Problema de Brinkman

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´tica
a

´
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCION
DEL PROBLEMA DE BRINKMAN.
´
SEMINARIO DE MATEMATICA PURA Y APLICADA II

Alumno: Soto Rivera, Joel Richard
C´digo: 20071155A
o Nota:
Asesor: Dra. Irla Mantilla N.

´
LIMA-PERU
2012

Agradecimientos
Agradezco de manera especial a mi asesora Dra. Irla Mantilla por el apoyo brindado
en la elaboraciń de este trabajo y as´ tambiń por permitirme hacer uso de las insta-
o ı e
laciones y equipos del Laboratorio de Simulaciń e Investigaciń Num´rica(LABOSIN-
o o e
FC) y as´ mismo por aceptar mi pertenencia en este grupo de investigaciń.
ı o

Nomenclatura.
v: Velocidad del fluido.

p: Presiń del fluido.
o

µef f : Viscosidad efectiva.

µef : Viscosidad externa din´mica.
a

k: Perneabilidad

Ω: Conjunto abierto.

∂Ω: Frontera del conjunto Ω.

2

Resumen

El prop´sito del presente trabajo, es el estudio de la existencia y unicidad de la
o
soluciń en sentido d´bil del problema de contorno de Brinkman, bajo ciertas con-
o e
diciones tales como: dominio acotado (Ω) y con una condiciń de frontera Dirichlet
o
no homogńea sobre un espacio bidimensional. Para ello utilizaremos propiedades
e
del an´lisis vectorial y funcional para determinar su formulaciń variacional del
a o
problema en estudio. Luego aplicando el teorema de Lax-Milgram se demuestra la
existencia y unicidad del problema variacional generado. Finalmente se prueba de
modo equivalente que la soluciń en sentido d´bil es soluciń del problema en sentido
o e o
cl´sico .
a

Palabras claves: Formulaciń variacional de Brinkman adimensional, Condiciń
o o
Dirichlet no hom´genea, Lax-Milgram, Existencia y Unicidad, Soluciń Debil.
o o
2010 Mathematics Subject Classification:35A15-46Exx-35A01-35A02

´
Indice general

Introducciń
o 2

1. Marco Te´rico para el estudio del problema
o 3
1.1. Espacios de Banach y Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Espacio Dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Representaciń de Riesz. . . . . . . . . . . .
o . . . . . . . . . . 5
1.3. Formas Bilineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Teorema de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Propiedades del C´lculo . . . . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 12
1.4.1. Identidades del Cćulo . . . . . . . . . . . .
a . . . . . . . . . . 12
1.5. Espacios de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1. El espacio L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev. . . . . . . . . . . 15

2. Formulaciń F´
o ısica-Matem´tica del Problema de Brinkman.
a 16
2.1. Adimensionalizaciń de las ecuaciones de conservaciń. . . . . . . . . 17
o o
2.2. Modificaciń de la ecuaciń adimensional de Brinkman. . . . . . . . . 17
o o
2.3. Formulaciń Variacional del Problema de Brinkman-Stokes(PVBS). . 18
o

3. Existencia y Unicidad de la Soluciń del Problema de Brinkman. 21
o
3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la soluciń del PVBS. . . . . . 21
o
3.2. Existencia y Unicidad de la soluciń del Problema de Brinkman. . . . 25
o

Conclusiones 27

Bibliograf´
ıa 28

1

Introducciń
o
El problema de Brinkman (1947) se origin´ al tratar de estimar la permeabilidad
o
de un medio poroso,la ecuaciń de Brinkman sirve para modelar fluidos en medios
o
porosos, para el que el impulso debido a las tensiones de corte son de importancia
en el fluido.El principal objetivo de este trabajo mostrar que existe un par (v, p) que
satisface el problema de Brinkman. A pesar que la ecuaciń DL-Brinkman ([8]) es un
o
refinamiento de la ecuaciń de Brinkman en este trabajo veremos la importancia ya
o
que el otro modelo requiere un mayor n´ mero de condiciones para ser resuelta vemos
u
que existira un factor (v.∇)v que dificulta la linealidad de la ecuaciń pero dada
o
que Brinkman no considero este t´rmino en su ecuaciń esto posibilita la forma de
e o
intentar hallar una formulaciń d´bil de ´sa ecuaciń la cual nos dar´ la posibilidad
o e e o a
de probar la existencia de soluciń del problema de Brinkman.
o
Ahora consideremos el problema de Brinkman dada por el siguiente sistema de
ecuaciones:
µef
−∇p + µef f ∇2 v − v = 0, en Ω
k
∇.v = 0 en Ω
Asociado a una condiciń Dirichlet no hom´genea, sobre un dominio acotado Ω,
o o
contenido en un espacio bidimensional. Asumiendo que este dominio cuya frontera
posee propiedades de regularidad, se prueba que el problema de Brinkman tiene
soluciń unica en un espacio de Sobolev de orden uno. El desarrollo de este trabajo
o ´
se a organizado del siguiente modo:

En el primer cap´ ıtulo veremos todos los conceptos previos que se nesesitan
para abarcar el estudio del problema como resultados cl´sicos del an´lisis fun-
a a
cional,algunas propiedades del c´lculo vectorial y los espacios de sobolev.
a

En el segunda capitulo abarcaremos la formulaciń del problema sobre que
o
dominios estamos trabajando y se aplicara ciertos m´todos para trabajar con
e
sistemas equivalentes el cual se podra hallar su formulaciń d´bil del problema
o e
equivalente el cual se le llamar´ la ecuaciń Brinkman-Stokes.
a o

En la tercer capitulo trabajaremos a partir de su formulaciń variacional de
o
la ecuaciń Brinkman-Stokes y se probar´ que esta posee solucion unica so-
o a ´
bre cierto espacio,luego probaremos que tambien existe solucion unica para la
´
ecuaciń Brinkman.
o

Finalmente dar´ las conclusiones que nos deja este trabajo.
a

2

Cap´
ıtulo 1

Marco Te´rico para el estudio del
o
problema

Empezaremos dando los conceptos que se necesitan saber probar que la ecuaciń
o
de Brinkman bajo ciertas condiciones posee soluciń unica.
o

1.1. Espacios de Banach y Hilbert
Definiciń 1.1.1 (Espacio normado). Sea V un espacio vectorial real,
o
· : V → R una funciń que satisface para todo u, v ∈ V y α ∈ R :
o

1. u ≥ 0 ; u =0 ⇔ v=0

2. αu = |α|. u

3. u + v ≤ u + v (Desigualdad Triangular)

Luego se define a · como una norma sobre V, y al par (V, . ) un espacio normado.

Definiciń 1.1.2 (Espacio de Banach). Un espacio normado (V, . ) es llamado
o
Espacio de Banach si V es completo con la m´trica inducida por la norma . .
e

Definiciń 1.1.3 (Espacio Prehilbert). Sea (H, ·, · ) un espacio vectorial provisto
o
con un producto escalar en H.Mas concretamente H un espacio vectorial sobre un
cuerpo K y ·, · es un producto escarlar en H, con las siguientes propiedades.

1. ∀x, y ∈ H, x, y = y, x

2. ∀x, y ∈ H, ∀a ∈ K, ax, y = a x, y

3. ∀x, y, z ∈ H, x, y + z = x, y + x, z

3

4. ∀x ∈ H, x, x ≥ 0, Adem´s, el unico vector que al hacer el producto escalar
a ´
con ´l mismo es cero, es el vector nulo, es decir: x, x = 0 ↔ x = 0.
e

Obsevaciń:Luego se define la norma inducida en el espacio H dada por el
o
producto interno como:
x H= x, x
Donde la norma inducida x H es un espacio Banach.
Notaciń:Denotaremos al siguiente conjunto:
o

BX := {x ∈ X : x X ≤ 1}

Definiciń 1.1.4 (Espacio Hilbert). Sea (H, ·, · ) un espacio de prehilbert ,decimos
o
que este espacio es Hilbert si es completo con respecto a la norma inducida por
su producto interno. Completo en este contexto significa que cualquier sucesiń de
o
Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio con respecto
a la norma inducida en H.

