Apostila matlab

Universidade Federal de São João Del-Rei
Campus Alto Paraopeba

Disciplina: Cálculo Numérico

Apostila de Matlab

Prof. Alexandre Cândido Moreira
Prof. Heber Tormentino de Sousa

Agosto de 2010

_______________________________________________________________________________
SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO 4
1.1 Vantagens do Matlab 4
1.2 Desvantagens do Matlab 5

2. O AMBIENTE MATLAB 5
2.1 Comand Window 6
2.2 Workspace 6
2.3 Current Directory 7
2.4 Command History 8

3. COMANDOS BÁSICOS E DECLARAÇÕES DE VARIÁVEIS 8

4. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS 8

5. EXIBINDO DADOS DE SAÍDA 9
5.1 O Comando disp 10

6. OPERADORES LÓGICOS 12

7. OPERADORES RELACIONAIS 12

8. CÁLCULO MATRICIAL 13
8.1 Elementos de uma Matriz 13
8.2 Soma e Subtração 14
8.3 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar 15
8.4 Multiplicação entre Matrizes 15
8.5 Divisão Direta de Matrizes 16
8.6 Potênciação 16
8.7 Transposta de uma Matriz 17
8.8 Determinante 17
8.9 Inversa da Matriz 18
8.10 Autovalores e Autovetores 18
8.11 Matriz escalonada reduzida 19
8.12 Posto de uma Matriz 19
8.13 Números e Matrizes Complexas 20
8.14 Matriz diagonal ou diagonal de uma matriz 21
8.15 Matrizes Triangulares 21
8.16 Matriz Identidade 22
8.17 Matriz Composta por Elementos Unitários 22
8.18 Matriz Nula (composta por elementos nulos) 23
8.19 Matriz Aleatória 23
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Cálculo Numérico Utilizando Matlab

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9. GERANDO VETORES 24
9.1 O Comando linspace 25

10. ARQUIVOS M DE COMANDOS 26

11. CONTROLE DE FLUXO 28
11.1 Laço For 28
11.2 Laço While 29
11.3 Estrutura If-Else-End 30
11.4 Estrutura Switch-Case 32

12. ARQUIVOS M DE FUNÇÕES 33

13. GRÁFICOS NO MATLAB 35
13.1 Gráficos 2-D 35
13.2 Estilos de Linhas e Símbolos 38
13.3 Coordenada Polar e Gráfico de Barras 40
13.4 Gráficos 3-D 42
13.5 Anotações no Gráfico 48

14. POLINÔMIOS 49
14.1 Raízes 49
14.2 Multiplicação 50
14.3 Adição 51
14.4 Divisão 51
14.5 Cálculo de Polinômios 52
14.6 Derivada de Polinômios 52
14.7 Derivada de um Produto de Polinômios 52
14.8 Derivada de um Quociente de Polinômios 53

15. LISTA DE FUNÇÕES DO MATLAB 54

16. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 74

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1. INTRODUÇÃO
MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory – Laboratório de Matrizes) é um
programa d ecomputador de uso específico, otimizado para executar cálculos científicos e
de engenharia. Ele nasceu como um programa para operações matemáticas sobre
matrizes, mas ao longo dos anos transformou-se em um sistema computacional flexível
capaz de resolver essencialmente qualquer problema técnico.
Seus elementos básicos são matrizes que não requerem dimensionamento. Ele
permite implementar e resolver problemas matemáticos muito mais rápida e
eficientemente que através de outras linguagens como C, Basic, Pascal ou Fortran.
O MATLAB possui uma família de aplicativos específicos (“toolboxes”), que são
coleções de funções usadas para resolver determinados problemas tais como:
otimização, manipulação algébrica, redes neurais, processamento de sinais, simulação de
sistemas dinâmicos, entre outros.
Provavelmente, a característica mais importante do MATLAB é a sua extensibilidade,
que permite que engenheiros, matemáticos cientistas, e até mesmo você, contribuam
para o enriquecimento.

1.1 Vantagens do Matlab
O Matlab tem muitas vantagens, em comparação com linguagens computacionais
convencionais, para resolver problemas técnicos. Entre elas, temos:
a) Facilidade de uso: o Matlab é uma linguagem interpretada, assim como muitas
versões de Basic.
b) Independência de Plataforma: tem suporte em diferentes sistemas
computacionais: Windows XP/Vista, Linux, diversas versões de Unix e
Macintosh.
c) Funções Predefinidas: conta com uma grande biblioteca de funções
predefinidas, que apresentam soluções testadas e empacotadas para diversas
tarefas técnicas básicas
d) Desenhos Independentes de Dispositivos: diferente da maioria das linguagens
de computador, o Matlab tem muitos comandos para desenhos e imagens,
que podem ser exibidos em qualquer dispositivo de saída gráfica compatível
com o computador que executa o Matlab. Este recurso torna o Matlab uma
ferramenta excepcional para visualização de dados técnicos.

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e) Interface Gráfica de Usuário: tem ferramentas que permitem a um
programador construir interativamente uma interface gráfica de usuário (GUI –
Graphical User Interface) para seus programas. Com este recurso, o
programador é capaz de projetar programas sofisticados de análise de dados,
os quais podem ser operados por usuários relativamente inexperientes.

1.2 Desvantagens do Matlab

O Matlab tem duas desvantagens principais. Primeiro, é uma linguagem interpretada,
por isso pode ser mais lento que linguagens compiladas. Esse problema pode ser
diminuído pela estruturação apropriada dos programas Matlab para otimizar o
desempenho do código vetorizado.
A segunda desvantagem é o custo: uma cópia completa do Matlab é de cinco a dez
vezes mais cara que um compilador convencional C ou Fortran.

2. O AMBIENTE MATLAB

A unidade fundamental de dados em qualquer programa Matlab é a matriz, que é
uma coleção de valores de dados organizados em linhas e colunas, determinada por um
nome único. Até mesmo escalares são tratados como matrizes em Matlab, eles são
simplesmente matrizes co apenas uma linha e uma coluna.
No Matlab, os arquivos de comando tem extensão .m (M-files) e os arquivos de
dados binários default tem extensão .mat (Mat-files).
No Windows, o Matlab é instalado com os seguintes diretórios:
BIN contém os programas binários do Matlab;
DEMOS demonstração em HTML
EXTERN suporte às linguagens FORTRAN, C e C++
HELP contém arquivos de auxílio e documentação do Matlab
JAVA suporte à linguagem Java
NOTEBOOK suporte à geração de documentação no formato MS-Word
TEMP diretório temporário
TOLLBOX “toolboxes” do Matlab
WORK diretório de trabalho.

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Figura 1 – Ambiente Matlab janelas: “Comand Window”, “Workspace”, “Current Directory” e “Command History”.

