Diese Präsentation wurde erfolgreich gemeldet.
Die SlideShare-Präsentation wird heruntergeladen. ×
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
MATEMÀTIQUES


    2n ESO


  INS. J. BAU - TORTOSA
  DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES
UNITAT 1: NOMBRES ENTERS
                                  Operacions amb nombres enters
1) Calcula:

a) −11 + 8 −6 −7 + 9...
10) Resol aquestes operacions:

a) (−4) ⋅ (+2) ⋅ (−6) =                   b) (+20) : (+2) : (−5) =               c) (+8) ⋅...
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Anzeige
Wird geladen in …3
×

Hier ansehen

1 von 77 Anzeige
Anzeige

Weitere Verwandte Inhalte

Diashows für Sie (20)

Anzeige

Dossier 2n-eso

  1. 1. MATEMÀTIQUES 2n ESO INS. J. BAU - TORTOSA DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES
  2. 2. UNITAT 1: NOMBRES ENTERS Operacions amb nombres enters 1) Calcula: a) −11 + 8 −6 −7 + 9 = b) 3 − 8 + 12 −15 −1 + 10 −4 = c) 15 − 14 + 9 −21 −13 + 6 = d) −(4 −9 + 3) + (11 − 8 − 7) + (−15) = e) (+3) −(4 + 7 − 9) −(−19 + 3 − 10) + (−2) = f) −8 − 3 −(4 −6) −(9 + 3) − 5 = 2) Calcula les sumes i les restes següents: a) (+12) + (+25) = b) (−9) + (+13) = c) (−3) + (−11) = d) (+17) + (−8) = e) (+19) − (+5) = f) (−21) − (+33) = g) (−7) − (−11) = h) (+22) − (−15) = 3) Efectua les sumes següents: a) (+10) + (−5) + (+7) + (−9) = b) (−29) + (−12) + (−9) + (+17) = c) (−20) + (+33) + (+21) + (−23) = d) (−23) + (−41) + (−16) + (+50) = 4) Calcula aquestes restes: a) (+11) − (+32) − (+21) − (+9) = b) (−30) − (−55) − (+29) − (−17) = c) (−43) − (+22) − (+14) − (−7) = d) (+29) − (−12) − (−31) − (+54) = 5) Fes aquestes sumes i restes combinades: a) (−21) + (−12) − (+9) = b) (+17) − (+23) + (+34) = c) (−32) + (−19) − (−11) = d) (−54) − (+22) + (−10) = 6) Calcula: a) 8 −7 + 4 −3 −2 = b) −7 −5 + 3 −9 −1 + 11 = c) −4 −2 + 5 −1 −4 + 1 = d) 6 −3 + 3 −10 −4 + 13 = e) −9 −14 + 4 −56 −16 + 1 = f) 9 + 14 −6 −93 + 19 = 7) Efectua aquestes operacions: a) 6 + (−4 + 2) −(−3 −1) = b) 3 + (2 −3) −(1 −5 −7) = c) 7 −(4 −3) + (−1 −2) = d) −8 + (1 + 4) + (−7 −9) = 8)Resol aquestes multiplicacions: a) (−3) ⋅ (+2) = b) (+2) ⋅ (+7) = c) (−2) ⋅ (−8) = d) (+5) ⋅ (−4) = e) (+7) ⋅ (−4) = f) (−5) ⋅ (−7) = 9) Calcula les divisions: a) (−12) : (+6) = b) (+21) : (+7) = c) (−6) : (−2) = d) (+24) : (−4) )= e) (+28) : (−4) = f) (−42) : (−7) =
  3. 3. 10) Resol aquestes operacions: a) (−4) ⋅ (+2) ⋅ (−6) = b) (+20) : (+2) : (−5) = c) (+8) ⋅ (−3) ⋅ (−4) = d) (−32) : (−4) : (−8) = e) (−2) ⋅ (−3) ⋅ (−4) = f) (−80) : (−20) : (−4) = 11) Completa: a) ( ) : 4 = −10 c) (−100) : ( ) = −25 b) 40 : ( ) = −8 d) ( ) : (−12) = 6 12) Calcula els productes següents: a) (+21) ⋅ (+3) ⋅ (+4) = b) (+19) ⋅ (−2) ⋅ (+3) = c) (+13) ⋅ (−5) ⋅ (−6) = d) (−20) ⋅ (−9) ⋅ (−3) = 13) Completa aquests productes: a) (−5) ⋅ ( ) = −30 b) ( ) ⋅ (+3) = 45 c) (−9) ⋅ ( ) = 27 d) ( ) ⋅ (−8) = −48 Potències de nombres enters 14) Escriu com es llegeixen aquestes potències i calcula’n el valor: a) 35 = c) (−8)6 = e) 103 = g) (−4)2 = b) 22 = d) (−5)3 = f) 42 = h) (−2)3 = 15) Expressa en forma de potència i troba’n el valor: a) 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = b) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = c) (−2) ⋅ (−2) ⋅ (−2) = d) (−5) ⋅ (−5) = 16) Calcula l’exponent d’aquestes potències: a) 3- = 27 b) 4- = 64 c) (−3)- = −27 d) (−2)- = 16 17) Escriu aquests nombres amb potències de 10: a) 20.000 = b) 493.000.000 = c) 493.000 = d) 315.000.000.000 = 18) Efectua aquestes operacions amb potències: a) 34 ⋅ 35 = b) 67 : 64 = c) (−3)6 ⋅ (−3)7 = d) (−6)8 : (−6)4 = 19) Indica el nombre que expressen aquestes sumes: a) 3 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 1 ⋅ 10 + 2 = b) 2 ⋅ 106 + 5 ⋅ 104 + 7 ⋅ 10 =
  4. 4. 20) Troba l’arrel quadrada d’aquests nombres: a) 169 b) 196 c) 225 d) 400 e) 900 f) 1.600 g) – 100 h) - 81 21) Calcula l’arrel quadrada entera i el residu: a) 45 b) 87 c) 115 d) - 70 Operacions combinades 22) Calcula. a) (+4) ⋅ (−7) + (−3) ⋅ (−2) = b) (−4) ⋅ (−5) − (+3) ⋅ (−2) = c) (+16) : (−8) + (−24) : (−6) = d) (−12) : (−3) − (+4) : (−2) = 23 )Fes aquestes operacions: a) (+7) − (−12) ⋅ (+5) = b) ( 64 - 16 ) : [2 ⋅ (−2)] = c) (−5) − [(−6) − (−5) ⋅ (−9)] = d) ( 81 −4)⋅ 25 −1 = 24) Resol aquestes operacions: a) (+45) : [(−7) + (+2)] = b) (−8) ⋅ [(+21) : (−3)] = c) (+2) ⋅ [(−63) : (−7)] = d) (−7) − [(−14) : (+2) − (−7)] = e) (−25) : [(+3) − (+8)] = f) (-2) · [(-2) · (- 6)] = 25) Calcula. a) (+50) − (−4)2 + (−3)3 = b) - 64 − (−5)2 − (−12) = 26) Resol les operacions següents: a) (−13) ⋅ (+3) − (−12) ⋅ (+7) = b) [(−25) + 5 − (−4)] : (−8) = c) (−3) ⋅ (−12) − (−15) ⋅ (−4) = d) [(−16) + (−9) + 5] : (−4) = e) (−35) : (−7) + (−54) : (+9) = f) [(−4) + (−3) ⋅ (−6)] : 7 = 27) Resol les operacions: a) (−11) ⋅ [10 + (−7)] + 36 : [(−1) − (−10)] = b) (−8) ⋅ [5 − (−2)] − 48 : [6 + (−14)] = c) 42 : [(−6) − (−3)] + 28 : [−6 − (−8)] = d) 32 : [(−19) + 3] − 24 : [(−11) − (−5)] 28) Efectua aquestes operacions combinades: a) (−5)2 ⋅ [3 + 28 : (−4)] = b) (+2)2 ⋅ [−5 ⋅ 2 − 32 : (−8)] = c) (+3)3 : [−5 + (−7) ⋅ (−2)] = d) (−4)3 : [(−15) : 5 − (−45) : (−9)] = 29) Resol les operacions, i considera només el resultat positiu de l’arrel: a) 9 + (−3) ⋅ [12 + (−7)] = b) 81 : 3 + 4 ⋅ [−12 − 2 ⋅ (−3)] = c) 7 ⋅ (5 + 3) − 36 : (−3) = d) −3 − (−4) ⋅ [ 64 − 5 ⋅ (−2)] =
  5. 5. Activitats de repàs 30) Calcula les potències següents: a) 45 = b) 142 = c) 73 = d) 54 = e) (−2)6 = d) (−4)4 = f) (−9)2 = h) (−6)4 = 31) Expressa com una sola potència: a) (28 : 23) ⋅ 23 = c) [(−4)6: (−4)] : (−4)2 = b) 35 : (37 : 34) = d) (−5)3 : [(−5)4 : (−5)] = 32) Expressa com una sola potència: a) (54)3 = c) [(−3)4]3 = b) (75)2 = d) [(−9)3]3 = 33) Expressa com una sola potència: a) (25)2 ⋅ (22)4 = b) (103)3 ⋅ (102)4 = c) [(−3)5]3 ⋅ [(−3)4]3 = d) [(−10)2]2 ⋅ [(−10)3]3 = 34) Expressa com una sola potència: a) (62)5 : (63)3 = b) (237)2 : (233)4 = c) [(−14)9]2 : [(−14)3]5 = d) [(−2)8]3 : [(−2)4]5 = 35) Simplifica aquests productes de potències: a) 54 ⋅ 253 = b) 84 ⋅ 162 = c) 63 ⋅ 125 = d) 47 ⋅ 32 = e) (−12)3 ⋅ 185 = f) (−63)5 ⋅ 212 = 36) Calcula l’arrel quadrada d’aquests nombres: a) 64 b) 121 c) 144 d) 196 37) Completa. a) ? = ± 7 b) ? = ± 12 c) ? = ± 15 d) ? = ± 20 38) Calcula, i fes servir només el resultat positiu de l’arrel: a) 100 : 5 + 33 : (−3) = b) 12 − 18 : 2 + (−4) ⋅ 121 = c) (−5) ⋅ 32 − 49 : [(−5) ⋅ (−2) − 31] = d) (−8)5 : (−8)3 − (−4)2 ⋅ ( 16 − 20) = e) 144 : [7 + (−5)]2 + (−2)3 =
  6. 6. UNITAT 2: FRACCIONS I DECIMALS La fracció com a part de la unitat, com a quocient i com a operador 1) Representa gràficament i expressa en forma decimal aquestes fraccions: 3 5 7 1 a) = b) = c) = d) = 5 8 9 2 2) Calcula: 2 1 3 a) de30 = b) de25 = c) de250 = 3 5 5 2 3) L'Anna ha comprat 75 cromos al quiosc. Quan l'obre, veu que els dels cromos estan repetits. 5 Quants cromos té repetits? Fraccions equivalents a c a c Dues fraccions, b i d , són equivalents, les escrivim b = d , si es compleix que a · d = c · b Hi ha dues maneres d'obtenir fraccions equivalents a una fracció: - Amplificació: Consisteix a obtenir una fracció equivalent multiplicant el numerador i el 3 3·2 6 3 3·3 9 3 6 9 12 denominador pel mateix nombre: 4 = 4·2 = 8 o 4 = 4·3 = 12 llavors: 4 = 8 = 12 = 16 = ...... - Simplificació: Consisteix a obtenir una fracció equivalent dividint el numerador i el 24 24 : 2 12 12 12 : 3 4 24 12 4 denominador pel mateix nombre: 18 = 18 : 2 = 9 i 9 = 9 : 3 = 3 llavors: 18 = 9 = 3 . Aquesta 4 fracció, 3 , que ja no es pot simplificar més, s'anomena fracció irreductible 4) Són equivalents els parells de fraccions següents?: 15 105 17 85 12 5 a) i 15 · 36 = b) i c) i 6 36 13 52 30 2 105 · 6 = 5) Escriu tres fraccions equivalents per simplificació i tres més per amplificació: 72 140 450 a) = b) = c) = 120 320 650 6) Troba el terme que falta: 3 12 9 45 14 x a) = b) = c) = x 20 12 x 11 22
