Cálculo difrencial versión2

Instituto Tecnológico de Saltillo
Curso Intensivo de Cálculo Diferencial para
docentes del ITS
Instructor:
M.C. Ignacio Dávila Ríos
Colaboración especial:
Lic. Benjamín Arellano
Periodo Agosto - Diciembre 2013

Introducción:
1. Objetivo del Curso.
2. Alcance del Curso.
3. Limitaciones.
Ing. Ignacio Dávila Ríos 2

Test para evaluar sus posibilidades de cometer asesinatos
matemáticos
Solamente conteste con una “V” si considera verdadera la
cuestión o “F” si la considera Falsa.
Cuestiones. V o F
1. Si una ganancia se ha duplicado es que se ha
aumentado un 200% _____
2. El precio de la factura de la electricidad es
directamente proporcional al consumo realizado _____
3. Un terreno de 10𝑚 × 100𝑚 mide 1𝐾𝑚 _____
4. El siglo XX acabó el 31 de diciembre de 1999 _____
5. A 32° de temperatura hace calor _____
6. El número mayor usando sólo dos nueves es 99 _____
7. El premio mayor con el número 12,345 tiene mas
probabilidades de salir que el 22,222 _____

Test para evaluar sus posibilidades de cometer asesinatos
matemáticos
Solamente conteste con una “V” si considera verdadera la
cuestión o “F” si la considera Falsa.
Cuestiones. V o F
8. Si al comprar dos cosas iguales del segundo le cobran
la mitad resulta un 50% de descuento _____
9. Al comprar un producto por cada $100 de compra
se te descuenta la mitad, resulta en un 50% de descuento _____
10. El cuadrado de 5 euros es 25 euros al cuadrado. _____

Temario:
Unidad I. Las Funciones y sus Gráficas.
Unidad II. Límites y Continuidad.
Unidad III. Derivadas.
Unidad IV. Aplicaciones de la Derivada.

Unidad I.
Las Funciones y sus Gráficas.
El concepto de función es importante no solo para las
matemáticas, sino también en las aplicaciones prácticas.
Decimos que 𝒚 es una función de 𝒙, cuando los valores de 𝒚
dependen de los valores que toma 𝒙, esto lo escribimos
𝒚 = 𝒇(𝒙), nombramos variable independiente a 𝒙, mientras
que llamamos variable dependiente a 𝒚.
A menudo se definen las funciones por medio de
expresiones algebraicas, esto es, por medio de fórmulas que
indican la relación funcional de las variables, por ejemplo:
𝒚 = 𝒙 𝟐
; 𝒖 𝒙 =
𝟏
𝒙
; 𝒚 = 𝒆 𝒙
; 𝒚 = 𝟏 − 𝒙 𝟐; etc.Ing. Ignacio Dávila Ríos 6

Las leyes de la física son proposiciones respecto a la forma
en que dependen ciertas cantidades de otras, cuando algunas
de estas varían, por ejemplo la presión atmosférica depende
de la altitud, la energía de una bala, de su masa y velocidad,
el tono de la nota emitida por una cuerda vibrante depende
de su longitud, de su peso y de la tensión a que está
sometida; la distancia recorrida por un cuerpo en
movimiento depende del tiempo, etc.
La tarea del físico consiste en determinar la naturaleza
exacta o aproximada de esa dependencia funcional, esto es,
en encontrar la fórmula general que indique la relación
funcional entre las cantidades involucradas en el fenómeno
que estudia.

Tal actitud no solo se adopta con los físicos, sino también en
otras áreas como por ejemplo, en la ingeniería, economía,
biología, y muchas otras. El procedimiento que se sigue para
obtener dichas fórmulas es más o menos el siguiente:
Observando un fenómeno llega a identificar las variables
que intervienen en él. Como segundo paso, obtiene en forma
experimental, valores de la variable dependiente para ciertos
valores de la independiente, formando así una tabla de datos.
En el tercer paso, usando un sistema de coordenadas
(usualmente rectangulares, aunque también se utilizan de
otro tipo) grafica estos datos; obteniendo una serie de puntos
en el plano (o en el espacio). El siguiente paso, es buscar la
gráfica de una función que se “parezca” más a la gráfica
obtenida al unir los puntos .Tal función es considerada como
la que describe en forma más aproximada el fenómeno
estudiado. Ing. Ignacio Dávila Ríos 8