2.1 Comand Window

• É a área de trabalho onde os comandos (as instruções) são digitados;
• As operações podem ser realizadas e seus resultados são mostrados;
• Também é nessa janela que se pode executar um arquivo m-file;
• O prompt “>>” indica que o programa está pronto aguardando uma instrução;
• Com as teclas “↑” (seta para cima) e “↓” (seta para baixo) é possível recuperar
todos os comandos já digitados.

2.2 Workspace

Figura 2 – Janela “Workspace”.

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• É a área na qual são exibidas todas as variáveis definidas na área de trabalho;
• Essa janela possui quatro colunas indicando o nome, dimensão, número de bytes e
a classe de cada variável;
• As variáveis podem ser editadas e visualizadas nessa própria janela, basta dar um
click-duplo para editá-las;
Há um menu flutuante que é possível:
• Open – abrir a janela;
• Graph – criar gráficos a partir dos dados contidos na variável;
• Select All – selecionar todas as variáveis;
• Import Data – importar variáveis de um arquivo para o workspace;
• Save Selection As – salvar as variáveis selecionadas em um arquivo;
• Save Workspace As – salvar todas as variáveis do workspace em um arquivo;
• Copy – copiar a variável para a área de transferência de dados do Windows;
• Delete – apagar a variável do workspace;
• Clear Workspace – apagar todas as variáveis do workspace;
• Rename – renomear a variável.

2.3 Current Directory

Área onde é exibida uma lista dos arquivos contidos no diretório corrente.

Figura 3 – Janela “Current Directory”.

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2.4 Command History

Área onde ficam armazenadas todas as instruções executadas no MATLAB.

Figura 4 – Janela “Command History”.

3. COMANDOS BÁSICOS E DECLARAÇÕES DE VARIÁVEIS

Para iniciar o nosso trabalho no MATLAB é necessário aprender alguns comandos
essenciais da janela de trabalho (command window) e na seqüência vamos aplicá-los.
Tabela 1 – Comando Básicos.
who Mostra as variáveis do espaço de trabalho
whos Mostra as variáveis do espaço de trabalho com detalhes
clear Limpa a memória do espaço de trabalho
clc Limpa a tela
dir Mostra o conteúdo do diretório que se encontra
cd Informa ou altera o diretório corrente
what Exibe os arquivos Matlab contidos no diretório

4. OPERAÇÕES ARITMÉTICAS

As expressões podem ser construídas usando os operadores aritméticos usuais:

Tabela 2 – Operadores aritméticos.
+ Adição
- Subtração
* Multiplicação
/ Divisão
^ Potenciação

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Figura 5 – Exemplos de operações aritméticas.

5. EXIBINDO DADOS DE SAÍDA

O formato numérico exibido na tela pode ser modificado utilizando-se o comando
format, que afeta somente o modo como as matrizes são mostradas, e não como elas
são computadas ou salvas.
Se todos os elementos das matrizes são inteiros exatos, a matriz é mostrada em um
formato sem qualquer ponto decimal. Por exemplo,
x = [-1 0 1]

resulta em:
x =
-1 0 1

Se pelo menos um dos elementos da matriz não é inteiro exato, existem várias
possibilidades de formatar a saída. O formato "default", chamado de formato “short”,

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mostra aproximadamente 4 dígitos decimais ou usam notação científica. Por exemplo, a
matriz:
x = [4/3 1.2345e-6]
é mostrada , para cada formato usado, da seguinte maneira:
x =

1.3333 0.0000

O formato-padrão pode ser alterado de duas maneiras: a partir da Janela de Menu
Principal do Matlab ou pelo uso do comando “format”. O formato pode ser alterado pela
seleção da opção “File>>Preferences>>Command Window”.
Alternativamente, o usuário pode acionar o comando format para alterar as
preferências. Este comando altera o formato-padrão de acordo com os valores dados na
Tabela 3. O formato-padrão pode ser modificado para exibir mais dígitos significativos,
para forçar a exibição em notação científica, exibir dados com dois dígitos decimais ou
então eliminar linhas adicionais para que mais dados sejam visíveis por vez na Janela de
comandos.
Tabela 3 – Formatos de exibição de saída.
Comando de Formatação Resultados Exemplo
format short 4 dígitos decimais (formato-padrão) 12,3457
format long 14 dígitos decimais 12,34567890123457
format short e 5 dígitos mais expoente 1,2346e+001
format short g 5 dígitos no total, com ou sem expoente 12,346
format long e 15 dígitos mais expoente 1,234567890123457e+0001
format long g 15 dígitos no total, com ou sem expoente 12,3456789012346
format bank Formato monetário 12,35
format hex Exibição hexadecimal de bits 4028b0fcd32f707a
format rat Razão aproximada entre inteiros pequenos 1000/81

5.1 O Comando disp
O comando disp exibe o conteúdo de uma variável, mas, ocultando o nome da
mesma, e/ou mostra strings na forma de textos. A formageral do comando disp é:
disp (nome de uma variável) ou dsisp (‘string de texto’)

Toda vez que um comando disp é executado, a saída que ele produz é mostrada
numa nova linha. Por exemplo:
% A variável A é inicializada com uma matriz 2x3
A=[5 9 1; 7 2 4]

A =

5 9 1
7 2 4

10
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_______________________________________________________________________________
% O comando disp é utilizado para exibir a matriz A

disp(A)
5 9 1
7 2 4

% O comando disp é utilizado para mostrar uma mensagem
disp('O problema não possui solução')
O problema não possui solução

O código abaixo ensina como utilizar os comandos input e disp em uma rotina para
calcular a soma entre 3 números. Ao final da soma o a rotina exibe um texto juntamente
com o resultado da soma.

Figura 6 – M-File implementado, Janela Editor.

Figura 7 – Algoritmo executando na Janela de Comandos.

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6. OPERADORES LÓGICOS

Um operador lógico examina senteças verdadeiras/falsas e produz resultados
verdadeiro (1) ou falso (0), de acordo com a funcionalidade do operador. Por exemplo, o
operador lógico AND resulta 1 (verdadeiro) se, e somente se, todas as senteças
envolvidas na operação forem verdadeiras. Tanto os operadores lógicos quanto
relacionais podem ser utlizados em expressões matemáticas ou, como será visto adiante,
serem combinados a outros comando para controlar ou tomar decisão sobre o fluxo do
programa.

Tabela 4 – Operadores lógicos.
Símbolo Operador
& e
| ou
~ não

7. OPERADORES RELACIONAIS

O operador relacional compara dois números determinando se oresultado da sentça
de comparação é verdadeiro (V) ou falso (F). Por exemplo (5<8 V), ou seja, se a
senteça for verdadeira o valor retornado é 1. Caso contrário, o valor retornado é 0.