  7. 7. Càlcul de la fracció irreductible (Simplificar) 72 Exemple: Calcula la fracció irreductible de 48 Haurem de buscar un nombre que sigui divisor del 72 i 48 a la vegada i que sigui el més gran possible; és a dir, buscarem el seu m.c.d. 3 2  72 = 2 ·3  Si factoritzem:  --->m.c.d.(72,48) = 2 · 3 = 24 3 4 48 = 2 ·3   72 72 : 24 3 3 72 Així, = = ---> és la fracció irreductible de 48 48 : 24 2 2 48 7) Calcula la fracció irreductible d'aquestes fraccions: 24 60 540 120 a) = b) = c) = d) = 36 25 320 90 Comparació de fraccions Per a comparar dues o més fraccions les haurem de reduir a comú denominador, que consisteix a obtenir altres fraccions equivalents que tinguin el mateix denominador. 5 7 Exemple: Redueix a comú denominador les fraccions i 4 18 Haurem de buscar dues fraccions, equivalents a les donades, que tinguin el mateix denominador; és a dir haurem de buscar un múltiple comú de 4 i 18: el seu m.c.m. 4 = 22   Si factoritzem: 2 ---> m.c.m.(4 i 18) = 22 · 32 = 36 Ara buscarem les fraccions 18 = 2·3   5 5·9 45 7 7·2 14 eq1uivalents amb 36 de denominador: = = i = = . Ara ja podem 4 4·9 36 18 18·2 36 45 14 5 7 comparar les dues fraccions; com és més gran que , podem dir ---> > . 36 36 4 18 Això també ens servirà per a sumar i restar fraccions Activitats 1 2 1 7 1 8) Redueix a comú denominador: , , , , 3 5 4 6 10 9) Ordena de més petit a més gran: 3 2 1 2 2 3 6 6 5 5 10 a) , , , b) , , c) , , , 5 5 4 3 9 5 15 8 4 6 8
  8. 8. Operacions amb fraccions 10) Calcula simplifica el resultat, si pots: 4 1 3 1 1 3 7 1 4 2 1 a) 2 ++ = b) + − = c) − − = d) + − = 3 3 2 5 10 4 2 3 7 4 2 9 1 7 8 9 e) + − 1 = f) − + = g) 2 + 7 +  − 5  = h) 2 + 7 −  − 5  = 5 7 5 3 10 15 18  12  15 18  12  11) Calcula: 321 459 a) · · = b) · · = 556 765 12) Calcula: 2 3 a) de60 = b) de90 = 3 5 13) Efectua les operacions següents: a)  2 + 1 − 1  ·4 = b)  1 + 1 − 1 + 7  : 5 = c) 3· 1 −  1 + 1 − 1  : 2 = d) 1 + 1 · 2 − 5  − 3 : 1 = 5 2 3  4 3 6 3 4 2 4 4  3 6 2 Activitats de repàs 14) Digues si aquestes fraccions són equivalents: 6 36 5 15 9 72 8 24 a) i b) i c) = d) = 8 48 4 8 13 104 5 10 15) Calcula 3 fraccions equivalents: 2 11 13 a) b) c) 7 6 2 16) Ordena aquestes fraccions de més gran a més petita: 7 3 5 3 5 8 a) , , b) , , 4 5 6 7 14 21 17) Calcula: 3 1 5 5 1 3 1 4 1 7 5 1 7 a) + + = b) − + − = c) + + = d) + − = 2 4 8 3 6 2 8 6 4 3 2 3 6 18 Calcula: 51 7 4 37 a) · − 2 = b) − 3· = c) 4 − · = 63 2 5 29
  9. 9. f) 7 · − 12  +  − 3  = 5 1 d) − 3· = e) 4 ·10 +  − 3  = 2 4 5 8  2 9 5   4  19) Escriu en forma de potència: 8 8 8 8 8 a) · · · · = b)  − 2  · − 2  · − 2  = c)  − 2  · − 2  · 2 = 11 11 11 11 11  7  7  7  7  7 7 4 4 20) En Cesc ha regat de la gespa, i la Raquel, els restants. Qui dels dos ha regat una zona més 5 12 gran? 21) Comprova si són fraccions equivalents: 6 24 − 12 1 3 2 9 24 a) , , b) , , c) 3, , 5 20 10 5 15 10 3 8 22) Efectua aquestes operacions: 3 11 15 a) 1 + = b) − 2= c) − 7= 4 3 2 4 4 2 d) 7 + = e) 9 − = f) 3 − = 3 7 5 1 1 4 1 1 5 g) 9 + − = h) + 5− = i) 7 − + = 3 6 5 3 4 2 23) Calcula: a)  3 − 1  · 1 − 6  = b)  1 + 2  · 1 − 1  = c)  5 − 1  · 1 − 1  = d)  4 − 3  · 1 + 1  =  4 6  4 8  5 15   3 10   2 7  3 6 5 4   10 4 24) Expressa en forma de producte i troba el resultat de les potències següents: 2 4 7 a)  10  = b)  2  = c)  − 1  =  3  3  2 1 1 25) Un llibre es fa amb la col·laboració de 18 persones, de les quals correspon a autors, a 3 9 1 2 secretàries, a maquetistes, a dibuixants i la resta a personal d'impremta. Calcula el nombre de 6 6 col·laboradors de cada classe. 26) Calcula el nombre que falta: 6 9 4 x 8 2 x 8 a) = b) = c) = d) = x 3 5 10 12 x 9 18
  10. 10. 27) Fes les operacions següents: 1  − 1 2 1 a)  1 + 3  −  4 + 7  = b)  7 − 4  +  6 + 2  = c) 2 −  4 −  1 + 2  − 1  = d)  5 − + + − =  2 6  5 3  3 5  5 7  3  2 5  3 4 5  3 5 4 28) Fes aquestes operacions: b)  ·5 −  · = 2 3 7 a) 3· 1 − 2  − 1 =   c) 5 − 2 · 7 − 1  = d)  5 − 2  · 7 − 1 = 8  2 5 3 4 2 3 5  2 3  3 5 2 3 29) Calcula: a) 16 = b) 81 = c) 121 = d) 64 = 25 49 441 144 1 2 30) En una escola hi ha 1.095 alumnes que fan activitats extraescolars: fan judo, estudien italià 3 5 i la resta fan ballet. Quants alumnes fan cada activitat? 1 2 31) Un camió transporta 15 tones de fruita; són taronges, són pomes i la resta són peres. 5 3 Quantes tones de cada tipus de fruita porta el camió? 32) Calcula la fracció irreductible: 75 182 121 a) = b) = c) = 30 48 11 33) Efectua les operacions següents: a) 5 −  2 · 7  − 1 = b)  2 ·5 − 3  · 7 = c)   − 7  · 4 − 2 ·5 = d) − 3· 4 −  7 ·5 − 9  = 3  5 2 3 3 4 2  3 5  3 15  8  3 34) Dels 30 alumnes d'una classe, són noies. Quants nois hi ha? 5 4 35) D'una taronja s'aprofiten les parts per fer suc i la resta és pell. Si fem servir 27 kg de 9 taronges, quina quantitat de suc obtindrem? I de pell? 36) Ordena de més gran a més petit: 1 4 7 2 1 3 9 3 7 a) , , b) , , c) , , 3 6 18 5 6 2 2 4 12 37) Calcula: 3 1 2 1 2 3 1 1 1 a) + − = b) − + = c) − − = 4 6 3 2 3 5 2 4 8
  11. 11. 3 7 3 13 1 8 24 3 5 d) − − + = e) − + = f) 2 − − = 4 10 5 20 3 9 27 2 6 38) Indica si són certes les igualtats següents: 2 4 3 4 a)  − 5  = 25 b)  − 3  = 81 c) −  − 7  = − 343 4 d) (− 2)  2 =    3 3  − 3  2 8 4  7 7 3 39) D'una classe de 24 alumnes els han passat la grip. Quina fracció d'alumnes no han estat 8 malalts? Quants alumnes són? 3 40) He recorregut 900 metres, que suposen els de l'itinerari. Quina és la longitud total? 7 41) Efectua les multiplicacions següents: 12 3 10 9 7 7 12 a) · = b) · = c) 3· = d) · · = 23 5 2 6 2 4 21 42) Si tres quarts de quilo de pernil costen 15 €, quant val un quilo i mig? 43) Segons una enquesta, les famílies catalanes dediquen un terç de la seva renda a l'adquisició d'un habitatge, o sigui, destinen una mitjana de 11.000 € anuals a aquest concepte. Quina és la renda mitjana mensual d'una família catalana? 44) Els tres cinquens dels animals d'un parc natural són mamífers, i d'aquests mamífers, els cinc sisens són carnívors. Quina fracció del total d'animals representen els mamífers carnívors? 45) En Lluís, en Pere i l'Antoni van reunir les quantitats de diners que les seves famílies els van 6 7 3 regalar per Nadal. En Lluís va rebre de 100 €, en Pere va rebre de 100 €, i l'Antoni va rebre 8 8 8 de 100 €. Quants diners van aconseguir tots tres junts? 2 3 46) Escriu una fracció que sigui més gran que i més petita que . Podries escriure dues 5 5 fraccions? I tres? Raona quantes fraccions pots escriure entre elles? Nombres decimals Un nombre decimals és exacte quan té un nombre finit de xifres decimals. Un nombre decimals és periòdic quan té infinites xifres decimals que, a més, una o diverses es repeteixen periòdicament. La xifra o grup de xifres que es repeteixen l'anomenem període. – Si el període comença immediatament després de la coma, és un decimal periòdic pur. – Si el període no comença just després de la coma, és un decimal periòdic mixt. Un nombre decimals és no exacte i no periòdic quan té infinites xifres decimals i cap es repeteix periòdicament.
