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Campo Eléctrico Distribuciones Carga
- 1. Campo eléctrico I: distribuciones discretas de carga. Carga eléctrica. 1. Si el convenio de signos para las cargas se variase de modo que la cara electrónica fuese positiva y la del protón negativa, ¿debería escribirse la ley de Coulomb del mismo modo o de modo diferente? La ley de Coulomb se escribe: 𝑭𝟏,𝟐 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒓𝟏,𝟐 𝟐 ∗ 𝒓 ⃗ 𝟏,𝟐 Las fuerzas entre cargas negativas y positivas siguen siendo iguales en valor y sentido. De forma que la ley seria la misma. 2. Comparar las propiedades de la carga eléctrica con las de la masa gravitatoria. Analizar las semejanzas y las diferencias. Semejanzas Diferencias Las dos varían con 1/r2 Las masas son siempre positivas, las cargas pueden ser positivas o negativas Las dos son directamente proporcionales a las cargas o las masas. Las fuerzas eléctricas pueden ser repulsivas o atractivas, las gravitatorias atractivas El valor de G es mucho menor que el de k 3. Al frotar una barra de plástico con un paño de lana, aquella adquiere una carga de -0,8 µC. ¿Cuántos electrones se transfieren del paño de lana a la barra de plástico? 𝟎.𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 ∗ 𝟏 𝒆− 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑪 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟐 𝒆− 4. Una carga igual a la de un número de Avogadro (NA=6,02 1023 ) de protones se denomina un Faraday. Calcular el número de culombios que hay en un Faraday. 𝟔.𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟑 𝒑𝒓𝒐𝒕𝒐𝒏𝒆𝒔 ∗ 𝟏,𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑪 𝟏 𝒑𝒓𝒐𝒕ó𝒏 = 𝟗𝟔𝟑𝟐𝟎 𝑪 5. ¿Cuántos culombios de carga positiva existen en 1 kg de carbono? Doce gramos e carbono contienen el número de Avogadro de átomos y cada átomo posee seis protones y seis electrones. 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝒈 𝑪 ∗ 𝟏 𝒎𝒐𝒍 𝑪 𝟏𝟐 𝒈 𝑪 ∗ 𝟔.𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟐𝟑 á𝒕𝒎𝒐𝒔 𝑪 𝟏 𝒎𝒐𝒍 𝑪 ∗ 𝟔 ∗ 𝟏,𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑪 𝟏 á𝒕𝒐𝒎𝒐 𝑪 = 𝟒,𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟕 𝑪 Conductores, aislantes y cargas por inducción. 6. ¿Pueden cargarse los aislantes por inducción? Al n o poder moverse las cargas libremente no podremos cargar un aislante por inducción. 7. Un metal B de forma rectangular se conecta a tierra por medio de un interruptor S que se encuentra inicialmente cerrado (figura). Mientras la carga + Q está próxima a B, se abre el interruptor S. Después se separa la carga + Q. ¿Qué ocurre con el estado de carga del metal rectangular B? a) Está positivamente cargado. b) Está descargado.
- 2. c) Está negativamente cargado. d) Puede ocurrir cualquiera de las tres afirmaciones anteriores, dependiendo de la carga de B antes de aproximarle la carga +Q. Al acercar +Q, se separan las cargas del metal, las positivas se separan de +Q, al abrir el interruptor por repulsión marcharan algunas, el metal quedará cargado negativamente. Respuesta c. 8. Explicar, mencionando cada etapa, cómo puede utilizarse una varilla aislante positivamente cargada para dar a una esfera de metal a) Una carga negativa. b) Una carga positiva. c) ¿Puede utilizarse la misma varilla para dar a una esfera una carga positiva y a otra una carga negativa sin recargar la varilla? a) Acercamos la varilla a la esfera, conectamos la esfera a Tierra, marchan cargas positivas a tierra, por tanto, la esfera se cargará negativamente. b) Tocando la esfera con la varilla pasarán cargas negativas de la varilla a la esfera, está se cargará positivamente. c) Procedemos como en (a), cargamos la esfera negativamente, acercamos esta esfera a una esfera neutra conectada a tierra, la segunda esfera quedará cargada positivamente. 9. Dos esferas conductoras sin carga con sus superficies metálicas en contacto, están apoyadas sobre una gran tabla de madera bien aislada. Una barra cargada positivamente se aproxima a una de las esferas por el lado opuesto a su punto de contacto con la otra esfera. a) Describir las cargas inducidas sobre las dos esferas conductoras y representar las distribuciones de carga sobre ellas. b) Las dos esferas se alejan entre sí y la barra cargada se separa. Dibujar las distribuciones de carga sobre las esferas separadas. a) En el dibujo se representa el que pasa: b)
- 3. Ley de Coulomb 10. Tres cargas, +q, *Q y -Q, se sitúan en los vértices de un triángulo equilátero, como muestra la figura. La fuerza neta sobre la carga +q debida a las otras dos cargas es a) Verticalmente hacia arriba. b) Verticalmente hacia abajo. c) Cero. d) Horizontal hacia la izquierda. e) Horizontal hacia la derecha. La respuesta es la e. 11. Una carga q1=4,0 µC está en el origen y otra carga q2=6,0 µC está sobre el eje en el punto x=3,0 m. a) Hallar la fuerza ejercida sobre la carga q2. b) Hallar l a fuerza ejercida sobre la carga q1. c) ¿En qué diferirán estas respuestas (a) y (b), si q2 vale -6,0 µC? a) Al ser las cargas de igual signo la fuerza entre ellas es repulsiva, sobre la carga 2 tendrá sentido hacia la derecha. 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟗 ∗ 𝒊 = 𝟐.𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒊 b) La fuerza sobre la carga 1 es del mismo valor, pero dirigida hacia la izquierda. 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = − 𝟐. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒊 c) Al ser negativa la carga 2 la fuerza es atractiva entre las cargas: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = − 𝟐. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒊
- 4. 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = −𝟏, 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒊 12. Tres cargas puntuales están situadas en el eje x; q1=-6,0 µC está en x=-3,0 m, q2=4,0 µC está en el origen y q3=-6,0 µCX está en x=3,0 m. Hallar la fuerza ejercida sobre q1. 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟏 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟏 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ ( 𝟒∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟗 − 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑𝟔 ) 𝒊 = 𝟏. 𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝑵 𝒊 13. Dos cargas iguales de 3,0 µC están sobre el eje y, una en el origen y la otra en y=6m. Una tercera carga q3=2,0 µC está en el eje x en x=8m. Hallar la fuerza ejercida sobre q3. 𝒅𝟐𝟑 = √𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 = 𝟏𝟎 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜶(𝟐,𝟑) = 𝟖 𝟏𝟎 = 𝟎.𝟖 ;𝒔𝒆𝒏𝜶(𝟐,𝟑) = 𝟔 𝟏𝟎 = 𝟎.𝟔 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟑 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟎𝟎 ∗ (−𝟎.𝟖 ∗ 𝒊 + 𝟎.𝟔 ∗ 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟑 = −𝟒.𝟑𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒊 + 𝟑.𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟑 = −𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟔𝟒 ∗ 𝒊 = −𝟖.𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟑 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟑 = −𝟏𝟐. 𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒊 + 𝟑.𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 ∗ 𝒋 14. Tres cargas, cada una de una magnitud 3 nC, están en los vértices de un cuadrado de lado 5 cm. Las dos cargas en los vértices opuestos son positivas y la otra es negativa. Determinar la fuerza ejercida sobre una cuarta carga q=+3 nC situada en el vértice restante. 𝒅𝟑𝟒 = √𝟎.𝟎𝟓𝟐 + 𝟎.𝟎𝟓𝟐 = 𝟕.𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 𝑭𝟏𝟒 = 𝑭𝟐𝟒 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟑∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟎𝟓𝟐 = 𝟑.𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝑭𝟑𝟒 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟑∗𝟏𝟎−𝟗 (𝟕.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟐)𝟐 = 𝟏.𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟒 = 𝟑.𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋
- 5. 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟒 = 𝟑.𝟐𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟒 = 𝟏.𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ (−𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 ∗ 𝒊 − 𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 ∗ 𝒋 ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟒 = −𝟏.𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒊−= −𝟏.𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟒 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟒 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟒 = 𝟐. 𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒊 − 𝟐.𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ∗ 𝒋 15. Una carga de 5 µC se encuentra sobre el eje y en y =3 cm y una segunda carga de -5,0 µC está sobre el eje y en y=- 3 cm. Determinar la fuerza ejercida sobre una carga de 2 µC situada sobre el eje en x= 8 cm. 𝒅𝟏𝟑 = 𝒅𝟐𝟑 = √𝟎.𝟎𝟑𝟐 + 𝟎.𝟎𝟖𝟐 = 𝟖.𝟓𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 𝑭𝟐𝟑 = 𝑭𝟏𝟑 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟎𝟑𝟐+𝟎.𝟎𝟖𝟐) = 𝟏𝟐.𝟑𝟐 𝑵 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟑 = −𝟏𝟐.𝟑𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟖 𝟖.𝟓𝟒∗𝟏𝟎−𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟐.𝟑𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟑 𝟖.𝟓𝟒∗𝟏𝟎−𝟐 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟑 = 𝟏𝟐.𝟑𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟖 𝟖.𝟓𝟒∗𝟏𝟎−𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟐.𝟑𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟑 𝟖.𝟓𝟒∗𝟏𝟎−𝟐 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = −𝟐 ∗ 𝟏𝟐.𝟑𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟑 𝟖.𝟓𝟒∗𝟏𝟎−𝟐 ∗ 𝒋 = −𝟖. 𝟔𝟔 ∗ 𝒋 16. Una carga puntual de -2.5 µC está localizada en el origen. Una segunda carga puntual de 6 µC se encuentra en x=1m, y=0,5 m. Determinar las coordenadas x e y de la posición en la cual un electrón estaría en equilibrio. 𝒅𝟏−𝒐𝒓 = √𝟏𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟐 = 𝟏.𝟏𝟐 𝒎 El electrón estará alineado con las dos cargas indicadas, la positiva lo atraerá y la negativa lo repelerá. Las dos fuerzas han de ser iguales en módulo. 𝒌 ∗ 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝒒𝒆 (𝟏.𝟏𝟐+𝒓)𝟐 = 𝒌 ∗ 𝟐.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝒒𝒆 𝒓𝟐 𝟑.𝟓 ∗ 𝒓𝟐 − 𝟓. 𝟔 ∗ 𝒓 − 𝟑.𝟏𝟑𝟔 = 𝟎 𝒓 = 𝟐. 𝟎𝟑𝟗 𝒎
- 6. 𝒙 = −𝟐. 𝟎𝟑𝟔 ∗ 𝟏 𝟏.𝟏𝟐 = −𝟏. 𝟖𝟐 𝒎 𝒚 == −𝟐.𝟎𝟑𝟔 ∗ 𝟎.𝟓 𝟏.𝟏𝟐 = −𝟎. 𝟗𝟏 𝒎 17. Una carga de -1.0 µC está localizada en el origen, una segunda carga de 2,0 µC está localizada en x=0, y=0,1 m y una tercera de 4,0 µC en x=0,2 m, y=0 m. Determinar las fuerzas que actúan sobre cada una de las tres cargas. 𝒅𝟐𝟑 = √𝟎.𝟏𝟐 + 𝟎. 𝟐𝟐 = 𝟎.𝟐𝟐𝟒 𝒎 𝑭𝟐𝟑 = 𝑭𝟑𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟏𝟐+𝟎.𝟐𝟐) = 𝟏.𝟒𝟒 𝑵 𝑭𝟏𝟐 = 𝑭𝟐𝟏 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟏∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟏𝟐) = 𝟏.𝟖𝟎 𝑵 𝑭𝟏𝟑 = 𝑭𝟑𝟏 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟏∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟐𝟐) = 𝟎.𝟗𝟎 𝑵 Fuerza sobre la carga 3: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟑 = 𝟏.𝟒𝟒 ∗ 𝟎.𝟐 𝟎.𝟐𝟐𝟒 ∗ 𝒊 − 𝟏. 𝟒𝟒 ∗ 𝟎.𝟏 𝟎.𝟐𝟐𝟒 ∗ 𝒋 = 𝟏.𝟐𝟗 ∗ 𝒊 − 𝟎. 𝟔𝟒 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟑 = −𝟎.𝟗𝟎 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = 𝟎.𝟑𝟗 ∗ 𝒊 − 𝟎. 𝟔𝟒 ∗ 𝒋 Fuerza sobre la carga 1: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟏 = 𝟎.𝟗𝟎 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟏 = 𝟏.𝟖𝟎 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝟎.𝟗𝟎 ∗ 𝒊 + 𝟏. 𝟖𝟎 ∗ 𝒋 Fuerza sobre la carga 2: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏𝟐 = − 𝟏. 𝟖𝟎 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟐 = −𝟏.𝟐𝟗 ∗ 𝒊 + 𝟎. 𝟔𝟒 ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = −𝟏. 𝟐𝟗 ∗ 𝒊 − 𝟏. 𝟏𝟔 ∗ 𝒋 18. Una carga de 5,0 µC está localizada en x=0, y=0 y otra carga Q está localizada en x=4,0 cm, y=0 m. La fuerza que actúa sobre una carga de 2 µC en x=8,0 cm, y=0 m es 19,7 N, apuntando en la dirección x negativa. Cuando esta carga de 2 µC se sitúa en x=17,75 cm, y= 0 m, la fuerza que actúa sobre ella es nula. Determinar el valor de la carga Q. Como la fuerza se anula en x 17.75 cm, la carga ha de ser negativa, las dos fuerzas ha considerar sobre la carga de 2 µC ha de tener sentidos diferentes.
