Anàlisi 1

Anàlisi (I) Repàs de funcions Segon de batxillerat
Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner

1 Definicions prèvies
1.1 Funcions. Imatges i antiimatges

S'anomena funció real de variable real (o simplement funció) una correspondència que a cada
nombre real x li assigna com a màxim un altre nombre real y .

Es representa de qualsevol de les formes següents:

f:
f :x→ y ; y = f (x) ;
x f ( x)

El nombre y s'anomena imatge de x .El nombre x es diu antiimatge de y i es representa:
−1
f ( y ) . Un nombre x no pot tenir més d'una imatge, però un nombre y sí que pot tenir més
d'una antiimatge.
La lletra x s'anomena variable independent i la lletra y , variable dependent.
3x
Exemple: La funció que a cada nombre real li assigna la meitat del seu triple és: f ( x) = . La
2
3 ·12 −1
imatge de x = 12 és f (12) = = 18 . L'antiimatge de y = 15 és f (15) = 10 (perquè
2
f (10) = 15 )
Per a calcular les antiimatges de b cal resoldre l’equació f ( x) = b

1.2 Domini i recorregut

S'anomena domini (o camp d’existència) de la funció f el conjunt de nombres que tenen
imatge, és a dir el conjunt d'antiimatges. Es representa: Dom f (o també: D f )
Dom f = { x ∈ f ( x) ∈ }
S'anomena recorregut ( o conjunt imatge) de la funció f el conjunt de nombres que tenen
alguna antiimatge, és a dir el conjunt d'imatges. Es representa: Rec f (o també: Im f )

Observació: El domini forma part de la definició d'una funció. Si no s'especifica s'entendrà que és
el conjunt màxim de nombres que admeten imatge. A vegades ve determinat pel significat de la
variable x ; per exemple, si f ( x) = x 2 representa l’àrea d’un quadrat en funció del costat x , el
domini de f és ( 0, + ∞ )
Exemples:
3x − 1
1) Si f ( x) =
x − 4x + 3
2
el domini de f ( x) és: Dom f = x ∈ {
x2 − 4 x + 3 ≠ 0 = } − {1,3}

2) Si f ( x) = 3 x − 12 el domini de f(x) és: Dom f = { x ∈ 3 x − 12 ≥ 0 } = [4, + ∞)

1.3 Gràfica

S'anomena gràfica (o gràfic) de la funció f respecte d'un sistema d'eixos de coordenades
perpendiculars el conjunt de punts ( x , y ) del pla tals que y = f ( x) . Es representa: Graf ( f ) .

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch________________ 2
Graf ( f ) = { ( x, y ) ∈ 2
y = f ( x) }
Noteu que el domini de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'abscisses, i el
recorregut de f és la projecció ortogonal de la gràfica sobre l'eix d'ordenades.

f(x)
(x , f(x))

Rec f

x

Dom f

1.4 Diferents tipus de funcions

Funció injectiva: Una funció f és injectiva si no hi ha dos nombres diferents x1 i x 2
de Dom f que tinguin la mateixa imatge; és a dir si f ( x1 ) = f ( x 2 ) ⇒ x1 = x 2
Qualsevol recta paral·lela a l'eix d'abscisses tallarà la gràfica en un punt com a màxim.

Exemples: 1) La funció f ( x) = x 2 no és injectiva, ja que f (−5) = f (5) = 25 .
2) La funció f ( x) = x 3 sí que és injectiva, ja que si f ( x1 ) = f ( x2 ) , és a dir x1 = x2
3 3

necessàriament serà : x1 = x2

Observació: Per a veure si una funció f és o no injectiva cal plantejar l'equació: f ( x) = k . Si per
a alguns valors de k admet més d'una solució, la funció no és injectiva.

Funció exhaustiva o sobrejectiva: Una funció f és exhaustiva o sobrejectiva si el
seu recorregut coincideix amb el conjunt dels nombres reals . Qualsevol recta paral·lela a l’eix
d’abscisses tallarà la gràfica. en un punt com a mínim.

