4. A cada ser humano se
le asocia su padre
Conjunto de Conjunto de
biológico
seres seres
humanos humanos
5. A cada ser humano se
le asocia su padre
Conjunto de biológico Conjunto de
seres seres
humanos humanos
•Todo elemento del dominio tiene asociado un único
elemento del contradominio. Todo ser humano tiene un único
padre biológico
•No todo elemento del contradominio tiene asociado un
elemento del dominio. No todo ser humano es un padre
biológico
15. De manera intuitiva podemos decir que
una función es una relación entre dos
magnitudes, de tal manera que a cada
valor de la primera le corresponde un
único valor de la segunda.
16. Función
• Conceptos Fundamentales:
– Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función
si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un
valor en el conjunto de llegada B.
f
A B
a b = f(a)
x f(x)
f(x)
17. Función
• Conceptos Fundamentales:
– La variable x corresponde a la variable independiente y la variable
cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable
independiente. Se designa generalmente por y o f(x) *se lee “f de x”+.
Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de
“x”.
f
A B
a b = f(a)
x f(x)
19. Función
– Rango o Recorrido de f:
Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos
son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida.
Se denota por Rec f.
f
A B
1
a 2
b 3
c 4
d 5
e 6
7
Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en
B.
20. • Luego para la función f denotada:
f
A B
1
a 2
b 3
c 4
d 5
e 6
7
– Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}
– Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
– Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en
A, luego no pertenecen al rango de f .
26. Tema:
14 Funciones elementales 26 Euler - Matemáticas I
Funciones lineales
Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales.
Y Y
Recorrido: R
Recorrido: R
• (0, b): ordenada • (0, b): ordenada
en el origen en el origen
X X
Dominio: R Dominio: R
f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0
Una función lineal queda determinada cuando se conocen las imágenes
de dos valores distintos de la variable independiente
27. FUNCIÓN LINEAL
• Sea la FUNCIÓN IDENTIDAD y = x
• Sea la FUNCIÓN DOBLE y = 2.x
• Sea la FUNCIÓN TRIPLE y = 3.x
• Sea la FUNCIÓN MITAD y = x / 2 , etc...
• Englobando todas las funciones anteriores: y = m.x
• donde m es un número real y se llama pendiente.
• Todas las funciones que se pueden expresar de la forma
• f(x) = m.x
• Reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES.
• Su gráfica es una línea recta.
• Si la pendiente, m, es positiva la función es creciente.
• Si la pendiente, m, es negativa la función es decreciente.
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 27
28. GRÁFICAS FUNCIONES LINEALES
• Sea f(x) = x y= -3x
y=2x
• Sea f(x) = 2x y=x
• Sea f(x) = x/2
y= -x
• Sea f(x) = - x
• Sea f(x) = - x/2 y= -x/2
• Sea f(x) = - 3x
y=x/2
• Todas ellas son
funciones lineales.
• Importante: Todas ellas
pasan por el origen de
coordenadas (0, 0)
@ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 28
29. Otra notación de Función Lineal
• Es de la forma f(x) = mx + n
con m : Pendiente
n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y
(coeficiente de posición).
Ejemplo:
La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la
ordenada -3.
30. I. Función Lineal
• Análisis de la Pendiente
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el
signo de la pendiente.
• Si m < 0, entonces la función es decreciente.
• Si m = 0, entonces la función es constante.
• Si m > 0, entonces la función es creciente.
31. I. Función Lineal
Y Y
I) II)
m>0 n m<0
n n>0 n>0
X X
Y Y
III) m>0 IV) m<0
n<0 n<0
X X
n n
33. Tema:
14 Funciones elementales 33 Euler - Matemáticas I
Funciones cuadráticas
Son funciones de la forma y = ax2 + bx + c, donde a 0, b, c R
Funciones y = ax2 para diferentes valores de a
• Son parábolas
• Dominio: R
• Si a > 0: Recorrido = [0, )
• Si a < 0: Recorrido = (– , 0]
a =2
a =1
a = 0,5
a=–2
a=–1
a = – 0,5
34. Tema:
14 Funciones elementales 34 Euler - Matemáticas I
Representación gráfica de funciones
cuadráticas
f(x) = ax2 + bx + c, a 0 es una parábola
b b2 Si a > 0 abierta hacia arriba
El vértice está en V = – , c – . Además
2a 4a Si a < 0 abierta hacia abajo
Y
V
•
a>0
a<0 X
•
V
35. Recordatorio
• Función Cuadrática:
Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la
forma:
Propiedades
•El gráfico de una función cuadrática es una parábola.
