vectores en el plano y en espacio

1. VECTORES EN EL PLANO.
Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto P hasta un punto Q.
 La dirección del vector es la recta que pasa por los puntos P y Q.
 El sentido del vector es de P hacia Q, está indicado por la flecha.
 El módulo del vector es la longitud del segmento PQ:
En algunos casos es conveniente denotar al vector con una sola letra, en ese caso,
usaremos letras minúsculas:

2. CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR
Coordenadas cartesianas.
Un vector se puede definir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy, se
representa:
Siendo sus coordenadas:
Siendo el vector la suma vectorial de sus coordenadas:
Coordenadas tridimensionales.
Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x, y, z, se puede
representar:
Siendo sus coordenadas:

3. MAGNITUDES VECTORIALES.
Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la masa, la presión, el volumen,
la energía, la temperatura, etc.; que quedan completamente definidas por un número y
las unidades utilizadas en su medida, aparecen otras, tales como el desplazamiento,
la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan
completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una
dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en contraposición a las
primeras llamadas escalares.
Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el
nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector
se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los
siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su
dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes
vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas
polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de
coordenadas.
Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma
similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la
dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.
CLASIFICACIÓN DE VECTORES.
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos
vectores, pueden distinguirse distintos tipos de los mismos:
 Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
 Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de
acción.
 Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.

4.  Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
 Vectores concurrentes o angulares: son aquellas cuyas direcciones o líneas de
acción pasan por un mismo punto. También se les suele llamar angulares por que
forman un ángulo entre ellas.
 Vectores opuestos: vectores de igual magnitud y dirección, pero sentidos
contrarios.
 Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
 Vectores paralelos: si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas
de acción son paralelas.
 Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas
en un mismo plano).
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
Dado un número 0  k y un vector

u definimos el vector
 

k u [o simplemente





u k ] como aquel que:
*tiene la misma dirección que

u .
*el mismo sentido que

u si 0  k y
sentido contrario al de

u si 0  k
*su módulo es igual al de

u multiplicado por el valor
absoluto de: k .
Si 1  k el vector

u k se denomina opuesto del vector

u , se escribe:

 u
Si 0  k el vector

u k es el vector cero:

0 cuyo extremo y orígen coinciden.
SUMA Y RESTA DE VECTORES.
Dados dos vectores

u
y

v
cualesquiera.
Para poder sumarlos hay que tomar un representante de
cada uno de ellos con orígen común(O).
En ese caso el vector suma:
 
u v es la diagonal cuyo orígen
es (O).

5. El vector resta:
 
u v es la diagonal que va del extremo de

v al extremo de

u .
EXPRESIÓN ANALÍTICA DE UN VECTOR.
Dados los vectores del espacio:
    
wt z y x ,......, , , , y los
números: l dc ba,..., , , , la expresión:
    
a x b y c z d t ...... l w se
llama combinación lineal de dichos vectores.
En el ejemplo, a la izquierda, tenemos una combinación
lineal de los vectores

u y

v .
Decimos que varios vectores son linealmente dependientes si alguno de ellos se puede
poner como combinación lineal de los restantes.
Cuando no es así, se dice que son linealmente independientes.
Por ejemplo:
*Dos vectores alineados son linealmente dependientes (LD).
*Dos vectores no alineados son linealmente independientes (LI).
*Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son (LD).
Así en el ejemplo de más arriba el vector

x es coplanario con los vectores

u y

v ,
es decir,

x es combinación lineal de

u y

v :
  
x  2u1v .
Por el contrario tres vectores no coplanarios son (LI).
Dados tres vectores no coplanarios
  
x, y, z del espacio tridimensional.
En estas condiciones, cualquier otro vector

u de ese espacio se puede escribir como
combinación lineal única de los vectores
  
x, y, z .
Se dice que los vectores
  
x, y, z forman una base del espacio tridimensional.
Si los vectores de la base son perpendiculares entre sí la base se dice ortogonal y si
además de perpendiculares entre sí, tienen todos módulos uno decimos que la base es
ortonormal.
A partir de ahora, salvo indicación en contra, trabajaremos siempre con la base canónica
del espacio tridimensional (que es ortonormal).
Se definen las coordenadas de un vector respecto a esa base como:

6. tres números (a,b,c) que sirven para pasar desde el punto P(origen) al punto Q(extremo)
del vector dado.
 “a” las unidades que me he de desplazar sobre la dirección X
(hacia adelante si a es positivo y hacia atrás si
a es negativo).
 “b” las unidades que me he de desplazar sobre
la dirección Y
(hacia la derecha si b es positivo y hacia la
izquierda si b es negativo).
 “c” las unidades que me he de desplazar sobre
la dirección Z
(hacia arriba si c es positivo y hacia abajo si c es
negativo).
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES.
Se define el producto escalar de dos vectores

u y

v como el número que se obtiene
del siguiente modo.



    
 
u .v u v cos u, v



 Si



  


v u ,
es agudo,

  
u v
0 , cos  



 
u v
y por tanto: .  0
 Si



  


v u ,
es obtuso,

  
u v
0 , cos  



 
v u
y por tanto: 0 . 
SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO.
Vamos a construir, a partir de los vectores, un sistema de referencia que nos va a
permitir expresar los puntos del espacio ordinario y posteriormente las distintas figuras
espaciales.
Un sistema de referencia ( R ) en el espacio consiste en un conjunto de tres vectores
(que forman una base) y un punto (origen común de los vectores).
 Al punto fijo se le nombra con la letra O y se llama Origen.
 A los vectores de la base:   
  

  
B i , j, k
(en adelante, supondremos que la base
utilizada es siempre ortonormal).
  
  


 

  
R O, i , j, k
A cada punto P del espacio ordinario, le corresponde un vector de orígen O y extremo

7. P


 
OP

 
  
  
B 
i , j, k
que tiene unas coordenadas, a,b, c, en la base 
del sistema de
referencia dado.
Se dice que a,b, c son las coordenadas del punto P en la referencia R .
Recíprocamente a cada terna de coordenadas le corresponde un único punto.
Ejemplo.-
Representa los siguientes puntos del espacio ordinario:
  3, 2, 5 P Q3,2,5   0, 4, 1 R   4, 0, 0 S   3, 6, 0 T