Aritmetica i bim

ARITMETICA
I BIM.
TRILCE PRIMARIA

ARITMETICA
Í n d i c e
Pág.
¯ Adición y Sustracción en N...........................................7
¯ Multiplicación y División en N.....................................17
¯ Números enteros (Z)..................................................27
¯ Adición y Sustracción en Z - Operaciones combinadas
de adición y sustracción en Z.....................................37
¯ Multiplicación y División en Z.....................................43
¯ Conjunto de los números racionales..........................47
¯ Operaciones con fracciones.......................................53
¯Repaso 67
COLEGIO TRILCE Página 2

ARITMETICA
ADICIÓN EN N
A la acción de agregar, agrupar o añadir le llamamos ADICIÓN.
ELEMENTOS DE LA ADICIÓN:
1. Los números que queremos sumar reciben el
nombre de SUMANDOS.
2. El signo para identificar la operación es una
pequeña cruz (+).
3. El resultado de la operación se denomina "suma total".
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES:
1. Propiedad de Clausura.
"Si sumamos dos o más números naturales, el resultado también es otro número
______________".
Ejemplo:
Si: 87 ∈ ___ y 13 ∈ ___; entonces: 87 + 13 = 100 ∈ ___
es decir:
S i : a N y b N ; e n t o n c e s : ( a + b ) N
2. Propiedad Conmutativa.
"El orden de los sumandos no altera la ______________".
Ejemplo:
1 3 + 2 7 + 5 8 = 9 8

ARITMETICA
Si: 26 ∈ ___ y 14 ∈ ___; entonces: 26 + 14 = ___ + ___ = 40
es decir:
S i : a N y b N ; e n t o n c e s : a + b = b + a
3.a Propiedad Asociativa.
"La forma como agrupamos los sumandos no altera la ______________".
Ejemplo:
S i: 8 _ _ _ , 7 _ _ _ y 5 _ _ _ ; e n t o n c e s : ( 8 + 7 ) + 5 = _ _ _ + ( _ _ _ + _ _ _ ) = 2 0∈ ∈ ∈
S U M A S P A R C I A L E S
es decir:
S i : a N , b N y c N ; e n t o n c e s : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3.b Propiedad Disociativa.
"Es una adición, al descomponer uno de los sumandos en dos o más sumandos
la suma no se ______________".
Esta propiedad es recíproca de la anterior.
Ejemplo:
S i: 1 2 _ _ _ y 5 _ _ _ ; e n t o n c e s : 1 2 + 5 = ( _ _ _ + _ _ _ ) + 5 = 1 7 ,
p o r q u e 1 2 = _ _ _ + _ _ _
∈ ∈
S U M A P A R C I A L
es decir:
S i : a N y b N ; e n t o n c e s : a + b = ( x + y ) + b ; p o r q u e : a = x + y
4. Propiedad del elemento neutro.
"Si sumamos cualquier número natural con el ______________, el resultado sigue
siendo el mismo número natural".
Ejemplo:
Si: 3 ∈ ___; entonces: 3 + ___ = __ + 3 = 3
es decir:
S i : a N ; e n t o n c e s : a + 0 = 0 + a = a

ARITMETICA
Nota: En el conjunto Z, el número opuesto o contrario de un número "a" es aquel
número (-a) llamado elemento inverso aditivo de "a", ya que sumando nos da el
módulo cero.
Ejemplo: 6 + (-6) = (-6) + 6 = 0
es decir: a + (-a) = (-a) + a = 0
REFORZANDO MIS CONOCIMIENTOS
1. Completa el nombre de las propiedades:
a. 32 + 27 = 59________________________
b. 210 + 0 = 210 ________________________
c. (7 + 3) + 12 = 7 + (3 + 12) ________________________
d. 23 + 57 = 57 + 23 ________________________
e. 7 + 15 = 7 + (3 + 12) ________________________
2. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades.
a. Hallar 2 números que sumados resulten:
• 10 = 1 + 9 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
• 13 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
• 17 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___
• 19 = ___ + ___ = ___ + ___ = ___ + ___

ARITMETICA
b. Calcular mentalmente el resultado de la adición:
Ejemplo:
7 3 + 2 7 =
( 7 0 + 2 0 ) y ( 3 + 7 )
9 0 1 0 = 1 0 0
• 23 + 72 = • 17 + 81 = • 64 + 45 =
• 42 + 51 = • 86 + 27 = • 76 + 23 =
c. Calcular mentalmente, formando grupos de 10.
Ejemplo:
2 + 7 + 5 + 1 + 8 + 3 + 4 + 5 + 9 =
1 0 + 1 0 + 1 0 + 1 0 + 4 = 4 4
• 2 + 7 + 5 + 3 + 8 =
• 1 + 3 + 5 + 9 + 7 + 5 =
• 6 + 2 + 8 + 4 + 7 + 3 =
• 9 + 5 + 1 + 6 + 4 + 9 =
d. Separa convenientemente, formando decenas.
Ejemplo:
7 9 + 3 4 =
7 9 + ( 1 + 3 3 )
( 7 9 + 1 ) + 3 3
8 0 + 3 3 = 1 1 3
• 529 + 32 = • 249 + 36 =

ARITMETICA
• 739 + 13 = • 819 + 27 =
e. Realiza las siguientes adiciones y halla: abc
• 2 + 22 + 222 + 2222 + ... + 22222222 = abc...
• 1 + 31 + 131 + 3131 + ... + 1313131313 = abc...
• 3 + 33 + 333 + ... + 33333333 = abc...
• 32 + 323 + 3232 + ... + 3232323 = abc...
f. Adiciones particulares:
• 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 9 + 10 =
n = _ _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o
n ( n + 1 )
2
• 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 18 + 20 =
2 n = _ _ _ _ = ú lt im o n ú m e r o n ( n + 1 )
• 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 17 + 19 =
2 n - 1 = _ _ _ = ú lt i m o n ú m e r o n 2
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Relaciona correctamente de acuerdo al nombre de las propiedades.
a. 4 + 0 = 4 ( ) Propiedad Asociativa
b. 9 + 3 = 8 ( ) Propiedad del Elemento Neutro
c. 7 + 4 = 4 + 7 ( ) Propiedad Disociativa
d. 18 + 7 = 18 + (2 + 5) ( ) Propiedad Clausura
e. (3 + 4) + 9 = 3 + (4 + 9) ( ) Propiedad Conmutativa

ARITMETICA
2. Métodos prácticos para sumar utilizando las propiedades.
a. 423 + 17 =
b. 171 + 29 =
c. 524 + 236 =
d. 812 + 428 =
e. 6 + 8 + 1 + 4 + 2 + 9 + 5 =
f. 12 + 7 + 23 + 5 + 8 + 15 =
g. 5 + 25 + 525 + 2525 + ... + 2525252525 = ab...
h. 1 + 2 + 3 + ... + 15 =
i. 2 + 4 + 6 + ... + 16 =
f. 1 + 3 + 5 + ... + 17 =
SUSTRACCIÓN EN N
Es una operación inversa a la ADICIÓN.
ELEMENTOS DE LA SUSTRACCIÓN:
5 3 2 6- 2 7=
( M ) ( S ) ( D )
N o t a : S i: D 1
e n t o n c e s : M > S
PROPIEDADES PARTICULARES:
I. Si: 53 - 26 = 27, entonces: 53 = 27 + ___
es decir:
S i : M - S = D ; e n t o n c e s : M = D + S
Veamos qué sucede cuando sumamos los tres términos de una sustracción.
DESAFÍO
abc...9898.....989898...9898989999
cifras20
=+++++   
Hallar el valor de "a + b + c"

ARITMETICA
si: 53 - 26 = 27; entonces:
53 + 26 + 27 =
53 + (26 + 27) =
53 + ___ = 2 ( )
es decir:
si: M - S = D; entonces:
M + S + D =
M + (S + D)
M + ____ = 2 ( )
Por lo tanto, la suma de los tres términos de una sustracción es igual a dos veces el
minuendo.
M + S + D = 2 M
II. Sustracciones particulares
4 1 2
2 1 4
1 9 8
-
= _ _ _
_ _ _ + _ _ _ = _ _ _
8 3 2
2 3 8
5 9 4
-
= _ _ _
_ _ _ + _ _ _ = _ _ _
a b c
c b a
x n y
-
= _ _ _
_ _ _ + _ _ _ = _ _ _
III. Complemento aritmético (C.A.)
Para: 123, su C.A. es: 1000 - 123
1 0 0 0
1 2 3
8 7 7
- U n id a d e s
D e c e n a s
C e n t e n a s
_ _ _ - 3 = 7
_ _ _ - 2 = 7
_ _ _ - 1 = 8

