![Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga.
Cálculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb.
1. Una carga lineal uniforme de densidad λ=3,5 nC /m se distribuye desde x = 0 a x = 5 m.
a) ¿Cuál es su carga total?
Determinar el campo eléctrico sobre el eje x en
b) x = 6 m.
c) x= 9 m.
d) x = 250 m.
e) Determinar el campo en x = 250 m usando la aproximación de que se trata de una
carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido exactamente en
(d).
a) 𝑸 = 𝝀 ∗ 𝑳 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
∗ 𝟓 = 𝟏𝟕.𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
𝑪
b)
𝒅𝑬𝒙 = 𝒌 ∗
𝒅𝒒
(𝒙𝒐−𝒙)𝟐 = 𝒌 ∗
𝝀∗𝒅𝒙
(𝒙𝒐−𝒙)𝟐
𝑬𝒙 = ∫ 𝒌 ∗
𝝀∗𝒅𝒙
(𝒙𝒐−𝒙)𝟐
𝟓
𝟎
= 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ [
𝟏
𝒙𝒐−𝒙
]
𝟎
𝑳
= 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ (
𝟏
𝒙𝒐−𝑳
−
𝟏
𝒙𝒐
) = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ (
𝑳
(𝒙𝒐−𝑳)∗𝒙𝒐
)
En este caso L= 5 m.
𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ (
𝟓
(𝒙𝒐−𝟓)∗𝒙𝒐
)
𝑬𝒙(𝟔) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗
∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
∗ (
𝟓
(𝟔−𝟓)∗𝟔
) = 𝟐𝟔. 𝟐 𝑵/𝑪
c) 𝑬𝒙(𝟗) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗
∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
∗ (
𝟓
(𝟗−𝟓)∗𝟗
) = 𝟒.𝟑𝟕 𝑵/𝑪
d) 𝑬𝒙(𝟐𝟓𝟎) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗
∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗
∗ (
𝟓
(𝟐𝟓𝟎−𝟓)∗𝟐𝟓𝟎
) = 𝟐. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑
𝑵/𝑪
e) Si la carga fuera puntual:
𝑬𝒙(𝟐𝟓𝟎 ) = 𝒌 ∗
𝑸
𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗
∗
𝟏𝟕.𝟓∗𝟏𝟎−𝟗
𝟐𝟓𝟎𝟐 = 𝟐. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑵
𝑪
𝒆𝒓 =
𝟎.𝟎𝟓∗𝟏𝟎−𝟑
𝟐.𝟓𝟕∗𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐 %
2. Dos planos de carga verticales e infinitos son paralelos y están separados entre sí por
una distancia d= 4 m. Determinar el campo eléctrico a l a izquierda de los planos, a su
derecha y entre ambos cuando
a) Cada plano posee una densidad de carga superficial uniforme σ= + 3 µ C/m2
.
b) El plano izquierdo tiene una densidad de carga σ= + 3 µ C/m2
y el derecho σ= - 3 µ
C/m2
.Dibujar las líneas de campo en cada caso.
a) Aplicando la ley de Gauss a un plano infinito](https://image.slidesharecdn.com/campoelctricoii-230223172033-4da60cee/85/Campo-electrico-II-pdf-1-320.jpg)
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- 1. Campo eléctrico II. Distribuciones continuas de carga. Cálculo del campo eléctrico E mediante la ley de Coulomb. 1. Una carga lineal uniforme de densidad λ=3,5 nC /m se distribuye desde x = 0 a x = 5 m. a) ¿Cuál es su carga total? Determinar el campo eléctrico sobre el eje x en b) x = 6 m. c) x= 9 m. d) x = 250 m. e) Determinar el campo en x = 250 m usando la aproximación de que se trata de una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido exactamente en (d). a) 𝑸 = 𝝀 ∗ 𝑳 = 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟓 = 𝟏𝟕.𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 b) 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 (𝒙𝒐−𝒙)𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 (𝒙𝒐−𝒙)𝟐 𝑬𝒙 = ∫ 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 (𝒙𝒐−𝒙)𝟐 𝟓 𝟎 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ [ 𝟏 𝒙𝒐−𝒙 ] 𝟎 𝑳 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 𝒙𝒐−𝑳 − 𝟏 𝒙𝒐 ) = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝑳 (𝒙𝒐−𝑳)∗𝒙𝒐 ) En este caso L= 5 m. 𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟓 (𝒙𝒐−𝟓)∗𝒙𝒐 ) 𝑬𝒙(𝟔) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ ( 𝟓 (𝟔−𝟓)∗𝟔 ) = 𝟐𝟔. 𝟐 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒙(𝟗) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ ( 𝟓 (𝟗−𝟓)∗𝟗 ) = 𝟒.𝟑𝟕 𝑵/𝑪 d) 𝑬𝒙(𝟐𝟓𝟎) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ ( 𝟓 (𝟐𝟓𝟎−𝟓)∗𝟐𝟓𝟎 ) = 𝟐. 𝟓𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑵/𝑪 e) Si la carga fuera puntual: 𝑬𝒙(𝟐𝟓𝟎 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟏𝟕.𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐𝟓𝟎𝟐 = 𝟐. 𝟓𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝑵 𝑪 𝒆𝒓 = 𝟎.𝟎𝟓∗𝟏𝟎−𝟑 𝟐.𝟓𝟕∗𝟏𝟎−𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐 % 2. Dos planos de carga verticales e infinitos son paralelos y están separados entre sí por una distancia d= 4 m. Determinar el campo eléctrico a l a izquierda de los planos, a su derecha y entre ambos cuando a) Cada plano posee una densidad de carga superficial uniforme σ= + 3 µ C/m2 . b) El plano izquierdo tiene una densidad de carga σ= + 3 µ C/m2 y el derecho σ= - 3 µ C/m2 .Dibujar las líneas de campo en cada caso. a) Aplicando la ley de Gauss a un plano infinito
- 2. 𝚽 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 = 𝑸𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝜺𝒐 𝟐 ∗ 𝑬𝒏 ∗ 𝑨 = 𝝈∗𝑨 𝜺𝒐 ; 𝑬𝒏 = 𝝈 𝟐∗𝜺𝒐 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 En la región 1: 𝑬𝒙 = −𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 − 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 𝑬𝒙 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = −𝟑.𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 En la región 3: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 + 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑. 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 En la región 2: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 − 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 𝑬𝒙 = 𝟎 𝑵/𝑪 b) En la región 1:
- 3. Poniendo las densidades en valor absoluto, lel campo de 1 en la región es negativo y el de 2 positivo: 𝑬𝒙 = −𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 + 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ (−𝝈𝟏 + 𝝈𝟐) 𝑬𝒙 = 𝟎 𝑵/𝑪 En la región 3: El campo de 1 es positivo, el de dos negativo, por tanto: 𝑬𝒙 = 𝟎 𝑵/𝑪 En la región 2, el campo de 1 es positivo, el de dos también, los campos se suman: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟏 + 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟑. 𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 3. Una carga de 2,75 µ C está uniformemente distribuida sobre un anillo de radio 8,5 cm. Determinar el campo eléctrico sobre el eje en a) 1,2 cm. b) 3,6 cm. c) 4,0 m Desde el centro del anillo. d) Determinar el campo en 4,0 m con la aproximación de que el anillo es una carga puntual en el origen y comparar el resultado con el obtenido en (c). a) 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝒂𝟐+𝒙𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒌∗𝒅𝒒 𝒂𝟐+𝒙𝟐 ∗ 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒙 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 ∗ 𝒅𝒒 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒙 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 ∗ ∫ 𝒅𝒒 𝑸 𝟎 = 𝒌∗𝒙∗𝑸 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟏𝟐) = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟎.𝟎𝟏𝟐∗𝟐.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟎𝟖𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟏𝟐𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟒.𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟑𝟔) = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟎.𝟎𝟑𝟔∗𝟐.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟎𝟖𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟑𝟔𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟏.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵/𝑪
- 4. c) 𝑬𝒙(𝟒) = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝟐.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 (𝟎.𝟎𝟖𝟓𝟐+𝟒𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟏.𝟓𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 d) Si la carga fuera puntual: 𝑬𝒙(𝟒 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟐.𝟕𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒𝟐 = 𝟏. 𝟓𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵 𝑪 𝒆𝒓 = 𝟎.𝟎𝟏 𝟏.𝟓𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎.𝟕 % 4. Un disco de radio 2,5 cm es portador de una densidad de carga superficial uniforme de 3,6 µ C/m2 . Utilizando aproximaciones razonables, determinar el campo eléctrico sobre el eje a distancia de a) 0,01 cm. b) 0.04 cm. c) 5 m. d) 5 cm. a) 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒅𝒒 𝒂𝟐+𝒙𝟐 ∗ 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 = 𝒌∗𝟐∗𝝅∗𝒂∗𝒅𝒂∗𝝈∗𝒙 (𝒂𝟐+𝒙𝟐) 𝟑 𝟐 𝑬𝒙 = ∫ 𝒌∗𝟐∗𝝅∗𝒂∗𝝈∗𝒙 (𝒂𝟐+𝒙𝟐) 𝟑 𝟐 𝑹 𝟎 ∗ 𝒅𝒂 = 𝒌 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒙 ∗ ∫ 𝒂 (𝒂𝟐+𝒙𝟐) 𝟑 𝟐 ∗ 𝒅𝒂 𝑹 𝟎 𝑬𝒙 = −𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝒙 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ ( 𝟏 √𝑹𝟐+𝒙𝟐 − 𝟏 𝒙 ) 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝑹𝟐+𝒙𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏) = 𝟐 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝝅 ∗ 𝟑.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟏 − 𝟏𝟎−𝟒 √𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟏) = 𝟐.𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒) = 𝟐 ∗ 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝝅 ∗ 𝟑.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟏 − 𝟒∗𝟏𝟎−𝟒 √𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟒𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟒) = 𝟐.𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒙(𝟓) = 𝟐 ∗ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝝅 ∗ 𝟑. 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟏 − 𝟓 √𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐+𝟓𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟓) = 𝟐. 𝟓𝟒 𝑵/𝑪 d) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝟐 ∗ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝝅 ∗ 𝟑.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ (𝟏 − 𝟓∗𝟏𝟎−𝟐 √𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐+𝟎.𝟎𝟓𝟐 ) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟓) = 𝟐. 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 5. Con el disco cargado del problema 4, calcular exactamente el campo eléctrico sobre el eje a distancia de a) 0,04 cm.
