Definición de matrices

1. Definición de matrices: Se puede definir una matriz, como un conjunto de elementos
(números) ordenados en filas y columnas. En matemática, una matriz es un arreglo
bidimensional de números,yensu mayorgeneralidadde elementosde un anillo. Las matrices
se usan generalmente paradescribirsistemasde ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones
diferencialesorepresentaruna aplicaciónlineal(dadaunabase).Las matrices se describen en
el campo de la teoría de matrices.Las matricesse utilizanparamúltiplesaplicaciones y sirven,
enparticular,para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para
representarlasaplicacioneslineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo
papel que losdatosde un vectorpara lasaplicacioneslineales.Pueden sumarse, multiplicarse
y descomponersede variasformas,loque tambiénlashace unconceptoclave enel campo del
álgebra lineal.
Orden de una matriz: Comohas vistohastaaquí, las matricesse componende filasycolumnas
a las que generalmente se lasrepresentanconlasletrasmy n. La m para lasfilasy la n para las
columnas.El númerode elementosde unamatrizloobtendremosde multiplicarel número de
filasporel de columnas:m x n.Al productom x n llamamos orden de matriz. Cuando decimos
que una matriz es de orden 4x5 ya podemos afirmar que se trata de una matriz de 4 filas y 5
columnas. Te darás cuenta que una matriz de 3x2 es más pequeña que otra matriz de 7x4.
Esto quiere decir que el orden, el tamaño, la dimensión significan lo mismo.
Tipos de matrices:
Matriz identidad o unidad
Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la
diagonal principal son iguales a 1.
Matriz rectangular
La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su
dimensión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.
Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.
La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el
orden de la matriz.

2. Matriz triangular superior
En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros.
Matriz triangular inferior
En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros.
Matriz diagonal
En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la
diagonal principal son nulos.
Matriz nula
En una matriz nula todos los elementos son ceros.
I) Ejercicio de suma de matrices
Sean A= (aij) y B = (bij) dos matrices de orden mxn. Se define la
matriz suma de A y B como la matriz de orden mxn dada por:
A + B = ( aij + bij )

3. La suma de matrices, así definida, es una operación interna en el
conjunto de las matrices de oren mxn, Mm,n , verificándose además las
siguientes:
Propiedades. Asociativa, conmutativa, elemento neutro (la matriz
O), y elemento opuesto.
Por tanto el conjunto Mm,n con + es un grupo aditivo.
Ejercicio multiplicación de matrices
Mm x n x Mn x p = M m x
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada
elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la
matriz B y sumándolos.
Ejercicio de una por un escalar:
Producto de una matriz por un escalar
Si multiplicamos una matriz por una escalar, multiplicamos cada
elemento de la matriz por ese escalar.
Sea A=(aij ) i=1,...,n j=1,2,...,m entonces k·A=k·(aij )=(k·aij )