Para realizar el último paso, es necesario tener un
conocimiento de la representación gráfica de las funciones.
En matemáticas obtenemos la gráfica de una función por
medio de la fórmula de la función, dando valores a la
variable independiente obtenemos valores de la variable
dependiente, representando una cantidad de estos valores en
un sistema de coordenadas obtenemos tal gráfica; otra forma
es por medio del cálculo.
El objetivo de esta unidad es el de proporcionar algunas
ideas para dibujar bosquejos de las gráficas de varios tipos
de funciones, partiendo del análisis de las gráficas de
funciones sencillas.

DEFINICION:
Una función es una relación entre dos conjuntos de valores
llamados 𝑋 y 𝑌, para lo cual, a CADA valor del conjunto 𝑋 le
corresponde únicamente un valor del conjunto 𝑌. Esto hace que
el conjunto de valores de 𝑌 dependan del conjunto de los valores
de 𝑋.
Y
1
2
3
4
1
2
X
-2
-1
0
1
2
3

Dominio Rango
Entrada x Salida y
Función f

Existen diferentes formas de representar una función.
1. Podemos representar una función por medio de una tabla de
valores. Si todos los valores de X son diferentes es una función.
X Y
-3 0
-2 1
-1 2
0 3
1 4
2 5
3 6
X Y
-3 0
-2 1
-1 2
0 3
1 4
-2 5
-3 6
SIesunaFunción
NOesunaFunción

2. Podemos representar una función por medio de un diagrama de
flechas, o diagrama sagital. Si sale una sola flecha del conjunto de
valores de 𝑥, es una función.
Y
1
2
3
4
X
-2
-1
0
1
2
3

2. Podemos representar una función por medio de un diagrama de
flechas, o diagrama sagital. Si sale más de una flecha del conjunto de
valores de 𝑋 NO ES una función.
Y
1
2
3
4
5
6
X
-2
-1
0
1
2
3

3. Podemos representar una función por medio de un conjunto de
pares ordenados. Si todos los valores de la componente en 𝑥 del
conjunto (𝑋, 𝑌) es diferente, si es una función.
𝑋, 𝑌 = { −𝟑, 0 ; −𝟐, 1 ; −𝟑, 2 ; 𝟎, 3 ; 𝟏, 4 ; −𝟐, 5 ; (𝟑, 0)}
𝑋, 𝑌 = { −𝟑, 0 ; −𝟐, 1 ; −𝟏, 2 ; 𝟎, 3 ; 𝟏, 4 ; 𝟐, 5 ; (𝟑, 0)}
No es una función
Si es una función

4. Podemos representar una función por medio de una gráfica. Si se
cumple la prueba de la recta vertical, si es una función.

Prueba de la Línea Vertical.
Una gráfica representa una función si al trazar a lo largo de toda la
gráfica una línea vertical y toca solamente un solo punto entre esta y
la gráfica.
No es una función Si es una función

5. Podemos representar una función por medio de una ecuación, para
poder determinar si una ecuación es una función no es tan sencillo, se
tienen que tener conocimiento de la misma.
𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 4𝑥2
+ 𝑦2
=25
No es una función Si es una función

Características de una función
Son varías las características con las que cuenta una función,
entre las principales se pueden exponer las siguientes:
1. Su Dominio.
2. Su Rango*.
3. Su simetría con alguno de los ejes .
4. Si es par, impar o ninguna de las dos.
5. Si es uno a uno ó biunívoca.
*También llamado Contradominio, Imagen, Ámbito,
Codominio. Ing. Ignacio Dávila Ríos 19

Dominio y Rango de una Función
El Dominio de una función se denota por todos los posibles
valores que puede tomar la función a lo largo del eje de las “𝑥”.
El Rango de una función se denota por todos los posibles
valores que puede tomar la función a lo largo del eje de las “𝑦”.

Dominio y Rango de una Función
¿Cuál es la forma más sencilla de encontrar el dominio y rango
de una función?
La forma más fácil de encontrar el dominio y rango de una
función es a través de la tabla de valores, el diagrama sagital, el
conjunto de pares ordenados y también desde su gráfica, que es
la más común en cálculo diferencial.