Tabela 5 – Operadores lógicos.
Símbolo Operador
< menor que
<= menor ou igual que
> maior que
>= maior ou igual que
== igual
~= diferente

Perceba que o operador relacional que testa a igualdade entre dois objetos é
representado por dois sinais de igualdade (==), sem espaço entre eles. Isso porque um
único sinal de igualdade representa o operador de atribuição. Os demais operadores
duplos (representados por dois caracteres) também não possuem espaços entre os
caracteres (<=, >=, ~=).

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Figura 8 – Exemplos com operadores relacionais.

8. CÁLCULO MATRICIAL

As matrizes em Matlab podem ter uma ou mais dimensões. Matrizes unidimensionais
podem ser visualizadas como uma série de valores colcoados em uma linha ou em uma
coluna, como um único índice para selecionar os elementos individuais da matriz.
O Matlab permite a criação de matrizes com tantas dimensões quanto necessário
para um dado problema. Essas matrizes têm um índice para cada dimensão, e um
elemento individual é selecionado pela especificação de um valor para cada índice.

8.1 Elementos de uma Matriz

Elementos de uma matriz podem ser qualquer expressão do MATLAB. Por exemplo:
x=[-1.3 log(4.23^3) (1+2+3)/4*5]
x =

-1.3000 4.3266 7.5000

Elementos individuais de uma matriz podem ser referenciados com seus respectivos
índices entre parênteses. No exemplo anterior, para referenciar o segundo elemento do
vetor x:
x(2)

ans =

4.3266

13
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_______________________________________________________________________________

Analogamente em uma matriz, com linha e coluna determinada tenho um elemento.
Seja:
x=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

x =

1 2 3
4 5 6
7 8 9

>>

%% extrair o elemento da linha 2 e coluna 3
x(2,3)

ans =

6

Repare que a referência é sempre na forma matriz(linha,coluna).

8.2 Soma e Subtração

Os símbolos + e - denotam adição e subtração de matrizes. A operação é definida
sempre que as matrizes tenham a mesma dimensão. Exemplo:
A = [1 2; 3 4]

A =

1 2
3 4

B=A'

B =

1 3
2 4

C=A+B

C =

2 5
5 8

A adição e subtração também é definida quando um dos operandos for um escalar.
Exemplo:
D=C-2

D =

14
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

0 3
3 6

8.3 Multiplicação de uma Matriz por um Escalar
A

A =

1 2
3 4

2*A

ans =

2 4
6 8

D=3*A

D =

3 6
9 12

8.4 Multiplicação entre Matrizes

A multiplicação de matrizes é indicada por "*". A multiplicação A*B é definida
somente se a segunda dimensão de A for igual à primeira dimensão de B, ou seja, o
número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda
matriz. Assim a multiplicação pode ser executada como:
A

A =

1 2
3 4

B

B =

1 3
2 4

A*B

ans =

5 11
11 25

15
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
8.5 Divisão Direta de Matrizes
Existem dois símbolos para divisão de matrizes no MATLAB "" e "/". Se A é uma
matriz quadrada não singular, então AB e A/B correspondem respectivamente a inv(A)*B
e A*inv(B), por exemplo:
A=[1 2; 3 4]

A =

1 2
3 4

B=[5 6; 7 8]

B =

5 6
7 8

AB

ans =

-3 -4
4 5

A/B

ans =

3.0000 -2.0000
2.0000 -1.0000

%%divisão de elemento por elemento
A./B

ans =

0.2000 0.3333
0.4286 0.5000

8.6 Potênciação

A expressão A^p eleva A à p-ésima potência e é definida se A é matriz quadrada e
p um escalar. Se p é um inteiro maior do que um, a potenciação é computada como
múltiplas multiplicações.
Por exemplo:
A

A =

1 2
3 4

A^3

16
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
ans =

37 54
81 118

%% potenciação de elementos por elementos
A.^3

ans =

1 8
27 64

8.7 Transposta de uma Matriz

O caracter ' (apóstrofe) denota transposta de uma matriz. Se z for complexo, z' é o
transposto conjugado complexo de z. Exemplo:
A = [1 2; 3 4]

A =

1 2
3 4

%% realiza a transposta da matriz A
A'

ans =

1 3
2 4

%% no caso de números complexos, z’ é o conjugado complexo de z
z=2+5i

z =

2.0000 + 5.0000i

z'

ans =

2.0000 - 5.0000i

8.8 Determinante

Para calcularmos o determinante de uma matriz utilizamos o comando det(matriz).
%% Entrando com a matriz A 5x5
A=[1 2 4 5 6;5 1 1 3 5;7 8 9 9 0;2 2 4 0 9;1 1 1 2 3]

A =

1 2 4 5 6
5 1 1 3 5

17
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
7 8 9 9 0
2 2 4 0 9
1 1 1 2 3

%% Calculando o determinante da matriz A
det(A)

ans =

-1145

8.9 Inversa da Matriz
Para calcularmos a inversa de uma matriz utilizamos o comando inv(matriz).
%% Calculando a inversa da Matriz A
inv(A)

ans =

-0.0271 0.2489 0.0227 0.0157 -0.4079
-0.6218 -0.3799 0.1022 0.0707 1.6646
0.3991 0.1048 0.0201 0.0908 -1.2454
0.1747 0.0393 -0.0175 -0.1659 0.0830
-0.0332 -0.0175 -0.0367 0.0515 0.2742

8.10 Autovalores e Autovetores
A função eig( ) calcula os autovetores e os autovalores de A, respectivamente.
Existem funções que retornam dois ou mais valores. Nestes casos, os valores de saída
devem estar entre colchetes [ ] e separados por vírgula. Exemplo:
A=[1 -1;-4 1]

A =
1 -1
-4 1

%% Retorna um vetor com os autovalores da matriz A;
eig(A)

ans =

3.0000
-1.0000

[V, D] = eig( A ): Produz matrizes de autovalores (D) e auto-vetores (V) da matriz A,
de forma que A*V = V*D. A matriz D é a forma canônica de A menos uma matriz diagonal
com os autovalores de A na diagonal principal. As colunas da matriz V são os autovetores
de A;

[V,D] = eig(A)
%% autovetores associados a matriz A
V =

0.4472 0.4472
-0.8944 0.8944

18
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
%% autovalores associados a matriz A
D =

3.0000 0
0 -1.0000

8.11 Matriz escalonada reduzida

O comando rref(matriz) encontra a matriz escalonada reduzida através do processo
de escalonamento de Gauss Jordan.
A=[1 2 4 5 6;5 1 1 3 5;7 8 9 9 0;2 2 4 0 9;1 1 1 2 3]

