El documento resume los conceptos fundamentales del movimiento armónico simple y otros temas relacionados con la mecánica oscilatoria. En particular, define el movimiento armónico simple, describe su representación gráfica mediante la función seno, y explica su relación con el movimiento circular uniforme. También cubre conceptos como periodo, frecuencia, amplitud y posición de equilibrio.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario de Tecnología
“Antonio José de Sucre”
Extensión Barquisimeto
Integrantes:
Mariangel Gudiño
CI: 24165834
Julianny Sanchez
CI: 21125316
Sección: “S2”
Prof: Marianny Arrieche

2. EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Es un movimiento vibratorio bajo la acción de una fuerza recuperadora
elástica, proporcional al desplazamiento y en ausencia de todo rozamiento.
Solemos decir que el sonido de una determinada nota musical se representa
gráficamente por la función seno. Ésta representa un movimiento vibratorio
llamado movimiento armónico simple, que es aquel que se obtiene cuando los
desplazamientos del cuerpo vibrante son directamente proporcionales a las
fuerzas causantes de este desplazamiento.
Un ejemplo de este movimiento se puede encontrar a partir del
desplazamiento de un punto cualquiera alrededor de toda la longitud de una
circunferencia.
Cuando un punto (P) recorre una circunferencia con velocidad uniforme, su
proyección (Q) sobre cualquiera de los diámetros de esta, realiza un tipo de
movimiento armónico simple. Cada vez que el punto se encuentre en uno de
los cuatro cuadrantes de la circunferencia, se trazará una perpendicular desde
el punto a un diámetro fijo de la circunferencia. A medida que el punto
escogido se mueve a velocidad uniforme, el punto proyectado en el diámetro,
realizará un movimiento oscilatorio rectilíneo.
Para representar gráficamente (en una función) el movimiento armónico
simple de un punto, se toman como abscisas los tiempos medidos como
fracciones del período (T/12, T/6, T/4...) que es el tiempo que este punto tarda
en dar una vuelta completa a la circunferencia; y como a ordenadas las
sucesivas prolongaciones del mismo. La resultante es una sinusoide, ya que la
variación del tiempo t, se traduce como una variación del sin x, donde x es el
ángulo que forma el radio con el semi-eje positivo de abscisas (x es
proporcional al tiempo).

3. Elementos:
1. Oscilación o vibración: es el movimiento realizado desde cualquier
posición hasta regresar de nuevo a ella pasando por las posiciones intermedias.
2. Elongación: es el desplazamiento de la partícula que oscila desde la
posición de equilibrio hasta cualquier posición en un instante dado.
3. Amplitud: es la máxima elongación, es decir, el desplazamiento máximo a
partir de la posición de equilibrio.
4. Periodo: es el tiempo requerido para realizar una oscilación o vibración
completa. Se designa con la letra "t".
5. Frecuencia: es el número de oscilación o vibración realizadas en la unidad
de tiempo.
6. Posición de equilibrio: es la posición en la cual no actúa ninguna fuerza
neta sobre la partícula oscilante.
Relación entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme
El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la
"proyección" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un
movimiento circular uniforme (-M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y
velocidad angular ω, sobre el diαmetro vertical de la circunferencia que
recorre.
Cuando un objeto gira con movimiento circular uniforme en una trayectoria
circular, el movimiento de la proyección del objeto sobre el diámetro es un
movimiento armónico simple.

4. Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple
Fórmulas:
x = A. cos . w . t
x = elongación
r = A = radio
t = tiempo
w = velocidad angular
Vx = - V . sen Ø
V=w.r
h=w.t
w . t = V = Vector representativo de la velocidad lineal.
Vx = proyección de "Y" sobre el eje "X"
h = ángulo
Vx = -2
. F . A . sen (2
Vx = + w " A2 - x2
Ax = - w2 . A . cos. w . t
Ax = - Ac . cos Ø
Ac = proyección de aceleración sobre el eje horizontal
Ac = w2 . x
Ac = aceleración centrípeta
t=2
" mk
T = periodo
.)
Características de un M.A.S son:
Como los valores máximo y mínimo de la función seno son +1 y -1, el
movimiento se realiza en una región del eje x comprendida entre +A y –
A.
La función seno es periódica y se repite cada 2, por tanto, el
movimiento se repite cuando el argumento de la función seno se
incrementa en 2, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que ( t+T)
+ = t+ +2.
Cinemática de un M.A.S
Es un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos
la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración
derivada la expresión de la velocidad.

