 168×9.45 × =
C N c 450 357210.
2
 −

2 9 
1 1935 168 60  × = C ( ) N s 9.45 199837.
168
= × − × ×
 −


9 1935 390 168  × = T 9.45 217470.N
168
= × ×
∴P = 357210 +199837 − 217470 = 339577.N = 340.kN
La carga admisible para una excentricidad de “ e = 380 mm “ es “ P = 340 kN ”.

_________________________________________________________________________________________________________
magnitud de la carga axial. Por lo general el acero a compresión en columnas
excéntricas llevadas a la falla alcanza la tensión de fluencia, excepto cuando: a) el nivel
de carga axial es bajo, b ) se utiliza acero de alta resistencia y c) cuando las dimensiones
de la columna son tales que “d´ ” es grande. En la practica es frecuente suponer que “
A´s “ esta en fluencia y luego por relaciones geométricas de las deformaciones
comprobar esta hipótesis.
d´
e´
Pn
d
A´s
b
Cs
Cc
Figura 9.15 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas
Las expresiones 9.10 y 9.11 definen la capacidad a flexión y carga axial de columnas
excéntricas con refuerzo asimétrico. Sin embargo estas ecuaciones en la practica no son
útiles porque se acostumbra referenciar la excentridad al eje central de la columna “ e “.
Para lograr mayor aplicación a las anteriores ecuaciones es necesario referir la
excentricidad a un punto denominado el “ centroide plástico de la sección “. Este punto
esta localizado de tal forma que la carga externa produce una condición de falla solo por
82
Cs
Del equilibrio de fuerzas horizontales en la figura 9.15 se tiene:
P − C − C −T = 0 n s c Î . 0.85. . . . 0 − ´ ´ − ´ + = n s s c s s P A f f b a A f
n c s s s s ∴P = 0.85. f ´.a.b + A´ . f ´ − A . f ( 9.10 )
Por lo general el acero a compresión esta en fluencia => f´s = fy
Tomando momentos alrededor del acero a tracción se obtiene:
P e − C d − d −C d − a n s c
( ) 0
 

. ´ . ´ . = 2
P .e 0.85 f .a.b. d a A f d d n c s s − + 
´ ´ ´ . ´.( ´ )
= ⋅  −  ( 9.11)
2
ORLANDO GIRALDO BOLIVAR I.C. UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA 2003
h
As
εc
ε´s
εs
c
T
a
Cs
Cc
T
0.85.f´c

_________________________________________________________________________________________________________
carga axial. La figura 9.16 ilustra la forma de ubicar el centroide plástico en una
columna con refuerzo asimétrico de dimensiones “ b “ y “ h “.
C2
C1
C3
d´
Po
Carga localizada en el
centroide plástico
A´s
As
b
h
h / 2
d"
d
Cuando la sección esta reforzada simétricamente “ As = A´s “ y el valor de la ecuación
9.12 se reduce considerablemente convirtiéndose en la 9.13.
De nuevo considerando la figura 9.15 pero ahora realizando sumatoria de momentos
respecto al centroide plástico de la sección se obtiene:
83
Figura 9.16 Localización del centroide plástico de una sección de columna
De la definición: o c c st y P = 0.85 f ´.A + A . f : Carga axial en la columna
Por sumatoria de momentos respecto al eje del refuerzo a tracción se tiene:
. ´
1 2 C d h C d d P d o = − + 
.( ) . "
 −
 2

Reemplazando valores y despejando “ d´´ “ se obtiene:
( ) ( )
´ ´ ´ ´
d f b h d h A f d d ´ ´
= 0.85 . . . − / 2 + . .
− c s s
( 9.12 )
( )c s s y
f b h A A f
´´
0.85 . .
+ +
(. ´)
d´´ d d −
= ( 9.13 )
2
P .e 0.85 f .a.b. d a d A f d d d A f d n c s s s s + − − + 
´ ´´ ´ . ´.( ´ ´´ ) . . ´´
=  − − ( 9.14 )
 2

Reemplazando 9.13 en 9.14 para columnas con refuerzo simétrico Î

_________________________________________________________________________________________________________
d´
e
Pn
d
b
Cs
Cc
Figura 9.17 Tensiones y deformaciones a nivel de resistencia en columnas excéntricas
Las ecuaciones 9.10, 9.14 y 9.15 son las relaciones de equilibrio básicas para columnas
rectangulares sometidas a flexo-compresión. En estas ecuaciones es necesario recordar
que parte del hormigón de la zona comprimida ha sido desplazado por el acero y esto no
se ha considerado en las anteriores ecuaciones por el pequeño efecto que tiene en los
resultados; sin embargo para cuantías altas, mayores al 4 %, su efecto es importante y es
necesario considerarlo en los diseños. Lo que se hace es reemplazar el valor de “ f´s “
por “ ( f´s – 0.85.f´c ) “ logrando así compensar la carga de la misma manera como se ha
disminuido el valor de la resistencia a compresión.
Para una determinada columna la carga axial determinada con la ecuación 9.10 no debe
ser mayor que la obtenida con la 9.2. Dependiendo de la magnitud de la excentricidad se
pueden considerar tres tipos de comportamientos en las columnas:
ƒ Cuando la excentricidad de la carga axial es alta, la falla se inicia por fluencia
del acero a tracción ( fs = fy ). El acero a compresión puede estar en fluencia ( f´s
= fy ) dependiendo de la deformación del hormigón a compresión (εc = 0.003)
hipótesis que se debe comprobar por compatibilidad de deformaciones.
ƒ Cuando la excentricidad es baja el hormigón alcanza inicialmente su máxima
deformación (εc = 0.003) antes de que el acero a tracción inicie la fluencia. En
estos casos la sección de la columna estará totalmente comprimida.
ƒ Cuando la rotura se produce por la acción simultanea de fluencia del acero a
tracción y máxima deformación del hormigón a compresión se llega a la
condición intermedia.
Las ecuaciones de compatibilidad para comprobar si el acero en ambas caras de una
columna esta o no en fluencia se obtienen del perfil de deformaciones de la figura 9.17.
Por semejanza de triángulos se obtiene:
84
P .e = 0.85 f ´.a.b.  h −
a A´ f ´ h d´ A f d h ( 9.15)
n c s s s s  
 − + 
 