  12. 12. 47) Expressa de manera abreujada aquests nombres decimals: a) 34,655555... b) 0,31111... c) 9,66666... 48) Classifica aquests nombres decimals: a) 61,454545... b) 2,5 c) 7,333... d) 58,3777... e) 0,55 f) 6,3444... 49) Escriu i classifica el nombre decimal que correspon a aquestes fraccions: 45 12 5 95 a) = b) = c) = d) = 3 13 12 3 50) Ordena de més gran a més petit: a) 6,1 – 4,22 – 4,02 – 6,11 – 3,99 – 3,9 b) 5,602 – 5,611 – 5,6005 – 5,60102 51) Efectua aquestes operacions: a) 72,82 + 4,003 + 9,0195 = b) (5,02 – 3,009) + (7,96 – 2,1) = c) 42,78 – (13,25 – 10,9672) = d) (5,03 – 4,95) · 1,26 = e) 9,82 + 6,2 · 0,002 = f) 7,82 – 5,601 · 0,3 = 52) Resol aquestes divisions: a) 459,3 : 5 = b) 478 : 7,86 = c) 1.000,59 : 0,002 = 53) Digues a quina classe de nombres decimals correspon l'expressió decimal d'aquestes fraccions: 78 39 39 117 a) = b) = c) = d) = 39 8 60 39 54) Escriu en forma de fracció aquests nombres decimals exactes. Si és possible, simplifica el resultat: a) 25,78 = b) 25,793 = c) 97,95 = d) 150,2 = 55) Resol aquestes operacions: a) 17,94 · 100 – 8,05 : 0,5 = b) (8,72 – 7,85) · 0,1 – 0,2 = c) 16,9656 : (1,35 + 1,05) = d) 9,05 – 2,62 : (1,3 + 0,01) = 56) Un pare vol repartir 15,60 € entre els seus quatre fills a parts iguals. Quants diners rebrà cadascun?
  13. 13. 57) Una tira de paper fa 29 cm de llarg. Quantes tires necessitarem per obtenir una tira de 2,4 m de llarg? 58) Calcula:  3  2  1 1  1 1  1 1 1 a)  2 +  − 3−  = b)  + − −  = c) 1 −  + −  =  5  3  2 3  2 3  2 3 4  2 1  6 5  1 1  5  3  4 d)  +  : −  = e)  −  :  1−  = f)  1 −  :  1−  =  5 3  5 6  2 3  6  2  3  1  1   1 g)  1 −  · − 1 :  1 +  =  3  4   2 59) Busca la fracció irreductible de: 125 132 98 a) = b) = c) = 100 165 126
  14. 14. UNITAT 3: EQUACIONS EL LLENGUATGE NUMÈRIC El llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només a través de nombres Llenguatge usual Llenguatge numèric La suma de quatre més tres és set 4+3=7 Deu menys vuit és igual a dos 10 – 8 = 2 El quadrat de tres és nou 32 = 9 El triple de cinc és quinze 3 · 5 = 15 La meitat de divuit és nou 18 : 2 = 9 EL LLENGUATGE ALGEBRAIC El llenguatge algebraic expressa la informació matemàtica amb nombres i lletres Llenguatge usual Llenguatge algebraic La suma de dos nombres x+y Un nombre augmentat en tres unitats x+3 El quadrat d'un nombre x2 El triple d'un nombre 3·x La meitat d'un nombre x:2 L'àrea d'un quadrat A = c2 L'àrea d'un rectangle A= b·h EXPRESSIONS ALGÈBRIQUES Una expressió algèbrica és un conjunt de nombres i lletres que es combinen amb els signes de les operacions matemàtiques Expressió escrita Expressió algebraica El triple de la suma de dos nombres 3 · (a + b) La suma de dos nombres consecutius x + (x + 1) La suma d'un nombre i el seu doble x + 2x Al triple d'un nombre li restem el seu doble 3x - 2x L'oposat d'un nombre -x
  15. 15. 1) Expressa aquests enunciats amb llenguatge algebraic: a) El doble d'un nombre més 5 b) El triple d'un nombre menys 6 c) El doble de la suma d'un nombre més 4 d) La meitat de la diferència d'un nombre menys 8 e) El quadrat de la suma d'un nombre més 7 f) El cub de la meitat d'un nombre g) La meitat del quadrat d'un nombre h) Un nombre més el seu quadrat i) El quàdruple del quadrat d'un nombre j) La meitat d'un nombre menys 3 MONOMIS Les expressions algebraiques més senzilles són les que estan formades per productes de lletres i nombres. Els anomenem monomis. Un monomi consta d'un nombre i una o diverses lletres. - Del nombre (inclòs els seu signe) en diem coeficient - De la lletra o lletres que l'acompanyen en diem part literal Anomenem grau d'un monomi la suma dels exponents de les lletres que el formen Exemples: Monomi Coeficient Part literal Grau 3x 3 x 1 -2·a·b -2 a·b 1+1=2 x2 · y 1 x2 · y 2+1=3 - 5 · a2 · b3 -5 a2 · b3 2+3=5 SUMA I RESTA DE MONOMIS Dos o més monomis són semblants si tenen la mateixa part literal La suma o resta de dos o més monomis semblants és un altre monomi que té com a coeficient la suma o la resta dels coeficients (nombres) dels sumands, i manté la mateixa part literal. Si els monomis no són semblants, no es podran ni sumar ni restar a) 3x + 2x = 5x b) 10ab – 8ab = 2ab c) 8x + 7a = No es pot sumar
  16. 16. Exemples: Identifica aquestes igualtats: a) 3 + 4 = 2 + 5 És una identitat numèrica certa perquè 3 + 4 = 7 i 2 + 5 = 7 b) 10 – 4 ≠ 3 · 3 És una igualtat numèrica falsa perquè 10 – 4 = 6 i 3 · 3 = 9 c) 3x + x = 4x És una igualtat algebraica (nombres i lletres) d) 10 + x = 16 És una igualtat algebraica (nombres i lletres) En aquest apartat la x = 6 EQUACIONS Una igualtat està formada per dues expressions separades per un signe = Segons siguin les expressions una igualtat pot ser - Numèrica: quan només hi intervenen nombres 3 · 4 = 12 4+8=5+7 - Algebraica: si hi intervenen nombres i lletres 3x = 15 x + 7 = 11 2 + x = 3x Una equació és una igualtat algebraica que només és certa per a alguns valors de les lletres a) 10 + x = 16 Només es compleix per a x = 6 --> 10 + 6 = 16 b) 3x = 12 Només es compleix per a x = 4 --> 3 · 4 = 12 c) 4x + 2 = 2 Només es compleix per a x = 0 --> 4 · 0 + 2 = 2
  17. 17. IDENTITAT Una identitat és una igualtat algebraica que és certa per a qualsevol valor de les lletres a) 3x + x = 4x - Si x = 1 --> 3 · 1 + 1 = 4 · 1 --> 4 = 4 Es compleix la igualtat - Si x = 2 --> 3 · 2 + 2 = 4 · 2 --> 8 = 8 Es compleix la igualtat - Si x = 3 --> 3 · 3 + 3 = 4 · 3 --> 12 = 12 Es compleix la igualtat Aquesta igualtat és certa per a qualsevol valor de x. És una identitat 2) Classifica aquestes igualtats algebraiques en identitats i equacions: x a) 2x + 1 = 11 b) x +x = 2x c) = −8 2 d) 4x + 5 = 5 + 4x e) 6x = 18 f) a7 = a5 · a2 g) x – 2 = 2x h) y + 1 = 1 + y 3) Determina els membres, els termes i el grau d'aquestes equacions: a) x + 3 = 10 b) 4x -x = x + 8 c) x(x – 2) = 3 – 4(x + 2) d) x – x2 + 3 = 8 + x(5 – x) e) x2(x – 3) + 5x2 = x(1 + x2) RESOLUCIÓ D'EQUACIONS a) 4x – 2 = 3x + 2 A l'hora de resoldre equacions, haurem de seguir els següents passos: 1r) Transposar.- Vol dir que passarem al primer membre tots els termes que porten incògnita, i al segon membre, aquells que no en tenen. En cas de canviar de terme, també canviarem el signe 4x – 3x = 2 + 2 2n) Reduir termes semblants.- Vol dir que deixarem un terme a cada membre. x=4
