Física I ed. 1

Física I - Mecânica Página 1
Jonathan Tejeda Quartuccio
Física I
De acordo com as aulas ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do Instituto de
Tecnologia de Massachusetts (MIT) no outono de 1999.

Jonathan Tejeda Quartuccio
Física I
De acordo com as aulas ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do Instituto de
Tecnologia de Massachusetts (MIT) no outono de 1999.

Apresentação
Atualmente, enquanto escrevo esse livro, curso Física pelo Instituto de Física Gleb
Wataghin da Universidade de Campinas (Unicamp). Esse livro é uma transcrição de aulas
online ministradas pelo professor Walter H. G. Lewin do MIT. Posso dizer que mesmo cursando
física eu não tinha um contato real com essa ciência (ainda não havia caído minha ficha de
como a física funciona). Quando assisti às aulas do professor, fiquei fascinado com o seu modo
de ensinar. Posso dizer que ele se tornou minha grande inspiração para a física. Para minha
alegria, tive a grande satisfação de conversar, em rápidas palavras, com o professor Lewin
através de e-mails. Pude então agradece-lo por abrir a minha mente para o verdadeiro
conhecimento da física, e é exatamente isso que pretendo nesse curso de Mecânica.
Não estão todas as aulas ministradas aqui, decidi escrever somente até o ponto que
está de acordo com Física I, curso F 128 da Unicamp.
Alunos abram suas mentes e não desistam da física.
Jonathan T. Quartuccio

Índice
Aula 01 – Unidades, Dimensões e Argumento de Escala
Aula 02 – Velocidade e Aceleração
Aula 03 – Vetores
Aula04 – Movimento de Projéteis
Aula 05 – Movimento Circular
Aula 06 – Leis de Newton
Aula 07 – Peso
Aula 08 – Atrito
Aula 09 – Revisão
Aula 10 – Lei de Hooke e Osciladores
Aula 11 – Trabalho, Energia e Gravitação Universal
Aula 12 – Forças de Resistência
Aula 13 – Equações do Movimento de Osciladores Harmônicos Simples
Aula 14 – Órbitas, Velocidade de Escape e Energia
Aula 15 – Momentum e sua Conservação
Aula 16 – Colisões Elásticas e Inelásticas
Aula 17 – Momentum de Objetos Individuais, Impulso e Foguetes
Aula 19 – Rotação de Corpos Rígidos, Momento de Inércia e Teorema dos Eixos
Aula 20 – Momento Angular
Aula 21 – Torque
Aula 22 – Leis de Kepler e Mudanças de Órbitas
Aula 23 – Efeito Doppler, Sistemas Binários, Estrelas de Nêutrons e Buracos Negros
Aula 24 – Movimento Rotacional e Giroscópios
Aula 25 – Equilíbrio Estático

Física I

Aula 01 – Unidades, Dimensões e Argumento de Escala
Em física, nós exploramos coisas que vão desde o muito pequeno até o muito
grande. Frações que compreendem o tamanho de um próton até o tamanho do
Universo. Os físicos medem 45 ordens de grandeza (um seguido de quarenta e cinco
zeros).
Para expressar as medidas adotamos unidades:
 Comprimento [L]
 Tempo [T]
 Massa [M]
Essas são as grandezas chamadas de fundamentais na mecânica.
Há um vídeo, chamado “Powers of Ten” que mostra um pouco sobre a
magnitude das grandezas medidas em física. Segue o link para acessar o vídeo:
http://www.powersof10.com/film
Agora que nós conhecemos um pouco mais sobre ordens de grandeza,
podemos introduzir as unidades de medida. Para a unidade de comprimento, temos
metros (m); para a unidade de tempo, segundo (s); para a unidade de massa, temos o
kilograma (kg). Mas essas não são as únicas unidades. Temos uma série de outras
unidades que correspondem às mesmas grandezas. Por exemplo: para o comprimento
nós temos metros, centímetros, polegadas, entre outras; para o tempo nós temos
segundos, minutos, horas, dias, meses, etc.; para a massa nós temos o kilograma,
toneladas, etc. E essas grandezas foram sofrendo alterações no decorrer do tempo até
chegarmos aos padrões atuais de medida, descritos pelo Sistema Internacional de
Unidades.
A partir das grandezas fundamentais nós podemos derivar outras grandezas.
Por exemplo:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Conhecendo essas grandezas nós podemos fazer nossas medições.
Porém, é importante conhecer o máximo possível uma medida. Para isso,
devemos conhecer, também, uma incerteza relacionada à nossa medida. Qualquer
medida que fazemos sem conhecer sua incerteza é completamente sem sentido. Essa
frase é tão importante que ela merece destaque:
“Qualquer medida que fazemos, sem conhecer a sua incerteza, é
completamente sem sentido”.
Algumas pessoas possuem uma crença popular, na qual dizem que quando
estamos deitados somos ligeiramente maiores do que quando estamos em pé. O que
faremos aqui é testar essa crença e ver se ela tem algum fundamento científico.
Primeiramente, mediremos uma barra de alumínio.
- Na vertical
L = 149.9 0.1 cm

- Na horizontal
L = 150.0 0.1 cm
O “mais ou menos” representa a minha incerteza, pois o meu instrumento de
medida pode conter algum erro, e certamente ele contém. Ou então eu posso ter
cometido algum erro na hora da medida. Mas perceba que, embora minha medida na
horizontal possa ter diferenciado da vertical, o meu erro anula essa diferença.
Agora, medindo uma pessoa.
- Na vertical
L = 183.2 0.1 cm
- Na horizontal
L = 185.7 0.1 cm
A diferença de altura é cerca de 2.5 0.2 cm
Perceba que a diferença não é muito grande, e o nosso erro é dado em
milímetros. Se o erro fosse maior ou menor, nós não seríamos tão convincentes em
nossas medidas. Da mesma maneira, se esse valor fosse dado em polegadas ou em
pés, nossa diferença de altura seria muito grande e quando saíssemos da cama
sentiríamos uma sensação muito estranha.
De qualquer forma, se não tivéssemos nossa incerteza nossa medida não faria
sentido.
Galileu Galilei fez a seguinte questão:
“Por que os grandes mamíferos não podem ser muito maiores do que seu
tamanho original?”
Segundo Galileu, se a massa desses mamíferos se torna muito maior, seus ossos
poderão se quebrar. Tomemos um animal de tamanho S e massa M.
Vamos nos fixar no fêmur do animal. O fêmur possui um comprimento l e uma
espessura d. Assim, a dimensão do fêmur é dada por:
Fêmur =

Sendo A a área da secção transversal do fêmur.
O que iremos fazer agora é utilizar uma ferramenta na qual os físicos chamam
de argumento de escala.
A pressão sobre o fêmur é dada por:
Se a pressão for maior que certo valor, os ossos vão se quebrar.
Se a massa de um animal aumenta para um fator 4 (por exemplo), para que os
ossos não se quebrem d também terá de aumentar um fator para 4.
Esse resultado mostra que se eu tenho dois animais e um é dez vezes maior que
o outro, então S é dez vezes maior, os comprimentos das pernas serão dez vezes
maiores, mas a espessura do fêmur será trinta vezes maior.
Agora usaremos outra ferramenta, conhecida como análise dimensional, para
tentar responder a seguinte questão: Digamos que uma maçã cai de uma altura h, o
tempo de queda (t) depende de quais fatores?
O valor α é desconhecido, mas se aumentamos α nós aumentamos t.
Sabemos que a maçã possui uma massa m.
Da mesma maneira, se β aumenta a maçã é mais maciça e levará menos tempo
para cair. Mas também existe a aceleração da gravidade, que nós ainda não
compreendemos muito bem.
Agora, vamos tentar encontrar os valores dos nossos expoentes. Note que do
lado esquerdo de nossa relação só existe o tempo, e ele está elevado a um. Da mesma
maneira, temos de ter do lado direito apenas o tempo.

Assim, podemos escrever:
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ]
Como só há M do lado direito, β deve ser zero.
Como não há L no lado esquerdo, temos:
Para T, temos:
Portanto:
O que nos dá as possíveis respostas:
Observando esses valores, nós podemos concluir que (como existem potencias
iguais a ½ e isso é uma raiz):
√ √
O valor C é uma constante, assim como g (que é a gravidade) e por essa razão
nos sobra apenas √ .
Se a maçã cai de uma altura de 8 metros e outra de uma altura de 2 metros, a
de 8 metros demorará 2 vezes mais para chegar ao chão do que a de 2 metros.
Fazendo uma experimentação...
Lançaremos um objeto de duas alturas distintas, sendo que uma é o dobro da
outra.
H1 = 3.000 0.003 m
H2 = 1.500 0.003 m

A relação de H1 para H2 é:
O que queremos é encontrar uma relação do tempo de queda, sendo que não
medimos o tempo de queda do objeto das diferentes alturas (apenas utilizamos os
valores das alturas para encontrar uma relação). Mas sabemos que:
√
Com isso, podemos obter a relação dos tempos de queda t1 e t2:
√
O que fizemos até aqui foi apenas uma predição do que esperamos ocorrer
experimentalmente. Agora, mediremos o tempo de queda do objeto das duas alturas.
Os resultados são:
t1 = 0.781 0.002 s
t2 = 0.551 0.002 s
Assim, nossa relação fica:
Perceba que o valor experimental foi muito próximo de nossa predição. Na
realidade, como estamos adotando um erro, podemos confiar em nossa experiência e
dizer que os valores coincidem.
Esse resultado nos mostra que o tempo de queda não depende da massa do
objeto, mas sim da altura que o mesmo é lançado (pois o resultado com o objeto em
queda foi o mesmo resultado analisando apenas a altura).
Essa primeira aula buscou fazer com que o aluno comece a questionar
fisicamente a natureza, pois é isso que um físico faz. Portanto, quero lhe desejar boas
vindas ao conhecimento da natureza. Isso é Física!
Indo mais além...
Unidades de Medidas
No decorrer da história, foi necessária a criação de padrões únicos de unidades
de massa e comprimento pelo fato de que os poderosos da França (por volta do século
XVIII) usufruíam mercadorias por um preço menor, e as vendiam por um preço maior.
A França estava passando por problemas, e com a decadência e a desmoralização da
monarquia, era difícil ter leis. Isso originou várias formas de opressão. Em 1790, no
início da Revolução Francesa, um decreto da Assembleia Constituinte, que assumiu o
poder da França, exigiu da Academia de Ciências uma criação de padrões únicos de
massa e comprimento. Foram esses padrões que originaram o sistema métrico,
oficializado na França em 1799. Para definir a unidade de quilograma, foi criado o
Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM). Existem mais de oitenta cópias do
BIPM pelo mundo, inclusive no Brasil.
Medir uma grandeza é atribuir-lhe um valor numérico e uma unidade. São essas
unidades muito importantes para o estudo da física, pois são elas que muitas das vezes
confundem as pessoas. Em qualquer campo de conhecimento, em especial nas ciências
e na engenharia, a interpretação e a previsão de eventos se baseiam na medição de

grandezas. A necessidade de classificar grandezas como temperatura, comprimento,
etc. nos conduziu ao desenvolvimento de unidades de medidas, os padrões de
medidas. Geralmente, os padrões de medidas seguem o Sistema Internacional de
Medidas (S.I.), mas também temos outras unidades.
Notas de Aula
A figura mostra diferentes medidas de fêmures de vários mamíferos.
Aqui temos um gráfico que relaciona as medidas obtidas com os fêmures.