 − + 
 

2
. .
2
. .
2 2
h
A´s
εc
ε´s
εs
c
T
a
Cs
Cc
T
0.85.f´c
d"
C.P

_________________________________________________________________________________________________________
C D
εs
εc
A B
ε´s
d
c
d´ Para el triangulo OAB =>
ε = ε
c s
c (d −
c)
Para el triangulo OCD =>
´
ε = ε
c s
( ´ )
c d −
d
O
Para una columna rectangular con refuerzo simétrico el análisis de su comportamiento a
nivel de resistencia se logra utilizando las ecuaciones 9.10 y 9.15 comprobando las
hipótesis de las deformaciones con 9.16 y 9.17. Por lo general para una determinada
excentricidad “ e “ o una carga axial “ Pn “ son datos del problema: las dimensiones de
la sección, la cantidad y distribución del refuerzo, el recubrimiento y la resistencia de
los materiales ( b, h, d, d´, As, A´s, f´c, fy ) las incógnitas son : la profundidad del eje
neutro “ c “, las tensiones en los aceros “ fs y f´s “ y “ Pn “ o “ e “.
El procedimiento de análisis para una sección y excentricidad conocidas es el siguiente:
inicialmente se asume una profundidad del eje neutro “ c “. Se determina luego la altura
del bloque de Whitney usando la expresión “ a = β1.c “, se calculan las tensiones en los
aceros a tracción y a compresión con 9.16 y 9.17 y luego la carga axial “ Pn “ con la
ecuación 9.10, calcular finalmente la excentricidad correspondiente a esta carga usando
la ecuación 9.15 y comparar este valor con la “ e “ inicial. Si son aproximadamente
iguales se tiene la capacidad de carga axial de la columna, en caso contrario se deben
repetir los cálculos anteriores usando un nuevo valor de “ c “. Si la excentricidad
obtenida es mayor que la indicada se debe asumir un valor mayor de “ c “ y viceversa.
Este proceso converge rápidamente y es muy simple con la ayuda de una calculadora
programable o una hoja de calculo.
Ya que el procedimiento anterior es largo y laborioso mas aun cuando no se dispone de
eficientes herramientas de calculo como las calculadoras programables de gran
capacidad y computadores portátiles, es practico utilizar tablas o gráficos que resuelvan
85
Despejando “ εs “ , “ ε´s “ y reemplazando “ fs = Es. εs “ ,“ fs = Es. εs “ Î
( )
f = ε .E . d − c ≤ ( 9.16 )
s c s y f
c
( ´
)
f E c −
d ≤
´ ε . . ( 9.17 )
s c s y f
c
=

_________________________________________________________________________________________________________
rápidamente el problema. De estas ayudas la mas conocida es el “ diagrama de
interacción de columnas “ los cuales son gráficos similares al mostrado en la figura 9.18
y donde se relacionan los momentos y las cargas axiales para diferentes:
Pn
Columna con excentricidad
pequeña. Controla la compresión
Condición
intermedia
Columna con grande
excentricidad
Mn = Pn.e
Columna sin excentricidad,
solo compresión ( e = 0 )
Zona a compresión
Zona a traccion
Ejemplo 9.5 Se requiere analizar el comportamiento de la columna de la figura 9.19
utilizando un hormigón de f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.
86
a) Disposiciones en la colocación del refuerzo ( en dos o cuatro caras )
b) Resistencia de los materiales ( f´c y fy )
c) Dimensiones de recubrimientos ( d y d´ )
d) Secciones de columna ( rectangular y circular)
Figura 9.18 Forma típica del diagrama de interacción y perfiles de deformación
h = 400 mm
b = 400 mm
d´= 65 mm
d´= 65 mm
4 # 9
4 # 9

_________________________________________________________________________________________________________
Solución: primero se determina la capacidad de la sección sometida a compresión pura
con la ecuación 9.2. Luego se asumen diferentes valores de “ c “ determinando los
puntos que definen el diagrama de interacción de la columna .
a) Capacidad de la columna solo a carga axial “ e = 0 “.
b) Determinación de los valores de “ Pn “ y “ Mn “ para diferentes valores de “ c “.
Este procedimiento se facilita con un programa o una hoja de calculo como se indica a
continuación. Ya que el valor de “ c “ puede variar desde “ 0.0 “ hasta infinito ( cuando
la columna es una viga ) se asumirán valores arbitrarios hasta lograr que Mn ≈ 0.0 para
así graficar los puntos del primer cuadrante del diagrama. Las figuras 9.20, 9.21 y 9.22
muestran los tres tipos de gráficos de interacción mas utilizados.
( ) f MPa MPa s s 0.01246 204000 0.01246 2542. 420
( ) f MPa MPa s s 0.002025 204000 0.002025 413. 420
( ) f MPa MPa s 0.002025 s 204000 0.002025 413. 420
87
P ( ) ( ) N kN no 0.85 35 400 400 8 645 8 645 420 6774 10 . 6774. = × × × − × + × × = × 3 =
P
6774 103
= ×
El valor expresado en términos de tensiones: no =
42.
MPa
A
g
×
400 400
6774 103
= ×
P
El valor adimensional es: 1.21
´ =
× ×
400 400 35
no
A f
× g c
ƒ Para c = d´= 65 mm Î f´s = 0.0
ε = 0.003× 335 − 65 = ⇒ = × = >
335
C N kN c 0.85 35 0.80 65 400 619 10 619. = × × × × = × 6 =
T = 2580× 420 = 1084×106N = 1084.kN
P kN n = 619 −1084 = −465.
M ( ) kN mm kN m n 619 (200 0.80 65/ 2) 1084 335 200 254 10 . 254 . = × − × + × − = × 3 =
Este es el primer punto de la tabla 9.1 y corresponde “ e = 254 / - 465 = - 0.55 m ”.
ƒ Para c = h / 2 = 200 mm Î
ε = 0.003× 335 − 200 = ⇒ = × = <
200
−
200 65
´ 0.003 = ⇒ = × = <
200
ε = ×
C N kN c 0.85 35 0.80 200 400 1904 10 1904. = × × × × = × 6 =