- 7. −𝟏𝟗.𝟕 = 𝒌 ∗ 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟎𝟖𝟐 − 𝒌 ∗ 𝑸∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟎𝟒𝟐 𝑸 = 𝟎.𝟎𝟒𝟐 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟎𝟖𝟐 + 𝟏𝟗.𝟕) = 𝟑,𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 El signo de Q es negativo. 19. Cinco cargas iguales Q están igualmente espaciadas en un semicírculo de radio R como indica la figura. Determinar la fuerza que se ejerce sobre una carga q localizada en el centro del semicírculo. El módulo de las diferentes fuerzas es el mismo: 𝑭𝑸𝒒 = 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 𝑹𝟐 La fuerza resultante, por simetría será de componente x. Solo contribuyen a ella la componente x de las dos cargas que están a 45º y la fuerza que ejerce la carga horizontal. 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑲 ∗ 𝑸∗𝒒 𝑹𝟐 ∗ (𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 + 𝟏) ∗ 𝒊 20. La configuración de la molécula de amoniaco es aproximadamente la de un tetraedro regular con tres iones H+ formando la base y un ion N-3 en el vértice del tetraedro. La longitud de cada lado es 1.64 10-10 m. Calcular la fuerza que actúa sobre cada ion. La posición de los iones viene dada en el siguiente dibujo, q4 representa el nitrógeno y las otras tres los hidrógenos: 𝒒𝟏 = 𝒒𝟐 = 𝒒𝟑 = 𝒒 ; 𝒒𝟒 = 𝟑 ∗ 𝒒 Consideramos la fuerza sobre la carga 1: De la carga 2:
- 8. 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐𝟏 = −𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ 𝒊 Los ángulos para la carga 3 son: 𝒄𝒐𝒔𝜶 = 𝒂/𝟐 𝒂 = 𝟏 𝟐 ; 𝒔𝒆𝒏𝜶 = 𝒂∗√𝟑/𝟐 𝒂 = √𝟑 𝟐 La fuerza de la carga 3: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑𝟏 = −𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒊 + √𝟑 𝟐 ∗ 𝒋) Para la carga 4: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟒𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟒 𝒓𝟏𝟒 𝟑 ∗ 𝒓 ⃗ 𝟒𝟏 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟒𝟏 = 𝒌 ∗ 𝟑∗𝒒𝟐 ( 𝒂𝟐 𝟒 + 𝒂𝟐 𝟒∗𝟑 + 𝒂𝟐∗𝟐 𝟑 ) 𝟑/𝟐 ∗ ( 𝒂 𝟐 ∗ 𝒊 + 𝒂 𝟐∗√𝟑 ∗ 𝒋 + 𝒂 ∗ √ 𝟐 𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟒𝟏 = 𝒌 ∗ 𝟑∗𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒊 + 𝟏 𝟐∗√𝟑 ∗ 𝒋 + √ 𝟐 𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ) 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ [(−𝟏 − 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝟐 ) ∗ 𝒊 + (− √𝟑 𝟐 + 𝟑 ∗ 𝟏 𝟐∗√𝟑 ) ∗ 𝒋 + 𝟑 ∗ √ 𝟐 𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ ] 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ 𝟑 ∗ √ 𝟐 𝟑 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ √𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ El módulo de la fuerza es el mismo para todas las cargas. Para la carga dos por simetría: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ √𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ Lo mismo pasa para la carga tres: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟑 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ √𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ En la carga cuatro la fuerza tendrá un sentido contrario: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝟒 = −𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒂𝟐 ∗ √𝟔 ∗ 𝒌 ⃗ ⃗ El campo eléctrico 21. Una carga positiva que puede moverse libremente, pero que inicialmente está en reposo en un campo eléctrico E a) Acelerará en dirección perpendicular a E. b) Permanecerá en reposo. c) Acelerará en dirección opuesta a E. d) Acelerará en la misma dirección que E. e) No verificará ninguna de las afirmaciones anteriores. Las cargas positivas se mueven siempre en la misma dirección y sentido que el campo eléctrico. Respuesta d. 22. Si cuatro cargas están localizadas en los vértices de un cuadrado como indica la figura, el campo E es cero en a) Todos los puntos situados sobre los lados del cuadrado que están a mitad de camino entre las dos cargas. b) El punto central del cuadrado. c) El punto a mitad de camino entre las dos cargas superiores y en el punto a mitad de camino entre las dos cargas anteriores. d) Ninguno de los casos anteriores.
- 9. Respuesta b. 23. En un punto determinado del espacio, una carga Q no experimenta ninguna fuerza. Por tanto, a) No existen cargas próximas. b) Si existen cargas próximas, su carga es opuesta a la de Q. c) Si existen cargas próximas, la carga positiva total debe ser iguala la carga negativa total. d) Ninguna de las afirmaciones anteriores es necesariamente cierta. En el punto considerado el campo será nulo, eso no implica ninguna de las tres primeras opciones. La afirmación d es la única correcta. 24. Una carga de 4,0 µC está en el origen. ¿Cuál es el valor y dirección del campo eléctrico sobre el eje x en a) x= 6 m. b) x=-10 m. c) Hacer un esquema de la función Ex respecto a c tanto para valores positivos como negativos de x. (Recuérdese que Ex es negativo cuando E señala en el sentido negativo de las x). a) 𝑬 ⃗⃗ 𝒙 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑𝟔 ∗ 𝒊 = 𝟗𝟗𝟗 𝑵 𝒄 ∗ 𝒊 b) 𝑬 ⃗⃗ 𝒙 = −𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟎𝟎 ∗ 𝒊 = −𝟑𝟔𝟎 𝑵 𝒄 ∗ 𝒊 c)
- 10. 25. Dos cargas puntuales, cada una de ellas de +4 µC, están sobre el eje x, una en el origen y la otra en x= 8 m. Hallar el campo eléctrico sobre el eje x en a) X=-2 m. b) X= 2 m. c) X= 6 m. d) X= 10 m. e) ¿En qué punto del eje x es cero el campo eléctrico? f) Hacer un esquema de Ex en función de x. a) 𝑬𝒙 = − 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟏𝟎𝟎 ) = 𝟗𝟑𝟓𝟎 𝑵/𝑪 b) 𝑬𝒙 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟒 − 𝟏 𝟑𝟔 ) = 𝟕𝟗𝟗𝟗 𝑵 𝑪 c) 𝑬𝒙 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟑𝟔 − 𝟏 𝟒 ) = −𝟕𝟗𝟗𝟏 𝑵/𝑪 d) 𝑬𝒙 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏 𝟒 ) = 𝟗𝟑𝟓𝟎 𝑵/𝑪 e) 𝟏 𝒙𝟐 = 𝟏 (𝟖−𝒙)𝟐 Resolviendo x= 4 m. f) En la zona entre 0 y 8 m: 𝑬𝒙 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝒙𝟐 − 𝟏 (𝟖−𝒙)𝟐 ) En la zona con x<0: 𝑬𝒙 = − 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 (𝟖+𝒙)𝟐 ) En la zona con x>8 m: 𝑬𝒙 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝒙𝟐 + 𝟏 (𝒙−𝟖)𝟐 ) 26. Cuando se coloca una carga testigo qo= 2 nC en el origen, experimenta la acción de una fuerza de 8,0 10-4 N en la dirección positiva deleje de las y. a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? b) ¿Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de – 4 nC situada en el origen?
- 11. c) Si esta fuerza fuera debida a una carga situada sobre el eje y para y=3 cm, ¿Cuál sería el valor de dicha carga? a) Como la carga de prueba es positiva, el campo estará dirigido en el sentido de la fuerza. 𝑬𝒚 = 𝑭 𝒒 = 𝟖∗𝟏𝟎−𝟒 𝟐∗𝟏𝟎−𝟗 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) 𝑭𝒚 = 𝒒 ∗ 𝑬 = −𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 = −𝟎.𝟎𝟏𝟔 𝑵 c) Como la fuerza es repulsiva la carga pedida ha de ser negativa. 𝟎.𝟎𝟏𝟔 = 𝒌 ∗ 𝟒∗𝟏𝟎−𝟗∗𝑸 𝟎.𝟎𝟑𝟐 ; 𝑸 = 𝟎.𝟎𝟏𝟔∗𝟎.𝟎𝟑𝟐 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟗 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪 27. Una gota de aceite tiene una masa de 4 10-14 kg y una carga neta de 4,8 10-19 C. Una fuerza eléctrica dirigida hacia arriba equilibra justamente la fuerza dirigida hacia abajo de la gravedad, de tal modo que la gota de aceite queda en reposo. ¿Cuál es la dirección y magnitud del campo eléctrico? La dirección del campo eléctrico será la misma que la de la fuerza eléctrica al ser esta positiva. Por tanto, vertical hacia arriba. 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒒 ∗ 𝑬 ; 𝑬 = 𝒎∗𝒈 𝒒 = 𝟒∗𝟏𝟎−𝟏𝟒∗𝟗.𝟖 𝟒.𝟖∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 = 𝟖. 𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 28. La Tierra tiene un campo eléctrico cerca de su superficie que es aproximadamente 150 N/C y que está dirigido hacia abajo. a) Comparar la fuerza eléctrica ascendente ejercida sobre un electrón con la fuerza gravitatoria dirigida hacia abajo. b) ¿Qué carga debería suministrarse a una moneda de 3 g para que el campo eléctrico equilibrase su peso cerca de la superficie de la Tierra? a) 𝑭𝒆 = 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟓𝟎 = 𝟐.𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟕 𝑵 𝑭𝒈 = 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝟗. 𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑𝟏 ∗ 𝟗. 𝟖 = 𝟖.𝟗𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑𝟎 𝑵 𝑭𝒆 𝑭𝒈 = 𝟐.𝟒∗𝟏𝟎−𝟏𝟕 𝟖.𝟗𝟑∗𝟏𝟎−𝟑𝟎 = 𝟐. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟐 b) 𝒎 ∗ 𝒈 = 𝒒 ∗ 𝑬 ; 𝒒 = 𝒎∗𝒈 𝑬 = 𝟎.𝟎𝟎𝟑∗𝟗.𝟖𝟏 𝟏𝟓𝟎 = 𝟏.𝟗𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑪 29. Dos cargas iguales positivas de valor q1=q2=6,0 nC están sobre el eje y en puntos y1=3 cm e y2=-3 cm. a) ¿Cuál es el valor y dirección del campo eléctrico sobre el eje x en x= 4 cm? b) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre una tercera carga q0= 2 nC situada en el punto x= 4 cm? a)
- 12. 𝒓 = √𝟎. 𝟎𝟑𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟒𝟐 𝒎 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎.𝟎𝟒 √𝟎.𝟎𝟑𝟐+𝟎.𝟎𝟒𝟐 𝑬𝒚 = 𝟎 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝑬𝒒𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟐 ∗ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟎𝟑𝟐+𝟎.𝟎𝟒𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟒 √𝟎.𝟎𝟑𝟐+𝟎.𝟎𝟒𝟐 = 𝟑𝟒𝟓𝟐𝟐 𝑵/𝑪 b) 𝑭𝒙 = 𝒒 ∗ 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟑𝟒𝟓𝟐𝟐 = 𝟔. 𝟗𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑵 30. Una carga puntual de + 5 µC está localizada en x=-3,0 cm y una segunda carga puntual de – 8 µC está localizada en x= 4,0 cm. ¿Dónde debe situarse una tercera carga de 6 µC para que el campo eléctrico en x=0 sea cero? La tercera carga deberá crear un campo E3 en el origen hacia la izquierda, que deberá equilibrar los campos creados por 1 y 2 en el punto, dirigidos hacia la derecha. Dado que la carga 3 es positiva deberá estar en la parte derecha del eje x. |𝑬𝟑| = 𝑬𝟐 + 𝑬𝟏 𝒒𝟑 𝒙𝟐 = |𝒒𝟐| 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒒𝟏 𝒙𝟏 𝟐 𝒙 = √ 𝒒𝟑 |𝒒𝟐| 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒒𝟏 𝒙𝟏 𝟐 = √ 𝟔 𝟖 𝟎.𝟎𝟒𝟐+ 𝟓 𝟎.𝟎𝟑𝟐 = 𝟎.𝟎𝟐𝟑𝟖 𝒎 31. Una carga puntual de -5 µC está localizada en x= 4 m, y=-2 m. Una segunda carga puntual de 12 µC está localizada en x= 1 m, y= 2 m. a) Determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico en x= -1 m, y=0. b) Calcular la magnitud y dirección de la fuerza sobre un electrón situado en x=-1 m, y=0. a) 𝒓𝟏𝑷 = √𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 = 𝟓 √𝟓𝟐+𝟐𝟐 ; 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 = 𝟐 √𝟓𝟐+𝟐𝟐 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝒌 ∗ |𝒒𝟏| 𝟓𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟓 √𝟓𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒊 − 𝒌 ∗ |𝒒𝟏| 𝟓𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟓𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝟓 √𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟏 𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟓𝟐 + 𝟐𝟐 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝟏𝟒𝟑𝟗 ∗ 𝒊 − 𝟓𝟕𝟓 ∗ 𝒋 𝒓𝟐𝑷 = √𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 = 𝟐 √𝟐𝟐+𝟐𝟐 ; 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 = 𝟐 √𝟐𝟐+𝟐𝟐 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒊 − 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒊 + 𝟏 𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟐𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒋)