Aula 02 – Velocidade e Aceleração
Vamos falar sobre velocidade e aceleração.
Temos um objeto que se move em linha reta, em um movimento
unidimensional.
A direção nós quem escolhemos, somos livres para decidir isso.
Iremos introduzir o conceito de velocidade:
〈 〉 𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
Nesse caso, 〈 〉 𝑡 𝑡 > 0, pois 𝑡 é maior que 𝑡 . Perceba que para 〈 〉 𝑡 𝑡5 = 0,
pois a posição 𝑡 e 𝑡5 é a mesma. Para 〈 〉 𝑡 𝑡4 < 0, pois 𝑡4 é menor que 𝑡 .
𝑡 representa a posição x do objeto no tempo t, enquanto que 〈 〉 é a
velocidade média.
Se eu mudo o sentido da trajetória, eu mudo os sinais da minha velocidade.
Velocidade negativa indica que o móvel está no sentido contrário ao sentido positivo
da trajetória. Ou seja, a escolha dos sentidos determina os sinais.
Analisando nosso movimento em um gráfico, escolhemos um intervalo, nesse
caso de t2 a t3.
O que nos dá:
〈 〉
Se α é positivo, então a velocidade é positiva. Mas se α é negativo então a
velocidade é negativa, como é o caso de t4 a t5.
Existe uma grande diferença entre velocidade média e velocidade escalar
média. A velocidade escalar é definida como:

Entre t1 e t5 a velocidade média é zero, mas a velocidade escalar é diferente de
zero. Para a velocidade escalar o sinal não importa, mas sim a magnitude. Por
exemplo, se eu tenho: v1 = + 30 m/s e v2 = – 100 m/s, embora sabemos que – 100 é
menor que + 30, para a velocidade escalar só importa a magnitude, ou seja não
consideramos o sinal (100 é a velocidade maior).
Olhando novamente para o intervalo do meu gráfico:
Se eu aproximo t3 de t2 o ângulo α começa a mudar. A nossa reta t2t3 se torna
uma tangente em α no caso limite de Δt  0 (ou seja, quando meu intervalo de tempo
for muito pequeno). Assim nós definimos velocidade instantânea:
𝑡
Ou seja, a velocidade instantânea é uma derivada.
Temos que:
Pode ser maior que zero; igual à zero ou menor que zero.
Suponha que temos um projétil que vai partir do ponto I e chegar ao ponto II,
que estão separados por uma distância D.
Como sabemos, medidas sem uma incerteza é sem sentido. Em nosso caso
temos duas incertezas: à distância e o tempo que o projétil demora a ir de I até II.
A distância nós medimos e sabemos que é D.
Ao passar por I, o tempo do projétil começará a ser medido e terminará em II.
Sendo D = 148.5 0.5 cm
Se a velocidade do projétil fosse de 300 m/s, o tempo medido seria de 5
milissegundos. Adotando um erro de 20%, temos que nosso erro será 0.1 ms.
Medindo experimentalmente a velocidade do projétil:
t = 5.8 0.1 ms
Assim:

Introduziremos agora o conceito de aceleração média.
Podemos perceber que a velocidade não permaneceu constante todo o tempo.
Ela tem mudado. Assim:
〈 〉
𝑡 𝑡
Assim como a velocidade, o sinal depende da trajetória.
〈 〉
Suponha que uma bola caia no chão com uma velocidade de 5 m/s, e depois ela
retorna com a mesma velocidade.
Assim:
〈 〉
Note que a partir do gráfico de velocidade em função do tempo é possível
encontrar o valor da aceleração. Da mesma maneira que fizemos anteriormente,
podemos encontrar a aceleração em qualquer momento (aceleração instantânea)
tornando o intervalo de tempo cada vez menor, ou tendendo a zero. Portanto, temos
que:
𝑡
Assim:
Agora, analisemos o seguinte:
( )
O que nos fornece:
Ou seja, a aceleração é a segunda derivada do espaço em função do tempo. A
aceleração pode ser maior que zero, igual a zero ou menor que zero.

Se em um gráfico a velocidade é constante então a aceleração é zero. Se v > 0
então a > 0 e se v < 0 então a < 0.
Tomemos a seguinte função: .
Essa função representa o espaço percorrido por um determinando objeto em
função do tempo. Vamos lembrar uma regra básica de derivação:
Portanto, podemos derivar nossa função espacial e obter a velocidade do nosso
objeto. Assim: v = – 6 + 2t (m/s)
Derivando mais uma vez nossa função, encontramos o valor da aceleração: a =
+ 2 (m/s²)
Note que nossa função é de segundo grau e nossa aceleração é positiva. Assim,
podemos esboçar nosso gráfico.
Vamos nos focar no estudo em uma dimensão (1-D). Tomaremos o valor da
nossa aceleração constante e os valores de C são parâmetros que dependem do
tempo.
Essa é uma forma geral de escrever o espaço percorrido. Derivando temos:
Assim, ficamos com os seguintes resultados:
Para objetos sob a influencia da gravidade, existe uma aceleração constante a
qual chamamos de “g”, cujo valor é de 9.8 m/s².
Essa aceleração é independente da massa do objeto.

Vamos soltar uma bola de uma determinada altura, de maneira que o espaço
inicial é zero e a velocidade inicial é zero (a bola parta do repouso):
Assim:
Isso nos conduz à uma conclusão com respeito à primeira aula, quando
tínhamos a seguinte equação:
√
E agora, podemos concluir que:
√
Como v = gt, quando soltamos um objeto sua velocidade aumenta com o
tempo. Com o auxilio de uma foto estroboscópica podemos ver espaços cada vez
maiores entre imagens sucessivas do objeto em queda.

Aula 03 – Vetores
Algumas quantidades em física nós representamos utilizando apenas um
número e uma unidade, como a massa ou a temperatura, por exemplo. Existem,
porém, algumas grandezas na qual devemos conhecer, também, uma direção e um
sentido. Esse é o caso dos vetores.
Velocidade e aceleração são exemplos de vetores.
Nessa aula, aprenderemos a trabalhar com essas ferramentas matemáticas.
Os vetores possuem um comprimento, uma direção e um sentido. Sua
representação é:
Nós vamos estudar planos de uma maneira tridimensional. Por essa razão,
muitas vezes, nossos vetores poderão sair do plano (papel) ou entrar no plano.
Quando representamos vetores, nós podemos escrevê-los das seguintes
maneiras:
Aqui, vamos representar os vetores com negrito.
Seja O um ponto qualquer e P uma determinada localização. Digamos que eu vá
de O até P.
Imagine que o plano onde OP esteja seja uma grande mesa, e essa mesa se
move da seguinte maneira:
O ponto S será minha posição final na qual vocês verão (embora, para mim, eu
tenha permanecido em P). Portanto, haverá uma distância OS que vocês medirão.
Essa distância é calculada utilizando-se a adição de vetores:

Há várias maneiras nas quais podemos somar vetores. Dados dois vetores A e
B:
Eu posso juntar a extremidade de um vetor com a origem do outro.
Não importa qual vetor venha antes, meu resultado permanece o mesmo.
Podemos utilizar a regra do paralelogramo, que consiste em juntar as duas
origens dos vetores.
O que significa um vetor ser negativo?

Ou seja - A é igual a A, mas com o sentido contrário (possui a mesma direção e
o mesmo comprimento). Essa ideia nos conduz à subtração de vetores.
Se não conhecemos a direção e o sentido de algo, então existem várias
possibilidades para nosso resultado. Por exemplo, se temos dois vetores os quais
conhecemos apenas suas magnitudes, sem os sentidos ou direções, e sejam seus
valores iguais a 5 e 4, nosso vetor final pode ser 1 ou 9.
Vários vetores podem ser representados por um único vetor. De maneira
análoga, podemos decompor um único vetor em vários outros.
Seja um vetor A num espaço tridimensional.
Os vetores i, j e k representam os vetores unitários das coordenadas x, y e z
(respectivamente). Esses vetores nós chamamos de “versores”.
Assim eu reescrevo meu vetor A nas componentes i, j e k:

A magnitude do vetor, ou o comprimento, é calculado da seguinte maneira:
| | √
Exemplo:
A = 3i – 5j + 6k
| | √
| | √
Agora, podemos calcular o valor do ângulo que temos.
| |
Assim, nossa resposta fica:
√
Multiplicação de Vetores
 Produto Escalar (Produto Ponto)
O resultado é um número.
O ângulo θ entre os vetores deve ser encontrado projetando-se um vetor sobre
o outro, o que nos fornece a definição de produto escalar:
| || |
O sinal desse resultado depende do ângulo adotado.
Isso será melhor visto em trabalho, pois nós teremos trabalho positivo e
trabalho negativo.
Exemplo 1.
Assim, nossa resposta fica:
Exemplo 2.
A = j e B = k

 Produto Vetorial (Produto Cruz)
O resultado é um vetor.
Vamos colocar nossos vetores em uma matriz.
É importante que A venha antes, pois em nossa multiplicação ele vem antes.
Agora, copiamos as coordenas dos vetores em ambos os lados da matriz e
aplicamos a multiplicação como se fossemos encontrar o determinante.
Conhecendo dois vetores A e B, temos que:
| || |
Nós conhecemos a magnitude do vetor, mas como saberemos sua direção?
Para isso, nós utilizamos a regra da mão direita.
Os dedos apontam para o mesmo sentido de A, pois ele foi o primeiro termo a
surgir. Então você rotacional os dedos em direção à B (formando o ângulo). O polegar
apontará no sentido do vetor C.
Se o vetor entra no plano, seu sinal será positivo. O vetor é sempre
perpendicular a A e B. Portanto:
Com isso, podemos concluir que:
Exemplo:
A = i Ax = 1
B = j By = 1

Há uma dica para a multiplicação de vetores:
Assim, seguindo sempre no sentido das setas:
Caso invertemos a ordem:
Agora, vamos observar um ponto que se move em um espaço tridimensional
durante um tempo t. Seja r(t) o vetor deslocamento:
Podemos derivar essa função e encontrar a velocidade e a aceleração:
Para o ponto P se movendo:
Essas são as coordenadas em x.
De modo análogo para y e z.
Com isso decompomos um movimento tridimensional para um movimento em
uma dimensão, o que irá facilitar as coisas.
Lançando uma bola para frente sua trajetória poderá ser descrita em um plano
vertical. Por mais que a bola viaje em 3 dimensões, podemos representar sua trajetória
em apenas 2 eixos, bidimensionalmente, em x e y.
Estudaremos o trajeto da bola analisando um trajeto no eixo x independente
do eixo y. Da mesma maneira analisaremos o eixo y e então juntaremos ambos para
descrever o trajeto da bola.
Como vimos na aula anterior, em movimentos em 1-D.
Estudaremos essas equações para x e depois y.
Lançando uma bola, temos:

é a velocidade inicial no eixo x e é a velocidade inicial no eixo y.
A posição de P é dada por X(t) no eixo x no tempo t e por Y(t) no eixo y e no
tempo t. O vetor deslocamento é dado por r(t). Estudando as equações nos eixos:
Agora, em y:
Assim, nós decompomos um movimento complicado em dois movimentos
independentes. Na próxima aula nós retornaremos esses argumentos.
Observando as equações, no eixo x a velocidade não varia, pois não há
aceleração. Apenas em y a velocidade varia, pois existe a aceleração da gravidade. Isso
implica que se lançarmos uma bola numa trajetória oblíqua e continuarmos andando
no mesmo sentido com a mesma velocidade horizontal, a bola cairá em nossas mãos.
O motivo é que só existe aceleração em y, e y é independente de x. Porém, a trajetória
será uma junção de ambos os movimentos.

