Problemas esfuerzos en vigas

PROBLEMA Nº 1
• Para la viga que se presenta se pide: a) Realizar el análisis de fuerzas
internas y dibuje los diagramas de fuerza cortante y momento flector,
destacando las ecuaciones V(x) y M(x) de cada tramo y los valores y
ubicación del cortante máximo y del momento flector máximo. b)
Determine el esfuerzo normal máximo por flexión. c) Determine el
esfuerzo cortante máximo. d) La viga está diseñada de madera con un
esfuerzo normal permisible de 12 Mpa y un esfuerzo cortante
permisible de 820 kPa. Verifique si el diseño cumple.
Por: Ing. José Rafael Grimán Morales

PROBLEMA Nº 1
• Se calculan las reacciones:
• W1 = 3000 (N/m)*6 (m) = 18000 N
• W2 = 4500 (N/m)*4,5(m) / 2 =
10125 N
• Fx = 0 => C x= 0
• Mc = 0 => 1,5*10125 + 3*18000 –
4,5*By = 0
• By = 15375 N
• Fy = 0 => Cy + 15375 – 28125 = 0
• Cy = 12750 N

PROBLEMA Nº 1
• Se realizan secciones en cada tramo para determinar las
ecuaciones V(x) y M(x) de cada tramo:

PROBLEMA Nº 1
• Sección 1-1: 0  x1  1,50 m
• Fy = 0 => - V1 - 3000x1 = 0 => V1 = -
3000x1
• M(1-1) = 0 => M1 + 3000x1x1/2 = 0
• M1(x1) = - 1500 x12
• Evaluando en los extremos:
• En x1 = 0: V1 = M1 = 0
• En x1 = 1,5 m: V1B(izq) = - 4500 N
• V1B(der) = - 4500 + 15375 = 10875 N
• MB = - 3375 Nm

PROBLEMA Nº 1
• Sección 2-2: 0  x2  4,50 m
• w(x2) = (4500 / 4,5)x2 = 1000x2
• Fy = 0 => - V2 - 3000(x2 + 1,50) -
1000x2x2 / 2 + 15375 = 0 =>
• V2 = - 3000x2 - 500 x22 + 10875 (N)
• M(2-2) = 0 => M2 + 30001,50(x2 + 0,75)
+ 3000x2x2/2 + 500 x22x2 / 3 - 15375x2=
0
• M2 + 4500x2 + 3375 + 1500x22 + (500/3)
x23 - 15375x2= 0
• M2(x2) = 10875x2 - 1500x22 - (500/3) x23
- 3375
• En x2 = 0: VB2(der) = 10875 N, M2 = -
3375 Nm (ok)
• En x2 = 4,5 m: V2C = - 12750 N (ok)
• MC = 0 Nm (ok)

PROBLEMA Nº 1
• Dado que en el tramo BC el valor del
cortante cambia de signo, se debe
determinar la ubicación del punto donde el
cortante se hace igual a cero para luego
poder determinar el valor del momento
máximo positivo en el tramo.
• - 3000x2 - 500 x22 + 10875 = 0
• 500 x22 + 3000x2 – 10875 = 0
• Resolviendo la ecuación:
• x2m = 2,5452683m desde B
• Evaluando en: M2(x2) = 10875x2 -
1500x22 - (500/3) x23 – 3375
• M2max= 11839 Nm
• El valor del cortante máximo se presenta en
el apoyo C: Vmax = 12750 N

PROBLEMA Nº 1
• Diagramas de fuerza cortante y momento flector:

PROBLEMA Nº 1
• Cálculo del esfuerzo normal máximo por flexión:
• Se calcula en la sección transversal en la cual el momento flector es
máximo.
• La fórmula de la flexión establece que: m = Mc / I
• Donde: m = esfuerzo normal máximo por flexión
• M = momento flector en la sección considerada. En este caso particular
es igual a Mmax = 11839 Nm
• c = Distancia desde la fibra externa (superior o inferior) que esté más
alejada del eje neutro de la sección transversal.
• I = Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al
eje neutro.
• Como la sección transversal es asimétrica, se debe determinar primero
la ubicación del centroide del área. En base a la teoría de la flexión, en
este caso se considera que el eje neutro pasa por el centroide de la
sección transversal.