  18. 18. b) 5x – 3 = 3x + 3 1r) Transposar.- Al primer membre les “x” 5x – 3x = 3 + 3 2n) Reduir.- 2x = 6 3r) Aïllar la incògnita.- El coeficient de la “x” passa a dividir 6 x= 2 4t) Dividir.- Resolem la divisió x=3 4) Resol aquestes equacions fent servir la transposició de termes: a) x + 4 = 12 b) 1 – x = 12 c) x – 3 = 8 d) -5 + x = -3 e) 2x = 16 f) 7x = 49 g) 5x = 25 h) 2x = 5 Resolució d'equacions amb parèntesis Exemple: Resol l'equació 2(x – 4) – (6 + x) = 3x - 4 1r) Eliminem els parèntesis -----> 2x – 8 – 6 – x = 3x - 4 2n) Transposem termes ---------> 2x – x – 3x = 8 + 6 - 4 3r) Agrupem termes positius i negatius: 2x – 4x = 14 – 4 4t) Reduïm termes ---------------> -2x = 10 10 5è) Aïllem la< incògnita ---------> x= ---> x = -5 − 2 5) Resol aquestes equacions: a) 2x + 4 = 16 b) 7x + 8 = 57 c) x + 2 = 16 – 6x d) x – 1 = 9 – x e) 5x – 5 = 25 f) 3x + 4 = 2(x + 4) g) 5(x – 1) – 6x = 3x – 9 h) 4(x – 2) + 1 + 3x = 5(x + 1) 3(3x + 1) – (x – 1) = 6(x + 10) j) 5(x – 2) – (3 + x) = 3(x – 4)
  19. 19. Resolució d'equacions amb denominadors x+ 4 x− 1 x+ 1 Exemple: Resol l'equació − = 3 2 6 Necessitem un múltiple comú de 2, 3 i 6 m.c.m.(2, 3, 6) = 6 1r) Eliminem denominadors.- Per a la qual cosa multiplicarem tots els termes per 6 i després dividirem el 6 pels denominadors:  x + 4  x − 1  x + 1 6·  − 6·  = 6·   3   2   6  2(x + 4) – 3(x -1) = 1(x + 1) 2n) Eliminem els parèntesis: 2x + 8 – 3x + 3 = x + 1 3r) Transposem termes: 2x – 3x – x = -8 – 3 + 1 4t) Agrupem termes positius i negatius: 2x – 4x = 1 – 11 5è) Reduïm termes: - 2x = -10 6è) Aïllem la incògnita: − 10 x= x= 5 − 2 6) Resol aquestes equacions amb denominadors: x+ 3 x+ 1 x+ 4 x+ 6 1 x− 4 a) = + b) − = 4 2 5 40 4 3 x 8x 2x − 1 c) − ( x + 4) + = − d) = 9 3 3 5 x − 3 3x − 9 3x − 4 e) = f) = 4 12 10 x− 3
  20. 20. Resolució de problemes Per resoldre problemes mitjançant equacions, cal que seguim aquests passos: 1r) Llegim atentament l'enunciat i identifiquem la incògnita 2n) Fem un esquema 3r) Plantegem l'equació 4t) Resolem l'equació 5è) Comprovem que la solució és vàlida i la interpretem 7) La suma d'un nombre i el doble d'aquest nombre és 120. De quin nombre es tracta? Esquema: Nombre ----------------> x Doble del nombre ----> 2x Suma dels dos --------->120 Plantejament: -------> x + 2x = 120 Solució: --------------> 3x = 120 120 x = x = 40 El nombre és el 40 3 8) El perímetre d'un quadrat és 60 m. Calcula la longitud de cada costat 9) El perímetre d'un rectangle és 400 m. Troba la longitud dels costats, si saps que la base és 2 m més gran que l'altura 10) En un rectangle sabem que el perímetre és 16 cm i l'altura 5 cm. Calcula la longitud de la base 11) Calcula la base d'un rectangle d'altura 3 cm i 22 cm de perímetre 12) En un zoològic hi ha el doble de ximpanzés que de goril·les. Si en total són 171 animals, quants n'hi ha de cada espècie 13) En una aula de 33 alumnes hi ha el doble de noies que de nois. Quants nois i quantes noies hi ha? 14) La suma de dos nombres consecutius imparells és 156. Quins nombres són? 15) Resol aquestes equacions: 5− x x− 8 4x − 8 a) =1 b) = 3 c) = 2 7 6 − 2 3x x+ 4 x 3x 2x d) − 25 = x − 20 e) − 1= − x f) − 9= − 7 2 5 2 5 6 16) El doble més el triple d'un nombre sumen 35. Troba el nombre
  21. 21. 17) La suma de dos nombres consecutius és 63. Quins nombres són? 18) La suma de dos nombres parells consecutius és 126. De quins nombres es tracta? 19) El doble d'un nombre i la seva meitat sumen 10. Quin nombre és? 20) El doble de la suma d'un nombre més 7 és 18. De quin nombre parlem? 21) Troba la solució d'aquestes equacions: 2x x x x x+ 4 a) + = + 13 b) − x= −1 5 10 15 2 5 3x − 4 x 3x c) = x− 3 d) − 7= −9 4 3 5 22) El triple d'un nombre menys 8 és 40. Troba el nombre 23) Un nombre menys la seva cinquena part és 80. Quin és el nombre? 24) Un trajecte en taxi costa 2,50 € de baixada de bandera i 1,50 € per cada quilòmetre. Si paguem 13 €, quina distància hem recorregut 25)Al zoològic hi ha el doble de tigres que de panteres i sabem que en total són 129 animals. Quants tigres i quantes panteres hi ha? 26) En una aula hi ha 3 parts de nois, i les noies són 16. Quants nois hi ha a l'aula? 7 27) Resol aquestes equacions: x+ 8 x− 4 x − 5 8− x 2 x − 10 a) = + 2 b) + = 3− 2 6 5 2 2 x − 10 x − 20 x − 30 3x − 12 2 x − 10 c) − 5= + d) − = − 1− 2 4 3 4 3 13 − 2 x 5 x − 2 x+ 1 e) 4 x + 3 − x − 2 = 2 − x + 3 f) + = 1− 5 4 6 6 4 12 28) En Joan efectua la quarta part d'un viatge en autobús, la sisena part en moto, tres vuitenes parts en bicicleta i els últims 40 km caminant. Quina distància ha recorregut en total, i quants km ha recorregut en cada mitjà de transport? 29) La Maria s'entrena de manera que augmenta el recorregut del dia anterior en 1 km. Al cap de set dies, el recorregut total que ha fet és de 42 km. Quant ha entrenat l'últim dia? 30) Esbrina la meva edat si tinc el triple de l'edat que tenia fa 8 anys
  22. 22. 31) Calcula la solució de les equacions següents: 2− x 3 x+ 1 x − 2 x − 3 4 − 2x a) x − = − b) − = 3 2 3 3 2 5 x 4x x+ 3 x c) + 1= − 2 d) − = 4 2 3 2 3 32) L'Anna té cinc cromos més que Joan, i entre els dos sumen 59 cromos. Quants en té cadascun? 33) En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quants bolígrafs i retoladors té? 34) En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més dos. Calcula el nombre de cotxes i motos si en total hi ha 48 rodes. 35) Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana? 36) En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. D'aquí a quants anys l'edat d'en Pau serà el doble que la de la seva germana? 37) Resol les equacions següents: 4x 2 + 2 x 3x 11 7x a) + = x b) + = 6 8 4 2 2 38) Dos jugadors de futbol han marcat durant la lliga 45 gols. Si un d’ells ha aconseguit fer 7 gols més que l’altre, quants n’ha fet cadascun? 39) Entre dos nens tenen 528 € i l’un en té 76 més que l’altre. Quants € té cada un? 40) Un excursionista ha caminat 5 hores i encara li falten 17 km per recórrer els 47 km que ha de fer. Quina és la seva velocitat mitjana? 41) Reparteix 1.800 € entre dues famílies de tal manera que l’una rebi 400 € menys que l’altra 42) Quin és el nombre que disminuït en 7 dóna igual que 29 disminuït en el nombre que volem saber? 43) Una granja té el doble de gallines que d’ànecs. Si el total de l’aviram és de 1512 animals, quants n’hi ha de cada classe? 44) Resol aquestes equacions: 3x − 5 8 − 3x 4x + 6 2x − 3 4x − 6 a) + 4x = -3 b) - = 2 2 5 3 6 45) En un àlbum hi ha 18 fotografies en color més que en blanc i negre. Si en total n’hi ha 86, quantes en són en blanc i negre i quantes en color?