ARITMETICA
C
1
( _ _ _ - 1 )
D
2
( _ _ _ - 2 )
U
3
( _ _ _ - 3 )
C o m p le m e n t o A r it m é t ic o
En general:
Para: ,abcd su C.A. es: abcd10000 −
U M
a
( 9 - a )
C o m p le m e n t o A r it m é t ic o
C
b
( 9 - b )
D
c
( 9 - c )
U
d
( 1 0 - d )
IV. Relaciones de compra y venta:
P V - G = P c
Donde: • PV : ____________________________
• G : ____________________________
• Pc : ____________________________
1. La suma de los tres términos de una
sustracción es 4208. Hallar el minuendo.
2. Los tres términos de una sustracción al
sumarse da 2040. Hallar el minuendo.
3. ¿Cuál es la diferencia en una sustracción
cuya suma de términos sea 8424, sabiendo
además que el sustraendo es la cuarta
parte del minuendo?
4. En una sustracción, la diferencia de los dos
menores términos es 44. Si el mi-nuendo es
el cuádruple del sustraendo, hallar el mayor
de estos dos términos.
5. ¿Cuál es el C.A. de 5782?
6. Si el C.A. de abc es 327;
hallar: a + b + c.
7. Si el C.A. de 8ab8 es a4cd ;
hallar: a + b + c + d.
8. Hallar "x", si: 93xpnmmnp =− .
9. Si se cumple: mn2cbaabc =− ;
hallar: m + n.
10. María vende una bicicleta por S/.750, ganando
S/.220. ¿Cuánto le costó la bicicleta?

ARITMETICA
1. La suma de los tres términos de una
sustracción es 4800, hallar el minuendo.
2. ¿Cuál es la diferencia, en una sustracción
donde la suma de términos es 5400,
sabiendo además que el minuendo es el
triple del sustraendo?
3. El complemento aritmético de 2753 es:
4. El complemento aritmético de es . Hallar: a
+ b + c + d
5. Hallar "a", si:
6. Si se cumple: mx7rqppqr =−
hallar: m + x
7. Víctor vendió un equipo de sonido por
S/.970, ganando S/.145. ¿Cuál es el
precio de costo del equipo de sonido?
8.
9 2 5
4 5 3
-
9.
7 5 6 8
3 8 7 3
-
10.
2 3 5 4
1 2 9 7
-

ARITMETICA
MULTIPLICACIÓN EN N
DESAFÍO
En una sustracción la suma de sus tres términos es 240, y además la
diferencia es el triple del sustraendo. Hallar el sustraendo.

ARITMETICA
La multiplicación es una suma abreviada de sumandos iguales, que pueden repetirse
muchas veces.
Ejemplo:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 5 = 1 5
S U M A N D O S
S e r e p it e _ _ _ _ v e c e s e l 3 .
ELEMENTOS DE LA MULTIPLICACIÓN:
6 7× 4 2=
1 2 3
4 5
6 1 5
4 9 2
5 5 3 5
0
× M u lt ip lic a n d o
M u lt ip lic a d o r
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
P r o d u c t o
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN:
1. Propiedad de Clausura.
"Si multiplicamos dos o más números naturales, el producto también es otro número
natural".
Ejemplo: Si: 25 ∈ N y 3 ∈ N, entonces: 25 × 3 = ____ ∈ N
es decir:
S i : a N y b N ; e n t o n c e s : ( a × b ) N
2. Propiedad Conmutativa.
"El orden de los factores no altera el producto".

ARITMETICA
Ejemplo: Si: 12 ∈ N y 3 ∈ N; entonces: 12 × 3 = ___ × ___ = 36
es decir:
S i : a N y b N ; e n t o n c e s : a × b = b × a
3. Propiedad Asociativa.
"Si multiplicamos tres o más factores y juntamos dos sin importar el orden y se
reemplaza por el producto parcial, el producto no varia".
Ejemplo: Si: 8 ∈ N, 3 ∈ N y 2 ∈ N; entonces: (8 × 3) × 2 = ___ × (___ × ___)
es decir:
S i : a N , b N y c N ; e n t o n c e s : ( a × b ) × c = a × ( b × c )
4. Propiedad del Elemento Neutro o Modulativa.
"Cualquier número por UNO es igual al mismo número".
Ejemplo: Si: 27 ∈ N: entonces: 27 × ___ = 27
es decir:
S i : a N , e n t o n c e s : a × 1 = a
5. Propiedad del Elemento Absorvente.
"Todo número multiplicado por CERO es igual a CERO".
Ejemplo: Si: 43 ∈ N, entonces: 43 × ___ = 0
es decir:
S i : a N , e n t o n c e s : a × 0 = 0
6. Propiedad Distributiva.
a. Con respecto a la Adición:
"El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos
parciales de dicho número por cada uno de los sumandos".
Ejemplo: Si: 8 ∈ N, 3 ∈ N y 7 ∈ N, entonces: 8(3 + 7) = 8 × ___ + 8 × ___ = 80

ARITMETICA
es decir:
S i : a N , b N y c N , e n t o n c e s : a ( b + c ) = a b + a c∈ ∈
b. Con respecto a la Sustracción:
"El producto de un número por una diferencia es igual a la diferencia de los
productos parciales de dicho número por cada uno de los términos de la sustracción".
Ejemplo: Si: 7 ∈ N, 23 ∈ N y 13 ∈ N, entonces: 7(23 - 13) = 7 × ___ - 7 × ___ = 70
es decir:
S i : a N , b N y c N , e n t o n c e s : a ( b - c ) = a b - a c∈ ∈
7. Propiedad de Uniformidad.
"Si se multiplican miembro a miembro dos o más igualdades, el resultado es otra
igualdad".
Ejemplo: Si: a = 5 y b = 3, entonces: ___ × ___ = ___ × ___
es decir:
S i : a = a y b = b , e n t o n c e s : a × b = a × b1 1 1 1
8. Propiedad de Monotomia.
a. "Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por un mismo número
natural, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido".
Ejemplo: Si: 5 < 7, entonces: ___ × 5 < ___ × 7
es decir:
S i : a < b , e n t o n c e s : a × c < b × c
b. "Si se multiplican miembro o miembro dos o más desigualdades del mismo
sentido, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido".
Ejemplo: Si: 3 < 6 y 2 < 5; entonces: ___ × ___ < ___ × ___
es decir:
S i : a < b , c < d ; e n t o n c e s : a × c < b × d

ARITMETICA
a. 3 × 1 = 3 _______________________
b. 4(5 + 45) = 4 × 5 + 4 × 45 _______________________
c. 8 × 0 = 0 _______________________
d. 7 × 3 = 3 × 7 _______________________
e. 23 × 2 = 46 _______________________
f. (7 × 5) × 9 = 7 × (5 × 9) _______________________
g. 5(3 - 2) = 5 × 3 - 5 × 2 _______________________
h. b = 11;c = 5 → b × c = 55 _______________________
i. 7 < 9 → 7 × 3 < 9 × 3 _______________________
j. 5 < 7 y 3 < 8 → 5 × 3 < 7 × 8 _______________________
2. Métodos prácticos para multiplicar utilizando las propiedades.
a. Hallar 2 números que multiplicados resultan:
• 36 = 12 × 3 = ___ × ___ = ___ × ___
• 100 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
• 60 = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
• 72 = = ___ × ___ = ___ × ___ = ___ × ___
b. Calcular mentalmente, agrupando factores potencia de 10.
Ejemplo:
2 × 3 × 5 × 7 = ( 2 × 5 ) × ( 3 × 7 )
1 0 × 2 1 = 2 1 0
• 3 × 5 × 8 × 2 = • 2 × 7 × 5 × 4 =