Dominio y Rango de una Función en una tabla de valores
X Y
-3 0
-2 1
-1 2
0 3
1 4
2 5
3 6
X Y
0 -3
1 -2
2 -1
3 0
4 1
5 2
6 3
X Y
⋮ ⋮
-2 1
-1 2
0 3
1 4
2 5
⋮ ⋮
Dominio: −3,3
Rango: 0,6
Dominio: 0,6
Rango: −3,3
Dominio: −∞, ∞
Rango: −∞, ∞Ing. Ignacio Dávila Ríos 22

Dominio y Rango de una Función en una gráfica
Dominio: −5,5 Rango: −4,6
Dominio
Rango
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1

Dominio:[0, ∞)
Dominio
Rango
Ran𝑔𝑜: [0, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥

Dominio:[−2,2]
Dominio
Rango
Ran𝑔𝑜: [0,2]

Dom𝑖𝑛𝑖𝑜: −∞, 1 u(1, ∞)
Dominio
Rango Rango: −∞, 0 𝑢(0, ∞)

Tipos de Funciones más comunes.
Existe una gran cantidad de funciones y de las cuales muchas son
representaciones de fenómenos físicos, biológicos, químicos, de
economía, astronomía, etc. A continuación se muestran las más
usuales:
1. Función Constante.
2. Función Lineal.
3. Función Cuadrática.
4. Función Cúbica.
5. Funciones Polinomiales.
6. Función Valor Absoluto.
7. Función Raíz Cuadrada.
8. Función Máximo Entero.
9. Función racional.
10. Funciones Inversas.
11. Función Compuesta y operación con funciones.
12. Funciones logarítmicas y exponenciales.
13. Funciones Trigonométricas, etc.Ing. Ignacio Dávila Ríos 27

La función constante es considerada la función más sencilla, y esto es
porque para cualquier valor de “𝑥” la variable “𝑦” no cambia, es
decir, permanece constante. Tiene la forma:
Por ejemplo,
𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑓 𝑥 =5

Características: El Dominio siempre es −∞, ∞ y su Rango el valor
de la constante “C”, su gráfica siempre es una línea horizontal en “𝐶”,
por lo que su pendiente es cero.
𝑓 𝑥 =5
𝑚 = 0
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: (−∞, ∞)
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: 5

2. Función Lineal.
La Función Lineal como su nombre lo dice, nos representa una línea
recta, sus principales características es que posee una pendiente y
siempre corta al eje de las “y” en un punto. Además que su dominio y
rango siempre es −∞, ∞ . La función lineal en su forma fundamental
es: 𝑓 𝑥 = 𝑥

2. Función Lineal.
Algunas de las formas más comunes que podemos encontrar en una
función lineal son:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏
4. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
5. 𝑓 𝑥 = (𝑥 ± 𝑏) ± 𝑐, forma canónica.
donde “𝑚” es la pendiente (positiva o negativa) y “𝑏” es el valor
donde intersecta la grafica con el eje “𝑦”.

2. Función Lineal.
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥
Esta es la ecuación lineal en su forma fundamental. 𝑚 = 1 y 𝑏 = 0,
por lo que la gráfica es una línea recta que esta a 45° y que pasa por el
origen.
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥

2. Función Lineal.
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 5𝑥
Esta es la ecuación lineal en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥, 𝑚 =5 y 𝑏 = 0, por
lo que la gráfica es una línea recta que esta por arriba de los 45° y que
pasa por el origen.
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 5𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥

2. Función Lineal.
Ejemplo: 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥
Esta es la ecuación lineal en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥, 𝑚 =
1
3
y 𝑏 = 0, por
lo que la gráfica es una línea recta que esta por debajo de los 45° y
que pasa por el origen.
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥

2. Función Lineal.
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = −𝑥
Esta es la ecuación lineal en su forma negativa. 𝑚 = −1 y 𝑏 = 0, por
lo que la gráfica es una línea recta que esta a 45° pero ahora en forma
descendente y que pasa por el origen.
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜(−∞, ∞)
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = −𝑥

2. Función Lineal.
La función lineal cuya forma es 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏 , nos
muestra que la gráfica se traslada sobre el eje “𝑦”, “𝑏”
unidades hacía arriba si esta sumando y “𝑏” unidades hacía
abajo si esta restando.
Esto nos permite realizar trazos de funciones que
denominaremos “graficación por simple inspección”, esta
técnica nos evita realizar una tabla de valores y tener que
evaluar la función; además nos ahorra muchos cálculos y
minimiza el tiempo de graficación.