- 13. 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝟗𝟓𝟑𝟓 ∗ 𝒊 − 𝟗𝟓𝟑𝟓 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝑷 = (−𝟗𝟓𝟑𝟓 + 𝟏𝟒𝟑𝟗) ∗ 𝒊 + (−𝟗𝟓𝟑𝟓 − 𝟓𝟕𝟓) ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝑷 = −𝟖𝟎𝟗𝟔 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎 ∗ 𝒋 𝑬𝑷 = √𝟖𝟎𝟗𝟔𝟐 + 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟐𝟗𝟓𝟐 𝑵/𝑪 𝜽𝑬 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝑬𝒚 𝑬𝒙 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟗𝟔 ) = 𝟓𝟏.𝟑𝟏 ;á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 b) 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝑬 ⃗⃗ = −𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ (−𝟖𝟎𝟗𝟔 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎 ∗ 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝟏.𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟓 ∗ 𝒊 + 𝟏.𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟓 ∗ 𝒋 𝑭 = √(𝟏.𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟓)𝟐 + (𝟏. 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟓)𝟐 = 𝟐. 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟓 𝑵 𝜽𝑭 = 𝟓𝟏.𝟑𝟏 ;á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 32. Dos cargas positivas iguales q están en el eje y; una está en y =a y la otra en y=-a. a) Demostrar que el campo eléctrico en el je x está dirigido a lo largo de dicho eje con 𝑬𝒙 = 𝟐𝒌𝒒𝒙(𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 )−𝟑/𝟐 . b) Demostrar que cercano al origen, cuando x es mucho menor que a, Ex vale aproximadamente 𝟐𝒌𝒒𝒙/𝒂𝟑 . c) Demostrar que para x mucho mayor que a, Ex es aproximadamente 𝟐𝒌𝒒/𝒙𝟐 . Explicar por qué deberá esperarse este resultado incluso antes de ser calculado. a)
- 14. Por simetría Ey=0. 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝑬𝒒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐 ∗ 𝒌 𝒒 𝒙𝟐+𝒂𝟐 ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+𝒂𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝒙 (𝒙𝟐+𝒂𝟐)𝟑/𝟐 b) 𝒙 ≪ 𝒂 ; (𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 )𝟑/𝟐 ≈ 𝒂𝟑 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝒙 𝒂𝟑 c) 𝒙 ≫ 𝒂 ; (𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 )𝟑/𝟐 ≈ 𝒙𝟑 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝒙 𝒙𝟑 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝒙𝟐 En esta situación, donde la separación entre cargas es muy pequeña comparada con la distancia a considerar podemos considerar nuestro sistema como formado por una única caga en x=0 de valor 2 q. 33. Una carga puntual de 5 µC está localizada en x= 1m, y= 3m y otra de -4 µC está localizada en x= 2 m, y=-2 m. a) Determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico en x=-3 m, y= 1m. b) Determinar la magnitud y dirección de la fuerza sobre un protón en x=-3 m, y=1 m. a) 𝒓𝟏𝑷 = √𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 = 𝟓 √𝟓𝟐+𝟑𝟐 ; 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 = 𝟑 √𝟓𝟐+𝟑𝟐 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝒌 ∗ |𝒒𝟏| 𝟓𝟐+𝟑𝟐 ∗ 𝟓 √𝟓𝟐+𝟑𝟐 ∗ 𝒊 − 𝒌 ∗ |𝒒𝟏| 𝟓𝟐+𝟑𝟐 ∗ 𝟑 √𝟓𝟐+𝟑𝟐 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 ∗ 𝟓 √𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟏 𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 ∗ 𝟑 √𝟓𝟐 + 𝟑𝟐 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝟗𝟎𝟖 ∗ 𝒊 − 𝟓𝟒𝟒 ∗ 𝒋 𝒓𝟐𝑷 = √𝟒𝟐 + 𝟐𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 = 𝟒 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 ; 𝒔𝒆𝒏𝜽𝟏 = 𝟐 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟒 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒊 − 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟏 𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟒 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒊 + 𝟏 𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝟐 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝟐𝟎𝟏𝟎 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟎𝟎𝟓 ∗ 𝒋
- 15. 𝑬 ⃗⃗ 𝑷 = (𝟗𝟎𝟖 − 𝟐𝟎𝟏𝟎) ∗ 𝒊 + (−𝟓𝟒𝟒 − 𝟏𝟎𝟎𝟓) ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝑷 = −𝟏𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟓𝟒𝟗 ∗ 𝒋 𝑬𝑷 = √𝟏𝟏𝟎𝟐𝟐 + 𝟏𝟓𝟒𝟗𝟐 = 𝟏𝟗𝟎𝟏 𝑵/𝑪 𝜽𝑬 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝑬𝒚 𝑬𝒙 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟏𝟎𝟏𝟏𝟎 𝟖𝟎𝟗𝟔 ) = 𝟓𝟏.𝟑𝟏 ;á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒓𝒕𝒐 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒏𝒕𝒆 c) 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒒 ∗ 𝑬 ⃗⃗ = −𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ (−𝟏𝟏𝟎𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟏𝟓𝟒𝟗 ∗ 𝒋) 𝑭 ⃗ ⃗ = −𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔 ∗ 𝒊 − 𝟐.𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔 ∗ 𝒋 𝑭 = √(𝟏.𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔)𝟐 + (𝟐. 𝟒𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔)𝟐 = 𝟑. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟔 𝑵 𝜽𝑭 = 𝟓𝟏.𝟑𝟏 ;á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒍 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐. 34. a) Demostrar que el campo eléctrico para la distribución de cargas del problema 32 tiene su máximo valor en los puntos 𝒙 = 𝒂/√𝟐 y 𝒙 = −𝒂/√𝟐 calculando 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝒙 𝒚 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟎. b) Hacer un esquema de la función Ex en función de x utilizando los resultados de la parte (a) de este problema y de las partes (b) y (c) del problema 32. a) 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝒙 (𝒙𝟐+𝒂𝟐)𝟑/𝟐 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ (𝒙𝟐+𝒂𝟐) 𝟑 𝟐− 𝟑 𝟐 ∗𝒙∗(𝒙𝟐+𝒂𝟐) 𝟏 𝟐∗𝟐∗𝒙 (𝒙𝟐+𝒂𝟐)𝟑 = 𝟎 (𝒙𝟐 + 𝒂𝟐) 𝟑 𝟐 − 𝟑 ∗ 𝒙𝟐 ∗ (𝒙𝟐 + 𝒂𝟐) 𝟏 𝟐 = 𝟎 𝒙 = ± 𝒂 √𝟐
- 16. b) 35. Para la distribución de cargas del problema 32 el campo eléctrico en el origen es cero. Una carga de prueba qo situada en el origen estará por tanto en equilibrio. a) Estudiar la estabilidad dl equilibrio para una cara de prueba positiva considerando desplazamientos pequeños del equilibrio a lo largo del eje x y desplazamientos pequeños a lo largo del eje y. b) Repetir la parte (a) para una carga de prueba negativa. c) Hallar el valor y signo de una carga qo que puede situarse en el origen de modo que la fuerza neta sobre cada una de las tres cargas sea cero. d) Considerar qué ocurre si cualquiera de las cargas se desplaza ligeramente del equilibrio. a) 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝒙 (𝒙𝟐+𝒂𝟐)𝟑/𝟐 La fuerza en la parte negativa de las x se dirigirá hacia la izquierda y en la parte derecha de las x hacia la derecha. El punto x será (0,0) es un punto de equilibrio inestable respecto a desplazamientos en el eje x. Para un desplazamiento en el eje y, si es en y positivo, la fuerza mayor la ejercerá la carga superior, y la resultante será dirigida en el sentido negativo de las y. Si el desplazamiento es en l sentido negativo de las y, la fuerza resultante será hacia arriba. Como la fuerza resultante siempre va hacia el centro no hallaríamos en un punto de equilibrio estable respecto a movimientos en el eje y. b) Si la carga es negativa, las fuerzas cambiarán de sentido respecto a lo considerado en el apartado a, para desplazamientos en x será equilibrio estable y para desplazamientos en y inestable.
- 17. c) Considerando una carga qo en el origen, sobre la carga superior tendremos las fuerzas de la carga qo del origen y la fuerza de la carga situada en -a. La fuerza de la carga situada en -a estará dirigida hacia arriba, por tanto, la fuerza que ejerce la carga del origen habrá de estar dirigida hacia abajo. La carga qo será negativa. 𝒌 ∗ 𝒒∗𝒒 𝟒∗𝒂𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒∗𝒒𝒐 𝒂𝟐 ; 𝒒𝒐 = 𝒒 𝟒 ; 𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐. d) El sistema será inestable respecto a pequeños movimientos de las cargas en el eje y. Si movemos la carga situada en y=a a una posición a+∆𝒚: 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝟐∗𝒂+∆𝒚)𝟐 − 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟒∗(𝒂+∆𝒚)𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 ∗ ( 𝟒∗𝒂∗∆𝒚 (𝟐∗𝒂+∆𝒚)𝟐∗𝟒∗(𝒂+∆𝒚)𝟐 > 𝟎 Por tanto, la carga ira en sentido contrario a la posición de equilibrio. Lo mismo servirá para la inferior. Un movimiento de la carga situada en y=0 hacia arriba ∆𝒚 , deja una fuerza resultante: 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝒂−∆𝒚)𝟐 − 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝒂+∆𝒚)𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 ∗ ( 𝟒∗𝒂∗∆𝒚 (𝒂−∆𝒚)𝟐∗(𝒂+∆𝒚)𝟐 > 𝟎 36. Dos cargas puntuales positivas +q están sobre el je y en y=+a e y=-a como en el problema 32. Una cuenta de collar de masa m que transporta una carga negativa -q desliza sin rozamiento a lo largo de una cuerda situada sobre el eje x. a) Mostrar que para pequeños desplazamiento x≪a, la cuenta experimenta una fuerza de restitución proporcional a x y, por tanto, experimenta un movimiento armónico simple. b) Determinar el periodo del movimiento. a) 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝒙 (𝒙𝟐+𝒂𝟐)𝟑/𝟐 𝑭 = −𝒒 ∗ 𝑬𝒙 ≈ − 𝟐∗𝒌∗𝒒𝟐 𝒂𝟑 ∗ 𝒙 Es una fuerza dirigida siempre hacia el origen y proporcional a x. 𝒌 = 𝟐∗𝒌∗𝒒𝟐 𝒂𝟑 b) 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝒎 𝒌 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝒎∗𝒂𝟑 𝟐∗𝒌∗𝒒𝟐 Líneas de campo eléctrico 37. ¿Cuál (o cuáles) de las siguientes afirmaciones en relación a las líneas de campo eléctricas es (o son) falsa? a) El número de líneas que salen de una carga positiva o entran en una carga negativa es proporcional a la carga. b) Las líneas comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. c) La densidad de líneas (número de líneas por unidad de área perpendicular a las mismas) es proporcional a la magnitud del campo. d) Las líneas del campo eléctrico se cruzan a la mitad de distancia que separa las cargas de igual magnitud. Todas son verdaderas excepto la última. Las líneas de campo no se cruzan nunca. 38. La figura muestra las líneas de fuerza correspondientes a un sistema de dos cargas puntuales. a) ¿Cuáles son los valores relativos de la carga? b) ¿Cuáles son los signos de la carga?
- 18. c) ¿En qué regiones del espacio es más intenso el campo eléctrico? ¿En cuales es más débil? a) De la carga de la izquierda salen 32 líneas de fuerza, de la de la derecha 8, la carga de la izquierda es 4 veces mayor que la de la derecha. b) La carga de la izquierda es positiva, la de la derecha negativa. c) En la región entre cargas es más débil, en la zona cercana a la positiva es mas fuerte. 39. Dos cargas +4 q y -3 q están separadas por una pequeña distancia. Dibujar las líneas de campo eléctrico para este sistema. Asignamos 2 líneas para una carga q, a la +4q le corresponden 8 y a la -3q 6. 40. Dos cargas +q y -3 q están separadas una distancia pequeña. Dibujar las líneas de fuerza para este sistema. Con el mismo criterio que en el caso anterior.