ARITMETICA
• 7 × 25 × 8 × 4 = • 5 × 9 × 2 × 3 =
• 4 × 3 × 25 × 7 = • 25 × 7 × 4 × 5 =
c. Calcular mentalmente el siguiente producto:
Ejemplo:
7 × 3 2 7 × 3 2 = 7 × ( 3 0 + 2 )
= 7 × 3 0 + 7 × 2
= 2 1 0 + 1 4 = 2 2 4
• 8 + 32 = • 9 × 52 = • 6 × 85 =
• 7 × 51 = • 9 × 35 = • 5 × 94 =
d. Calcular mentalmente el siguiente producto:
Ejemplo:
8 × 1 9 8 × 1 9 = 8 × ( 2 0 - 1 )
= 1 6 0 - 8 = 1 5 2
• 7 × 19 = • 4 × 18 = • 6 × 49 =
• 5 × 19 = • 5 × 18 = • 8 × 49 =
e. Resolver las operaciones sacando el factor común:
Ejemplo:
2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 + 5 × 5
5 ( 2 + 3 + 5 )
5 ( 1 0 ) = 5 0
• 3 × 5 + 3 × 7 + 3 × 18 =
• 8 × 19 + 8 × 3 + 8 × 8 =
• 9 × 43 + 9 × 27 - 9 × 70 =
• a × 7 + a × 3 - a × 10 =
• 8a - 4b =

ARITMETICA
• ab - ac + a × a =
3. Efectuar las siguientes multiplicaciones:
• 234 × 56 = • 597 × 308 =
4. Resolver las siguientes multiplicaciones:
a. Se compraron 9 libros a S/.2 cada uno, 6 lapiceros a S/.1 cada uno y 4 plumas
fuentes a S/.3 cada una. Si se vende todo por S/.20, ¿cuánto se pierde?
b. Un empresario ocupa los servicios de 10 obreros durante dos semanas
pagándoles dominical. Si a 6 de ellos les paga S/.12 diarios y S/.10, a cada uno
de los restantes, ¿cuánto desembolsa el día del pago?
c. Compre 120 caballos a S/.200 cada uno, 50 se murieron y el resto los vendí a
S/.229 cada caballo, ¿cuánto gané o perdí?
a. 3 × 0 = 0 ( ) Propiedad Conmutativa
b. (3 × 2) × 4 = 3 × (2 × 4) ( ) Propiedad del Elemento Neutro
c. 3 × 1 = 3 ( ) Propiedad Asociativa
d. 5(7 + 2) = 5 × 7 + 5 × 2 ( ) Propiedad de Clausura
e. 25 × 4 = 100 ( ) Propiedad Distributiva (+)
f. 6(9 - 4) = 6 × 9 - 6 × 4 ( ) Propiedad Uniformidad
g. 9 × 8 = 8 × 9 ( ) Propiedad de Monomomía (a)
h. x = 4; y = 7 → x.y = 28 ( ) Propiedad Distributiva (-)
i. 10 < 11 → 3 × 10 < 3 × 11 ( ) Propiedad de Monotomía (b)

ARITMETICA
j. 2 < 3; 5 < 6 → 2 × 5 < 3 × 6 ( ) Propiedad del Elemento Absorvente
2. Resolver las siguientes multiplicaciones:
a. 2 × 7 × 8 × 5 = b. 9 × 2 × 8 × 5 =
c. 25 × 6 × 4 × 7 = d. 7 × 25 × 9 × 4 =
e. 8 × 27 = f. 9 × 52 =
g. 7 × 19 = h. 6 × 39 =
i. 3 × 2 + 3 × 5 - 3 × 6 = j. 5 × 29 + 5 × 21 - 5 × 49 =
3. Resolver el siguiente problema:
Nataly venden 60 docenas de platos y hace 2 entregas:
- La primera de 170 platos.
- La segunda de 180 platos.
¿Cuántos platos le falta entregar?
Dato: 1 docena = 12 unidades
DESAFIO
Un padre reparte su herencia de la siguiente manera: A Luis le toca $9800, a
Juan $200 más que Luis, a María $300 menos que a Luis y a Arturo tanto como a los
tres anteriores. ¿Cuánto dinero repartió el padre?

ARITMETICA
DIVISIÓN EN N
"La división es una operación inversa a la multiplicación".
ELEMENTOS DE LA DIVISIÓN:
3 2 8 4=
Veamos qué sucede al multiplicar el divisor por el cociente:
Si:
4
2
32
=
; entonces: 32 = 8 × 4
Es decir: El "Algoritmo de la división" es:
S i :
D
d
= q ; e n t o n c e s : D = d × q
Nota: "32 contiene cuatro veces al divisor 8".
 El cociente (q) indica cuántas veces el divisor (d) está contenido en D.

ARITMETICA
TIPOS DE DIVISIÓN:
1. División exacta.
Es cuando en la división el residuo es igual a CERO.
Ejemplo:
S i: 5 4
5 4
9
6
; e n t o n c e s
d o n d e
: 5 4 = 9 × 6 + 0
: " e l r e s id u o e s ig u a l a C E R O "
es decir:
S i: D
r
d
q
; e n t o n c e s : D = d × q d o n d e : " r = 0 "
2. División inexacta.
Es cuando en la división el residuo es diferente de CERO.
Ejemplo:
S i: 4 5
4 2
3
6
7
; e n t o n c e s
d o n d e
: 4 5 = 6 × 7 + 3
: " e l r e s id u o e s i g u a l a 3 "
es decir:
S i: D
r
d
q
; e n t o n c e s : D = d × q + r d o n d e : " r 0 "
Nota: El residuo siempre va a ser menor que el dividendo
1. Hallar en cada caso el elemento que falta:

ARITMETICA
a. D = 85 ; q = 9 ; d = 9 ; r = ____
b. d = 11 ; q = 3 ; r = 8 ; D = ____
c. D = 215 ; q = 21 ; r = 5 ; d = ____
d. D = 420 ; d = 32 ; r = 4 ; q = ____
2. Si el cociente de una división exacta es 853 y el divisor 23, ¿cuál es el dividendo?
3. Se reparten S/.741 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca
S/.57, ¿cuántas eran las personas?
4. ¿Por qué número hay que dividir a 15 470 para que el cociente sea 17?
5. Valeria repartió cierto número de caramelos entre 19 personas y después de dar 7
caramelos a cada persona sobraron 6 caramelos. ¿Cuántos caramelos habían?
6. Vanesa repartió 260 lápices entre sus 47 amiguitos en partes iguales, le sobraron 25
lápices. ¿Cuántos lápices repartió Vanesa a cada uno de sus amigos?
7. Esteban tenía S/.165 y lo repartió a cierto número de personas. Si a cada uno le
repartió S/.23 y le sobraron S/.44, ¿cuántas personas habían?
8. En una división el cociente es 25, el divisor es 30 y el residuo es la mitad del divisor.
Encontrar el dividendo.
9. Un muchacho compra el mismo número de lápices que de lapiceros por S/.90. Cada
lápiz vale S/.3 y cada lapicero S/.7. ¿Cuántos lápices y lapiceros ha comprado?
10. Si al dividir "n" entre 137 el cociente es el duplo del divisor. ¿Qué número es "n"?

ARITMETICA
DEMUESTA LO APRENDIDO
1. Hallar el valor que falta:
a. D = 83 ; d = 9 ; q = 9 ; r = ____
b. D = 1 874 ; d = 80 ; r = 34 ; q = ____
c. D = 102 ; r = 10 ; q = 23 ; d = ____
d. d = 8 ; r = 3 ; q = 11 ; D = ____
2. Si 14 libros cuestan S/.84, ¿cuánto costarían 9 libros?
3. En una división el dividendo es 72, hallar el divisor sabiendo que el cociente y el
residuo son iguales a 4.
4. Tenía S/.2 500, compré víveres por un valor de S/.700 y con el resto compré sacos de
arroz a S/.60 el saco. ¿Cuántos sacos de arroz compré?
5. Si al dividir "x" entre 109 el cociente es el doble del divisor, ¿qué número es "x"?
6. Se reparten S/.731 entre varias personas, por partes iguales, y a cada uno le toca
S/.43. ¿Cuántas eran las personas?
7. En una división el cociente es 35, el divisor 40 y el residuo es la mitad del divisor.
Encontrar el dividendo.
DESAFIO
En una división el dividendo es 625 y además se sabe que el divisor es el cubo del cociente.
Hallar el divisor.