•La gráfica de intercepta al eje Y en (0,c)
•El vértice está definido por el punto
•Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo
37. FUNCIONES CUADRÁTICAS
y
• Todas las funciones que se pueden 5
expresar de la forma
• f(x) = a.x2 + b.x + c
f(x) = x2 – 2x – 3
• Reciben el nombre de FUNCIONES
CUADRÁTICAS. Su gráfica es una
parábola.
• Para dibujar una parábola necesitamos
conocer: -3 -2 -1 0 1 2 3 x
• 1.- Coordenadas del vértice.
• 2.- Corte con el eje de abscisas y el
eje de ordenadas.
• 3.- El eje de simetría. -3
• 4.- Una tabla de valores.
-5
38. PROPIEDADES
• DOMINIO
• El dominio de f(x), como cualquier función polinómica será R.
• Dom f(x) = R
• RECORRIDO
• La imagen de una función cuadrática sólo existe del vértice a +oo o del –
oo al vértice, según sea cóncava o convexa.
• Img f(x) = (yv , + oo) en las funciones cuadráticas CÓNCAVAS.
• Img f(x) = (- oo, yv ) en las funciones cuadráticas CONVEXAS.
• SIMETRÍA
• Como su gráfica es una parábola, sólo puede tener simetría PAR:
• f(x) = f(-x) cuando el eje de la parábola sea el eje de ordenadas.
39. Ejemplo 1 Ejemplo 2
• Sea f (x) = x2 - 3 • Sea f (x) = - x2 + x
• a=1>0 Cóncava • a=-1<0 Convexa
• Dom f(x) = R • Dom f(x) = R
• Vértice: • Vértice:
• xv = - b / 2.a = -0/2.1 = 0
• xv = - b / 2.a = - 1 / 2.(-1) = 1 / 2
• yv= 02 - 3 = - 3
• yv= - (1/2)2 + 1 / 2 = - 0,25 + 0,5 = 0,25
• V(0, - 3)
• Img f(x) = [ - 3, +oo) • V(0’5 , 0´25)
• Img f(x) = (- oo, 0,25] V
0,25
-3
V
40. • LA FUNCIÓN CUADRÁTICA O FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO
GRADO
• Si tenemos una ecuación de la forma
• y = a.x2 , y = a.x2 + b , y = a.x2 + b.x , y = a.x2 + b.x + c
• Podemos decir que es una función cuadrática.
• En ella x es la variable independiente e y es la variable dependiente.
• Las letras a, b y c son los llamados parámetros.
• La señalaremos así:
• f(x) = a.x2 ,
• f(x) = a.x2 + c ,
• f(x) = a.x2 + b.x ,
• f(x) = a.x2 + b.x + c
• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a
un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva
llamada PARÁBOLA.
41. La función f(x)= a.x2 , a > 0
• Sea y = x2 y
9
• Tabla de valores
• x y
• -3 9
• -2 4
• -1 1 4
• 0 0
• 1 1
• 2 4
• 3 9 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
42. La función f(x)= a.x2 , a < 0
• Sea y = - 2.x2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
• Tabla de valores
-2
• x y
• -3 - 18 -8
• -2 -8
• -1 -2
• 0 0
• 1 -2
• 2 -8
• 3 - 18
- 18
y
43. La función f(x)= a.x2 + c , a > 0 , c > 0
• Sea y = x2 - 2 y
7
• Tabla de valores
• x y
• -3 7
• -2 2
• -1 -1 2
• 0 -2
• 1 -1
• 2 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
• 3 7 -1
-2
44. La función f(x)= a.x2 + c , a < 0 , c > 0
5
• Sea y = - 3.x2 + 5
2
• Tabla de valores
• x y -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-7
• -3 - 22
• -2 -7
• -1 2
• 0 5
• 1 2
• 2 -7
• 3 - 22
- 22
y
45. La función f(x)= a.x2 + b.x , a > 0 , b < 0
y
• Sea y = x2 - 2.x 15
• Tabla de valores
• x y
• -3 15
• -2 8 8
• -1 3
• 0 0
• 1 -1
• 2 0
• 3 3 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1
46. La función f(x)= a.x2 + b.x , a<0, b>0
• Sea y = - x2 + 5.x 6
4
• Tabla de valores
• x y
-2 -1 0 1 2 3 x
• -3 - 24
• -2 - 14 -6
• -1 -6
• 0 0
• 1 4
• 2 6
• 3 6 - 14
y
47. La función f(x)= a.x2 + b.x + c , a > 0 , b < 0 y c > 0
y
• Sea y = x2 - 2.x + 3
• Tabla de valores 18
• x y
• -3 18
• -2 11 11
• -1 6
• 0 3
• 1 2
6
• 2 3
• 3 6
3
2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
49. Ejemplos de dilatación
• Sea f(x) = x2 Si debemos representar: f(x) = r.x2
• El efecto es que la parábola se deforma.