  23. 23. 46) Sumant un nombre amb la seva meitat i amb el seu doble el resultat és 350. Troba aquest nombre 47) El pare del Toni té 38 anys i ell 6. D’aquí a quants anys l’edat del pare serà el doble de la del fill? 48) Una fàbrica fa 5 bolígrafs blaus per cada un de roig. Al cap d’una hora han fabricat 37.518 bolígrafs. Quants n’hi haurà de cada color? 49) Busca dos nombres parells consecutius la suma dels quals sigui 442 50) La Roser té 7 anys menys que la seva cosina Meritxell i d’aquí a 15 anys la suma de les seves edats serà de 53 anys. Quina edat té cada una? 51) Resol aquestes equacions: x+ 1 x− 2 x+ 3 6 − 2 x x + 5 3x 3 x − 4 a) − = − x− 1 b) − = − 4 3 2 20 10 15 5 52) Dos sacs de patates pesen 168 kg. Si l’un fa 25 kg menys que l’altre, quants kg conté cada sac? 53) Entre dos equips de futbol han sumat 84 punts en una competició, però l’un ha obtingut 24 punts més que l’altre. Troba la puntuació de cada equip. 54) En un estany del zoològic hi ha el triple de cignes que de flamencs. El nombre total d’aquestes aus és de 144. Quants n’hi ha de cada classe? 55) En una competició de l’escola participen la meitat dels alumnes d’una classe i vuit més. Si en total hi participen 22 alumnes, quants alumnes hi ha en aquella classe? 56) El doble d’un nombre més la seva cinquena part, menys 1, és igual a 76. Quin nombre és? 57) La suma de les edats de dues noies és de 41 anys, i la seva diferència, 5 anys. Quina edat tenen? 58) Resol aquestes equacions: 5x 7x 3x − 9 3x − 4 a) − = 9 b) 3 + (2x – 7) = 6 – 2(3x – 4) c) + = 9 12 18 3 5 59) La suma de dos nombres consecutius és 137. Quins nombres són? 60) Troba un nombre la sisena part del qual augmentada en 44 unitats sigui igual al doble d’aquest nombre 61) El pati de l’institut és rectangular i fa 25 m més de llargada que d’amplada. Si el perímetre fa 270 m, quina és la llargada i l’amplada? 62) En Sergi té 10 anys més que la seva germana i d’aquí a dos anys en tindrà el doble que ella. Quants anys té cada germà?
  24. 24. 63) El pare ha comprat un meló i una síndria en una fruiteria. El pes de les dues fruites és de 4.782 grams. Quant fa cadascuna si la síndria pesava el doble que el meló? 64) Busca tres nombres consecutius tals que sumats el primer i el tercer en resulti el segon augmentat en 35 unitats. 65) Resol aquestes equacions: 5x + 4 9 x + 6 4 x − 1 2 3x 2 x − 4 5 4x 6 x − 2 a) − = b) = c) + = − 2 4 7 4 7x − 2 12 3 2 8 66) En una festa van acudir en total 34 persones, Si hi havia 28 nois menys que noies, quants n’hi havia de cada sexe? 67) Dos cotxes es troben a una distància de 880 km. Circulen l’un cap a l’altre i tarden 4 hores a trobar-se. Si l’un porta una velocitat de 20 km/h més que l’altre, a quina velocitat va cada un? 68) La Irene té 29 anys més que la seva filla i d’aquí a 7 anys la suma de les edats serà de 51 anys. Quina edat té cada una? 69) Busca tres nombres consecutius tals que tres vegades el primer més quatre vegades el segon, excedeixi en 38 unitats 5 vegades el tercer 70) Quants graus tenen els tres angles d’un triangle, si se sap que el primer és el doble del segon i aquest el triple del tercer? 71) La Carmina té 8 anys més que el seu cosí i fa 4 anys en tenia el doble que ell. Quina edat té actualment cada cosí? 72) Resol aquestes equacions 5 5x 4x 5x 6x 8x 13x 19 a) - = - + 5 b) - = + 6 4 3 2 3 9 6 18 − 5 − 2x 4x − 3 x − 10 5 x + 3 2 x + 3 3x 1 c) - = d) 4 - + - = 3 5 2 4 3 2 12 73) La suma de dos nombres és 45 i la diferència 9. Quins nombres són? 74) La base i l’altura d’un rectangle es diferencien en 15 cm. Si el perímetre fa 62 cm, calcula’n l’àrea. 75) Troba un nombre tal que sumades la meitat més la tercera part sigui igual a aquest nombre menys la sisena part 76) En Gerard té 12 anys i la seva àvia 72. D’aquí a quants anys l’àvia tindrà el quàdruple de l’edat del nét? 3 1 77) En un partit de futbol parts dels espectadors són aficionats de l’equip local, ho són de 4 8 l’equip visitant i els 9.500 espectadors restants són indiferents. Quants espectadors hi assisteixen en total? Quants són de l’equip local? Quants són de l’equip visitant?
  25. 25. 2a AVALUACIÓ UNITAT 4: SISTEMES D'EQUACIONS Mètode de substitució Consisteix a aïllar una de les incògnites en una de les equacions i substituir-la a l'altra. x + 2 y = − 1 Exemple: Resol aquest sistema pel mètode de substitució  2x − y = 3  1r) Substituïm una de les incògnites en una equació; per exemple la x de la primera equació: x = -1 -2y 2n) Substituïm aquest valor a l'altra equació: 2·(-1 -2y) -y = 3 3r) Resolem aquesta equació: -2 -4y -y =3 -4y -y = 2 + 3 -5y = 5 y= -1 4t) Substituïm aquest valor a qualsevol de les equacions: x + 2·(-1) = -1 x -2 = -1 x = 2 – 1 x = 1 5è) Comprovem el resultat Activitats 1) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució: x − y = 1 x + y = 12 x+ y = 5  2x + y = 3  a)  b)  c)  d)  x + y = 5 x− y = 2  − x + 2 y = − 2 x + 5 y = 15 x + 3y = 4  x − 2y = 1  2 x + y = 7 5 x + 3 y = 16 e)  f)  g)  h)  2 x − 3 y = − 1 2 x + 2 y = 8 x − 3y = 0  3x − 3 y = 0  x− y = 5  x + 4y = 9  5x − 3 y = 1 3 x − 2 y = 5 i)  j)  k)  l)  2 x + y = 1 3 x − 6 y = 9 4 x + y = 11 4 x + y = 14 Mètode d'igualació Consisteix a aïllar la mateixa incògnita a les dues equacions i després igualar-ne el valors. x + 2 y = − 1 Exemple: Resol el següent sistema pel mètode d'igualació  2x − y = 3  x + 2 y = − 1 3+ y 1r) Aïllem la mateixa incògnita a les dues equacions:  x = -1 -2y i x = 2x − y = 3  2 3+ y 2n) Igualem les dues equacions i resolem: -1 – 2y = 2 -2 – 4y = 3 + y -4y – y = 2 + 3 -5y = 5 y = -1 3r) Substituïm aquest valor a qualsevol de les dues equacions: x + 2·(-1) = -1 x – 2 = -1 x=2-1 x = 1 4t) Comprovem la solució
  26. 26. Activitats: 2) Resol pel mètode d'igualació els següents sistemes: x− y = 1 2x − 3y = 5 x + 3y = 4  x − 2y = 1  a)  b)  c)  d)  x+ y = 5 x+ y = 0  2 x − 3 y = − 1 2 x + 2 y = 8 2 x + y = 7 5 x + 3 y = 16 x− y = 5  x + 4y = 9  e)  f)  g)  h)  x − 3y = 0  3x − 3 y = 0  2 x + y = 1 3 x − 6 y = 9 Mètode de reducció Consisteix a trobar un sistema equivalent; és a dir, amb la mateixa solució, a base d'equacions equivalents. x + 2 y = − 1 Exemple: Resol aquest sistema pel mètode de reducció  2x − y = 3  1r) Igualem els coeficients d'una de les incògnites fent les multiplicacions adequades. Per exemple, si multipliquem tots els termes de la segona equació per 2, els coeficients de la y x + 2 y = − 1 x + 2 y = − 1 queden igualats en les dues equacions:   2 x − y = 3  4 x − 2 y = 6 x + 2 y = − 1 2n) Sumem les dues equacions per tal d'eliminar una incògnita:  4 x − 2 y = 6 5x - / = 5 x = 1 3r) Substituïm el valor a una de les dues equacions; per exemple la primera: 1 + 2y = -1 2y = -1 -1 2y = -2 y = -1 4t) Comprovem el resultat Activitats: 3) Resol pel mètode de reducció: x + y = 12 x+ y = 5  x + 3y = 5  2 x − 3 y = − 25 a)  b)  c)  d)  x− y = 2  − x + 2 y = − 2 − x − y = − 3 12 x − 3 y = 75  x + 3y = 4  x − 2y = 1  2 x + y = 7 5 x + 3 y = 16 e)  f)  g)  h)  2 x − 3 y = − 1 2 x + 2 y = 8 x − 3y = 0  3x − 3 y = 0  4) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució: x = 3y + 2  x = 1− y  2 x + 5 y = 11  4x + y = 6  a)  b)  c)  d)  2 x − 5 y = 5 3x + 2 y = − 1 5 x − 3 y = − 19 − x − y = 0
