Teoría de límites

1. 1 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.2 Límites
2.1.2.1 La idea intuitiva de límite
Con los siguientes ejemplos se trata de representar la idea de límite de una forma
intuitiva
Ejemplos
a) Sea f(x)=3x+2
(1) ¿Cuál es el valor de f cuando x=1?
(2) ¿Como se comporta f(x) cuando x está cerca de 1?
Solución
(1) Se sabe que f(1)=3.1+2, es decir, f(1)=5
(2) Para resolver a la segunda pregunta se hace una tabla de valores tomando a x
cerca de 1, es decir, un poco menor que 1 y un poco mayor que 1. Así:
x 0,9 0,95 0,99 0,999 1,01 1,1
f(x) 4,7 4,85 4,97 4,997 5,003 5,.3
Se observa que cuando x está cerca de 1, la función f(x) está de cerca de 5.
En la gráfica también se observa este hecho.
y
7.5
5
2.5
0
-2 -1 0 1 2
x
-2.5
Se expresa esto diciendo que:
"El límite de la función f(x)=3x+2 cuando x tiende a 1 es igual a 5".
En símbolos se escribe:

2. 2 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
lim f(x)=lim(3x+2)=5
x->1 x->1
b) Sea g la función definida por g(x)=3-x².
¿Cuál es el límite de g cuando x está cerca de 2?
Solución
Se hace una tabla de valores tomando a x un poco menor que 2 y un poco mayor
que 2.
Así:
x 1 1,5 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5
f(x) 2 -0,75 -0,9601 -0,966 -1,004 -1,040 -1,41 -3,25
Se observa que cuando x está cerca de 2, la función g(x) está cerca de -1. Es
decir
"El límite de la función g(x)=3-x² cuando x tiende a 2 es igual a -1".
En símbolos se escribe:
lim g(x)=lim(3-x²)=-1
x->2 x->2
En la gráfica de g también se observa este hecho.

3. 3 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
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y 3
2
1
0
-2 -1 0 1 2
x
-1
1
c) Calcular el límite de f ( x) = cuando x tiende a -1.
x +1
Se observa que cuando x tiende a -1 por la izquierda, el valor de la función es muy
grande negativo y cuando x tiende a -1 por la derecha, valor de la función es muy
grande positivo.
En consecuencia, la función no tiende a tomar un valor bien definido cuando x
tiende a -1, y el límite no existe.
En la gráfica de g también se observa este hecho

4. 4 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
y
10
0
-2 -1 0 1 2
x
-10
-20
En los ejemplos anteriores se ha presentado la noción de una función que tiende
hacia un límite. Así en general:
Una función f tiende hacia el límite l cerca de a, si se puede hacer que f(x)
esté tan cerca como se quiera de la haciendo que x esté suficientemente
cerca de a, sin importar si f está o no definida en a
y
f(x) l
x
a
x

5. 5 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.2.2 Resolución
Para la resolución de límites, consideraremos las siguientes indeterminaciones:
0
a) Indeterminación ( )
0
∞
b) Indeterminación ( )
∞
c) Límites con radicales
Procedimiento:
1) Evaluamos el límite
0
2) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la
0
resolveremos factorando.
∞
3) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la
∞
resolveremos dividiendo cada término para la potencia de mayor grado, debiendo
cons tan te
recordar que = 0.
∞
4) Para límites con radicales tenemos que resolverlos sea aplicando la conjugada
o el producto notable que permita eliminar las raíces, o factorando.
En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite.
0
2.1.2.2.1 Indeterminación ( )
0
Recordemos el procedimiento para resolver este tipo de indeterminación:
1) Evaluamos el límite
0
2) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la
0
resolveremos factorando.
3) En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite.
2.1.2.2.1.1 Ejemplos.