Exemple: f ( x) = x 3 − x és sobrejectiva però no és injectiva, ja que f (0) = f (1) .

Observació: Per a veure si una funció f és o no sobrejectiva cal plantejar l'equació: f ( x) = k i
comprovar que té solucions per a qualsevol valor de k .

Funció bijectiva: Una funció f és bijectiva si és a la vegada injectiva i sobrejectiva.
Qualsevol recta paral·lela a l’eix d’abscisses tallarà la gràfica en un sol punt.

Exemple: f ( x) = x 5


1.5 Simetries

Una funció f és parella si compleix: f (− x) = f ( x) per a qualsevol x ∈ Dom f . La seva
gràfica és simètrica respecte de l'eix d'ordenades (simetria axial).
Una funció f és imparella si compleix: f (− x) = − f ( x) per a qualsevol x ∈ Dom f . La
seva gràfica és simètrica respecte de l'origen de coordenades (simetria central)

funció funció
parella imparella
f(x) = f(– x) f(x)

–x
x

f(– x) = –f(– x)

–x x

1.6 Periodicitat

Sigui T un nombre real positiu.
Una funció f és periòdica de Funció periòdica
període T si compleix:

f ( x) = f ( x + T ) = f ( x + 2T ) = ...

(dins del domini de f ). És a x x+T x + 2T x + 3T
dir, els valors de f es
repeteixen si x varia “de T en T ”.

2 Funcions elementals

2.1 Funcions polinòmiques: f ( x) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0
El seu domini és . Si el grau és imparell, el recorregut és ; si el grau és parell, el
recoregut és un interval infinit.

2.1.1 Funcions lineals i afins: f ( x) = mx + n

♦ Si n = 0 es diu lineal ; si n ≠ 0 es diu afí.
♦ Tenen per gràfica una recta. El coeficient m s'anomena pendent de la recta i és
igual a la tangent de l'angle α que la recta forma amb l’eix d'abscisses (mesurat en
sentit positiu des de l’eix d’abscisses). Si m = 0 la recta és paral·lela a l'eix
d'abscisses ("horitzontal") i la funció es diu funció constant.


f ( x ) = mx + n f ( x ) = mx + n
(0 , n )
( m > 0) ( m < 0)

α (0 , n ) α

2.1.2 Funcions quadràtiques: f ( x) = ax 2 + bx + c

Tenen per gràfica una paràbola.
♦ Si a > 0 és còncava, amb un mínim en el vèrtex. Si a < 0 és convexa, amb un màxim en
⎛ b 4ac − b 2 ⎞
el vèrtex. Les coordenades del vèrtex són: V = ⎜ − , ⎟
⎝ 2a 4a ⎠
♦ La gràfica talla l’eix d’ordenades en el punt (0, c) i l’eix d’abscisses en el punts: ( x1 , 0)
i ( x2 , 0) , on x1 i x2 són les solucions de l’equació: ax 2 + bx + c = 0 (si en té).
♦ Si el vèrtex és V = ( p , q) , el recorregut és [ q , + ∞ ) , si a > 0 o ( −∞ , q ] , si a < 0 .

a>0 a<0
V
q
x2
x1 p
c
c
p
x1 x2
q
V

2.1.3 Funcions potencials: f ( x) = x n , amb n ∈

Si l'exponent n és imparell, el recorregut és: Rec f = , i si és parell Rec f = [ 0, + ∞)
♦ Totes les seves gràfiques passen pel punt (1, 1) .


n parell n imparell

1
1
1
1
f ( x) = xn
f ( x) = x n

P( x)
2.2 Funcions racionals: f ( x) = , on P( x) i Q( x) són polinomis
Q( x)

El seu domini és el conjunt de nombres reals que no anul·len el denominador:
Dom f = { x ∈ Q( x) ≠ 0}
k
L’exemple més senzill és la funció de proporcionalitat inversa: f ( x) = , k∈
x

♦ El seu domini i el seu recorregut coincideixen k
f ( x) = ( k > 0)
i són iguals a - {0} . És injectiva. x
♦ La gràfica és una hipèrbola equilàtera amb
vèrtexs als punts
V1 = ( )
k, k , (
V2 = − k , − k si k > 0 ) k

o ( )
V1 = − −k , − k , V2 = ( −k , − −k ) k
si k < 0 .