Graficación de Funciones por “Simple Inspección”.
Para realizar la graficación por “simple inspección”, se requiere
conocer algunos movimientos estratégicos de las funciones, siempre
se parte de la función fundamental, y los movimientos más comunes
sobre la función son los siguientes:
1. Traslaciones horizontales.
2. Traslaciones verticales.
3. Compresión y Alargamiento Verticales.
4. Reflexión.

1. Traslación horizontal de gráficas.
Una traslación horizontal de una gráfica se presenta sobre el eje
de las “𝑥” tal como se muestra a continuación:
Sea 𝑐 > 0.
i. La gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 − 𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐
unidades hacía la derecha.
ii. La gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐
unidades hacía la izquierda.

2. Traslación vertical de gráficas.
Una traslación vertical de una gráfica se presenta sobre el eje de las
“𝑦” tal como se muestra a continuación:
Sea 𝑐 > 0.
i. La gráfica de 𝑦 = 𝑓 𝑥 + 𝑐 es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐
unidades hacía arriba.
ii. La gráfica de 𝑦 = 𝑓 x − c es la de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐
unidades hacía abajo.

3. Compresión y Alargamiento Verticales de Gráficas.
Para cualquier constante 𝑐 > 0, la forma básica de la gráfica de
𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑔(𝑥) es igual que la de 𝑦 = 𝑔(𝑥), pero con un cambio en
la escala vertical. Los dominios de 𝑐 ∙ 𝑔(𝑥) y 𝑔(𝑥) son iguales,
y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen.
Para 𝑐 > 1.
La gráfica de 𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑔 𝑥 es un alargamiento vertical.
Para 0 < 𝑐 < 1.
La gráfica de 𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑔 𝑥 es una compresión vertical.

4. Reflexión de Gráficas.
Para cualquier constante 𝑐 > 0, la forma básica de la gráfica de
𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑔(𝑥) es igual que la de 𝑦 = 𝑔(𝑥), pero con un cambio en
la escala vertical. Los dominios de 𝑐 ∙ 𝑔(𝑥) y 𝑔(𝑥) son iguales,
y las gráficas tienen las mismas abscisas al origen.
La gráfica de 𝑦 = −𝑔 𝑥 es una reflexión respecto del eje x de
la de 𝑦 = 𝑓 𝑥 .

Graficación de la Función Lineal por simple inspección.
La función lineal cuya forma es 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑏, nos muestra que la
gráfica se traslada sobre el eje “𝑦”, “𝑏” unidades hacía arriba si esta
sumando y “𝑏” unidades hacía abajo si esta restando, como en el
siguiente ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3
En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una
función lineal, por lo que tenemos que partir de la función
fundamental 𝑓 𝑥 = 𝑥, (siempre se parte de esta función), luego como
la pendiente es 𝑚 = 1 decimos que esta a 45° por lo que la función
únicamente muestra una traslación vertical hacía arriba “3” unidades.

2. Graficación de la Función Lineal por simple inspección.
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑜: (−∞, ∞)
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2

𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 = 3𝑥 − 2
Como 𝑚 = 3 la
línea se inclina
un poco más
hacía el eje de
las “𝑦”.

𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥 − 2
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥
Como 𝑚 = 1/3
la línea se
inclina un poco
más hacía el eje
de las “𝑥”.
𝑓 𝑥 = 1
3 𝑥 − 2

La función lineal cuya forma es 𝑓 𝑥 = (𝑥 ± 𝑏) ± 𝑐, nos muestra que
la gráfica se traslada “𝑏” unidades sobre el eje “𝑥” y “𝑐” unidades
sobre el eje “𝑦”, como en el siguiente ejemplo:
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 + 1
En este ejemplo tenemos que observar primero que se trata de una
función lineal, por lo que tenemos que partir de la función
fundamental 𝑓 𝑥 = 𝑥, luego que existe una traslación de 2 unidades
a la derecha y 1 unidad hacía arriba.

