1. JOSÉ MARÍA LABIO
Isaura Paola Salazar Vargas
KATHERINE ROJAS
JONATHAN NOVOA GAMBOA
curso -551108_16
ALGEBRA , TRIGONOMETRIA Y GEOMETRIAANALITICA.
presentado a
Jaime Julio Buelva
UNIVERSIDAD NACIONALABIERTA Y A DISTANCIA
2. Tarea 1: Desarrollar los siguientes ejercicios aplicando la ley del seno y
coseno. Graficar en GeoGebra.
a). a = 17 m b = 42 m c = 31 m solución a = 20,7° b =119,2o c = 40,1°
b= 42m
a=17m
c=31mB
A
C
Empezaremos por hallar el ángulo mas grande en este caso el ángulo B aplicando teorema del
coseno, donde tenemos:
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐(𝐶𝑜𝑠𝐵)
despejamos para dejar solo B
𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2 = −2𝑎𝑐 𝐶𝑜𝑠𝐵
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2𝑎𝑐
= 𝐶𝑜𝑠 𝐵
3. Aplicamos inverso de coseno en ambos lados de la igualdad de tal forma que el coseno que acompaña a b se
pueda cancelar.
𝑐𝑜𝑠−1
𝑏2
− 𝑎2
− 𝑐2
−2𝑎𝑐
= 𝐵
Remplazamos valores.
𝑐𝑜𝑠−1
422 − 172 − 312
−2(17)(31)
= 𝐵
Resolvemos las potencias
𝑐𝑜𝑠−1
1764 − 289 − 961
−1054
= 𝐵
𝑐𝑜𝑠−1
514
−1054
= 𝐵
𝑐𝑜𝑠−1
−0,4876 = 𝐵
119,2° = 𝐵
4. Ahora vamos a encontrar el ángulo A aplicando teorema de seno.
𝑆𝑒𝑛 𝐴
𝑎
=
𝑆𝑒𝑛 𝐵
𝑏
Remplazamos los valores:
𝑆𝑒𝑛 𝐴
17
=
𝑆𝑒𝑛 (119)
42
Despejamos:
𝑆𝑒𝑛 𝐴 = 17.
𝑆𝑒𝑛 119
42
Aplicamos la inversa de seno en ambos lados de la igualdad de tal forma que el seno que acompaña a a se
pueda cancelar.
𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1
17.
𝑆𝑒𝑛 119
42
𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 17.
0,8746
42
5. 𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1
14,8682
42
𝐴 = 𝑆𝑒𝑛−1 0,3540
𝐴 = 20,7°
Como ya conocemos el valor de dos de los ángulos y sabemos por teorema que la suma interna de los ángulos de un
triángulo es igual a 180° realizamos una resta para encontrar el valor del ángulo C
𝐶 = 180° − 119,2° − 20,7°
𝐶 = 40,1°
7. 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐴 =
𝑎2
− 𝑏2
− 𝑐2
−2𝑏𝑐
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
cos 𝐴 =
72
− 52
− 82
−2(5)(8)
=
−40
−80
= 0,5
𝐴 = cos 0,5 = 60°
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐵
𝑏2
= 𝑎2
+ 𝑐2
− 2𝑎𝑏 cos 𝐵 =
𝑏2 − 𝑎2 − 𝑐2
−2𝑏𝑐
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
cos 𝐵 =
52 − 72 − 82
−2(7)(8)
=
−88
−112
= 0,7857
B= cos 0,7857 = 30,21°
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝐶
𝐶 = 180° − 60° + 38,21° = 81,79°°
D. a = 8 m b = 7 m c = 5 m
8. Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente de los ángulos agudos (A y B) de cada triángulo rectángulo
que aparecen abajo.
hipotenusa
C. Adyacente
C.
Opuesto
Vamos a calcular primero las razones trigonométricas para el
ángulo A. Tenemos que las razones trigonométricas son:
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐. 𝑜
ℎ
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
𝑐. 𝑎
ℎ
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
𝑐. 𝑜
𝑐. 𝑎
9. Remplazamos valores
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
3
5
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
4
5
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
3
4
Ahora vamos a calcular las razones trigonométricas para el ángulo , igualmente se remplaza los
valores, teniendo en cuenta que la posición de los catetos cambia.
hipotenusa
C. Adyacente
C.
Opuesto
Remplazamos valores
𝑆𝑒𝑛 𝛼 =
4
5
𝐶𝑜𝑠 𝛼 =
3
5
𝑇𝑎𝑛 𝛼 =
4
3
10. Tarea 3. Realizar las siguientes identidades trigonométricas
csc 𝑥
cot 𝑥
=
1
cos 𝑥
Sabemos por razones trigonométricas que:
csc 𝑥 =
1
sen 𝑥
𝑦 cot 𝑥 =
1
tg 𝑥
=
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Remplazamos los valores:
csc 𝑥
cot 𝑥
=
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
Aplicando la ley de extremos y medios tenemos:
csc 𝑥
cot 𝑥
=
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 . cos 𝑥
csc 𝑥
cot 𝑥
=
1
𝑐𝑜𝑠𝑥
11. Tarea 4. Revisar y realizar las siguientes ecuaciones
trigonométricas
2𝑐𝑜𝑠2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1
no es una identidad trigonométrica por lo tanto lo vamos a
comprobar con un ejemplo:
si tenemos que 𝑥 = 0 podemos remplazar los valores
2𝑐𝑜𝑠2
(0) + 𝑠𝑒𝑛(0) = 1
2 1 + 0 = 1
2 ≠ 1
por lo tanto es una contradicción.
12. Tarea 5. Aplicaciones trigonométricas.
a) Halla los lados de un paralelogramo cuyas diagonales miden 10 cm y
18 cm respectivamente y forman un ángulo de 43º.
Tomamos el lado 𝐴𝐵 y aplicamos teorema de coseno.
𝐴𝐵2
= 𝑎2
+ 𝑏2
− 2𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠 ∝
Remplazamos los valores.
𝐴𝐵2
= 52
+ 92
− 2(5). (9). cos(43)
Resolvemos as operaciones.
𝐴𝐵2
= 25 + 81 − 90. cos(43)
13. Repartimos raíz cuadrado en ambos lados de la igualdad y resolvemos.
𝐴𝐵 = 25 + 81 − 90. cos 43
𝐴𝐵 = 106 − 65,86
𝐴𝐵 = 40,18
𝐴𝐵 = 6,3 𝑐𝑚
Para poder calcular ∢AMD tenemos que realizar un resta, ya que dos de los ángulos del
paralelogramo deben sumar 180° y ya conocemos el valor de uno.
∢𝐴𝑀𝐷 = 180° − 43°
∢𝐴𝑀𝐷 = 137°
Aplicamos nuevamente el teorema del coseno para conocer el lado 𝐴𝐷
𝐴𝐷2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎. 𝑐. cosβ
Remplazamos los valores.
𝐴𝐷2
= 52
+ 92
− 2(5). (9). cos(137)
14. Resolvemos as operaciones.
𝐴𝐷2
= 25 + 81 − 90. cos(137)
Repartimos raíz cuadrado en ambos lados de la igualdad y
resolvemos.
𝐴𝐷 = 25 + 81 − 90. cos 137
𝐴𝐷 = 106 − (−65,86)
𝐴𝐷 = 76,11
𝐴𝐷 = 8,7 𝑐𝑚