- 19. 41. Tres cargas puntuales positivas iguales están situadas en los vértices de un triángulo equilátero. Hacer un esquema de las líneas de fuerza en el plano del triángulo. Asignamos 7 líneas a cada carga q. Movimiento de cargas puntuales en los campos eléctricos. 42. La aceleración de una partícula en un campo eléctrico depende de la relación carga/masa de la partícula. a) Calcular e/m para un electrón. b) ¿Cuál es el valor y dirección de la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C? c) Cuando la velocidad de un electrón se aproxima a la velocidad de la luz c, debe utilizarse la mecánica relativista para determinar su movimiento; sin embargo, a velocidades bastante menores que c debe utilizarse la mecánica newtoniana. Calcular con la mecánica de Newton el tiempo que tarda un electrón, partiendo del reposo en el interior de un campo eléctrico de valor 100 N/C para alcanzar una velocidad de 0,01 c. d) ¿Qué distancia recorrerá el electrón en este tiempo? a) 𝒆 𝒎 = 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑪 𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏𝒌𝒈 = 𝟏.𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟏 𝑪/𝒌𝒈 b) El sentido será contrario al del campo. El valor: 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝒒 𝒎 ∗ 𝑬 = 𝟏.𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒎/𝒔𝟐 c) ∆𝒗 = 𝒂 ∗ ∆𝒕 ; ∆𝒕 = ∆𝒗 𝒂 = 𝟎.𝟎𝟏∗𝒄 𝟏.𝟕𝟔∗𝟏𝟎𝟏𝟑 = 𝟎.𝟎𝟏∗𝟑∗𝟏𝟎𝟖 𝟏.𝟕𝟔∗𝟏𝟎𝟏𝟑 = 𝟏.𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝒔
- 20. d) ∆𝒙 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 ∗ (𝟏.𝟕𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟕) 𝟐 = 𝟎.𝟐𝟓𝟒 𝒎 43. a) Calcular e/m para un protón y hallar su aceleración en un campo eléctrico uniforme de valor 100 N/C. b) Hallar el tiempo que tarda un protón inicialmente en reposo endicho campo en alcanzar la velocidad de 0,01 c (siendo c la velocidad de la luz). a) 𝒆 𝒎 = 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 𝑪 𝟏,𝟔𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟕𝒌𝒈 = 𝟗.𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟕 𝑪/𝒌𝒈 b) 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝒒 𝒎 ∗ 𝑬 = 𝟗.𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟗.𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟗 𝒎/𝒔𝟐 ∆𝒗 = 𝒂 ∗ ∆𝒕 ; ∆𝒕 = ∆𝒗 𝒂 = 𝟎.𝟎𝟏∗𝒄 𝟗.𝟓𝟖∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟎.𝟎𝟏∗𝟑∗𝟏𝟎𝟖 𝟗.𝟓𝟖∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟑.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝒔 44. Un electrón tiene una velocidad inicial de 2 106 m/s en la dirección y sentido del eje de las x. Entra en el interior de un campo eléctrico uniforme E=(400 N/C)j que tiene la dirección y. a) Hallar la aceleración del electrón. b) ¿Cuánto tiempo tardará el electrón en recorrer 10 cm en la dirección x? c) ¿Cuál será el valor y la dirección de la desviación del electrón después de haber recorrido 10 cm en la dirección x del campo? a) 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝒒 𝒎 ∗ 𝑬 = 𝟏.𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝟒𝟎𝟎 = 𝟕. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 𝒎/𝒔𝟐 𝒂 ⃗ ⃗ = −𝟕. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 ∗ 𝒋 b) En el eje x tenemos m.r.u. ∆𝒙 = 𝒗 ∗ ∆𝒕 ; ∆𝒕 = ∆𝒙 𝒗 = 𝟎.𝟏 𝟐∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝒔 c) ∆𝒚 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝟕. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟑 ∗ (𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟖) 𝟐 = 𝟎.𝟎𝟖𝟖 𝒎 𝒚 ⃗ ⃗ = −𝟎. 𝟎𝟖𝟖 ∗ 𝒋 45. Un electrón, partiendo del reposo, se acelera por la acción de un campo eléctrico uniforme de magnitud 8 104 N/C que se extiende hasta una distancia de 5,0 cm. Determinar la velocidad del electrón en el momento en que abandona la región del campo eléctrico uniforme. 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝒒 𝒎 ∗ 𝑬 = 𝟏.𝟕𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟏 ∗ 𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 = 𝟏.𝟒𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟔 𝒎/𝒔𝟐 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 ;𝒗 = √𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒙 = √𝟐 ∗ 𝟏. 𝟒𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟔 ∗ 𝟎. 𝟎𝟓 = 𝟑. 𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟕 𝒎/𝒔 46. Un electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un protón estacionario. La fuera centrípeta surge de la fuerza electrostática de atracción entre el protón y el electrón. El electrón posee una energía cinética de 2,18 10-18 J. a) ¿Cuál es la velocidad del electrón? b) ¿Cuál es el radio de la órbita del electrón? a) 𝑬𝒄 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 ;𝒗 = √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 = √𝟐∗𝟐.𝟏𝟖∗𝟏𝟎−𝟏𝟖 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 = 𝟐. 𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔 b) 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒓𝟐 ; 𝒓 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝒎∗𝒗𝟐 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝟐∗𝑬𝒄 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗(𝟏,𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗) 𝟐 𝟐∗𝟐.𝟏𝟖∗𝟏𝟎−𝟏𝟖 = 𝟓.𝟐𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝒎 47. Una masa de 2 g localizada en una región de campo eléctrico uniforme E=(300 N/C) i transporta una carga Q. La masa, liberada del reposo en x=0 posee una energía cinética de 0,12 J en x=0,50 m. Determinar la carga Q. El trabajo de la fuerza eléctrica se invierte en energía cinética de la masa. 𝑭 ∗ ∆𝒙 = ∆𝑬𝒄 ;𝑸 ∗ 𝑬 ∗ ∆𝒙 = ∆𝑬𝒄 ; 𝑸 = ∆𝑬𝒄 𝑬∗∆𝒙 = 𝟎.𝟏𝟐 𝟑𝟎𝟎∗𝟎.𝟓 = 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑪
- 21. 48. Una partícula sale del origen comuna velocidad de 3 106 m/s, formando un ángulo de 35º con el eje x. Se mueve en un campo eléctrico constante E=Eyj. Determinar Ey para que la partícula cruce el eje x en x=1,5 cm si a) Se trata de un electrón. b) Es un protón. a) ∆𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 ∗ ∆𝒕 ∆𝒚 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟓 ∗ ∆𝒕 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 La aceleración, toda en el eje y será: 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝒒∗𝑬 𝒎 𝑷𝒂𝒓𝒂 ∆𝒚 = 𝟎 ; ∆𝒙 = 𝟎.𝟎𝟏𝟓 De la primera; ∆𝒕 = ∆𝒙 𝒗𝒐∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 Substituyendo en la segunda con ∆𝒚 = 𝟎 𝟎 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟑𝟓 ∗ ∆𝒙 𝒗𝒐∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝒒∗𝑬 𝒎 ∗ ( ∆𝒙 𝒗𝒐∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 ) 𝟐 𝑬 = 𝟐∗𝒎 𝒒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 ∆𝒙 ∗ 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐∗𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 𝟎.𝟎𝟏𝟓 ∗ (𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔) 𝟐 = 𝟑𝟐𝟏𝟎 𝑵/𝑪 b) Con los mismos pasos: c) 𝑬 = 𝟐∗𝒎 𝒒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 ∆𝒙 ∗ 𝒗𝒐 𝟐 = 𝟐∗𝟏.𝟔𝟕∗𝟏𝟎−𝟐𝟕 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟓∗𝒄𝒐𝒔𝟑𝟓 𝟎.𝟎𝟏𝟓 ∗ (𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔) 𝟐 𝑬 = 𝟓.𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝑪 49. Un electrón parte de la posición indicada en la figura con una velocidad inicial vo=5 106 m/s formando un ángulo de 45º con el eje x. El campo eléctrico tiene la dirección y positiva y su magnitud es de 3,5 103 N/C. ¿Sobre cuál placa y en qué lugar chocará el electrón? El movimiento viene dado por: d) ∆𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 ∗ ∆𝒕 ∆𝒚 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓 ∗ ∆𝒕 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 La dirección estará dirigida en el sentido del eje y negativo, su valor: 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ; 𝒂 = 𝒒∗𝑬 𝒎 El choque puede ser en la placa superior o inferior. Miramos en qué punto se encuentra el electrón al cambiar de sentido en el eje y: En el eje y: 𝒗𝒚 𝟐 − 𝒗𝒐𝒚 𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚 ; 𝟎 − 𝒗𝒐 𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝟒𝟓 = −𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚 ∆𝒚 = 𝒗𝒐 𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝟐𝟒𝟓 𝟐∗ 𝒒∗𝑬 𝒎 = 𝒗𝒐 𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝟐𝟒𝟓∗𝒎 𝟐∗𝒒∗𝑬 = (𝟓∗𝟏𝟎𝟔)𝟐∗𝒄𝒐𝒔𝟐𝟒𝟓∗𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 𝟐∗𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗∗𝟑.𝟓∗𝟏𝟎𝟑 = 𝟎.𝟎𝟏 𝒎 El electrón no llega a la placa superior. El choque en la inferior, ∆𝒚 = 𝟎: 𝟎 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒔𝒊𝒏𝟒𝟓 ∗ ∆𝒕 − 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 ∆𝒕 = 𝟐∗𝒗𝒐∗𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 𝒂
- 22. Substituyendo en la primera: ∆𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓 ∗ 𝟐∗𝒗𝒐∗𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓 𝒒∗𝑬 𝒎 = 𝟐∗𝒗𝒐 𝟐∗𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓∗𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓∗𝒎 𝒒∗𝑬 ∆𝒙 = 𝟐∗(𝟓∗𝟏𝟎𝟔) 𝟐 ∗𝒔𝒆𝒏𝟒𝟓∗𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓∗𝟗.𝟏𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗∗𝟑.𝟓∗𝟏𝟎𝟑 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟏 𝒎 50. Un electrón cuya energía cinética es 2 10-16 J se mueve hacia la derecha a lo largo del eje de un tubo de rayos catódicos como se indica en la figura. En la región comprendida entre las placas deflectoras existe un campo eléctrico de valor E = (2 1014 N/C) j. En cualquier otro sitio E=0. a) ¿A qué distancia del eje del tubo se encuentra el electrón cuando alcanza el extremo de las placas? b) ¿Bajo qué ángulo respecto al eje se mueve el electrón? c) ¿A qué distancia del eje se encuentra el electrón cuando choca contra la pantalla fluorescente? a) 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝒒∗𝑬 𝒎 ∆𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ ∆𝒕; ∆𝒕 = ∆𝒙 𝒗𝒐 = ∆𝒙 √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 ∆𝒚 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝒒∗𝑬 𝒎 ∗ ∆𝒙𝟐∗𝒎 𝟐∗𝑬𝒄 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝒒∗𝑬∗∆𝒙𝟐 𝑬𝒄 ∆𝒚 = 𝟏 𝟒 ∗ 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎𝟒∗𝟎.𝟎𝟒𝟐 𝟐∗𝟏𝟎−𝟏𝟔 = 𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟒 𝒎 Por tanto, se encuentra 0,0064 m por debajo del eje del tubo. b) 𝒗𝒚 = 𝒂 ∗ ∆𝒕 = 𝒒∗𝑬 𝒎 ∗ ∆𝒙 √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 = 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎𝟒 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 ∗ 𝟎.𝟎𝟒 √𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟏𝟔 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 = 𝟔.𝟕𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝒎/𝒔 𝒕𝒈𝜶 = 𝒗𝒐𝒚 𝒗𝒐𝒙 ; 𝜶 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( 𝟔.𝟕𝟏 √𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟏𝟔 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 ) = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝟎.𝟑𝟐) = 𝟏𝟕.𝟖º Dirigido hacia abajo del eje del tubo. c) ∆𝒙 = 𝒗𝒐 ∗ ∆𝒕; ∆𝒕 = ∆𝒙 𝒗𝒐 = ∆𝒙 √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 = 𝟎.𝟏𝟐 √𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟏𝟔 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 = 𝟓.𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝒔 ∆𝒚 = 𝒗𝒐𝒚 ∗ ∆𝒕 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒕𝟐 = 𝒒∗𝑬 𝒎 ∗ ∆𝒙𝟏 √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 ∗ ∆𝒙𝟐 √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝒒∗𝑬 𝒎 ∗ ( ∆𝒙𝟐 √ 𝟐∗𝑬𝒄 𝒎 ) 𝟐 ∆𝒚 = 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎𝟒 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 ∗ 𝟎.𝟎𝟒 √𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟏𝟔 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 ∗ 𝟓. 𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 + 𝟏 𝟐 ∗ 𝟎.𝟎𝟒 √𝟐∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟏𝟔 𝟗.𝟏∗𝟏𝟎−𝟑𝟏 ∗ (𝟓.𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟗) 𝟐 ∆𝒚 = 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟒 𝒎
- 23. La posición por debajo del eje será: 𝒚 = 𝟎.𝟎𝟎𝟔𝟒 + 𝟎. 𝟎𝟑𝟖𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟒𝟖 𝒎 Dipolos eléctricos 51. Dos cargas puntuales q1 = 2,0 pC y q2 = -2,0 pC están separadas a una distancia de 4 µm. a) ¿Cuál es el momento dipolar de este par de cargas? b) Hacer un dibujo del par e indicar la dirección y sentido del momento dipolar. a) 𝒑 = 𝒒 ∗ 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟖 𝑪 𝒎 b) 52. Un dipolo de momento 0,5 e nm se coloca en el interior de un campo eléctrico uniforme de valor 4,0 104 N/C. ¿Cuál es el valor del momento ejercido sobre el dipolo cuando a) El dipolo es paralelo al campo eléctrico. b) El dipolo es perpendicular al campo eléctrico. c) El dipolo forma un ángulo de 30º con el campo eléctrico. d) Determinar la energía potencial del dipolo en el campo eléctrico en cada caso. a) 𝝉 ⃗ = 𝒑 ⃗ ⃗ 𝑿 𝑬 ⃗⃗ 𝝉 = 𝒑 ∗ 𝑬 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝝉 = 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟎 = 𝟎 b) 𝝉 = 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟗𝟎 = 𝟑. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑵 𝒎 c) 𝝉 = 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎 = 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑵 𝒎 d) 𝑬𝒑 = −𝒑 ⃗ ⃗ ∗ 𝑬 ⃗⃗ = −𝒑 ∗ 𝑬 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑬𝒑(𝟎º) = −𝟎.𝟓 ∗ 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟎 = −𝟑.𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑱 𝑬𝒑(𝟗𝟎) = −𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒.𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟗𝟎 = 𝟎 𝑱 𝑬𝒑(𝟑𝟎) = −𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒.𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎 = −𝟐.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟒 𝑱 53. El campo eléctrico de un dipolo orientado a lo largo del eje x decrece en la forma 1/x3 en la dirección x y en la forma 1/y3 en la dirección y. Mediante el análisis dimensional demostrar que en cualquier dirección el campo lejos del dipolo disminuye en la forma 1/r3 . La dimensión del campo eléctrico cumplirá: [𝑬] = [𝒌∗𝑸] [𝑳𝟐] La dimensión del momento dipolar será: [𝒑] = [𝑸] ∗ [𝑳] La dimensión de la carga será: [𝑸] = [𝒑] [𝑳] Substituyendo en la dimensión del campo: [𝑬] = [𝒌]∗ [𝒑] [𝑳] [𝑳𝟐] = [𝒌]∗[𝒑] [𝑳𝟑]
- 24. 54. Una molécula de agua tiene su átomo de oxígeno en el origen, un núcleo de hidrógeno en x=0,077 nm, y=0,058 nm y el otro núcleo de hidrógeno en x=-0,077 nm, y=0,058 nm. Si los electrones del hidrógeno se transfieren completamente al átomo de oxígeno de modo que éste adquiere una carga de – 2 e, ¿Cuál será el momento dipolar de la molécula de agua? Esta caracterización de los enlaces químicos del agua como totalmente iónicos es una aproximación que sobreestima el momento dipolar de una molécula de agua. Por simetría: 𝒑𝒙 = 𝟎 En el eje y: 𝒑𝒚 = 𝒒 ∗ 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝒆 ∗ 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝟏,𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟗 ∗ 𝟎.𝟎𝟓𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟏.𝟖𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟗 𝑪 𝒎 55. Un dipolo eléctrico se compone de dos cargas +q y -q separadas a una distancia muy pequeña 2ª. Su centro está en el eje x en x=x1 y a lo largo del mismo hacia los valores positivos de las x. El dipolo está en el interior de un campo eléctrico no uniforme que tiene también la dirección x dada por E=C x i, siendo C una constante. a) Hallar la fuerza ejercida sobre la carga positiva y la ejercida sobre la carga negativa y demostrar que la fuerza neta sobre el dipolo es C p i. b) Demostrar que, en general, si un dipolo de momento p está sobre el eje x en un campo eléctrico que tiene la dirección x, la fuerza neta sobre el dipolo viene dada aproximadamente por ( 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝒙 ) 𝒑 𝒊 . a) 𝑭 ⃗ ⃗ −𝒒 = −𝒒 ∗ 𝑬 ⃗⃗ = −𝒒 ∗ 𝑪 ∗ (𝒙𝟏 − 𝒂) ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ 𝒒 = 𝒒 ∗ 𝑬 ⃗⃗ = 𝒒 ∗ 𝑪 ∗ (𝒙𝟏 + 𝒂) ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑭 ⃗ ⃗ −𝒒 + 𝑭 ⃗ ⃗ 𝒒 = (−𝒒 ∗ 𝑪 ∗ (𝒙𝟏 − 𝒂) + 𝒒 ∗ 𝑪 ∗ (𝒙𝟏 + 𝒂)) ∗ 𝒊 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒒 ∗ 𝑪 ∗ 𝒊 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝑪 ∗ 𝒑 ∗ 𝒊 Donde 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒒 = 𝒑 b) 𝑭 ⃗ ⃗ = − 𝒅𝑼 𝒅𝒙 ∗ 𝒊 = − 𝒅 𝒅𝒙 (−𝒑𝒙 ∗ 𝑬𝒙) ∗ 𝒊 = 𝒑𝒙 ∗ 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝒙 ∗ 𝒊 56. Una carga puntual positiva +Q está en el origen y un dipolo de momento p está a una distancia r teniendo una dirección radial respecto al origen, según se ve en la figura. a) Demostrar que la fuerza ejercida por el campo eléctrico de la carga puntual sobre el dipolo es atractiva con un valor aproximado de 𝟐𝒌𝑸𝒑/𝒓𝟑 (ver problema 55). b) Considerar ahora que el dipolo está en el origen y que una carga puntual Q está a una distancia r sobre la línea del dipolo. A partir del resultado de la parta (a) y la tercera ley de Newton, demostrar que el valor del campo eléctrico del dipolo a lo largo de la línea del dipolo y a una distancia r del mismo es aproximadamente 𝟐𝒌𝒑/𝒓𝟑 .