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 + 1
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑓 𝑥 = 𝑥
El punto pivote se recorre
primero 2 unidades a la
derecha y 1 hacía arriba a
45°.
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 + 1
Punto pivote

La función lineal cuya forma es 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐, nos muestra que la
función no esta despejada para la variable “𝑦”, por lo que se despeja y
se pone en la forma canónica. Como por ejemplo:
−4𝑥 + 2𝑦 = −8
Despejando la variable “𝑦” tenemos,
2𝑦 = 4𝑥 − 8
𝑦 = 2𝑥 − 4
Para graficar tenemos que observar que como 𝑚 > 0, su pendiente es
positiva y se aproxima al eje “𝑦” en forma ascendente. Y como tiene
la forma 𝑓 𝑥 − 𝑐, tiene una traslación sobre el eje de las “𝑦”
negativas 4 unidades.

En resumen:
 𝑓 𝑥 = 𝑥 es la función fundamental, con pendiente 𝑚 = 1, y 𝑏 =
0, de esta se debe de partir para graficar cualquier otra.
 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 nos muestra la inclinación de la línea, esta en forma
ascendente si 𝑚 > 0 y descendente si 𝑚 < 0.
 Si 0 < 𝑚 < 1 la gráfica se proyecta hacía el eje de las “𝑥”.
 Si −1 < 𝑚 < 0, la gráfica se proyecta hacía el eje de las “𝑥”
negativa.
 Si 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 ± 𝑏, la gráfica presenta una traslación sobre el eje
de las “𝑦”, ±𝑏 unidades.
 Si 𝑓 𝑥 = 𝑥 ± 𝑏 ± 𝑐 , la función tiene una traslación sobre el eje
“𝑥” ±𝑏 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, y sobre el eje “𝑦” ±𝑐 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠.
 Una recta con pendiente 𝑚 = 0, es horizontal.

2. Función Lineal.
Ejercicio 1.1 En los ejercicios 1 a 10, determine el dominio, rango y
gráfica de cada una de las funciones:
1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3
3. 𝑦 = 5𝑥 − 1
4. 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1
5. 𝑔 𝑥 =
1
3
𝑥 + 3
6. 𝑓 𝑡 = 𝑡 − 3 + 2
7. 𝑓 𝑠 = 𝑠 + 1 − 2
8. 𝑥 + 2𝑦 = −1
9. 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥 −
1
3
10. 𝑥 + 3𝑦 = −5

2. Función Lineal.
Ejercicio 1.2 En los ejercicios 1 a 5, Conteste lo que se pide:
1. ¿Qué valor debe tomar “𝑚”, si se tiene una función lineal a?:
a) 45°, b) 65°, c) 30° con respecto del eje “𝑥”.
2. ¿Hacía donde y cuanto se traslada la gráfica de 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 5?.
3. De la siguiente función ¿hacía donde se inclina la gráfica de la
función: 𝑓 𝑥 =
1
4
𝑥 + 2?.
4. ¿En que función se convierte una ecuación lineal cuya pendiente es
𝑚 = 0?.
5. ¿Que valor debe tomar la pendiente “𝑚” de una función cuya
inclinación esta en forma descendente?.

Una función 𝑓 definida por una ecuación de la forma:
𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, donde 𝑎 ≠ 0
Es una función cuadrática, y su gráfica es una parábola.
La parábola más sencilla corresponde a elevar al cuadrado una
función, definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥2
; esto es, la ecuación cuadrática
donde 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 y 𝑐 = 0.
𝑦 = 𝑥2

La función cuadrática, en su forma fundamental es 𝑓 𝑥 = 𝑥2, y nos
representa gráficamente una parábola. Sus principales características
son que la parábola puede abrir hacía arriba o hacía abajo. El dominio
de esta función siempre es (−∞, ∞) en todos los casos y el rango va
desde el punto pivote hasta +∞ o −∞. Además de que la parábola
puede abrirse o cerrarse dependiendo del valor de “𝑎”.
𝑦 = 𝑥2
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [0, ∞)
Punto pivote
o Vértice
54(𝟎, 𝟎)

Algunas de las formas más comunes que podemos encontrar en una
función cuadrática son:
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥2
2. 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2
3. 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 ± 𝑏 2
5. 𝑓 𝑥 = 𝑎(𝑥 ± 𝑏)2
±𝑐, forma canónica.