_________________________________________________________________________________________________________
M ( ) ( ) kN m n = 1904× (200 − 0.80× 200/ 2) +1065× 335 − 200 +1065× 200 − 65 = 516 .
Este es el cuarto punto de la tabla 9.1. Corresponde a un “ e = 0.27 m ”
( ) f MPa MPa s s 0.002420 204000 0.002420 494. 420
b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000
d´( mm ) = 65 As(mm2) = 2580 ec= 0.003
d ( mm ) = 335 A´s(mm2) = 2580 B1= 0.80
Punto c fs f´s Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )
(mm) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.
1 65 420 0 254 -465 3.97 -2.91 0.113 -0.083
2 110 420 250 397 610 6.20 3.81 0.177 0.109
3 155 420 355 474 1309 7.40 8.18 0.211 0.234
4 200 413 413 516 1904 8.07 11.90 0.230 0.340
5 245 225 420 462 2836 7.23 17.72 0.206 0.506
6 290 95 420 411 3599 6.43 22.50 0.184 0.643
7 335 0 420 357 4273 5.57 26.71 0.159 0.763
8 380 -72 420 295 4888 4.60 30.55 0.132 0.873
9 425 -130 420 223 5464 3.48 34.15 0.099 0.976
10 470 -176 420 139 6012 2.17 37.57 0.062 1.073
11 515 -214 420 42 6538 0.66 40.86 0.019 1.168
12 560 -246 420 -67 7049 -1.05 44.06 -0.030 1.259
88
C T N kN s 2580 413 1065 10 1065. = = × = × 6 =
P kN n = 1904 +1065 −1065 = 1904.
ƒ Para c = d = 335 mm Î fs = 0.0
ε ´ = 0.003× 335 − 65 = ⇒ = × = >
335
C N kN c 0.85 35 0.80 335 400 3189 10 3189. = × × × × = × 6 =
P kN n = 3189 + 2580× 420 = 4273.
M ( ) kN mm kN m n 3189 (200 0.80 335/ 2) 1084 200 65 356 10 . 356 . = × − × + × − = × 3 =
Este es el punto # 7 y corresponde a un “ e = 356 / 4273 = 0.08 m “.
Tabla 9.1 Resumen de los resultados en los cálculos de la columna del ejemplo 9.5
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS DE HORMIGÓN ARMADO
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS
DATOS DE LA SECCIÓN
DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE INTERACCION
p = 0.03225

_________________________________________________________________________________________________________
89
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
( 357, 4273 )
( 610, 397 )
( 516, 1904 )
( 0, 6774 )
0 200 400 600
Mn ( kN.m)
Pn ( kN )
Figura 9.20 Diagrama de interacción dimensional de la columna del ejemplo 9.5
50
40
30
20
10
0
e = 0.08
e = 0.27
e = 0.55
0 2 4 6 8 10
Mn / ( Ag h ) ( MPa )
Pn / Ag ( MPa )
Figura 9.21 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.5

_________________________________________________________________________________________________________
e / h = 0.20
e / h = 0.68
Figura 9.22 Diagrama de interacción adimensional de la columna del ejemplo 9.5
Si se repiten los cálculos dela tabla 9.1 para las ocho cuantías de columnas se obtiene
una familia de diagramas muy útiles en el diseño estructural y que se presentan en todos
los manuales y ayudas de diseño. La figura 9.23 los ilustra para el ejemplo 9.5.
90
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
Mn / ( Ag h f´c )
Pn / ( Ag f´c)
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
ρ = 0.01
ρ = 0.08
Mn
0 200 400 600 800 1000
Mn ( kN.m)
Pn ( kN)
Figura 9.23 Familia de diagramas de interacción del ejemplo 9.5

_________________________________________________________________________________________________________
9.4.6 Comportamiento a nivel de resistencia. Refuerzo en todas las caras
Cuando se presentan altos momentos flectores es mas económico concentrar parte o
todo el refuerzo en las dos caras paralelas al eje de la flexión como se indica en la figura
9.24. Sin embargo para pequeñas excentricidades es decir alta carga axial y bajos
momentos flectores y cuando por razones arquitectónicas se requieran disminuir al
máximo las dimensiones de la sección transversal de la columna es practico distribuir el
refuerzo en forma uniforme alrededor del perímetro de la sección.
b
En este caso, al existir varias capas de refuerzo, es probable que cuando se alcance la
resistencia de la sección las barras de las capas intermedias no estén en fluencia aspecto
que se debe tener en cuenta cuando se analiza el comportamiento de la sección, figura
9.25. Utilizando los principios explicados en el numeral anterior se pueden construir los
diagramas de interacción de estas secciones aplicando las ecuaciones de equilibrio y
compatibilidad. Estos diagramas son la base fundamental del diseño de las columnas
con refuerzo en todas las caras. La construcción de estos se explicara mejor con el
siguiente ejemplo.
Ts3
Figura 9.25 Tensiones y deformaciones en columnas con refuerzo en todas las caras
91
Figura 9.24 Distribución del refuerzo en columnas en dos y cuatro caras
h
b
h
Mu Mu
εc
εs1
εs2
εs3
εs
Ts4
Cs1
Cc
Cs2
c
As1
As2
As3
As4

_________________________________________________________________________________________________________
Ejemplo 9.6 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del
ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las cuatro caras.
h = 400 mm
8 # 9
b = 400 mm
d´= 65 mm
135 mm
135 mm
d´= 65 mm
Solución: El procedimiento a seguir es similar al ejemplo anterior. En la tabla 9.2 y
figuras 9.27 a 9.30 se muestran los resultados obtenidos.
Punto c fs1 fs2 fs3 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )
# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.
1 65 0 420 420 217 -736 3.4 -4.6 0.10 -0.13
2 110 250 420 420 338 177 5.3 1.1 0.15 0.03
3 155 355 178 420 406 1121 6.3 7.0 0.18 0.20
4 200 413 0 413 444 1904 6.9 11.9 0.20 0.34
5 245 420 112 225 406 2855 6.3 17.8 0.18 0.51
6 290 420 190 95 366 3635 5.7 22.7 0.16 0.65
7 335 420 247 0 320 4320 5.0 27.0 0.14 0.77
8 380 420 290 72 264 4945 4.1 30.9 0.12 0.88
9 425 420 324 130 197 5527 3.1 34.5 0.09 0.99
10 470 420 352 176 117 6081 1.8 38.0 0.05 1.09
11 515 420 374 214 24 6612 0.4 41.3 0.01 1.18
12 560 420 393 246 -82 7127 -1.3 44.5 -0.04 1.27
13 605 420 410 273 -204 7629 -3.2 47.7 -0.09 1.36
14 650 420 420 297 -339 8116 -5.3 50.7 -0.15 1.45
92
Tabla 9.2 Resultados del análisis de la columna del ejemplo 9.6
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS
b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000
d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1935 ec= 0.003
d´2( mm ) = 200 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8
d´3(mm) = 335 As3(mm2) = 1935

_________________________________________________________________________________________________________
93
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0 200 400 600 800 1000
Mn (kN.m)
Pn(kN)
Figura 9.27 Diagrama de interacción de la columna 9.6
70.0
60.0
50.0
40.0
30.0
20.0
10.0
0.0
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
Mn / ( Ag h ) ( MPa)
(Pn / Ag ) (MPa)
Figura 9.28 Diagrama de interacción de la columna del ejemplo 9.6

_________________________________________________________________________________________________________
Mn
0 200 400 600 800 1000
94
2.00
1.80
1.60
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
[ Mn / (Ag.h.f´c)]
[Pn / (Ag.f´c)]
Figura 9.29 Diagrama de interacción adimensional del ejemplo 9.6
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Mn ( kN.m)
Pn ( kN)
Figura 9.30 Diagrama completo de interacción del ejemplo 9.6