6. 6 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
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a) Hallar el límite de:
lim 4x²-9x-5
x->1
1) evaluamos el límite
lim (4x²-9x-5) = 4(1)²-9(1)-5=4(1)-9-5=4-9-5=-10
x->1
2) En vista de que al evaluar el límite no se obtuvo ninguna indeterminación, el
valor del límite es -10
lim 4x²-9x-5= -10
x->1
b) Hallar el límite de:
u2 − 4
lim
u−2
u->2
1) evaluamos el límite
u 2 − 4 (2) 2 − 4 4 − 4 0
lim = = =
u−2 2−2 0 0
u->2
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando
0
(u + 2)(u − 2)
lim , (factorando la diferencia de cuadrados en el numerador).
u−2
u->2
lim u + 2 , simplificando
u->2
lim u+2=2+2=4, evaluando el límite
u->2
u2 − 4
lim =4
u−2
u->2

7. 7 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
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c) Hallar el límite de:
2x − 6
lim
x−3
x->3
1) evaluamos el límite
2 x − 6 2(3) − 6 6 − 6 0
lim = = =
x−3 3−3 0 0
x->3
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando
0
2( x − 3)
lim (factorando el factor común en el numerador).
x−3
x->3
lim 2 , simplificando
x->3
lim 2=2, evaluando el límite
x->3
2x − 6
lim =2
x−3
x->3
d) Hallar el límite de:
x 2 − 6x + 9
lim
x−3
x->3
1) evaluamos el límite
x 2 − 6 x + 9 (3) 2 − 6(3) + 9 9 − 18 + 9 18 − 18 0
lim = = = =
x−3 3−3 0 0 0
x->3
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando
0

8. 8 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
( x − 3) 2
lim (factorando el trinomio cuadrado perfecto en el numerador).
x−3
x->3
lim x − 3 , simplificando
x->3
lim x − 3 = 3 – 3 = 0, evaluando el límite
x->3
x 2 − 6x + 9
lim =0
x−3
x->3
e) Hallar el límite de:
( x + h) 3 − x 3
lim
h
h->0
1) evaluamos el límite
( x + h) 3 − x 3 ( x + 0) 3 − x 3 x 3 − x 3 0
lim = = =
h h 0 0
h->0
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando
0
[( x + h) − x][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )
lim ,(factorando la diferencia de cubos).
h
h->0
[ x + h − x][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]
lim
h
h->0
[h][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]
lim , simplificando
h
h->0
[h][( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]
lim , simplificando
h

9. 9 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
h->0
evaluando el límite
[( x + h) 2 + ( x + h) x + x 2 )]
lim = ( x + 0) 2 + ( x + 0) x + x 2 = x 2 + x 2 + x 2 = 3 x 2
h->0´
( x + h) 3 − x 3
lim =3x2
h
h->0
2.1.2.2.1.2 Ejercicios propuestos
1
1. lim 3x − 6 , Sol. ∞
x->2
h3 − 8
2. lim h − 4 , Sol. 3
2
h->2
x2 −1
3. lim x + 1 , Sol. − 2
x->-1
5x 2 − 2 x + 1 40
4. lim 6x − 7 , Sol. 11
x->3

10. 10 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
∞
2.1.2.2.2 Indeterminación ( )
∞
Recordemos el procedimiento para resolver este tipo de indeterminación:
1) Evaluamos el límite
∞
2) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la
∞
resolveremos dividiendo cada término para la potencia de mayor grado, debiendo
cons tan te
recordar que = 0.
∞
3) En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite.
La idea de evaluar infinito la debemos asociar con un número
sumamente grande
Por ejemplo si sumamos ∞ a 1 predomina ∞.
Es como tener 1’000000 +1 predomina 1’000000

11. 11 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.2.2.2.1 Ejemplos
a) Hallar el límite de:
3x + 9
lim
4x − 7
x-> ∞
1) evaluamos el límite
3(∞) + 9 ∞ + 9 ∞
lim = =
4(∞) − 7 ∞ − 7 ∞
x-> ∞
∞
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la
∞
potencia de mayor grado.
3x 9
+
lim x x (la potencia de mayor grado es 1).
4x 7
−
x x
x-> ∞
9
3+
lim x , simplificando
7
4−
x
x-> ∞
9
3+
lim ∞ , (evaluamos el límite)
7
4−
∞
x-> ∞
3+0 cons tan te
lim ,( debemos recordar que = 0 .)
4−0 ∞
x-> ∞
3+0
lim
4−0
x-> ∞
3x + 9 3
lim =
4x − 7 4
x-> ∞