Um dispositivo com uma bola lançara a mesma assim que passar por um
determinado ponto. Após lançar a bola, o dispositivo continuará se movimentando
com velocidade constante, assim:

Aula 04 – Movimento de Projéteis
Nessa aula faremos algumas aplicações do que vimos na aula passada.
Tomando a trajetória de uma bola.
P é o ponto máximo (altura máxima atingida) e S é o ponto final da trajetória
(alcance).
Vamos utilizar as equações do movimento em uma direção:
Da aula anterior, temos que:
A aceleração é –g, pois aponta no sentido contrário à y.
Usando a equação 3, temos que:
Como o espaço inicial é zero o termo desaparece.
Da equação 1:
Da mesma maneira, desaparece, pois é zero.
Isolando t na equação 1:
Substituindo t na equação 3:
( )

Essa é a equação da trajetória que por sua vez é uma parábola (perceba que há
termos quadráticos). Nós usamos t da equação 1 pois ao término do movimento em x
nosso objeto completa a trajetória.
Agora, qual o tempo o nosso objeto demorará a atingir a altura máxima?
Para isso, usaremos a equação 4. Devemos nos perguntar em que momento a
velocidade em y é zero, pois na altura máxima essa velocidade é zero.
Da equação 4, temos:
Esse é o tempo que a bola demora a atingir o ponto P, ou a altura máxima.
Substituindo esse resultado na equação 3:
Com isso, podemos encontrar a altura máxima.
Agora, podemos calcular o tempo que o objeto leva para ir de O até S.
Calcularemos, portanto, seu alcance.
O tempo de subida da bola é igual ao tempo de descida, portanto o tempo total
do movimento, até chegar em S, será duas vezes o tempo para alcançar P.
O ângulo determinará a altura e o alcance.
Queremos saber a distância OS. Utilizaremos a equação 1 pois o alcance é com
relação ao eixo x.
Atirando um objeto verticalmente:
Digamos que o objeto alcance uma altura igual a 307 0.15 m.
Esses valores são experimentais (lançamos o objeto várias vezes para cima e
estamos adotando um erro de 5%). Assim, temos que:
Alterando o ângulo:
Minha predição será:
Minha predição será:

Nesse caso, adotamos um erro de 7%.
É interessante fazer essas experiências.
Se ao invés de 30° eu usasse 60°, OS não mudaria, pois
E sen60 = sen120.
Algumas pessoas possuem um hobby um tanto quanto maldoso. Trágico para
ser mais exato. Essas pessoas, como ocorre muito na África, caçam macacos.
Um caçador mira sua arma, apontando diretamente para um macaco que está
em uma árvore.
A linha tracejada representa o trajeto que o projétil faria caso não houvesse a
gravidade. A parábola representa a trajetória real do projétil (embora esteja um pouco
exagerada). Ou seja, se o caçador mira direto no macaco ele não o acertará, mas o
projétil atingirá o ponto P.
Mas, digamos que o macaco se assuste com o flash do disparo e então ele salta.
O que ocorrerá com ele?
Vamos analisar as duas trajetórias do projétil.
Sabemos que:
Portanto, o que ocasiona a mudança na trajetória é a gravidade (que é a
mesma em todo o trajeto). Com isso:

Perceba que a diferença de altura no primeiro ponto é ocasionada pelo mesmo
fator que ocasiona a diferença de altura no segundo ponto (ambos são por causa do
1/2gt²).
Ou seja, se o macaco pula no momento do disparo ele será atingido. Se a
velocidade do projétil for alta, o macaco será atingido em uma altura maior. Se a
velocidade do projétil for baixa, o macaco será atingido em uma altura menor. Mas se
a velocidade for muito baixa, o macaco não será atingido.
Agora, vamos imaginar a mesma situação só que dentro de um elevador em
queda livre.
Se o macaco não se mover ele verá o projétil vindo em direção a sua cabeça.
Mas digamos que o macaco, muito inteligente, faça um rápido cálculo. Ele
percebe que:
𝑡
√
Para nós, calculando o tempo de morte do macaco (caso ele não faça nada):
𝑡
E
√

Então:
𝑡
√ √
Ou seja, se o macaco vai viver ou morrer dependerá se os seus cálculos
estiverem certos ou errados.

Aula 05 – Movimento Circular
Nessa aula nós discutiremos sobre movimento circular uniforme.
Perceba que a velocidade é tangente à trajetória. A velocidade média está
mudando, mas a velocidade escalar não.
T = período (s)
f = frequência (rad/s) ou Hz
A velocidade angular (ω) em um movimento circular é dado por:
Há uma aceleração sobre o objeto que altera sua direção. A aceleração
centrípeta (ac) é sempre direcionada para o centro da trajetória.
| |
Um exemplo:
r: 10 cm
f: 10 Hz
T = 1/10 s
600 rpm

A aceleração centrípeta deve ser causada por algo. E é esse algo que está
mudando o sentido da velocidade. Esse algo nós chamaremos de “puxão” ou
“empurrão”.
Imaginemos uma plataforma giratória, e você está sentado em uma cadeira que
está parafusada a essa plataforma. A plataforma gira com uma velocidade angular ω.
Então você sentirá um empurrão da cadeira em suas costas em direção ao centro.
Agora, digamos que ao invés de estar sentado na cadeira você esteja em pé segurando
um cabo de vassoura na vertical (voltado para o centro da plataforma). Dessa maneira,
você sentirá que o cabo de vassoura está te puxando em direção ao centro.
O que aconteceria se o puxão ou o empurrão deixasse de agir sobre você?
Algumas pessoas acreditam que você seguiria uma trajetória descrita por uma espiral.
Mas isso não é verdade. Não é isso o que acontece.
Pelo fato da velocidade ser tangente à trajetória, se o puxão ou empurrão
deixar de agir, você sairia no sentido da velocidade.

Se você possui uma velocidade na direção x e de repente o puxão ou empurrão
deixa de agir, então você sairá na direção x. É fácil demonstrar isso
experimentalmente. Fique girando algum objeto preso a uma corda e depois solte a
corda. Você verá o objeto saindo na direção a qual você soltou a corda.
No caso dos planetas do sistema solar, o que causa esse puxão é o Sol. Se o Sol
desaparece, os planetas escapariam em linha reta ao longo da direção em que estavam
no momento em que deixaram de sentir o puxão do Sol.
Mas é claro que as órbitas dos planetas não são circulares. Como descreveu
Kepler, as órbitas são elípticas. Conhecendo-se a distância dos planetas ao Sol (que
seria o raio) e conhecendo também seus períodos, podemos adotar uma trajetória
circular para os mesmos a fim de fazer uma estimativa de suas acelerações centrípetas.
Temos uma bola de gude dentro de um tubo de vidro. Nós vamos girar esse
tubo, como mostra a figura:
O desenho mostra o trajeto circular da bola de gude. A bola necessita de uma
aceleração centrípeta para girar em torno do centro. Mas o que prova que exista algo
agindo sobre ela?

O tubo é o que ocasiona o movimento da bola, assim como o Sol dos planetas.
A posição da bola depende do tudo. Se o tubo deixa de existir repentinamente a bola
escapa no sentido de v. Essa é a ideia básica de uma centrífuga.
Se quisermos secar salada, como alface, por exemplo, podemos fazer isso
utilizando uma centrifuga para saladas. A secagem ocorre pois a água mantém seu
sentido igual ao da velocidade e escapa pelos furos presentes na centrifuga. Abaixo,
temos o exemplo de uma centrífuga para saladas.
Vamos falar sobre aceleração centrípeta e a maneira como nós percebemos a
gravidade.
Iremos coloca-lo em várias situações e ver como você sente a gravidade. Você
está segurando em uma corda. Eu te pergunto: você sente um puxão ou um
empurrão? E em que sentido você sente a gravidade?
Ou seja, você sente um puxão para cima e a gravidade no sentido oposto.
Agora, você está em pé, sobre o chão. Você sente um puxão ou um empurrão?
E em que sentido você sente a gravidade?

O chão empurra você para cima. Perceba que em ambos os casos a gravidade é
oposta ao puxão ou empurrão.
Agora, vou rodá-lo enquanto você segura na corda. Você sente um puxão ou
um empurrão? E qual o sentido da gravidade?
São esses os sentidos os quais você sentirá um puxão e a gravidade. Quanto
mais rápido eu rodá-lo, mais forte será o puxão e mais forte será a sensação de
gravidade.
Vamos viajar agora para o espaço onde você está na estação espacial
Enterprise. Não há gravidade, mas nós criaremos uma gravidade artificial.

O chão da nave está te empurrando, então você deveria sentir a gravidade no
sentido oposto. Mas uma pessoa em outro ponto da estação espacial sentiria a
gravidade em outra direção.
Queremos calcular a rotação da Enterprise a fim de imitar a aceleração da
gravidade terrestre, que é de 9.8 m/s², ou podemos arredondar o valor para 10 m/s².
Então:
| |
No centro de nossa estação espacial não há aceleração centrípeta, pois o raio é
zero.
Agora vem uma questão: nós podemos andar pelo corredor em torno da nave
sem problema algum, mas poderíamos andar nos corredores centrais?
Digamos que você quer chegar até o quarto.

Você nunca conseguiria chegar ao seu destino pois você estaria indo contra a
gravidade.
Mas, por outro lado, digamos que você acorda no quarto e decida voltar para o
corredor em torno da nave. O que aconteceria?
Você simplesmente seria jogado para fora. A medida que você começa a se
afastar do centro da Enterprise a gravidade começa a aumentar pois o raio começa a
aumentar.
Suponha que temos um líquido cheio de diminutas partículas. Essas partículas
são tão pequenas que estão misturadas no líquido, nem podemos percebe-las.
Colocamos o liquido em um tubo e o giramos em torno de um eixo.

Como há uma aceleração centrípeta, as partículas sentirão a gravidade no
sentido oposto. O líquido é sempre perpendicular a gravidade, portanto, assim que o
tudo começa a girar, temos:
Depois de um certo tempo girando, as partículas no líquido irão todas em
direção à gravidade. No final teremos:
Esse é o funcionamento de uma centrífuga de laboratório.
Vamos dar alguns valores para uma centrífuga:
Esse valor é cerca de 2000 vezes maior que a aceleração da gravidade da Terra.
Agora, voltemos ao caso em que você esteja rodando enquanto segura em uma
corda. Mas agora vou rodá-lo de uma maneira um pouco diferente.

Sabemos que:
Eu posso girá-lo cada vez mais rápido, de modo que v aumente e a aceleração
centrípeta aumente. Então, eu te pergunto: em que direção é a gravidade?
E você me responderá o seguinte (assumindo que você esteja nesse ponto):
Por mais que isso pareça ir contra nosso senso comum, é algo verdadeiro. É tão
verdadeiro que eu posso pegar um balde com água, prende-lo à uma corda e girá-lo da
mesma maneira que fiz com você de maneira que a água não caia do balde.

Com alguns dados, podemos calcular um valor para que a aceleração centrípeta
seja maior que a aceleração da gravidade.
Ou seja, se a física funciona, eu posso girar o balde com certa velocidade
(mínima) que quando o balde estiver no topo a água não cairá dele. Se minha
velocidade for baixa, então eu irei me molhar.
Notas de Aula
Esses são dados das distâncias dos planetas ao Sol, de seus períodos e de suas
acelerações centrípetas.

Perceba que foi encontrada uma relação entre as acelerações centrípetas.

Aula 06 – Leis de Newton
Na aula passada foi discutido como a aceleração é causada por um puxão ou
empurrão.
Nessa aula discutiremos melhor essa ideia com o que chamamos de Leis de
Newton.
A primeira lei foi expressa por Galileu, o qual dizia:
“Um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento
permanece em movimento com uma velocidade constante através de uma linha reta
ao menos que uma força externa aja sobre ele”.
Newton, em seu famoso livro Principia, escreveu essa lei. E aqui está da forma
como ele escreveu:
“Todo corpo mantém seu estado de repouso ou de movimento uniforme em
linha reta até que uma força externa mude seu estado”.
Essa lei é chamada de inércia.
Se um objeto fosse lançado através de uma linha reta e conseguíssemos anular
a gravidade e outras forças, como o arrasto, por exemplo, então esse objeto
permaneceria em movimento para sempre.
A inércia não serve para um referencial que está sendo acelerado. Imagine que
eu esteja me movendo em um movimento acelerado na seguinte direção.
Você iria ver minha velocidade mudando, contanto que você esteja em
repouso. De acordo com a primeira lei deve existir uma força agindo sobre mim. Se
você me perguntar se eu sinto algo me empurrando eu responderei: sim, eu sinto um
empurrão.
Agora, imagine que vocês vêm na minha direção com velocidade constante. Eu
veria vocês em movimento acelerado, pois eu estou acelerado e no sentido contrário.
Então eu diria que vocês, de acordo com a primeira lei, devem estar sentindo uma
força empurrando vocês. Mas vocês não sentem nada.
Portanto, a inércia não funciona para meu referencial que está acelerado.
A primeira lei funciona para referenciais inerciais. E nesses referenciais não
podemos levar em conta qualquer tipo de aceleração.
A sala em que você está não é um referencial inercial, pois a Terra gira ao redor
do Sol com uma aceleração centrípeta. O Sol, por sua vez, gira em torno do núcleo da
Via Láctea. E a Via Láctea gira em torno de outros aglomerados galácticos.
Podemos fazer uma estimativa da aceleração que a sala está sofrendo. Vamos
imaginar que a sala em que você está fique sobre o equador.