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2, nos representa
gráficamente una parábola que de acuerdo a su valor de “𝑎” se cumple
lo siguiente:
i. La gráfica abre hacía arriba cuando 𝑎 > 0, y abre hacía abajo
cuando 𝑎 < 0.
ii. Cuanto mayor es la magnitud de “𝑎”, la gráfica tiene mayor
pendiente y es más cerrada que la fundamental 𝑓 𝑥 = 𝑥2.
iii. Para valores de 0 < 𝑎 < 1, la parábola es más abierta.

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2, para:
a) 𝑎 = 1 y b) 𝑎 = −1
𝑦 = 𝑥2
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [0, ∞)
𝐹𝑖𝑔. 1𝑎) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 1 𝐹𝑖𝑔. 1𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = −1
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, 0]
(𝟎, 𝟎)
(𝟎, 𝟎)

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2, para 𝑎 > 1
𝒚 = 𝒙 𝟐
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [0, ∞)
𝑦 = 2𝑥2
𝑦 = 3𝑥2
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟐
(𝟎, 𝟎)

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2, para 0 < 𝑎 < 1
𝒚 = 𝒙 𝟐
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [0, ∞)
𝑦 =
1
2
𝑥2
𝑦 =
1
3
𝑥2
𝒚 =
𝟏
𝟒
𝒙 𝟐
(𝟎, 𝟎)

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2, para 𝑎 < 1
𝒚 = −𝒙 𝟐
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, 0]
𝑦 = −2𝑥2
𝑦 = −3𝑥2
𝒚 = −𝟒𝒙 𝟐
(𝟎, 𝟎)

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2, para −1 < 𝑎 <0
𝒚 = −𝒙 𝟐
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, 0]
𝑦 = −
1
2
𝑥2
𝑦 = −
1
3
𝑥2
𝒚 = −𝟏/𝟒𝒙 𝟐
(𝟎, 𝟎)

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = (𝑥 ± 𝑏)2
𝑦 = (𝑥 − 1)2
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [0, ∞)
(𝟏, 𝟎)

La función cuadrática, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
Ejemplo: ℎ 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 + 3,
Solución: Para solucionar esta función es necesario transformar la
función a su forma canónica que es: 𝑓 𝑥 = (𝑥 ± 𝑏)2±𝑐 .
Primero, si el trinomio no es al cuadrado perfecto, hay que forzarlo:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 + 𝑐
Ahora se suma y se resta el término 𝑏
2𝑎
2 dentro de los paréntesis:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
−
𝑏
2𝑎
2
+ 𝑐
= 𝑎 𝑥2 +
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
− 𝑎
𝑏
2𝑎
2
+ 𝑐

− 2𝑥 + 3,
Solución: Primero se completa el cuadrado de esta ecuación
cuadrática sumando y restando el termino
𝑏
2𝑎
2
=
−2
2 ∙ 1
2
= −1 2 = 1,
Para obtener:
ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 + 3 − 1 = 𝑥 − 1 2 + 2
ℎ 𝑥 = (𝑥 − 1)2+2
Esta ecuación está en su forma canónica, y de acuerdo a lo aprendido
anteriormente podemos aplicar la traslación de funciones, para este
ejemplo la parábola esta recorrida 1 unidad hacía la derecha y 2
unidades hacía arriba.

− 2𝑥 + 3, que en su forma canónica es:
ℎ 𝑥 = (𝑥 − 1)2
+2
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [2, ∞)
(𝟏, 𝟐)

Ejemplo: f 𝑥 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 17,
Sol. Primero se completa la ecuación para llegar al término
cuadrático, luego con la traslación de funciones se llega a la
gráfica.
Factorizar el 2 de los primero dos términos y sacar el tercero.
𝑓 𝑥 = 2 𝑥2 + 6𝑥 + 17
Calcular el tercer término del paréntesis mediante
𝑏
2𝑎
2
y sumar
y restar a la ecuación. 𝑎 = 2, 𝑏 = 12, 𝑐 = 17.
𝑏
2𝑎
2
=
12
2 ∙ 2
2
=
12
4
2
= 3 2 = 9

Ejemplo: f 𝑥 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 17,
Sol. Completar el trinomio al cuadrado perfecto.
𝑓 𝑥 = 2 𝑥2
+ 6𝑥 + 9 − 2(9) + 17
Simplificar para llegar a la forma canónica
𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 3 2 − 18 + 17
𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 3 2 − 1.
Para graficar, hay que realizar una traslación de 3 unidades hacía
la izquierda, seguida por 1 lugar hacía abajo y sufre una
compresión de la parábola con un factor de 2.