PROBLEMA Nº 1
• Rectángulo 1: El vertical:
• A1 = 0,150,30 = 0,045 m^2
• y1 = 0,15 m
• Rectángulo 2: El horizontal
• A2 = 0,100,45 = 0,045 m^2
• y2 = 0,35 m
• 𝑦 =
𝑦𝑖∙𝐴𝑖
𝐴𝑖
=
0,15∙0,045+0,35∙0,045
0,090
• 𝑦 = 0,25 𝑚

PROBLEMA Nº 1
• Se determina el momento de inercia
centroidal del área de la sección
transversal.
• El momento de inercia centroidal de
un rectángulo es igual a: 𝐼𝑐 =
𝑎∙𝑏3
12
• Para determinar el momento de
inercia de la sección compuesta con
respecto al eje neutro, se trazan ejes
paralelos a éste por los centroides de
cada figura individual y se aplica el
teorema de los ejes paralelos:
• 𝐼𝑒𝑛 = 𝐼𝑐𝑖 + 𝑑𝑖
2
∙ 𝐴𝑖

PROBLEMA Nº 1
• Rectángulo 1: El vertical:
• A1 = 0,045 m^2
• d1 = 0,10 m
• Ic1 = 0,150,303/12 = 3,37510-4 m4
• Rectángulo 2: El horizontal
• A2 = 0,045 m^2
• d2 = 0,10 m
• Ic2 = 0,450,103/12 = 3,7510-5 m4
• Momento de inercia respecto al
eje neutro:
• Ien = 3,37510-4 + 0,1020,045 +
3,7510-5 + 0,1020,045 =
• Ien = 1,27510-3 m4

PROBLEMA Nº 1
• Se calcula el esfuerzo normal máximo por flexión en la sección sometida al
momento flector máximo.
• m = Mc / I => m = 11839 (Nm) 0,25 (m) / 1,27510-3 (m4)
• m = 2 321 373 Pa = 2,32 MPa < 12 MPa
• La sección transversal cumple para los esfuerzos normales por flexión, pero está
sobre diseñada. Se recomienda corregir el diseño para lograr que sea más
eficiente en el uso de los materiales.
• Cálculo del esfuerzo cortante máximo en la sección transversal.
• 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑚𝑎𝑥∙𝑄
𝐼∙𝑡
• Donde: Vmax = La fuerza cortante máxima en la viga
• Q = Primer momento de un área sombreada A’, ubicada por arriba o por debajo
del corte horizontal longitudinal imaginario (vertical o arbitrario) que se realiza
a la sección transversal en la región o punto donde se desea evaluar la magnitud
del esfuerzo cortante. En este caso particular se tiene que el esfuerzo cortante
máximo se encuentra cortando a nivel del eje neutro.
• I = Momento de inercia del área de la sección transversal con respecto al eje
neutro.
• t = ancho del corte realizado en el punto o región de interés.

PROBLEMA Nº 1
• Primer momento de A’:
• A’ = 0,15 0,25 = 0,0375 m2
• Qmax= 0,1250,0375 = 4,687510-3 m3
• max = 12750  4,687510-3 / (1,27510-3
0,15) = 312 500 Pa < 820 000 Pa
• La sección transversal cumple para el
esfuerzo cortante máximo, pero está sobre
diseñada. Lo recomendable es por
economía rediseñar la sección para lograr
un uso eficiente de los materiales.

PROBLEMA Nº 2
• Para la viga que se presenta se tiene que: La viga esta diseñada
de madera con un esfuerzo normal permisible de 12 Mpa y un
esfuerzo cortante permisible de 820 kPa. Determine la
magnitud de la carga máxima admisible w que se puede aplicar
sobre la viga.