A =

1 2 4 5 6
5 1 1 3 5
7 8 9 9 0
2 2 4 0 9
1 1 1 2 3

rref(A)

ans =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

%% exemplo de um sistema possível e indeterminado 0*z=0

A=[1 2 8; 2 4 16; 0 1 3]

A =

1 2 8
2 4 16
0 1 3

rref(A)

ans =

1 0 2
0 1 3
0 0 0

8.12 Posto de uma Matriz
Do exemplo anterior nota-se que a matriz em sua forma escalonda reduzida possui
duas linhas não-nulas e infinitos valores para z. O número de linhas não-nulas pode ser
encontrado através do comando rank(matriz), ou seja, o comano “rank” encontra o

19
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
“posto” da matriz, que nada mais é do que a quantidade máxima de linhas linearmente
independentes da matriz.
A=[1 2 8; 2 4 16; 0 1 3]

A =

1 2 8
2 4 16
0 1 3

rank(A)

ans =

2

rref(A)

ans =

1 0 2
0 1 3
0 0 0

8.13 Números e Matrizes Complexas

Números complexos são permitidos em todas operações e funções no MATLAB. Os
números complexos são introduzidos usando-se as funções especiais i e j. Por exemplo
z= 3 + 4*i

z =

3.0000 + 4.0000i

%% ou podemos escrever também
z= 3 +4*j

z =

3.0000 + 4.0000i

As seguintes declarações mostram dois caminhos convenientes para se introduzir
matrizes complexas no MATLAB:
A= [1 2; 3 4]+i*[5 6;7 8]

A =

1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

Que produz o mesmo resultado que:
A= [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]

20
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
A =

1.0000 + 5.0000i 2.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i

8.14 Matriz diagonal ou diagonal de uma matriz

Se x é um vetor, diag(x) é a matriz diagonal com x na diagonal. Por exemplo:
>> x=[1 2 3 1 -1 4]

x =

1 2 3 1 -1 4

%% como x é um vetor, diag(x) monta uma matriz na qual a diagonoal principal é o
vetor x

diag(x)

ans =

1 0 0 0 0 0
0 2 0 0 0 0
0 0 3 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 -1 0
0 0 0 0 0 4

Se A é uma matriz quadrada, então diag(A) é um vetor cujos componentes são os
elementos da diagonal de A.
A=[3 11 5; 4 1 -3; 6 2 1]

A =

3 11 5
4 1 -3
6 2 1
%% extrai a diagonal principal da matriz
diag(A)

ans =

3
1
1

8.15 Matrizes Triangulares

O comando triu extrai a matriz triangular superior da matriz A, enquanto o comando
tril extrai a matriz triangular inferior da matriz A. Por exemplo:
A=[3 11 5; 4 1 -3; 6 2 1]

21
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
A =

3 11 5
4 1 -3
6 2 1

%% matriz triangular superior
triu(A)

ans =

3 11 5
0 1 -3
0 0 1

%% matriz triangular inferior
tril(A)

ans =

3 0 0
4 1 0
6 2 1

8.16 Matriz Identidade
De modo a construir uma matriz identidade (quadrada ou com dimensão n x m), a
função a utilizar é dada por:
eye(n,m)
Exemplo:
eye(5,5)

ans =

1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1

eye(5,8)

ans =

1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0

8.17 Matriz Composta por Elementos Unitários

No caso de ser necessário a obtenção de uma matriz composta apenas por
elementos unitários, temos que:
ones(n,m)

22
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
ones(5,5)

ans =

1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1

ones(5,8)

ans =

1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1

8.18 Matriz Nula (composta por elementos nulos)
Para efetuar qualquer tipo de manipulação matricial, poderá ser útil a construção de
uma matriz composta por elementos nulos:
zeros(n,m)
zeros(5,5)

ans =

0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

8.19 Matriz Aleatória
A elaboração de testes a qualquer programa desenvolvido no MATLAB, ou para
utilização de um outro qualquer modo, poderá fazer uso de matrizes compostas por
números aleatórios uniformemente distribuídos no intervalo entre 0 e 1:
rand(n,m)
rand(3,3)

ans =

0.171186687811562 0.276922984960890 0.823457828327293
0.706046088019609 0.046171390631154 0.694828622975817
0.031832846377421 0.097131781235848 0.317099480060861

No caso de se pretender uma distribuição normal dos números aleatórios
compreendidos entre 0 e 1, a função a utilizar será:
randn(n,m)
randn(3,3)

23
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

ans =

-0.432564811528221 0.287676420358549 1.189164201652103
-1.665584378238097 -1.146471350681464 -0.037633276593318
0.125332306474831 1.190915465642999 0.327292361408654

9. Gerando Vetores

O dois pontos ( : ) é um caracter importante no MATLAB. Escrevendo:
x=1:8

x =

1 2 3 4 5 6 7 8

Cria um vetor cujo primeiro elemento é 1, o último é 8 e o passo entre os elementos
do vetor é 1. O mesmo comando pode ser modificado de forma a alterar o passo entre os
elementos do vetor:
x = 1:1.5:8

x =

1.0000 2.5000 4.0000 5.5000 7.0000

Os dois pontos significam início:passo:fim. O valor de passo pode ser qualquer
número real ( ≅ 0). A notação ( : ) é muito útil para gerar tabelas e plotar gráficos, como
veremos adiante.
%% cria um vetor linha x
x=0:0.2:3

x =

Columns 1 through 11

0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 1.2000 1.4000
1.6000 1.8000 2.0000


2.2000 2.4000 2.6000 2.8000 3.0000

%% cria um vetor linha y, a partir dos valores de x
y=exp(-x) + sin(x)

y =


1.0000 1.0174 1.0597 1.1135 1.1667 1.2094 1.2332 1.2320
1.2015 1.1391 1.0446

24
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

0.9193 0.7662 0.5898 0.3958 0.1909

%% cria uma matriz 16x2 a partir dos vetores x e y transpostos
z=[x' y']

z =

0 1.0000
0.2000 1.0174
0.4000 1.0597
0.6000 1.1135
0.8000 1.1667
1.0000 1.2094
1.2000 1.2332
1.4000 1.2320
1.6000 1.2015
1.8000 1.1391
2.0000 1.0446
2.2000 0.9193
2.4000 0.7662
2.6000 0.5898
2.8000 0.3958
3.0000 0.1909

Outros incrementos, diferentes da unidade podem ser utilizados, como seja o caso
do seguinte exemplo que impõe um incremento de pi/4.
%% criamos um vetor que começa em 0 e vai até PI, com um passo de PI/4
y = 0 : pi/4 : pi

y =

0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

Também são possíveis incrementos negativos:
%% criamos um vetor que começa em 6 e vai até 1, com um passo de -1
z = 6 : -1 : 1

z =

6 5 4 3 2 1

9.1 O Comando linspace
Pode-se, também, gerar vetores linearmente espaçados fazendo uso da função
linspace. Por exemplo:
%% criamos 6 pontos igualmente espaçados entre 0 e 1.
k = linspace(0,1,6)

k =

0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000

%% criamos 5 pontos igualmente espaçados entre 0 e 10.
k1=linspace(0,10,5)

25
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
k1 =

0 2.5000 5.0000 7.5000 10.0000

Também é possível criar um espaçamento logarítmico entre os pontos do vetor. Isto
é possível através do comando logspace(x1,x2,k). Onde x1 é o ponto inicial, x2 o ponto
final e k o numero total de elementos.