Assim:
Esse valor é bem menor que a aceleração da gravidade da Terra.
A primeira lei não pode ser provada, mas devemos acreditar nela.
Vamos para a segunda lei.
Tomemos uma mola, na qual a esticaremos um pouco.
Se eu estico a mola surgirá uma força de tração (ou puxão) oposta.
Agora, eu prendo um corpo de massa M1 à mola.
Eu meço a aceleração a1 do bloco M1, causada pelo puxão logo após eu soltar a
mola.

Agora, eu substituo M1 por outro corpo de massa M2, mas mantenho a mesma
deformação da mola. Assim, eu meço a2.
Experimentalmente eu vejo que, como a deformação é a mesma (o puxão é o
mesmo e, portanto, a força é a mesma):
E essa é a minha definição de força.
Assim, uma força sobre um corpo de massa 10 vezes maior daria ao mesmo
uma aceleração 10 vezes menor em relação a outro corpo.
A segunda lei é descrita como:
“A ação de uma força sobre um corpo lhe dá uma aceleração que é na direção
da força e tem magnitude dada por ma”.
O que nos fornece a seguinte equação:
[ ]
A segunda lei, assim como a primeira, só serve para referenciais inerciais e
também não pode ser provada.
Para um objeto em queda, podemos escrever:
Se m se torna maior, a força da gravidade se tornará maior.
Vamos adotar a sala como um referencial inercial. Temos uma bola na sala, e a
bola está em repouso (a bola está em minhas mãos). Como a bola está em repouso,
sua aceleração é zero e, portanto, as forças sobre ela devem ser zero.
Eu começo a levantar a bola com a mesma força de mg (ou seja, a aceleração
continua sendo nula).

Então:
Chegamos à terceira lei:
“Se um objeto exerce uma força sobre outro. O outro exerce a mesma força no
sentido contrário ao primeiro”.
Essa lei é conhecida como ação e reação.
Vamos ver um exemplo:
Vamos aplicar uma força de intensidade igual a 20 N sobre dois blocos que
estão grudados. A massa dos blocos é dada:
Podemos calcular a aceleração total do sistema:
Vamos calcular a intensidade da força aplicada no bloco 2. Sendo F(1,2) a força
que o bloco 1 aplica no bloco 2:
No bloco 1:

Mas como F(2,1) está contrário, temos que F(2,1) = – 15 N.
Assim como as outras leis, a terceira lei não pode ser provada.
Seja uma mangueira de jardim a qual está ligada a uma torneira aberta. A força
da água é na direção do jato, e na direção oposta temos uma força de reação, o que
faz a mangueira serpentear quando a soltamos.
Enchemos um balão com ar, e depois deixamos com que o ar saia.
Dessa maneira a bexiga voa loucamente pelo ar.
É essa a ideia básica de um foguete.
Agora, quero apresentar um experimento simples de ser feito. O aparato que
construiremos é conhecido como “motor de Hero” (ou “máquina de Hero”). Hero era
uma sacerdotisa de Vênus que ficava em uma torre no mar e toda noite era visitada
pelo seu amado Leandro, que atravessava nadando o mar até chegar à torre de Hero.
Um dia, Leandro se afogou e Hero se jogou ao mar para salvá-lo, mas ambos acabaram
morrendo.
Temos uma esfera de ferro com água dentro. Nós iremos aquecer a água
dentro da esfera. Ao redor da esfera existem saídas para o vapor d´agua.
À medida que o vapor começa a sair, impulsionado por uma força de pressão,
surge uma força oposta, o que faz com que a esfera comece a girar.

Podemos fazer essa experiência em casa. Utilizamos uma latinha de
refrigerante e fazemos pequenos furos próximos da base. Quatro furos já são
suficientes. Penduramos um barbante na boca da latinha e a enchemos de água. Assim
que esticarmos o barbante e levantarmos a latinha, a água começara a sair pelos furos
ocasionando a rotação da nossa “máquina de Hero caseira”.
Vamos imaginar agora que uma maçã esteja caindo na Terra de uma altura de
100 metros. Calcularemos o tempo de queda da maçã.
A maçã puxa a Terra com a mesma força que a Terra puxa a maçã.

Ou seja, a Terra “cairá” em direção à maçã.
Vamos calcular a aceleração que a Terra sofre (at). Seja Mt a massa da Terra.
4
5
4
Ou seja, a Terra se move 4
metros. Mas é claro que isso é impossível de
se medir.
Se eu jogo a maçã para cima, eu empurro a Terra para baixo. Essa é uma
consequência da terceira lei de Newton.
Agora, iremos analisar outro problema.
Penduramos um objeto em cordas da seguinte maneira.
O objeto está em repouso. Isso implica que a sua aceleração é zero e que as
forças agindo sobre ele estão em equilíbrio (como diz a primeira lei). Vamos obter as
coordenadas das forças.

Em x:
√
Em y:
√ √
Portanto:
√
√
√
√
Se m = 4 kg, temos T1 = 29.3 N e T2 = 20.7 N.
Eu tenho um bloco de massa m = 2 kg pendurado, onde na parte inferior tenho
uma corda que está apenas presa ao bloco (sem aplicar força ao mesmo).
Se eu puxo o bloco para baixo, de modo que eu não o estou acelerando, T1
deve aumentar.

Agora, eu vou aumentar a tensão sobre T2 até que uma das cordas arrebente.
Se estamos puxando T2, T1 deve aumentar.
Qual das cordas arrebentará primeiro?
Puxando rápido, a corda de baixo arrebenta.
Mas isso é muito estranho. Parece ir contra as leis de Newton, pois
aumentamos a tensão em T1 mas a corda não arrebentou.
Fazendo novamente.
Eu puxo T2 devagar e a corda de cima arrebenta.
Pense sobre isso...
Indo mais além...
Força e Primeira Lei de Newton
Em física, força é o agente capaz de alterar o estado de movimento retilíneo de
um corpo ou produzir deformações em um corpo elástico.
Na natureza, existem quatro forças as quais chamamos de fundamentais. Todas
as outras forças são derivadas dessas quatro. São elas:
 Gravitacional
 Eletromagnetismo
 Força Fraca
 Força Forte
A primeira lei de Newton relaciona a somatória de forças em um corpo com o
seu estado de movimento ou repouso.
A resultante de forças em um corpo é dada por:
Se , o corpo mantém seu estado de movimento. Matematicamente,
temos:
Assim:
Um corpo sob a ação de uma força não nula sofre aceleração.

Aula 07 – Peso
Até agora nós falamos de massa, de aceleração, de forças, mas ainda não
falamos de peso.
O que é o peso?
Você está sobre uma balança.
Fb é a força de reação da balança. Como você está em repouso, temos que,
nesse caso, Fb = mg.
É essa força de reação da balança sobre você que definimos como peso.
Agora, vou coloca-lo dentro de um elevador junto com a balança. O elevador
está subindo.
Como o elevador está subindo, Fb deve ser maior que mg. Pela segunda lei:
Ou seja, quando o elevador está subindo nosso peso aumenta. Vamos agora
acelerar o elevador para baixo.

Pela segunda lei:
Ou seja, quando o elevador está descendo nós perdemos peso.
Digamos que nós cortemos o cabo que segura o elevador. Com isso, você estará
em queda livre e o valor de a será o mesmo de g.
Assim:
Ou seja, em queda livre nós não temos peso algum.
Podemos ler seu peso utilizando uma balança presa a uma corda.
Se eu acelero esse sistema para cima T aumenta.
Não há diferença com o elevador.
Perceba que estamos utilizando cordas para medir o peso. Tomemos, então, o
seguinte sistema, conhecido como máquina de Atwood.

Estamos assumindo que m2 > m1.
A tensão na corda da esquerda deve ser igual a da direita, pois temos uma
única corda. Estamos assumindo que a corda não tem massa.
Para entender melhor como a tensão na corda é igual em todos os seus pontos,
tomemos um pedaço qualquer da corda.
Ou seja, existem forças de trações (tensões) em toda a corda, e todas com o
mesmo valor.
Como as trações são as mesmas, devo concluir que os pesos de m1 e m2 são
iguais (pois lembre-se que estamos usando as cordas para medir os pesos). Embora as
massas sejam diferentes, o peso é o mesmo.
Vamos calcular a aceleração do sistema e as trações.

Resolvendo nossas equações, temos que:
Assim, temos que:
Considerando que m2 = m1 = m  a = 0, obtemos:
Exemplo:
m1 = m2
Agora, vamos supor que m2 seja bem maior que m1.
Exemplo:

m2 >> m1
Ou seja, nesse caso não existe mais tração.
Como no elevador, se m1 está subindo ele está ganhando peso e m2 está
perdendo peso (pois está descendo). Assim:
Vamos dar alguns dados:
m1 = 1.1 kg
m2 = 1.25 kg
Ambos os corpo pesam 1.17g. Por isso:
Podemos ver então que m1 ganhou peso e m2 perdeu peso.
Voltemos à ideia de algumas aulas atrás, quando você está sendo girado preso
à uma corda num movimento circular.
Nós vamos nos fixar em dois pontos da trajetória. O ponto S é o máximo e P é o
ponto mínimo.
Quando você estiver em P, teremos:

Ou seja, em P o seu peso é maior.
Agora, você está no ponto S.
Em S, você perde peso.
Se ac é menor que g, a tração na corda teria um valor negativo e isso não possui
um significado físico. Caso isso ocorresse você simplesmente não conseguiria chegar
até o ponto S. Quando giramos o balde com água na aula sobre movimento circular, foi
necessário dar certa aceleração centrípeta para o balde. Se nossa aceleração fosse
menor que g, o balde não chegaria ao topo e não conseguiríamos girá-lo de modo a
impedir que água não caísse.
O que vimos até agora implica que um objeto quando lançado para cima ganha
peso e quando está em queda livre ele não possui peso. Eu posso pular de cima de
uma mesa segurando algo em minhas mãos. Quando eu pulo, o objeto que eu seguro
permanecerá, rapidamente, parado no ar e depois cairá em minhas mãos.
Podemos soltar uma balança com um peso preso à ela de uma determinada
altura. Durante a queda, a balança marca que o peso do objeto é zero.
A NASA se interessa por experimentos que parecem anular a gravidade. São
experimentos em condições de microgravidade.
Se você saltar de uma altura de uns 100 metros, você possuíra um pouco de
peso devido à resistência do ar. Mas se você saltar acima da atmosfera, onde a
resistência do ar é desprezível, você ficaria sem peso.
O que as pessoas tem feito é o experimento que elas chamam de “gravidade
zero”. Esse nome é um equívoco, pois a gravidade nunca se torna zero. O certo seria
“peso zero”.
Um avião (KC-135) voa a uma altitude de cerca de 30.000 pés. Em determinado
momento, o avião fica em um ângulo de 45° (por conveniência). A velocidade é cerca
de 425 milhas por hora (425 mph). As componentes da velocidade são:

Os motores são desligados e o avião entra em queda livre (através de uma
parábola).
Em P1 os motores do avião são religados. Em P2 ocorre um aumento de peso
devido à frenagem do avião. Nesse intervalo é como se você estivesse batendo no
chão, então seria necessário uma aceleração na direção oposta (para cima). Nesse
ponto, seu peso dobra. Em P3 seu peso volta ao normal e o avião se prepara para
desligar seus motores novamente.
Aqui temos um link de um vídeo desse experimento:
http://www.youtube.com/watch?v=e8Nmc_m2568