  27. 27. 5) Resol aquests sistemes per igualació: 3x + 2 y = 7  2 x − 3 y = 13 2x + 4 y = 6 a)  b)  c)  4 x − 3 y = 15 3x − 6 y = 12 3x + 7 y = 5 x + y = 13  2y − x = 3  3x + y = 11  d)  e)  f)  2 x − 5 y = − 23 3x + 7 y = 43 2 x + 5 y = 29 Resolució de problemes 6) Busca dos nombres la suma dels quals sigui 14 i la diferència sigui 4 7) En una cafeteria el cambrer anota: taula A, 2 cafès i 4 sucs, 16 €; taula B, 3 cafès i 2 sucs, 12 €. Calcula el preu del cafè i del suc 8) Quins dos nombres sumen 21 i el doble d'un més el triple de l'altre és 56 9) Un pare té el triple d'edat del seu fill. Si el pare tingués 30 anys menys, i el fill 8 anys més, tots dos tindrien la mateixa edat. Quines són les edats del pare i del fill? 10) Resol aquests sistemes per reducció: x+ y = 0  2x − 5 y = 1  3 x + 4 y = − 2 4 x − 2 y = − 2 a)  b)  c)  d)  x − y = − 10 − x + 4 y = 4 2x + 3y = 0  5x + 3 y = 6  11) Resol pel mètode que creguis més adequat: x + y = 2 2 x + 3 y = 4 x + 2y = 5  2 x + 3 y = 8 a)  b)  c)  d)  x − y = 6 2 x − 3 y = 4 2 x + 5 y = 11 x + 2y = 3  12) L'Anna té cinc cromos més que Joan, i entre els dos sumen 59 cromos. Quants en té cadascun? 13) En Robert té un total de 13 bolígrafs i retoladors, i hi ha 3 retoladors més que bolígrafs. Quants bolígrafs i retoladors té? 14) En un taller, el nombre de cotxes és igual al doble del nombre de motos més dos. Calcula el nombre de cotxes i motos si en total hi ha 48 rodes. 15) Per un desert avança una caravana formada per camells i dromedaris, amb un total de 440 potes i 160 geps. Quants camells i dromedaris hi ha a la caravana? 16) En Pau té 8 anys, i la seva germana, 2 anys. D'aquí a quants anys l'edat d'en Pau serà el doble que la de la seva germana? 17) Resol aquests sistemes pel mètode de substitució: 3 x + 4 y = 25 2 x + 2 y = 0 x + 2 y = − 10 2 x + y = 13  a)  b)  c)  d)  x − 2y = − 5  4 x − y = 10  4x − 3y = − 7 3 x − 3 y = 24
  28. 28. 18) Resol aquests sistemes pel mètode d’igualació: 2 x + 3 y = − 1 3 x + 2 y = − 8 4x + 5 y = − 8  7 x + 2 y = − 4 a)  b)  c)  d)  5x − 4 y = 9  5 x − 3 y = 12  7 x + 2 y = − 14 4x − 3y = 6  19) Resol aquests sistemes pel mètode de reducció: 2 x − y = 2 2x − 2 y = 8 2 x + 3 y = 8 3 x + 5 y = 18  a)  b)  c)  d)  x+ y = 7  3x + 2 y = 2 3x − y = 1  2 x − 3 y = − 7 20) Dos germans tenen entre els dos 26 anys. Si un té 6 anys més que l’altre, quants anys tenen cadascú? 21) En un estable, entre bous i vaques hi ha 56 animals. Si hi ha 24 vaques més que bous, quantes vaques i quants bous hi ha? 22) Compro dues camises per 27 €. Quant m'ha costat cada una si la més cara valia 3 € més que la barata? 23) Divideix el nombre 54 en dues parts de manera que en multiplicar una per 3 i l'altra per 2 el resultat sigui 128 24) La suma de dos nombres és 243. Quins nombres són si l'un és el doble de l'altre? 25) En un corral, entre conills i gallines n’hi ha 20. Si contem el total de potes en resulten 64. Quants conills i quantes gallines hi ha? 26) La suma de dos nombres és 42, i la seva resta és 2. De quins nombres parlem? 27) Entre el Pep i el Martí tenen 26 anys. D’aquí a dos anys el Martí tindrà el doble d’anys que el Pep. Quants anys tenen actualment? 28) Després de 8 jornades de lliga, un equip té 18 punts i no ha perdut cap partit. Quantes victòries i quants empats ha obtingut? 29) La Maria i el seu germà sumen 12 anys entre els dos. D’aquí a 2 anys, la Maria tindrà el triple que el seu germà. Quants anys tenen ara? 30) El Pau Gasol ha fet un gran partit amb els Lakers: ha fet 13 cistelles!!! (entre triples i cistelles de dos punts). En total ha fet 29 punts!!! Quants triples i quantes cistelles de dos punts ha fet? 31) La suma de dos nombres és 277 i la seva diferència és 27. Quins nombre són? 32) Divideix el nombre 54 en dues parts de manera que en multiplicar una part per 5 i l’altra per 3 el resultat sigui 222 33) La suma de dos nombres és 108. Quins nombres són sabent que l’un és el triple de l’altre? 34) Dos investigadors tenen 48 ratolins blancs per experimentar. Si el primer li’n dóna dos al segon, aquest en tindrà el doble que el primer. Quants ratolins tenen cada un?
  29. 29. 35) Un canaricultor ven els canaris mascles a 15 € cada un i les femelles a 6 €, comptabilitzant una venda total de 570 €. Si les femelles excedeixen en 5 el doble dels mascles, quants n'hi ha de cada sexe? 36) El doble de l'edat de l'Alfred més la del seu germà Eudald sumen els 44 anys del seu pare. D'aquí a dos anys l'edat de l'Alfred serà el doble que la de l'Eudald. Quant anys tenen ara 37) En una granja hi ha porcs i gallines, que sumen en total 4280 potes. Si disminuïm en 70 el nombre de porcs, el nombre de gallines en serà el triple. Quants porcs i gallines hi ha? 38) L'edat d'un pare més el doble de la del seu fill sumen avui 120 anys i fan cinc anys l'edat del pare era el triple de la del fill. Quants anys té cada un? 39) Per 7 m de cinta i 5 m de tela hem pagat 36,25 €. Si se sap que el metre de tela val 4,25 € més que el metre de cinta, esbrina el preu de cada cosa 40) En un taller hi ha vehicles de 4 i 6 rodes. Si disminuís en dos el nombre de vehicles de 6 rodes, n'hi hauria el doble dels de 4 rodes. Quants vehicles hi ha de cada classe, si en total es comptabilitzen 156 rodes? 41) Troba dos nombres la suma dels quals sigui 40 i que es troben a raó 2 és a 3 42) Resol per substitució (a), per igualació (b) i per reducció (c): x − 3y = 4  4 x − 5 y = 11  3x + y = 3 a)  b)  c)  2 x − 5 y = 8 2 x + 7 y = − 4 6x − y = 0 43) Entre la Maria i la Joana tenen 27 anys. Si la Maria té 3 anys més que la Joana, quants anys tenen cadascuna? 44) El pare del Miquel té 31 anys més que ell, i d'aquí a 8 anys, el pare tindrà doble edat del fill. Quina és ara l'edat dels dos? 45) Tenim dos nombres i sabem que el gran excedeix en 7 unitats al petit. Si sumem el triple del gran i el doble del petit ens dóna 51. Quins nombres són?
  30. 30. UNITAT 5: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA Raó i proporció a Una raó entre dos nombres, a i b, és el quocient b a c Una proporció és la igualtat entre dues raons. Si = ---> a, b, c, d formen una proporció b d a c En aquesta proporció, = , a i d són els extrems, i b i c són els mitjans. b d Exemple: Si amb 5 kg de pintura pintem 4 m2 de paret, en podríem pintar 6 m2 amb 7,5 kg? Per poder-ho fer, les raons entre els quilos de pintura i els metres quadrats de paret han de formar una proporció. 5kg 7,5kg 5 7,5 2 = 2 → = = 1,25 ----> Això s'anomena constant de proporcionalitat 4 6 4m 6m En una proporció, el producte dels extrems és igual al producte dels mitjans. En aquest cas: 5 · 6 = 4 · 7,5 = 30 Activitats 1) Escriu les raons corresponents a les situacions següents: a) De les 350 pàgines que té un llibre, n'he llegit 95 b) Hem recorregut 260 km d'un trajecte de 600 km c) La Sílvia té 28 cromos d'una col·lecció de 72 d) De les 32 dents que tenim, a la criatura n'hi han sortit 4 5 2) Escriu dos nombres que tinguin de raó i que no siguin 5 i 6 6 3) Calcula el terme que falta seguint l'exemple: 4 7 12·7 Exemple: = → 4· x = 12·7 → x = = 21 12 x 4 8 12 8 x 4 32 a) = b) = c) = 5 x 12 6 x 16 x 18 x 4 4 x d) = e) = f) = 15 5 25 5 8 16
  31. 31. Magnituds directament proporcionals Dues magnituds són directament proporcionals si, quan multipliquem o (dividim) una per un nombre, l'altra queda multiplicada (o dividida) pel mateix nombre. Exemple: En una pastisseria venen rosquilles a 8 €/kg. Elabora una taula en la qual es relacioni el preu de les rosquilles amb el pes Pes (kg) 1 2 3 ... 6 ... Preu (€) 8 16 24 … 48 ... 1 2 3 6 = = = = 0 ,125 Per tant, les magnituds Pes – preu són directament proporcionals 8 16 24 24 Activitat 4) Completa la taula perquè correspongui als valors dues magnituds directament proporcionals. 1 2 4 6 10 30 50 70 Problemes de proporcionalitat directa Exemple: Per fer 3 marcs iguals, la Lluïsa fa servir 2,79 m de llistó. Quants metres de llistó necessitarà per fer 4 marcs? Nre de marcs Metres de llistó Per a 3 marcs necessitem 2,79 m de llistó Per a 4 marcs necessitarem x m de llistó 3 2,79 2,79·4 Formem una proporció: = → 3·x = 2,79·4 → x = = 3,72 m 4 x 3 Activitats 5) Una màquina produeix 800 caragols en 5 hores. Quant tardarà la màquina a fabricar 1.000 caragols? 6) Tradueixo un llibre al preu de 6 € per pàgina. Si m'han pagat 2.532 €, quantes pàgines he traduït? 7) Una família beu 2,5 litres de llet diaris. Quants litres consumeix en una setmana? 8) Si per portar 15 barres de pa necessito 3 cistelles, amb una cistella tinc per a .......