10. ARQUIVOS M DE COMANDOS

O MATLAB normalmente é usado no modo de comando(Janela de comandos –
“Command Window”). Quando você entra com uma linha de comando, ele processa e
imediatamente mostra o resultado. O MATLAB também pode executar uma seqüência de
comandos que está armazenada num arquivo. Estes dois modos formam um ambiente
interpretativo. Os arquivos que contém declarações MATLAB são chamados M-files
porque usam a extensão “*.m”. Por exemplo, o arquivo senoide.m contém declarações
MATLAB para o cálculo e desenho de uma função senoidal com amplitude unitária,
freqüência de 1000 Hz e ângulo de fase igual a zero:

Figura 9 – Arquivo .m para o calculo de uma função seno com A=1, f=1000Hz.

26
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Figura 10 – Resultado após a execução do arquivo “senoide.m”.

Um M-file consiste de uma seqüência de declarações MATLAB normais, podendo
incluir referencias à outros M-files. Um M-file pode chamar ele próprio de forma recursiva.
Você pode criar um M-file usando um editor de texto tal como o Notepad do Windows™,
Edit do DOS ou outro qualquer. Dois tipos de M-files podem ser usadas: manuscritas
(scripts) e funções. Arquivos scripts automatizam uma seqüência longa de comandos.
Arquivos de função permite criar novas funções às existentes. Ambos, scripts e funções
são arquivos texto tipo ASCII.

Figura 11 – Arquivos .m de scripts e funções.

Normalmente, enquanto um M-file está sendo executado, os comandos contidos no
arquivo não são mostrados na tela. O comando echo permite visualizar o comando a
medida que ele vai sendo executado. Isso é especialmente útil na depuração de um
programa ou para a confecção de um programa demonstrativo.
Em virtude da grande utilidade dos arquivos de comandos o MATLAB possui várias
funções apropriadas para o uso em arquivos M. Essas funções são:

27
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
Tabela 6 – Comando de entrada,saída, depuração e interação com o usuário.
Comandos Descrição
disp(ans) Mostra os resultados sem identificar o nome das variáveis
echo Controla a exibição dos comandos dos arquivos M na janela de comandos
Input Solicita ao usuário que forneça um dado de entrada
pause Suspende a execução até que o usuário pressione alguma tecla
pause(n) Suspende a execução por n segundos
waitforbuttonpress Suspende a execução até o usuário pressione uma tecla ou um botão do mouse.

11. CONTROLE DE FLUXO
Os comandos que controlam o fluxo especificam a ordem em que a computação é
feita. No MATLAB estes comandos são semelhantes aos usados na linguagem C, mas
com uma estrutura diferente (mais simples).

11.1 Laço For

O laço for é o controlador de fluxo mais simples e usado na programação MATLAB.
Em geral:
for x = <valor inicial>:<incremento>:<valor final>
comandos
end
O laço for repete as instruções dentro do laço até que o índice contador do laço
alcance a condição final:
for i=[1,2,3,4]
disp(i^2)
end
1
4
9
16
(Observe o uso da função disp, que exibe na tela o conteúdo do seu argumento). O laço
for, tal como o bloco if, deve ser terminado com a instrução end. Este laço poderia ser
expresso na forma mais comum:
for i=1:4
disp(i^2)
end
1
4
9
16
(lembre-se que 1:4 é equivalente a [1,2,3,4]).
%% utilizando o incremento
for i=1:1:4
disp(i^2)
end

28
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
1

4

9

16

O laço for possibilita que uma série de comandos seja repetida por um número de
vezes fixo e pré-definido. O comando end é usado como limite inferior do corpo do laço.
Exemplos:
1) Calcular a tabuada do número 17:
for n=0:10
tab(n+1)=17*n;
end
disp(tab)
0 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170

2) Calcular a soma de todos os números pares de 0 a 100:
soma=0;
for n=0:2:10
soma=soma+n;
end
disp(soma)

3) Calcular o fatorial de um número n:
n=input(‘Digite um valor para calcular o fatorial: ‘) ;
fatorial=1;
for a=1:n
fatorial=fatorial*a;
end
disp(fatorial)

11.2 Laço While
Ao contrário do Laço For, que executa um grupo de comandos um número fixo de
vezes, o laço while executa um grupo de comandos um número indefinido de vezes. O
laço while é executado enquanto a condição expr for verdadeira:
x=1;
while 1+x > 1
x = x/2;
end
x
x =
1.1102e-16

A estrutura geral é:
while expressão
comandos
end
29
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Calcular o fatorial de um número qualquer.
%Fatorial com While
x=input('Digite um valor: ');
fat=1;
while x>0
fat=fat*x;
x=x-1;
end
disp(fat)

Calcule a seguinte série com 50 termos:

%Cálculo da Série
n=0;
x=1;
serie=0;
while n<50
serie=serie+x/2;
x=x+2;
n=n+1;
end
disp(serie)
1250

11.3 Estrutura If-Else-End

Em diversas situações, as seqüências de comandos têm de ser executadas
condicionalmente, com base em um teste relacional. Essa lógica é implementada por
meio de uma das diversas formas da estrutura if-else-end. A mais simples é:
if expressão
comandos
end
Os comandos entre as instruções if e end são executados se todos os elementos na
expressão forem Verdadeiros.
Exemplo:
Calcular o desconto de 20% para um número de cadeiras maior que 5. Sendo que o
custo de cada cadeira é de R$55,00.
cadeiras=input('digite o numero de cadeiras desejadas: ');
preco=55;
custo=cadeiras*preco;
if cadeiras>5
custo=(1-20/100)*custo;
end
disp(custo)

30
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
Outra forma de usar a estrutura é:
if expressão
comandos executados se Verdadeiro
else
comandos executados se Falso
end

Exemplos:
1) Dado qualquer distância que um veículo deve percorrer (valor real em km), a
capacidade do tanque de combustível (valor real em litros) e a média de consumo de
combustível do veículo (valor real em km/litros). Supondo que o tanque estará cheio na
partida, mostrar umas das mensagens:
DEVE HAVER REABASTECIMENTO
OU
NÃO DEVE HAVER REABASTECIMENTO
% DISTÂNCIA
%
d=input('Digite a distância a ser percorrida: ');
mc=15; %media de consumo
ct=45; %capacidade do tanque
if mc*ct>=d
disp('Não deve haver reabastecimento')
else
disp('Deve haver reabastecimento')
end

Testar para 780 km e 600 km

2) Os funcionários contratados pela prefeitura de uma cidade são classificados em 3
(três) níveis conforme a pontuação obtida em 2 (duas) provas aplicadas de acordo com o
seguinte critério:

Tabela 7 – Dados exemplo 2.
Nível Pontuação
A Superior a 8 em pelo menos uma das provas ou soma dos pontos superior a 14.
B Superior a 6 em pelo menos uma das provas ou soma dos pontos superior a 9.
C Nenhm dos casos acima.