- 25. a) 𝑭 ⃗ ⃗ = − 𝒅𝑼 𝒅𝒓 ∗ 𝒓 ⃗ |𝒓| 𝑼 = −𝒑 ∗ 𝑬 = −𝒑 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 𝑭 ⃗ ⃗ = − 𝒅 𝒅𝒓 (−𝒑 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 ) ∗ 𝒓 ⃗ |𝒓| = − 𝟐∗𝒌∗𝑸∗𝒑 𝒓𝟑 ∗ 𝒓 ⃗ |𝒓| b) Por la tercera ley de Newton: 𝑭 ⃗ ⃗ 𝑸 = −𝑭 ⃗ ⃗ 𝑭𝑸 = 𝑸 ∗ 𝑬 = 𝟐∗𝒌∗𝑸∗𝒑 𝒓𝟑 ;𝑬 = 𝟐𝒌∗𝒑 𝒓𝟑 57. Un cuadripolo consta de dos dipolos próximos entre sí como indica la figura. La carga eléctrica en el origen e -2 q y las otras dos cargas sobre el eje y en y=a e y = -a valen cada una +q. a) Hallar el valor del campo eléctrico en un punto sobre el eje x a gran distancia de manera que x≫ 𝒂. b) Hallar el valor del campo eléctrico en un punto sobre el eje y de tal modo que y≫a. a) Para un punto cualquiera en el que r ≫ 𝒂: 𝑬−𝟐𝑸 = − 𝒌 ∗ 𝟐∗𝒒 𝒓𝟐 Para las cargas +q, dada la condición r ≫ 𝒂 . 𝑬+𝒒 = 𝒌 ∗ 𝒒 𝒓𝟐+𝒂𝟐 El campo resultante en el punto a una distancia r del origen será: 𝑬𝒓 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ ( 𝒓 (𝒓𝟐+𝒂𝟐) 𝟑 𝟐 − 𝟏 𝒓𝟐) Sacamos factor común el término 1/r2 : 𝑬𝒓 = 𝟐∗𝒌∗𝒒 𝒓𝟐 ∗ ((𝟏 + 𝒂𝟐 𝒓𝟐 ) 𝟑 𝟐 − 𝟏) Para 𝒂𝟐 𝒓𝟐 ≫ 𝟏 , tenemos: (𝟏 + 𝒂𝟐 𝒓𝟐 ) 𝟑 𝟐 ≈ 𝟏 − 𝟑 𝟐 ∗ 𝒂𝟐 𝒓𝟐 Con esto queda: 𝑬𝒓 = − 𝟐∗𝒌∗𝒒 𝒓𝟐 ∗ 𝟑 𝟐 ∗ 𝒂𝟐 𝒓𝟐 = − 𝟑∗𝒌∗𝒒∗𝒂𝟐 𝒓𝟒 Para un punto del eje x, r=x : 𝑬𝒙 = − 𝟑∗𝒌∗𝒒∗𝒂𝟐 𝒙𝟒
- 26. b) Para un punto del eje y, todo el campo será según el eje y. 𝑬𝒚 = −𝟐∗𝒌∗𝒒 𝒚𝟐 + 𝒌∗𝒒 (𝒚𝟐−𝒂𝟐)𝟐 + 𝒌∗𝒒 (𝒚𝟐+𝒂𝟐)𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ ( −𝟏 𝒚𝟐 + 𝟏 (𝒚𝟐−𝒂𝟐)𝟐 + 𝟏 (𝒚𝟐+𝒂𝟐)𝟐 ) Operando con el término entre paréntesis obtenemos: 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ ( 𝟔∗𝒚𝟐∗𝒂𝟐−𝟐∗𝒂𝟒 𝒚𝟐∗(𝒚𝟐−𝒂𝟐)𝟐∗(𝒚𝟐+𝒂𝟐)𝟐 ) Aplicando y ≫a : 𝒚𝟐 ∗ (𝒚𝟐 − 𝒂𝟐) 𝟐 ∗ (𝒚𝟐 + 𝒂𝟐) 𝟐 = 𝒚𝟔 𝟔 ∗ 𝒚𝟐 ∗ 𝒂𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟒 ≈ 𝟔 ∗ 𝒚𝟐 ∗ 𝒂𝟐 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ ( 𝟔∗𝒚𝟐∗𝒂𝟐 𝒚𝟔 ) = 𝟔∗𝒌∗𝒒∗𝒂𝟐 𝒚𝟒 Problemas generales 58. Un cuerpo aislante cargado y un metal descargado a) Siempre se repelen entre sí. b) No ejercen fuerzas electrostáticas del uno al otro. c) Siempre se atraen entre sí. d) Pueden atraerse o repelerse según el signo de la carga del aislante. El cuerpo cargado induce separación de cargas en el metal, esto produce atracción entre ellos, por tanto, c es correcta. 59. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Una carga positiva experimenta una fuerza electrostática atractiva hacia un conductor neutro próximo. b) Una carga positiva no experimenta fuerzas electrostáticas en las proximidades de un conductor neutro. c) Una carga positiva experimenta una fuerza repulsiva, alejándose de un conductor próximo. d) Cualquiera que sea la fuerza sobre una carga positiva próxima a un conductor neutro, la fuerza sobre una carga negativa estará dirigida en sentido opuesto. e) Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta. En el conductor se induce una separación de cargas, como consecuencia se produce atracción. Respuesta a. 60. ¿Cuál (si lo hay) de los diagramas representados en la figura representa mejor un dipolo eléctrico?
- 27. El diagrama d. El campo en la región entre las cargas es mas intenso que en la zona exterior a ellas. 61. Una molécula de momento dipolar eléctrico p está orientada de modo que p forma un ángulo ϴ con un campo eléctrico uniforme E. El dipolo puede moverse libremente en respuesta a la fuerza ejercida por el campo. Describir el movimiento del dipolo. Supongamos que el campo eléctrico no es uniforme y es mayor en la dirección x. ¿Cómo se modificará el movimiento? En un campo uniforme el dipolo experimenta un momento de rotación de valor p*senϴ sobre el eje x. Para ángulos pequeños su movimiento alrededor del eje x será m.v.h.s. Como el campo no es uniforme y es más grande en la dirección x, la fuerza que actúa sobre la carga positiva del dipolo (en la dirección de x creciente) será mayor que la fuerza que actúa sobre la carga negativa del dipolo (en la dirección de x decreciendo) y por lo tanto habrá una fuerza eléctrica neta sobre el dipolo en la dirección de x aumentando. Por lo tanto, el dipolo acelerará en la dirección x mientras oscila alrededor de θ = 0. 62. Verdadero o falso. a) El campo eléctrico de una carga puntual tiene un sentido siempre de alejamiento de la carga. b) Todas las cargas macroscópicas Q pueden escribirse en la forma Q=± 𝑵𝒆, en donde N es un número entero y e es la carga del electrón. c) Las líneas de campo eléctrico nunca divergen desde un punto del espacio. d) Las líneas de campo eléctrico nunca pueden cortarse en un punto del espacio. e) Todas las moléculas poseen momentos dipolares eléctricos en presencia de un campo eléctrico externo. a) Falso, las cargas eléctricas son “sumideros” de campo, las líneas son entrantes en ellas. b) Correcto, la carga está cuantizada, siendo su menor valor la carga del electrón. c) Falso, las cargas positivas son origen de líneas de campo. d) Verdadero. e) Verdadero, el campo eléctrico externo altera la posición de la nube electrónica en su dirección y sentido contrario a él, lo que produce un momento dipolar en la molécula. 63. Una pequeña bola no conductora y sin carga neta se suspende de un hilo. Si aproximamos a la bola una carga positiva, la bola es atraída hacia la carga. ¿A qué se debe esta atracción? ¿Qué ocurrirá si la carga que se aproxima es negativa? La carga induce una polaridad en las moléculas de la bola del péndulo, esto crea una atracción entre la carga y el péndulo, tanto si la carga es positiva o negativa. 64. Dos bolas metálicas poseen cargas +q y -q. Explicar como se modificará la fuerza que actúa sobre una de ellas a) Si, permaneciendo invariable la distancia que les separa, se introducen en agua. b) Si una tercera bola metálica cargada se interpone entra las dos primeras. Razonar las repuestas. a) El campo creado por las bolas induce una polarización de las moléculas de agua, lo que crea un campo inducido de sentido contrario al del campo creado por las bolas, el campo resultante de los dos será menor que el inicial, así que la fuerza entre ellas será menor en el interior de agua.
- 28. b) En este caso la fuerza será mayor, dado que sobre las bolas metálicas será la de la otra bola y la de la bola cargada. Si la bola metálica no estuviera cargada también aumentaría la fuerza, dado que sobre la bola central se induce separación de cargas y esto hace aumentar la fuerza sobre las bolas iniciales. 65. Una bola metálica está positivamente cargada. ¿es posible que atraiga a otra bola también cargada positivamente? Razonar la respuesta. A una bola neutra si, debido a que induce un dipolo en ella. A una bola cargada positivamente podría inducir una separación de cargas en su interior si el campo inducido fuera mayor que el campo inicial entre las dos bolas podría haber atracción. 66. En el espacio interestelar dos objetos cargados casi puntuales, cada uno de masa m y carga q, están separados por una distancia d y se dejan en libertad de movimiento. A esta distancia permanecen inmóviles. Determinar una expresión para q en función de m, G y k. 𝑮 ∗ 𝒎𝟐 𝒅𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒅𝟐 ; 𝒒 = 𝒎 ∗ √ 𝑮 𝒌 67. Tres cargas puntuales de -5,0 µC, +3,0 µC y +5,0 µC están localizadas a lo largo deleje x en x=-1,0 cm, c=0 y c=+1,0 cm, respectivamente. Calcular el campo eléctrico en x=3,0 cm y en x= 15,0 cm. ¿Existe algún punto sobre el eje x en donde la magnitud del campo eléctrico sea cero? Localizar dicho punto. 𝑬𝟏𝒙 = − 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝒅𝟏 𝟐 𝑬𝟐𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒅𝟐 𝟐 𝑬𝟑𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟑 𝒅𝟑 𝟐 𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ ( 𝒒𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 + 𝒒𝟑 𝟐 𝒙𝟑 𝟐 − 𝒒𝟏 𝟐 𝒙𝟏 𝟐) 𝑬𝒙(𝟎, 𝟎𝟑 𝒎) = 𝒌 ∗ ( 𝒒𝟐 𝒅𝟐 𝟐 + 𝒒𝟑 𝒅𝟑 𝟐 − 𝒒𝟏 𝒅𝟏 𝟐) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ ( 𝟑,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟎𝟑𝟐 + 𝟓,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟎𝟐𝟐 − 𝟓,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟎𝟒𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟎, 𝟎𝟑 𝒎) = 𝟏.𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟖 𝑵/𝑪
- 29. 𝑬𝒙(𝟎, 𝟏𝟓 𝒎) = 𝒌 ∗ ( 𝒒𝟐 𝒅𝟐 𝟐 + 𝒒𝟑 𝒅𝟑 𝟐 − 𝒒𝟏 𝒅𝟏 𝟐) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ ( 𝟑,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟏𝟓𝟐 + 𝟓,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟏𝟒𝟐 − 𝟓,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟏𝟔𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟎, 𝟏𝟓 𝒎) = 𝟏.𝟕𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝑪 El punto donde se anule el campo ha de estar en la parte negativa del eje x, en un punto más allá de -1 cm o en un punto de x positivo entre las cargas 2 y 3. En el primer caso, con x en valor absoluto, y las distancias en cm, las cargas también en valor absoluto: 𝑬𝟏 = 𝑬𝟐 + 𝑬𝟑 𝒒𝟏 (𝒙−𝟏)𝟐 = 𝒒𝟐 (𝒙)𝟐 + 𝒒𝟑 (𝒙+𝟏)𝟐 𝟓 (𝒙−𝟏)𝟐 = 𝟑 (𝒙)𝟐 + 𝟓 (𝒙+𝟏)𝟐 Operando obtenemos: 𝟐𝟎 ∗ 𝒙𝟑 = 𝟑 ∗ 𝒙𝟒 − 𝟔 ∗ 𝒙𝟐 + 𝟑 Resolviendo: 𝒙 = 𝟔, 𝟗𝟓 𝒄𝒎 ;𝒑𝒐𝒓 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒙 = −𝟔,𝟗𝟓 𝒄𝒎 Para el punto entre las cargas 2 y 3: 𝟓 (𝟏−𝒙)𝟐 + 𝟓 (𝒙+𝟏)𝟐 = 𝟑 (𝒙)𝟐 Operando y resolviendo: 𝒙 = 𝟎, 𝟒𝟏𝟕 𝒄𝒎 68. Para la distribución de carga del problema 67, determinar el campo eléctrico en x=15,0 cm como el vector suma del campo eléctrico debido aun dipolo formado por las dos cargas de 5,0 µC y una carga puntual de 3,0 µC, ambos localizados en el origen. Comparar el resultado con el obtenido en el problema 67 y explicar cualquier diferencia entre ambos. 𝑬𝒅𝒊𝒑𝒐𝒍𝒐 = 𝟐∗𝒌∗𝒑 𝒙𝟑 = 𝟐∗𝒌∗𝒒𝟏∗𝒂 𝒙𝟑 𝑬𝟑 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝒙𝟐 𝑬 = 𝑬𝒅𝒊𝒑𝒐𝒍𝒐 + 𝑬𝟑 = 𝟐∗𝒌∗𝒒𝟏∗𝒂 𝒙𝟑 + 𝒌∗𝒒𝟐 𝒙𝟐 = 𝒌 𝒙𝟐 ∗ ( 𝟐∗𝒒𝟏∗𝒅 𝒙 + 𝒒𝟐) 𝒅 = 𝟎. 𝟎𝟐 𝒎
- 30. 𝑬 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 𝟎.𝟏𝟓𝟐 ∗ ( 𝟐∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟎𝟐 𝟎.𝟏𝟓 + 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔) = 𝟏. 𝟕𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵 𝑪 𝑳𝒐𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒔𝒐𝒏 𝒃𝒂𝒔𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒊𝒎𝒊𝒍𝒂𝒓𝒆𝒔. Esto similitud se dará siempre que la distancia x sea bastante mayor que d. 69. En el cobre existe aproximadamente un electrón libre por cada átomo. Una moneda de cobre posee una masa de 3 g. a) ¿Qué porcentaje de la carga libre debería extraerse de la moneda para que ésta adquiriese una carga de 15 µC? b) ¿Cuál sería la fuerza de repulsión entre dos monedas que portaran esta carga si estuvieran separadas una distancia de 25 cm? Suponer que las monedas son cargas puntuales. a) 𝒇 = 𝒏𝒆 𝑵 𝑵 𝑵𝑨 = 𝒎 𝑴 ; 𝑵 = 𝑵𝑨 ∗ 𝒎 𝑴 𝑸 = 𝒏𝒆 ∗ 𝒆 ; 𝒏𝒆 = 𝑸 𝒆 Substituyendo: 𝒇 = 𝑸 𝒆 𝑵𝑨∗ 𝒎 𝑴 = 𝑸∗𝑴 𝑵𝑨∗𝒆∗𝒎 = 𝟏𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟔𝟑,𝟓 𝟔.𝟎𝟐∗𝟏𝟎𝟐𝟑∗𝟏,𝟔∗𝟏𝟎−𝟏𝟗∗𝟑 = 𝟑,𝟐𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ;𝟑, 𝟐𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 % b) 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒅𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ (𝟏𝟓∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 𝟎.𝟐𝟓𝟐 = 𝟑𝟐,𝟒 𝑵 70. Dos cargas q1 y q2, dan una carga total de 6 µC cuando se combinan. Cuando están separadas 3 m la fuerza ejercida por una carga sobre la otra tiene un valor de 8 mN. Hallar q1 y q2 si a) Ambas son positivas de modo que se repelen entre sí. b) Una es positiva y la otra es negativa de modo que se atraen entre sí. a) 𝒒𝟏 + 𝒒𝟐 = 𝑸 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒅𝟐 𝒒𝟏 = 𝑸 − 𝒒𝟐 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐∗( 𝑸−𝒒𝟐) 𝒅𝟐 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝑸 ∗ 𝒒𝟐 − 𝒒𝟐 𝟐 ; 𝒒𝟐 𝟐 − 𝑸 ∗ 𝒒𝟐 + 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝟎 Substituyendo: 𝒒𝟐 𝟐 − 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟐 + 𝟎.𝟎𝟎𝟖∗𝟗 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟎 𝒒𝟐 𝟐 − 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟐 + 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟎 𝒒𝟐 = 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝒚 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 Por tanto, las cargas son 4*10-6 C y 2*10-6 C. b) 𝒒𝟏 − 𝒒𝟐 = 𝑸 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝒅𝟐 𝒒𝟏 = 𝑸 + 𝒒𝟐 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐∗( 𝑸+𝒒𝟐) 𝒅𝟐 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝑸 ∗ 𝒒𝟐 + 𝒒𝟐 𝟐 ; 𝒒𝟐 𝟐 + 𝑸 ∗ 𝒒𝟐 − 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝟎 𝒒𝟐 𝟐 + 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟐 − 𝟎.𝟎𝟎𝟖∗𝟗 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟎 𝒒𝟐 𝟐 + 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟐 − 𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟎 𝒒𝟐 = 𝟕. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 ; 𝒒𝟏 = −𝟏, 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪
- 31. 71. Tres cargas, +q, + 2 q y +4 q, están conectadas por cuerdas del modo indicado en la figura. Determinar las tensiones T1 y T2. 𝑻𝟏 = 𝒌 ∗ 𝟐∗𝒒𝟐 𝒅𝟐 + 𝒌 ∗ 𝟒∗𝒒𝟐 𝟒∗𝒅𝟐 = 𝟑 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒅𝟐 𝑻𝟏 = 𝒌 ∗ 𝟒∗𝒒𝟐 𝟒∗𝒅𝟐 + 𝒌 ∗ 𝟖∗𝒒𝟐 𝒅𝟐 = 𝟗 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒅𝟐 72. Una carga positiva q ha de dividirse en dos cargas positivas q1 y q2. Demostrar que, para una separación dada D, la fuerza ejercida por una carga sobre la otra es máxima si q1=q2=1/2Q, 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑫𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗(𝑸−𝒒𝟏) 𝑫𝟐 𝒅𝑭 𝒅𝒒𝟏 = 𝒌 𝑫𝟐 ∗ ((𝑸 − 𝒒𝟏) − 𝒒𝟏) = 𝒌 𝑫𝟐 ∗ (𝑸 − 𝟐 ∗ 𝒒𝟏) Para un máximo, derivada((𝑸 − 𝟐 ∗ 𝒒𝟏)) = 𝟎 : 𝒒𝟏 = 𝑸/𝟐 Para ver si es máximo hacemos la segunda derivada: 𝒅𝟐𝑭 𝒅𝒒𝟏 𝟐 = 𝒌 𝑫𝟐 ∗ (−𝟐) < 𝟎 ; estamos en un máximo, independientemente del valor de q1, 73. Una carga Q esta localizada en x=0 y otra 4 Q se encuentra en x= 12,0 cm. La fuerza ejercida sobre una carga de – 2 µ C es cero si ésta se encuentra en x = 4,0 cm y es 126,4 N en la dirección positiva de s si se sitúa en x = 8,0 cm. Determinar la carga Q. En x= 0,08 cm 𝟏𝟐𝟔,𝟒 = 𝑭(𝟒𝑸) − 𝑭(𝑸) = 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟒 𝟎.𝟎𝟒𝟐 − 𝟏 𝟎.𝟎𝟖𝟐 ) 𝑸 = 𝟏𝟐𝟔,𝟒 𝒌∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔∗( 𝟒 𝟎.𝟎𝟒𝟐− 𝟏 𝟎.𝟎𝟖𝟐) = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 74. Dos pequeñas esferas (cargas puntuales) separadas por una distancia de 0,60 m transportan una carga total de 200 µC. a) Si las dos esferas se repelen entre sí con una fuerza de 80 N, ¿Cuáles son las cargas sobre las dos esferas? b) Si las dos esferas se atraen mutuamente comuna fuerza de 80 N, ¿Cuáles son las cargas sobre las dos esferas? a) 𝒒𝟏 + 𝒒𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝟖𝟎 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝟎.𝟔𝟎𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗(𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟔−𝒒𝟏) 𝟎.𝟔𝟎𝟐 𝟖𝟎∗𝟎.𝟔𝟎𝟐 𝒌 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 − 𝒒𝟏 𝟐 𝒒𝟏 𝟐 − 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 + 𝟖𝟎∗𝟎.𝟔𝟎𝟐 𝒌 = 𝟎 𝒒𝟏 𝟐 − 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 + 𝟑.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟎 Las dos soluciones son: 𝒒𝟏 = 𝟏,𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝒚 𝟏,𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 Para q2 obtenemos en el primer caso 𝟏,𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 C y en el segundo 𝟏,𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 C. b) En este caso: 𝒒𝟏 − 𝒒𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔
- 32. 𝟖𝟎 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝟎.𝟔𝟎𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗(𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟔+𝒒𝟏) 𝟎.𝟔𝟎𝟐 𝟖𝟎∗𝟎.𝟔𝟎𝟐 𝒌 = 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 + 𝒒𝟏 𝟐 𝒒𝟏 𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 − 𝟖𝟎∗𝟎.𝟔𝟎𝟐 𝒌 = 𝟎 𝒒𝟏 𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 − 𝟑.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟎 𝒒𝟏 = + 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝒚 − 𝟐,𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 C 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒒𝟐 𝒐𝒃𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 ∶ 𝒒𝟐 = − 𝟐,𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝒚 + 𝟏,𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 También servirá como solución: 𝒒𝟏 = − 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝒚 + 𝟐, 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 C 𝒒𝟐 = + 𝟐,𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝒚 − 𝟏,𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 75. Una bola de carga conocida q y masa desconocida m, inicialmente en reposo, cae libremente desde una altura en un campo eléctrico uniforme E dirigido verticalmente hacia abajo. La bola choca contra el suelo a una velocidad 𝒗 = 𝟐√𝒈𝒉. Determinar m en función de E, q y g. Dependiendo del signo de la carga podríamos tener la fuerza eléctrica hacia abajo o hacia arriba. Como la velocidad final dada es mayor que la que tendría en caída libre hemos de suponer que la fuerza eléctrica está dirigida hacia abajo. La carga será positiva. 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒂 ;𝒂 = 𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬 𝒎 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒓𝒑𝒐 𝒄𝒐𝒎 𝒎.𝒓.𝒖. 𝒂: 𝒗𝟐 = 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ ∆𝒚 ;𝟒 ∗ 𝒈 ∗ 𝒉 = 𝟐 ∗ 𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬 𝒎 ∗ 𝒉 𝟐 ∗ 𝒈 ∗ 𝒎 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒒 ∗ 𝑬 𝒎 = 𝑬∗𝒒 𝒈 76. Dos cargas de 3,0 µC están localizadas en x=0, y=2,0 m y en x=0, y=-2,0 m. Otras dos cargas q están localizadas en x = 4,0 m, y =2,0 m y en x= 4,0 m, y = -2,0 m (figura). El campo eléctrico en x=0, y=0 es (4,0 103 N/C) i. Determinar Q. 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 (𝟒𝟐+𝟐𝟐) ∗ 𝟒 √𝟒𝟐+𝟐𝟐 = 𝟒,𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑
- 33. 𝑸 = 𝟒,𝟎∗𝟏𝟎𝟑∗(𝟒𝟐+𝟐𝟐) 𝟑/𝟐 𝟖∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟒.𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 Como el campo creado por las cargas Q está dirigido hacia la derecha, su signo ha de ser negativo. 𝑸 = −𝟒.𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 C 77. Dos pequeños conductores esféricos (cargas puntuales) idénticos separados 0,60 m, transportan una carga total de 200 µC. Se repelen mutuamente con una fuerza de 120 N. a) Determinar la carga sobre cada esfera. b) Las dos esferas se ponen en contacto eléctrico y luego se separan de modo que cada una transporta 100 µC. Determinar la fuerza ejercida por una esfera sobre la otra cuando la separación es de 0,60 m. a) Las dos cargas son del mismo signo. 𝑸 = 𝒒𝟏 + 𝒒𝟐 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗(𝑸−𝒒𝟏) 𝒅𝟐 ; 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝑸 ∗ 𝒒𝟏 − 𝒒𝟏 𝟐 𝒒𝟏 𝟐 − 𝑸 ∗ 𝒒𝟏 + 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝟎 𝒒𝟏 𝟐 − 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 + 𝟒. 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟎 𝒒𝟏 = 𝟏. 𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑪 𝒚 𝟐.𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 Los valores para q2 son: 𝒒𝟐 = 𝟐. 𝟖𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 y 𝟏. 𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑪 respectivamente. b) 𝑭 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ (𝟏𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 𝟎.𝟔𝟎𝟐 = 𝟐𝟓𝟎 𝑵 78. Repetir el problema 77 para el caso en que las dos esferas se atraen inicialmente una a la otra con una fuerza de 120 N En este caso las cargas son de signo diferente. Si la uno es positiva y la 2 negativa. 𝑸 = 𝒒𝟏 − 𝒒𝟐 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗(𝑸+𝒒𝟏) 𝒅𝟐 ; 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝑸 ∗ 𝒒𝟏 + 𝒒𝟏 𝟐 𝒒𝟏 𝟐 + 𝑸 ∗ 𝒒𝟏 − 𝑭∗𝒅𝟐 𝒌 = 𝟎 𝒒𝟏 𝟐 + 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝒒𝟏 − 𝟒. 𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟎 𝒒𝟏 = − 𝟐,𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 𝒚 + 𝟐. 𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝑪 𝒒𝟐 = 𝟐.𝟐𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 y −𝟐.𝟏𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 respectivamente. 79. Una carga de -3,0 µC está localizada en el origen; una segunda carga de 4,0 µC está localizada en x=0,2 m, y=0; y una tercera carga Q está situada en x=0,32 m, y=0. La fuerza que actúa sobre la carga de 40 µC es 240 N, en dirección x positiva. a) Determinar la carga Q. b) Con esta configuración de tres cargas. ¿en qué punto a lo largo de la dirección x el campo eléctrico se anula? a)
- 34. La carga Q ha de tener signo negativo. Considerando su valor absoluto: 𝟐𝟒𝟎 = 𝒌 ∗ 𝑸∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟏𝟐𝟐 − 𝒌 ∗ 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟐𝟐 𝟐𝟒𝟎 𝒌∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 = 𝑸 𝟎.𝟏𝟐𝟐 − 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟐𝟐 𝑸 = ( 𝟐𝟒𝟎 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 + 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟐𝟐 ) ∗ 𝟎. 𝟏𝟐𝟐 = 𝟗.𝟕𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 , signo negativo. b) Si miramos a la izquierda de la carga 1. En valores absolutos: 𝑬𝟐 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟑 𝒒𝟐 (𝒙+𝟎.𝟐)𝟐 = 𝒒𝟏 𝒙𝟐 + 𝒒𝟑 (𝟎.𝟑𝟐+𝒙)𝟐 𝟒 (𝒙+𝟎.𝟐)𝟐 = 𝟑 𝒙𝟐 + 𝟗𝟕.𝟐 (𝟎.𝟑𝟐+𝒙)𝟐 Soluciones: 𝒙 = −𝟎.𝟐𝟐 𝒚 − 𝟎.𝟏𝟕 𝒎 No tiene soluciones x positivas. En la región entre las cargas 1 y 2: 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 = 𝑬𝟑 𝒒𝟐 (𝟎.𝟐−𝒙)𝟐 + 𝒒𝟏 𝒙𝟐 = 𝒒𝟑 (𝟎.𝟑𝟐−𝒙)𝟐 𝟒 (𝟎.𝟐−𝒙)𝟐 + 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟗𝟕.𝟐 (𝟎.𝟑𝟐−𝒙)𝟐 Obtenemos cuatro soluciones, x=0,220, x=0,051, x=-0.072 y x= 0,169. Las soluciones dentro de la zona considerada son: 𝒙𝟏 = 𝟎,𝟎𝟓𝟏 𝒎 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟎,𝟏𝟔𝟗 𝒎 En la región entre 2 y 3: 𝑬𝟏 = 𝑬𝟐 + 𝑬𝟑 𝒒𝟏 𝒙𝟐 = 𝒒𝟐 (𝒙−𝟎.𝟐)𝟐 + 𝒒𝟑 (𝟎.𝟑𝟐−𝒙)𝟐 𝟑 𝒙𝟐 = 𝟒 (𝒙−𝟎.𝟐)𝟐 += 𝟗𝟕.𝟐 (𝟎.𝟑𝟐−𝒙)𝟐 Soluciones -0,065 7 0,045. Ninguna entre la zona considerada. En la zona a la derecha de la carga 3: 𝑬𝟐 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟑 𝒒𝟐 (𝒙−𝟎.𝟐)𝟐 = 𝒒𝟏 (𝒙)𝟐 + 𝒒𝟑 (𝒙−𝟎.𝟑𝟐)𝟐 𝟒 (𝒙−𝟎.𝟐)𝟐 = 𝟑 (𝒙)𝟐 + 𝟗𝟕.𝟐 (𝒙−𝟎.𝟑𝟐)𝟐 Las soluciones son x= 0,220 y x= 0,169, las dos fuera de la zona considerada. Por tanto, los únicos lugares donde el campo se anula son en 𝒙𝟏 = 𝟎, 𝟎𝟓𝟏 𝒎 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟎,𝟏𝟔𝟗 𝒎 . 80. Dos pequeñas esferas de masa m están suspendidas de un punto común mediante cuerdas de longitud L. Cuando cada una de las esferas transporta la carga q, cada cuerda forma un ángulo ϴ con la vertical como indica la figura. a) Demostrar que la carga q viene dada por 𝒒 = 𝟐 𝑳 𝒔𝒆𝒏𝜽 √ 𝒎 𝒈 𝒕𝒈𝜽 𝒌 En donde k es la constante de Coulomb. b) Determinar q si m = 10 g, L =50 cm y ϴ= 10º.