ARITMETICA
S o n a q u e llo s n ú m e r o s p o s it iv o s y n e g a t iv o s q u e
n o t ie n e n p a r t e d e c im a l, in c lu id o e l c e r o .
• Ejemplos:
+4; +3; -5; 9; -3; 0; -10
Los números enteros se representan en una recta numérica:
0- 1- 2- 3- 4- 5- 6. . . . . .1 2 3 4 5 6
* Recordemos que el "0" no tiene signo positivo ni negativo.
1. VALOR NUMÉRICO DE UN NÚMERO ENTERO.
Imaginemos que estamos en una competencia de dos autos, donde:
- Ambos autos parten de un mismo lugar.
- Viajan en sentido contrario.
- Viajan a una misma velocidad.
¿La distancia recorrida por los autos para un mismo tiempo será la misma?
Rpta.: ___________________
P a r t id a
Concepto: El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de
dicho número a cero.
2
6
4
3
5 N Z
- 4
- 3- 6
- 5
- 1 - 2

ARITMETICA
Ejemplo: Observa detenidamente la figura:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 . . .- 1- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8- 9. . .
De la figura podemos observar lo siguiente:
a. |-3| = 3, se lee: valor absoluto de "-3" es 3.
b. |+3| = 3, se lee: valor absoluto de "+3" es 3.
c. |-7| = 7, se lee: valor absoluto de "-7" es 7.
d. |+9| = 9, se lee: valor absoluto de "+9" es 9.
2. EL OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO.
Es el número entero cambiado de signo, por ejemplo:
• El opuesto de +7 es -7 • El opuesto de -3 es +3
• El opuesto de 5 es -5 • El opuesto de -1 es +1
3. RELACIÓN DE ORDEN (>, <, =).
a. Un número entero es mayor que otro, si se encuentra a la derecha del otro en la
recta numérica.
b. Todo número entero positivo es mayor que su antecesor.
c. Todo número entero negativo es menor que su sucesor.
Ejemplos:
* 6 es mayor que 1, porque: + 1 + 6
* 4 es mayor que 0, porque: 0 + 4

ARITMETICA
* 0 es mayor que -3, porque: - 3 0
* -2 es mayor que -6, porque: - 6 - 2
4. DESPLAZAMIENTOS SOBRE LA RECTA NUMÉRICA.
Reglas de juego
* Números negativos, indicarán movimientos hacia la izquierda de la recta, con
respecto a cero.
* Números positivos, indicarán movimientos hacia la derecha de la recta, con
respecto a cero.
* El punto de partida es cero "0".
Ejemplo: Representar sobre la recta: - 2 - 5 + 17
- 9 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 + 3+ 2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8
P a r t id a
+ 9 + 1 0 + 1 1 + 1 2 + 1 3
2 °
1 °
3 °
L le g a d a
5
2
Representar:
a. -2 - 3 - 1 0 11 2- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8 3 4 5 6 7 8
b. -3 + 5 + 4 0 11 2- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8 3 4 5 6 7 8

ARITMETICA
c. 5 - 2 - 1 + 3 0 11 2- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8 3 4 5 6 7 8
d. +4 - 5 - 2 0 11 2- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8 3 4 5 6 7 8
e. +8 - 2 - 4 0 11 2- 2- 3- 4- 5- 6- 7- 8 3 4 5 6 7 8
¡LISTOS . . . A TRABAJAR!
1. Indica en los cuadrados si es ">", "<" o "="; en cada uno de los siguientes casos:
a. 0 1 e. 4 0
b. -8 0 f. |-3| +3
c. 5 +5 g. 0 -4
d. |-1| 0 h. 0 -60
2. Completa las siguientes expresiones:
a. 36 es opuesto de: ______ e. El valor absoluto de -4 es: ______
b. -73 es opuesto de: ______ f. El valor absoluto de: +35 es: ______
c. +82 es opuesto de: ______ g. El valor absoluto de -1 es: ______

ARITMETICA
d. 5 es opuesto de: ______ h. El valor absoluto de 14 es: ______
3. Coloca (V), si la afirmación es verdadera y (F), si es falsa.
a. El opuesto de un número entero negativo es negativo. ( )
b. El opuesto del opuesto de un entero positivo es negativo. ( )
c. La distancia entre dos números opuestos es el doble de
la distancia entre uno de los números y el cero. ( )
d. El valor absoluto de un número entero siempre es positivo. ( )
e. El opuesto de un número entero negativo es positivo. ( )
f. La suma de los valores absolutos de dos números opuestos
es cero. ( )
4. Traza una recta numérica para cada caso y marca en ella los números opuestos
correspondientes. (En el cuaderno).
a. - 5 ; + 5
b. + 6 ; - 6
c. - 7 ; + 7
d. 8 ; - 8
e. - 3 ; 3
5. Completa el siguiente cuadro:
0
R e c u e r d a : p a r a - 4 y + 4
- 1- 3- 4 + 1 + 2 + 3 + 4

ARITMETICA
a > ó < b | a | > , < ó = | b | | a | + | b |
- 1 5
- 7
+ 5
- 1 3
- 1 0 0
+ 1 0
1 2
4
- 7
- 1 4
- 1
- 1 0 1
1 6
- 5 4
1 8
+ 2
+ 9
6
1 5
0
- 2 0
- 2 2
- 8
- 7
+ 1 4
0
- 3
+ 1 6
5 2
- 3 6
6. En tu cuaderno traza una recta numérica y representa en ella lo siguiente:
a. - 8 + 5 c. - 7 - 2
b. + 4 - 10 d. + 5 + 3
* Observa la siguiente información y responde las interrogantes:

ARITMETICA
C i u d a d
A b a d ia
I q u e d ia
C a lm a d ia
A n t o f a d ia
C a p ia
V a lle n illa
L a S e r illa
V a lp e d ia
P u d a lia
Q u in t a n illa
J u a n t o r e n a
C u r s im a
C h illid o
C o n e x ió n
T e m b lid o
V a ld iv ia
O s o d io
P u e r t illa
C o p a d ir m a
B a lm a d ia
P u n t illa s
M í n i m a
1 4 . 0 º C
1 2 . 1 º C
- 0 . 8 º C
1 3 . 8 º C
5 . 5 º C
1 0 . 0 º C
7 . 9 º C
1 1 . 8 º C
5 . 3 º C
7 . 2 º C
1 7 . 9 º C
1 1 . 7 º C
1 4 . 2 º C
1 3 . 4 º C
1 4 . 6 º C
7 . 8 º C
7 . 0 º C
6 . 2 º C
- 3 . 8 º C
- 8 . 1 º C
0 . 0 º C
M á x i m a
1 9 . 1 º C
1 7 . 8 º C
2 2 . 7 º C
1 8 . 1 º C
2 1 . 3 º C
2 0 . 0 º C
1 3 . 1 º C
1 3 . 6 º C
2 3 . 6 º C
2 3 . 8 º C
1 8 . 7 º C
1 9 . 6 º C
1 7 . 2 º C
1 4 . 7 º C
1 8 . 8 º C
1 7 . 4 º C
1 6 . 0 º C
1 4 . 6 º C
2 . 8 º C
1 . 3 º C
6 . 3 º C
T e m p e r a t u r a
7. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la
temperatura más baja? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el signo negativo en ese caso?
¿Qué indica el número (valor numérico)?
8. ¿Cuál es la ciudad señalada en la información que tuvo en algún momento del día la
temperatura más alta? ¿Cómo lo sabes? ¿Qué indica el número (valor numérico)?
¿Por qué no tiene signo? Si tuvieras que ponerle un signo, ¿cuál le pondrías?
9. ¿Qué indica el cero en esa información? ¿Qué relación tiene el cero con las
temperaturas con signo negativo? y ¿el cero lleva signo?