_________________________________________________________________________________________________________
Ejemplo 9.7 Analizar el comportamiento a nivel de resistencia de la columna del
ejemplo 9.5 considerando el refuerzo distribuido en las dos caras laterales.
h = 400 mm
8 # 9
b = 400 mm
d´= 65 mm
90 mm
90 mm
90 mm
d´= 65 mm
Solución: El procedimiento también es similar al ejemplo 9.5. En la tabla 9.3 y figuras
9.32 a 9.35 se muestran los resultados obtenidos.
Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )
# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.
1 65 0 420 420 420 230 -1007 3.6 -6.3 0.10 -0.18
2 110 250 250 420 420 319 -36 5.0 -0.2 0.14 -0.01
3 155 355 0 355 420 359 934 5.6 5.8 0.16 0.17
4 200 413 138 138 413 388 1904 6.1 11.9 0.17 0.34
5 245 420 225 0 225 363 2874 5.7 18.0 0.16 0.51
6 290 420 285 95 95 333 3670 5.2 22.9 0.15 0.66
7 335 420 329 164 0 293 4367 4.6 27.3 0.13 0.78
8 380 420 362 217 72 243 5001 3.8 31.3 0.11 0.89
9 425 420 389 259 130 179 5591 2.8 34.9 0.08 1.00
10 470 420 410 293 176 103 6150 1.6 38.4 0.05 1.10
11 515 420 420 321 214 12 6676 0.2 41.7 0.01 1.19
12 560 420 420 344 246 -93 7176 -1.5 44.9 -0.04 1.28
13 605 420 420 364 273 -213 7665 -3.3 47.9 -0.10 1.37
14 650 420 420 381 297 -348 8146 -5.4 50.9 -0.16 1.45
95
Tabla 9.3 Resumen de los resultados para la columna del ejemplo 9.7
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS COLUMNA TIPO L
b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000
d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 1290 ec= 0.003
d´2( mm ) = 155 As2(mm2) = 1290 B1= 0.8
d´3(mm) = 245 As3(mm2) = 1290
d´4(mm) = 335 As4(mm2) = 1290
p = 0.0323

_________________________________________________________________________________________________________
0 100 200 300 400 500
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0
96
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Mn (kN.m)
Pn(kN)
Figura 9.32 Diagrama de interacción dimensional columna del ejemplo 9.7
50.0
45.0
40.0
35.0
30.0
25.0
20.0
15.0
10.0
5.0
0.0
Mn / ( Ag h ) ( MPa)
(Pn / Ag ) (MPa)
Figura 9.33 Diagrama de interacción dimensional de columna del ejemplo 9.7

_________________________________________________________________________________________________________
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Mn
0 200 400 600 800 1000
97
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
[ Mn / (Ag.h.f´c)]
[Pn / (Ag.f´c)]
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
Mn ( kN.m)
Pn ( kN)
Figura 9.35 Familia de diagramas de interacción columna del ejemplo 9.7

_________________________________________________________________________________________________________
9.4.7 Comportamiento a nivel de resistencia. Columnas circulares
El método anteriormente descrito para determinar por compatibilidad de deformaciones
el comportamiento de los tres tipos de columnas rectangulares mas frecuentes en los
edificios de hormigón armado ( R, E y L ) se puede aplicar al caso de columnas de
forma circular ( C ). La figura 9.36 muestra como se determina “ c “ en estos casos
considerando el mismo perfil de deformaciones visto en los ejemplos anteriores. De
forma similar la profundidad del bloque comprimido es “ a = B1 c “.
c
εc =0.003
εs
Cc
Cs
T1
T2
θ
La principal característica de esta sección es que la zona a compresión es un segmento
de circulo de altura “ a “ del cual se debe conocer su área y posición del centroide para
determinar la fuerza de compresión en el hormigón y el momento resultante de esta
fuerza respecto al centro de gravedad de la columna. De la geometría se obtiene que
tanto el área como la posición del centroide se pueden obtener a partir del ángulo “ θ “
que hace la base del segmento con el radio como se muestra en la figura 9.36. El valor
del ángulo “ θ “ depende de la altura del bloque comprimido de la sección así:
Si “ a < h / 2 Î “ θ < 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.18:
El área del segmento circular se expresa en función de “ θ “ mediante la ecuación 9.20
donde “ θ “ esta en radianes. El momento de esta área alrededor del centro de la
98
Figura 9.36 Perfil de tensiones y deformaciones para una columna circular

θ h a ( 9.18 )
 
 = − −
cos 1 2
 
2
h
Si “ a > h / 2 Î “ θ > 90° “ y se puede calcular con la ecuación 9.19:

θ a h ( 9.19 )
 
 − = − −
180 cos 1 2
 
2
h

_________________________________________________________________________________________________________
columna se indica con la ecuación 9.21. Con estos parámetros se puede determinar el
diagrama de interacción de la columna circular.
A h2. θ senθ .cosθ ( 9.20 )
( 9.21 )
En donde ” y “ es el valor de la distancia del centroide del área comprimida al eje
neutro. La forma del diagrama de interacción de una columna circular se ve afectada por
el numero de barras y su orientación relativa respecto al eje neutro. Por ejemplo en la
columna de la figura 9.36 la capacidad de momento en dirección x-x es menor que la
obtenida en dirección y-y efecto que debe tener muy en cuneta el diseñador de la
estructura. Se recomienda que el diseño de columnas circulares se realice con el
diagrama de la dirección mas desfavorable debido al poco control que se tiene durante
la construcción de la edificación. Para casos donde el numero de barras es mayor de
ocho ( 8 ) el problema se reduce considerablemente por la disposición circular del
refuerzo a flexión de la columna.
Ejemplo 9.8 Analizar en un diagrama de interacción el comportamiento de una
columna circular de diámetro “ Φ = 400 mm “. Usar los mismos datos de los ejemplos
anteriores para las propiedades de lo materiales, As = 8 # 9.
400
65 mm
132.5 mm
200 mm
267.5 mm
335 mm
Solución: La metodología nuevamente es similar a la presentada en los ejemplos de
columnas rectangulares. Inicialmente se determina la capacidad de la columna sometida
a carga axial pura y luego se asumen varias posiciones de eje neutro y por
compatibilidad y equilibrio se obtienen las parejas de puntos ( Mn , Pn ).
99
 −
 

=
4

h sen
3
3 θ
12
A
y

 
 
=
.
Figura 9.37 Sección de la columna del ejemplo 9.8

_________________________________________________________________________________________________________
( ) f MPa MPa s s 0.00311 204000 0.00311 634 420
( ) f MPa MPa s s 0.00623 204000 0.00623 1271 420
( ) f MPa MPa s s 0.00935 204000 0.00935 1907 420
( ) f MPa MPa s 0.01246 s 204000 0.01246 2542 420
Se comprueba que todas las capas de acero están en fluencia cuando “ c = 65 mm “. Las
fuerzas resultantes en cada capa son:
Capa 1 => F1 = 0.0
Capa 2 => F2 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN
Capa 3 => F3 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN
Capa 4 => F4 = 1290 mm2 * 420 MPa = 542 kN
Capa 5 => F5 = 645 mm2 * 420 MPa = 271 kN
La resultante a compresión del hormigón es:
42.27o
= × − ×