5. Dinámica de un M.A.S
Aplicando la segunda ley de newton obtenemos la expresión de la
fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S esta
fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a este.
Energía de un M.A.S
En el M.A.S la energía se transforma continuamente de potencial en
cinética y viceversa en los extremos solo hay energía potencial puesto
que la velocidad es cero y en el punto de equilibrio solo hay energía
cinética. En cualquier otro punto, la energía correspondiente a la
partícula que realiza el M.A.S es la suma de su energía potencial más su
energía cinética.

6. Trabajode rotación
El movimiento de rotación de una partícula se realiza cuando
esta describe circunferencias de radio r alrededor de un eje de
giro. Al ángulo girando se le representa con la letra griega θ y
se mide en radianes; la velocidad de rotación o velocidad
angular se representa con w y se mide en radianes/ segundo.

8. Sistema Masa- Resorte
El sistema masa-resorte que consiste en una masa “m” unida a un
resorte, que a su vez se halla fijo a una pared, como se muestra en la
figura. Se supone movimiento sin rozamiento sobre la superficie
horizontal.

10. Péndulo simple
Es llamado así porque consta de un cuerpo de masa m, suspendido de un hilo
largo de longitud l, que cumple las condiciones siguientes:
el hilo es inextensible
su masa es despreciable comparada con la masa del cuerpo
el ángulo de desplazamiento que llamaremos 0 debe ser pequeño
Como funciona: con un hilo inextensible su masa es despreciada comparada
con la masa del cuerpo el ángulo de desplazamiento debe ser pequeño.
Hay ciertos sistemas que, si bien no son estrictamente sistemas sometidos a
una fuerza tipo Hooke, si pueden, bajo ciertas condiciones, considerarse como
tales. El péndulo simple, es decir, el movimiento de un grave atado a una
cuerda y sometido a un campo gravitatorio constante, es uno de ellos.
Al colocar un peso de un hilo colgado e inextensible y desplazar ligeramente
el hilo se produce una oscilación periódica. Para estudiar esta oscilación es
necesario proyectar las fuerzas que se ejercen sobre el peso en todo momento,
y ver que componentes nos interesan y cuales no.

11. Considerando únicamente el desplazamiento tangente a la trayectoria, es decir,
el arco que se está recorriendo.
Que a veces también se expresa como.
Esta ecuación es absolutamente análoga a la de un movimiento armónico
simple, y por tanto su solución también será (13.2) teniendo, únicamente, la
precaución de sustituir el valor de antiguo por el que tiene ahora para un
péndulo
A partir de aquí se pueden extraer todas las demás relaciones para un péndulo
simple, el periodo, frecuencia, etc.
Movimiento del Péndulo
El movimiento de un péndulo simple es como un movimiento armónico
simple en donde la ecuación para el desplazamiento angular es
Que tiene la misma forma que el movimiento de una masa sobre un muelle:

12. La frecuencia angular del movimiento está dada por
comparada a
Para una
muelle.
masa
sobre
un
La frecuencia del péndulo en Hz está dada por
y el periodo del movimiento es entonces
Período de un Péndulo
Período: Se define como el tiempo que se demora en realizar una oscilación
completa. Para determinar el período se utiliza la siguiente expresión T/ N° de
Osc. (Tiempo empleado dividido por el número de oscilaciones).
1) El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa
que si se tienen 2 péndulos iguales (longitud y masa), pero uno de ellos tiene
una amplitud de recorrido mayor que el otro, enambas condiciones la medida
del periodo de estos péndulos es el mismo.
2) El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de
su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o
disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo.
Una masa puntual colgando de una cuerda sin masa, es un ejemplo idealizado
de un péndulo simple. Cuando se desplaza desde su punto de equilibrio, la
fuerza de restauración que lo trae de nuevo al centro, está dada por:
Para pequeños ángulos θ, podemos usar la aproximación

13. En cuyo caso la segunda ley de Newtontoma la forma
Aún en este caso aproximado, la solución de la ecuación hace uso de las
ecuaciones
y
cálculo diferencial.
La
ecuación
diferencial es
Y para pequeños ángulos θ la solución es:
Geometría del Péndulo

14. Ecuaciones del Péndulo
La ecuación de movimiento para el péndulo simple para amplitudes
suficientemente pequeñas tiene la forma
La cual, cuando se pone
en forma angular viene a ser
Esta ecuación diferencial es como la del oscilador armónico simple y tiene la
solución:
Oscilación libre
En el caso en que un sistema reciba una única fuerza y oscile libremente hasta
detenerse por causa de la amortiguación, recibe el nombre de oscilación
libre.Éste es por ejemplo el caso cuando pulsamos la cuerda de una guitarra.
Oscilación amortiguada
Si en el caso de una oscilación libre nada, perturbara al sistema en oscilación,
este seguirá vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se

15. conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque
de las partículas (moléculas) y la consecuente transformación de determinadas
cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez mas energía al movimiento
(el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga.
Esto es lo que
se conoce como
oscilación
amortiguada.
En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo
(según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar
a cero. Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se
detiene finalmente en su posición de reposo.
La representación matemática es
, donde
es el
coeficiente de amortiguación. Notemos que la amplitud
es también
una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y son
constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento.
No obstante, la frecuencia de oscilación del sistema (que depende de
propiedades intrínsecas del sistema, es decir, es característica del sistema) no
varía (se mantiene constante) a lo largo de todo el proceso. (Salvo que se
estuviera ante una amortiguación muy grande.)
Oscilación autosostenida

16. Si logramos continuar introduciendo energía al sistema, reponiendo la que se
pierde debido a la amortiguación, logramos lo que se llama una oscilación
autosostenida.Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la
cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.
La
arco
acción del
sobre
la
cuerda
repone la
energía
perdida
debido a la amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria.
Preferimos llamarla fase casi estacionaria -y no estado estacionario, como
suele encontrarse en alguna literatura- debido a que, en condiciones prácticas,
resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea
exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. En
consecuencia, la amplitud durante la fase casi estacionaria no es en rigor
constante, sino que sufre pequeñas variaciones, cuya magnitud dependerá de
nuestra habilidad para compensar la energía perdida.
Si la energía que se repone al sistema en oscilación es menor a la que se pierde
producto de la fricción obtenemos una oscilación con amortiguación menor,
cuyas características dependen de la relación existente entre la energía perdida
y la que se continúa introduciendo. También en este caso el sistema termina
por detenerse, aunque demore más tiempo. (En música lo llamaríamos
decrescendo.)
Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que
se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en
dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se
continúa introduciendo. (En música lo llamaríamos crescendo.)

17. Oscilación forzada
Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de
magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador
(llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en
la frecuencia del generador (fg), y no en su frecuencia natural (fr). Es decir, la
frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que
se le aplica.Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando
encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por
simpatía".
Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica
sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una
oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del
sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.
Hidrostática
La hidrostática es la rama de la mecánica de fluidos que estudia los fluidos
en estado de reposo; es decir, sin que existan fuerzas que alteren su
movimiento o posición.
Reciben el nombre de fluidos aquellos cuerpos que tienen la propiedad de
adaptarse a la forma del recipiente que los contiene. A esta propiedad se le da
el nombre de fluidez.
Son fluidos tanto los líquidos como los gases, y su forma puede cambiar
fácilmente por escurrimiento debido a la acción de fuerzas pequeñas.
Los principales teoremas que respaldan el estudio de la hidrostática son el
principio de Pascal y el principio de Arquímedes.
Agua de mar: fluido
salobre.

18. La presión(P) se relaciona con la fuerza(F) y el área o superficie (A) de la
siguiente forma: P=F/A.
La ecuación básica de la hidrostática es la siguiente:
P = Po + ρgy
Siendo:
P: presión
Po: presión superficial
ρ: densidad del fluido
g: intensidad gravitatoria de la Tierra
y: altura neta
Características de los líquidos
a) Viscosidad. Es una medida de la resistencia que opone un líquido a
fluir.
b) Tensión superficial. Este fenómeno se presenta debido a la atracción
entre moléculas de un líquido.
c) Cohesión. Es la fuerza que mantiene unidas a las moléculas de una
misma sustancia.
d) Adherencia. Es la fuerza de atracción que se manifiesta entre las
moléculas de dos sustancias diferentes en contacto.
e) Capilaridad. Se presenta cuando existe contacto entre un líquido y
una pared sólida, especialmente si son tubos muy delgados llamados
capilares.
Ley de Pascal
El principio de Pascal es una ley enunciada por el físico y matemático francés
Blaise Pascal (1623–1662). El incremento de la presión aplicada sobre un

19. fluido no compresible contenido en un recipiente indeformable se transmite
con igual intensidad en todas las direcciones y a todas partes del recipiente.
Es decir, que si se aplica presión a un líquido no comprimible en un recipiente
cerrado, esta se transmite con igual intensidad en todas direcciones y sentidos.
Este tipo de fenómeno se puede apreciar, por ejemplo, en la prensa hidráulica
o en el gato hidráulico; ambos dispositivos se basan en este principio. La
condición de que el recipiente sea indeformable es necesaria para que los
cambios en la presión no actúen deformando las paredes del mismo en lugar
de transmitirse a todos los puntos del líquido.
Definimos compresibilidad como la capacidad que tiene un fluido para
disminuir el volumen que ocupa al ser sometido a la acción de fuerzas.