ARITMETICA
10 Resuelve:
a. |-4| × |2| + |-8|
b. |-6| × |-3| + |16|
c. |-18| ÷ |-3| -
d. |5|
|2||10|
−
÷−
C o n t in ú a e s f o r z á n d o t e p o r q u e
e l é x it o d e p e n d e d e t i.

ARITMETICA
1. Escribe en cada cuadrado, si es "<", ">" o "=", según convenga:
a. |-3| -3 e. |-48| 48
b. -1 |1| f. +35 35
c. -2 -38 g. -8 |+8|
2. Completa las expresiones siguientes:
a. -8 es opuesto de: ______ d. El valor absoluto de -5 es: ______
b. 36 es opuesto de: ______ e. El valor absoluto de 13 es: ______
c. +15 es opuesto de: ______ f. El valor absoluto de +14 es: ______
3. Determina los siguientes conjuntos por extensión:
a. A = {x/x ∈ Z, x < 1}
A = {___________________________________}
b. B = {x ∈ Z/x > -4}
B = {___________________________________}
c. C = {x/x ∈ Z, -8 < x < 8}
C = {___________________________________}

ARITMETICA
d. D = {x/x ∈ Z, -1 < x}
D = {___________________________________}
4. Traza una recta numérica para cada caso y representa en ella:
a. + 7 - 6 c. - 10 - 2
b. - 8 + 8 d. + 3 + 12
5. Ordena los siguientes números enteros en la recta numérica:
a. -7 ; +6 ; 0 ; -1 b. -10 ; -12 ; -13
c. -20 ; - 10 ; -6 ; 1 d. -27 ; -21 ; 1
e. -10; +2 ; +5; -1 f. +15 ; -13 ; -14 ; 0
g. -17 ; +16 ; -15 ; 0 h. +8 ; -5 ; -4 ; +3
6. Resuelve los siguientes ejercicios:
a.
|100|
|5||6|
|3||18||7|
−+
−+−
−−−+−
b.
2
|3|
|25||5|






−
+−
* Un submarino se encuentra sumergido a 50 metros de la superficie, luego realiza los
siguientes movimientos:
a. Primer movimiento: desciende 120 metros.
b. Segundo movimiento: asciende 70 metros.
c. Tercer movimiento: desciende 50 metros.
7. Luego del primer movimiento, ¿a cuántos metros de profundidad se encuentra el
submarino?
8. Luego del segundo movimiento ¿a cuántos metros de la superficie se encuentra el
submarino?
9. Luego del tercer movimiento, ¿cuál es la distancia que separa el submarino de la
superficie?

ARITMETICA
10. ¿Cuál es la mayor profundidad alcanzada por el submarino? ¿En qué movimiento?
DESAFÍO
Considera un número entero "x" y realiza con él las siguientes operaciones
sucesivas: multiplícalo por 2, súmale 1, multiplícalo por 3 y réstale 5. Si el
resultado final fue 220, el valor de "x" es:
A. Un número primo. B. Un número par.
C. Un número entre 40 y 50. D. Un número múltiplo de 3.
E. Un número cuya suma de dígitos es 9.
S a b ía s q u e . . .
L a p r im e r a c o n s id e r a c ió n s o b r e e l n ú m e r o n e g a t iv o
n o lle g a a O c c id e n t e h a s t a e l s ig lo X V I ; s in e m b a r g o ,
e n O r ie n t e , d u r a n t e e l s ig lo I V , y a s e m a n ip u la b a n
n ú m e r o s p o s it iv o s y n e g a t iv o s e n lo s á b a c o s ,
u s a n d o b o la s d e d if e r e n t e s c o lo r e s .
ADICIÓN
a. Sumandos del mismo signo: Se suman los valores absolutos y la suma tiene el mismo
signo. Ejemplo:
a. (+3) + (+7) + (+10) =
b. (-7) + (-3) + (-2) =

ARITMETICA
b. Sumandos de signos diferentes: Se restan los valores absolutos y la suma tiene el
signo del sumando de mayor valor absoluto. Ejemplo:
a. (-16) + (+2) =
b. (+30) + (-16) =
SUSTRACCIÓN
Para restar dos números enteros se suman el minuendo con el opuesto del sustraendo,
es decir "se transforma la resta en suma". Ejemplo:
a. (-2) - (-3) =
b. (+10) - (-4) =
Recuerda
• El valor absoluto de un número es el valor del mismo prescidiendo de su signo.
• (+4) + (-6) = 4 - 6
(-3) + (-8) = -3 - 8
1. Sumar los siguientes números enteros:
a. 8 ; 7 ⇒ 8 + 7 = 15
b. 2 ; - 1 ⇒ __________________________________
c. - 3 ; - 4 ⇒ __________________________________
d. + 6 ; - 8 ⇒ __________________________________
e. + 10 ; + 2 ⇒ __________________________________

ARITMETICA
f. - 7 ; + 2 ⇒ __________________________________
g. - 3 ; - 1 ⇒ __________________________________
h. - 7 ; + 9 ⇒ __________________________________
2. Escribir ">", "<" o "=", según corresponde.
a. (-9) - (-4) ______ (-3) - (+6)
b. (-8) - (+13) ______ (-7) - (+14)
c. (-18) - (-6) ______ (-9) - (+3)
d. (-20) - (+33) ______ (+18) - (-36)
e. (+65) - (+7) ______ (-7) - (-65)
3. Efectuar las siguientes restas de números enteros:
a. (12) - (+7) b. (15) - (8)
c. (-36) - (+23) d. (-36) - (-11)
e. (-25) - (35) f. (-100) - (-100)
g. (+8) - (-8) g. (+9) - (+9)
4. Afina tu cálculo mental.
a. + 4 + 6 + 9 = b. - 8 - 3 - 6 =
c. + 11 + 15 + 12 = d. - 5 - 12 - 9 =
e. - 5 + 16 - 14 =
5. Completa la tabla y continúa desarrollando.

ARITMETICA
a
- 1
+ 4
- 6
b
3
- 2
+ 1
c
- 2
5
4
( a + b ) ( b - c ) ( a + c ) ( c - a )
1. Halla en tu cuaderno el resultado de las siguientes operaciones:
a. - 4 - 7 + 13 - 9 Rpta.: -7
b. - 13 + 14 + 27 - 18 - 38 Rpta.: -28
c. 53 - 28 + 39 - 47 + 18 Rpta.: 35
d. - 68 + 4 - 73 - 52 + 106 Rpta.: -83
e. 75 - 49 - 32 + 92 + 18 - 20 Rpta.: 84
f. 36 + 13 + 47 - 12 Rpta.: 84
g. - 73 + 26 - 14 - 37 + 41 Rpta.: -57
h. 45 + 80 - 5 - 6 Rpta.: 114
i. - 8 - 16 + 10 - 40 Rpta.: -54
j. - 10 - 15 + 35 - 14 Rpta.: -4
DESAFIO: La rana obstinada.
Buscando agua, una rana cayó en un pozo de 30m de hondo. En su intento por salir, la obstinada rana
conseguía subir 3 metros cada día pero por la noche resbalaba y bajaba dos metros. ¿Podrías decir cuántos
días tardó la rana en salir del pozo?