Em cada prova a pontuação é um valor real de 0 a 10. Desenvolva um programa que
receba 2 (duas) notas de um funcionário e mostre como resposta o nível em que está
classificado.
%Classificação de Funcionários
nota1=input('Digite a primeira nota: ');

31
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
nota2=input('Digite a segunda nota: ');
if nota1>=8 | nota2>=8 | (nota1+nota2)>=14
disp('aluno nível A')
elseif nota1>=6 | nota2>=6 | (nota1+nota2)>=9
disp('aluno nível B')
else
disp('aluno nivel C')
end

11.4 Estrutura Switch-Case

Essa estrutura funciona como uma chave seletora, escolhendo a expressão correta
para executar os comandos.
O comando switch é utilizado quando desejamos selecionar (chavear)
condicionalmente expressões porém, na forma de lista. O formato geral do comando
switch é:

switch expressão
case valor 1
......... grupo de comandos
case valor 2
case valor 3
otherwise
end

1) Faça um programa que o usuário possa digitar qualquer mês do ano e como resultado
seja mostrado o número de dias do mês correspondente.
%Programa para saber quantos dias tem o mes
%
clear;
clc;
mes=input('digite o mes desejado: ');
switch mes
case {'Janeiro','Marco','Maio','Julho','Agosto','Outubro','Dezembro'}
disp('31 dias')
case {'Fevereiro'}
disp('28 ou 29 dias')
case {'Abril','Junho','Setembro','Novembro'}
disp('30 dias')

32
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
12. ARQUIVOS M DE FUNÇÕES

É um programa elaborado como arquivo.m e que calcula algo desejado pelo
programador, devolvendo somente o valor da resposta. Os comandos executados por
esse programa ficam ocultos. Você só visualiza o que entra e o que sai, ou seja, uma
função é uma caixa preta.

Figura 12 – Princípio de funcionamento de uma função.

O Matlab, como outras linguagens de programação, possui duas formas de criação
de programas: roteiro (script) e função (function). Na aula passada, vimos um exemplo
prático de criação de um roteiro que executava uma seqüência de comandos Matlab para
o ajuste de curvas (linear, polinomial e não-linear). Quando um programa executa uma
seqüência de comandos que pode ou não retornar parâmetros na janela de comandos do
Matlab, então esse programa denomina-se “roteiro” no Matlab. Em inglês, roteiro é
chamado script, termo esse que também é usado na língua portuguesa para descrever
uma seqüência de eventos.
A primeira linha executável no arquivo deve ser a linha de declaração da função. De
outro modo, o MATLAB tratará o arquivo como uma rotina. A linha de declaração de uma
função:
• Define o arquivo como uma função (diferenciando-o de uma rotina);
• Define o nome da função;
• Define o número e a ordem das variáveis de entrada, além de especificar o que a
função irá retornar (variáveis de saída).
O formato característico da linha de declaração de uma função é:

function [argumentos de saida] = nome_funcao (argumentos de entrada)

Exemplo:
1) Montar um programa que realize o cálculo da distância entre dois pontos (x1, y1) e
(x2, y2) em um sistema de coordenadas cartesianas.

d= (x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2

33
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
No caso, vamos criar um programa principal chamado distancia e através deste
programa vamos chamar a função dist2.m, na qual estará implementada a foruma acima.
Passo 1: Criando a função:

Figura 13 – Implementação da Função “dist2”.

Em um m.File implementamos o código da função. Lembre-se este arquivo .m deve
ser salvo com o nome da função no caso dist2.m.
Passo 2:
Criando o programa principal:
%% Programa distancia entre pontos %%
%% o programa principal chama a função dist2 para o calculo %%

disp('Calculando a distância entre dois pontos:');
ax=input('Entre com o valor de x do ponto A: ');
ay=input('Entre com o valor de y do ponto A: ');
bx=input('Entre com o valor de x do ponto B: ');
by=input('Entre com o valor de y do ponto B: ');

resp=dist2(ax,ay,bx,by);
fprintf('A distância entre os potnos A e B é %fn:',resp);

Figura 14 – Programa em execução.

34
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
13. GRÁFICOS NO MATLAB

Gráficos são ferramentas poderosas quando se deseja interpretar visualmente os
resultados. Um recurso especialmente interessante nas engnharias e demais ciências
exatas, onde o MATLAB encontra as maiores aplicações.
O comando plot é utilizado para criação de gráficos bidimensionais. A forma mais
simples desse comando é:
plot (x,y)
Cada um dos argumentos x e y deve ser um vetor. Além disso, os dois vetores
devem possuir a mesma quantidade de elementos. Ao executar o omando plot, é gerada
uma saída na janela Figure Window. Caso a janela Figure Window esteja fechada, ela
será aberta automaticamente após a execução do comando.

13.1 Gráficos 2-D
Os resultados apresentados a seguir foram obtidos com o auxílio do “software” de
simulação PSCAD/EMTDC, no qual foram implementadas distintas situações de carga e
de tensão de alimentação para averiguar os efeitos da conexão das cargas especiais
modeladas no SEP.
Exemplo:
%% plotar a função seno %%

x=0:0.1:2*pi; %%gera um vetor de 0 a 2pi
y=sin(x); %% calcula o vetor das amplitudes
plot(x,y); %% plota o gráfico
xlabel('valores de x'); %%adiciona legenda no eixo x
ylabel('amplitude'); %%adiciona legenda no eixo y
grid on; %%coloca grid no grafico
y2=2*sin(x); %% gera um outro vetor de amplitudes
hold on; %% segura o grafico anterior para plotar junto com o novo grafico
plot(x,y2,'r+:'); %%plota o novo grafico, linha na cor vermelha, "+" em cada
ponto, ":" para linha tracejada
title('Gráfico da Função seno'); %% insere título no grafico
legend('Amplitude = 1','Amplitude = 2'); %%insere legenda no gráfico

35
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Figura 15 – Gráfico gerado após a execução do programa.