- 35. a) 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝟐∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 Despejando T de la segunda ecuación: 𝑻 = 𝒎∗𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Substituyendo en la primera: 𝒎∗𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝟐∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 𝒒 = 𝟐 ∗ 𝑳 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∗ √ 𝒎∗𝒈∗𝒕𝒂𝒏 𝜽 𝒌 b) 𝒒 = 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟓 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟎 ∗ √ 𝟎.𝟎𝟓𝟎∗𝟗.𝟖𝟏∗𝒕𝒂𝒏 𝟏𝟎 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟐.𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪 81. a) supongamos que en el problema 80, L=1,5 m, m=0,01 kg y q= 0,75 𝝁 𝑪. ¿Cuál es el ángulo que cada cuerda forma con la vertical? b) Determinar el ángulo que cada cuerda forma con la vertical si una masa transporta una carga de 0,50 µC y la otra una carga de 1,0 µC. a)
- 36. 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝟐∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 Despejando T de la segunda ecuación: 𝑻 = 𝒎∗𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 Substituyendo en la primera: 𝒎∗𝒈 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝟐∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 𝒕𝒂𝒏 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝟒∗𝑳𝟐∗𝒎∗𝒈 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 √𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝟒∗𝑳𝟐∗𝒎∗𝒈 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝒌𝟐∗𝒒𝟒 𝟏𝟔∗𝑳𝟒∗𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = (𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗)𝟐∗(𝟎.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔)𝟒 𝟏𝟔∗𝟏.𝟓𝟒∗𝟎.𝟎𝟏𝟐∗𝟗.𝟖𝟏𝟐 = 𝟑.𝟐𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 Si consideramos que el ángulo ha de ser pequeño, en radianes 1-sen2 ϴ≈ 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 ≈ 𝟑.𝟐𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ;𝒔𝒆𝒏 𝜽 = √𝟑. 𝟐𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝟔 = 𝟎.𝟏𝟕𝟗 ; 𝜽 = 𝟏𝟎,𝟑º b) 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐 𝑻𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 𝑻𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 Dividiendo las ecuaciones para obtener tangentes, obtenemos: 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟏 = 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗𝒎∗𝒈 Como los ángulos sonb iguales aplicamos las deducciones del apartado a, y llegamos a: 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝒌𝟐∗𝒒𝟏 𝟐 ∗𝒒𝟐 𝟐 𝟏𝟔∗𝑳𝟒∗𝒎𝟐∗𝒈𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = (𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗)𝟐∗(𝟎.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔) 𝟐 ∗(𝟏,𝟎∗𝟏𝟎−𝟔)𝟐 𝟏𝟔∗𝟏.𝟓𝟒∗𝟎.𝟎𝟏𝟐∗𝟗.𝟖𝟏𝟐 = 𝟐.𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 Si consideramos que el ángulo ha de ser pequeño, en radianes 1-sen2 ϴ≈ 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 ≈ 𝟐.𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ;𝒔𝒆𝒏 𝜽 = √𝟐. 𝟓𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝟔 = 𝟎.𝟏𝟕𝟐 ; 𝜽 = 𝟗.𝟗𝟎º 82. Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, según se ve en la figura.
- 37. a) Hallar el valor y dirección de la fuerza ejercida sobre la carga situada en el vértice inferior izquierdo por las otras cargas. b) Demostrar que el campo eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadro está dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es 𝑬 = 𝒌 𝟖𝒒 𝑳𝟐 (𝟏 − √𝟓 𝟐𝟓 ) a) 𝑭𝟒,𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝑳𝟐 𝑭𝟐,𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝑳𝟐 𝑭𝟑,𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟐∗𝑳𝟐 𝑭 ⃗ ⃗ = (𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝑳𝟐 − 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟐∗𝑳𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓) ∗ 𝒊 + (𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝑳𝟐 − 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝟐∗𝑳𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓) ∗ 𝒋 𝑭 ⃗ ⃗ = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝑳𝟐 ∗ (𝟏 − √𝟐 𝟒 ) ∗ (𝒊 + 𝒋) = 𝟎. 𝟔𝟒𝟔 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝑳𝟐 ∗ (𝒊 + 𝒋) b) 𝑬𝟏 = 𝑬𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒 𝑳𝟐 𝟒 = 𝟒 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝑳𝟐 𝑬𝟑 = 𝑬𝟒 = 𝒌 ∗ 𝒒 𝟓 𝟒 ∗𝑳𝟐 = 𝟒 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝟓∗𝑳𝟐 𝑬𝒙 = 𝑬𝟒 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝝋 − 𝑬𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝝋 = 𝟎 𝑬𝒚 = 𝑬𝟏 + 𝑬𝟐 − 𝟐 ∗ 𝑬𝟑 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝝋 = 𝟖 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝑳𝟐 − 𝟒 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝟓∗𝑳𝟐 ∗ 𝟐 √𝟓
- 38. 𝑬𝒚 = 𝟖 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝑳𝟐 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝟓∗√𝟓 ) = 𝟖 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝑳𝟐 ∗ (𝟏 − √𝟓 𝟐𝟓 ) 𝑵/𝑪 83. La figura muestra una palanqueta formada por dos masas idénticas m sujetas a los extremos de una barra delgada (sin masa) de longitud a con un pivote en su centro. Las masas transportan las cargas +q y -q y el sistema está localizado en un campo eléctrico uniforme E. Demostrar que para valores pequeños del ángulo ϴ entre la dirección del dipolo y el campo eléctrico, el sistema ejecuta un movimiento armónico simple y deducir la expresión del periodo de este movimiento. 𝝉 = 𝑰 ∗ 𝜶 −𝒑 ∗ 𝑬 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂𝟐) ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 Para ángulos pequeños, 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≈ 𝜽. −𝒑 ∗ 𝑬 ∗ 𝜽 = ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂𝟐) ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 −𝒒 ∗ 𝒂 ∗ 𝑬 ∗ 𝜽 = ( 𝟏 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒂𝟐) ∗ 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 𝒅𝟐𝜽 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟐∗𝒒∗𝑬 𝒎∗𝒂 ∗ 𝜽 Vemos que la ecuación tiene por solución: 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏(𝝎 ∗ 𝒕) Donde: 𝝎 = √ 𝟐∗𝒒∗𝑬 𝒎∗𝒂 Teniendo en cuenta que en el movimiento armónico simple tenemos: 𝑻 = 𝟐∗𝝅 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝒎∗𝒂 𝟐∗𝒒∗𝑬 84. Para la palanqueta de la figura anterior, sea m=0,02 kg, a=0,3 m y E = (600 N/C) i. Inicialmente la palanqueta forma un ángulo de 60 º con el eje x. Se deja entonces en libertad y cuando está momentáneamente alineada con el campo eléctrico, su energía cinética es 5 10-3 J. Determinar la magnitud de q. 𝑼𝒐 = 𝑼𝟏 + 𝑬𝒄𝟏 −𝒑 ∗ 𝑬 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 = −𝒑 ∗ 𝑬 + 𝑬𝒄𝟏 𝒑 ∗ 𝑬 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎) = 𝑬𝒄𝟏 𝒒 ∗ 𝒂 ∗ 𝑬 ∗ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎) = 𝑬𝒄𝟏 𝒒 = 𝑬𝒄𝟏 𝒂∗𝑬∗(𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎) = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟎,𝟑∗𝟔𝟎𝟎∗(𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎) = 𝟓,𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝑪 85. Un electrón (carga -e, masa m) y un positrón (carga +e, masa m) giran alrededor de su centro común de masas bajo la influencia de su fuerza atractiva de Coulomb. Determinar la velocidad v de cada partícula en función de e, m, k y su separación r. Para una de las partículas, aplicando la segunda ley de Newton, considerando que tiene m.c.u. 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓/𝟐
- 39. 𝒌 ∗ 𝒆𝟐 𝒓𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓/𝟐 ; 𝒗 = 𝒆 ∗ √ 𝒌 𝟐∗𝒎∗𝒓 86. La separación de equilibrio entre los núcleos de la molécula iónica K Br es 0,282 nm. Las masas de los dos iones, K+ y Br- son muy aproximadamente iguales, 1,4 10-25 kg, y cada uno de los dos iones transporta una carga de magnitud e. Utilizar el resultado del problema 83 para determinar la frecuencia de oscilación de una molécula de K Br en un campo eléctrico uniforme de 1000 N/C. 𝒇 = 𝟏 𝑻 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟐 ∗ 𝒒 ∗ 𝑬 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝟏 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟐 ∗ 𝟏. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟏. 𝟒 ∗ 𝟏𝟎−𝟐𝟓 ∗ 𝟎.𝟐𝟖𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 = 𝟒,𝟓𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟖 𝑯𝒛 87. Una pequeña masa (puntual) m de carga q está restringida a moverse verticalmente dentro de un cilindro estrecho y sin rozamiento (figura). En el fondo del cilindro hay una masa puntual de carga Q de igual signo que q. a) Demostrar que la masa m estará en equilibrio a una altura 𝒚𝒐 = (𝒌𝒒𝑸/𝒎𝒈)𝟏/𝟐 . b) Demostrar que si la masa m es desplazada ligeramente de su posición de equilibrio y se deja en libertad ejecutará un movimiento armónico simple de frecuencia angular 𝝎 = ( 𝟐𝒈 𝒚𝒐 )𝟏/𝟐 . a) 𝒌 ∗ 𝒒∗𝑸 𝒚𝒐 𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 ; 𝒚𝒐 = √ 𝒌∗𝒒∗𝑸 𝒎∗𝒈 b) Si movemos la carga q una distancia Δy del punto de equilibrio, la fuerza restauradora será: 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒∗𝑸 (𝒚𝒐+∆𝒚)𝟐 − 𝒌 ∗ 𝒒∗𝑸 𝒚𝒐 𝟐 Para Δy muy pequeño: (𝒚𝒐 + ∆𝒚)𝟐 ≈ 𝒚𝒐 𝟐 + 𝟐 ∗ 𝒚𝒐 ∗ ∆𝒚 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 𝒚𝒐 𝟐 + 𝟐 ∗ 𝒚𝒐 ∗ ∆𝒚 − 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 𝒚𝒐 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 ∗ ( 𝒚𝒐 𝟐 − 𝒚𝒐 𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒚𝒐 ∗ ∆𝒚 (𝒚𝒐 𝟐 + 𝟐 ∗ 𝒚𝒐 ∗ ∆𝒚) ∗ 𝒚𝒐 𝟐 ) 𝑭 = −𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 ∗ ( 𝟐∗𝒚𝒐∗∆𝒚 (𝒚𝒐 𝟒+𝟐∗𝒚𝒐 𝟑∗∆𝒚) ) = −𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 ∗ 𝟐∗∆𝒚 𝒚𝒐 𝟑+𝟐∗𝒚𝒐 𝟐∗∆𝒚 Si el valor de Δy es pequeño podemos hacer la aproximación: 𝒚𝒐 𝟑 + 𝟐 ∗ 𝒚𝒐 𝟐 ∗ ∆𝒚 ≈ 𝒚𝒐 𝟑 𝑭 = −𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 ∗ 𝟐∗∆𝒚 𝒚𝒐 𝟑 Utilizando el resultado de a: 𝒚𝒐 𝟐 = 𝒌∗𝒒∗𝑸 𝒎∗𝒈 ; 𝒌 ∗ 𝒒 ∗ 𝑸 = 𝒚𝒐 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 𝑭 = −𝒚𝒐 𝟐 ∗ 𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐∗∆𝒚 𝒚𝒐 𝟑 = −𝒎 ∗ 𝒈 ∗ 𝟐∗∆𝒚 𝒚𝒐 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒂 = 𝒎 ∗ 𝒅𝟐∆𝒚 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟐∗𝒎∗𝒈 𝒚𝒐 ∗ ∆𝒚 𝒅𝟐∆𝒚 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟐∗𝒈 𝒚𝒐 ∗ ∆𝒚 La solución de la ecuación es:
- 40. ∆𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒘 ∗ 𝒕) Donde w es: 𝝎 = √ 𝟐∗𝒈 𝒚𝒐 88. Una pequeña cuenta de masa m, portadora de una carga negativa -q, está restringida a moverse a lo largo de una barra delgada sin rozamiento (figura). A una distancia L de esta barra hay una carga positiva Q. Demostrar que, si la cuenta se desplaza una distancia x, en donde 𝒙 ≪ 𝑳, se deja libremente, experimentará un movimiento armónico simple. Obtener una expresión para el periodo de este movimiento en función de los parámetros L, Q, q y m. 𝑭 = 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 𝒓𝟐 𝑭𝒙 = − 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 𝒓𝟐 ∗ 𝒙 𝒓 = −= − 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 (𝒙𝟐+𝑳𝟐) ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+𝑳𝟐 Si 𝒙 ≪ 𝑳 podemos poner 𝒙𝟐 + 𝑳𝟐 ≈ 𝑳𝟐 𝑭𝒙 = − 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 𝑳𝟑 ∗ 𝒙 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 = − 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 𝑳𝟑 ∗ 𝒙 Como en anteriores problemas la solución es: 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒘 ∗ 𝒕) Donde: 𝝎 = √𝒌 ∗ 𝑸∗𝒒 𝒎∗𝑳𝟑 𝑻 = 𝟐∗𝝅 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝒎∗𝑳𝟑 𝒌∗𝑸∗𝒒