ARITMETICA
OPERACIONES COMBINADAS DE ADICIÓN
Y SUSTRACCIÓN EN Z
Para poder efectuar operaciones combinadas de números enteros, debemos realizar los
siguientes pasos.
Ejemplo:
* Efectuar:
P = (+7) + (-2) - (+4) + (+10) - (-3)
Primero : Transformamos las sustracciones en adiciones por el opuesto:
P = (+7) + (-2) + (-4) + (+10) + (3)
Segundo : Escribimos los enteros positivos como números naturales:
P = (7) + (-2) + (-4) + (10) + (3)
Tercero : Suprimimos los paréntesis:
P = 7 - 2 - 4 + 10 + 3
Cuarto : Agrupamos los números positivos y los números negativos:
P = 7 + 10 + 3 - 2 - 4
Quinto : Sumamos los positivos y los negativos por separado:
P = +20 - 6

ARITMETICA
P = +14
I. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a. (-5) + (-2) - (-1) + (+4) - (+6)
b. (-7) - (+2) + (+8) - (-4)
c. (-10) + (-2) + (-7)
d. (-12) + (-11) - (+10) - (-3)
e. (-6) - (-3) + (-2) - (-8)
f. (-5) + (+8) - (-3) - (+2)
g. (-4) - (+7) + (-1) - (+10)
h. (-9) + (-10) - (-11) - (-1)
i. (+5) - (+3) + (+2) - (+30)
j. (-10) - (-3) + (-18) - (+2)

ARITMETICA
C o n t in ú a e s f o r z á n d o t e , e l
é x it o d e p e n d e d e t i.
S a b ía s q u e . . .
L o s c h in o s n o a c e p t a r o n la id e a d e q u e u n n ú m e r o n e g a t iv o
p u d ie r a s e r s o lu c ió n d e u n a e c u a c ió n . L o s g r ie g o s
u t iliz a r o n r e g la s p a r e c id a s a la s q u e u s a m o s a c t u a lm e n t e
p a r a r e a liz a r o p e r a c io n e s a r it m é t ic a s c o n m a g n it u d e s n e g a t iv a s
e n s u s d e m o s t r a c io n e s g e o m é t r ic a s . S in e m b a r g o , c o r r e s p o n d e
a lo s h in d ú e s , h a c ia e l a ñ o 6 5 0 d . C ., e l m é r it o d e t r a n s f o r m a r
e s a s p a u t a s e n r e g la s n u m é r ic a s a p lic a b le s a lo s n ú m e r o s
p o s it iv o s , n e g a t iv o s y c e r o .
MULTIPLICACIÓN
( ) ( ) =+ + +
( ) ( ) =- - +
( ) ( ) =+ - -
( ) ( ) = -- +
E j e m p lo :
a .
b .
c .
d .
( + 1 0 ) ( + 2 0 ) =
( - 5 ) ( - 9 ) =
( - 2 ) ( + 4 ) =
( + 6 ) ( - 2 ) =
DIVISIÓN

ARITMETICA
( ) ( ) =+ + +÷
( ) ( ) =- - +÷
( ) ( ) =+ - -÷
( ) ( ) = -- +÷
E j e m p lo :
a .
b .
c .
d .
( + 1 0 0 ) ( + 2 ) =
( - 8 ) ( - 1 ) =
( + 1 5 ) ( - 3 ) =
( - 1 6 ) ( + 4 ) =
÷
÷
÷
÷
Recuerda
• En la multiplicación o división de dos números de igual signo, el resultado
siempre será un número positivo.
• En la multiplicación o división de dos números de diferentes signos, el resultado
siempre será un número negativo.
1. Realiza las siguientes multiplicaciones:
a. (+3) (+5) f. (+40) (+7)
b. (+8) (-1) g. (-1) (-1)
c. (-5) (-4) h. (5) (-3)
d. (-1) (+78) i. (9) (-10)
e. (+12) (-12) j. -9 (-8)
2. Realiza las siguientes divisiones:
a. 14 ÷ 2 f. (-1) ÷ (-1)
b. (-12) ÷ (-4) g. (-8) ÷ (+8)

ARITMETICA
c. 20 ÷ (-5) h. (+25) ÷ (-5)
d. (-30) ÷ 6 i. (+100) ÷ (+10)
e. (-10) ÷ (-2) j. (-144) ÷ (+12)
3. Completa la siguiente tabla:
a
- 8
- 4
+ 1 0
+ 1 8
- 3
b
2
- 1
- 5
- 9
+ 3
a × b a b÷ a
+ 3 2
- 4 4
+ 6 4
- 3 6
+ 1 1
b
- 8
+ 1 1
- 4
- 9
- 1 1
a × b a b÷
4. Colorea los triángulos; de color rojo los productos positivos y de color azul los productos negativos:
( + 4 ) ( - 5 )
( - 1 0 ) ( - 2 )÷
( - 8 ) ( 4 )
2 0 ( + 4 )÷
( - 6 ) ( 3 )
( - 7 ) ( + 1 3 )
5. Resuelve las siguientes operaciones combinadas:
a. - 5 × 3 + 8 - (4 - 1 × 5)

ARITMETICA
b. - 12 × [ - 6 - 10 × ( - 2 - 3)]
c. - 3 (4 - 2 + 5)
d. - 15 ( - 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 (8))]
1. Si: A = (-8) (+2) - 3
B = (+4) (-2) + 4
C =(50) ÷ (-2) - 6
Halla:
a. A + B + C Rpta.: -44
b. A × B - C Rpta.: -45
c. 2B - 3A Rpta.: 49
d. 2A × B Rpta.: 152

ARITMETICA
e. A - B - C Rpta.: 16
2. Resuelve las siguientes operaciones combinadas en tu cuaderno:
a. - 5 + 4 × 3 Rpta.: 27
b. 6 - 2 × 5 Rpta.: -4
c. 32 - 40 × 5 + 128 Rpta.: -40
d. (8 - 3) × 4 - 1 Rpta.: 19
e. (- 13 + 6) × (-3) + 4 (-1) Rpta.: 17
DESAFÍO: El lechero ingenioso.
Un lechero dispone de dos jarras de 3 y 5 litros de capacidad para medir la leche que vende a sus
clientes. ¿Cómo podrá medir un litro sin desperdiciar la leche?
1. Construcción del conjunto de los números racionales.
Los números enteros y los fraccionarios pasan a integrar el conjunto de los números
racionales, que se simbolizan por una "Q".
Z F r a c c i o n e s = Q
Gráficamente:

ARITMETICA
0
1
2
3
N
Z
Q
- 1- 2
- 3
1
4
2
7
-
1
3
5
3
N
Z
Q
: C o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s .
: C o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s e n t e r o s .
: C o n j u n t o d e l o s n ú m e r o s r a c i o n a l e s .
3
4
-
2. Representación de Q en la recta numérica.
Sabemos que el conjunto Z se representa en la recta numérica así:
0- 1- 2- 3 1 2 3
También las fracciones pueden ser ubicadas en la recta numérica, sea por las
divisiones sucesivas (de mitad en mitad) o por el uso de las escuadras y el compás
para dividir un segmento de recta.
0
- 1
5
- 2
5
- 3
5
- 4
5
- 1 - 3
4
- 1
2
- 1
4
1
4
1
- 2
1 0
- 4
1 0
- 6
1 0
- 8
1 0
1
5
2
1 0
1
2
2
5
4
1 0
3
4
3
5
6
1 0
4
5
8
1 0
De la gráfica se define que:
I. Las subdivisiones de la recta numérica son infinitas.
II. Entre dos números racionales siempre será posible hallar al menos otro número
racional.

ARITMETICA
III. No es posible hallar el siguiente o el anterior valor de un número racional
cualesquiera.
IV. Un mismo punto en la recta numérica puede ser representado por varias
fracciones que son equivalentes entre sí. Por lo que se afirma que el conjunto de
dichas fracciones (clases de equivalencia) representa al Número Racional
respectivo.
3. Densidad en el conjunto de los números racionales.
Esta propiedad de densidad en Q, no la poseen los conjuntos N y Z.
"Dados dos números racionales diferentes, siempre se puede encontrar otro número
racional cuyo valor esté comprendido entre ambos"
En forma general:
Entre dos números racionales existen infinitos números racionales.
RELACIÓN DE ORDEN DE UN NÚMERO FRACCIONARIO
(>, <, =)
A. Dados dos números fraccionarios tales como d
c
y
b
a
, podemos afirmar que: d
c
b
a
=
si
se cumple: a.d = b.c
Ejemplos:
• 3
4
6
8
=
ya que: 8 × 3 = 6 × 4
• 5
10
3
6
=
ya que: 6 × 5 = 3 × 10
• 12
30
2
5
=
ya que: 5 × 12 = 2 × 30
B. Dados dos números fraccionarios, podemos determinar que uno es mayor o menor
que otro, usando la regla de los productos cruzados.