Aula 08 – Atrito
Nessa aula iremos tratar sobre atrito.
Quando aplicamos uma força sobre um objeto o mesmo não sofre uma
aceleração instantânea, pois existe uma força oposta ao movimento. Essa força nós
chamamos de atrito.
Existe uma força que é sempre perpendicular à superfície. Essa força é uma
força de reação é nós a chamamos normal. Nesse caso, a normal é igual à mg.
Se eu for aumentando a força, chegará um momento em que o objeto
começará a se mover. A força de atrito (Fat) resiste até um valor máximo.
Podemos escrever a força de atrito como:
O coeficiente de atrito é dado por . Existem dois tipos de coeficiente de atrito.
O coeficiente de atrito estático ( ) ocorre quando o objeto está parado. O coeficiente
de atrito cinético ( ) ocorre quando o objeto já está se movendo.
O coeficiente de atrito estático é maior, pois é bem mais difícil colocar um
objeto em movimento do que manter o mesmo em movimento.
Vamos analisar um plano inclinado.
Podemos aumentar o valor de α a fim que nosso bloco comece a deslizar.
No momento em que o bloco está prestes a deslizar, a segunda lei de Newton
nos fornece:

Ou seja, nós temos o ângulo crítico no qual o bloco começará a deslizar.
Perceba que o atrito não depende da massa do objeto, nem da área da superfície de
contato.
Podemos fazer vários experimentos com uma rampa utilizando diferentes
objetos para demonstrar a ideia acima.
Vamos utilizar novamente nosso plano inclinado. Mas penduraremos o objeto à
uma corda.
Como não sabemos para que lado o sistema esteja acelerando, se é que ele
está acelerando, temos de tratar essas opções independentemente.
Como eu não sei para que lado meu objeto esteja se acelerando eu não sei
aonde eu colocarei a força de atrito. A única coisa que eu sei é que:
Eu devo estudar os três possíveis casos para a aceleração.
Como vimos anteriormente, as trações na corda são as mesmas.
Vamos analisar um sistema em repouso.
Para permanecer em repouso:
Analisando outras situações:
1. O sistema está começando a se acelerar para cima (está na eminencia do
movimento).

2. O sistema está começando a se acelerar para baixo.
Se não ocorrer nem 1 e nem 2, então a aceleração do sistema é zero.
Exemplo:
m1 = 1 kg
m2 = 2 kg
Analisando os casos:
20 > 5 + 4.33, ou seja, sabemos que nesse caso a aceleração é para cima.
Agora, podemos nos perguntar qual é a aceleração e qual é a tensão.
Como meu objeto está acelerando para cima:
Vamos escrever a segunda lei de Newton na direção x:
Nesse caso eu tenho duas incógnitas (a e T).
Analisando m2.

Agora eu tenho duas equações com duas incógnitas, o que permite que eu
resolva o problema. Assim:
Agora, mudaremos apenas o valor de m2.
m2 = 0.4 kg
m2g = 4
4 > 5 + 4.33, nesse caso há um erro, pois 4 é menor e não maior que 5 + 4.33.
Vamos testar o segundo caso:
4 < 5 – 4.33, nesse caso também há um erro, pois 4 é maior e não menor que 5
– 4.33.
Ou seja, concluímos que a aceleração é zero (o objeto não será acelerado).
O atrito se ajusta de forma que a aceleração seja zero.
As pessoas tentam reduzir o atrito, pois o mesmo causa desgastes e custa
dinheiro. Pense num pneu de automóvel. O atrito desgasta os pneus.
Podemos utilizar óleos e lubrificantes para diminuir o atrito. A água é um ótimo
lubrificante.
Se uma estrada está molhada, o coeficiente de atrito da estrada com os pneus
do carro torna-se quase zero e o carro desliza. Quando o carro derrapa, nós temos a
chamada aquaplanagem.
Um Hovercraft é um veículo que se apoia em um colchão de ar. Ele é capaz de
atravessar diversos tipos de solo e também se desloca na água. O ar diminui o atrito a
um valor quase que zero. Em um Hovercraft, o ar empurra esse veículo para cima.

Essa aula destina-se à uma revisão sistemática de algumas aulas anteriores.
Está de acordo com a primeira prova do MIT. A revisão segue a seguinte ordem:
Unidades e Medidas
 Argumento de escala
 Analise Dimensional
Cinemática em uma Dimensão
 Velocidade
 Velocidade Escalar
 Aceleração
Vetores
 Produto Escalar
 Produto Vetorial
Cinemática em três Dimensões
 Posição de objetos através de vetores
 Trajetória
Movimento Circular Uniforme
 Período
 Frequência
 Velocidade Angular
 Aceleração Centrípeta
 Percepção de gravidade Artificial
 Centrífuga

Aula 10 – Lei de Hooke e Osciladores
Nessa aula falaremos sobre molas, pêndulos e osciladores harmônicos. Temos
uma mola:
Quando esticamos a mola, surge uma força contrária que a puxa para sua
posição de equilíbrio (comprimento inicial).
Há uma relação dessa força com a deformação x da mola.
| | | |
Se aumentarmos a mola 3 vezes mais, a força aumentará 3 vezes mais. Com
isso, temos a Lei de Hooke:
Onde K é a constante da mola.
O sinal negativo mostra que a deformação é oposta à força da mola. Dizemos
que essa força é uma força restauradora.
Como é possível medir a constante da mola?
Podemos usar a gravidade.
Não há aceleração, pois o sistema está em equilíbrio. Com isso podemos utilizar
diferentes pesos a fim de alterar o valor de F, e consequentemente da deformação x.
Fazendo isso e obtendo os resultados em um gráfico:

Assim, temos que:
Podemos ir colocando vários pesos sobre a mola e ao final, retirando os pesos,
a mola voltará ao seu tamanho original. Ou seja, ela se comporta de acordo com a lei
de Hooke.
Porém, podemos pegar uma mola e estica-la até o ponto em que já não se
comporte de acordo com a lei de Hooke. Se isso acontece a mola não voltará ao seu
tamanho original. Ocasionaremos uma deformação permanente em nossa mola. Ou
seja, existe um limite para a deformação.
Se nós aplicamos uma força muito grande na mola, chegará um momento em
que a força aplicada será constante e a deformação começará a aumentar. Ao soltar a
mola, ela tomará um comprimento maior do que tinha anteriormente.
Há outras maneiras de medir o valor de K.
Vamos tomar um bloco em uma superfície sem atrito.

Digamos que esse sistema comece a oscilar (entre x e x = 0).
O período de oscilação é dado por:
√
O período não depende da minha deformação (não depende do intervalo de x e
x = 0).
Estamos analisando um caso ideal, ou seja: a mola tem massa desprezível e a lei
de Hooke está presente.
Vamos escrever a segunda lei de Newton para nosso sistema:
Dividindo tudo por m:
E assim obtemos uma equação diferencial.
Se observarmos o gráfico de um objeto oscilante, teríamos algo parecido com
um senóide ou cossenóide.
Assim:
Vamos substituir essa equação na equação diferencial.
Eu tenho que:
Assim:
Portanto:
O que nos dá:
√

√
Exemplo:
√
Assim:
“A” não é zero, pois como há uma velocidade existe uma amplitude. Portanto,
tem de ser zero.
Com isso, temos as possíveis respostas:
Para a velocidade:
Se , o .
Assim:
Se escolhêssemos o , teríamos:
O que não mudaria nada. Ou seja, A e são apenas condições iniciais do
movimento.
A oscilação é independente da amplitude.
Tomemos um objeto de massa m1 que vai oscilar de um ponto á outro.
Faremos isso experimentalmente.
Nós iremos contar 10 períodos de oscilação e depois mudaremos a amplitude.
Tomando uma massa diferente:
Vamos medir 10 períodos:
√
Fazendo uma previsão:
Fazendo A = 35 cm.

Tomemos um pêndulo.
Decompondo a tensão T em y e x.
Em x:
Em y:
Resolver essas equações diferenciais acopladas é uma tarefa impossível. O que
iremos fazer é uma aproximação. Em física, quando algo oscila nós usamos os
chamados “aproximação por pequenos ângulos”. Ou seja,
Assim:
Essa é a nossa primeira consequência.
A segunda consequência: perceba que o espaço de x = 0 para x é bem maior do
que x = 0 para y (ver figura anterior). Com isso, podemos dizer que:
Ou seja, a aceleração em y é quase zero.
Portanto, na equação II:
Substituindo em I:
Esse resultado representa uma oscilação harmônica simples.
Com isso:

√
√
Ou seja, o período é proporcional ao comprimento da corda. Se eu diminuo a
corda pela metade o mesmo deve ocorrer com o período.
Vamos analisar o período de uma mola e de um pêndulo.
Mola:
√
Pêndulo:
√
Perceba que para o pêndulo, o período não depende da massa.
Temos um pêndulo de comprimento L e massa m.
√
Essa foi nossa predição. Iremos contar 10 períodos.
Ou seja, a física funciona. Eu mudei o ângulo, mas o período permaneceu igual.
Como eu disse anteriormente, o período é independente da massa do objeto. Isso
significa que eu posso sentar nessa esfera e me balançar, de forma que obterei o
mesmo período.

A física funciona! Eu já disse isso!

Aula 11 – Trabalho, Energia e Gravitação Universal
Nessa aula iremos tratar sobre trabalho e energia.
Começaremos analisando um caso unidimensional.
O trabalho que a força está fazendo para mover um objeto de A até B é:
∫
W = [N.m] = J (joule)
O trabalho pode ser maior que zero; igual a zero ou menor que zero.
Sabendo que:
Assim:
∫ ∫ |
Em física:
Que nós chamamos de Energia Cinética.
Assim, podemos escrever trabalho da seguinte maneira:
Exemplo 1.
Jogamos uma bola para cima. A gravidade a puxará para baixo (no sentido
contrário à nossa trajetória). Nós desconhecemos a altura h.
Mas a energia cinética em B é igual a zero, pois nesse ponto a velocidade é
zero. Então:

Exemplo 2.
Eu estou levantando um objeto. Como meu movimento é na direção positiva de
y, tenho que meu trabalho é positivo.
Se eu levanto um objeto do chão, eu faço um trabalho positivo. Se esse objeto
retorna para o chão, ocorre trabalho negativo. Ao final, eu não realizei trabalho algum.
Por mais que eu tenha feito esforço e tenha me cansado, meu trabalho foi zero. Não
vamos confundir cansaço com trabalho.
Analisaremos agora o trabalho em três dimensões:
∫
r é a posição no espaço tridimensional.
∫ ∫ ∫ ∫
( )
Portanto, o trabalho é a variação da energia cinética.
Voltando para a gravidade. Um objeto se move de A para B.

Queremos saber o trabalho realizado pela gravidade e estamos
desconsiderando outras forças que não sejam em y.
∫ ∫
Sempre que o trabalho é feito por uma força independente do percurso, ou
seja, só depende do ponto final e inicial nós chamamos essa força de força
conservativa. A gravidade é um exemplo desse tipo de força.
Chegamos, assim, ao que chamamos de Energia Mecânica.
A energia mecânica é sempre conservada, mas somente em casos de forças
conservativas.
O atrito é uma força não conservativa.
Em problemas envolvendo energia mecânica, se temos uma altura nós
escolhemos onde iremos ter h = 0 (é de livre escolha).
Vamos estudar uma consequência da energia mecânica.
Temos um trajeto que se assemelha à um loop. Um objeto será solto do ponto
A.