- 5. b) 5 m y comparar los resultados con los correspondientes a las partes (b) y (c) del problema (4). Calculado el exacto en el problema 4, calculamos aquí el aproximado si la carga fuera puntual: a) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟎𝟒 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 ∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐 𝟎.𝟎𝟒𝟐 = 𝟑. 𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 𝒆𝒓 = 𝟏.𝟗𝟕 𝟑.𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟓𝟎 % La aproximación no es correcta. b) 𝑬𝒙(𝟓 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟑.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 ∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟐 𝟓𝟐 = 𝟐.𝟓𝟒 𝑵 𝑪 En este caso la aproximación es correcta. 6. Una carga lineal uniforme se extiende desde x = -2,5 cm a x = + 2,5 cm y posee una densidad de carga lineal λ=6,0 nC/m. a) Determinar la carga total. Hallar el campo eléctrico sobre el eje y en b) y= 4 cm. c) y= 12 cm. d) y= 4,5 m. e) Determinar el campo en y=4,5 m suponiendo que la carga es puntual y comparar el resultado con el obtenido en (d). a) 𝑸 = 𝝀 ∗ 𝑳 = 𝟔. 𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 ∗ 𝟎.𝟎𝟓 = 𝟎.𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 𝑪 b) 𝒅𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒓𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒓𝟐 ∗ 𝒚 𝒓 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒓𝟐 ∗ 𝒚 𝒓 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚 ∗ ∫ 𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑳/𝟐 𝟎 Podemos usar: 𝒙 = 𝒚 ∗ 𝒕𝒂𝒏𝜽 ;𝒅𝒙 = 𝒚 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚 ∗ ∫ 𝒅𝒙 (𝒚𝟐∗𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑳/𝟐 𝟎 𝒚 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚𝟐 ∗ ∫ 𝟏 𝒚𝟑∗(𝒕𝒂𝒏𝟐𝜽+𝟏) 𝟑 𝟐 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑳 𝟐 𝟎
- 6. 𝑬𝒚 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚𝟐 ∗ ∫ 𝟏 𝒚𝟑∗( 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ) 𝟑 𝟐 ∗ 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑳 𝟐 𝟎 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚𝟐 ∗ ∫ 𝟏 𝒚𝟑 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑳 𝟐 𝟎 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ [𝒔𝒆𝒏𝜽]𝟎 𝑳 𝟐 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ [ 𝒙 √𝒙𝟐+𝒚𝟐 ] 𝟎 𝑳 𝟐 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝑳 𝟐 √( 𝑳 𝟐 ) 𝟐 +𝒚𝟐 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝟐∗𝑳 𝟐∗√𝑳𝟐+𝟒∗𝒚𝟐 𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀∗𝑳 𝒚∗√𝑳𝟐+𝟒∗𝒚𝟐 𝑬𝒚(𝟎.𝟎𝟒) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟎.𝟑∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟎𝟒∗√𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟒∗𝟎.𝟎𝟒𝟐 = 𝟏.𝟒𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒚(𝟎.𝟏𝟐) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟎𝟓 𝟎.𝟏𝟐∗√𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟒∗𝟎.𝟏𝟐𝟐 = 𝟏𝟖𝟑 𝑵/𝑪 d) 𝑬𝒚(𝟒,𝟓) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟎𝟓 𝟒.𝟓∗√𝟎.𝟎𝟓𝟐+𝟒∗𝟒.𝟓𝟐 = 𝟎.𝟏𝟑𝟑 𝑵/𝑪 e) Para carga puntual: 𝑬𝒚(𝟒,𝟓) = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟎.𝟑∗𝟏𝟎−𝟗 𝟒.𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟑𝟑 𝑵/𝑪 Los resultados son prácticamente coincidentes. 7. Un disco de radio a se encuentra sobre el plano yz con su eje a lo largo dl eje x y es portador de una densidad de carga superficial uniforme σ. Determinar el valor de x para el cual 𝑬𝒙 = 𝟏 𝟐 𝝈 𝟐𝝐 . De acuerdo con lo obtenido en el problema 4: 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) 𝟐 ∗ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) = 𝟏 𝟐 𝝈 𝟐𝝐 (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) = 𝟏 𝟐 𝒙𝟐 𝒂𝟐+𝒙𝟐 = 𝟏 𝟒 ;𝟒 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 ;𝟑 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐 ;𝒙 = ± 𝒂 √𝟑 8. Un anillo de radio a con un centro en el origen y su eje a lo largo del eje x posee una carga total Q. Determinar Ex en a) x=0,2 a b) x=0,5 a c) x=0,7 a d) x=a e) x= 2a f) Utilizar los resultados obtenidos para representar Ex en función de x para ambos valores positivo y negativo de x. a) Utilizando el resultado del problema 3: 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒙∗𝑸 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 𝑬𝒙(𝟎. 𝟐 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟎.𝟐∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟎.𝟐∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟏𝟖𝟗 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 b) 𝑬𝒙(𝟎.𝟓 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟎.𝟓∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟎.𝟓∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎. 𝟑𝟓𝟖 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 c) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟕 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟎.𝟕∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟎.𝟕∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟑𝟖𝟓 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐
- 7. d) 𝑬𝒙(𝒂) = 𝒌∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟑𝟓𝟒 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 e) 𝑬𝒙(𝟐 ∗ 𝒂) = 𝒌∗𝟐∗𝒂∗𝑸 (𝒂𝟐+(𝟐∗𝒂)𝟐) 𝟑 𝟐 = 𝟎.𝟏𝟕𝟗 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 𝒂𝟐 f) 9. Repetir el problema 8 para un disco de densidad de carga superficial uniforme σ. 𝑬𝒙 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒙 √𝒂𝟐+𝒙𝟐 ) a) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟐 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟎.𝟐∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟎.𝟐∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎.𝟖𝟎𝟑 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) b) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟓 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟎.𝟓∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟎.𝟓∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎.𝟓𝟓𝟑 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) c) 𝑬𝒙(𝟎. 𝟕 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟎.𝟕∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟎.𝟕∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎.𝟒𝟐𝟕 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) d) 𝑬𝒙(𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝒂 √𝒂𝟐+(𝒂)𝟐 ) = 𝟎. 𝟐𝟗𝟑 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) e) 𝑬𝒙(𝟐 ∗ 𝒂) = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈 ∗ (𝟏 − 𝟐∗𝒂 √𝒂𝟐+(𝟐∗𝒂)𝟐 ) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟔 ∗ (𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝝈) f)
- 8. 10. Un disco de radio 30 cm es portador de una densidad de carga uniforme σ. a) Comparar la aproximación E=2πkσ con la expresión exacta del campo eléctrico sobre el eje del disco expresando la diferencia fraccional ∆𝑬 𝑬 = 𝒙 √𝒙𝟐+𝑹𝟐 para las distancias x=0,1, x= 0,2 y x=3 cm. b) ¿A qué distancia el término despreciado es el 1 por ciento de 2πkσ? a) Para x=0,1 cm: ∆𝑬 𝑬 = 𝟎.𝟎𝟎𝟏 √𝟎.𝟎𝟎𝟏𝟐+𝟎.𝟑𝟎𝟐 = 𝟑.𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 Para x=0,2 cm: ∆𝑬 𝑬 = 𝟎.𝟎𝟎𝟐 √𝟎.𝟎𝟎𝟐𝟐+𝟎.𝟑𝟎𝟐 = 𝟔.𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 Para x= 3 cm: ∆𝑬 𝑬 = 𝟎.𝟎𝟑 √𝟎.𝟎𝟑𝟐+𝟎.𝟑𝟎𝟐 = 𝟗.𝟗𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 b) 𝒙 √𝒙𝟐+𝑹𝟐 = 𝟎.𝟎𝟏 ; 𝒙𝟐 = 𝟎.𝟎𝟏𝟐 ∗ (𝒙𝟐 + 𝑹𝟐 ) 𝟎. 𝟗𝟗 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟏 ∗ 𝑹𝟐 ;𝒙 = √ 𝟎.𝟎𝟏 𝟎.𝟗𝟗 ∗ 𝑹 = √ 𝟎.𝟎𝟏 𝟎.𝟗𝟗 ∗ 𝟎. 𝟑𝟎 = 𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟐 𝒎 11. Demostrar que el campo Ex sobre el eje de una carga anular de radio a tiene sus valores máximo y mínimo en 𝒙 = + 𝒂 √𝟐 y 𝒙 = − 𝒂 √𝟐 . Representar Ex en función de x para ambos valores positivo y negativo de x. 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒙∗𝑸 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑/𝟐 𝒅𝑬𝒙 𝒅𝒙 = 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒌∗𝒙∗𝑸 (𝒂𝟐+𝒙𝟐) 𝟑 𝟐 ) = 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ ( (𝒂𝟐+𝒙𝟐) 𝟑 𝟐−𝒙∗ 𝟑 𝟐 ∗(𝒂𝟐+𝒙𝟐) 𝟏 𝟐∗𝟐∗𝒙 (𝒂𝟐+𝒙𝟐)𝟑 ) = 𝟎 (𝒂𝟐 + 𝒙𝟐) 𝟑 𝟐 − 𝒙 ∗ 𝟑 𝟐 ∗ (𝒂𝟐 + 𝒙𝟐) 𝟏 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝒙 = 𝟎 (𝒂𝟐 + 𝒙𝟐) 𝟑 𝟐 − 𝟑 ∗ (𝒂𝟐 + 𝒙𝟐) 𝟏 𝟐 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒂𝟐 + 𝒙𝟐 − 𝟑 ∗ 𝒙𝟐 = 𝟎 ;𝟐 ∗ 𝒙𝟐 = 𝒂𝟐 ;𝒙 = ± 𝒂 √𝟐
- 9. 12. Una carga lineal de densidad de carga lineal λ está situada sobre el eje x desde x=0 a x=a. a) Demostrar que el componente x del campo eléctrico en un punto sobre el eje y viene dado por 𝑬𝒙 = − 𝒌𝝀 𝒚 + 𝒌𝝀 √𝒚𝟐+𝒂𝟐 b) Demostrar que si la carga lineal se extiende de x =-b a x=a, el componente x del campo eléctrico en un punto del eje y viene dado por 𝑬𝒙 = 𝒌𝝀 √𝒚𝟐+𝒂𝟐 − 𝒌𝝀 √𝒚𝟐+𝒃𝟐 a) 𝒅𝑬𝒙 = −𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒙𝟐+𝒚𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝜽 = −𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒙𝟐+𝒚𝟐 ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+𝒚𝟐 = − 𝒌∗𝝀∗𝒙∗𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑬𝒙 = −𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ∫ 𝒙∗𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐) 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟏 = −𝒌 ∗ 𝝀 ∗ [− 𝟏 √(𝒙𝟐+𝒚𝟐 ] 𝒙𝟏 𝒙𝟐
- 10. 𝑬𝒙 = −𝒌 ∗ 𝝀 ∗ (− 𝟏 √𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐 + 𝟏 √𝒙𝟏 𝟐+𝒚𝟐 ) = − 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (− 𝒚 √𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐 + 𝒚 √𝒙𝟏 𝟐+𝒚𝟐 ) Para x2=a y x1 = 0: 𝑬𝒙 = − 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (− 𝒚 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 + 𝒚 √𝒚𝟐 ) = −𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 − 𝟏 𝒚 ) b) Para x2=a y x1 =-b: 𝑬𝒙 = − 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (− 𝒚 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 + 𝒚 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 ) = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ( 𝟏 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 − 𝟏 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 ) 13. a) Una carga lineal finita de densidad de carga lineal uniforme λ está situada sobre el eje x desde x=0 a x= a. Demostrar que el componente y del campo eléctrico en un punto sobre el eje y viene dado por 𝑬 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒂 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 En donde ϴ1 es el ángulo subtendido po9r la carga lineal Enel punto del campo. b) Demostrar que si la carga lineal se extiende desde x=-b a x=a, el componente y del campo eléctrico en un punto sobre el eje y viene dado por 𝑬𝒚 = 𝒌∗𝝀 𝒚 (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐) En donde 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 = 𝒃 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 . a) 𝒅𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒙𝟐+𝒚𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒙 𝒙𝟐+𝒚𝟐 ∗ 𝒚 √𝒙𝟐+𝒚𝟐 = 𝒌∗𝝀∗𝒚∗𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐)𝟑/𝟐 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ ∫ 𝒚∗𝒅𝒙 (𝒙𝟐+𝒚𝟐) 𝟑 𝟐 𝒙𝟐 𝒙𝟏 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚, [ 𝒙 𝒚𝟐∗√(𝒙𝟐+𝒚𝟐 ] 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚,∗ ( 𝒙𝟐 𝒚𝟐∗√𝒙𝟐 𝟐+𝒚𝟐 − 𝒙𝟏 𝒚𝟐∗√𝒙𝟏 𝟐+𝒚𝟐 ) Para x1=0 y x2=a queda: 𝑬𝒚 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝒚 ∗ 𝒂 𝒚𝟐∗√𝒂+𝒚𝟐 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 b) En este caso 𝒙𝟏 = −𝒃 y 𝒙𝟐 = 𝒂. 𝑬𝒚 = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ ( 𝒂 √𝒂𝟐+𝒚𝟐 + 𝒃 √𝒃𝟐+𝒚𝟐 ) = 𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ (𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟐 + 𝒔𝒆𝒏 𝜽𝟏) 14. Un anillo semicircular de radio R posee una carga de densidad lineal uniforme λ. Determinar el campo eléctrico en el centro del semicírculo.
- 11. 𝒅𝑬𝒙 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝑹𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝒅𝒍 𝑹𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝑹∗𝒅𝜽 𝑹𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌∗𝝀 𝑹 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬𝒙 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝑹 ∗ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝝅/𝟐 𝟎 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝑹 15. Una corteza delgada semiesférica de radio R posee carga de densidad superficial uniforme σ. Determinar el campo eléctrico en el centro de la corteza semiesférica.(r=0). 𝒅𝑬𝒛 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 √𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝒌 ∗ 𝒅𝒒 𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽 √𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝒅𝑬𝒛 = 𝒌 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗𝒅𝒒 (𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝟑 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗𝝈∗𝒅𝑨 (𝒓𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒓𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝟑 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ 𝒓∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗(𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝒔𝒆𝒏 𝜽∗𝒓∗𝒅𝜽) 𝒓𝟑∗(𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽+𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽) 𝟑 𝟐 𝒅𝑬𝒛 = 𝟐∗𝝅∗𝒌∗𝝈∗𝒓𝟑∗𝒄𝒐𝒔 𝜽∗𝒔𝒆𝒏 𝜽∗𝒅𝜽 𝒓𝟑 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝑬 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∗ 𝒔𝒆𝒏 𝜽 ∗ 𝒅𝜽 𝝅 𝟐 𝟎 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ [ 𝟏 𝟐 ∗ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜽] 𝟎 𝝅/𝟐 𝑬 = 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝈 16. Una carga lineal de densidad de carga lineal λ con la forma de un cuadrado de lado L se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Determinar el campo eléctrico sobre el eje x a una distancia arbitraria x y comparar el resultado con el del campo que existe en el eje de un anillo cargado de radio r=L/2 con su centro en el origen y transportando la misma carga total. (Indicación: Utilizar la ecuación 𝑬𝒚 = 𝟐𝒌𝝀 𝒚 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝟏 𝟐 𝑳)𝟐+𝒚𝟐 para conocer el campo debido a cada segmento del cuadrado).