2.3 Funcions irracionals: f ( x) = n P ( x) , on P( x) és un polinomi

Si n és imparell el seu domini és .
Si n és parell el domini és: Dom f = x ∈ { P( x) ≥ 0}

Les més senzilles són les funcions radicals: f ( x) = n x

Si l'índex n és parell : Dom f = Rec f = [ 0, + ∞ )
Si n és imparell : Dom f = Rec f =


n parell n imparell

f ( x) = n
x f ( x) = n
x

⎧ x si x ≥ 0
2.4 Funció valor absolut: x =⎨
⎩ − x si x < 0

♦ El seu domini és i el seu recorregut és l'interval [ 0, + ∞ )

♦ També es pot definir com x = x2

2.5 Funció part entera: f ( x) = E ( x)

♦ Es defineix la part entera de x com el nombre enter més gran entre tots els que són
mès petits o iguals que x (el que està més a prop de x per l’esquerra). Per exemple:

E (4) = 4, E (6,98) = 6, E (−5,1) = −6

♦ El seu domini és i el seu recorregut és el conjunt dels nombres enters.

f ( x) = x f ( x) = E( x)

2.6 Funció exponencial: f ( x) = a x , amb a > 0 i a ≠ 1

♦ La gràfica és una corba còncava que passa pel punt (0, 1)
♦ La funció és creixent si a > 1 i decreixent si a < 1 .
♦ El domini és i el recorregut és l'interval (0, + ∞) . És injectiva però no
sobrejectiva.
♦ La funció exponencial més important és la que té com a base el nombre
irracional e = 2, 718281828... ... f ( x) = e x

f ( x) = a x f ( x) = a x

a>1 0<a<1
(0 , 1) (0 , 1)

2.7 Funció logarítmica: y = log a x , amb a > 0 i a ≠ 1

2.7.1 Si a > 0 i a ≠ 1 es defineix el logaritme en base a del nombre positiu x com
l'exponent a què cal elevar a perquè doni x . És a dir: y = log a x ⇔ a = x
y

El logaritme només està definit per a nombres positius ; el nombre 0 i els negatius no tenen
logaritme.

2.7.2 Propietats dels logaritmes

Si x > 0 i y > 0 es compleix:

1) log a ( x · y ) = log a x + log a y p log a x
4) log a x=
p
⎛x⎞ 5) log a 1 = 0
2) log a ⎜ ⎟ = log a x − log a y
⎜ y⎟
⎝ ⎠ 6) log a a = 1
3) log a x = p · log a x
p
7) log a a p = p

♦ S'anomena funció logarítmica de base a la que a cada nombre positiu x li assigna el seu
logaritme en base a : f ( x) = log a x
♦ El seu domini és: Dom f = (0, + ∞) i el seu recorregut és . La gràfica passa pel punt
(1, 0) . És bijectiva.
♦ Si a > 1 és convexa i creixent. Si 0 < a < 1 és còncava i decreixent.

Anàlisi de 2n de batxillerat: 1. Repàs de funcions Josep M. Lluch_____________8

♦ La funció logarítmica més important és la que té com a base el nombre irracional
e = 2, 718281828... anomenada logaritme neperià (o natural), que es representa: f ( x) = ln x
(o f ( x) = L x )

y = log a x y = log a x
a >1
1

1

0<a <1

2.8 Funcions trigonomètriques

2.8.1 Funció sinus: f ( x) = sin ( x)
f ( x ) = cos x f ( x ) = sin x
♦ És la funció que a cada nombre real x
li fa correspondre el sinus d'un angle
1
de x radiants.
♦ El seu domini és i el seu recorregut −π π
és l'interval [ −1, 1]
♦ És periòdica, de període 2 π

2.8.2 Funció cosinus: f ( x) = cos ( x)

És la funció que a cada nombre real x li fa
correspondre el cosinus d'un angle de x
radiants.