• Si r > 0 Conserva la concavidad Si r < 0 Se invierte.
• Si |r| > 1 Se estrecha. Si |r| < 1 Se ensancha.
y
f(x) = 2.x2
f(x) = x2
f(x) = 0’5.x2
-3 -2 -1 0 1 2 3
51. El valor absoluto ó modulo es el “valor ó magnitud” de un
número, independientemente de su signo.
Si tenemos un número real x su valor absoluto se escribe
│x│.
•El valor absoluto de 7 es 7
•El valor absoluto de –π es π
•El valor absoluto de -3 es 3
El numero real -20 y el 20, tienen el mismo valor absoluto,
20
52. Si a es un número real distinto de cero, entonces
oao a es positivo.
Aquél de los dos que es positivo es llamado
valor absoluto de a.
El valor absoluto de un número real a,
denotado por a , se define por la regla
a a si a 0
y
a a si a 0
53. mayor que
< menor que
mayor o igual que
menor o igual que
55. IV. Función Valor Absoluto
• El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un
número real no negativo que se define:
x si x ≥ 0
f(x) = |x| =
-x si x < 0
Ejemplo:
|-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3
Si los números reales están representados geométricamente
en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al
origen.
56. IV. Función Valor Absoluto
– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.
57. IV. Función Valor Absoluto
– b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.
58. IV. Función Valor Absoluto
• Propiedades:
– a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0
– b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a
– c. |xy| = |x| · |y|
– d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)
59. IV. Función Valor Absoluto
• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se
generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo
es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.
60. IV. Función Valor Absoluto
• Ejercicios:
– Determinar el intervalo solución de las siguiente inecuación:
• a. |x – 3| ≤ 2
Aplicando la primera propiedad:
-2 ≤ x – 3 ≤ 2
-2 + 3 ≤ x ≤ 2 + 3
1≤x≤5
x € [1, 5]
69. Introducción
Una industria está
caracterizada por la siguiente f(x)
función de producción: f (x) =
x0.5, donde x es el único factor
que utiliza en la producción de
cierto artículo.
x
En tal sentido, f(x) es el número
de unidades producidas cuando
se utiliza x factores.
f x x
70. Objetivos
Identificar la función raíz cuadrada, su
dominio y rango.
Graficar la función raíz cuadrada en el plano.
Aplicaciones.
Resolver ecuaciones con radicales.
71. Función Raíz Cuadrada
Ecuación General:
y k a x h
Expresando y = f(x):
f ( x) a x h k
(h, k) es el vértice o inicio de la gráfica.
“a” indicará la extensión y dirección de la gráfica.
72. Función Raíz Cuadrada
Por ejemplo:
f x x 1 1 y 1 x 1
f(x)
Dom (f) = [-1, ∞)
3 Ran (f) = [1, ∞)
2
1
-1 3 x
x 1 0 x 1
y 1 0 y 1
73. Función Raíz Cuadrada
Por ejemplo:
f x x 3 2 y 2 x 3
f(x)
Dom (f) = [3, ∞)
Ran (f) = (-∞, 2]
2
3 x
x 3 0 x 3
y 2 0 y 2
75. Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones
Conocemos la gráfica de f x x
Si queremos obtener la gráfica de f x x 2
Desplazamos (trasladamos) 2 unidades
hacia arriba (por el eje de f(x))
f(x)
2
x
76. Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones
Si queremos obtener la gráfica de f x x 3 2
Desplazamos (trasladamos) 3 unidades
hacia la derecha (por el eje de x)
f(x)
2
3 x
77. Otra forma de graficar: Traslaciones y Reflexiones
Si queremos obtener la gráfica de f x x 3 2
Obtenemos el reflejo con relación al eje
x.
f(x)
2
3 x
78. Ecuaciones con Radicales
Una ecuación radical es una ecuación en la cual la
variable aparece dentro del signo radical.
Por ejemplo: . 2 x 9
. x 5 6
Para resolver estas ecuaciones, utilizaremos la
siguiente propiedad:
Si a = b → a2 = b2
La solución final debe verificarse en la ecuación
Inicial.
79. Ecuaciones con Radicales: Ejercicios
Resuelva las siguientes ecuaciones:
1. 3x 2 4
2. 5x 3 2x 3
3. 3 x 4x 3
4. x 3 x 2x 1
5. x 4 x 1 x 4
80. FUNCIÓN RADICAL
• Una función f se llama radical o irracional si la variable independiente aparece
bajo un signo radical.
• Sea f(x) = √x
• Asigna a cada imagen la raíz cuadrada del valor del origen.
• Dom f(x) = R+
• Img f(x) = R+
• Simetría: No hay S. PAR ni S. IMPAR
• Mínimo y Máximos: No hay.