A 400 0.74 0.67 0.74  = mm 2 9768. 2
100
ƒ Capacidad a carga axial pura Î Excentricidad: e = 0.0
P ( ( ) ) kN n = 0.85×35× 125664 − 5160 + 5160× 420 = 5752
ƒ Para c = 65 mm Î εs1 = 0.0 y fs1 =0.0
0.003 132.5 65 2 2 ε = × − = ⇒ = × = >
65
0.003 200 65 3 2 ε = × − = ⇒ = × = >
65
0.003 267.5 65 4 2 ε = × − = ⇒ = × = >
65
0.003 335 65 5 2 ε = × − = ⇒ = × = >
65
θ
Cc
a = 0.80 x 65 =52 mm
 −

cos 1 200 52  = 
θ = −
y
Cc = 0.85×35× 9768 = 291×103N = 291.kN
200 mm
200
4

_________________________________________________________________________________________________________
La fuerza axial resultante es: Pn = 291 – 3 ( 542 ) – 271 = -1606 kN (tracción ).
Para obtener “ Mn “ se toman momentos respecto al centro de gravedad de la columna
Momento del bloque de hormigón: M1 = 291 x 166 = 48306 kN.mm = 48.3 kN.m
Momento de las capas de acero: M2 = 0.0
M3 = 542 x ( 200 – 132.5 ) = 36.6 kN.m ; M4 = 542 x ( 200 – 200 ) = 0.0 kN.m
M5 = 542 x ( 267.5-200 ) = 36.6 kN.m ; M6 = 271 x ( 335 – 200 ) = 36.6 kN.m
El momento resistente es: Mn = 48.3 +36.6 + 36.6 + 36.6 = 158.1 kN.m
La capacidad a flexión de esta columna para “ c = 65 mm “ es ( 158 kN.m , -1606 kN ).
Punto c fs1 fs2 fs3 fs4 fs5 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag
# (mm) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa)
1 65 0 420 420 420 420 158 -1611 2.5 -10.1
2 100 214 199 420 420 420 190 -941 3.0 -5.9
3 135 317 11 295 420 420 213 -159 3.3 -1.0
4 170 378 135 108 351 420 247 676 3.9 4.2
5 205 418 216 15 187 388 256 1520 4.0 9.5
6 240 420 274 102 70 242 246 2283 3.8 14.3
7 275 420 317 167 17 134 231 2938 3.6 18.4
8 310 420 350 217 84 49 209 3514 3.3 22.0
9 345 420 377 257 137 18 181 4029 2.8 25.2
10 380 420 399 290 181 72 148 4488 2.3 28.1
11 415 420 417 317 218 118 111 4891 1.7 30.6
12 450 420 420 340 248 156 72 5216 1.1 32.6
13 485 420 420 360 274 189 39 5459 0.6 34.1
14 500 420 420 367 285 202 31 5522 0.5 34.5
101
( 42.27
)
12
3
400
3

 

×
 
y 166.
mm
sen
9768
=
=
Tabla 9.4 Resumen de cálculos de comportamiento columna ejemplo 9.8
COMPORTAMIENTO DE COLUMNAS CIRCULARES DE HORMIGÓN ARMADO
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN VARIAS CAPAS
INCR." c "= 35 D ( mm ) = 400 f´c ( MPa)= 35
Es ( MPa) = 204000 d´1( mm ) = 65 fy (MPa) = 420
ec= 0.003 d´2( mm ) = 132.5 As1(mm2) = 645
B1= 0.8 d´3(mm) = 200 As2(mm2) = 1290
A(mm2)= 125664 d´4(mm) = 267.5 As3(mm2) = 1290
d´5(mm) = 335 As4(mm2) = 1290
As5(mm2) = 645

_________________________________________________________________________________________________________
0 100 200 300
0 1 2 3 4 5
102
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
Mn ( kN.m )
Pn ( kN )
Figura 9.38 Diagrama de interacción de la columna circular del ejemplo 9.8
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Mn / (Ag x h ) ( MPa)
Pn / Ag ( MPa)
Figura 9.39 Diagrama de interacción en ( MPa ) de la columna del ejemplo 9.8

_________________________________________________________________________________________________________
0.00 0.05 0.10 0.15
Mn ( kN.m ) Pn ( kN )
Figura 9.41 Diagramas de interacción para columna circular del ejemplo 9.8
0 100 200 300 400
103
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mn / (Ag x h x f´c )
Pn / ( Ag x f´c )
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0

_________________________________________________________________________________________________________
9.4.8 Diseño a flexión y carga uniaxial de columnas cortas
En columnas, al igual que en vigas y losas, el diseño de los elementos debe cumplir con
unos márgenes de seguridad adecuados. Estos están indicados en las normas y códigos
establecidos. Las cargas o tensiones externas de servicio se deben amplificar utilizando
los factores “ γ “ y la resistencia se debe disminuir utilizando los coeficientes “ Φ “. Lo
anterior significa que si una columna esta bien diseñada se debe cumplir:
n u φ .P ≥ P y n u φ .M ≥ M ( 9.22 )
Utilizando el método de las deformaciones limites se pueden definir diferentes valores
para el coeficiente “ Φ “ de acuerdo al comportamiento resistente de la columna.
Cuando controla la tracción se cumple que: “ εt > 0.005 y c / dt < 0.375 “ y el valor de “
Φ = 0.90 “ para cualquier columna. Si controla la compresión se tiene que si: “ εt <
0.002 y c / dt > 0.600 “ => “ Φ = 0.75 “ para columna con espirales y “ Φ = 0.65 “ en
otros casos. Finalmente si las condiciones que controlan la resistencia de la columna son
intermedias se cumple que “ 0.002 < εt < 0.005 y 0.375 < c / dt < 0.600 “ y el valor de “
Φ “ se obtiene por interpolación lineal con las siguientes expresiones:
Si se aplican estos coeficientes a los diagramas “ Mn , Pn “ obtenidos en el numeral
anterior se pueden obtener los diagramas “ ΦMn , ΦPn “ que son en definitiva los
diagramas de interacción para el diseño estructural de columnas.
Ejemplo 9.9 Se requiere determinar el diagrama de interacción de diseño de la
columna del ejemplo 9.5. f´c = 35 MPa y un acero de fy = 420 MPa.
104
φ = 0.37 + 0.20
Columna con espiral: t φ = 0.57 + 67.ε o ( )t c d
φ = 0.23 + 0.25
Columna con amarre: t φ = 0.48 + 83.ε o ( )t c d
h = 400 mm
b = 400 mm
d´= 65 mm
d´= 65 mm
4 # 9
4 # 9