Exemplo:
1) Seja a função y = e ⋅ sen(x) . Como seria seu gráfico no intervalo [0 ; e1 ⋅ π ]?
−x

%%% Gráfico da função f(x)=exp(-x)*sin(x) %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x=0:0.1:exp(1)*pi; %%gera o vetor x
y=exp(-x).*sin(x); %%calcula as amplitudes, vetor y
plot(x,y,'--b'); %%plota o grafico
grid on; %% coloca o grid
title('gráfico f(x)=exp(-x)*sin(x)'); %% coloca o titulo no grafico
xlabel('eixo x'); %% coloca texto no eixo x
ylabel('eixo y'); %% coloca texto no eixo y
gtext('ponto de máximo local'); %%disponibiliza ao usuario marcar o ponto no
grafico

Figura 16 – Gráfico gerado após a execução do programa.

36
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
1) Seja a função f ( x) = x 3 − 9 x + 3 (livro, pg.31). Como seria seu gráfico no intervalo [-4 ,
3]?
%%% Gráfico da função f(x)=x.^3-9.*x+3 %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x = -4:0.1:3; %%gera o vetor x
y = x.^3-9.*x+3; %%calcula as amplitudes, vetor y
plot(x,y,'--b'); %%plota o grafico, linha pontilhada, na cor azul
title('bf{gráfico f(x)=x.^3-9.*x+3}' ); %% coloca o titulo no grafico em
negrito
axis([-4 4 -25 15]) %%ajusta os eixos para os limites [XMIN XMAX YMIN YMAX]

%%bf negrito{'texto'}, it italico{'texto'};
%%fontname{arial}

Figura 17 – Gráfico da função x^3-9*x+3.

2) Utilizando o processo de ii), pg. 33 livro, vamos isolar a função f(x) e obter a
equação equivalente g(x)=h(x) e esboçar o gráfico das funções g(x) e h(x) no
mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam.
f ( x) = x 3 − 9 x + 3

g ( x) = x 3
h( x) = 9 x − 3

37
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Gráfico das funções g(x)=x.^3 e h(x)=9.*x-3 %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

x = -10:0.1:10; %%gera o vetor x
g = x.^3; %%calcula as amplitudes, vetor g
plot(x,g,'--b'); %%plota o grafico g(x), linha pontilhada, na cor azul
h=9.*x-3; %%calcula as amplitudes, vetor h
hold on; %%segura o grafico g(x) para que possamos plotar h(x)
plot(x,h,'r'); %%plota o grafico h(x), linha pontilhada, na cor vermelho
%% vamos plotar g e h para analisar onde g(x)=h(x), pg 35 livro.
axis([-5 5 -40 40]) %%ajusta os eixos para os limites [XMIN XMAX YMIN YMAX]

Figura 18 – Gráficos das funções g(x)=x^3 e h(x)=9x-3.

13.2 Estilos de Linhas e Símbolos

Os tipos de linhas, símbolos e cores usados para plotar gráficos podem ser
controlados se os padrões não são satisfatórios. Por exemplo,
x = 0:0.05:1;
subplot(1,2,1)
plot(x,x.^2,'k*')
subplot(1,2,2)
plot(x,x.^2,'k --')

38
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Figura 19 – Plotando gráficos com marcadores e linha pontilhada, detalhe comando “subplot”.

Comando subplot = Gera vários eixos em uma mesma janela.
Sintaxe:
subplot(m,n,p)
Parâmetros de entrada:
m= número de eixos na vertical (número de linhas).
n=Número de eixos na horizontal (número de colunas).
p=Índice do eixo corrente
Outros tipos de linhas, pontos e cores também podem ser usados:

39
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

13.3 Coordenada Polar e Gráfico de Barras

polar(theta,r,fmt) plota em coordenadas polares o ângulo theta, em radianos, r que é
a variação radial linear, e fmt é a cadeia de caracteres contendo a descrição do tipo de
curva a ser traçado (como o plot);
%% Gerando gráficos em coordenadas polares
theta=-2*pi:0.1:2*pi;
rho=1:126;
polar(theta,rho,'r*')

40
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Figura 20 – Coordenadas polares.

Figura 21 – Gráficos de barras.

41
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
%% Gerando gráficos de Barras
x=-2.9:0.2:2.9;
y=exp(-x.*x);
subplot(2,2,1)
bar(x,y)
title('Grafico de barras de uma curva em forma de sino');
subplot(2,2,2)
bar3(x,y)
title('Grafico de barras 3-D de uma curva em forma de sino');
subplot(2,2,3)
stairs(x,y)
title('Grafico em escada de uma curva em forma de sino');
subplot(2,2,4)
barh(x,y)
title('Grafico de barras horizontal');

13.4 Gráficos 3-D

O MATLAB possui muitos recursos para visualização de dados em 3D. Este item
representa as principais funções relacionadas a este tópico.
Estes são alguns comandos para plotar gráficos tridimensionais e contornos.
Tabela 8 – Comandos para plotar gráficos 3-D.

O MATLAB define uma superfície do tipo mesh (rede) pelas coordenadas Z sobre
um plano x-y. Superfícies tipo mesh são úteis para visualizar matrizes demasiadamente
grandes para serem mostradas na forma numérica, ou para plotar funções de duas
variáveis.
O primeiro passo para plotar uma função de 2 variáveis z=f(x,y) é gerar matrizes X e
Y contendo linhas e colunas repetidas, respectivamente, para funcionarem como o
domínio da função. A função meshgrid transforma o domínio especificado por dois vetores
x y em duas matrizes X e Y. Essas matrizes então são usadas para avaliar a função de 2
variáveis. Por exemplo, seja a função:

42
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
x=-pi:0.5:pi;
y=-pi:0.5:pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz=cos(Mx).*sin(My);
mesh(Mx,My,Mz);

Figura 22

x=-pi:0.5:pi;
y=-pi:0.5:pi;
[Mx,My]=meshgrid(x,y);
Mz=cos(Mx).*sin(My);
mesh(Mx,My,Mz);
surf(Mx,My,Mz)

Figura 23

43
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

[X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8);
r= sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
mesh(X,Y,Z)

Figura 24

[X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8);
r= sqrt(X.^2+Y.^2)+eps;
Z=sin(r)./r;
mesh(X,Y,Z)
surf(X,Y,Z)

Figura 25

44
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
figure(2)
[X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8);
mesh(X,Y,3*sqrt(X.^2+Y.^2))

Figura 26

figure(3)
[X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8,-8:0.5:8);
mesh(X,Y,3*sqrt(X.^2+Y.^2))
surf(X,Y,3*sqrt(X.^2+Y.^2))

Figura 27

45
_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________
Tabela 9

x=-4*pi:0.1:4*pi;
y=-4*pi:0.1:4*pi;
plot3(cos(x),sin(y),(x+y))