1.2. Espacio Dual.
1.2.1. Aplicaciones lineales y continuas.
Definiciń 1.2.1 (Aplicaciń lineal.). Sean X e Y espacios vectoriales sobre el
o o
mismo cuerpo K, recordemos que una aplicaciń T : X → Y es lineal si:
o

T (αx + y) = αT (x) + T (y), ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ K

Proposiciń 1.2.1 (Continuidad de una aplicaciń lineal.). Sea (X, ·, · X ), (Y, ·, · Y )
o o
espacios Hilbert y sea T : X → Y una aplicaciń lineal entonces las siguientes afir-
o
maciones son equivalentes:

Existe una constante β > 0 tal que T (x) Y ≤β x X ; ∀x ∈X

T es continua en X.

T es acotada en BX .

Demostraciń. La demostraciń de ´sta proposiciń se encuentra en la referencia
o o e o
[2]

Definiciń 1.2.2 (funcional lineal). Una aplicaciń lineal T se llamara funcional
o o
lineal si T : X → R .

Definiciń 1.2.3 (Funcional lineal acotada.). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert,L :
o
H → R una funcional lineal es llamada lineal acotada si existe un C> 0 tal que:

|T (u)| ≤ C u H, ∀u ∈ H

4

Definiciń 1.2.4 (Espacio Dual). Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define H ∗ el
o
espacio dual de H como:
H ∗ = {f : H → R : f es lineal acotada.}
Definiciń 1.2.5 (Norma de una Funcional lineal acotada.). Sea T : H → R una
o
funcional lineal acotada,se define su norma como:
|T (u)|
T H∗ = sup
x=0 u H
Proposiciń 1.2.2. Sea (H, ·, · ) un espacio Hilbert se define en H ∗ la norma como
o
en (1.2.5) entonces (H ∗ , · H ∗ ) es un espacio Banach.
o o e o
[2].

1.2.2. Representaciń de Riesz.
o
Antes de ello algunas definiciones previas antes de enunciar el teorema.
Definiciń 1.2.6 (Subespacio). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊆ H un subcon-
o
junto tal que para todo u, v ∈ S y α ∈ R se tiene u + αv ∈ S, entonces S es llamado
Subespacio de H.
Definiciń 1.2.7 (Complemento ortogonal). Sea H un espacio de Hilbert y S ⊂ H
o
un subconjunto, se define
M ⊥ = {v ∈ H : v, x = 0 ∀ x ∈ M}
Proposiciń 1.2.3. Sea H un espacio de Hilbert, dado un subespacio M de H en-
o
tonces
H = M ⊕ M⊥
es decir H = M + M ⊥ y M ∩ M ⊥ = {0}
o o e o
[2].
En H espacio de Hilbert, veamos que dado un u ∈ H, podemos definir la funcional
lineal Lu definida en H como:
Lu (v) = u, v
Veamos ahora en el siguiente teorema que el rec´
ıproco tambiń es verdadero.
e
Teorema 1.2.1 (Representaciń de Riesz). Sea (H, ·, ·
o H) un espacio Hilbert,sea
∗
f ∈ H entonces existe un unico u tal que:
´
∀v ∈ H : f (v) = u, v H

m´s ań se tiene:
a u
f H∗ = u H

5

Demostraci´n.
o Existencia.
Sea N u(f ) = M = {v ∈ H : f (v) = 0}; como se sabe M es un subespacio de
H,adem´s por ser una funcional lineal acotada N (L) es cerrado; entonces por la
a
proposici´n (1.2.3) tenemos que: H = M ⊕ M ⊥
o

(1) Caso: Si M ⊥ = {0}
Esto implica que M = H; por lo tanto L ≡ 0; entonces basta tomar u = 0 y el
teorema queda demostrado. ∀ v ∈ H : f (v) = u, v

(2) Caso: Si M ⊥ = {0}
Entonces sea z ∈ M ⊥ , z = 0, luego z ∈ M por lo tanto f (z) = 0.
/
Para cualquier v ∈ H consideremos: x = f (v)z − f (z)v
aplicando f obtenemos:

f (x) = f (v)f (z) − f (z)f (v) = 0

Esto muestra que x ∈ N (f ) = M y ya que z ∈ M ⊥ tenemos que:

0 = z, x = z, f (v)z − f (z)v
= f (v) z, z − f (z) z, v
2
Notando que z, z = z = 0, resulta que:

f (z)
f (v) = z, v
z 2

f (z)
Entonces escribiendo u = z 2
z tenemos demostrado el teorema:

∀v ∈H : f (v) = u, v

Unicidad.