  32. 32. Magnituds inversament proporcionals Dues magnituds són inversament proporcionals si quan multipliquem una per un nombre, l'altra queda dividida pel mateix nombre. Exemple: Un pintor tarda 48 dies en pintar una casa. Elabora una taula que relacioni el nombre de pintors amb els dies i estudia si aquestes magnituds són inversament proporcionals.. Nombre de pintors 1 2 3 ... 6 ... Dies 48 24 16 ... 8 ... Si et fixes, es compleix que: 1 · 48 = 2 · 24 = 3 · 16 = 6 · 8 = 48 Les magnituds Nombre de dies – Dies són inversament proporcionals Activitats 9) Completa la taula de valors inversament proporcionals següents: Magnitud A 1 2 4 6 Magnitud B 24 8 6 10) Divuit obrers duen a terme una feina en 30 dies. Completa els valors de la taula: Obrers 3 9 18 36 72 Dies 30 11) Són inversament proporcionals: a) Velocitat i temps utilitzat b) Edat i estatura d'una persona c) Consum d'electricitat i hores de llum solar Problemes de proporcionalitat inversa Exemple: Un tren, a una velocitat de 90 km/h tarda dos hores per fer un trajecte. Quant temps tardarà si va a 60 km/h? Aquestes magnituds són inversament proporcionals, ja que com més velocitat portarà el tren, menys temps li costarà fer el trajecte. Anem a fer un esquema del problema: Velocitat Temps Si a 90 km/h tarda 2 hores a 60 km/h tardarà x hores Com les magnituds són inversament proporcionals, per plantejar la proporció prenem la inversa de la segona fracció: 90 x 90·2 = → 60· x = 90·2 → x = = 3 hores 60 2 60
  33. 33. Activitats 12) Una aixeta aboca 18 litres per minut tarda 28 hores per omplir un dipòsit. Si el seu cabal fos de 42 L/min, esbrina el temps que tardaria per omplir-lo. 13) Un cotxe tarda 8 hores per recórrer un trajecte a 120 km/h. Quant tardaria a 90 km/h? 14) Un ramader té bales de palla per alimentar 20 vaques durant 60 dies. Si compra 10 vaques més, per a quants dies tindrà aliment? Càlcul del tant per cent Exemple: Calcula el 30% de 600 30 30·600 30% de 600 = · 600 = = 60 ---> el 30% de 600 és 180 100 100 15) Calcula: a) 7% de 420 = b) 15% de 4000 = c) 90% de 1900 = d) 65% de 40= 16) Troba el valor de la x si saps que: a) 30% de x = 20 b) 4,5% de x =152 c) 25% x =289 d) 67% de x =725 Problemes amb percentatges: Càlcul de la part, coneguts el percentatge i el total Exemple: El 40% dels 355 alumnes d'un institut són nois. Quants nois hi ha? Els problemes de percentatge els podem resoldre mitjançant una proporcionalitat directa: Alumnes Nois Si de 100 alumnes són nois 40 nois de 355 alumnes seran nois x nois 100 40 355·40 Formem una proporció: = → 100· x = 355·40 → x = = 142 nois 355 x 100 Activitats 17) Un equip ha perdut el 25% dels 32 partits que ha jugat aquesta temporada. Quants partits ha guanyat? 18) La Joana compra un cotxe per 16.000 € i li fan un descompte del 12%. A quina quantitat equival el descompte? 19) De les 4.075 persones mortes durant l'any passat en accident de trànsit, el 52% eren joves menors de 35 anys. Quantes persones menors de 35 anys van morir l'any passat en accidents de trànsit? 20) L'Esteve paga d'impostos el 22% del seu sou. Si aquest any els seus ingressos són de 25.500 €, quant haurà de pagar d'impostos? Quina quantitat neta ha cobrat?
  34. 34. 21) A la carta d'un restaurant els preus no inclouen el 8% d'IVA. Un client ha menjat una amanida que costa 3,15 €, un llenguado de 6,25 € i postres de 4,75 €. Quant pagarà en total? 22) La Carme gasta el 26% del seu sou per menjar i el 35% per pagar lloguer. Si guanya 1.500 € al mes, quant es gasta en cada concepte? Càlcul del percentatge, coneguts el total i la part Exemple: La Joana compra un cotxe per 16.000 € i li fan un descompte de 1.920 €. Quin percentatge li descompten? Preu del cotxe Descompte Si de 16.000 € li descompten 1.920 € de 100 € li descomptaran x € 16000 1920 1920·100 Formem la proporció: = → 16000· x = 1920·100 → x = = 12 % 100 x 16000 El descompte aplicat és del 12% 23) He comprat a les rebaixes unes esportives per 45 € que abans marcaven 50 €. Quin descompte m'han fet? Càlcul del total coneguts el percentatge i la part Exemple: La Joana compra un cotxe. Si li fan el 12% de descompte, que equival a 1.920 €, quin és el preu del cotxe? Preu del cotxe Descompte Si de 100 € li descompten 12 € de x € li descomptaran 1.920 € 100 12 1920·100 Formem la proporció: = → 12· x = 1920·100 → x = = 16.000 € x 1920 12 Activitats 24) Quin era el preu d'un ordinador que està rebaixat el 18% si m'ha costat 900 €? 25) Quant val x si el seu 22% és 44?
  35. 35. Augments i disminucions percentuals Exemple d'augments: El preu de la gasolina s'ha apujat el 2%. Si costava 0,95 € el litre, quant costa ara? Com que augmenta el 2%, el que abans valia 100 cèntims d'euro ara costa 100 + 2 = 102 cèntims Preu abans Preu augmentat 100 cèntims ------------- 102 cèntims 95 cèntims ------------- x cèntims 100 102 102·95 Formem la proporció: = → 100· x = 102·95 → x = = 96,9 cèntims ≈ 97 cèntims costa 95 x 100 ara Exemple de disminucions: Una càmera de vídeo costa 650 €, però el venedor em fa una rebaixa del 20%. Quant he de pagar? Com que disminueix el 20%, el que abans valia 100 € ara costa 100 – 20 = 80 € Preu abans Preu rebaixat 100 € -------------- 80 € 650 € ------------- x € Formem la proporció: 100 = 80 → 100· x = 650·80 → x = 650·80 = 520 € he de pagar 650 x 100 Activitats 26) La paga mensual de la Sara és de 50 €. Si els seus pares li han apujat el 10%, quant li donaran a partir d'ara? 27) A en Joan li han posat una multa per excés de velocitat de 150 €. Després del període voluntari de pagament, ara s'hi afegeix el 20 % de recàrrec. Quant haurà de pagar ara? 28) Un fabricant de calçat ven les sabates al 120 % del preu que li costa fabricar-los. Si el cost de fabricació d'unes sabates és de 14 €, per quant les vendrà? 29) La Seguretat Social paga el 60% del preu d'alguns medicaments. Si he comprat un medicament que té un preu de venda al públic de 19 €, quant he pagat? Activitats de repàs 3 18 b c 30) Calcula el valor de a, b, c en aquestes proporcions: = = = 5 a 25 12 3 + x 15 31) Calcula quant val x en la proporció: = 5 + 20 75
  36. 36. a 16 8 32) Calcula a i b si saps que = i que és la constant de proporcionalitat 45 b 9 7 28 33) Calcula a i b si saps que a + b = 15 i que = a b 34) Troba dos nombres que tinguin 2,25 de raó i que sumin 65 35) Completa aquestes taules: a) Temps de lectura 5 min 10 min 15 min 20 min Pàgines llegides 2 b) Temps de fabricació 18 min 36 min 54 min 72 min Nre. d'objectes fabricats 4 36) Completa aquestes taules sabent que A i B representen magnituds inversament proporcionals: A 6 5 30 B 90 54 A 24 12 36 B 6 18 37) En una fàbrica de cotxes es fan 300 unitats cada 5 hores. Quants cotxes es fabricaran en 12 hores si es manté el mateix ritme? 38) Un pintor cobra 425 € per 5 dies de feina. Quant cobrarà per 7 dies? 39) Quatre tractors llauren un camp en 6 hores. Calcula el temps que tardarien 6 tractors per llaurar- lo. 40) Vuit persones recullen les taronges d'un bancal en 9 hores. Quant tardarien a fer-ho 6 persones? 41) En un poble hi ha 2.350 habitants. Si el 68% són dones. Esbrina el nombre d'homes del poble. 42) En una classe de 30 alumnes, n'han faltat 6. Quin ha estat el percentatge d'absències? 43) De 475 persones, a 76 els agrada el futbol. A quin percentatge de persones no els agrada el futbol? 44) D'una font hem recollit 200 litres d'aigua en 4 minuts. Quants litres obtindrem en 7 minuts?
