1. UNIDAD 6: CONOZCAMOS Y UTILICEMOS EL
ÁLGEBRA.
6.1 Álgebra.
Es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras
abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser
interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo
originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética.2 3
En el álgebra
moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones
de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.).
La historia del álgebra comenzó en el antiguo Egipto y Babilonia, donde fueron capaces
de resolver ecuaciones lineales y cuadráticas, así como ecuaciones indeterminadas como
con varias incógnitas. Esta antigua sabiduría sobre resolución de ecuaciones encontró, a
su vez, acogida en el mundo islámico, en donde se la llamó "ciencia de reducción
y equilibrio". (La palabra árabe al-yabr que significa "reducción", es el origen de la
palabra álgebra). A los árabes se debe el desarrollo del Álgebra (siglo IX). Al-Juarismi,
el más grande matemático musulmán, escribió uno de los primeros libros árabes de
álgebra "Kitab al-muhtasar fi hisad al-gabr wa-al-muqabala", de donde deriva el nombre
de esta ciencia. Al-gabr significa ecuación o restauración; al-muqabala son los términos
que hay que agregar o quitar para que la igualdad no se altere. Por esto, en rigor, el
Álgebra no es más que una teoría de las ecuaciones
6.2 NOMENCLATURA ALGEBRAICA.
Expresión Algebraica.- Es la representación de un símbolo algebraico o de una o más
operaciones algebraicas, así por ejemplo: a, 2x, a(b+c), 2x+y, x2-5x
Término.- Es una expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios
símbolos no separados entre sí por el sigigno + o -, así por ejemplo:3a2, xy, -2abc2, -
xyz
Elementos de un término.-Son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el
grado, así por ejemplo:
En el caso de 3a2 el signo es positivo (cuando un término no va precedido de ningún
signo es positivo), el coeficiente es 3, la parte literal es a2 y el grado es 2 (segundo
grado).
En el caso de -ab2c3 el signo es negativo, el coeficiente es 1 (cuando un término no va
precedido de ningún coeficiente, el coeficiente es la unidad), la parte literal es ab2c3 y
2. el grado de primer grado con relación a la letra a porque el exponente de este factor es
l, de segundo grado con relación a la letra b, y de tercer grado con relación a la letra c.
6.3 SIGNOS ALGEBRAICOS.
Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las
aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división,
potenciación, radicación, logaritmación, etc.
SIGNOS DE OPERACIÓN
En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá
“equis más ye”.
En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis
menos ye”.
En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó ( ). Así,
por ejemplo x xy = x y se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele
omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y
números.
Por ejemplo x x y x z = x y z = xyz
En la división se utiliza el signo dividido entre (:)( ) ó (/). Así,
por ejemplo x:y = x/y = x y y se leerá “equis dividido entre ye”.
En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que
se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por
ejemplo x4
=x x x x … (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de
que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.
En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se
coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por , se leerá “raíz
cuadrada de equis”; “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.
SIGNOS DE RELACIÓN
Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.
El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.
El signo se lee diferente de. x y se leerá “equis diferente de
ye”.
El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que
ye”.
El signo < se lee menor que. x<y se leerá “equis menor que
ye”.
El signo se lee mayor que o igual.
El signo se lee menor que o igual.
3. SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las
llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior
debe efectuarse en primer lugar.
6.4 EXPRESIONES ALGEBRAICAS.
Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales
relacionadas entre sí por los signos de las operaciones aritméticas como sumas,
diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces.
Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:
o
Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axn
, en
donde a es un numero real y n es un entero no negativo. Un binomio es la suma de dos
monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que
no se pueden simplificar.
monomio binomio trinomio
Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un
trinomio tres términos.
6.5 GRADO DE UN MONOMIO: ABSOLUTO Y RELATIVO.
GRADO DE UN MONOMIO
Grado relativo de un Monomio (G.R.)
El grado relativo de un monomio es el exponente que tiene cada letra.
Ejemplo: hallar el G.R. de: 4a3
b2
Solución:
GR(a) = 3 (el Grado Relativo con respecto a la letra a es 3)
GR(b) = 2 (el Grado Relativo con respecto a la letra b es 2)
Grado absoluto de un Monomio (G.A.)
4. El grado absoluto de un monomio es la suma de los exponentes de todas y cada una de
las letras.
Ejemplo: hallar el G.A. de: 4a3
b2
Solución:
GA = 3 +2 = 5 (el Grado Absoluto es 5)
Ejemplo: hallar el G.A. de: x5
y3
z
Solución:
GA = 5 +3 +1 = 9 (el Grado Absoluto es 9)
Grado de polinomio.
Grado relativo de un Polinomio (G.R.). Este grado es el término que tiene mayor exponente
de de todo el polinomio.
Grado absoluto de un Polinomio (G.A.). El grado Absoluto de un polinomio es la mayor suma
de sus exponentes.
Ejemplo: hallar el G.R. y G.A. de: 4a3
b2
+5a5
b1
Solución:
Para el Grado Relativo:
GR(a) = 5 (Grado Relativo con respecto a la letra a es 5, porque 5 es mayor que 3)
GR(b) = 2 (Grado Relativo con respecto a la letra b es 2, porque 2 es mayor que1)
Para el Grado Absoluto:
Primer termino= 3+2 sumados dan 5.
Segundo termino= 5+1 sumados dan 6.
GA = 6 (el Grado Absoluto es 6, porque 6 es mayor que 5)
6.6 TÉRMINOS SEMEJANTES Y REDUCCIÓN.
En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos
que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales
letras (símbolos literales) e iguales exponentes.
Por ejemplo:
6 a2
b3
es término semejante con – 2 a2
b3
porque ambos tienen el mismo factor literal
(a2
b3
)
1/3 x5
yz es término semejante con x5
yz porque ambos tienen el mismo factor literal
(x5
yz)
0,3 a2
c no es término semejante con 4 ac2
porque los exponentes no son iguales, están al
revés.
Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en
una expresión algebraica, que tengan el mismo factor literal.
Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y
se conserva el factor literal.
Recordando cómo se suman los números enteros:
5. Las reglas de suma se aplican únicamente a dos casos: números de igual
signo y números con signo distinto.
Las reglas a memorizar son las siguientes:
a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y
conservar el signo.
Ej : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo)
12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)
Ej : – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo tanto, los
números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5
b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar
y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto
5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor
absoluto)
– 14 + 34 = 20
Recordando cómo se resta:
Para restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo porque de
esta manera la resta se transforma en suma y se aplican las reglas mencionadas
anteriormente.
Son dos los cambios de signo que deben hacerse:
a) Cambiar el signo de la resta en suma
b) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo de operación por
su signo contrario
Ej: – 3 – 10 = – 3 + – 10 = – 13 ( signos iguales se suma y conserva el
signo)
19 – 16 = 19 + – 16 = 19 – 16 = 3
Ejemplo 1:
xy3
– 3 x2
y + 5 xy3
– 12 x2
y + 6 Hay dos tipos de factores literales: xy3
y x2
y
Hay también una constante numérica: 6
Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy3
con 5xy3
y –3
x2
y con –12 x2
y.
Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un
número significa que es 1 (x3
y = 1 xy3
).
xy3
– 3 x2
y + 5 xy3
– 12 x2
y + 6 = 6 xy3
+ – 15 x2
y + 6
1 + 5 = 6
– 3 – 12 = – 15
6. 6.7 VALOR NUMERICO: MONOMIO.
El "valor numérico" de un monomio es el número que se obtiene al sustituir las letras
por números y realizar las operaciones indicadas en la expresión.