ARITMETICA
Ejemplos:
•
1 1
9
7
8
8 × 1 1 > 9 × 7
1 1
9
>
7
8
e n t o n c e s :
•
4
8
7
6
4 × 6 < 8 × 7
4
8
<
7
6
e n t o n c e s :
•
1 2
8
2 0
4
1 2 × 4 < 8 × 2 0
1 2
8
<
2 0
4
e n t o n c e s :
¡LISTOS, A TRABAJAR!
1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no.
3
1
2
- 2 0
3
5
2 1
3
1 6
4
1
8
- 4
2
3
- - -
N
Z
Q
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=".
a. 6
5
4
3
<
porque: 3 × 6 < 4 × 5
b.
9
8
3
1 2 _______________________________________
c.
7
8
8
1 0 _______________________________________
d.
8
4
6
3 _______________________________________

ARITMETICA
e.
5
2
2 5
6 0 _______________________________________
f.
6
5
3
1 5 _______________________________________
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda:
3
4
2
3
3
1
2
4
2
5
7
8
3
6
9
4
5
2
4
6
8
7

ARITMETICA
1. Completar con un "Sí" o con un "No" según la pertenencia o no pertenencia.
6
3
5
- 2
7
9
4
2
9
3
1
6
- -
N
Z
Q
2
3
- 0
5
4
2. Compara las siguientes fracciones utilizando los signos ">", "<" o "=":
a.
8
1 2
1 2
9 b.
3
1 3
3
1 7 c.
1 7
3
5
d.
3
5
5
7
2 2
e.
5
4
1
f.
7
5
2 8
2 0
3. Completar con ">", "<" o "=" según corresponda:
3
6
9
2
1
4
1 8
2
5
2
7
3
2
5
4
6
3
7
2
9
5
3

ARITMETICA

ARITMETICA
Con las fracciones se pueden realizar las operaciones que hemos aprendido a efectuar
con números enteros: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división, la
potenciación y la radicación.
I. ADICIÓN.
Para efectuar la suma o adición de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se
puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados.
A. Método del mínimo común múltiplo.
• Hallamos el m.c.m de los denominadores y lo escribimos como denominador del
resultado.

ARITMETICA
• Para hallar el numerador dividimos el m.c.m. entre cada denominador y luego se
multiplica por el respectivo numerador.
• Finalmente se suma en el numerador.
Ejemplo:
2
3
+
3
5
+
7
3 0
=
2 × 1 0 + 3 × 6 + 7 × 1
3 0
=
2 0 + 1 8 + 7
3 0
=
4 5
3 0
=
3
2
2
3
×
C a lc u la n d o e l m . c . m .
5
5
5
1
3
1
1
1
3 0
1 0
5
1
3
2
5
m . c . m . [ 3 ; 5 ; 3 0 ] = 3 × 2 × 5 = 3 0
B. Regla de productos cruzados.
Esta es una regla práctica, recomendable para sumar dos fracciones de términos
pequeños.
a
b
+
c
d
×
a × d + b × c
b × d
=
Ejemplo:
• 35
22
35
157
75
3571
7
3
5
1
=
+
=
×
×+×
=+
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones:

ARITMETICA
1
7
3
4
2
3
1
3
1
5
+
1
2
2. Calcular "A + B", si: 3
1
2B;
5
1
3
2
A =+=
a. 5
12
b. 9
4
c. 5
16
d. 8
12
e. 5
5
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar:
8
3
9
2
12
5
++
a. 72
19
b. 72
23
c. 72
49
d. 72
73
e. 72
31
4. Efectuar la siguiente operación:
3
1
7
2
1
3 +
a. 6
53
b. 6
59
c. 6
65
d. 6
68
e. 6
69
5. Completar con los signos ">" o "<", según corresponda:
I.
1
2
5
6
+
2
3 II.
1
4
1
3
2
2
3
2 +
III.
1
7
1
8
1
9
+
IV.
1
2
1
4
1
3
+
1
3
+
¿Cuántos signos ">" salen?

ARITMETICA
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes adiciones:
2
5
1
2
5
4
2
5
3
4
+
1
3
2. Calcular "A + B", si:
4
1
1B;
4
1
4
2
3A =+=
a. 4 b. 4
2
3
c. 4
3
4
d. 5 e. 6
3. Haciendo uso del mínimo común múltiplo (m.c.m.) efectuar:
6
5
9
4
3
1
2 ++
a. 18
48
b. 36
42
c. 18
65
d. 36
64
e. 18
72
4. Efectuar la siguiente operación:
5
2
1
5
3
2 +
a. 3 b. 5
2
3
c. 5
1
4
d. 4 e. 5
5. Completar con los signos ">" o "<" según corresponda:

ARITMETICA
I.
5
8
4
5
7
8
+
II.
1
2
1
4
3
4
13 +
III.
3
5
1
4
2
3
+
IV.
1
5
2
5
1
3
+
2
3
+
¿Cuántos signos ">" salen?
a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4
DESAFÍO
Un caño puede llenar un depósito en 10 minutos y otro caño puede llenar el
mismo depósito en 20 minutos. ¿En cuántos minutos se puede llenar un depósito
si abrimos al mismo tiempo los dos caños?
a. 3
16
b. 3
18
c. 7 d. 3
20
e. 9
II. SUSTRACCIÓN.
Para efectuar la sustracción de fracciones es necesario reducirlas antes, luego se
puede aplicar el método del mínimo común múltiplo o la regla de productos cruzados.

ARITMETICA
Ejemplo: Resolver aplicando el método del mínimo común múltiplo.
4
6
-
4
1 0
=
4 × 5 - 4 × 3
3 0
=
2 0 - 1 2
3 0
=
8
3 0
=
4
1 5
1 5
4
×
C a lc u la n d o e l m . c . m .
1 0
5
5
1
6
3
1
1
3
2
5
m . c . m . [ 2 ; 3 ; 5 ] = 2 × 3 × 5 = 3 0
Ejemplo: Resolver aplicando el método del producto en aspa o productos cruzados.
3
4
-
1
6
×
3 × 6 - 4 × 1
4 × 6
=
1 8 - 4
2 4
= =
1 4
2 4
=
7
1 2
1 2
7
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:
1
3
1
9
1
4
2
5
1
3
-
2
7

ARITMETICA
1. Empleando la regla de productos cruzados, efectuar las siguientes sustracciones:
8
1 6
2
5
2
6
4
3
5
7
-
1
4
2. Calcular "A - B", si:
4
3
1B;
4
3
2
1
2A =+=

ARITMETICA
a. 2
1
b. 4
3
c. 2
3
d. 4
1
e. 3
2
3. Indicar cuál es la menor diferencia:
I. 3
1
5
2
−
II. 6
2
7
4
−
III. 5
1
4
1
−
a. I b. II c. III d. I y III e. iguales
4. Restar: 3
2
2de
5
3
2
a. 5
3
b. 15
4
c. 5
8
d. 15
1
e. 10
3
5. De: 5
1
restar
4
1
5
3






−
a. 10
7
b. 12
8
c. 20
3
d. 10
3
e. 20
11
DESAFÍO
Encontrar el número racional entre 7
1
y 4
1
cuya distancia al primero sea el doble
de la distancia al segundo.
a. 14
9
b. 14
7
c. 14
6
d. 14
5
e. 14
8

ARITMETICA
III. MULTIPLICACIÓN
En la multiplicación de fracciones el numerador final es el resultado de multiplicar los
numeradores, el denominador final es el resultado de multiplicar los denominadores.
Es decir:
a
b
×
c
d
=
a × c
b × d
Ejemplo:
=
3
5
1 2
1 5
×
6
8
=
1 2 × 6
1 5 × 8
=
1 × 6
5 × 2
5
3
2
1
1
3
1. Completa el siguiente cuadro simplificando el resultado de la operación indicada:
4
7
2
3
6
1 0
5
3
1
4
×
1
5
2. Calcular "A × B", si:
5
18
9
1
2
3
B;
2
5
5
3
3
3
A ××=××=
a. 3
2
b. 10
4
c. 5
3
d. 10
3
e. 9
5

ARITMETICA
3. Se sabe que:
4
3
3
2
2
1
B;
5
4
3
4
4
1
1
5
3
A ××=××





×=
calcular: "A × B"
a. 5
2
b. 5
1
c.1 d. 2
3
e. 4
1
4. Simplificar:






×





×





3
1
1
4
1
3
3
1
2
a. 9
7
b. 9
8
11
c. 28
3
1
d. 6
1
e. 9
1
10
5. Simplificar:
12
3
8
12
15
36
90
6
×××
a. 50
3
b. 50
9
c. 25
7
d. 25
2
e. 25
1
1. Completar el siguiente cuadro, simplificando el resultado de la operación indicada.
6
8
1 5
8
9
1 6
4
3
8
6
×
2 1
1 2
2. Si: 21
9
10
3
6
5
B;
8
9
6
18
9
4
A ××=××=
calcular "A × B"

ARITMETICA
a. 56
6
b. 54
3
c. 56
9
d. 56
15
e. 56
10
3. Se sabe que:
6
5
5
4
4
3
B;
5
6
4
1
2
1
2
3
2
A ××=××





×=
calcular "A × B"
a. 2
1
b. 3
1
c. 3
2
d. 4
1
e. 4
3
4. Simplificar:






×





×





11
5
1
16
15
3
2
3
a. 3 b. 5
3
c. 5 d. 6
5
e. 9
5
5. Simplificar:
4
15
18
12
42
36
40
14
27
8
××××
a. 5
3
b. 9
4
c. 9
2
d. 9
7
e. 5
6
DESAFÍO
Una tela se encoge al ser mojada 4
1
de su longitud y 3
1
de su anchura. ¿Qué
longitud de la tela nueva hace falta emplear para tener 20 metros cuadrados de
tela después de mojada? Esta tela antes de ser mojada tenía 8 metros de ancho.

ARITMETICA
a. 2m b. 3m c. 4m d. 5m e.
6m
IV. DIVISÓN
Para dividir una fracción b
a
entre otra no nula d
c
, equivale a multiplicar la primera
fracción b
a
por la inversa de la segunda d
c
.
Es decir:
a
b
c
d
=
a × d
b × c
a
b
×
d
c
=
Ejemplo:
4
6
÷
8
9
=
4 × 9
6 × 8
4
6
×
9
8
= =
3
4
2
3
2
1
1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas
5
3
3
2
6
8
1
2
3
5
1
2
2. Escribir la expresión más simple equivalente a:
I. 18
5
36
7
a. 7
4
b. 10
7
c. 7
10
d. 7
3
e. 7
2

ARITMETICA
II. 11
90
13
45
a. 5
1
b. 26
11
c. 22
3
d. 3
22
e. 11
26
3. Hallar el valor de "A × B"; si:
3
1
5
1
7
1
B;
4
1
3
1
2
1
A
+
=
+
=
a. 7
8
b. 7
24
c. 9
12
d. 7
15
e. 9
6
4. Calcular:
8
5
7
8
7
3
7
2
−
+
a. 4 b. 0 c. 1 d. 3 e. 2
5. Calcular:






×××÷





×××
2
15
5
1
4
1
3
6
9
1
2
18
3
4
2
1
a. 6
5
b. 9
8
c. 4
3
d. 8
9
e. 3
7
1. Completa el siguiente cuadro efectuando todas las divisiones señaladas:

ARITMETICA
1
2
1
3
1
4
3
4
2
3
2
5

ARITMETICA

ARITMETICA
ADICIÓN EN N.
1) Resolver:
109 + 291 + 300 + 150 + 50
2) Hallar el valor de "a":
522a9...a3a2a1 =++++
3) Hallar el valor de "a":
15
a
9
....
a
3
a
2
a
1
=++++
4) Resolver:
23 + 71 + 17 + 19 + 20
5) Resolver:
49 + 39 + 21 + 31
SUSTRACCIÓN EN N.
1) La suma de los tres términos de una sustración es 4 820. Hallar el minuendo.
2) La suma de los tres términos de una sustracción es 144 y además el sustraendo es el
doble de la diferencia.
3) Hallar el complemento aritmético de 32 517.
4) Hallar el valor de x + y.

ARITMETICA
p q r
r q p
x y 3
-
5) Si vendo una casa en $48 000, ganando $1 300, ¿cuánto es el precio de costo de la
casa?
MULTIPLICACIÓN EN N.
1) Resolver: 2) Resolver:
357 × 28 253 × 908
3) Resolver: 4) Resolver:
27a - 9a 7 × 12 + 7 × 8 - 7 × 19
5) En la siguiente lista de compras, sacar la cuenta:
2 k g
1
2 k g
1
2
p o llo
le c h e
a r r o z
p a p ak g
1 k g p o llo
1 le c h e
1 k g a r r o z
1 k g p a p a
S / . 3 , 2 0
1 , 5 0
1 , 2 0
0 , 8 0
P r e c i o
DIVISIÓN EN N.
1) Si: D = 347; d = 19; r = 5, hallar el valor de "q".
2) Si: D = 560; r = 8; q = 23, hallar el valor de "d"
3) Se reparten 348 chocolates entre 17 alumnos, si se sabe que fueron repartidos
equitativamente y sobraron 8 chocolates. ¿Cuántos chocolates le tocaron a cada
uno?
4) Un jarrón se parte en varios pedazos, Ricardo intentando recoger los pedazos, forma
tres grupos (grandes, medianos y pequeños). Si se sabe que en cada grupo hay 9
pedazos y además se le perdieron 2 pedazos. ¿En cuántos pedazos se rompió el
jarrón?

ARITMETICA
5) En una división el dividendo es 684, el divisor dos unidades menos que el cociente, el
cociente es el triple del residuo. Si se sabe que el residuo es 9, hallar el valor del
divisor.
NÚMEROS ENTEROS Z.
1) Resolver:
a.
2
|5|
|2||10|






−
−×−
b. |2|
|6||2|
|4|
−
+−
×−
c.
|10|
|3|
|15||6||24|
+
−
−−+−
d.
2
2
|)6||3(|
|4|
|2||9|
|4|
|)2(|
+−−
×−
+
−
−
2) Hallar el valor de:
14
3
A×
; si:
|1||2|
|5||1||1||3||8|
A
++−
+−−−−++−
=
3) Determinar el valor de "2
B
", donde:
|20|
|4||36|
|2||8|B
++
+−÷−=
4) La secuencia "22" se describe a si misma pues ella está formada por exactamente
dos 2. Analógicamente la secuencia "31123315" se describe a si misma, pues está
formada por exactamente tres 1, un 2, tres 3 y un 5. ¿Cuál de las siguientes
secuencias no se describe a si msma?
a. 2 1 3 2 2 3 1 6 b. 3 1 1 2 3 3 1 8
c. 3 1 2 2 3 3 1 7 1 9 d. 2 1 3 2 3 3 2 4 1 5
e. 4 1 3 2 2 3 2 4 1 5 1 6 1 8
5) ¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor absoluto?
a. 10 × 0,001 × 100 b. 0,01 ÷ 100
c. 100 ÷ 0,01 d. 10 000 × 100 ÷ 10

ARITMETICA
e. 0,1 × 0,01 × 10 000
OPERACIONES COMBINADAS.
1) - 15 × (- 4) + 2 [ - 3 (2) + (6 - 2 × 8)]
2) - 3 × [ - 5 + 2 (- 3 + 6 × 8)] + 1
3) 6 ( - 5 - 4) - 8 [4 - (2 × 3 - 5) + 1]
4) [14 ( - 3 ) + 7 (- 2 × 8 + 10) + 1 ] - ( - 3 ) (5 - 4)
5) 1 - 2 {4 + 5 [ 3 - 8 (1 - 6) + 4 - 6 ] - 15}
OPERACIONES CON FRACCIONES:
Adición.
1) Andrea vive a 20
49
km a la derecha de su escuela y Pedro vive a 7
3
veces esa
distancia, pero a la izquierda de la misma escuela. ¿Qué distancia hay entre las
casas de Andrea y Pedro?
a. 2km b. 3 c. 2
7
d. 4 e. 2
9
2) Una persona gasta la mitad de su dinero en un almacén y 5
2
de lo que queda en otro
almacén. Si después de efectuadas las compras le quedan S/.2400, determinar el
dinero que tenía al principio.
a. S/.3600 b. 4000 c. 6000 d. 8000 e. 10000
3) Carlos destina 24
9
del día para trabajar; 12
2
del día, para transporte y alimentación; y,
finalmente, 7 horas, para dormir. ¿Cuántas horas de tiempo libre le quedan?

ARITMETICA
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

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