- 12. El campo creado por el cuadrado será, utilizando el campo creado por una varilla: La distancia del centro de cada varilla al punto del eje x considerado será: 𝒓𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝑳𝟐 𝟒 Esta distancia r será el valor y de la expresión dada en el problema 6, tenemos 4 varillas: 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝑬 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟒 ∗ 𝑬 ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 Donde E es el campo creado por cada varilla en el punto considerado: E= 𝟐∗𝒌∗𝝀 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝟏 𝟐 ∗𝑳) 𝟐 +𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 𝑬𝒙 = 𝟒 ∗ 𝟐∗𝒌∗𝝀 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝟏 𝟐 ∗𝑳) 𝟐 +𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 ∗ 𝒙 √𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 = 𝟒∗𝒌∗𝝀∗𝑳 ( 𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝑸 ( 𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟒 )∗√𝒙𝟐+ 𝑳𝟐 𝟐 Para un anillo cargado en su eje tenemos: 𝑬𝒙 = 𝒌∗𝒚∗𝑸 ( 𝑳𝟐 𝟒 +𝒚𝟐)𝟑/𝟐 Ley de Gauss 17. Verdadero o falso: a) La ley de Gauss es válida sólo en el caso de distribuciones de carga simétricas. b) El resultado E = 0 en el interior de un conductor en equilibrio puede deducirse a partir de la ley de Gauss. a) FALSO. La ley de Gauss establece que el flujo neto a través de cualquier superficie está dado ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐. Si bien es cierto que la ley de Gauss es más fácil de aplicar a distribuciones de carga simétricas, se mantiene para cualquier superficie. b) Falsa. 18. Además de la carga total dentro de una superficie, ¿qué información adicional es necesaria para aplicar la ley de Gauss a la determinación del campo eléctrico? El campo eléctrico es el debido a todas las cargas, dentro y fuera de la superficie. La ley de Gauss establece que el flujo neto a través de cualquier superficie está dado por∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐. Las líneas de flujo a través de una superficie gaussiana comienzan en cargas en un lado de la superficie y terminan en cargas en el otro lado de la superficie. 19. ¿Es el campo eléctrico E de la ley de Gauss sólo aquella parte del campo eléctrico debido a la carga dentro de una superficie o hay que tener en cuenta el campo eléctrico total debido a todas las cargas tanto dentro como fuera de la superficie? No, la ley de Gauss permite conocer el campo en una región del espacio. 20. Consideremos un campo eléctrico uniforme E=(2 kN/C)i. a) ¿Cuál es el flujo de este campo a través de un cuadrado de 10 cm de lado cuyo plano es paralelo al plano y z? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa el mismo cuadrado si la normal a su plano forma un ángulo de 30º con el eje x? a) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟐𝟎 𝑵𝒎𝟐 /𝑪 b) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬 ⃗⃗ 𝒏 ∗ 𝒅𝑨 ⃗⃗ 𝑺 = 𝑬 ∗ 𝑨 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 ∗ 𝟎. 𝟏𝟐 ∗ 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎 = 𝟏𝟕,𝟑 𝑵𝒎𝟐 /𝑪
- 13. 21. Una sola carga puntual q= +2 µC está en el origen. Una superficie esférica de 3,0 m de radio tiene su centro en el eje x en el punto x= 5 m. a) Dibujar las líneas de fuerza correspondientes a la carga puntual. ¿Hay líneas que entran en la superficie esférica? b) ¿Cuál es el número neto de líneas que salen de la superficie esférica contando las que entran como negativas? c) ¿Cuál es el flujo neto del campo eléctrico debido a la carga puntual que atraviesa la superficie esférica? a) En el dibujo entran 3 líneas de un total de 12. b) El número neto seria 0. c) El flujo neto será 0. 22. Un campo eléctrico vale E = (300 N/C) i para x > 0 y E = (-300 N/C) i para x< 0. Un cilindro circular recto de 20 cm de longitud y 4 cm de radio tiene su centro en el origen y su eje está situado a lo largo del eje x de modo que una de las caras está a x=+10 cm y la otra en x=-10 cm. a) ¿Cuál es el flujo saliente que atraviesa cada cara? b) ¿Cuál es el flujo que atraviesa la superficie curvada del cilindro? c) ¿Cuál es el flujo neto saliente que atraviesa toda la superficie cilíndrica? d) ¿Cuál es la carga neta en el interior del cilindro? a) ∅𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 = ∅𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂 = 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟒𝟐 = 𝟏. 𝟓𝟏 𝑵𝒎𝟐 /𝑪
- 14. b) ∅𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍 = 𝟎 c) ∅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟐 ∗ 𝟏.𝟓𝟏 = 𝟑.𝟎𝟐 𝑵𝒎𝟐 /𝑪 d) ∅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 ; 𝑸𝒅𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 = ∅𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟒∗𝝅∗𝒌 = 𝟑.𝟎𝟐 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟐.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟏 𝑪 23. Una carga puntual positiva q está en el centro de un cubo de arista L. Se dibujan saliendo de la carga puntual un gran número N de líneas de fuerza. a) ¿Cuántas de estas líneas pasan a través de la superficie del cubo? b) ¿Cuántas líneas pasan a través de cada cara admitiéndose que ninguna de ellas corta las aristas o vértices? c) ¿Cuál es el flujo neto hacia fuera del campo eléctrico a través de la superficie cúbica? d) Utilizar argumentos de simetría para hallar el flujo del campo eléctrico que atraviesa una cara del cubo. e) ¿Alguna de estas respuestas variaría si la carga estuviera en el interior del cubo, pero no en su centro? a) N. b) N/6. c) 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒. d) 𝑬𝒍 𝒇𝒍𝒖𝒋𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒂 𝒔𝒆𝒓á 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒙𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒍 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 ∶ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 𝟔 . e) 𝑳𝒐𝒔 𝒂𝒑𝒂𝒓𝒕𝒅𝒐𝒔 𝒃 𝒚 𝒅 24. Medidas cuidadosas del campo eléctrico en la superficie de una caja negra indican que el flujo saliente neto a través de la superficie de la caja es 6,0 kN m2 /C. a) ¿Cuál es la carga neta en el interior de la caja? b) Si el flujo saliente neto a través de la superficie de la caja fuese cero, ¿podría obtenerse la conclusión de que no hay ninguna carga en el interior de la caja? ¿Por qué sí o por qué no? a) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ;𝒒 = ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 𝟒∗𝝅∗𝒌 = 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎𝟑 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗 = 𝟓.𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪 b) No, la carga total sería cero, pero puede haber cargar de signo opuesto y iguales. 25. Una carga puntual q=+2 µc está en el centro de una esfera de 0,5 m de radio. a) Hallar el área superficial de la esfera. b) Hallar el valor del campo eléctrico en los puntos situados en la superficie de la esfera. c) ¿Cuál es el flujo del campo eléctrico debido a la carga puntual a través de la superficie de la esfera? d) ¿Variaría la respuesta dada a la parta (c) si se moviese la carga puntual de modo que estuviese dentro de la esfera, pero no en el centro? e) ¿Cuál es el flujo neto que atraviesa un cubo de 1 m de arista que circunscribe la esfera? a) 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎. 𝟓𝟐 = 𝟑.𝟏𝟒 𝒎𝟐 b) 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑.𝟏𝟒 = 𝟕.𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 c) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟐.𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟔 𝑵 𝒎𝟐 /𝑪 d) No e) El mismo que atraviesa la esfera. 26. Dado que la ley de Newton de la gravedad y la ley de Coulomb poseen la misma dependencia con la inversa del cuadrado de la distancia es posible determinar una expresión análoga a la ley de Gauss para los campos gravitatorios. El campo gravitatorio g es la fuerza por unidad de masa para una masa testigo mo. Por tanto, para una masa m en el origen, el campo gravitatorio g en una posición r es
- 15. 𝒈 ⃗⃗ = − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ 𝒓 ̂ Calcular el flujo del campo gravitatorio a través de una superficie esférica de radio r centrada en el origen y demostrar que la ecuación análoga gravitatoria de la ley de Gauss es ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = − 𝟒 𝝅 𝑮 𝒎𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂. ∅𝒈 = ∮ 𝒈 ⃗⃗ 𝑺 ∗ 𝒅𝑨 ⃗⃗ = ∮ − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ 𝒓 ̂ 𝑺 ∗ 𝒅𝑨 ⃗⃗ = − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ 𝑨 = − 𝑮∗𝒎 𝒓𝟐 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∅𝒈 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑮 ∗ 𝒎 27. Una carga de 2 µC está 20 cm por encima del centro de un cuadrado de arista 40 cm. Determinar el flujo a través del cuadrado. (Indicación: No integrar). Si tuviéramos un cubo, donde una de las caras es el cuadrado considerado, y la carga está dentro del cubo: ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒 ∅𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐 = ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 𝟔 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒 𝟔 = 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟔 = 𝟑.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵 𝒎𝟐 /𝑪 28. En una región particular de la atmósfera terrestre, se ha medido el campo eléctrico sobre la superficie de la Tierra resultando ser de 150 N/C a una altura de 250 m y de 170 N/C a 400 m, en ambos casos dirigido hacia abajo. Calcular la densidad de carga volúmica de la atmósfera suponiendo que es uniforme entre 250 y 400 m. (Puede despreciarse la curvatura de la Tierra. ¿Por qué? 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝑨 ∗ 𝒉 Aplicando la ley de Gauss: −(𝑬𝟐 − 𝑬𝟏) ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝑨 ∗ 𝒉 𝝆 = (𝑬𝟏−𝑬𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒉 = (𝟏𝟓𝟎−𝟏𝟕𝟎) 𝟒∗𝝅∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐𝟓𝟎 = −𝟕. 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟑 𝑪/𝒎𝟑 Distribuciones esféricas de carga 29. Explicar por qué el campo eléctrico crece con r, en lugar de disminuir según 1/r2 cuando nos desplazamos hacia fuera desde el centro interior de una distribución esférica de carga de densidad volúmica constante. Aplicamos la ley de Gauss usando como superficie de aplicación una esfera concéntrica a la de la distribución considerada. 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 ;𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 Usando la densidad volumétrica de carga: 𝝆 = 𝑸 𝑽 ; 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟑 𝑬 = 𝒌∗𝑸 𝒓𝟐 = 𝒌∗𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟑 𝒓𝟐 = 𝟒 ∗∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 30. Una corteza esférica de radio R1 posee una carga total q1 uniformemente distribuida en su superficie. Una segunda corteza esférica mayor de radio R2 concéntrica con la anterior posee una carga q2 uniformemente distribuida en su superficie. a) Utilizar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en las regiones 𝒓 < 𝑹𝟏 , 𝑹𝟏 < 𝒓 < 𝑹𝟐 𝒚 𝒓 > 𝑹𝟐. b) ¿Cuál deberá ser el cociente de las cargas q1/q2 y su signo relativo para que el campo eléctrico sea cero para 𝒓 > 𝑹𝟐? c) Hacer un esquema de las líneas de fuerza para el caso indicado en la parte (b).
- 16. a) ∅𝒏𝒆𝒕𝒐 = ∮ 𝑬𝒏 ∗ 𝒅𝑨 𝑺 = 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 Considerando una esfera interior como superficie de prueba, la carga interior es nula: 𝑬 = 𝟎 ; 𝒓 < 𝑹𝟏 Con una esfera entre las dos cortezas: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝟏 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝟏 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝒓𝟐 ; 𝑹𝟏 < 𝒓 < 𝑹𝟐 Para la esfera exterior a las cortezas: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ (𝒒𝟏 + 𝒒𝟐) 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗(𝒒𝟏+𝒒𝟐) 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗(𝒒𝟏+𝒒𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ (𝒒𝟏+𝒒𝟐) 𝒓𝟐 ; 𝒓 > 𝑹𝟐 b) 𝒒𝟏 𝒒𝟐 = −𝟏 ; han de ser iguales y de signos contrarios. c) Si la carga 1 es positiva: Si la carga 1 es negativa el esquema sería análogo cambiando el sentido de las líneas. 31. Una corteza esférica de radio 6 cm posee una densidad superficial uniforme de carga σ = 9 nC/m2 . a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza? Determinar el campo eléctrico en: b) r= 2 cm. c) r= 5,9 cm. d) r= 6,1 cm. e) r= 10 cm. a) 𝑸 = 𝝈 ∗ 𝑨 = 𝝈 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟔𝟐 = 𝟒. 𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑪 b) Para puntos interiores, la carga neta es cero, por tanto, E=0. c) Seguimos dentro de la corteza, E=0. d) En el exterior de la corteza: Utilizando la ley de Gauss y una esfera de prueba en la zona: 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝒓𝟐 𝑬(𝟎. 𝟎𝟔𝟏) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐 = 𝟗𝟖𝟑 𝑵/𝑪 e) 𝑬(𝟎. 𝟏𝟎) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟑𝟔𝟔 𝑵/𝑪 32. Una esfera de radio 6 cm posee una densidad de carga volúmica uniforme ρ=450 nC/m3 . a) ¿Cuál es la carga total de la esfera? Determinar el campo eléctrico en: b) r=2 cm. c) r=5,9 cm.