Figura 28

46
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%% Equações paramétricas
t=0:0.1:6*pi;
x=sqrt(t).*sin(2*t);
y=sqrt(t).*cos(2*t);
z=0.5*t;
plot3(x,y,z,'k','linewidth',2)
grid on
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

Figura 29

%% Malha e persianas verticais
x=-3:0.25:3;
y=-3:0.25:3;
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Z=1.8.^(-1.5*sqrt(X.^2+Y.^2)).*cos(0.5*Y).*sin(X);
meshz(X,Y,Z)
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

Figura 30

47
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13.5 Anotações no Gráfico
O MATLAB possui comandos de fácil utilização para adicionar informações em um
gráfico:
Tabela 10

Por exemplo:
fplot('sin', [-pi pi])
title('Gráfico da função f(x)=seno(x), -pi<x<pi')
xlabel('x')
ylabel('f(x)')
grid

Figura 31

48
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14. POLINÔMIOS

Encontrar raízes de um polinômio, isto é, os valores para os quais o polinômio é igual
a zero. No MATLAB, um polinômio é representado por um vetor linha contendo seus
coeficientes em ordem decrescente. Por exemplo: x 4 − 12 x 3 + 0 x 2 + 25 x + 116 é
introduzido como:
p=[1 -12 0 25 116]

p =

1 -12 0 25 116

14.1 Raízes
Dada essa forma, as raízes do polinômio são encontradas usando-se a função
roots(p):
roots(p)

ans =

11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i

Dadas as raízes também é possível construir o polinômio associado. O comando que
executa tal procedimento é o comando poly, como exemplo:
>> p=[1 -12 0 25 116]

p =

1 -12 0 25 116

>> r=roots(p)

r =

11.7473
2.7028
-1.2251 + 1.4672i
-1.2251 - 1.4672i

>> p2=poly(r)

p2 =

1.0000 -12.0000 -0.0000 25.0000 116.0000

>>

49
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Calcular a raiz do polinômio P ( x) = x 3 − 2 x − 5
>> p=[1 0 -2 -5]

p =

1 0 -2 -5

>> r=roots(p)

r =

2.0946
-1.0473 + 1.1359i
-1.0473 - 1.1359i

>>

Por convenção o Matlab armazena as raízes em vetores coluna.

14.2 Multiplicação
A multiplicação polinomial é efetuada por meio da função conv(que faz a convolução
entre dois vetores). Consideremos o produto de dois polinômios a ( x) = x + 2 x + 3 x + 4 e
3 2

b( x) = x 3 + 4 x 2 + 9 x + 16 .
a=[1 2 3 4];
b=[1 4 9 16];
c=conv(a,b)

c =

1 6 20 50 75 84 64

Consideremos os polinômios P ( x) = x 2 + 2 x + 3 e Q( x) = 4 x 2 + 5 x + 6
>> P=[1 2 3]

P =

1 2 3

>> Q=[4 5 6]

Q =

4 5 6

>> R=conv(P,Q)

R =

4 13 28 27 18

>>

50
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_______________________________________________________________________________
Nos devolve o resultado: 4 13 28 27 18. Isto é
R ( x) = P ( x).Q( x) = 4 x 4 + 13x 3 + 28 x 2 + 27 x + 18

14.3 Adição
O MATLAB possui uma função direta para somar polinômios:
a=[1 2 3 4];
b=[1 4 9 16];

d=a+b
d =

2 6 12 20

Quando dois polinômios forem de ordens diferentes, aquele que tiver menor ordem
terá de ser preenchido com coeficientes iguais a zero, a fim de torná-lo da mesma ordem
do polinômio de ordem mais alta.
Exemplo:
>> e= c+[0 0 0 d]
e=
1 6 20 52 81 96 84

14.4 Divisão
Consideremos o polinômio P ( x) = 4 x 3 + x 2 − 2 x + 3 e Q( x) = x 2 + 3 x + 6 .
>> P=[4 1 -2 3]

P =

4 1 -2 3

>> Q=[1 3 6]

Q =

1 3 6

>> [q r]=deconv(P,Q)

q =

4 -11

r =

0 0 7 69

Isto é, q ( x ) = 4 x − 11 quociente e r ( x ) = 7 x + 69 resto.

51
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14.5 Cálculo de Polinômios
O comando que realiza o calculo dos valores de f(x) podem ser realizados através
do comando polyval.

x=linspace(-1,3);%% escolhe 100 pontos entre –1 e 3.
p=[1 4 -7 -10]; %%define o polinômio p(x)=x3+4x2-7x-10
v=polyval(p,x) %%calcula p(x) nos valores armazenados em x e armazena o
resultado em v. O resultado pode ser representado graficamente usando-se:
plot(x,v)
grid

14.6 Derivada de Polinômios

Considere o seguinte polinômio P ( x) = 2 x 4 − x 3 + 3 x 2 + 5 x + 9 , vamos derivar este
polinômio:
>> P=[2 -1 3 5 9]

P =

2 -1 3 5 9

>> polyder(P)

ans =

8 -3 6 5

>>
Isto é P ' ( x ) = 8 x − 3 x + 6 x + 5
3 2

14.7 Derivada de um Produto de Polinômios

Considere os seguintes polinômios: P ( x) = x 2 − 5 x + 9 e Q( x) = x 2 + x − 1
>> P=[1 -5 9]

P =

1 -5 9

>> Q=[1 1 -1]

Q =

1 1 -1

>> polyder(P,Q)

ans =

52
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_______________________________________________________________________________
4 -12 6 14

>>
Nos devolve como resultado: 4 -12 6 14. Isto é P ' ( x ) = 4 x − 12 x + 6 x + 14
3 2

14.8 Derivada de um Quociente de Polinômios

Considere os seguintes polinômios: P ( x) = x − 5 x + 9 e Q( x ) = x + 7
2

>> P=[1 -5 9]

P =

1 -5 9

>> Q=[1 7]

Q =

1 7

>> [n,d]=polyder(P,Q)

n =

1 14 -44

d =

1 14 49

>>
Isto é n( x ) = x + 14 x − 44 numerador e n( x ) = x + 14 x + 49 o denominador.
2 2

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15. LISTA DE FUNÇÕES DO MATLAB

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16. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1]. S. J. Chapman. “Programação em Matlab Para Engenheiros”. Editora Cengage Learning, 2ª
Edição, 2010.

[2]. A. Gilat. “Matlab Com Aplicações em Engenharia”. Editora Bookman, 2° Edição, 2006.

[3]. S. A. Vicente. “Curso Introdutório de Matlab 6.5”. Apostila, Janeiro, 2003.

[4]. Matlab & Simulink, Apostila, Faculdade de Engenharia Industrial, 1994.

[5]. Matlab Curso Introdutório, Apostila, Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas, 2002.

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