PROBLEMA Nº 2
• Se calculan las reacciones:
• W1 = w (N/m)*6 (m) = 6 w N
• W2 = 1,5 w (N/m)*4,5(m) / 2 =
3,375 w N
• Fx = 0 => C x= 0
• Mc = 0 => 1,5* 3,375 w + 3*6 w –
4,5*By = 0
• By = 5,125 w N
• Fy = 0 => Cy + 5,125 w – 9,375 w
= 0
• Cy = 4,25 w N

PROBLEMA Nº 2
• Sección 1-1: 0  x1  1,50 m
• Fy = 0 => - V1 - wx1 = 0 => V1 = -w x1
• M(1-1) = 0 => M1 + w x1x1/2 = 0
• M1(x1) = - 0,5 w x12
• En x1 = 0: V1 = M1 = 0
• En x1 = 1,5 m: V1B(izq) = - 1,5 w N
• V1B(der) = - 1,5 w + 5,125 w = 3,625 w N
• MB = - 1,125 w Nm

PROBLEMA Nº 2
• Sección 2-2: 0  x2  4,50 m
• w(x2) = (1,5 w / 4,5)x2 = (w/3)x2
• Fy = 0 => - V2 - w(x2 + 1,50) – w/3x2x2
/ 2 + 5,125 w = 0 =>
• V2 = - wx2 – w/6 x22 + 3,625w (N)
• M(2-2) = 0 => M2 + w1,50(x2 + 0,75) +
wx2x2/2 + w/6 x22x2 / 3 – 5,125 wx2= 0
• M2 + 1,5wx2 + 1,125w + 0,5wx22 +
(w/6/3) x23 – 5,125wx2= 0
• M2(x2) = 3,625wx2 – 0,5wx22 - (w/18) x23
– 1,125w
• En x2 = 0: VB2(der) = 3,625w N, M2 = -
1,125w Nm (ok)
• En x2 = 4,5 m: V2C = - 4,25w N (ok)
• MC = 0 Nm (ok)

PROBLEMA Nº 2
• Dado que en el tramo BC el valor del
cortante cambia de signo, se debe
determinar la ubicación del punto donde el
cortante se hace igual a cero para luego
poder determinar el valor del momento
máximo positivo en el tramo.
• - wx2 – w/6 x22 + 3,625w = 0
• (1/6) x22 + x2 – 3,625 = 0
• Resolviendo la ecuación:
• x2m = 2,5452683m desde B
• Evaluando en: M2(x2) = 3,625wx2 –
0,5wx22 - (w/18) x23 – 1,125w
• M2max= (11839/3000) w Nm
• El valor del cortante máximo se presenta en
el apoyo C: Vmax = 4,25 w N

PROBLEMA Nº 2
• Del problema nº 1 se tiene la
ubicación del eje neutro y el
momento de inercia respecto al eje
neutro:
• Ien = 1,27510-3 m4
• Se calcula el esfuerzo normal máximo
por flexión en la sección sometida al
momento flector máximo en función
de w y se iguala al esfuerzo normal
permisible de la madera
• m = Mc / I => m = (11839/3000)
w (Nm) 0,25 (m) / 1,27510-3 (m4)
• m = 773,791 w1 = 12 000 000 Pa
• w1 max permisible = 15 508,06 N/m

PROBLEMA Nº 2
• Se chequea ahora por cortante
• A’ = 0,15 0,25 = 0,0375 m2
• Qmax= 0,1250,0375 = 4,687510-3 m3
• max = 4,25w  4,687510-3 / (1,27510-3
0,15) = (625/6) w2 = 820 000 Pa
• w2 max permisible = 7872 N/m
• La carga debe ser menor que 7872 N/m
para garantizar la seguridad exigida por
medio de los valores de esfuerzos
permisibles.

PROBLEMA Nº 3
• La sección transversal de una viga de madera se construye
pegando dos piezas de 0,15 m x 0,30 m y de 0,10 m x 0,45 m. Si
en las secciones críticas correspondientes se tiene el momento
flector máximo Mmax = 30 781,4 N.m y el cortante máximo
Vmax = 33 150 N. Determine el esfuerzo cortante máximo en el
pegamento.