• Monotonía: Extrictamente creciente en R 3
• si x2>x1 f(x2)>f(x1 )
2
•
• Tabla de valores: 1
x -2 -1 0 1 4 9 16 25 0 1 4 9
y --- --- 0 1 2 3 4 5
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 80
81. FUNCIONES RADICALES
• n
• Sea g(x) = √f(x)
• Asigna a cada imagen la raíz de índice n del valor de f(x)
• Se puede decir que es función de función o función compuesta.
• Dom g(x) = R si n es impar.
• Dom g(x) = {V x / f(x) ≥ 0 } si n es par.
• Img f(x) = R si n es impar
• Img f(x) = R+ si n es par
• Simetría: Puede haber simetría PAR si n es par.
• Puede haber simetría IMPAR si n es impar.
• Creciente en un entorno de xi, si para x2 > x1 f(x2) > f(x1)
• Decreciente en un entorno de xi, si para x2 > x1 f(x2) < f(x1)
•
• Tabla de valores: Es imprescindible.
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 81
82. • EJEMPLO 1
• Sea f(x) = √ (4 – x)
• Dom f(x) = 4 – x ≥ 0 , 4 ≥ x f(x)
• Dom f(x) = (-oo, 4] 3
• Img f(x) = R+
2
• Simetría: No hay
• Es decreciente en (-oo,4) 1
• pues si x2 > x1
• f(x2) < f(x1 )
• Corte con el eje Y: x = 0
• y = 2 Pc(0,2) -5 0 1 2 3 4 5 x
• Corte con el eje X: y = 0
• x = 4 Pc(4,0) x - 12 - 5 0 3 4 5 6
•
• Tabla de valores: y 4 3 2 1 0 --- ---
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 82
83. • EJEMPLO 2
• Sea f(x) = √ x2 - 4
• Dom f(x) = x2 - 4 ≥ 0 , x2 ≥ 4
• Dom f(x) = { Vx c (-oo, -2] U [2, +oo) }
• Img f(x) = R+
f(x)
• Simetría: f(x) = f(-x) Hay S. PAR
• Es decreciente en (-oo,-2) pues si 3
• x2 > x1 f(x2) < f(x1 ) 2
• Es creciente en (2, +oo) pues si
• x2 > x1 f(x2) > f(x1 ) 1
x
• Corte con el eje Y: x = 0 y = NO
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
• Corte con el eje X: y = 0
• x = -2 , x = 2 Pc(-2,0) , Pc(2,0)
• x -4 -3 -2 2 3 4
• Tabla de valores: y 2√3 √ 5 0 0 √5 2√3
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 83
84. • EJEMPLO 3
•
• 3
• Sea f(x) = √ (x – 8)
• Dom f(x) = R , al ser n impar f(x)
• Img f(x) = R+ 2
• Simetría: f(x) = f(-x) No hay S. PAR 1
• Simetría: f(x) = -f(-x) No hay S. IMPAR
• Es creciente en R, pues si
• x2 > x1 f(x2) > f(x1 ) -19 -16 -8 0 8 9 16 x
• Corte con el eje Y: x = 0 y = - 2
• Pc(0, - 2) -2
• Corte con el eje X: y = 0
• x = 8 Pc(8, 0)
• x - 19 0 7 8 9 16
• Tabla de valores:
y -3 -2 -1 0 1 2
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 84
85. • EJEMPLO 4
• Sea f(x) = √ x4 / (4 – x2)
• Dominio
• x4 ≥ 0
• 4 – x2 >0 x =R ,, x2 < 4 x =R ,, -2 < x < 2
• Solución 1: - 2 < x < 2
• x4 ≤ 0
• 4 – x2 <0 x = 0 ,, x2 > 4 x = 0 ,, (-oo,-2]U[2,+oo)
• Solución 2: No hay
• Dom f(x) = { x c R: (- 2, 2) }
• Img f(x) = R+
• Es creciente en (0, 2) pues si x2 > x1 f(x2) > f(x1 )
• 1 > 0 f(1) > f(0 ) , pues √(1/3) > 0
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 85
86. • … EJEMPLO 4
f(x)
• Sea f(x) = √ x4 / (4 – x2)
• Asíntotas Verticales:
• x=-2 y x=2
• Horizontales:
• y = lim f(x)= √ oo = oo No hay
• xoo
• Oblicuas:
• m = lim f(x) / x = lim √ x4 / (4 – x2) : x 0,17
• xoo xoo
• m = lim √ x4 / (4x2 – x4) = √ – 1 No hay
• xoo 0,13
x
• Img f(x) = R+
-2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
• Simetría: f(x)=f(-x) Presenta simetría Par.
x -2 -1 0 1 2
• Tabla de valores:
y -- √1/3 0 √1/3 ---
@ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 86