- 17. d) r=6,1 cm. e) r=10 cm. Compara las respuestas con las del problema 31. a) 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟑 = 𝟒𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟔𝟑 = 𝟒. 𝟎𝟕 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝑪 b) Consideramos como superficie esfera concéntrica de radio r: La carga interior será: 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒒𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 𝑽𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 ; 𝒒𝒊𝒏𝒕 = 𝑽𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑽𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = 𝒓𝟑 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 = 𝒓𝟑 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 𝒒𝒊𝒏𝒕 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓𝟑 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗ 𝒓𝟑∗𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝟑 ∗ 𝒓 𝑬(𝟎.𝟎𝟐) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟑 ∗ 𝟎.𝟎𝟐 = 𝟑𝟑𝟗 𝑵/𝑪 c) 𝑬(𝟎.𝟎𝟓𝟗) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟑 ∗ 𝟎. 𝟎𝟓𝟗 = 𝟗𝟗𝟗 𝑵/𝑪 d) En el exterior de la esfera: 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑸𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒓𝟐 𝑬(𝟎.𝟎𝟔𝟏) = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟎𝟔𝟏𝟐 = 𝟗𝟖𝟑 𝑵/𝑪 e) 𝑬(𝟎.𝟏) = 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟒.𝟎𝟕∗𝟏𝟎−𝟏𝟎 𝟎.𝟏𝟐 = 𝟑𝟔𝟔 𝑵/𝑪 Los resultados son iguales a partir de r>R. En esta situación la carga interior e la misma en los dos casos. 33. Consideramos dos esferas conductoras concéntricas (figura). La esfera exterior es hueca y sobre ella se ha depositado una carga -7 Q. La esfera interior es sólida y sobre ella se ha depositado una carga + 2 Q. a) ¿Cómo está distribuida la carga sobre la esfera exterior? Es decir, ¿Cuánta carga hay en la superficie exterior y cuánta en la superficie interior? b) Supongamos que se conecta un alambre entre ambas esferas. Una vez alcanzado el equilibrio electrostático, ¿Cuánta carga total existe sobre la esfera exterior? ¿Cuánta carga hay ahora en la superficie exterior de esta esfera y cuánta carga en su superficie interna? ¿Cambia el campo eléctrico en la superficie de la esfera interna al conectar el cable? ¿Si es así, cómo cambia? c) Supongamos que volvemos a las condiciones iniciales de (a) con +2 Q en la esfera interior y – 7 Q en la exterior. Conectamos ahora la esfera exterior a tierra con un cable y luego lo desconectamos- ¿Qué carga total existirá sobre la esfera exterior? ¿Cuánta carga tendremos sobre la superficie interna de la esfera exterior y cuanta sobre la superficie externa?
- 18. a) Al ser la esfera exterior conductora se distribuirán las cargas – 2 Q en la superficie interior y – 5 Q en la exterior. b) Ahora no hay carga en la superficie interior y −5Q en la superficie exterior del caparazón esférico. El campo eléctrico justo fuera de la superficie de la esfera interior cambia de un valor finito a cero. c) La carga de -5 Q se irá por el cable, nos quedan los -2 Q en la interior y -2 Q en la exterior. 34. Una esfera no conductora de radio R=0,1 m posee una carga volúmica uniforme de densidad ρ= 2,0 nC/m3 . La magnitud del campo eléctrico en r=2 R es 1883 N/C. Determinar la magnitud del campo eléctrico en r= 0,5 R. Considerando una esfera interior para aplicar el teorema de Gauss: 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒒𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟑 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓 𝑬(𝟎. 𝟓 ∗ 𝑹) = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝟖. 𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟗 ∗ 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟎.𝟓 ∗ 𝟎. 𝟏 = 𝟑.𝟕𝟕 𝑵/𝑪 35. Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga volúmica proporcional a la distancia desde el centro: ρ=0 para r>R. a) Hallar la carga total sobre la esfera sumando las cargas en cortezas de espesor dr y volumen 𝟒𝝅𝒓𝟐 𝒅𝒓. b) Hallar el campo eléctrico Er, tanto en el interior como en el exterior de la distribución de carga y representar en función de r. a) 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟑 ∗ 𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = 𝑹 𝟎 ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟑 ∗ 𝒅𝒓 = 𝑹 𝟎 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹𝟒 b) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝝅∗𝑪∗𝑹𝟒 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝒌∗𝝅∗𝑪∗𝑹𝟒 𝒓𝟐 Para puntos interiores, r<R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ;𝑬 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟒 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 36. Repetir el problema 35 para una esfera sólida cuya densidad de carga volúmica sea igual a ρ=B/r para r<R y ρ=0 para r>R.
- 19. a) 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑩/𝒓 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑩 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = 𝑹 𝟎 ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑩 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 = 𝟐 ∗ 𝑹 𝟎 𝝅 ∗ 𝑩 ∗ 𝑹𝟐 b) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟐∗𝝅∗𝑩∗𝑹𝟐 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟐∗𝒌∗𝝅∗𝑩∗𝑹𝟐 𝒓𝟐 Para puntos interiores, r<R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟐∗𝝅∗𝑩∗𝒓𝟐 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑩 37. Repetir el problema 35 para el caso de una esfera sólida de densidad de carga volúmica 𝝆 = 𝑪/𝒓𝟐 para r<R y ρ=0 para r>R. a) 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑪/𝒓𝟐 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = 𝑹 𝟎 ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 = 𝟒 ∗ 𝑹 𝟎 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 c) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝑹 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝝅∗𝑪∗𝑹 𝒓𝟐 Para puntos interiores, r<R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑨 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒓 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑪 𝒓
- 20. 38. La densidad de carga en una región del espacio es esféricamente simétrica y viene dada por 𝝆(𝒓) = 𝑪𝒆−𝒓/𝒂 cuando r<R y ρ=0 cuando r>R. Determinar el campo eléctrico en función de r. 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑪 ∗ 𝒆−𝒓/𝒂 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒆−𝒓/𝒂 𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = 𝑹 𝟎 ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒆−𝒓/𝒂 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 Haciendo integración por partes dos veces obtenemos: 𝑸 = −𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ (𝑹𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐 ∗ 𝑹 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟑 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 𝑸 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 ∗ (−𝑹𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝑹 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒂∗𝒆 − 𝑹 𝒂∗(−𝑹𝟐−𝟐∗𝒂∗𝑹−𝟐∗𝒂𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒌∗𝒂∗𝒆 − 𝑹 𝒂∗(−𝑹𝟐−𝟐∗𝒂∗𝑹−𝟐∗𝒂𝟐) 𝒓𝟐 Para puntos interiores, r<R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑨 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑪∗𝒂∗𝒆 − 𝒓 𝒂∗(−𝒓𝟐−𝟐∗𝒂∗𝒓−𝟐∗𝒂𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 39. Una corteza esférica no conductora y maciza de radio interior a y de radio exterior b posee una densidad ρ de carga volúmica uniforme. a) Calcular la carga total. b) El campo eléctrico en todos los puntos. a) 𝒅𝒒 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝝆 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑸 = ∫ 𝒅𝒒 = ∫ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝒃 𝒂 𝒃 𝒂 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ (𝒃𝟑 − 𝒂𝟑 ) b) Para r>R: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝝆∗(𝒃𝟑−𝒂𝟑) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝝅∗𝝆∗(𝒃𝟑−𝒂𝟑) 𝟑∗𝒓𝟐 Para puntos interiores, a<r<b: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝝆∗(𝒓𝟑−𝒂𝟑) 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝟒∗𝒌∗𝝅∗𝝆∗(𝒓𝟑−𝒂𝟑) 𝟑∗𝒓𝟐 Para r<a: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ; 𝑬 = 𝟎 40. Una carga puntual de + 5 nC está localizada en el origen. Esta carga está rodeada por una distribución simétricamente esférica de carga negativa dada por 𝝆(𝒓) = 𝑪𝒆−𝒓/𝒂 . a) ¿Cuál es el valor de la constante C si la carga total del sistema es nula? b) ¿Cuál es el campo eléctrico en r=a? a) Utilizando la carga halla en el problema 38: 𝑸 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝑹 𝒂 ∗ (−𝑹𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝑹 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐) Esta carga ha de ser de -5 nC. Despejando C: 𝑪 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟒∗𝝅∗𝒂∗(𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) ∗ 𝒆 𝑹 𝒂 b) Para r=a, la carga interior será: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 + 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝟏 ∗ (−𝒂𝟐 − 𝟐 ∗ 𝒂 ∗ 𝒂 − 𝟐 ∗ 𝒂𝟐) 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 + 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟒∗𝝅∗𝒂∗(𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) ∗ 𝒆 𝑹 𝒂 ∗ 𝒂 ∗ 𝒆− 𝟏 ∗ (−𝟔 ∗ 𝒂𝟐) 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ (𝟏 − 𝒆 𝑹 𝒂∗𝒆− 𝟏∗(𝟔∗𝒂𝟐) 𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐)
- 21. 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑬 = 𝟒∗𝝅∗𝒌∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟗∗(𝟏− 𝒆 𝑹 𝒂∗𝒆− 𝟏∗(𝟔∗𝒂𝟐) 𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) 𝟒∗𝝅∗𝒂𝟐 = 𝒌∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟗∗(𝟏− 𝒆 𝑹 𝒂∗𝒆− 𝟏∗(𝟔∗𝒂𝟐) 𝑹𝟐+𝟐∗𝒂∗𝑹+𝟐∗𝒂𝟐) 𝒂𝟐 41. Una esfera sólida no conductora de radio a con su centro en el origen tiene una cavidad esférica de radio b con su centro Enel punto x=b, y=0, z=0 como se muestra en la figura. La esfera contiene una densidad de carga volúmica uniforme ρ. Demostrar que el campo eléctrico en la cavidad es uniforme y viene dado por 𝑬𝒙 = 𝝆𝒃/𝟑𝝐𝒐, Ey=0. (Indicación Sustituir la cavidad por esferas de igual densidad de carga positiva y negativa). 𝑬 ⃗⃗ = 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 Aplicamos el teorema de Gauss a una esfera de centro O y radio r1: 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 ∗ 𝑬𝟏 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝑸 ; 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 ∗ 𝑬𝟏 = 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟏 𝟑 ∗ 𝝆 𝑬𝟏 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒓𝟏 ∗ 𝝆 Consideramos una esfera de carga negativa, con radio r2 menor que b:
- 22. Aplicando Gauss: 𝑬𝟐 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝝆 Vectorialmente: 𝑬 ⃗⃗ = 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 + 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓 ⃗ 𝟏 − 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓 ⃗ 𝟐 𝒓 ⃗ 𝟏 = 𝒃 ⃗ ⃗ + 𝒓 ⃗ 𝟐 𝑬 ⃗⃗ = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ (𝒃 ⃗ ⃗ + 𝒓 ⃗ 𝟐) − 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒓 ⃗ 𝟐 𝑬 ⃗⃗ = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒃 ⃗ ⃗ Teniendo en cuenta que el vector b está dirigido en el eje x: 𝒃 ⃗ ⃗ = 𝒃 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝒌 ∗ 𝝆 ∗ 𝒃 ∗ 𝒊 Usando: 𝒌 = 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐𝒐 𝑬 ⃗⃗ = 𝟒 𝟑 ∗ 𝝅 ∗ 𝟏 𝟒∗𝝅∗𝝐𝒐 ∗ 𝝆 ∗ 𝒃 ∗ 𝒊 = 𝝆∗𝒃 𝟑∗𝝐𝒐 ∗ 𝒊 Distribuciones cilíndricas de carga 42. Demostrar que el campo eléctrico debido a una corteza cilíndrica uniformemente cargada e infinitamente larga de radio R y que posee una densidad de carga superficial σ, viene dado por 𝑬𝒓 = 𝟎 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 < 𝑹 𝑬𝒓 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝒐𝒓 = 𝝀 𝟐𝝅𝝐𝒐𝒓 𝒄𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒓 > 𝑹 En donde λ=𝟐𝝅𝑹𝝈 es la carga por unidad de longitud sobre la corteza. Usando un cilindro con la cara lateral paralela a la corteza considerada, r>R: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝟎
- 23. 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝟎∗∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝈∗𝟐∗𝝅∗𝑹∗𝑳 𝝐𝟎∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝟎∗𝒓 Para un r<R, la carga interior es 0, el campo también. 43. Una corteza cilíndrica de longitud 200 m y radio 6 cm posee una densidad de carga superficial uniforme σ= 9 nC/m2 . a) ¿Cuál es la carga total sobre la corteza? Determinar el campo eléctrico en: b) r= 2 cm. c) r= 5,9 cm. d) r= 6,1 cm. e) r= 10 cm. (Utilizar los resultados del problema 42) a) 𝑸 = 𝝈 ∗ 𝑨 = 𝝈 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹 ∗ 𝑳 = 𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟔 ∗ 𝟐𝟎𝟎 𝑸 = 𝟔.𝟕𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪 b) Qint=0; E=0. c) Igual que en b. d) 𝑬(𝒓) = 𝝈∗𝑹 𝝐𝟎∗𝒓 𝑬(𝟎.𝟎𝟔𝟏) = 𝟗∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟔 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟎.𝟎𝟔𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵/𝑪 e) 𝑬(𝟎.𝟏𝟎) = 𝟗∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟔 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟎.𝟏𝟎 = 𝟔𝟏𝟎 𝑵/𝑪 44. Un cilindro no conductor infinitamente largo de radio R posee una densidad de carga volúmica uniforme 𝝆(𝒓) = 𝝆𝒐. Demostrar que el campo eléctrico viene dado por 𝑬𝒓 = 𝝆𝑹𝟐 𝟐𝝐𝒐𝒓 = 𝟏 𝟐𝝅𝝐𝒐 𝝀 𝒓 , 𝒓 > 𝑹 𝑬𝒓 = 𝝆 𝟐𝝐𝒐 𝒓 = 𝟏 𝟐𝝅𝝐𝒐 𝝀 𝑹𝟐 𝒓 , 𝒓 < 𝑹 En donde 𝝀 = 𝝆𝝅𝑹𝟐 es la carga por unidad de longitud. Aplicando la ley de Gauss a un cilindro con la cara lateral paralela al cilindro cargado tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆𝒐 ∗ 𝑽 = 𝝆𝒐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑳 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆𝒐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑳 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆𝒐∗𝑹𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 < 𝑹: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆𝒐 ∗ 𝑽 = 𝝆𝒐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝑳 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆𝒐∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝑳 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆𝒐∗𝒓𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝒓 = 𝝆𝒐∗𝒓 𝝐𝒐∗𝟐 45. Un cilindro de longitud 200 m y radio 6 cm posee una densidad de carga volúmica uniforme ρ=300 nC/m3 . a) ¿Cuál es la carga total del cilindro? Utilizar las fórmulas dadas en el problema 44 para determinar el campo eléctrico en un punto equidistante de los extremos en: b) r= 2 cm. c) r= 5,9 cm. d) r= 6,1 cm. e) r= 10 cm. Comparar los resultados con los del problema 43.