Supongamos que existen u1, u2 ∈ H tales que:

∀v ∈ H : f (v) = u1 , v = u2 , v

Entonces ∀ v ∈ H : u1 − u2 , v = 0; tomando entonces en particular: v = u1 − u2 ,
se tiene que:
2
u1 − u2 , v = u1 − u2 , u1 − u2 = u1 − u2 =0

6

Por lo tanto u1 − u2 = 0, esto es u1 = u2 , que prueba la unicidad.

Igualdad de normas.
f (z)
De la definiciń de u =
o z 2
z, tomando norma tenemos:

|f (z)| |f (x)|
u H = ≤ sup = f H∗
z x∈H x
x=0

Tambiń se tiene que:
e

|f (x)| | u, x |
f H∗ = sup ≤ sup ≤ u H
x∈H x x∈H x
x=0 x=0

Por lo tanto tenemos:
f H∗ = u H

Con esto queda demostrado el teorema.

1.3. Formas Bilineales.
Definiciń 1.3.1 (Forma bilineal). Sea V un espacio vectorial, una funciń
o o
b : V ×V → R se le llama forma bilineal si cumple para todo u, v, w ∈ V y α, β ∈ R :

1. b(αu + βv, w) = αb(u, w) + βb(v, w)

2. b(u, αv + βw) = αb(u, v) + βb(u, w)

Si adem´s cumple que ∀u, v ∈ V : b(u, v) = b(v, u) se dice que es sim´trica.
a e

Definiciń 1.3.2. Una forma bilineal b(·, ·) en un espacio vectorial normado V, se
o
dice que es acotada (o continua); si ∃ C > 0 tal que:

|b(v, w)| ≤ C v V w V ; ∀ v, w ∈ V

Y se dice que es coerciva en U ⊂ V si ∃ α > 0 tal que:
2
b(v, v) ≥ α v V ; ∀v ∈ U

7

1.3.1. Teorema de Lax-Milgram
Definiciń 1.3.3 (Contracciń). Sea (V, · V ) un espacio de Banach. Una apli-
o o
caciń T : V → V es llamada una contracciń en V, si existe un real M < 1 tal
o o
que:
∀ v1 , v2 ∈ V : T v1 − T v2 ≤ M v1 − v2
Lema 1.3.1 (La aplicaciń contractiva). Dado un espacio de Banach (V, · ) y
o
una contracciń T : V → V ; entonces existe un unico v ∈ V tal que: T v = v (Punto
o ´
fijo)
Demostraciń.
o Existencia.
Elegimos v0 ∈ V y definimos:

v1 = T v0 , v2 = T v1 , . . . , vk+1 = T vk , . . .

Notemos que ∀ k ∈ N : vk+1 − vk = T vk − T vk−1 ≤ M vk − vk−1 . Entonces por
inducciń podemos afirmar que:
o

∀k ∈N : vk − vk−1 ≤ M k−1 v1 − v0

Por lo tanto, para ∀ m, n ∈ N : m > n tenemos:
m
vm − vn = vk − vk−1
k=n+1
m
≤ v1 − v0 M k−1
k=n+1
n
M
≤ v1 − v0
1−M
Dado que 0 < M < 1 y que el t´rmino v1 − v0 es fijo, el lado derecho de la
e
desigualdad puede hacerse tan peque˜ o como se desee, tomando a m suficientemente
n
grande. Esto demuestra que (vn )n∈N es una sucesiń de Cauchy. Dado que V es un
o
espacio completo (por ser de Banach), la sucesiń (vn )n∈N es convergente y sea
o
vn → v, con v ∈ V tenemos:

v − Tv ≤ v − vn + vn − T v
= v − vn + T vn−1 − T v
≤ v − vn + M vn−1 − v

Tomando n → ∞ tenemos que:

v − Tv = 0 ⇒ v = Tv

8

Esto demuestra la existencia de un punto fijo v ∈ V.

Unicidad.