- 41. 89. Repetir el problema 81 con el sistema localizado en un campo eléctrico uniforme de 1,0 105 N/C que apunta verticalmente hacia abajo. a) 𝑻 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 (𝟐∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐 𝑻 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒒 ∗ 𝑬 𝒕𝒂𝒏 𝜽 = 𝒌∗𝒒𝟐 (𝟐∗𝑳∗𝒔𝒆𝒏𝜽)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬) 𝒕𝒂𝒏 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝟒∗𝑳𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬) 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 √𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝒌∗𝒒𝟐 𝟒∗𝑳𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬) 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝒌𝟐∗𝒒𝟒 𝟒∗𝑳𝟒∗(𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬)𝟐 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝟏−𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = (𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗)𝟐∗(𝟎.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔)𝟒 𝟏𝟔∗𝟏.𝟓𝟒∗(𝟎.𝟎𝟏∗𝟗.𝟖𝟏+𝟎.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟏.𝟎∗𝟏𝟎𝟓)𝟐 = 𝟏.𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 Si consideramos que el ángulo ha de ser pequeño, en radianes 1-sen2 ϴ≈ 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 ≈ 𝟏.𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 ;𝒔𝒆𝒏 𝜽 = √𝟏. 𝟎𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟓 𝟔 = 𝟎.𝟏𝟒𝟖 ; 𝜽 = 𝟖.𝟓𝟐º 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐 𝑻𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒒𝟏 ∗ 𝑬 𝑻𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒒𝟐 ∗ 𝑬 Dividiendo las ecuaciones para obtener tangentes, obtenemos:
- 42. 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) Para ángulos pequeños, trabajando en radianes, tenemos que 𝒕𝒂𝒏 𝜽 ≈ 𝜽: 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) 𝜽𝟏 𝜽𝟐 = (𝒎∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) (𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝜽𝟏 𝜽𝟐 = (𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ) (𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟎.𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓) = 𝟏. 𝟑𝟒 De la misma manera, para ángulos pequeños, en radianes, 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≈ 𝜽. 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝜽𝟏+𝑳∗ 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐(𝜽𝟏+ 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐(𝜽𝟏+ 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) Sumando las ecuaciones: 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐(𝜽𝟏+ 𝜽𝟐)𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) + 𝟏 (𝒎∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) ) 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = √ 𝒌∗𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝒎∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) + 𝟏 (𝒎∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) ) 𝟑 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = √ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝟏. 𝟓𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟎. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓) + 𝟏 (𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓) ) 𝟑 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟕 𝒓𝒂𝒅 Por tanto: 𝜽𝟏 𝜽𝟐 = 𝟏. 𝟑𝟒 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟕 De estas obtenemos: 𝜽𝟐 = 𝟎.𝟐𝟖𝟕 𝟐.𝟑𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟑 𝒓𝒂𝒅 ;𝟕,𝟎𝟑 º 𝜽𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟒 𝒓𝒂𝒅 ;𝟗, 𝟒𝟎º 90. Supongamos que las dos masas del problema 80 no son iguales. Una masa es 0,01 kg, la otra 0,02 kg. Las cargas de las dos masas son 2,0 y 1,0 µC, respectivamente. Determinar el ángulo que cada una de las cuerdas que soportan las masas forma con la vertical. 𝑻𝟏 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐
- 43. 𝑻𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐 𝑻𝟏 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟏 = 𝒎𝟏 ∗ 𝒈 + 𝒒𝟏 ∗ 𝑬 𝑻𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽𝟐 = 𝒎𝟐 ∗ 𝒈 + 𝒒𝟐 ∗ 𝑬 Dividiendo las ecuaciones para obtener tangentes, obtenemos: 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝒕𝒂𝒏 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟐∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) Para ángulos pequeños, trabajando en radianes, tenemos que 𝒕𝒂𝒏 𝜽 ≈ 𝜽: 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏+𝑳∗𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟐∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) 𝜽𝟏 𝜽𝟐 = (𝒎𝟐∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) (𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝜽𝟏 𝜽𝟐 = (𝟎.𝟎𝟐∗𝟗.𝟖𝟏+𝟏𝟎−𝟔∗𝟏𝟎𝟓) (𝟎.𝟎𝟏∗𝟗.𝟖𝟏+𝟐∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟏𝟎𝟓) = 𝟎. 𝟕𝟒𝟕 De la misma manera, para ángulos pequeños, en radianes, 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ≈ 𝜽. 𝜽𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 (𝑳∗𝜽𝟏+𝑳∗ 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐(𝜽𝟏+ 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐(𝜽𝟏+ 𝜽𝟐)𝟐∗(𝒎𝟐∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) Sumando las ecuaciones: 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐(𝜽𝟏+ 𝜽𝟐)𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) + 𝟏 (𝒎𝟐∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) ) 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = √ 𝒌∗𝒒𝟏∗𝒒𝟐 𝑳𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝒎𝟏∗𝒈+𝒒𝟏∗𝑬) + 𝟏 (𝒎𝟐∗𝒈+𝒒𝟐∗𝑬) ) 𝟑 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = √ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝟏. 𝟓𝟐 ∗ ( 𝟏 (𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓) + 𝟏 (𝟎. 𝟎𝟐 ∗ 𝟗. 𝟖𝟏 + 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟓) ) 𝟑 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟕 𝒓𝒂𝒅 Por tanto: 𝜽𝟏 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟕𝟒𝟕 𝜽𝟏 + 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟕𝟖 De estas obtenemos: 𝜽𝟐 = 𝟎.𝟑𝟕𝟖 𝟏.𝟕𝟒𝟕 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟔 𝒓𝒂𝒅 ;𝟏𝟐.𝟒 º 𝜽𝟏 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟐 𝒓𝒂𝒅 ;𝟗. 𝟐𝟖º 91. Un péndulo simple de longitud L=1,0 m y masa m=5,0 10-3 kg se sitúa en un campo eléctrico E dirigido verticalmente. La lenteja posee una carga de -8,0 µC. El periodo del péndulo es 1,2 s. ¿Cuál es la magnitud y el sentido de E? En ausencia de campo eléctrico el periodo del péndulo sería: 𝑻 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝑳 𝒈 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝟏 𝟗.𝟖𝟏 = 𝟐, 𝟎 𝒔 Como el periodo en ausencia de campo eléctrico es menor, la “gravedad” aparente en este caso será mayor de 9,81, lo que indica que el campo ha de estar dirigido hacia arriba y la fuerza eléctrica hacia abajo. 𝒎 ∗ 𝒈′ = 𝒎 ∗ 𝒈 + 𝒒 ∗ 𝑬 ; 𝒈′ = 𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬 𝒎 𝑻𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅𝟐 ∗ 𝑳 𝒎∗𝒈+𝒒∗𝑬 𝒎
- 44. 𝒒 ∗ 𝑬 = 𝒎 𝒒 ∗ ( 𝟒∗𝝅𝟐∗𝑳 𝑻𝟐 − 𝒈) = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟖∗𝟏𝟎−𝟔 ∗ ( 𝟒∗𝝅𝟐∗𝟏.𝟎 𝟏.𝟐𝟐 − 𝟗.𝟖𝟏) = 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 92. Dos moléculas polares neutras se atraen entre sí. Supongamos que cada una de ellas posee un momento dipolar p y que estos dipolos están alineados a lo largo del eje x y separados una distancia d. Deducir una expresión para la fuerza de atracción en función de p y d. La fuerza sobre una molécula será: 𝑭𝟏 = − 𝒅𝑼𝟏 𝒅𝒙 = − 𝒅 𝒅𝒙 (−𝒑𝟏 ∗ 𝑬𝟏) El campo que hay en la molécula 1 debido al dipolo de la molécula 2 es: 𝑬𝟏 = 𝟐∗𝒌∗𝒑𝟐 𝒙𝟑 𝑭𝟏 = − 𝒅(𝒑𝟏∗𝑬𝟏) 𝒅𝒙 = − 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝟐∗𝒌∗𝒑𝟏∗𝒑𝟐 𝒙𝟑 ) = 𝟔∗𝒌∗𝒑𝟏∗𝒑𝟐 𝒙𝟒 = 𝟔∗𝒌∗𝒑𝟐 𝒅𝟒 93. Una pequeña cuenta de masa m y carga q está restringida a deslizarse a lo largo de una barra delgada de longitud L. En los extremos de la barra existen sendas cargas Q (figura). a) Obtener una expresión para el campo eléctrico debido a las dos cargas Q en función de x, en donde x es la distancia contada desde el punto medio de la barra. b) Demostrar que si para 𝒙 ≪ 𝑳, la magnitud del campo es proporcional a x. c) Demostrar que, si q es el mismo signo que Q, la fuerza que actúa sobre el objeto de masa m está siempre dirigido hacia el centro de la barra y es proporcional a x. d) Determinar el periodo de oscilación de la masa m si ésta se desplaza ligeramente una pequeña distancia del centro de la barra y luego se deja en libertad. a) Supongamos que las cargas Q son positivas. El campo que crea la carga de la derecha, será el campo 2 y el que crea la de la izquierda será el campo 1. 𝑬 = 𝑬𝟏 − 𝑬𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸 ( 𝑳 𝟐 +𝒙) 𝟐 − 𝒌 ∗ 𝑸 ( 𝑳 𝟐 −𝒙) 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ ( 𝑳𝟐 𝟒 +𝒙𝟐−𝑳∗𝒙− 𝑳𝟐 𝟒 −𝒙𝟐−𝑳∗𝒙 ( 𝑳𝟐 𝟒 −𝒙𝟐)𝟐 ) 𝑬 = −𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝟐∗𝑳 ( 𝑳𝟐 𝟒 −𝒙𝟐)𝟐 ∗ 𝒙 b) Si 𝒙 ≪ 𝑳 ∶ 𝑳𝟐 𝟒 − 𝒙𝟐 ≈ 𝑳𝟐 𝟒 𝑬 = −𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝟐∗𝑳 ( 𝑳𝟐 𝟒 −𝒙𝟐)𝟐 ∗ 𝒙 ≈ − 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸 𝑳𝟑 ∗ 𝒙 c) Si q es positiva:
- 45. 𝑭 = 𝒒 ∗ 𝑬 = − 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸∗𝒒 𝑳𝟑 ∗ 𝒙 Dirigida siempre hacia el punto central. d) 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸∗𝒒 𝑳𝟑 ∗ 𝒙 La solución es 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝝎 ∗ 𝒕) Donde: 𝝎 = √ 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸∗𝒒 𝒎∗𝑳𝟑 𝑻 = 𝟐∗𝝅 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝒎∗𝑳𝟑 𝟏𝟔∗𝒌∗𝒒∗𝑸 94. Dos cargas positivas iguales Q se encuentran sobre el eje x en x =1/2 L y x = -1/2 L. a) Obtener una expresión para el campo eléctrico en función de y sobre el eje y. b) Un anillo de masa m y carga q, se mueve sobre una barra delgada y sin rozamiento a lo largo del eje y. Determinar la fuerza que actúa sobre la carga q en función de y; determinar el signo q para que esta fuerza apunte siempre hacia y = 0. c) Demostrar que para valores positivos de y el anillo ejecuta un movimiento armónico simple. d) Si Q = 5 µC, |𝒒| = 2 µC, L = 24 cm y m = 0,03 kg, ¿Cuál es la frecuencia de la oscilación para pequeñas amplitudes? a) 𝑬𝒙 = 𝟎 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 (𝒚𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 ) ∗ 𝒚 √𝒚𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 = 𝟐∗𝒌∗𝑸 (𝒚𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 ) 𝟑/𝟐 ∗ 𝒚 b) 𝑭𝒚 = 𝒒 ∗ 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝑸∗𝒒 (𝒚𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 ) 𝟑/𝟐 ∗ 𝒚 Si la carga q es negativa la fuera será negativa en el eje y. c) 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟐∗𝒌∗𝑸∗|𝒒| (𝒚𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 ) 𝟑/𝟐 ∗ 𝒚 Si 𝒚 ≪ 𝑳 𝟐 ; 𝒚𝟐 + 𝑳𝟐 𝟒 ≈ 𝑳𝟐 𝟒 d) 𝒎 ∗ 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟐∗𝒌∗𝑸∗|𝒒| ( 𝑳𝟐 𝟒 ) 𝟑/𝟐 ∗ 𝒚 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐 = − 𝟏𝟔 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ |𝒒| 𝑳𝟑 ∗ 𝒎 ∗ 𝒚 Solución del tipo = 𝒔𝒆𝒏(𝝎 ∗ 𝒕). Con: 𝝎 = √ 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸∗|𝒒| 𝑳𝟑∗𝒎 La fuerza es restauradora y el movimiento por tanto armónico simple. e) 𝑻 = 𝟐∗𝝅 𝝎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ √ 𝑳𝟑∗𝒎 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸∗|𝒒| 𝒇 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √ 𝟏𝟔∗𝒌∗𝑸∗|𝒒| 𝑳𝟑∗𝒎 = 𝟏 𝟐∗𝝅 ∗ √𝟏𝟔∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟐𝟒𝟑∗𝟎.𝟎𝟑 = 𝟗.𝟑𝟕 𝑯𝒛