  37. 37. 45) Tres cavalls consumeixen una càrrega farratge en 10 dies. Quant els duraria la mateixa càrrega si hi hagués 5 cavalls? 46) Quatre excavadores han obert les voreres d'un carrer en 14 dies. Per fer-ho en 7 dies, quantes excavadores caldrien? 47) El 18% d'una collita d'enciam són 10.800 kg. Quants quilograms té la collita sencera? 48) Un vestit costa 280 €. Si n'apugen el preu el 12%, quant costarà? 49) Les reserves d'aigua d'un pantà eren de 350 hm 3. Si han augmentat el 12%, quines són les reserves actuals? 50) En un rellotge antic, un engranatge té dues rodes, de 18 i 12 dents, respectivament. Si la roda gran fa 6 voltes, calcula quantes voltes fa la petita. 51) Per fer dues camises calen 4,5 m de roba. Quanta roba cal per fer 3 camises? 52) Amb la mateixa proporció que en l'activitat anterior, quanta roba caldrà per fer 7 camises? 53) Amb la mateixa proporció que les activitats anteriors, quantes camises es poden fer amb 15 metres de roba? 54) Quatre persones realitzen un treball en dues hores i quart. Quant tardaran a fer aquest mateix treball 3 persones? 55) En una població de 8.000 habitants, el 52% són dones. Quin n’és el percentatge d’homes? Quants homes hi ha? 56) El 8% de les ovelles d’un ramat són negres. Quantes ovelles hi ha en total si les negres són 22? 57) Una samarreta costa 30 €. Quant pagarem si ens fan una rebaixa del 15%? 58) Per fer una paella necessitem 2 gots d'aigua per cada got d'arròs. Si hi tirem 4 gots i mig d'aigua, quants gots d'arròs hi haurem d'afegir? 59) L'Alícia i l'Antoni reparteixen propaganda. Els 5 paquets de l'Alícia pesen 6 kg. Quant pesen els 7 paquets de l'Antoni? (Els paquets pesen tots igual) 60) La propietària d'una pensió té menjar per alimentar els seus 18 hostes durant 12 dies. Si vénen 6 hostes nous, per a quants dies tindran menjar? 61) La Maria escriu dues pàgines en mitja hora. Quantes pàgines escriurà en 3 hores? Quant temps tardarà en escriure 84 pàgines? 62) Dels 1.200 alumnes d'un institut, el 25% practiquen atletisme; el 15%, bàsquet; el 40% futbol, i la resta no practiquen cap esport. Calcula el nombre d'alumnes que practiquen cada esport i els alumnes que no en practiquen cap. 63) Tres excursionistes s'enduen aliments per a una estada a la muntanya. Quant arriben al refugi descobreixen que tenen el 15% més de provisions. Si disposen de 402,5 kg de menjar, esbrina quant en tenien al principi
  38. 38. 64) Dues rodes dentades engranen mútuament. La primera té 20 dents, i la segona, 50. Si la primera ha fet 5.000 voltes, quantes voltes ha fet la segona? 65) Les rodes del darrere d'un vehicle fan 1,3 metres de diàmetre, i les del davant, 1 metre. Si les del darrere han fet 260 voltes, quantes n'han fet les del davant? 66) Una aixeta aboca un cabal de 25 L/min i omple un dipòsit d'aigua en una hora i 20 minuts. Quant tardarà a omplir el mateix dipòsit una altra aixeta amb un cabal de 20 L/min? 67) En una banyera l'aigua arriba a 12 cm d'altura amb una aixeta que treu 180 ml/s d'aigua en 12 minuts. Si l'aixeta tragués 90 ml/s, a quina altura arribaria l'aigua en el mateix temps? 68) Una piscina té dos desguassos. El primer tarda 8 hores per buidar la piscina. Quan obre el segon desguàs, la piscina tarda 6 hores per buidar-se. Quant de temps tardaria en buidar-se la piscina amb els dos desguassos alhora? 69) Dos desguassos iguals buiden una bassa d'aigua en 4 hores i quart. Quant tardaria amb tres desguassos iguals als anteriors? 70) Un establiment venia el cafè a 5 €/kg. Si ara el ven a 4,75€/kg, calcula el percentatge de descompte que s'ha aplicat. 71) Volem fer la fotocòpia d'una làmina de la qual reduirem l'altura de 12,5 cm a 6 cm. Quin percentatge de reducció hi aplicarem? 72) Una aixeta oberta durant 5 minuts fa que el nivell d’un dipòsit pugi 20 cm. Quant pujarà el nivell si obrim l’aixeta durant 7 minuts? 73) Tres quilos de taronges costen 3,60 €. Quant en costen 5 kg? 74) Un cotxe ha recorregut 12 km en els últims 9 minuts. Si continua a la mateixa velocitat, quants quilòmetres recorrerà en els pròxims 30 minuts? 75) L’altre dia vaig pagar 3,45 € per 300 grams de formatge. Quant pagaré per un tros del mateix formatge que pesa 280 grams? 76) En una població de 2.000 habitants, el 40% viu de l’agricultura i el 30% viuen de la ramaderia. Quants en viuen de l’agricultura i quants de la ramaderia? 77) Un hotel disposa de 400 llits, dels quals 280 estan ocupats. Quin és el percentatge d’ocupació de l’hotel? 78) Els 12 nois d’una classe representen el 40% del total. Quantes noies hi ha a la classe? 79) El preu d’una bicicleta que costava 400 € l’any passat. Ha pujat un 20%. Quin és el preu actual? 80) Una cadena musical costava 800 €, però m’hi han fet una rebaixa del 15%. Quant he de pagar per la cadena? 81) En una classe de 30 alumnes, el 60% són nois i la resta són noies. Quants nois i quantes noies hi ha a la classe?
  39. 39. 82) Els habitants d’una ciutat determinada es distribueixen en: 880.000 europeus, 60.000 africans, 50.000 americans i 10.000 asiàtics. Quin percentatge representa cada grup, respecte del total? 83) Actualment els meus pares em donen 15 € mensuals de paga, però els he convençut perquè me la pugin el 15%. Quina serà la meva paga a partir d’ara? 84) Una CD de música costa 11,35 €. Quant pagaré si m’han fet una rebaixa del 40%? 85) En una granja el 15% dels animals són vaques. Si sabem que hi ha 30 vaques, quin és el nombre total d’animals? 86) Un jersei rebaixat en un 20%, m’ha costat 40 €. Quant costava abans de la rebaixa? 87) Quatre aixetes omplen una bassa en 6 hores. Quant tardaran a omplir-la tres aixetes iguals a les anteriors?
  40. 40. UNITAT 6: PROPORCIONALITAT GEOMÈTRICA Recta, semirecta i segment Una recta és una línia contínua formada per infinits punts que no té ni principi ni final Una semirecta és una recta que té principi, però no té final Un segment és el tros o la part de la recta delimitat per dos punts (extrems) Raó de dos segments Anomenem raó de dos segments, AB i CD, el nombre que resulta de dividir la longitud del segment AB (que mesura 3 cm) pel segment CD (que mesura 5 cm) AB 3 = = 0,6 CD 5 La raó de AB i CD és 0,6 Segments proporcionals Els segments AB i CD són proporcionals a EF i GH si la raó de AB i CD és igual a la raó de EF i GH AB EF = = r CD GH La raó de AB i CD és r, i la de EF i GH també Teorema de Tales Si tres rectes paral·leles a, b i c tallen dues rectes, r i s, els segments que determinen són proporcionals. A A' a B B' b C C' c r s
  41. 41. A' B ' B ' C '  =  AB BC  A' B ' B ' C ' A' C '  → = = ⇒ Aquesta igualtat s'anomena teorema de Tales A' B ' A' C '  AB BC AC = AB AC   Activitats 1) Calcula la longitud de OA' i BC , sabent que: OA = 3cm ; AB = 2,25cm ; A' B ' = 1,5cm i B ' C ' = 5cm C B A O A' B' C' 2) Calcula la longitud del segment OC a la figura de l'exercici anterior OA 3) En la següent figura, sabem que OA = 4,7cm; AB = 5 cm, i la raó = 1,6 . OA' Calcula: A' B ' , OB i OB ' B A O A' B' 4) Observa la figura següent i calcula quant fan els segments: AP , PQ i QB . Sabem que AB = 10cm 4cm 3cm 1cm A P Q B
  42. 42. SEMBLANÇA DE TRIANGLES A Dos triangles ABC i A'B'C' són semblants si: - Tenen els angles iguals: ˆ ˆ A = A' ˆ ˆ B = B' ˆ ˆ C = C' B C A' - Tenen els costats proporcionals: A' B ' B ' C ' A' C ' = = AB BC AC B' C' Triangles en posició de Tales Diem que dos triangles ABC i ADF estan en posició de Tales quan tenen un angle comú, A, i els costats oposats a aquest angle, FD i BC, són paral·lels. C D A B F Criteris de semblança Els criteris de semblança de triangles són les condicions mínimes que han de complir els triangles perquè siguin semblants PRIMER CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen els costats proporcionals A' B ' B ' C ' A' C ' = = AB BC AC SEGON CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen dos angles iguals ˆ ˆ A = A' ˆ ˆ B = B' TERCER CRITERI.- Dos triangles són semblants si tenen un angle igual i els costats que el formen són proporcionals ˆ ˆ A = A' A' B ' B ' C ' = AB BC
  43. 43. Aplicacions de la semblança de triangles C' 1,5m B A' B' A Exemple: En el dibuix anterior, es veu un arbre que projecta una ombra de 6,3 m. Al mateix temps, un pal de 1,5 m d'alçada projecta una ombra de 2,1 m. S'ha de calcular l'alçada de l'arbre Primer hem de comprovar si els triangles que formen l'arbre i la seva ombra i el pal i la seva ˆ ˆ ˆ ˆ ombra són semblants. Els angles A i A' són iguals perquè són angles rectes. Els angles B i B ' també són iguals perquè en ser al mateix temps, els raigs del sol incideixen sobre els dos objectes amb la mateixa inclinació. Per tant, pel segon criteri de semblança, els dos triangles són semblants. Per tant, hi podem aplicar la proporcionalitat entre els seus costats: A' B ' A' C ' 2,1 1,5 6,3·1,5 = ⇒ = ⇒ AC = = 4,5 m AB AC 6,3 AC 2,1 Activitats 5) L'ombra d'un autobús a una certa hora del dia fa 8 m. A la mateixa hora, l'ombra d'un cotxe, que fa 1,4 m d'alçada, és de 3,5 m. Quina és l'alçada de l'autobús?6) Quina alçada té el pal? 6) Quina alçada té el pal? 15m 8m 8m <------------------- 18m -----------------------------> 7) Quina és l'alçada de la torre d'una església sabent que fa una ombra de 100 m, si al mateix temps, una farola de 3 m d'alçada fa una ombra de 12 m?
  44. 44. 8) Donats els següents rectangles, resol: 20m 16m 30m 24m a) Són semblants? b) Quina raó de semblança tenen? c) Determina les mides d'un altre rectangle semblant? 9) Calcula els perímetres dels rectangles anteriors. Quina és la raó de semblança entre els seus perímetres? Quina relació té entre la raó entre els seus costats? 10) Calcula les àrees dels rectangles de l'activitat 8. Quina és la raó entre les àrees? Quina relació té amb la raó de semblança dels costats? Escales Exemple: La llargada del jardí a la realitat és de 37,5 m, mentre que aquesta distància en un plànol és de 2,5 cm. A quina escala està dibuixat el plànol? El primer que haurem de fer és posar les dues distàncies a la mateixa unitat. Per exemple, passarem els metres a centímetres: 37,5 m = 3.750 cm. Ara farem un esquema: Distància al plànol Distància en la realitat 2,5 cm 3.750 cm 1 cm x cm 2,5 3.750 3.750·1 Formem una proporció: = ⇒ x= = 1.500 ⇒ L'escala és 1:1.500 1 x 2,5 Activitat 11) El plànol d'una casa és 1:75. Quina mida real té una línia del plànol de 5 cm de longitud? Activitats de repàs 12) Calcula la longitud de x: 13) Calcula el valor de la y: 2,5cm 2cm y 10cm 3cm x 5cm 8cm

×