_________________________________________________________________________________________________________
Solución: El procedimiento es similar al realizado en el ejercicio 9.5 pero ahora se
considera el coeficiente “ Φ “ en los cálculos respectivos. La tabla 9.5 y la grafica 9.43
presenta los resultados obtenidos.
Punto c Φ fs1 fs2 Mn Pn Mn / Ag x h Pn / Ag Mn / ( Ag x h x fć ) Pn / ( Ag x fć )
# (mm) coef. ( MPa ) ( MPa ) (kN.m) ( kN) ( MPa) ( MPa) adimens. adimens.
1 20 0.90 420 420 296 -1779 4.6 -11.1 0.13 -0.32
2 65 0.90 0 420 229 -418 3.6 -2.6 0.10 -0.07
3 110 0.90 250 420 357 549 5.6 3.4 0.16 0.10
4 155 0.77 355 420 365 1008 5.7 6.3 0.16 0.18
5 200 0.65 413 413 335 1235 5.2 7.7 0.15 0.22
6 245 0.65 420 225 300 1840 4.7 11.5 0.13 0.33
7 290 0.65 420 95 267 2335 4.2 14.6 0.12 0.42
8 335 0.65 420 0 231 2772 3.6 17.3 0.10 0.49
9 380 0.65 420 72 191 3171 3.0 19.8 0.09 0.57
10 425 0.65 420 130 144 3522 2.3 22.0 0.06 0.63
11 470 0.65 420 176 90 3522 1.4 22.0 0.04 0.63
12 515 0.65 420 214 27 3522 0.4 22.0 0.01 0.63
13 560 0.65 420 246 -44 3522 -0.7 22.0 -0.02 0.63
14 605 0.65 420 273 -124 3522 -1.9 22.0 -0.06 0.63
Por ejemplo si la columna indicada esta sometida a las siguientes cargas externas
mayoradas ( Mu = 350 kN.m , Pu = 1250 kN ) se tiene:
Excentricidad: e = ( 350 / 1250 ) = 0.28 m Î e / h = 0.28 / 0.40 = 0.70 > 0.2
Si se entra a la grafica de la figura 9.43 se encuentra que esta pareja de puntos esta por
fuera del diagrama de interacción y la columna no es adecuada. Se debe aumentar el
refuerzo para lograr seguridad estructural. En la grafica 9.44 se encuentra que una
cuantía de 0.038 es adecuada para esta columna.
105
Tabla 9.5 Resultados del diseño de la columna del ejemplo 9.9
DISEÑO DE COLUMNAS RECTANGULARES DE HORMIGÓN ARMADO
FLEXIÓN EXCENTRICA REFUERZO EN DOS CAPAS COLUMNA E
b ( mm ) = 400 fć ( MPa)= 35 INCR." c "= 45
h ( mm ) = 400 fy (MPa) = 420 Es ( MPa) = 204000
d´1( mm ) = 65 As1(mm2) = 2580 ec= 0.003
d´2( mm ) = 335 As2(mm2) = 2580 B1= 0.8
p= 0.03225
Pn (max)= 3522
p = 0.03225
Mu / ( bh2 fć ) = ( 350 x 106 / ( 400 x 4002 x 35 )) = 0.16
Pu / ( bh fć ) = ( 1250 x 103 / ( 400 x 400 x 35 )) = 0.22

_________________________________________________________________________________________________________
Tipo: E
fć = 35 MPa
fy = 420 MPa
γ = 0.675
Tipo: E
fć = 35 MPa
fy = 420 MPa
γ = 0.675
P = 0.038
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35
Figura 9.44 Diagrama de interacción adimensional de diseño de columnas tipo E
106
1.000
0.900
0.800
0.700
0.600
0.500
0.400
0.300
0.200
0.100
0.000
0.000 0.050 0.100 0.150 0.200
fi.Mn / ( bh^2fć)
fi.Pn / ( bhfć)
Figura 9.43 Diagrama de interacción de diseño de columna del ejemplo 9.9
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
FMn / ( bh^2fć)
FPn / ( bhfć)

_________________________________________________________________________________________________________
De la misma forma se procede con otros valores de momento y carga axial. En general
para cualquier columna sea tipo E, R, L o C se disponen de juegos de diagramas de
interacción que ayudan a seleccionar rápidamente las cantidades de acero requeridas
manejando las variables: recubrimientos, fć, fy. La practica en nuestro medio es la que
utilizan en los Estados Unidos de América. Los gráficos se encuentran definidos con la
siguiente nomenclatura: Tipo de grafico: fć : fy : γ.
Por ejemplo la columna definida con la referencia: E4.60: 60 Î equivale a un tipo E (
acero en las dos caras normales al eje de la flexión ), hormigón de 4 ksi ( 28 MPa ),
refuerzo de 60 ksi ( 420 MPa ) y coeficiente de separación del refuerzo 0.60. Si se
expresa en el sistema internacional de unidades Î E28.420: 60.
El valor de “ γ “ se determina con la ecuación 9.23 y permite definir que tanto
recubrimiento se le ha dado a las capas de refuerzo mas cercanas a las caras de la
columna. Si “ γ “ es bajo se tiene altos recubrimientos y viceversa. Por lo general para
los valores típicos de trabajo “ γ “ varia entre 0.60 y 0.75.
γ = ( 9.23 )
Para los siguientes ejemplos se utilizaran los diagramas de interacción de las figuras
9.45 a 9.53. Se recomienda al lector no utilizar diagramas de otras referencias porque no
están convenientemente actualizados.
En resumen, el diseño de una columna corta de hormigón armado sometida a flexo-compresión
El primer procedimiento es prácticamente el mas utilizado ya que el análisis estructural
precede al diseño, y para realizar el análisis se debe dimensionar la edificación con el
fin de obtener los desplazamientos y esfuerzos internos. Por lo general se procede así:
ƒ Datos : b, h, fć, fy, d, d´, Pu y Mu.
ƒ El primer paso es hallar la excentricidad “ e = Mu / Pu “.
ƒ Luego se determina la excentricidad relativa “ e / h “. Si “ e / h < 0.1 “ se
recomienda usar una columna tipo C. Si “ 0.1 < e / h < 0.2 ” usar una columna
tipo R y si “ e / h > 0.2 “ usar tipo E. La columna tipo L se usa cuando la
relación entre h / b es mayor de 4.0 es decir la columna es mas una pantalla o
muro estructural.
ƒ Seleccionado el tipo de columna se busca el diagrama de interacción
correspondiente en las ayudas de diseño y se procede a determinar la cuantía de
refuerzo a flexión.
107
h − 2.d´
h
uniaxial se puede realizar de varias formas:
ƒ Cuando se asumen las dimensiones ( b, h ) y se debe hallar el refuerzo ( Ast )
ƒ Cuando se asume el refuerzo para hallar las dimensiones
ƒ Cuando no se conoce ni dimensiones ni refuerzo.
ƒ Finalmente se determinan los amarres o espirales necesarios.