- 24. a) 𝑸 = 𝝆 ∗ 𝑽 = 𝝆 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑳 = 𝟑𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟔𝟐 ∗ 𝟐𝟎𝟎 = 𝟔. 𝟕𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪 b) 𝑬 = 𝝆𝒐∗𝒓 𝝐𝒐∗𝟐 𝑬(𝟎. 𝟎𝟐) = 𝟑𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟐 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟐 = 𝟑𝟑𝟗 𝑵/𝑪 c) 𝑬(𝟎. 𝟎𝟓𝟗) = 𝟑𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟓𝟗 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟐 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝑵/𝑪 d) 𝑬(𝒓) = 𝝆𝒐∗𝑹𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝒓 𝑬(𝟎. 𝟎𝟔𝟏) = 𝟑𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟔𝟐 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟐∗𝟎.𝟎𝟔𝟏 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵/𝑪 e) 𝑬(𝟎. 𝟏𝟎) = 𝟑𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟔𝟐 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟐∗𝟎.𝟏𝟎 = 𝟔𝟏𝟎 𝑵/𝑪 Los resultados en la parte exterior del cilindro son iguales. 46. Consideremos dos cortezas cilíndricas concéntricas infinitamente largas. La corteza interior tiene un radio R1 y posee una densidad de carga superficial uniforme σ1, mientras quela exterior tiene un radio R2 y una densidad de carga superficial uniforme σ2. a) Utilizar la ley de Gauss para hallar el campo eléctrico en las regiones r<R1, R1<r<R2 y r>R2. b) ¿Cuál deberá ser el cociente σ2/σ1 y el signo relativo de ambas para que el campo eléctrico sea cero cuando r>R2? ¿Cuál es entonces el campo eléctrico entre las cortezas? c) Hacer un esquema de las líneas de fuerza en el caso indicado en la parte (b). a) Para r<R1: La carga interior del cilindro a considerar será 0, el campo será nulo. Para R1<r<R2: Solamente el cilindro interior tendrá carga interior al aplicar la ley de Gauss. 𝑬 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 = 𝝈𝟏∗𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏∗𝑳 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝈𝟏∗𝑹𝟏 𝝐𝒐∗𝒓 Para r>R2: 𝑬 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝒒𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 = 𝝈𝟏∗𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏∗𝑳+𝝈𝟐∗𝟐∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝑳 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝈𝟏∗𝑹𝟏+𝝈𝟐∗𝑹𝟐 𝝐𝒐∗𝒓 b) 𝟎 = 𝝈𝟏 ∗ 𝑹𝟏 + 𝝈𝟐 ∗ 𝑹𝟐 ; 𝝈𝟐 𝝈𝟏 = − 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑬𝒍 𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂𝒔: 𝑬 = 𝝈𝟏∗𝑹𝟏 𝝐𝒐∗𝒓 c)
- 25. Si larga en 1 es positiva. 47. La figura muestra una porción de un cable concéntrico infinitamente largo en sección transversal. El conductor interno posee una carga de 6 nC/m; el conductor externo está descargado. a) Determinar el campo eléctrico para todos los valores de r, en donde r es la distancia desde el eje del sistema cilíndrico. b) ¿Cuáles son las densidades superficiales de carga sobre las superficies interior y exterior del conductor externo? a) 𝒓 ≤ 𝟏, 𝟓 𝒄𝒎 ∶ 𝑬 = 𝟎, al ser conductor y estar toda la carga sobre la superficie exterior. 𝟏.𝟓 < 𝒓 < 𝟒. 𝟓 𝒄𝒎: Considerando superficie esférica, en su cara lateral, tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 = 𝝀∗𝑳 𝝐𝒐 = 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏∗𝑳∗𝝈 𝝐𝒐 𝑬 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟏 ∗ 𝑳 ∗ 𝝈 𝝐𝒐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑹𝟏 ∗ 𝝈 𝝐𝒐 ∗ 𝒓 = (𝝀 ∗ 𝑳) 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝐𝒐 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 = 𝝀 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝐𝒐 ∗ 𝒓 = 𝟐 ∗ 𝒌 ∗ 𝝀 𝒓 𝑬(𝒓 < 𝟏. 𝟓 ≤ 𝟒. 𝟓 𝒄𝒎) = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝒓 = 𝟏𝟎𝟖 𝒓 𝟒.𝟓 ≤ 𝒓 ≤ 𝟔. 𝟓 𝒄𝒎 : 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒖𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐,𝑬 = 𝟎. 𝟔.𝟓 𝒄𝒎 < 𝒓: En la cara interior del conductor de mayor radio se induce una carga igual y de signo contrario a la del conductor interior, en la cara exterior tendremos una carga: 𝑸 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 ∗ 𝑳 ∗ 𝝈𝟐 Utilizando el valor calculado en el aparado (b): 𝑬(𝟔. 𝟓 𝒄𝒎 < 𝒓) = 𝑹𝟐∗𝝈𝟐 𝝐𝒐∗𝒓 = 𝟎.𝟎𝟔𝟓∗(−𝟐.𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟖) 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝒓 = − 𝟏𝟓𝟔 𝒓 b) La carga interior del conductor externo se carga por inducción con una carga negativa, la superficie exterior se carga con la misma carga, pero positiva: 𝝈𝟏 = 𝝀𝟏 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟏 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝝅∗𝟎.𝟎𝟒𝟓 = 𝟐. 𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 La densidad en la capa exterior será la misma, pero negativa: 𝝈𝟐 = −𝟐.𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 48. Repetir el problema 44 para un cilindro con densidad volúmica de carga a) 𝝆(𝒓) = 𝒂𝒓. b) ) 𝝆(𝒓) = 𝑪𝒓𝟐 .
- 26. a) Aplicando la ley de Gauss a un cilindro con la cara lateral paralela al cilindro cargado tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝒂 ∗ 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ ∫ 𝒓𝟐 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ 𝒓𝟑 𝟑 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 ≤ 𝑹 : 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝒂∗ 𝒓𝟑 𝟑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝒂∗𝒓𝟐 𝟑∗𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒂 ∗ 𝑹𝟑 𝟑 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝒂∗ 𝑹𝟑 𝟑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝒂∗𝑹𝟑 𝟑∗𝝐𝒐∗𝒓 b) 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 ∗ 𝒓𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟑 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒓𝟑 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓𝟒 𝟒 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝒓𝟒 𝟐 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 ≤ 𝑹 : 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝒓𝟒 𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝒓𝟑 𝟒∗𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝑹𝟒 𝟐 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝑪∗𝑹𝟒 𝟐 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹𝟒 𝟒∗𝝐𝒐∗𝒓 49. Repetir el problema 44 con ρ=C/r. Aplicando la ley de Gauss a un cilindro con la cara lateral paralela al cilindro cargado tendremos: 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝑳 ∗ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 ≤ 𝑹 : 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝒓 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪 𝝐𝒐 Para r>R: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 50. Una corteza cilíndrica no conductora, gruesa e infinitamente larga, de radio interior a y radio exterior b, posee una densidad de carga volúmica uniforme ρ. Determinar el campo eléctrico en todos sus puntos. Para r<a: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝟎 E=0. Para a<r<b: 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝝆 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒓 𝒂 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ( 𝒓𝟐 𝟐 − 𝒂𝟐 𝟐 ) = 𝑳 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ (𝒓𝟐 − 𝒂𝟐 )
- 27. 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝝆∗(𝒓𝟐−𝒂𝟐) 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆∗(𝒓𝟐−𝒂𝟐) 𝟐∗𝝐𝒐∗𝒓 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒓 > 𝒃: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ∫ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 𝒃 𝒂 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ ( 𝒃𝟐 𝟐 − 𝒂𝟐 𝟐 ) = 𝑳 ∗ 𝝅 ∗ 𝝆 ∗ (𝒃𝟐 − 𝒂𝟐 ) 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝝅∗𝝆∗(𝒃𝟐−𝒂𝟐) 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝝆∗(𝒃𝟐−𝒂𝟐) 𝟐∗𝝐𝒐∗𝒓 51. Supongamos que el cilindro interno de la figura del problema 47 está construido con un material no conductor y posee una distribución de carga volúmica dada por 𝝆(𝒓) = 𝑪/𝒓, en donde C=200 nc/m3 . El cilindro externo es metálico. a) Determinar la carga por metro que posee el cilindro interno. b) Calcular el campo eléctrico para todos los valores de r. a) 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒅𝒓 𝑹 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝝀 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝑳 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝟐𝟎𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟎.𝟎𝟏𝟓 = 𝟏. 𝟖𝟖 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎 a) Para el material interior no conductor, r<1,5 cm: 𝒅𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝝆(𝒓) ∗ 𝒅𝑽 = 𝑪 𝒓 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓 ∗ 𝒅𝒓 ∗ 𝑳 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒅𝒓 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ ∫ 𝒅𝒓 𝒓 𝟎 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝒓 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝒓 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪 𝝐𝒐 = 𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟐.𝟐𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 En la zona 1.5<r<4,5cm: 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝐑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 = 𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝒓 = 𝟑𝟑𝟗 𝒓 En el cilindro exterior, conductor en equilibrio, E=0. Para r>6,5 cm: La carga global continúa siendo la del cable interior. 𝑸𝒊𝒏𝒕 = 𝑳 ∗ 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝑪 ∗ 𝑹 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑳∗𝟐∗𝝅∗𝑪∗𝐑 𝝐𝒐∗𝟐∗𝝅∗𝒓∗𝑳 = 𝑪∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 = 𝟐𝟎𝟎∗𝟏𝟎−𝟗∗𝟎.𝟎𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝒓 = 𝟑𝟑𝟗 𝒓 Carga y campo en superficies conductoras 52. Una moneda está en el interior de un campo eléctrico externo de valor 1,6 kN/C cuya dirección es perpendicular a sus caras. a) Hallar las densidades de carga en cada cara de la moneda suponiendo que son planas. b) Si el radio de la moneda es 1 cm, ¿Cuál es la carga total en una cara? a) Campo en el exterior del conductor: 𝑬𝒏 = 𝝈 𝝐𝒐 ; 𝝈 = 𝑬𝒏 ∗ 𝝐𝒐 = 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝟖. 𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 b) 𝑸 = 𝝈 ∗ 𝑨 = 𝝈 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 ∗ 𝝅 ∗ 𝟎.𝟎𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝑪 53. Un bloque metálico sin carga tiene caras cuadradas de 12 cm de lado. Se coloca dentro de un campo eléctrico externo que es perpendicular a sus caras. ¿Cuál es el valor del campo eléctrico, si la carga total inducida sobre una de las caras del bloque es 1,2 nC? 𝑬𝒏 = 𝝈 𝝐𝒐 = 𝑸 𝑳𝟐 𝝐𝒐 = 𝟏.𝟐∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟏𝟐𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟗.𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 54. Una carga de 6 nC se coloca uniformemente sobre una lámina cuadrada de material no conductor de 20 cm de lado situado en el plano yz.
- 28. a) ¿Cuál es la densidad superficial de carga σ? b) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico a la derecha y a la izquierda de la lámina? c) Se coloca la misma carga sobre un bloque cuadrado conductor de 20 cm de lado y 1 mm de espesor. ¿Cuál es la densidad cuadrada de carga σ? (Admitir que la carga se distribuye por sí misma de modo uniforme en las superficies cuadradas del bloque). d) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico justo a la derecha y a la izquierda de cada cara del bloque? a) 𝝈 = 𝑸 𝑨 = 𝑸 𝑳𝟐 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝟎.𝟐𝟐 = 𝟏. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪/𝒎𝟐 b) Para un material no conductor: 𝑬 = 𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 = 𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟕 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟖𝟒𝟕𝟒 𝑵/𝑪 c) 𝝈 = 𝑸 𝟐∗𝑨 = 𝑸 𝟐∗𝑳𝟐 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟎.𝟐𝟐 = 𝟕.𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟖 𝑪/𝒎𝟐 d) 𝑬 = 𝝈 𝝐𝒐 = 𝟕.𝟓∗𝟏𝟎−𝟖 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟖𝟒𝟕𝟒 𝑵/𝑪 55. Una corteza conductora esférica con una carga neta cero tiene un radio interior a y un radio exterior b. Se coloca una carga puntual q en el centro de la corteza. a) Utilizar la ley de Gauss y las propiedades de los conductores en equilibrio para hallar el campo eléctrico en cada una de las regiones r<a, a<r<b y b<r. b) Dibujar las líneas de campo eléctrico para este caso. c) Determinar la densidad de carga en la superficie interna (r=a) y en la superficie externa (r=b) de la corteza. a) Se inducen sobre la capa interior una carga -q y sobre la exterior una de +q. 𝒓 < 𝒂: Consideramos esfera concéntrica a la carga q: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝒒 𝝐𝒐 ; 𝑬 = 𝒒 𝝐𝒐∗𝑨 = 𝒌 ∗ 𝒒 𝒓𝟐 𝒂 < 𝒓 < 𝒃: Por tratarse de un conductor en equilibrio, E=0. 𝒃 < 𝒓 : 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝒒 𝝐𝒐 ; 𝑬 = 𝒒 𝝐𝒐∗𝑨 = 𝒌 ∗ 𝒒 𝒓𝟐 b) c) 𝝈 = −𝒒 𝟒∗𝝅∗𝒂𝟐 , 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒂𝒑𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓. 𝝈 = 𝒒 𝟒∗𝝅∗𝒃𝟐 , 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒂𝒑𝒂 𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓.
