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死にたくない
- 3. 問題 囚人がN(= 2n−1 )人いる 囚人は白帽か赤帽をかぶっている 自分の帽子の色は分からないが、他人の帽子の 色は全てわかる 各人は同時に自分の色を言うか何も言わない
- 4. 問題 ● 1人以上が発言し、発言した人全員が正解→勝 利 ● 全員沈黙、または一人でも間違う→死 生存確率が高くなるような作戦を求める
- 5. 例 赤白 →勝利
- 6. 例 白白赤 →死
- 7. N = 3 のとき
- 8. 方針 : 全列挙
- 9. 方針 : 全列挙 ● 囚人から見たパターンは2通り(他の人の色が同 じ、異なる) ● 作戦は全6通り ● この作戦を帽子の全パターンについて試す
- 10. 方針 : 全列挙 帽子の色の全パターンは以下の8通り ● (白、白、白) ● (白、白、赤) ● (白、赤、白) ● (白、赤、赤) ● (赤、白、白) ● (赤、白、赤) ● (赤、赤、白) ● (赤、赤、赤)
- 12. 答え 赤赤赤 →死 勝利:0 死:1
- 13. 答え →勝利 赤 勝利:1 死:1
- 14. 答え 赤 →勝利 勝利:2 死:1
- 15. 答え →勝利 白 勝利:3 死:1
- 16. 答え →勝利 赤 勝利:4 死:1
- 17. 答え 白 →勝利 勝利:5 死:1
- 18. 答え →勝利 白 勝利:6 死:1
- 19. 答え 白白白 →死 勝利:6 死:2
- 20. 答え 8パターン中6パターン勝利(75パーセント) 何故良いか? →各人が当てられる確率は50パーセントだ が、皆が間違うパターンが集中している
- 21. 答え 白白白 →死
- 22. N = 7 のとき
- 23. N = 7 のとき 帽子のパターンは128通り、作戦のパターンは 18通り 囚人にコンピュータは与えられない – 全列挙は難しい
- 24. 方針1 : 妥協
- 25. 方針1 : 妥協 3人選んでN = 3のときの方針をとる 他の4人は黙らせる
- 26. 方針1 : 妥協 赤
- 27. 方針1 : 妥協 勝利確率はN = 3のときと同じで75パーセント 利点 : 楽 難点 : 命を粗末にするのはダメ
- 28. 方針2 : ハミング符号
- 29. 2元ハミング符号 H7 2元ハミング符号 H7 とは？ 誤り訂正符号の1つ – 送りたい情報にノイズが混入しても訂正できるよう な符号 3つの集合A,B,Cに対するベン図を使う それぞれの集合は1,10,100(2進数)を表す
- 30. 2元ハミング符号 B C A H7 u1 u2 u3 u6 u4 u5 u7
- 31. 2元ハミング符号 H7 使い方 4ビットの情報( a1, a2, a3, a4 )を送る ビットをベン図の u3 , u5 , u6 , u7 に割り当てる それぞれの集合に属するビットの和が0になるよう に残りのビットを決める
- 32. 2元ハミング符号 例) = 1 , = 0 , = 1 , = 1 B C 0 1 1 0 1 0 1 A 符号) 0110011 H7 a1 a2 a3 a4
- 33. 2元ハミング符号 符号) 0110011 が 符号) 0100011 になってしまった B C 0 1 0 0 1 0 1 A H7
- 34. 2元ハミング符号 B H7 C 0 1 0 0 1 0 1 A A : 0 + 0 + 1 + 0 = 1(おかしい)
- 35. 2元ハミング符号 B H7 C 0 1 0 0 1 0 1 A B : 1 + 1 + 1 + 0 = 1(おかしい)
- 36. 2元ハミング符号 B H7 C 0 1 0 0 1 0 1 A A : 0 + 0 + 1 + 1 = 0(ただしい)
- 37. 2元ハミング符号 A : おかしい B : おかしい C : ただしい H7 →間違いはA , Bに属していて、Cに属していない →間違いは u3
- 38. 2元ハミング符号 H7 誤り訂正符号としての問題点 2つ以上の間違いが混入したら修正できない 符号) 0110011 が 符号) 0100111 になってしまった →0100101と修正してしまう
- 39. 答え 囚人に番号をつけておく 白帽を0,赤帽を1としてビット列をつくる ● 自分のビットを決めてハミング符号語にできるな ら、ハミング符号語にならないように帽子の色を言 う ● ハミング符号語にできないなら何も言わない
- 40. 答え 全員何も言わない – 任意の7ビット列は1ビット変更してハミング符号語にで きるのであり得ない 間違える – 帽子のビット列がハミング符号語のとき – 4ビットの送る情報それぞれに1つハミング符号語があ るので16通り 全員正解する – それ以外の128-16=112通り 勝利確率は 112/128 (87.5パーセント)
- 42. ハミング符号作戦が最適である証明 もし、他の人の帽子の色が同じで、自分の帽子 の色が変わった場合、死 (自分では変わっても区別できないから) 赤
- 43. ハミング符号作戦が最適である証明 つまり、作戦が成功する帽子のビット列に隣接 するビット列で、失敗するビット列が存在する 成功したビット列で、発言した1人のビットを変更 すると構成できる (隣接: 0110011 と 0100011 など)
- 44. ハミング符号作戦が最適である証明 失敗するビット列の集合をFとすると、Fの元xを 中心とする半径1の球B={y∈ Z2 7 | yはxに隣接し ているまたはy = x}の和は全ての7ビット列を覆 う必要がある 覆われていない元zがあるとすると、zのとき作 戦が成功し、zに隣接する元で失敗する元が存 在しないことになるから矛盾
- 45. ハミング符号作戦が最適である証明 |B| = 8 なので 8|F| ≧ 2^7 |F| ≧ 16 失敗するビット列は16個以上 よって H 7 による作戦が最適となる
- 46. 一般( N = 2 n )の場合−1
- 47. 一般( N=2n−1 )の場合 2元ハミング符号による作戦が最適であることが N = 7と同様に示せる(省略)
- 48. 一般( N=2n−1 )の場合 H2n−1 2n−1−n 2元ハミング符号 が伝える情報は ビットなので失敗するパターン(ハミング符号語 の数)は 22n−1−n 通り。 帽子のパターンは 通り 勝利確率は 22n−1 1−22n−1−n 2n= N 22n−1 =1− 1 N+1 Nが大きくなると勝利確率は限りなく1に近づく
- 50. ご清聴ありがとうございました