PROBLEMA Nº 3
• En este caso se debe realizar el
corte longitudinal imaginario
horizontal cortando a nivel de la
unión entre las dos piezas, para
evaluar el esfuerzo cortante
longitudinal en el pegamento.
• Se tiene que el esfuerzo cortante
en la sección transversal a nivel
del corte longitudinal es igual al
esfuerzo cortante longitudinal que
estamos evaluando en el
pegamento.
• El área sombreada A’ se considera
en el rectángulo horizontal de 0,10
x ,45 m

PROBLEMA Nº 3
• A’ = 0,10 0,45 = 0,045m2
• Q= 0,100,045 = 4,510-3 m3
• pegamento = 33150  4,510-3 /
(1,27510-3 0,15) = 780 000 Pa
• Si por ejemplo se desea un factor de
seguridad de 3 contra la falla por
cortante del pegamento, se debe
utilizar un pegamento que garantice
una resistencia máxima a cortante
igual a: 3 780 kPa = 2 340 kPa

PROBLEMA Nº 4
• La sección transversal de una viga de madera se construye uniendo
piezas de 50 mm de espesor, por medio de dos conjuntos A y B de
clavos de 4,5 mm de diámetro y una carga admisible por cada clavo
de 765 N , clavados a separación uniforme «s» a lo largo de toda la
longitud de la viga . Si en las secciones crítica el cortante máximo
Vmax = 8700 N. Determine la separación máxima admisible entre los
clavos en sentido longitudinal.

PROBLEMA Nº 4
• Por ser una sección simétrica, el
centroide y el eje neutro se ubican a
la mitad de la altura de la sección.
• 𝑦 = 0,25 𝑚
• Rectángulo 1: El completo:
• A1 = 0,400,50 = 0,200 m^2
• Ic1 = 0,400,503/12 = 4,166710-3 m4
• Rectángulo 2: El hueco
• A2 = - 0,300,40 = - 0,120 m^2
• Ic2 = - 0,300,403/12 = - 1,610-3 m4
• Momento de inercia respecto al eje
neutro:
• Ien = 4,166710-3 - 1,610-3 =
• Ien = 2,566710-3 m4

PROBLEMA Nº 4
• Para estudiar el grupo A se debe
hacer un corte longitudinal
imaginario horizontal, porque se
deben cortar de manera
perpendicular los clavos. Por esto
mismo para estudiar el grupo B se
debe hacer un corte longitudinal
arbitrario que corte
perpendicularmente los dos clavos
del grupo B.
• En los problemas de secciones
armadas con clavos o con tornillos ,
para evaluar las fuerzas en los clavos
no se puede trabajar con el concepto
de esfuerzo cortante, sino con el
concepto de flujo de cortante.
• q = VQ / I, que se define como fuerza
cortante longitudinal por unidad de
longitud.

PROBLEMA Nº 4
• Grupo A: El área sombreada A’ está
pintada de azul. A’a = 0,050,40 = 0,02
m2.
• Qa = 0,2250,02 = 4,5 10 -3 m3
• q = 8700 4,5 10 -3/ 2,566710-3
• q = 15253,05 N/m = 2Fva / s
• sa = Fva / q = 2 765 / 15253,05 =
0,1003 m
• Grupo B: El área sombreada A’ está
pintada de naranja. A’b = 0,050,30 =
0,015 m2.
• Qa = 0,2250,015 = 3,375 10 -3 m3
• q = 8700 3,375 10 -3/ 2,566710-3
• q = 11439,79 N/m = 2Fvb / s
• sb = 2Fvb / q = 2 765 / 11439,79 =
0,1337 m

PROBLEMA Nº 5
• Se tiene una viga de 6 m de longitud sometida a una carga distribuida
uniforme w = 12,6 kN/m. Se pide determinar: a) el perfil de acero laminado
de patín ancho W más económico requerido para soportar esta carga, si el
esfuerzo normal permisible del acero es de 165,5 Mpa. b) Para el perfil
seleccionado en la parte a) determine el esfuerzo cortante máximo en la
sección y los flujos de cortante en las puntos a y b.