20. Principio de Arquímedes
El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sólido sumergido total o
parcialmente en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba con
una fuerza igual al peso del volumen de fluido desalojado.
El objeto no necesariamente ha de estar completamente sumergido en dicho
fluido, ya que si el empuje que recibe es mayor que el peso aparente del
objeto, éste flotará y estará sumergido sólo parcialmente.
Propiedades de los fluidos
Las propiedades de un fluido son las que definen el comportamiento y
características del mismo tanto en reposo como en movimiento.
Existen propiedades primarias y propiedades secundarias del fluido.
Propiedades primarias o termodinámicas:
Densidad
Presión
Temperatura
Energía interna
Entalpía
Entropía
Calores específicos
Propiedades secundarias

21. Caracterizan el comportamiento específico de los fluidos.
Viscosidad
Conductividad térmica
Tensión superficial
Compresión.
Definimos viscosidad como la mayor o
menor dificultad para el deslizamiento
entre las partículas de un fluido.
Densidad o masa específica
La densidad es la cantidad de masa por unidad de volumen. Se denomina con
la letra ρ. En el sistema internacional se mide en kilogramos / metro cúbico.
Cuando se trata de una sustancia homogénea, la expresión para su cálculo es:
Donde
ρ: densidad de la sustancia, Kg/m3
m: masa de la sustancia, Kg
V: volumen de la sustancia, m3
en consecuencia la unidad de densidad en el Sistema Internacional será
kg/m3 pero es usual especificar densidades en g/cm3, existiendo la
equivalencia

22. 1g cm3 = 1.000 kg/ m3.
La densidad de una sustancia varía con la temperatura y la presión; al resolver
cualquier problema debe considerarse la temperatura y la presión a la que se
encuentra el fluido.
Densidad de fluidos:
cantidad de masa
por volumen.
Peso específico
El peso específico de un fluido se calcula como su peso por unidad de
volumen (o su densidad por g).
En el sistema internacional se mide en Newton / metro cúbico.
Presión
hidrostática.

23. Presión hidrostática
En general, podemos decir que la presión se define como fuerza sobre unidad
de superficie, o bien que la presión es la magnitud que indica cómo se
distribuye la fuerza sobre la superficie en la cual está aplicada.
Si una superficie se coloca en contacto con un fluido en equilibrio (en reposo)
el fluido, gas o líquido, ejerce fuerzas normales sobre la superficie.
Entonces, presión hidrostática, en mecánica, es la fuerza por unidad de
superficie que ejerce un líquido o un gas perpendicularmente a dicha
superficie.
Si la fuerza total (F) está distribuida en forma uniforme sobre el total de un
área horizontal (A), la presión (P) en cualquier punto de esa área será
P: presión ejercida sobre la superficie, N/m2
F: fuerza perpendicular a la superficie, N
A: área de la superficie donde se aplica la fuerza, m2
Presión y profundidad
La presión en un fluido en equilibrio aumenta con la profundidad, de modo
que las presiones serán uniformes sólo en superficies planas horizontales en el
fluido.
Por ejemplo, si hacemos mediciones de presión en algún fluido a ciertas
profundidades la fórmula adecuada es
Es decir, la presión ejercida por el fluido en un punto situado a una
profundidad h de la superficie es igual al producto de la densidad d del fluido,
por la profundidadh y por la aceleración de la gravedad.

24. Si consideramos que la densidad del fluido permanece constante, la presión,
del fluido dependería únicamente de la profundidad. Pero no olvidemos que
hay fluidos como el aire o el agua del mar, cuyas densidades no son constantes
y tendríamos que calcular la presión en su interior de otra manera.
Unidad de Presión
En el sistema internacional la unidad es el Pascal (Pa) y equivale a Newton
sobre metro cuadrado.
La presión suele medirse en atmósferas (atm); la atmósfera se define como
101.325 Pa, y equivale a 760 mm de mercurio o 14,70 lbf/pulg2 (denominada
psi).
La tabla siguiente define otras unidades y se dan algunas equivalencias.
Unidad
Símbolo
Equivalencia
bar
bar
1,0 × 105 Pa
atmósfera
atm
101.325 Pa 1,01325 bar 1013,25 mbar
mm de mercurio
mmHg
133.322 Pa
Torr
torr
133.322 Pa
lbf/pulg2
psi
0,0680 atm
kgf/cm2
0,9678 atm
atm
760,0 mmHg
psi
6.894, 75 Pa