_________________________________________________________________________________________________________
Ejemplo 9.10 La columna del primer piso de un edificio de dos plantas soporta las
cargas axiales en servicio indicadas en la figura 9.46. Determinar el refuerzo requerido
en la columna “ Ast “ si por razones arquitectónicas las dimensiones deben ser: b = 400
mm y h = 500 mm. Usar fć = 28 MPa y fy = 420 MPa.
Pv = 482 kN
Pm = 645 kN
Pv = 970 kN
Mm = 115 kN.m
Mv = 172 kN.m
Revisar además si el refuerzo obtenido es adecuado cuando no esta presente la carga
viva en la cubierta.
Solución: El diseño se realizara primero actuando toda la carga axial y luego se
revisara si este refuerzo cumple la condición de carga viva indicada.
Para hallar la cantidad de acero se pueden resolver simultáneamente las ecuaciones de
diseño 9.22, 9.10 y 9.15 o usar los diagramas de interacción previamente construidos
como se indico anteriormente. El primer método es sin embargo un proceso largo por lo
cual se prefiere el uso de los diagramas en lugar de utilizar las ecuaciones.
Del grafico de la figura 9.47 obtenido con la ayuda de una hoja de calculo se marca el
punto de coordenadas ( Mu / bh2 fć , Pu / bh fć ) Ù ( 0.15, 0.42 ). Y se obtiene por
interpolación la cuantía de refuerzo requerida que en este caso esta entre 0.03 y 0.04.
Se asumirá un valor intermedio de 0.035.
108
Figura 9.46 Esquema del ejemplo 9.10
P kN u = 1.2× 645 +1.6× 970 = 2326.
M kN m u = 1.2 ×115 +1.6×172 = 413. .
e Î Se recomienda columna tipo E
= 413 = 0.36 0.20
e 0.18.m
2326
= 0.18 = >
h
0.50
γ = 500 − 2× 65 = ≈ Utilizar el diagrama: E 4.60: 75.
Sea d´= 65 mm Î 0.74 0.75
500

_________________________________________________________________________________________________________
La cantidad de acero es => Ast = 0.035 x 400 x 500 = 7000 mm2. Utilizando barras # 10
este refuerzo equivale a: 7000 / 819 = 8.5 barras => se prefiere combinar con barras # 8
y por tanteos se llega a: 6 # 10 + 4 # 8 = 6954 mm2 Ù p = 0.035
109
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
COLUMNA
E 28.420: 74
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Mn / ( bh^2 f´c)
Pn / ( bh f´c )
Figura 9.47 Diagrama de interacción de diseño. Columna del ejemplo 9.10
Para los amarres se asumen barras # 3 con el siguiente espaciamiento:
ƒ 16 x db = 16 x 31.8 = 509 mm
ƒ 48 x de = 48 x 12.7 = 610 mm
ƒ La menor dimensión de la columna => 400 mm
3# 10 + 2# 8
3# 10 + 2# 8
500 mm
400 mm
65 mm
435 mm

_________________________________________________________________________________________________________
Con estas coordenadas se encuentra en la figura 9.47 una cuantía “ ρ = 0.025 “ la cual es
menor que la obtenida cuando actúa toda la carga axial por lo que se concluye que el
diseño es satisfactorio.
Ejemplo 9.11 Se requiere diseñar una columna rectangular para que soporte una carga
axial mayorada de 2350 kN y un momento mayorado de 735 kN.m. Los materiales a
utilizar son: fć = 28 MPa y fy = 420 MPa. Por razones económicas la cuantía de acero
debe ser menor o igual al 3 %. Determinar las dimensiones optimas de la sección.
Solución: El procedimiento es iterativo, se comienza asumiendo un valor de “ h “ el
cual se va modificando a medida que se obtienen los resultados.
Un primer ensayo es hallar el área de la sección con la expresión aproximada:
Sin embargo, a diferencia de las vigas, aquí la excentricidad es importante y se debe
tener en cuenta en la selección de las dimensiones. Ya que “ e = 735 / 2350 = 0.31 m “
se concluye que la columna esta controlada por la flexión y en estos casos es
recomendable usar una sección tipo E. Sea h = 600 mm => e / h = 0.52 > 0.20 y se
comprueba que es una columna tipo E. Sea d´= 75 mm => γ = 0.75. Si se dispone del
diagrama de interacción E 28.420.75 se puede encontrar el valor de “ Pu / bhfć “
conocidos “ e / h = 0.52 “ y “ p = 0.03 “. Este diagrama se presenta en la figura 9.49.
De la figura 9.49 se concluye que el valor de “ Pu / ( bh fć ) = 0.30 “. Si se despeja el
valor del ancho de la columna se tiene: b = 466 mm el cual se aprox. a 450 mm.
110
Cuando la carga axial no tiene el aporte de la carga viva de la cubierta =>
P ( ) kN u = 1.2× 645 +1.6× 970 − 482 = 1555.
M kN m u = 413. .
e Î Se recomienda columna tipo E
= 413 = 0.54 0.20
e 0.27.m
1555
= 0.27 = >
h
0.50
Para entrar al diagrama de interacción de la figura 9.47 se requiere:
0.15
M
= = ×
φ M
. 413 10
=
2 ´ 2 ´ 2
6
× ×
400 500 28
c
u
n
c
bh f
bh f
0.28
. 1555 103
P
= = ×
´ ´ =
× ×
400 500 28
c
u
φ P
n
c
bhf
bhf
= ×
2350 10
mm
A ≥
P
g =
u
128626.
´ ( )
( )
( )
2
3
× + ×
0.45 28 0.03 420
f +
ρ
f
0.45. .
c y