PROBLEMA Nº 5
• M max = 12600 (6)2 / 8 = 56700 Nm
• V max = 126006 / 2 = 37800 N
• Para el diseño se asume primero que
el diseño está controlado por la
flexión. Se determina el Smim = Mmax
/  perm.
• Smin = 56700 / 165,5106 = 3,4310 -4
m3 = 343 000 mm3.
• Se busca en las tablas de perfiles de
ala ancha W, perfiles con valores de
módulo elástico de la sección igual o
superior a este valor de Smin. De entre
varios se selecciona el que pesa
menos por unidad de longitud.

PROBLEMA Nº 5

PROBLEMA Nº 5
• Se pueden ver en la tabla tres perfiles que
cumplen con la condición dada:
• W200 x 41.7 con Sx = 399000 mm 3
• W250 x 32.7 con Sx = 379000 mm 3
• W310 x 32.7 con Sx = 415000 mm 3
• En este caso el más económico es el que
pesa menos por unidad de longitud. Los
dos últimos pesan lo mismo, pero de la
experiencia práctica se tiene que debido
al ahorro en cantidad de materiales de
construcción, sobre todo para edificios
altos, puede resultar más económico el
perfil de menor altura.
• En este caso seleccionamos el W250x32.7,
porque pesa 32,7 kgf por cada metro de
longitud.

PROBLEMA Nº 5
• b) El W250x32.7: En la tabla se pueden
ver las dimensiones del perfil.
• d = 258 mm, bf = 146 mm, tf = 9,1 mm
y tw = 6,1 mm.
• El momento de inercia centroidal es
igual a: Ixx = 48,9 10 6 mm4.
• El esfuerzo cortante máximo se
presenta a nivel del eje neutro.
• Se puede calcular aplicando la
ecuación: 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑉𝑚𝑎𝑥∙𝑄
𝐼∙𝑡
• Considerando la sección como
formada por rectángulos delgados de
espesores iguales a tf y tw.

PROBLEMA Nº 5
• A’1 = (258/2 – 9,1) 6,1 = 731,39 =
7,313910 -4 m2. y1 = (258/2 – 9,1)/ 2 =
59,95 mm = 0,05995 m.
• A’2 = 146 9,1 = 1328,6 = 1,328610 -3 m2.
y2 = (258/2 – 9,1/ 2) = 124,45 mm =
0,12445 m
• Q = 0,05995 7,313910 -4 + 0,12445
1,328610 -3 = 2,091910 -4 m3.
• 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
37800∙ 2,0919∙10−4
4,89∙10−5∙0,0061
= 26,51 ∙
106
𝑃𝑎
• También se puede obtener el esfuerzo
cortante máximo por medio de la relación
:𝜏𝑚𝑎𝑥 ≈
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝐴𝑎𝑙𝑚𝑎
• Aalma = (258 - 29,1) 6,1 = 1462,78 =
1,4627810 -3 m2.
• 𝜏𝑚𝑎𝑥 ≈
37800
1,46278∙ 10−3 = 25,84 ∙ 106
𝑃𝑎

PROBLEMA Nº 5
• A’ = (146/2 – 6,1 /2) 9,1 = 636,545 =
6,365510 -4 m2. y’ = (258/2 – 9,1/ 2) =
124,45 mm = 0,12445 m
• Qa = 0,12445 6,365510 -4 = 7,92210 -
5 m3.
• 𝑞𝑎 =
37800∙7,922∙10−5
4,89∙10−5 = 61 236 𝑁/𝑚
• Esta es la fuerza cortante horizontal
que actúa longitudinalmente en cada
metro de longitud de la parte de la
aleta de área A’, justo en el corte en a.

PROBLEMA Nº 5
• A’ = 146 9,1 = 1328,6 = 1,328610 -3
m2. y’ = (258/2 – 9,1/ 2) = 124,45 mm
= 0,12445 m
• Q = 0,12445 1,328610 -3 =
1,65344310 -4 m3.
• 𝑞𝑎 =
37800∙7,922∙10−5
4,89∙10−5 =
127 812,12 𝑁/𝑚
• Esta es la fuerza cortante horizontal
que actúa longitudinalmente en cada
metro de longitud de la parte de la
aleta completa de área A’, justo en el
corte en b.

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