Queremos saber o menor valor que h pode ter para que o objeto, quando solto
de A, complete e loop.
Em C, o objeto atinge a velocidade máxima pois toda a energia potencial foi
transformada em energia cinética (repare que nesse ponto, h = 0). Aplicando a
conservação de energia:
Eu sei que em A, eu tenho energia cinética igual a zero, pois v é zero. Portanto,
eu posso trabalhar apenas com meus valores inicial e final.
A altura está descrita como h – y, pois não sabemos o valor de h (o que
sabemos é que seu resultado é uma diferença das alturas no eixo y, nesse caso h que é
a altura de A e y que é a altura de D).
Não sabemos o valor da velocidade em D, mas sabemos que nesse ponto existe
uma aceleração centrípeta. Com isso:
Substituindo II em I:
Ou seja, para completar o loop o objeto tem de ser abandonado de uma altura
maior ou igual a 2,5 do raio. Note que a altura em D é igual à duas vezes o raio.
Vamos analisar uma situação na qual os pontos A e B são tão afastados que a
aceleração da gravidade não é mais constante, ou seja, não podemos simplesmente
dizer que a diferença de energia potencial é mgh. Temos dois corpos, M e m separados
por uma distância r.

Ocorre uma força de atração entre esses corpos. Essa força é descrita pela Lei
da Gravitação Universal de Newton.
G é uma constante, e seu valor é:
Vamos tomar a massa da Terra. Sendo que eu estou na superfície, eu sinto a
atração da Terra. Minha massa é dada por m.
Substituindo os valores (minha única incógnita é g), tenho que:
Tomemos um ponto P bem distante de M (a distância tende a infinito).
Veremos o trabalho necessário para trazer um objeto em P até M.
Minha força é dada por:
O meu trabalho será:
∫ |
Perceba que nesse caso, não podemos escolher onde teremos altura zero, pois
não estamos próximos da superfície da Terra.
Podemos fazer um gráfico de nossa função.

Retornando para a conservação de energia mecânica.
Temos um pêndulo de massa 15 kg.
Se eu o levanto eu estarei fazendo um trabalho dado por mgh. Se eu o levanto
cerca de 1 metro, meu trabalho será de 150 J. Soltando o pêndulo, a energia potencial
é convertida em energia cinética. Se o pêndulo balança à uma altura de 1 metro e
acerta sua cabeça você morre, pois 150 J já é energia suficiente para mata-lo. As
pessoas usam dispositivos semelhantes a pêndulos, chamados guincho-bola, para
demolir edifícios.
Levantando o objeto e o soltando, você está convertendo um tipo de energia
em outro.
Se eu soltar a esfera do pêndulo de uma altura h, de uma maneira que ao voltar
ela não ultrapasse essa altura, e eu ficar no ponto de partida da esfera, eu não serei
atingido, pois existe a conservação de energia, contanto que eu não forneça uma
velocidade inicial a esfera. Eu posso por minha vida em risco, mas se a física funciona e
a conservação de energia é verdadeira, eu ficarei vivo.

A física funciona e ainda estou vivo.

Aula 12 – Forças de Resistência
Nessa aula falaremos sobre forças de resistência, fixando no que chamamos de
arrasto.
Quando você move um objeto através de um gás ou um líquido, o objeto
experimenta uma força oposta ao movimento. Essa força é a força de arrasto.
A força de arrasto depende do tamanho do objeto, da forma do objeto, do
meio no qual ele está e da velocidade do objeto.
Não vamos confundir arrasto com atrito. O atrito, a partir de certo valor, possui
um coeficiente de atrito constante enquanto que o arrasto depende da velocidade.
Podemos escrever:
O sinal é negativo, pois a força se opõe ao sentido de v.
Os valores de k dependem da forma e do tamanho do objeto.
Vamos nos concentrar no caso de esferas.
| |
( )
( )
Se a viscosidade de um meio é maior, mais pegajoso, então vai ter um valor
maior. é uma função da temperatura (quando algo esquenta ele se torna menos
viscoso).
Ainda não podemos entender a razão de existir um v², mas podemos pensar
sobre r.
Se possuímos uma esfera em um líquido, e essa esfera possui uma área
transversal A:
Temos que
Portanto, essa área da esfera sente uma pressão do líquido que é proporcional
a r.
Digamos que eu solte um objeto de uma determinada altura.

A medida que o objeto vai caindo, sua velocidade vai aumentando cada vez
mais (devido a aceleração da gravidade). Porém, em determinado momento, a força
de resistência e a força da gravidade se tornam iguais. Dessa maneira a aceleração se
anula.
Então, quando não há aceleração e o objeto cai com velocidade
constante. Essa é a chamada velocidade terminal.
Em um contexto onde , podemos obter a velocidade crítica. Essa
velocidade crítica é quando esses dois termos são iguais.
𝑡
Tomemos o seguinte caso, o qual chamaremos de regime I.
𝑡
𝑡
𝑡
Se você deixa cair objetos formados pelo mesmo material, isso é de mesma
densidade, no líquido ou no gás, temos que a massa da esfera é dada por:
Onde é a densidade do objeto.
Temos que:
𝑡
Estudando outro caso, temos o regime II.
𝑡
𝑡 √ √
Vamos medir o tempo de queda de algumas esferas em um meio viscoso.
Serão quatro esferas, com seus diâmetros dados em polegadas:

𝑡
Ao invés de utilizar 1/d², utilizarei 100/d² (o que me dará alguns valores mais
interessantes).
Em um gráfico, nós teríamos algo próximo de uma linha reta.
Não foi necessário adotar o erro das esferas, pois seu erro de diâmetro é
insignificante se comparado ao erro do tempo. Perceba que as últimas duas esferas
nós adotamos um erro maior (cerca de 0.2 s). Isso se deve ao fato delas descerem bem
mais rápido que as outras esferas.

Quanto tempo demora para o objeto atingir a velocidade terminal?
O objeto possui uma certa massa, então há uma força gravitacional sobre ele.
Estamos analisando o regime I.
Assim eu obtenho uma equação diferencial.
Nós poderemos ver que a velocidade em função do tempo irá atingir um valor
máximo, que é a velocidade terminal. Nosso gráfico fica assintótico. Caso não
houvesse a força de arrasto, a velocidade aumentaria linearmente.
O ar se comporta de uma maneira diferente, mas o princípio é o mesmo. Os
valores de C1 e C2 são muito diferentes.
O ar atmosférico a 1atm e temperatura ambiente, tem:
4
𝑡
4

Esse valor é bem menor do que em um meio pegajoso.
Estamos analisando o regime II. A maioria das esferas no ar seguirá o regime II.
Não importa o que você esteja estudando. Pode ser uma bola, um salto livre
com ou sem paraquedas, um pingo de chuva, não importa, você sempre está
dominado pela pressão, por v² e por uma velocidade terminal que é proporcional à raiz
quadrada de r.
Vamos pegar uma bola com as seguintes dimensões:
Calculando, temos:
𝑡
Se eu jogasse a bola de uma altura de 3 metros, o tempo para atingir o chão
seria:
Mas é claro que isso é uma aproximação, pois a velocidade terminal não é
alcançada instantaneamente.
Calcular o tempo para alcançar a velocidade terminal não é uma tarefa fácil,
pois requer a resolução de uma equação diferencial desagradável.
Teríamos de encontrar a aceleração:
E a força de resistência possuiria um v e um v², de modo que é impossível
resolver analiticamente.
Lançaremos a bola e poderemos encontrar um valor diferente de 1.7. Há
algumas razões para isso:
a) A esfera não é perfeita.
b) A nossa bola é elástica e no momento da queda pode sofrer oscilações.
Medindo o tempo de queda da bola, encontramos:
Em nossa ultima parte da aula, veremos como o arrasto pode influenciar na
trajetória de um objeto.
Vamos avaliar o movimento de um objeto em um líquido.
A trajetória sem o arrasto seria descrita pela curva pontilhada. A trajetória
verdadeira é dada pela curva contínua.
Esse é o regime I, pois nós estamos analisando um líquido.
Digamos que eu lance uma bola de tênis. Sem o arrasto a trajetória seria uma
parábola maior.

Ou seja, você não alcançaria a altura máxima que teria sem a resistência do ar e
nem o alcance máximo.
Notas de Aula:
Resumo de Resistividade:
Os gráficos seguintes representam estudos sobre queda de balões com e sem a
resistência do ar.

Aula 13 – Equações do Movimento de Osciladores Harmônicos Simples
Temos um objeto de massa m em um campo gravitacional.
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever, para a força da
gravidade, simplesmente:
O sinal negativo é importante, pois ele mostra que a força é no sentido
contrário à trajetória.
Eu posso escolher um nível e adotar esse nível como minha altura inicial (ou
seja, y = 0). Nesse ponto eu tenho energia potencial gravitacional igual a zero.
Qualquer outro ponto acima me dá .
Eu posso fazer um gráfico da energia potencial gravitacional em função de y.
Se eu movo um objeto de A para B, eu estou realizando um trabalho positivo.
Se eu faço um trabalho positivo, a gravidade faz um trabalho negativo.
Se o objeto vai de A para B’, eu realizo um trabalho negativo e nesse caso a
gravidade faz um trabalho positivo.

Eu poderia ter escolhido meu ponto de energia potencial gravitacional igual à
zero em qualquer outro lugar. Eu poderia ter escolhido em B, por exemplo.
Perceba que isso não muda nada. Se eu for de A para B, meu trabalho
continuará sendo positivo.
Quando você está próximo da Terra você é livre para escolher seu ponto zero
(onde a altura é zero).
Agora, vamos para uma situação em que não estamos mais próximos da Terra.
Como esse é um problema unidimensional, podemos escrever:
Em um gráfico:

Se eu mover um objeto de A para B, minha energia potencial está aumentando
e meu trabalho é positivo.
Perceba que, a força da gravidade é sempre oposta ao sentido positivo da
energia potencial.
Agora usaremos uma mola, de comprimento l.
Como eu estou puxando a mola no ponto B, eu crio uma força contrária à força
elástica. Eu posso calcular o trabalho para aumentar o tamanho da mola de A para B.
∫ ∫
Esse valor é o que chamamos de energia potencial da mola.
Aqui nós também podemos escolher onde colocaremos a energia potencial
igual à zero.
Fazendo um gráfico.

Em A e B temos as forças indo no sentido contrário ao aumento da energia
potencial. Portanto, temos uma força restauradora.
As forças sempre vão no sentido contrário à energia potencial. A força conduz o
objeto a diminuir sua energia potencial.
Agora surge uma pergunta: se nós conhecemos a energia potencial, nós
podemos encontrar a força? E a resposta é sim.
Utilizaremos nossa mola:
Mas a força da mola é negativa, então:
Com isso, temos:
Se tivermos uma situação tridimensional, tanto a força quanto a energia
potencial estão em função de nossas três coordenadas. Assim:
Essas derivadas são chamadas de derivadas parciais, e são representadas por .
Voltemos à situação próximo a Terra.
Agora não estamos mais próximos da Terra:
Assim, sempre que temos uma energia potencial em função do espaço nós
podemos encontrar as três componentes da força.
Vamos supor que eu tenha uma superfície curva.

Há pontos em que . São eles: a, b, c, d, e.
Isso significa que:
Nesses pontos o objeto está parado.
Porém há uma diferença entre os pontos “a” e “b”, por exemplo. Digamos que
eu coloque uma bola de gude em a. Se eu fizer uma força, por menor que seja, a bola
de gude vai cair para algum lado, ela vai diminuir sua energia potencial. Se a bola de
gude estiver em b, e nós aplicarmos uma força à ela, a mesma voltará à b, pois sua
energia potencial é menor. Em b, nós temos o que chamamos de equilíbrio estável e
em a nós temos o equilíbrio instável.
Retornemos à mola.
Podemos utilizar a energia potencial da mola e mostrar que um objeto que
oscila na mola segue um movimento harmônico simples.
Temos um objeto oscilando entre um x máximo positivo e um x máximo
negativo.
( )
( )

( ) ( )
E esse resultado nós sabemos que representa um movimento harmônico
simples.
Temos assim:
√
Iremos analisar uma oscilação através de uma pista circular perfeita.