12. 12 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
b) Hallar el límite de:
x−3
lim
x2 + 9
x-> ∞
1) evaluamos el límite
∞−3 ∞ ∞
lim = =
(∞ ) + 9 ∞ + 9 ∞
2
x-> ∞
∞
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la
∞
potencia de mayor grado.
x 3
2
− 2
lim x x (la potencia de mayor grado es 2).
2
x 9
2
+ 2
x x
x-> ∞
1 3
− 2
lim x x , simplificando
9
1+ 2
x
x-> ∞
1 3
− 2
lim ∞ ∞ , (evaluando el límite)
9
1+ 2
∞
x-> ∞
0−0 cons tan te
lim , (debemos recordar que = 0 .)
1+ 0 ∞
x-> ∞

13. 13 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
0
lim
1
x-> ∞
x−3
lim =0
x2 + 9
x-> ∞
c) Hallar el límite de:
x2
lim
2x + 1
x-> ∞
1) evaluamos el límite
(∞ ) 2 ∞ ∞
lim = =
2(∞) + 1 ∞ + 1 ∞
x-> ∞
∞
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la
∞
potencia de mayor grado.
x2
lim x2 (la potencia de mayor grado es 2).
2x 1
+
x2 x2
x-> ∞
1
lim , simplificando
2 1
+
x x2
x-> ∞
1
lim , (evaluando el límite)
2 1
+ 2
∞ ∞
x-> ∞
1 cons tan te
lim ,(debemos recordar que = 0 .)
0+0 ∞

14. 14 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
x-> ∞
1
lim
0
x-> ∞
x2
lim =∞
2x + 1
x-> ∞
d) Hallar el límite de:
x 3 − 100 x 2
lim
x +1
x-> ∞
1) evaluamos el límite
(∞) 3 − 100(∞) 2 ∞ − 100∞ ∞
lim = =
(∞ ) + 1 ∞ ∞
x-> ∞
∞
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la
∞
potencia de mayor grado.

15. 15 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
x 3 100 x 2
−
lim x3 x 3 (la potencia de mayor grado es 3).
x 1
3
+ 3
x x
x-> ∞
100
1−
lim x , simplificando
1 1
2
+ 3
x x
x-> ∞
100
1−
lim ∞ , (evaluando el límite)
1 1
+ 3
∞ 2
∞
x-> ∞
1− 0 cons tan te
lim ,(debemos recordar que = 0 .)
0+0 ∞
x-> ∞
1
lim
0
x-> ∞
x 3 − 100 x 2
lim =∞
x +1
x-> ∞

16. 16 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.2.2.2.2 Ejercicios propuestos
x2 + x +1
1. lim , Sol. 1
x 2 − 6x + 8
x-> ∞
x 2 + 100
2. lim , Sol. ∞
x
x-> ∞
u 2 + 100u + 17
3. lim , Sol. 0
u3 − 2
u-> ∞
4t 2 − t + 1
4. lim , Sol. 0
t3 +1
t-> ∞
2.1.2.2.3 Limites con radicales
Recordemos el procedimiento para resolver este tipo de límites:
1) Evaluamos el límite
∞
2) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la
∞
resolveremos dividiendo cada término para la potencia de mayor grado, debiendo
cons tan te
recordar que = 0.
∞
0
3) Si obtenemos ( ), entonces tendremos una indeterminación, la cuál la
0
resolveremos sea aplicando la conjugada o el producto notable que permita
eliminar las raíces, o factorando.
En caso contrario el valor obtenido es el valor del límite.