Ejemplo: f 𝑥 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 17,
Sol. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 3 2
− 1.
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟑 𝟐 𝑓 𝑥 = 𝑥2

Ejemplo: f 𝑥 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 17,
Sol. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 3 2
− 1.
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟑 𝟐 − 𝟏
𝑓 𝑥 = 𝑥2

Ejemplo: f 𝑥 = 2𝑥2
+ 12𝑥 + 17,
Sol. 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 + 3 2 − 1.
𝒇 𝒙 = 𝒙 + 𝟑 𝟐 − 𝟏
𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝒇 𝒙 = 𝟐 𝒙 + 𝟑 𝟐 − 𝟏
R𝑎𝑛𝑔𝑜: [−1, ∞)
(−𝟑, −𝟏)

Si la función se torna un poco más compleja, como en el ejemplo
siguiente, se puede hacer uso de las siguientes ecuaciones para
facilitar calcular la forma canónica y encontrar su vértice.
Ejemplo: 𝑓 𝑥 = −
1
3
𝑥2 + 2𝑥 + 3,
Identifica los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y sustitúyelos en las siguientes
ecuaciones:
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
+
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
Vértice en: 𝑉 −
𝑏
2𝑎
,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
.

1
3
𝑥2 + 2𝑥 + 3,
Si 𝑎 = −
1
3
, 𝑏 = 2 y 𝑐 = 3 y sustituyendo en las siguientes ecuaciones
tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
+
4𝑎𝑐 − 𝑏2
4𝑎
𝑓 𝑥 = −
1
3
𝑥 +
2
2 ∙ −
1
3
2
+
4 ∙ −
1
3
∙ 3 − (2)2
4 ∙ −
1
3
𝑓 𝑥 = −
1
3
𝑥 − 3 2 + 6, forma canónica

1
3
𝑥2 + 2𝑥 + 3,
Si 𝑎 = −
1
3
, 𝑏 = 2 y 𝑐 = 3 y sustituyendo en las siguientes ecuaciones
tenemos:
Vértice en: 𝑉 −
𝑏
2𝑎
,
4𝑎𝑐−𝑏2
4𝑎
.
𝑉 −
2
2 ∙ −
1
3
,
4 ∙ −
1
3
∙ 3 − 2 2
4 ∙ −
1
3
𝑉 3,6
La parábola abre hacía abajo y se expande con factor de −
1
3
.

1
3
𝑥2 + 2𝑥 + 3,
𝑓 𝑥 = −
1
3
𝑥 − 3 2 + 6, forma canónica 𝑉 (3,6)
(𝟑, 𝟔)
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, 6]

Ejercicio 2.1 Grafique cada una de las siguientes funciones y
determine el dominio y rango de la misma.
1. 𝑓 𝑥 = 3𝑥2
2. 𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥2
3. 𝑦 = −4𝑥2
4. 𝑦 = (𝑥 − 2)2
5. 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 3)2−1
6. 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥2
7. 𝑦 = −𝑥2 + 2𝑥 − 7
8. ℎ 𝑥 = 𝑥2 − 2𝑥 +4
9. 𝑓 𝑥 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 17
10. 𝑓 𝑥 =
−1
3
𝑥2 + 2𝑥 + 3

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, donde 𝑎 ≠ 0
Es una función cúbica, y su gráfica se muestra en la sig. figura.
La función cúbica más sencilla corresponde a elevar al cubo una
función, definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥3; esto es, la ecuación cúbica donde
𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0 y 𝑑 = 0.
𝑦 = 𝑥3