( )
Utilizando a aproximação por pequenos ângulos, podemos tomar um valor que
nos dará um bom resultado. Então:
Então:
( )
( ) ( ) ( )
E essa equação é uma oscilação harmônica simples.
Assim:
√ √
E como podemos ver isso é bem parecido com um pêndulo.
A força da gravidade é a que faz trabalho. Por mais que exista uma tensão,
como é o caso do pêndulo, ou uma força normal (que é o caso de um corpo num
movimento circular), será que apenas a gravidade faz trabalho?
Quando eu quase me matei com o pêndulo, eu estava crente na conservação
de energia que acabei ignorando a tensão.
É possível a tensão fazer trabalho? Se for esse o caso eu poderia ter morrido. E
a normal? É possível que ela faça trabalho?
A resposta é não!
Essas forças são sempre perpendiculares à direção do movimento. Uma vez que
o trabalho é o produto escalar entre a força e a direção do movimento, nem a tensão
nem a força normal faz qualquer trabalho.
Temos uma pista circular. Seu raio é de 115 metros, com um erro de
aproximadamente 5 metros.
Podemos calcular o período de oscilação de um objeto nessa pista. A parte da
pista na qual o objeto vai oscilar possui 5 metros de comprimento. Meia pista nos dá
cerca de 2,5 metros. Pelo fato da pista ser grande, é um pouco difícil notar sua
curvatura. Assim:

Como disse anteriormente, nossa pista é grande o que dificulta nossa
percepção da mesma em ser circular. Vamos tentar reduzir o máximo possível o atrito
presente na pista. Haverá ar saindo por pequenos orifícios da pista, o que diminuirá o
atrito do objeto com a mesma.
Como encontramos um ângulo pequeno, podemos fazer uma predição de seu
período:
√
Medindo 3 oscilações:
As setas indicam que o objeto está oscilando entre os pontos extremos da
pista.
Tomando agora uma trajetória de raio igual à 85 centímetros, vamos utilizar
uma esfera.
O comprimento da pista é cerca de 40 centímetros. Portanto, temos que nosso
ângulo máximo será:
Fazendo uma predição:
Mediremos 10 oscilações:
ISSO ESTÁ ERRADO!
Nosso resultado deveria ser algo em torno de 18 segundos.
Há algo de errado com a conservação de energia ou existe algo a mais?
Uma coisa é certa: não é o atrito que causa isso, pois seu valor é tão baixo que
podemos desconsiderá-lo.
Qual a diferença entre o primeiro experimento e o segundo?
Pense nisso...

Aula 14 – Órbitas, Velocidade de Escape e Energia
Você está em pé na superfície da Terra.
Vamos assumir que não há atmosfera. Digamos que eu lhe dê um chute bem
forte de maneira que você comece a subir e não volte para a Terra. Ou seja, você irá
escapar da atração gravitacional da Terra.
Para que isso ocorra, você deve adquirir certa velocidade.
Enquanto você esta na Terra, sua energia mecânica é, como sabemos, a soma
da energia cinética com a energia potencial. Portanto:
Se você for aumentando a distância à Terra, a energia mecânica vai se
conservar, portanto nossa equação é dada por (assumindo que você está em uma
posição em R):
Se a distância aumenta, com r tendendo ao infinito:
Assim, .
Perceba que a energia potencial gravitacional no infinito é zero, pois o valor de
r é infinitamente grande. Para que eu mantenha uma conservação de energia eu vou
assumir que sua velocidade no infinito também será zero, caso contrário você
continuaria se movendo cada vez para mais longe. Assim, pela conservação de energia:
Dessa maneira, nós podemos encontrar a velocidade necessária para que você
escape da atração gravitacional da Terra. Essa velocidade é chamada de velocidade de
escape.
√

No caso da Terra, substituindo os respectivos valores temos que a velocidade
de escape é de aproximadamente 11.2 km/s.
Se a energia total for maior ou igual a zero, você chegará ao infinito com uma
energia cinética um pouco maior do que zero. Se a energia é menor que zero, você
nunca irá escapar da atração gravitacional.
Assim:
Falaremos agora de órbitas circulares.
Temos a Terra e ao redor dela temos um objeto de massa m, um satélite, que
se desloca numa trajetória circular.
Estamos assumindo que a massa do satélite seja bem menor que a da Terra,
assim m <<< MT.
A força gravitacional que mantém o satélite em órbita é exatamente a mesma
que a força centrípeta.
𝑡
Assim, podemos encontrar a velocidade orbital:
√
O período será:
√
Nós podemos utilizar essas equações para outros planetas, bastando substituir
o valor da massa da Terra.
Perceba que tanto a velocidade orbital quanto o período independe da massa
do satélite.
Reescrevendo a conservação de energia:
Substituindo a velocidade na equação pela velocidade orbital:

Perceba que os termos são semelhantes. O sinal negativo torna-se crucial e
também temos ½ no primeiro termo. Assim:
Agora, iremos partir para algo totalmente diferente. Falaremos de potência e
abandonaremos completamente as órbitas circulares.
Potência é o trabalho feito em uma certa quantidade de tempo.
[P] = J/s = Watt (W)
Não vamos confundir a unidade de potência (W) com trabalho.
Sendo:
Assim:
Ou seja, potência pode ser escrita como o produto escalar da força com a
velocidade.
Eu estou em minha bicicleta com uma velocidade constante.
A força que eu faço busca superar a força de resistência do ar.
Para me mover eu empurro os pedais para trás e eles me empurram no sentido
contrário, pois a força de ação é igual a “menos” reação. Ou seja, não há força
resultante na bicicleta, pois elas se cancelam (com os pedais e meus pés). Nós
chamamos essas forças de internas.
Agora, o pedal empurra a corrente que por sua vez empurra a roda e a bicicleta
começa a se mover.
Então, a roda empurra o chão para trás e o chão empurra a bicicleta para
frente. Portanto há uma força de atrito que coincide com a força que eu aplico.

A potência é uma função da velocidade.
Lembrando daquilo que chamamos de regime II, o qual temos a pressão
envolvida, obtemos:
Existe também a energia térmica, a qual expressamos de um modo diferente.
Nós a expressamos em termos de calorias, que é a energia necessária para aumentar
um grama de água em um grau centígrado.
Assim, escrevemos:
Onde c é o calor específico (cal/g°C)
Q é medido em caloria (cal)
O físico James Joule mostrou que 1 cal = 4,2 J
Quando queimamos alguma coisa há uma reação química envolvida que produz
calor. Gasolina, por exemplo, produz algo em torno de cem milhões de joules.
Nosso corpo produz um calor de aproximadamente 100 W.
Nas notas de aula há alguns dados interessantes sobre isso.
Podemos usar uma queda d’agua para transformar energia mecânica em
elétrica, e essa por sua vez em térmica.
A energia nuclear pode ser convertida em calor, que pode ser convertida em
energia mecânica e novamente em elétrica.
Energia química pode ser convertida em calor, que é convertida em
eletricidade.
Existem baterias que convertem energia química em elétrica. Essas baterias são
ácidas, como às dos automóveis.

Com isso podemos acender uma pequena lâmpada.
O Sol possui uma potência de 6
, o que faz dele uma grande fonte de
energia. Mas para utilizar essa energia seria necessário obter mecanismos do tamanho
da Inglaterra ou da França, por exemplo. E isso não é muito viável para a economia
mundial.
A fissão nuclear também nos dá energia, mas devido há acidentes e à produção
de bombas as pessoas tem receio desse meio de obter energia.
A fusão nuclear é diferente da fissão, pois não quebramos um átomo, mas
juntamos núcleos de deutério, produzindo uma grande quantidade de energia. Essa
energia é bem maior do que a produzida pela fissão. O Sol, em seu núcleo, assim como
todas as outras estrelas, funde núcleos de deutério produzindo elementos mais
pesados e liberando uma grande quantidade de energia. Nosso Sol possui
aproximadamente 5 bilhões de anos de vida, isso quer dizer que ele possui mais 5
bilhões de anos de existência antes de aumentar de tamanho, engolir todos os
planetas rochosos (inclusive a Terra) e depois morrer. Portanto, nossas preocupações
para obter energia vão durar apenas por mais 5 bilhões de anos, se não formos
extintos antes disso.
Indo mais além...
Fissão e Fusão Nuclear
Após fazer a descoberta da relação entre energia e massa, Einstein despertou em
outros cientistas a vontade de experimentar essa quantidade de energia. A fissão nuclear é o
mecanismo usado em bombas como as que explodiram sobre as cidades de Hiroshima e
Nagasaki, em 1945.
Com uma grande massa de Urânio (U-235), é possível gerar uma grande quantidade de
energia. O que foi feito, foi usar nêutrons como sendo balas e assim disparando-os contra um
núcleo de U-235. O nêutron iria despedaçar o núcleo, formando dois outros núcleos e
liberando mais dois nêutrons. Esses dois nêutrons iriam fissionar esses dois núcleos, gerando
quatro nêutrons que fissionam oito núcleos, que geram mais dezesseis nêutrons e assim por
diante.

Esse efeito é chamado de reação em cadeia. Se a reação em cadeia ocorrer de uma
forma descontrolada, uma grande quantidade de energia será criada ocasionando uma
enorme explosão.
Quando um grupo de cientistas percebeu a potência da fissão nuclear, eles
convenceram Einstein a escrever uma carta ao presidente Roosevelt em 1939. Isso exortou os
Estados Unidos a construírem um programa de pesquisa nuclear, gerando o projeto
Manhattan.
Bomba Atômica
Mas não podemos culpar Einstein das mortes ocasionadas devido ás bombas atômicas,
pois o físico nunca desejou isso a ninguém, era apenas para ser uma pesquisa científica e não
uma arma de destruição em massa.
Mas as pesquisas nucleares continuaram, levando a criação da arma mais letal já
construída: a bomba de hidrogênio. Também podemos chamá-la de bomba de fusão nuclear.
Diferente da fissão nuclear, que divide os núcleos pesados para gerar energia, a fusão nuclear
funde os núcleos leves em núcleos mais pesados. Isso é o que ocorre dentro das estrelas,
como o nosso Sol.

A fusão se inicia com o hidrogênio, o elemento mais leve. Quando dois núcleos se fundem eles formam um
núcleo de Hélio, liberando um nêutron, formando novos núcleos e assim por diante.
Bomba de Hidrogênio
Essas energias não são usadas apenas para destruir, mas podem ser usadas para nos
auxiliar, só precisamos ter um controle. Graças à fusão nuclear das estrelas você está aqui,
lendo esse livro.
O certo é que se ocorrer uma terceira guerra mundial, o homem se autodestruirá e
todas essas pesquisas serão jogadas no lixo. Portanto, se não deixarmos de existir por um fator
natural (lembrando que podemos ser atingidos por um asteroide igual ao que dizimou os
dinossauros), iremos deixar de existir devido ao desejo de poder que tomam muitas pessoas.
Eu espero, e creio que todos também, que não cheguemos ao ponto de uma terceira
guerra. Mas o fato é que, com guerra ou sem, não permaneceremos aqui para sempre. Antes
que um Big-Crunch, um Big-Chill ou um Big-Rip aconteça, nosso Sol não irá mais brilhar como
faz nos dias de hoje. O tempo de vida do nosso Sol é de 10 bilhões de anos, ou seja, ele
brilhará por mais uns 5 bilhões de anos antes de transformar-se em uma estrela insignificante.
Ao fim de sua vida, nosso Sol irá expandir suas camadas externas e todo seu combustível irá
começar a acabar. Até que seu brilho não será suficiente para manter a vida em nossa Terra, e
por fim, nosso pequeno Sol irá deixar de brilhar.