- 29. 56. El campo eléctrico justo por encima de la superficie de la Tierra, medido experimentalmente es de 150 N/C, dirigido hacia abajo. ¿Qué carga total sobre la Tierra está implicada en esta medida? 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝑸𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 𝝐𝒐 ; 𝑸𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 = 𝑬 ∗ 𝑨 ∗ 𝝐𝒐 = 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝑹𝑻 𝟐 ∗ 𝝐𝒐 𝑸𝑻𝒊𝒆𝒓𝒓𝒂 = 𝟏𝟓𝟎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ (𝟔.𝟑𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟔) 𝟐 ∗ 𝟖.𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟔.𝟕𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑪 57. Una carga puntual positiva de magnitud 2,5 µC, se encuentra en el centro de una corteza conductora esférica sin carga, de radio interior 60 cm y de radio exterior 90 cm. a) Determinar las densidades de carga sobre las superficies interior y exterior de la corteza y la carga total sobre cada superficie. b) Determinar el campo eléctrico en cualquier punto. c) Repetir (a) y (b) para el caso en que una carga neta de + 3,5 µC se sitúa sobre la corteza. a) Sobre la cara interior de la corteza se induce una carga -q = -2,5 µC y sobre la exterior +q= 2,5 µC. Cara interior: 𝝈𝒊𝒏𝒕 = −𝒒 𝟒∗𝝅∗𝑹𝟏 𝟐 = −𝟐.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟔𝟐 = −𝟓.𝟓𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪/𝒎𝟐 Cara exterior: 𝝈𝒆𝒙𝒕 = 𝒒 𝟒∗𝝅∗𝑹𝟐 𝟐 = 𝟐.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟗𝟐 = 𝟐.𝟒𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪/𝒎𝟐 b) 𝒓 < 𝟎. 𝟔m: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝒒 𝝐𝒐 ; 𝑬 = 𝒒 𝝐𝒐∗𝑨 = 𝒌 ∗ 𝒒 𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟐.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝒓𝟐 = 𝟐𝟐𝟒𝟕𝟓 𝒓𝟐 𝟎.𝟔 𝒎 < 𝒓 < 𝟎.𝟗 𝒎: 𝑪𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐,𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝟎. 𝒓 > 𝟎.9 m: La carga neta interior es 2,5 µC, el campo será: 𝑬 = 𝟐𝟐𝟒𝟕𝟓 𝒓𝟐 c) 𝒓 < 𝟎. 𝟔m: 𝑳𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒏𝒆𝒕𝒂 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒆 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝟐,𝟓 𝝁𝑪. 𝑬 = 𝟐𝟐𝟒𝟕𝟓 𝒓𝟐 Ahora la carga central induce una separación de cargas en la esfera conductora, la carga total de las cargas inducidas ahora no será 0, será 3,5 µC. 𝒒𝒊𝒏𝒕 + 𝒒𝒆𝒙𝒕 = 𝟑,𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 La carga en la esfera interior será de -2.5 µC. La densidad de la carga interior será: 𝝈𝒊𝒏𝒕 = −𝟐.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟔𝟐 = −𝟓. 𝟓𝟑 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪/𝒎𝟐 La carga en la esfera exterior será: 𝒒𝒊𝒏𝒕 + 𝒒𝒆𝒙𝒕 = 𝟑,𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 ; 𝒒𝒆𝒙𝒕 = −𝒒𝒊𝒏𝒕 + 𝟑, 𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝒒𝒆𝒙𝒕 = (𝟐.𝟓 + 𝟑. 𝟓) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝟎.𝟔 𝒎 < 𝒓 < 𝟎.𝟗 𝒎: 𝑪𝒐𝒏𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒍𝒊𝒃𝒓𝒊𝒐,𝒄𝒂𝒎𝒑𝒐 𝟎. 𝒓 > 𝟎.9 m: La carga neta interiores: 𝒒𝒊𝒏𝒕,𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 = (𝟐. 𝟓 − 𝟐.𝟓 + 𝟔) ∗ 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪 𝑬 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝒓𝟐 = 𝟓𝟑𝟗𝟒𝟎 𝒓𝟐
- 30. 58. Si la magnitud de un campo eléctrico en la atmósfera es 3 106 N/C, el aire se ioniza y comienza a conducir la electricidad. Este fenómeno se denomina descarga eléctrica. Una carga de 18 µC se sitúa sobre una esfera conductora. ¿Cuál es el radio mínimo de una esfera que puede soportar esta carga sin que se produzca la descarga dieléctrica? El campo en el exterior de la esfera viene dado por: 𝑬 = 𝒌 ∗ 𝑸 𝑹𝟐 El radio pedido será el que proporcione el campo de ruptura: 𝑹 = √ 𝒌∗𝑸 𝑬 = √𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟏𝟖∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑∗𝟏𝟎𝟔 = 𝟎,𝟐𝟑𝟐 𝒎 59. Una lámina conductora cuadrada con lados de 5 m es portadora de una carga neta de 80 µC. a) Determinar la densidad de carga sobre cada cara de la lámina y el campo eléctrico justo en el exterior de una cara de la lámina. b) La lámina se sitúa a la derecha de un plano infinito no conductor, cargado con una densidad de 2,0 µC/m2 y de modo que las caras de la lámina son paralelas al plano. Determinar el campo eléctrico sobre cada cara de la lámina lejos de los bordes y la densidad de carga sobre cada cara. a) Los 80 µC se reparten entre las dos caras de la lámina. 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝒒 𝟐∗𝑨 = 𝒒 𝟐∗𝑳𝟐 = 𝟖𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟓𝟐 = 𝟏.𝟔 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎𝟐 En las proximidades de un metal el campo viene dado por: 𝑬 = 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 𝝐𝒐 = 𝟏.𝟔∗𝟏𝟎−𝟔 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟖𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) El campo creado por el plano será: 𝑬𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 = 𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 = 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 Los dos campos tienen sentidos opuestos en la región central del dibujo,1 , por tanto, el campo resultante será: 𝑬𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕 = 𝑬𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 − 𝑬𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂 = (𝟏.𝟏𝟑 − 𝟏.𝟖𝟏) ∗ 𝟏𝟎𝟓 = −𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 Para la zona exterior del dibujo, región 2: 𝑬𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕 = 𝑬𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 + 𝑬𝒍𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂 = (𝟏.𝟏𝟑 + 𝟏.𝟖𝟏) ∗ 𝟏𝟎𝟓 = 𝟐.𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 Para las densidades de carga: Región 1: 𝑬 = 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 𝝐𝒐 ; 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝑬 ∗ 𝝐𝒐 = −𝟔. 𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟖.𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = −𝟔.𝟎𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟕 𝑪/𝒎𝟐
- 31. Región 2: 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝑬 ∗ 𝝐𝒐 = 𝟐.𝟗𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟖.𝟖𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟏𝟐 𝝈𝒍á𝒎𝒊𝒏𝒂 = 𝟐.𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎−𝟔 𝑪/𝒎𝟐 60. Suponer que se pincha un pequeño orificio a través de la pared de una corteza esférica delgado y uniformemente cargada, cuya densidad de carga superficial es σ. Determinar el campo eléctrico próximo al centro del orificio. El campo será el de la esfera más el que crearía un parche con la misma densidad, pero signo contrario al de la esfera. 𝑬 = 𝑬𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 + 𝑬𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 Aplicando Gauss a la corteza: 𝑬𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 ∗ 𝑨 = 𝑸 𝝐𝒐 ; 𝑬𝒄𝒐𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝝐𝒐 El campo del agujero 𝑬𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 = −𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 = −𝑸 𝟐∗𝝐𝒐∗𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 𝑬 = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝝐𝒐 + −𝑸 𝟐∗𝝐𝒐∗𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 = 𝑸 𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐∗𝝐𝒐 ∗ (𝟏 − 𝟏 𝟐 ) = 𝑸∗𝒌 𝒓𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 Usando la densidad de carga: 𝑬 = 𝝈∗𝟒∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝒌 𝒓𝟐 ∗ 𝟏 𝟐 Problemas generales 61. Verdadero o falso: a) Si no existe ninguna carga en una región del espacio, el campo eléctrico debe ser cero en todos los puntos de una superficie que rodea una región citada. b) El campo eléctrico en el interior de una corteza esférica uniformemente cargada es cero. c) El campo eléctrico en el interior de un conductor en equilibrio electrostático es siempre cero. d) Si la carga neta sobre un conductor es cero, la densidad de carga debe ser cero en todos los puntos de la superficie. a) Falso, puede haber cargas fuera de la región considerada que creen un campo en ella. b) Verdadero, al no haber cargas dentro, aplicando Gauss a una superficie interior, E=0. c) Verdadero, si hay equilibrio no puede haber movimiento de cargas, por tanto, no habrá campo. d) Falso, puede haber cargas inducidas iguales y de signos contrarios en la superficie.
- 32. 62. Si el campo eléctrico E es cero en todos los puntos de una superficie cerrada, ¿es necesariamente cero el flujo neto a través de la superficie? ¿Qué significa entonces la carga neta dentro de la superficie? Considerando la ley de Gauss, si el campo es cero, el flujo a través de la superficie es cero. De igual manera, la carga neta ha de ser cero. 63. Una carga puntual -Q se encuentra en el centro de una corteza conductora esférica de radio interior R1 y radio exterior R2 como indica la figura. La carga sobre la superficie interna de la corteza es a) +Q. b) cero. c) -Q. Por inducción se produce una acumulación de carga +Q en la corteza interior. Respuesta a. 64. En la configuración de la figura del problema anterior, la carga sobre la superficie exterior de la corteza es a) + Q. b) cero. c) -Q. d) Dependiente de la carga total depositada en la corteza. En la corteza interior se induce la carga -Q, pero en la exterior la carga dependerá de la inicial de la corteza, se ha de cumplir: 𝑸𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 = −𝑸 + 𝑸𝒆𝒙𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓 65. Supongamos que la carga total sobre la corteza conductora del problema 63 es cero. En consecuencia, el campo eléctrico para r<R1 y r>R2 apunta a) Hacia fuera desde el centro de la corteza en ambas regiones. b) Hacia el centro de la corteza en ambas regiones. c) Hacia el centro de la corteza para r<R1 y es cero para r>R2. d) Hacia fuera desde el entro de la corteza para r<R1 y e cero para r>R2. En la zona interior irá hacia dentro y en la exterior también, dado que la carga neta en esta región es -Q. Respuesta b. 66. Si la corteza conductora del problema 63 se conecta a tierra, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? a) La carga de la superficie interna de la corteza es +Q y la de la superficie exterior -Q. b) La carga de la superficie interna de la corteza es +Q y la de la superficie exterior es cero. c) La carga en ambas superficies de la corteza es +Q. d) La carga en ambas superficies de la corteza es cero. La carga interior induce unas cargas +Q en el interior y -Q en el exterior. Al conectar el exterior a tierra, se moverán cargas positivas desde tierra hacia la esfera. La capa exterior quedará con carga cero. Respuesta b.
- 33. 67. Con la configuración descrita en el problema 66, con la corteza conductora conectada a tierra, el campo eléctrico para r<R1 y r>R2 apunta: a) Hacia fuera desde el centro de la corteza en ambas regiones. b) Hacia el centro de la corteza en ambas regiones. c) Hacia el centro de la corteza para r<R1 y es cero para r>R2 . En la zona interior el sentido del campo lo marca -Q, hacia el centro. En la exterior, la carga global es nula, el campo también. Respuesta c. 68. Si el flujo neto a través de una superficie cerrada es cero, ¿significa esto que el campo eléctrico E es cero en todos los puntos de la superficie? ¿Significa que la carga neta dentro de la superficie es cero? Si el flujo neto es cero, no tiene porque serlo en todas las partes de la superficie, puede se entrante en una región y saliente en otra. La carga neta si ha de ser cero. 69. La ecuación 𝑬𝒚 = 𝟐𝒌𝝀 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒐 = 𝟐𝒌𝝀 𝒚 𝟏 𝟐 𝑳 √( 𝑳𝟐 𝟒 )+𝒚𝟐 Correspondiente al campo eléctrico en la mediatriz de una carga lineal finita es diferente a la ecuación 𝑬𝒚 = 𝟐𝒌𝝀 𝒚 Que corresponde al campo eléctrico próximo a una carga lineal infinita; sin embargo, la ley de Gauss ofrece el mismo resultado en estos dos casos. Explicar. Si consideramos un cilindro con su cara lateral paralela a la carga lineal el resultado es el mismo, pero en el caso de una línea infinita de carga no estamos considerando toda la carga que produce campo en el punto, por ello el resultado obtenido no sería correcto. 70. Verdadero o falso: El campo eléctrico es discontinuo en todos los puntos en los cuales la densidad de carga es discontinua. Falso, por ejemplo, en una esfera uniformemente cargada, la densidad es discontinua en su superficie, pero el campo no. 71. Consideremos las tres esferas metálicas concéntricas de la figura. La esfera I es sólida con el radio R1. La esfera II es hueca con el radio R2 más interno y el radio R3 externo. La esfera III es hueca con radio R4 más interno y radio R5 externo. Inicialmente las tres esferas tienen una carga en exceso nula. A continuación, situamos una carga -Qo sobre la esfera I y una carga positiva + Qo sobre la esfera III. a) Una vez que las cargas han alcanzado el equilibrio, el campo eléctrico en el espacio comprendido entre las esferas I y II, ¿está dirigido hacia el centro, se aleja del centro o ninguna de ambas cosas? b) ¿Cuánta carga existirá sobre la superficie interna de la esfera II? Especificar su signo.