_________________________________________________________________________________________________________
e / h = 0.52
P = 0.03
El refuerzo para esta columna esta constituido por: Ast = 0.03 x 450 x 600 = 6750 mm2
que se pueden reemplazar por 8 # 9 para obtener una cuantía de p = 0.024 < 0.03.
Ejemplo 9.12 Determinar el refuerzo longitudinal y los amarres respectivos para las
dos siguientes columnas: a) rectangular que debe soportar las siguientes cargas
mayoradas: Pu = 1600 kN y Mu = 150 kN.m y Vu = 73 kN. fć = 21 MPa y fy = 420
MPa y b) Una circular : Pu = 2550 kN, Mu = 85 kN.m, fć = 28 MPa y fy = 420 MPa
Solución: a) En este caso solo se conocen las tensiones que producen las cargas
externas mayoradas y se debe encontrar las dimensiones y el refuerzo de la columna.
Por criterios prácticos y económicos se asumirá una cuantía de p = 1.5 % ( por lo
general este valor esta entre el 1 % y el 2 % ).
La excentricidad es de: e = 150 / 1600 = 0.09 m la cual indica que es una columna
donde controla la carga axial. En estos casos el tipo R es adecuado por lo cual se
asumirá inicialmente una sección cuadrada con b = h = ( 130240 )0.5 ≈ 360 mm.
Sea b = h = 400 mm que representa un Ag = 160000 mm2 > 130240 mm2 => cumple.
La excentricidad relativa es: e / h = 0.09 / 0.40 =0.225 > 0.20 => Columna tipo E.
Sea d´= 65 mm Î γ = 0.675 por lo tanto se puede interpolar linealmente los valores de
la cuantía obtenidos en los diagramas de interacción “ E 21.420:60 “ y “ E 21.420:75 “.
Se usan los siguientes datos: Pu / (bhfć ) = 0.48 y Mu / ( bh2fć ) = 0.11
111
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
Mu / ( bh^2 fć )
Pu / ( bh fć )
Figura 9.49 Diagrama de interacción columna E 28.420:75 Ejemplo 9.11
3
≥ ×
A 1600 10 mm g =
( )
2
130240.
× + ×
0.45 21 0.015 420

_________________________________________________________________________________________________________
Grafico E 21.420:75
p = 0.018
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Grafico E 21.420:60
p = 0.022
La cuantía de refuerzo para esta columna es => p = ( 0.022 + 0.018 ) / 2 = 0.020. El
refuerzo es: Ast = 0.020 x 400 x 400 = 3200 mm2 que equivalen a 4 # 9 + 2 # 7 para un
Ast real = 4 x 645 + 2 x 387 = 3354 mm2 => Cumple.
112
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Mu / ( bh^2 fć )
Pu / ( bh fć )
Figura 9.50 Diagrama de interacción E 21.420:75
1.8
1.6
1.4
1.2
0.8 1
0.6
0.4
0.2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
Mu / (bh^2fć)
Pu / (bhfć)
Figura 9.51 Diagrama de interacción E 21.420.60

_________________________________________________________________________________________________________
2 # 9 +1 # 7
2 # 9 + 1 # 7
400 mm
400 mm
65 mm
# 3 @ 150 mm
270 mm
65 mm
Verificando la capacidad máxima de carga axial de la columna se tiene:
( P ) ( ( ) ) N kN . n 0.80 0.65 0.85 21 160000 3354 3354 420 2187 10 2187. 3
En este caso “ Vu = 73 kN “ es mayor que “ V kN φ . c 2 = 67. “ y se debe colocar un
refuerzo transversal mínimo. Verificando con estribos # 3 cada 150 mm que representan
la cantidad mínima de estribos se tiene:
La capacidad a cortante de la columna se incrementa a: V kN φ . n = 134 +100 = 234. la
cual es suficiente para atender con un alto margen de confiabilidad la cortante externa.
113
max . φ = × × × × − + × = × =
Esta capacidad es superior a la carga axial externa indicada de 1600 kN.
Para los amarres usar barras # 3 @ 400 mm que en este caso controla.
Para la cortante se tiene de la ecuación 5.33:
3


φ = × × × × × + ×
. 0.75 0.17 21 400 335 1 1600 10 3
= × =  
 
V N kN c 134 10 134.
×
14.1 160000
φ . = 0.75× 142× 420× 335 = × 3 =
V N kN s 100 10 100.
400

_________________________________________________________________________________________________________
b) Para una primera estimación del diámetro de la columna se asumirá una cuantía de
refuerzo del 1.5% =>
Se considera por tanto una columna de 500 mm de diámetro. La excentricidad es de “ e
= 85 / 2550 = 0.033 m “ y “ e / D = 0.066 “ valor menor que 0.1 y se confirma que la
columna es del tipo C. Si se asume un recubrimiento de 62.5 mm => γ = 0.75 y el
grafico de interacción es: C 28.420:75 representado en la figura 9.53.
Columna C 28.420:75
Si se entra al diagrama de la figura 9.53 con “ Pu / Ag.fć = 0.55 “ y “ Mu / Ag.D.fć =
0.046 “ => la cuantía da aprox. 1 % => se puede disminuir la sección o considerar que
el diseño es correcto. Ast = 0.01 x 165210 = 1652 mm2 los cuales equivalen a 8 # 5.
Para los amarres en espiral se pueden utilizar # 3 con paso de 75 mm.
114
3
×
4 165210 =
= × Î 460.mm
A 2550 10 mm g =
( )
2
165210.
× + ×
0.45 28 0.015 420
3.1416
φ =
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Mu/(bh^2 fć)
Pu/(bh fć)
Figura 9.53 Diagrama de interacción de la columna C 28.420:75

_________________________________________________________________________________________________________
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50
115
e/h=0.1
e/h=0.2
e/h=0.5
e/h=1.0
e/h=2.0
1.60
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu/(bh^2 fć)
Pu/(bh fć)
Figura 9.54 Diagrama de interacción E21.420:60
e/h=0.1
e/h=0.2
e/h=0.5
e/h=1.0
e/h=2.0
1.60
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu/(bh^2 fć)
Pu/(bh fć)

_________________________________________________________________________________________________________
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
116
e/h=0.1
e/h=0.5
e/h=1.0
e/h=0.2
e/h=2.0
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu/(bh^2 fć)
Pu/(bh fć)
e/h=0.2
e/h=0.5
e/h=1.0
e/h=2.0
e/h=0.1
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu/(bh^2 fć)
Pu/(bh fć)

_________________________________________________________________________________________________________
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
117
e/h =0.1
e/h =0.2
e/h =0.5
e/h =1.0
e/h = 2.0
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu / (Ag.h.fć)
Pu / ( Ag.fć)
Figura 9.56 Diagrama de interacción R21.420:60
e/h = 0.1
e/h =0.2
e/h =0.5
e/h =1.0
e/h =2.0
1.40
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu / (Ag.h.fć)
Pu / (Ag.fć)

_________________________________________________________________________________________________________
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30
118
e/h = 0.1
e/h =0.2
e/h =0.5
e/h =1.0
e/h =2.0
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu / ( Ag.h.fć)
Pu / ( Ag.fć)
e/h =0.1
e/h =0.2
e/h =0.5
e/h =1.0
e/h =2.0
1.20
1.00
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
Mu / ( Ag.h.fć)
Pu / (Ag.fć)

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