Notas de Aula

Aula 15 – Momentum e sua conservação
Falaremos de algo completamente novo. Discutiremos o momentum.
Em física, momentum (ou quantidade de movimento) é um vetor, dado por:
Ou seja, é o produto da massa pela velocidade. Sua unidade é kgm/s.
Sabemos que:
Ou seja, força é igual a dp/dt, o que significa que se uma partícula mudou seu
momentum é porque uma força agiu sobre ela. Vamos supor que temos uma grande
quantidade de partículas que estão interagindo umas com as outras. Tomemos duas
partículas as quais chamaremos de mi e mj. Existe uma força exterior agindo sobre
elas.
Mas como dissemos anteriormente, elas estão interagindo entre si, portanto a
partícula i sente uma força da partícula j e vice e versa.
De acordo com a terceira lei de Newton, tem a mesma intensidade de .
Chamamos essas forças de forças internas. Essas são as forças de interação entre as
partículas. Mas como existem inúmeras partículas, existem inúmeras forças internas.
Portanto, podemos dizer que a força total será a soma de todas as forças internas. O
momentum total do sistema será a soma dos momenta individuais de cada partícula:
𝑡 𝑡

Tomando a derivada, temos:
𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
Agora vem algo importante: todas as forças internas se anulam. Se você
observa uma única partícula isso não ocorre, mas para um sistema de partículas, as
forças internas se anulam, o que nos fornece a conclusão de que a força total nada
mais é do que a força total externa:
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
Ou seja, podemos esquecer completamente as forças internas. Isso significa
que se a força externa for zero, então o momentum não mudará, ele se conservará.
Assim temos a chamada conservação do momentum, que só é válida se todas as forças
externas forem zero.
Vamos nos voltar para um exemplo simples (unidimensional). Temos dois
objetos de massas m1 e m2, com velocidade v1 e v2, respectivamente. O sentido
positivo de x é dado.
Assim que um tocar no outro eles permanecerão juntos, como se houvesse cola
em algum deles. Antes da colisão eu tenho uma certa quantidade de força. Estamos
desconsiderando quaisquer forças de atrito ou arrasto. Antes da colisão, eu tenho:
Após a colisão, os objetos se unem, portanto eu tenho que a massa total será
m1+m2 e a velocidade final será dada por v’. Agora, nós podemos aplicar a
conservação do momentum:
Dando alguns valores para nosso problema:
m1 = 1 kg v1 = 5 m/s
m2 = 2 kg v2 = 3 m/s
Perceba que o sentido de ambos os objetos é o mesmo, então não mudamos o
sinal da velocidade. Com isso, encontramos que v’ = 11/3 m/s.
Ou seja, a conservação do momentum nos dá a velocidade após uma colisão.
Como determinamos uma única velocidade final, pois os objetos saíram juntos,
grudados, após a colisão temos a chamada colisão inelástica.
Temos uma energia cinética antes da colisão:
𝑡
Calculando teremos um valor igual a 21,5 J.
E o que dizer da energia cinética após a colisão?
A energia cinética após a colisão será:
Calculando teremos um valor igual a 20,2 J.
Ou seja, a energia cinética diminui após a colisão.
Vamos tomar agora outro caso, mas a velocidade de v2 estará no sentido
contrário.

O momentum do objeto 1 será + 5, pois está no sentido positivo da trajetória. O
momentum do objeto 2 será – 6, pois está no sentido oposto à trajetória. Ou seja,
temos que o momentum total será:
𝑡 𝑡
Como o resultado é negativo, eu sei que o sentido final da trajetória será no
sentido oposto à x. Assim:
Agora, qual será a energia cinética após a colisão?
Ou seja, a energia cinética foi quase que totalmente destruída.
A conclusão que temos é que a energia cinética pode ser destruída, mas o
momentum não. O momentum das partículas individuais se alterou, mas o momentum
total não.
Eu posso criar uma colisão na qual toda a energia cinética seja destruída.
Seja o seguinte sistema:
O momentum desse sistema será zero. Após a colisão as partículas
permanecerão grudadas.
Analisemos agora um problema bidimensional.
Após a colisão dos corpos, temos um vetor resultante que nos dá o momentum
total. Assim temos que:
𝑡 𝑡 𝑡 𝑡
Todos esses casos que vimos correspondem à colisões inelásticas, pois os
objetos saem grudados após a colisão. Nesses tipos de colisões sempre ocorrerá perda
de energia cinética, podendo ser total ou parcial.
Em uma colisão podemos ter o aumento de energia cinética?

Tomemos um exemplo simples. Usaremos um bloco de massa m onde há uma
bomba em seu interior. Antes de a bomba explodir a velocidade do bloco é zero então
seu momentum é zero. Após a explosão, diversos pedaços voarão pelo espaço. Vamos
nos fixar em dois pedaços quaisquer.
Claramente, o momentum deve ser conservado. A explosão é uma força
interna. Adotando o sentido da figura, temos que é negativo. Sabemos que o
momentum total nunca vai mudar:
𝑡 𝑡
Nitidamente, a energia cinética aumentou. Por isso, não devemos confundir
momentum com energia. O momentum se conservou, mas a energia cinética não. A
energia cinética pode crescer ou diminuir.
Devido à conservação de momentum podemos fazer o seguinte experimento:
digamos que, após a explosão, nós medimos o tempo que dois objetos de massas
iguais demoram a percorrer espaços iguais. Percebemos que para massas iguais, o
tempo será o mesmo. Agora, se um dos objetos tiver uma massa maior, seu tempo
será maior, pois sua velocidade é menor. Portanto, devido à conservação de
momentum, temos:
Portanto, um objeto de massa duas vezes maior terá uma velocidade duas
vezes menor.
Trataremos agora de um assunto que, a princípio, parece não estar muito
relacionado com essa matéria. Veremos o conceito de centro de massa de um sistema.
Temos um objeto qualquer, o qual seu centro de massa (CM) está definido.
Vamos adotar um sistema de referência, o qual iremos escolher um ponto para
ser a origem (não importa qual ponto seja). Existirá um vetor que parte da origem
e chega ao centro de massa. Esse vetor determinará a posição do centro de massa. Da
mesma maneira, existirá outro vetor que determina a posição de uma partícula
(mi) no objeto.

O centro de massa será definido como a massa total de nosso objeto (a soma
de infinitas massas mi) multiplicada pela posição do centro de massa. Assim:
𝑡 𝑡
Assim, tomando as derivadas:
Sendo M a massa total do objeto. Com isso, encontramos a velocidade. Perceba
que a nossa equação anterior pode ser escrita como:
𝑡 𝑡
Agora, podemos nos atentar para outra regra importante da física.
𝑡 𝑡
Se derivarmos essa equação:
𝑡 𝑡
𝑡 𝑡
Perceba que isso diz que F = ma.
Portanto, podemos dizer que o centro de massa se comporta de tal maneira
que é como se toda a massa do corpo estivesse contida no centro de massa. Se
tivermos um objeto, um tubo, por exemplo, e o jogamos pelo espaço com certa
velocidade, seu centro de massa apresentará uma velocidade constante caso nenhuma
força externa haja sobre o mesmo. Isso implica como já vimos anteriormente, que a
aceleração é zero. Não importa a forma do corpo, se formos analisar a trajetória com
respeito ao centro de massa, teremos uma trajetória conhecida.

Perceba que embora o tube gire ao ser lançado, seu centro de massa percorre
uma trajetória parabólica. Ou seja, como já disse, é como se toda a matéria estivesse
concentrada nesse ponto.
Vamos tomar um exemplo para ver como calculamos o centro de massa.
Tomemos três objetos (m, 2m e m) ligados por três hastes de comprimento L
como mostra o desenho.
A pergunta é: como determinar o centro de massa?
Para quem tem um bom senso de espaço, pode perceber que temos uma
espécie de triângulo equilátero, portanto o centro de massa deveria estar no meio.
Mas como um objeto é mais pesado que os outros dois, o centro de massa deve estar
um pouco mais próximo dele. Assim:
Podemos fazer alguns cálculos agora. Sabemos que a massa total do nosso
sistema é 4m, assim:

Aqui temos uma soma vetorial, e quando temos uma soma vetorial o melhor a
fazer é obter uma soma em x e outra em y.
Na direção x, temos:
O primeiro termo do lado direito da equação é zero, pois um de nossos objetos
está sobre a origem, portanto , pois o vetor está sobre a origem (sua
distância da origem ao objeto é zero). Nosso segundo termo é 2mL, pois sua massa é
2m e a distância dele à origem é L. Por fim, nosso terceiro termo é 1/2mL pois esse
objeto encontra-se na metade do comprimento de L (com relação ao eixo x).
Cancelando todos os termos m, temos:
Agora, na direção y:
√
Perceba que para y, tanto o primeiro m quanto 2m estão sobre o eixo y = 0.
Portanto, esses termos são nulos. Para calcular o comprimento de y em m, usamos
uma relação triangular. Perceba que:
Assim:
( )

√
Com isso, obtemos nosso valor anterior:
√
O que nos fornecerá:
√
Portanto analisando um pouco melhor podemos ver que:
E assim podemos determinar o centro de massa.

Aula 16 – Colisões Elásticas e Inelásticas
Na aula passada nós falamos exclusivamente de colisões inelásticas. Nessa aula,
trataremos de colisões de um modo mais geral. Tomaremos um caso unidimensional.
Temos dois objetos com massas m1 e m2 e velocidades v1 e v2. Para facilitar
um pouco as coisas, vamos assumir que v2 seja igual à zero.
Após a colisão, m2 terá uma velocidade e m1 terá uma velocidade . Não
sabemos se m1 vai bater em m2 e retornar, ou bater e continuar no mesmo sentido.
Qualquer uma dessas opções é possível. Para encontrar e precisaremos de duas
equações. Se não houver nenhuma força externa sobre os objetos durante a colisão,
então o momentum é conservado. Assim, podemos escrever:
Como nós vimos anteriormente, existe uma conservação de momentum,
embora possa haver perda de energia cinética. Em uma colisão de carros, por exemplo,
existe atrito interno entre eles e a energia cinética pode se dissipar em forma de calor.
Assim, pode escrever:
Onde K representa a energia cinética antes da colisão, Q representa certo
número e K’ é a energia cinética após a colisão. Se conhecermos o valor de Q, então
obteremos uma nova equação. Se Q é maior que zero, então houve ganho de energia
cinética, e chamamos esse tipo de colisão de super elástica. Poderia ser uma explosão,
por exemplo.
Q também pode ser igual a zero. Nesse caso, temos uma colisão perfeitamente
elástica.
Por fim, Q pode ser menor que zero o que nos fornece as colisões inelásticas.
Assim:
Vamos tomar um caso de uma colisão perfeitamente elástica. Assim temos que
Q é zero, então temos uma conservação de momentum e de energia cinética.
Portanto, a energia cinética antes da colisão, deverá ser igual a energia cinética após a
colisão. Estamos estudando o caso inicial de nossa aula, onde a velocidade do objeto
m2 é zero.
Portanto, escrevemos nossas duas equações:
Resolvendo:
( )
( )

Perceba de é na mesma direção de . Isso ocorre, pois nosso objeto m2
estava em repouso. Ou seja, nesse caso, nunca haverá uma reversão de sinais. Já no
caso de pode ocorrer a reversão. Se você faz com que uma bola de pingue-pongue
colida com uma bola de bilhar que esteja em repouso, a bola de pingue-pongue irá
bater e voltar. Se, no entanto, a bola de bilhar colidir com uma bola de pingue-pongue
que esteja em repouso, então as duas bolas sairão no mesmo sentido.
Tomemos três casos.
1° Caso: , de modo que .
É como se uma bola de boliche colidisse com uma de pingue-pongue. Se
olharmos para a equação de então temos que é zero.
Ou seja, ao colidir com a bola de pingue-pongue, a bola de boliche iria
continuar em seu sentido de movimento, desprezando a existência da bola de pingue-
pongue. Vamos observar a equação de , como é zero, temos:
2° Caso: , de modo que .
Substituindo nas respectivas equações, de primeiro:
Isso é obvio, pois a bola de pingue-pongue bate na bola de boliche e
claramente a primeira retorna. Observado a equação de :
3° Caso: .
Substituindo nas respectivas equações, temos:
Todos nós já vimos esses casos com o pêndulo de Newton.
Vamos nos voltar para o centro de massa de um sistema. Na ausência de forças
externas sobre um corpo, seu centro de massa terá sempre velocidade constante. Se o
seu centro de massa está com uma velocidade constante, então o momentum das
partículas no centro de massa é zero. O momentum é zero antes e depois da colisão.
Isso dá certas propriedades ao centro de massa. Primeiro, temos uma partícula m1 e
uma partícula m2 e entre elas temos o centro de massa. As massas m1 e m2 possuem

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