- 34. c) ¿Cuánta carga existirá sobre la superficie externa de la esfera II? d) ¿Cuánta carga existirá sobre la superficie interna de la esfera III? e) ¿Cuánta carga existirá sobre la superficie externa de la esfera III? f) Representar E en función de r. a) Al ser la carga neta de la esfera I negativa, el campo estará dirigido hacia el centro. b) La carga de I, -Qo, inducirá una carga +Qo sobre la cara interior de la esfera II. c) La corteza II estaba descargada, su carga neta ha de seguir siendo cero, la capa externa de II tendrá una carga -Qo. d) La carga externa de II inducirá sobre la capa interna de III una carga de +Qo. e) Dado que la carga global de la esfera III es +Qo , la capa externa ha de tener una carga 0. f) 72. Un primer modelo del átomo de hidrógeno considera que el átomo estaba formado por un protón en forma de una esfera cargada de radio R con un electrón en una órbita de radio ro dentro del protón como indica la figura. a) Utilizar la ley de Gauss para obtener la magnitud de E en la posición del electrón. Dar la respuesta en función de e (carga del protón), ro y R. b) Determinar la frecuencia de revolución f en función de ro y la velocidad del electrón v. c) ¿Cuál es la fuerza sobre el electrón en función de m, v y ro? d) ¿Cuál es la frecuencia f en función de m, e, R, εo y ro? (Cada una de las respuestas no necesita incluir todas las magnitudes especificadas)
- 35. a) Considerando una esfera de radio ro: 𝑬 ∗ 𝑨 = 𝑸𝒏𝒆𝒕𝒂 𝝐𝒐 ;𝑬 = 𝝆∗𝑽 𝑨∗𝝐𝒐 = 𝒆 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝑹𝟑 ∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝒐 𝟑 𝟒∗𝝅∗𝒓𝒐 𝟐∗𝝐𝒐 = 𝒆∗𝒓𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹𝟑∗𝝐𝒐 b) 𝒗 = 𝚫𝒔 𝚫𝒕 Para 1 vuelta: 𝚫𝒔 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝒐 ; 𝚫𝒕 = 𝑻 = 𝟏/𝒇 𝒗 = 𝟐 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝒐 ∗ 𝒇 ; 𝒇 = 𝒗 𝟐∗𝝅∗𝒓𝒐 c) 𝑭 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓𝒐 d) 𝒆 ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒗𝟐 𝒓𝒐 𝒆 ∗ 𝒆∗𝒓𝒐 𝟒∗𝝅∗𝑹𝟑∗𝝐𝒐 = 𝒎 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅𝟐 ∗ 𝒇𝟐 ∗ 𝒓𝒐 𝒇 = √ 𝒆𝟐 𝟏𝟔∗𝝅𝟑∗𝒎∗𝑹𝟑∗𝝐𝒐 = 𝒆 𝟒∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟏 √𝝅∗𝒎∗𝑹∗𝝐𝒐 73. Sobre el plano y z tenemos una carga superficial no uniforme. En el origen, la densidad de carga superficial es σ = 3,10 µC/m2 . En el espacio existen otras distribuciones de carga. Justo a la derecha del origen, el componente x del campo eléctrico es 𝑬𝒙 = 𝟒,𝟔𝟓 𝟏𝟎𝟓 N/C. ¿Cuál es el valor de Ex justo a la izquierda del origen? Debido a que la diferencia entre el campo justo a la derecha del origen y el campo justo a la izquierda del origen es el campo debido a la carga superficial no uniforme, podemos poner: 𝑬𝒙,𝒊𝒛𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓𝒅𝒂 = 𝑬𝒙,𝒅𝒆𝒓𝒆𝒄𝒉𝒂 − 𝝈 𝝐𝟎 = 𝟒.𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓 − 𝟑.𝟏𝟎∗𝟏𝟎−𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏, 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 74. Una carga lineal infinita de densidad lineal uniforme λ=-1,5 µC/m es paralela al eje y en x= -2 m. Una carga puntual de 1,3 µC está localizada en x=1m, y=2 m. Determinar el campo eléctrico en x= 2m, y= 1,5 m.
- 36. 𝑬 ⃗⃗ = 𝑬 ⃗⃗ 𝝀 + 𝑬 ⃗⃗ 𝒒 Utilizando la expresión para el campo creado por un conductor lineal de longitud infinita: 𝑬 ⃗⃗ 𝝀 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒅 ∗ 𝒊 = − 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟒 ∗ 𝒊 = −𝟔. 𝟕𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ 𝒒 = 𝒌∗𝒒 𝒓𝟐 ∗ ( 𝒅𝒙 𝒓 ∗ 𝒊 − 𝒅𝒚 𝒓 ∗ 𝒋) = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟏.𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 𝟏𝟐+𝟎.𝟓𝟐 ∗ ( 𝟏 √𝟏𝟐+𝟎.𝟓𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟎.𝟓 √𝟏𝟐+𝟎.𝟓𝟐 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝒒 = 𝟖.𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 − 𝟒. 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = (−𝟔.𝟕𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟖.𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑) ∗ 𝒊— 𝟒.𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = 𝟏,𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊— 𝟒. 𝟏𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 75. Dos planos infinitos de carga son paralelos entre sí y paralelos al plano y z. Uno de ellos corresponde a x= - 2 m y su densidad superficial de carga es σ = -3.5 µC/m2 . El otor corresponde a x= 2 m y σ = 6,0 C/m2 . Determinar el campo eléctrico para a) x< - 2m. b) -2 m< x < 2 m. c) x> 2 m. a) Para un plano infinito de carga: 𝑬𝒏 = 𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 En x < 2 m: 𝑬𝒙 = 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 − 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = −𝟏.𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 b) En la región entre planos 𝑬𝒙 = − 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 − 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = −𝟓.𝟑𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 c) 𝑬𝒙 = − 𝟑.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 + 𝟔.𝟎∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟒𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 76. Una corteza cilíndrica infinitamente larga, coaxial con el eje y tiene un radio de 15 cm. Posee una densidad superficial y uniforme de carga σ = 6 µC/m2 . Una corteza esférica de radio 25 cm está centrada sobre el eje x en x = 50 cm y posee una densidad superficial y uniforme de carga σ = -12 µC/m2 . Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en: a) El origen. b) x= 20 cm, y= 10 cm. c) x= 50 cm, y= 20 cm. (Véase el problema 42) a) Para el origen: 𝑬 ⃗⃗ 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝟎 𝑬 ⃗⃗ 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝒌∗𝑸 𝒅𝟐 = 𝒌∗𝟒∗𝝅∗𝑹𝟐∗𝝈 𝒅𝟐 ∗ 𝒊 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟐𝟓𝟐∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟓𝟐 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ = 𝟑.𝟑𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 ∗ 𝒊 b) 𝑬 ⃗⃗ 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 ∗ 𝒊 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟎.𝟐 ∗ 𝒊 = 𝟓. 𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝒌∗𝑸 𝒅𝟐 ∗ ( 𝒅𝒙 𝒅 ∗ 𝒊 + 𝒅𝒚 𝒅 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝝅∗𝟎.𝟐𝟓𝟐∗𝟏𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ ( 𝟎.𝟑 √𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ 𝒊 − 𝟎.𝟏 √𝟎.𝟑𝟐+𝟎.𝟏𝟐 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟖. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒊 − 𝟐.𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = (𝟓.𝟎𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 + 𝟖. 𝟎𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟓) ∗ 𝒊 − 𝟐.𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = 𝟏.𝟑𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝒊 − 𝟐. 𝟔𝟖 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 c) 𝑬 ⃗⃗ 𝒄𝒊𝒍𝒊𝒏𝒅𝒓𝒐 = 𝝈∗𝑹 𝝐𝒐∗𝒓 ∗ 𝒊 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟏𝟓 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟎.𝟓 ∗ 𝒊 = 𝟐. 𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝟎 𝑬 ⃗⃗ == 𝟐.𝟎𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵 𝑪 ∗ 𝒊
- 37. 77. Un plano infinito situado en el plano de coordenadas x z posee una densidad de carga superficial uniforme σ1 = 65 nC/m2 . Un segundo plano infinito, portador de una densidad de carga uniforme σ2 = 45 nC/m2 corta el plano x z Enel eje z y forma un ángulo e 30º con el plano x z como indica la figura. Determinar el campo eléctrico en el plano xy en a) x= 6 m, y = 2 m. b) x= 6 m, y = 5 m. a) El punto está por debajo del plano 2. 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ (𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 − 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋) = 𝟒𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 − 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = 𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 − 𝟐. 𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 = 𝟔𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 = 𝟑.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = 𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + (𝟑.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 − 𝟐.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑) ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = 𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + 𝟏. 𝟒𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 b) El punto está por encima del plano 2. 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ (− 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 + 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋) = 𝟒𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ (−𝒄𝒐𝒔 𝟔𝟎 ∗ 𝒊 + 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝟎 ∗ 𝒋) 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = −𝟏. 𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + 𝟐.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 = 𝟔𝟓∗𝟏𝟎−𝟗 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 = 𝟑. 𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = −𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + (𝟑.𝟔𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟐.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑) ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = −𝟏.𝟐𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒊 + 𝟓. 𝟖𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑 ∗ 𝒋 78. Un anillo de radio R transporta una densidad de carga positiva uniforme λ. En la figura se muestra un punto P que se encuentra en el plano del anillo, de longitudes s1 y s2 (indicados en la figura) y que se encuentran a las distancias r1 y r2 del punto P. a) ¿Cuál es la relación entre las cargas de estos elementos? ¿Cuál de ellas genera un campo mayor en el punto P? b) ¿Cuál es la dirección del campo debido a estos elementos en el punto P? ¿Cuál es la dirección del campo eléctrico total en el punto P? c) Suponer que el campo eléctrico debido a una carga puntual varía en la forma 1/r en lugar de 1/r2. ¿Cuál sería el campo eléctrico en el punto P debido a los elementos que se muestran? d) ¿Qué diferencias existirían en las respuestas dadas si el punto P se encontrará en el interior de una corteza con una distribución de carga esférica y en la que el área de los elementos fuera s1 y s2?