Té els mateixos domini, recorregut i període f ( x ) = tg x
que la funció sinus.
Les gràfiques d’aquestes dues funcions
s’anomenen sinusoide i cosinusoide .

π /2
2.8.3 Funció tangent: f ( x) = tg x
−π / 2
És la funció que a cada nombre real x li fa
correspondre la tangent d'un angle de x
radiants.
El seu recorregut és i el seu domini és:

⎧ π ⎫
Dom f = ⎨ x ∈ x≠ + k ·π , k ∈ ⎬
⎩ 2 ⎭
És sobrejectiva, però no injectiva.


La gràfica talla l’eix d’abscisses en els punts de la forma: ( k π , 0) amb k ∈
És periòdica, de període π

Observació important: La variable x de les funcions trigonomètriques es mesura en radiants.

2.9 Funcions definides per intervals (o “a trossos”)

Exemples:

⎧x
⎪ 2 + 1 si x ≤ −1
⎪
1) f ( x) = ⎨ x 2 si − 1 < x < 1
⎪− x + 2 si x ≥ 1 –1 1
⎪
⎩

⎧ 1
⎪ x si x < 0
⎪
2) f ( x) = ⎨− x 2 + 2 si 0 ≤ x < 2
⎪ 0
⎪ x − 1 si x ≥ 2 1
⎩

3 Transformacions de la gràfica d’una funció

y = f ( x) + k y = f ( x) + k
y = f ( x)
(k > 0) (k < 0)

Funció original Translacions verticals

y = − f ( x) y = f ( x + k)
y = f ( x + k)
(k < 0)
(k > 0)

Reflexió entorn Translacions horitzontals
de l’eix d’abscisses


y = f ( x) y = f (− x)
y= f ( x )

Positivació Simetrització entorn Reflexió entorn de
de l’eix d’ordenades l’eix d’ordenades

y = k · f ( x) y = k · f ( x)
y = f (k x)
(k > 1) (0 < k < 1)
(0 < k < 1)

Dilatació vertical Dilatació horitzontal Contracció vertical

Contracció
horitzontal Inversió

y = f (k x ) 1
y=
k >1 f ( x)

4 Operacions amb funcions
4.1 Operacions algebraiques

Suma i diferència: ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) ( f − g )( x) = f ( x) − g ( x)

Dom ( f ± g ) = Dom f ∩ Dom g

Producte: ( f · g )( x) = f ( x) · g ( x) Dom ( f · g ) = Dom f ∩ Dom g

⎛ f ⎞ f ( x)
Quocient: ⎜ ⎟ ( x) = per a tots els valors de x tals que g ( x) ≠ 0
⎝g⎠ g ( x)

⎛ f ⎞
Dom ⎜ ⎟ = Dom f ∩ Dom g − { x ∈ g(x) = 0}
⎝g⎠


4.2 Composició de funcions

Siguin f i g dues funcions. S'anomena funció composta de f amb g la funció:

( g f )( x) = g ( f ( x)) (es llegeix “ f composta amb g ”)

Dom ( g f ) = {x ∈ Dom f f ( x) ∈ Dom g }

f g

Dom g
Dom f
x f(x) g(f(x))

g f

3x + 1 2x − 6
Exemple: Si f ( x) = i g ( x) = tindrem:
2 5
⎛ 3x + 1 ⎞
2 f ( x) − 6
2⎜ ⎟ − 6 6 x − 10 3x − 5
⎝ 2 ⎠
( g f ) ( x) = g ( f ( x)) = = = =
5 5 10 5

Observació: La composició de funcions no és pas commutativa; en general: g f ≠ f g

5 Funcions recíproques
5.1 Funció recíproca o inversa

Sigui f una funció injectiva. S'anomena
funció recíproca (o inversa) de la funció f
f (x)
la funció representada: f −1 que compleix:
f ( f −1 ( x)) = x i f −1 ( f ( x)) = x . b
f −1 (x)
Si b = f (a) , llavors a = f −1 (b) .