17. 17 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
2.1.2.2.3.1 Ejemplos
a) Hallar el límite de:
x2 +1
lim
4x + 3
x-> ∞
1) evaluamos el límite
∞2 +1 ∞ ∞
lim = =
4∞ + 3 ∞ + 3 ∞
x-> ∞
∞
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación dividiendo para la
∞
potencia de mayor grado.
x2 1
2
+ 2
x x
lim (la potencia de mayor grado es 1).
4x 3
+
x x
x-> ∞
1
1+
x2
lim , simplificando
3
4+
x
x-> ∞
1
1+
lim ∞ 2 , (evaluamos el límite)
3
4+
∞
x-> ∞
1+ 0 cons tan te
lim ,( debemos recordar que = 0 .)
4+0 ∞
x-> ∞

18. 18 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
1
lim
4
x-> ∞
x2 +1 1
lim =
4x + 3 4
x-> ∞
b) Hallar el límite de:
4 − x2
lim
3 − x2 + 5
x->2
1) evaluamos el límite
4 − x2 4 − (2) 2 4−4 0 0 0 0
lim = = = = = =
3− x +5 2
3 − (2) + 5
2
3− 4+5 3− 4+5 3− 9 3−3 0
x->2
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación multiplicando y
0
dividiendo por la conjugada.
4 − x2 3 + x2 + 5
lim * (resolvemos la diferencia de cuadrados).
3 − x2 + 5 3 + x2 + 5
x->2
(4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 )
lim , simplificando
9 − ( x 2 + 5)
x->2
(4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 )
lim , simplificando
9 − x2 − 5
x->2

19. 19 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
(4 − x 2 )(3 + x 2 + 5 )
lim , simplificando
4 − x2
x->2
lim (3 + x 2 + 5 ) , simplificando
x->2
lim 3 + 2 2 + 5 = 3 + 9 = 3 + 3 = 6 , (evaluando el límite)
x->2
4 − x2
lim =6
3 − x2 + 5
x->2
c) Hallar el límite de:
x−2
lim
x2 − 4
x->2
1) evaluamos el límite
x−2 2−2 0 0 0
lim = = = =
x2 − 4 22 − 4 4−4 0 0
x->2
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando.
0
x−2 ( x − 2)
lim * (resolvemos la diferencia de cuadrados).
( x + 2)( x − 2) ( x − 2)
x->2
( x − 2)( ( x − 2) )
lim , simplificando
( x + 2) ( ( x − 2) ) 2
x->2

20. 20 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
( x − 2)( ( x − 2) )
lim , simplificando
( x + 2) ( x − 2)
x->2
( x − 2)
lim , simplificando
( x + 2)
x->2
2−2 0 0
lim = = = 0 , (evaluando el límite)
2+2 4 2
x->2
x−2
lim =0
x2 − 4
x->2
d) Hallar el límite de:
x−2
lim
x −4
2
x->2
1) evaluamos el límite
x−2 2−2 0 0
lim = 2 = =
x −4 2 −4 4−4 0
2
x->2
0
2) Como el resultado es , levantamos la indeterminación factorando.
0
x−2 ( x − 2)
lim * (resolvemos la diferencia de cuadrados).
( x + 2)( x − 2) ( x − 2)
x->2
( ( x − 2) ) 2
lim , simplificando
( x + 2)( x − 2) ( x − 2)
x->2

21. 21 FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA
INSTITUTO SUPERIOR DE POSGRADO
x−2
lim , simplificando
( x + 2)( x − 2) ( x − 2)
x->2
1
lim , simplificando
( x + 2) ( x − 2)
x->2
1 1 1 1
lim = = = = ∞ , (evaluando el límite)
( 2 + 2) 2 − 2 ( 4) 0 (4)(0) 0
x->2
x−2
lim =∞
x2 − 4
x->2
2.1.2.2.3.2 Ejercicios propuestos
x −1
1. lim , Sol. 2
x +3−2
2
x->1
x 2 − 81
2. lim , Sol. -108
3− x
x->9
1
3. lim x 2 + x − x , Sol.
2
x-> ∞
x4 + 3
4. lim , Sol. 0
x3 + x + 1
x -> ∞