- 38. a) 𝒒𝟏 = 𝝀 ∗ 𝒔𝟏 = 𝝀 ∗ 𝜽 ∗ 𝒓𝟏 𝒒𝟐 = 𝝀 ∗ 𝒔𝟐 = 𝝀 ∗ 𝜽 ∗ 𝒓𝟐 𝒒𝟏 𝒒𝟐 = 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝑬𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝒓𝟏 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝜽 𝒓𝟏 𝑬𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒓𝟐 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝀∗𝜽 𝒓𝟐 𝑬𝟏 𝑬𝟐 = 𝒓𝟐 𝒓𝟏 ; 𝑬𝟏 > 𝑬𝟐 b) 𝑬𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝒓𝟏 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝜽 𝑬𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒓𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝀 ∗ 𝜽 𝑬𝟏 = 𝑬𝟐 c) 𝒒𝟏 = 𝝈 ∗ 𝒔𝟏 = 𝝈 ∗ 𝛀 ∗ 𝒓𝟏 𝟐 𝒒𝟐 = 𝝈 ∗ 𝒔𝟐 = 𝝈 ∗ 𝛀 ∗ 𝒓𝟐 𝟐 𝒒𝟏 𝒒𝟐 = 𝒓𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝟐 𝑬𝟏 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟏 𝒓𝟏 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝈∗𝛀∗𝒓𝟏 𝟐 𝒓𝟏 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ 𝛀 𝑬𝟐 = 𝒌 ∗ 𝒒𝟐 𝒓𝟐 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝈∗𝛀∗𝒓𝟐 𝟐 𝒓𝟐 𝟐 = 𝒌 ∗ 𝝈 ∗ 𝛀 𝑬𝟏 𝑬𝟐 = 𝟏 ; 𝑬𝟏 = 𝑬𝟐 De hecho, el campo es nulo en el interior de la corteza esférica. 79. UN anillo de radio R que se encuentra en el plano horizontal (x y) posee una carga Q distribuida uniformemente en toda su longitud. Una masa m posee una carga q de signo opuesto al de Q y está situada en el eje del anillo. a) ¿Cuál es el valor mínimo de |𝒒|/𝒎 para que la masa m se encuentre en equilibrio bajo la acción de las fuerzas gravitatoria y electrostática? b) Si |𝒒|/𝒎 es el doble del valor calculado en (a), ¿Dónde se encuentra la masa al alcanzar el equilibrio? a)
- 39. |𝒒| ∗ 𝑬 = 𝒎 ∗ 𝒈 ; |𝒒| 𝒎 = 𝒈 𝑬 El campo creado por el anillo es: 𝑬𝒛 = 𝒌∗𝑸∗𝒛 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 El valor de |𝒒| 𝒎 será mínimo cuando E sea máximo. 𝒅𝑬𝒛 𝒅𝒛 = 𝒅 𝒅𝒛 ( 𝒌∗𝑸∗𝒛 (𝒛𝟐+𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 ) = 𝟎 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ ((𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 − 𝒌 ∗ 𝑸 ∗ 𝒛 ∗ 𝟑 𝟐 ∗ (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) 𝟏 𝟐 ∗ 𝟐 ∗ 𝒛 = 𝟎 (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 − 𝟑 ∗ (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) 𝟏 𝟐 ∗ 𝒛𝟐 = 𝟎 (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) 𝟏 𝟐 ∗ ((𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) − 𝟑 ∗ 𝒛𝟐) = 𝟎 ((𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) − 𝟑 ∗ 𝒛𝟐) = 𝟎 ;𝒛 = ± 𝑹 √𝟐 El valor positivo corresponde al mínimo y el negativo al máximo. 𝒛 = − 𝑹 √𝟐 𝑬𝒛,𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 = | 𝒌∗𝑸∗ 𝑹 √𝟐 ( 𝑹𝟐 𝟐 +𝑹𝟐) 𝟑 𝟐 | = 𝒌∗𝑸∗ 𝑹 √𝟐 𝑹𝟑∗( 𝟑 𝟐 ) 𝟑/𝟐 = 𝒌∗𝑸∗𝟐 𝑹𝟐∗√𝟐𝟕 |𝒒| 𝒎 = 𝒈∗𝑹𝟐√𝟐𝟕 𝒌∗𝑸∗𝟐 b) |𝒒| 𝒎 = 𝒈∗𝑹𝟐√𝟐𝟕 𝒌∗𝑸 En el equilibrio: 𝒎 ∗ 𝒈 = |𝒒| ∗ 𝑬; |𝒒| 𝒎 = 𝒈 𝑬 𝒈∗𝑹𝟐√𝟐𝟕 𝒌∗𝑸 = 𝒈 𝒌∗𝑸∗𝒛 (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 ; 𝑹𝟐 √𝟐𝟕 = (𝒛𝟐+𝑹𝟐)𝟑/𝟐 𝒛 𝒛𝟐 ∗ 𝑹𝟒 ∗ 𝟐𝟕 = (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐 )𝟑 Usando 𝒛𝟐 𝑹𝟐 = 𝒂 : 𝟐𝟕 ∗ ( 𝒛𝟐 𝑹𝟐 ) = 𝟏 𝑹𝟔 ∗ (𝒛𝟐 + 𝑹𝟐) 𝟑 = ( 𝒛𝟐 𝑹𝟐 + 𝟏) 𝟑 𝟐𝟕 ∗ 𝒂 = (𝒂 + 𝟏)𝟑 𝒂𝟑 + 𝟑 ∗ 𝒂𝟐 − 𝟐𝟒 ∗ 𝒂 + 𝟏 = 𝟎 La ecuación tiene tres soluciones: 𝒂 = 𝟑,𝟓𝟗𝟔 ;𝟎. 𝟎𝟒𝟐 ; −𝟔,𝟔𝟑𝟖 . La solución negativa no tiene sentido. De las otras dos obtenemos, dado que z ha de ser negativo: 𝒛 = −√𝒂 ∗ 𝑹 𝒛 = −√𝟑. 𝟓𝟗𝟔 ∗ 𝑹 = −𝟏.𝟗𝟎 ∗ 𝑹 𝒛 = −√𝟎. 𝟎𝟒𝟐 ∗ 𝑹 = −𝟎. 𝟐𝟎𝟓 ∗ 𝑹
- 40. 80. Una barra de plástico, no conductora, larga y delgada, se dobla formando un bucle de radio R. Entre los extremos de la barra queda un hueco de longitud l (l≪R). Una carga Q se distribuye por igual sobre la barra. a) Indicar la dirección del campo eléctrico en el centro del bucle. b) Determinar la magnitud del campo eléctrico Enel centro del bucle. a) El campo en el centro es debido al bucle y loa brecha. 𝑬 ⃗⃗ = 𝑬 ⃗⃗ 𝒃𝒖𝒄𝒍𝒆 ∗ +𝑬 ⃗⃗ 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 Si la carga Q es positiva. El campo en el centro del bucle per el anillo es cero. Considerando el agujero con carga negativa. El campo estará dirigido hacia el centro del agujero, por simetría. 𝑬 ⃗⃗ 𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 = −𝒌 ∗ 𝒒 𝑹𝟑 ∗ 𝒓 ⃗ b) Usando la densidad lineal: 𝝀 = 𝑸 𝟐∗𝝅∗𝑹 = 𝒒 𝒍 ; 𝒒 = 𝑸∗𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑹 𝑬 = 𝑬𝒂𝒈𝒖𝒋𝒆𝒓𝒐 = 𝒌 ∗ 𝑸∗𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑹 ∗ 𝟏 𝑹𝟑 ∗ 𝑹 = 𝒌∗𝑸∗𝒍 𝟐∗𝝅∗𝑹𝟑 81. Una barra de longitud L se encuentra en dirección perpendicular a una carga lineal uniforme e infinitamente larga de densidad de carga λ C/m (figura). El extremo más próximo de la barra a la carga lineal dista de ésta la longitud d. La barra posee una carga total Q distribuida uniformemente en toda su longitud. Determinar la fuerza que la carga lineal infinitamente larga ejerce sobre la barra. El campo un dq de la barra será: 𝒅𝑬𝒚 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 Para el dq tenemos: 𝒅𝒒 𝒅𝒚 = 𝑸 𝑳 ; 𝒅𝒒 = 𝑸 𝑳 ∗ 𝒅𝒚 La fuerza sobre dq será:
- 41. 𝒅𝑭 = 𝒅𝒒 ∗ 𝒅𝑬𝒚 = 𝑸 𝑳 ∗ 𝒅𝒚 ∗ 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 Integrando: 𝑭 = ∫ 𝑸 𝑳 ∗ 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒚 ∗ 𝒅𝒚 𝒅+𝑳 𝒅 = 𝟐∗𝒌∗𝑸 𝑳 ∗ 𝒍𝒏 ( 𝒅+𝑳 𝒅 ) 82. Una esfera sólida de 1,2 m de diámetro con su centro sobre el eje x en x = 4 m, transporta una carga volúmica uniforme de densidad ρ = 5 µC/m3 . Una corteza esférica concéntrica con la esfera tiene un diámetro de 2,4 m y una densidad de carga superficial uniforme σ = -1,5 µC/m2 . Calcular la magnitud y dirección del campo eléctrico en a) x= 4,5 m, y = 0 m. b) x = 4,0 m, y = 1,1 m. c) x = 2,0 m, y = 3,0 m. a) Aplicando Gauss a una esfera que pasa por el punto 1, centrada con la esfera cargada: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟑 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝆∗𝒓 𝟑∗𝝐𝒐 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝟎. 𝟓 = 𝟗.𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 El sentido del campo será según el eje x, positivo. 𝑬 ⃗⃗ = 𝟗.𝟒𝟐 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒊 b) Aplicando de la misma manera Gauss a una esfera que pasa por el punto: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟏 𝟑 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝆∗𝒓𝟏 𝟑 𝟑∗𝝐𝒐∗𝒓𝟐 = 𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟔𝟑 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗𝟏.𝟏𝟐 = 𝟑, 𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 Vectorialmente el campo estará dirigido según el eje y positivo. 𝑬 ⃗⃗ = 𝟑,𝟑𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝒋 c) Volviendo a aplicar Gauss: 𝑬 ∗ 𝟒 ∗ 𝝅 ∗ 𝒓𝟐 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓𝟏 𝟑−𝝈∗𝟒∗𝝅∗𝒓𝟐 𝟐 𝝐𝒐 𝑬 = 𝝆∗ 𝟏 𝟑 ∗𝒓𝟏 𝟑−𝝈∗𝒓𝟐 𝟐 𝝐𝒐∗𝒓𝟐 = 𝟏 𝟑 ∗𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟔𝟑−𝟏.𝟓∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟏.𝟐𝟐 𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐∗(𝟐𝟐+𝟑𝟐) = −𝟏.𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪
- 42. El campo estará dirigido vectorialmente hacia el centro de la esfera y la corteza. 𝑬𝒙 = 𝟏.𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟐 √𝟐𝟐+𝟑𝟐 = 𝟖.𝟔𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑 𝑵/𝑪 𝑬𝒚 = 𝟏.𝟓𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟒 ∗ 𝟑 √𝟐𝟐+𝟑𝟐 = −𝟏.𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 𝜽 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈 ( −𝟏.𝟑𝟎∗𝟏𝟎𝟒 𝟖.𝟔𝟓∗𝟏𝟎𝟑 ) = −𝟓𝟔º 83. Un plano infinito de carga de densidad superficial σ1 = 3 µC/m2 es paralelo al plano x z en y= -0,6 m. Un segundo plano infinito de densidad superficial de carga σ2 = - 2 µC/m2 es paralelo al plano y z en x = 1 m. Una esfera de radio 1 m con su centro en el plano x y en la intersección de los planos cargados (x = 1 m, y = -0,6 m) posee una densidad de carga superficial σ3 = - 3 µC/m2 . Determinar la magnitud y dirección del campo eléctrico sobre el eje x en a) x = 0,4 m. b) x = 2,5 m. a) El campo creado por la esfera en el punto, será cero, al no tener cargas en su interior. El campo en este punto será debido a los dos planos: 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ = 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒊 + 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒋 = 𝟏. 𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝒊 + 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 b) El campo de la esfera será:
- 43. 𝑬 = 𝒌 ∗ 𝝈∗𝟒∗𝝅∗𝑹𝟐 𝒓𝟐 𝑬 = 𝒌 ∗ 𝝈∗𝟒∗𝝅𝑹𝟐 𝒓𝟐 = 𝟖.𝟗𝟗 ∗ 𝟏𝟎−𝟗 ∗ 𝟑∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟏𝟐 (𝟎.𝟔𝟐+𝟏.𝟓𝟐) = 𝟏. 𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 Al ser la carga negativa este vector estará dirigido hacia el centro de la esfera. 𝑬𝒙 = −𝟏. 𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟏.𝟓 √𝟎.𝟔𝟐+𝟏.𝟓𝟐 = −𝟏.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 𝑬𝒚 = −𝟏.𝟑𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟎.𝟔 √𝟎.𝟔𝟐+𝟏.𝟓𝟐 = −𝟒. 𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟒 𝑵/𝑪 Para los dos planos tenemos: 𝑬 ⃗⃗ 𝟏 = 𝝈𝟏 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒋 = 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ 𝟐 = 𝝈𝟐 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒊 ⃗ ⃗ = −𝟏.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒊 𝑬 ⃗⃗ = (−𝟏.𝟐𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 − 𝟏.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓)𝒊 + (−𝟒. 𝟖𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟒 + 𝟏. 𝟔𝟗 ∗ 𝟏𝟎𝟓) ∗ 𝒋 𝑬 ⃗⃗ = −𝟐.𝟑𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒊 + 𝟏,𝟐𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟔 ∗ 𝒋 84. Un plano infinito paralelo al plano de coordenadas y z en x = 2 m posee una densidad de carga superficial uniforme σ = 2 µC/m2 . Una carga lineal infinita de densidad uniforme λ = 4 µC/m pasa por el origen formando un ángulo de 45º con el eje x en el plano x y. Una esfera de densidad de carga volúmica ρ = - 6 µC/m3 y radio 0,8 m está centrada sobre el eje x en x = 1 m. Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el plano x y en x = 1,5 m, y = 0,5 m. El punto está dentro de la esfera, dado que la distancia del punto al centro de la esfera es: 𝒓′ = √𝟎. 𝟓𝟐 + 𝟎. 𝟓𝟐 = 𝟎.𝟕𝟏𝒎 El campo en el punto estará formado por tres contribuciones: 𝑬𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = 𝑸𝒏𝒆𝒕𝒂 𝝐𝒐∗𝑨 = 𝝆∗ 𝟒 𝟑 ∗𝝅∗𝒓′𝟑 𝝐𝒐∗𝟒∗𝝅∗𝒓′𝟐 = 𝝆∗𝒓′ 𝟑∗𝝐𝒐 = 𝟔∗𝟏𝟎−𝟔∗𝟎.𝟕𝟏 𝟑∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 = 𝟏.𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪 Como la carga es negativa el vector estará dirigido hacia el centro de la esfera. 𝑬 ⃗⃗ 𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂 = −𝟏.𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟎.𝟓 𝟎.𝟕𝟏 ∗ 𝒊−= −𝟏. 𝟔𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝟎.𝟓 𝟎.𝟕𝟏 ∗ 𝒋 = −𝟏. 𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ (𝒊 + 𝒋) El campo producido por el plano en el punto será: 𝑬 ⃗⃗ 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 = − 𝝈 𝟐∗𝝐𝒐 ∗ 𝒊 = − 𝟐∗𝟏𝟎−𝟔 𝟐∗𝟖.𝟖𝟓∗𝟏𝟎−𝟏𝟐 ∗ 𝒊 = −𝟏.𝟏𝟑 ∗ 𝟏𝟎𝟓 ∗ 𝒊 Para la línea de carga: 𝑬𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂 = 𝟐∗𝒌∗𝝀 𝒓 = 𝟐∗𝟖.𝟗𝟗∗𝟏𝟎𝟗∗𝟒∗𝟏𝟎−𝟔 𝟎.𝟕𝟏 = 𝟏.𝟎𝟏 ∗ 𝟏𝟎𝟓 𝑵/𝑪