𝑦 = 𝑥3
La función cúbica, en su forma fundamental es 𝑓 𝑥 = 𝑥3. Sus
principales características son que el dominio y rango de esta función
siempre es (−∞, ∞) en todos los casos. Además de que la gráfica
puede abrirse o cerrarse dependiendo del valor de “𝑎”.
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
Punto pivote
77
(𝟎, 𝟎)

La función cúbica, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3, para:
a) 𝑎 = 1 y b) 𝑎 = −1
𝑦 = 𝑥3
R𝑎𝑛𝑔𝑜: −∞, ∞
𝐹𝑖𝑔. 1𝑎) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 1 𝐹𝑖𝑔. 1𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = −1
R𝑎𝑛𝑔𝑜: −∞, ∞
(𝟎, 𝟎) (𝟎, 𝟎)
𝑦 = −𝑥3

La función cúbica, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3, para 𝑎 > 1
𝒚 = 𝒙 𝟑
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑦 = 2𝑥3
𝑦 = 3𝑥3
𝒚 = 𝟒𝒙 𝟑
(𝟎, 𝟎)

La función cúbica, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3, para 𝑎 < -1
𝒚 = −𝒙 𝟑
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑦 = −2𝑥3
𝑦 = −3𝑥3
𝒚 = −𝟒𝒙 𝟑
(𝟎, 𝟎)

La función cúbica, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3, para 0 < 𝑎 < 1
𝒚 = 𝒙 𝟑
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑦 =
1
2
𝑥3
𝑦 =
1
3
𝑥3
𝒚 =
𝟏
𝟒
𝒙 𝟑
(𝟎, 𝟎)

La función cúbica, en su forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3, para −1 < 𝑎 < 0
𝒚 = −𝒙 𝟑
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)
𝑦 = −
1
2
𝑥3
𝑦 = −
1
3
𝑥3
𝒚 = −
𝟏
𝟒
𝒙 𝟑
(𝟎, 𝟎)

La función cúbica, en su forma canónica es 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 ± 𝑏 3 ± 𝑐.
Para trazar estas gráficas es necesario utilizar la técnica de
“Graficación por Simple Inspección”, es decir, las traslaciones
horizontales y verticales, la reflexión y la compresión o alargamiento
de la función.
Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función:
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 2 3 +1
Solución: Es una función cúbica que se comprime un factor de 3,
seguida por una traslación hacía la derecha de 2 unidades y finalmente
1 unidades hacía arriba.
83

Ejemplo: Trace la gráfica de la siguiente función y determine el
dominio y rango:
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 2 3
+1
84
𝒚 = 𝒙 𝟑𝒚 = 𝟑𝒙 𝟑
𝑦 = 3 𝑥 − 2 3 +1
𝑦 = 3 𝑥 − 2 3
R𝑎𝑛𝑔𝑜: (−∞, ∞)

La función cúbica en su forma:
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑,
No es tan sencillo de graficar, aquí se requiere determinar los ceros
del polinomio o mejor conocido como las raíces del polinomio, por lo
que se deja abierto el tema al alumno para su posterior aprendizaje.
85

𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑥
Es una función valor absoluto, y matemáticamente se define como:
𝑥 =
𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 < 0.
El valor absoluto 𝑥 , es la distancia de 𝑥 al origen. Cuando 𝑥 ≥ 0, la
gráfica coincide con la de la recta 𝑦 = 𝑥; cuando 𝑥 < 0, coincide con
la recta 𝑦 = −𝑥. Por lo tanto.
𝑥 → ∞ cuando 𝑥 → ±∞.

La gráfica función valor absoluto, en su forma fundamental esta
denotada por la ecuación: 𝑦 = 𝑥 ,
𝑦 = 𝑥

La gráfica función valor absoluto, en la forma: 𝑦 = − 𝑥 , representa
la reflexión de la de 𝑦 = 𝑥 .
𝑦 = − 𝑥

Use la gráfica de 𝑦 = 𝑥 , para trazar por simple inspección la de:
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 − 2.
𝑦 = 𝑥
(𝟏, −𝟐)

Realizado por:
Ing. Ignacio Dávila Ríos
e-mail: idavila15@hotmail.com
www.itsbasicas.com/davila
Lic. Benjamín Arellano Orozco
e-mail: benarellano2011@hotmail.com

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