2. SITUAÇÃO-PROBLEMA:
Considere o retângulo da figura:
Se seu perímetro é 4 u.c. e sua área é 2 u.a.. Quais as
dimensões desse retângulo?
3. RESOLUÇÃO:
Chamemos de x a medida do comprimento, y a
medida da largura, P o perímetro e de S a área desse
retângulo. Temos então:
Substituindo o valor de y na segunda equação,
temos:
4224 yxP 2 yx
2.2 yxS
xy 2
2).2( xx 022² xx2²2 xx
4. Calculando o valor do discriminante
Calculando x, temos:
Opa! Qual é a raiz quadrada de – 4?
acb 4²
a
b
x
.2
)2).(1.(4)²2(
484
)1.(2
42
x
5. Como sabemos, não existe, nenhum número real
cujo quadrado é – 4. Surge então o seguinte
questionamento:
Existe um retângulo cujas dimensões
satisfazem à situação descrita?
6. UNIDADE IMAGINÁRIA
É um número representado pelo símbolo i, tal que:
Com esse novo conceito de número, podemos
considerar, por exemplo, raízes de índice par, de
números negativos.
Ex.:
1² i 1i
4 )1.(4 ²4i i2
7. Assim, podemos retomar a resolução de nossa
situação-problema:
Logo as dimensões do retângulo são:
e
)1.(2
42
x
2
22
i
x ix 1
ix 1 ix 1
8. A partir de situações como esta, é que surgiu a
necessidade da evolução dos números, pois como
vimos, os números reais, não eram suficientes para
resolvermos tal situação. Surgiu então o conjunto
dos números complexos, que contém os números
reais e os números imaginários. Veja o esquema:
9. Sendo
Em que:
N: conjunto dos números Naturais
Z: conjunto dos números Inteiros
Q: conjunto dos números Racionais
I: conjunto dos números Irracionais
R: conjunto dos números Reais
C: conjunto dos números Complexos
IQR
10. FORMA ALGÉBRICA
Todo número complexo pode ser escrito na forma
Em que:
- é denominado parte real de z
- é denominado parte imaginária de z
Ex.:
biaz
)Re(za
)Im(zb
a
b
iz 321 3e2 ba
iz
2
3
2
1
2 2
3
e
2
1
ba
11. OPERAÇÕES
Sejam dois números complexos
e, consideremos as operações de igualdade, adição,
subtração, multiplicação e divisão, assim temos:
Igualdade:
Adição:
Subtração:
Multiplicação:
diczbiaz 21 e
21 zz dbca e
21 zz idbca )()(
21 zz idbca )()(
21 . zz ibcadbdac )()(
12. Seja um número complexo, definimos
como complexo conjugado de z e indicamos por
ao número , que obtemos trocando
o sinal da parte imaginária do complexo.
Divisão:
biaz
biaz
22
21
2
1
.
.
zz
zz
z
z
z
13. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Seja um complexo, o módulo de z, é o
número (vetor), que indicamos por , dado
pela expressão
biaz
z
²² baz