Exemple: Si f ( x) = 3 x + 5 llavors: a
−1 −1
f(f ( x)) = x ⇔ 3 f ( x) + 5 = x ⇔
x−5
f −1 ( x) = a b
3


Propietat important: Les gràfiques de dues funcions recíproques són simètriques
respecte de la bisectriu del primer i tercer quadrants

Propietat: Dom f = Rec f −1
Rec f = Dom f −1

Les parelles següents de funcions són recíproques l'una de l'altra:

x
a) f ( x) = kx f −1 ( x) = ( si k ≠ 0)
k
b) f ( x) = x n f −1 ( x) = n x (n ∈ i imparell)
−1
c) f ( x) = a x f ( x) = log a x
k k
d) f ( x) = f −1 ( x) =
x x

5.2 Recíproques de les funcions trigonomètriques

5.2.1 Funció arc sinus: f ( x) = arcsin x

És la funció que a cada nombre x de l'interval [− 1, 1] li assigna un nombre y de l'interval
⎡ π π⎤
⎢− 2 , 2 ⎥ tal que sin y = x . El seu domini és l'interval [− 1, 1] i el seu recorregut és
⎣ ⎦
⎡ π π⎤
l'interval ⎢− , ⎥ .
⎣ 2 2⎦
⎛1⎞ π π ⎛ 3⎞ π
Exemples: arcsin ⎜ ⎟ = ; arcsin (1) = ; arcsin ⎜ − ⎟
⎜ 2 ⎟ = − 3 ; arcsin (1,25) no
⎝2⎠ 6 2 ⎝ ⎠
existeix.
⎡ π π⎤
Propietats: a) sin(arcsin x) = x b) arcsin ( sin x) = x si x ∈ ⎢− , ⎥
⎣ 2 2⎦

5.2.2 Funció arc cosinus: f ( x) = arccos x

És la funció que a cada nombre real x de l'interval [− 1, 1] li fa corespondre un nombre
real y de l'interval [0, π ] tal que cos y = x . El seu domini és l'interval [− 1, 1] i el seu
recorregut, l'interval [0, π ] .
⎛ 2⎞ π ⎛ 1 ⎞ 2π
Exemples: arccos (−1) = π ; arccos ⎜
⎜ 2 ⎟= 4
⎟ arccos ⎜ − ⎟ = ; arccos (−2) no
⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ 3
existeix.

Propietats: a) cos (arccos x) = x b) arccos (cos x) = x si x ∈ [0, π ]


π/2 π

f(x) = arcsin x f(x) = arccos x

–1 π/2
0 1

–1 0 1
–π/2

5.2.3 Funció arc tangent: f ( x) = arctg x

És la funció que a cada nombre real x li fa correspondre un nombre real y de l'interval
⎛ π π⎞
⎜ − , ⎟ tal que tg y = x .
⎝ 2 2⎠
⎛ π π⎞
El seu domini és i el seu recorregut, l'interval ⎜ − , ⎟.
⎝ 2 2⎠
π
Exemples: arctg (1) = ;
4 = = arctg
f (fx()x ) arctg x x
π f(x) = arctg x π/2
arctg (− 3) = − ; arctg (0) = 0
3
Propietats:

a) tg (arctg x) = x
⎛ π π⎞
b) arctg (tg x) = x si x ∈ ⎜ − , ⎟
⎝ 2 2⎠ –π/2

Anàlisi 1

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Anàlisi 1

Ähnlich wie Anàlisi 1 (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (8)

Anàlisi 1