Supongamos que tenemos T v1 = v1 y T v2 = v2 entonces:
v1 − v2 = T v1 − T v2 ≤ M v1 − v2

Entonces v1 − v2 = 0 ya que en otro caso se tendria que 1 ≤ M que es una
contradicciń.
o
Por lo tanto v1 = v2 , el punto fijo es unico.
´
Teorema 1.3.1 (Lax-Milgram). Sea (H, ·, · H ) un espacio Hilbert, dada una forma
a : H ×H → Rbilineal coerciva y continua en H ×H y una funcional acotada f ∈ H ∗
entonces existe un unico u ∈ H tal que:
∀v ∈H : a(u, v) = f (v)
Demostraciń. Para cualquier u ∈ H definimos la funcional Au ∈ H ∗ por ∀ v ∈ H :
o
Au(v) = a(u, v).
Veamos que Au es lineal:
Au(αv1 + βv2 ) = a(u, αv1 + βv2 )
= αa(u, v1 ) + βa(u, v2)
= αAu(v1 ) + βAu(v2 ) ∀ v1 , v2 ∈ H; ∀ α, β ∈ R

Veamos adem´s que Au es continua:
a
∀v ∈ H : |Au(v)| = |a(u, v)| ≤ C u v

Donde C es una constante por la definiciń de continuidad de a ·, · , por lo tanto
o
tenemos que:
|Au(v)|
Au H ∗ = sup ≤C u <∞
v=0 v

Esto muestra que Au ∈ H ∗ .
Adem´s sabemos que: ∀ φ ∈ H ∗ por (1.2.1) ∃ξφ ∈ H unico, tal que
a ´
φ(v) = ξφ , v ∀v ∈H

Luego definimos ξ : H ∗ → H como: ∀ φ ∈ H ∗ : ξ(φ) = ξφ.
Veamos que ξ es un operador lineal:
∀ L, T ∈ H ∗ : ξ(L+T ) = ξL+T

9

Sabemos que por la definiciń de ξ: ∀ v ∈ H
o (L + T )(v) = ξL+T , v

(L + T )(v) = ξL+T , v
L(v) + T (v) = ξL+T , v

Para L y T tambiń existen ξL y ξT tales que: ∀ v ∈ H : L(v) = ξL , v y
e
T (v) = ξT , v .
Entonces:

ξL , v + ξT , v = ξL+T , v
ξL + ξT , v = ξL+T , v
(ξL + ξT − ξL+T ), v = 0

Por lo tanto: ξL + ξT = ξL+T ; es decir: ξ(L) + ξ(T ) = ξ(L + T ) es Lineal.
Por la unicidad de ξφ ∈ V se tiene que ξ es inyectiva.
Adem´s el mismo teorema asegura que: φ H ∗ = ξφ H = ξ(φ) H .
a

Ahora tomando ρ = 0, definimos T : H → H como:

∀v ∈H : T v = v − ρ(ξ(Av) − ξ(f ))

Veamos que condiciones debe tener ρ para que T sea una contracciń:
o
Para cualquier v1 , v2 ∈ H; sea v = v1 − v2 :
2
T v1 − T v2 = v1 − v2 − ρ(ξ(Av1 ) − ξ(Av2 )) 2
= v − ρ(ξ(Av)) 2
= v 2 − 2ρ (Av), v + ρ2 ξ(Av) 2
= v 2 − 2ρAv(v) + ρ2 Av(ξ(Av))
= v 2 − 2ρa(v, v) + ρ2 a(v, ξ(Av))
≤ v 2 − 2ρα v 2 + ρ2 C v ξ(Av)
≤ (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) v 2
= (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) v1 − v2 2
= K 2 v1 − v2 2

Entonces debemos tomar ρ de tal forma que: K < 1 es decir (1 − 2ρα + ρ2 C 2 ) < 1
que es lo mismo que ρ(ρC 2 − 2α) < 0
Entonces basta tomar ρ ∈ 0, 2α/C 2
Con esta elecciń de ρ se asegura que T es una contracciń por lo tanto por el lema
o o
(...) aseguramos que T posee un unico punto fijo, es decir:
´
Existe un unico u ∈ H tal que: T u = u.
´
Entonces:
u − ρ(ξ(Au) − ξ(f )) = u

10

Por lo tanto:
ξ(Au) = ξ(f )
Y por ser ξ inyectiva tenemos que:

Au = F ⇒ Au(v) = f (v)

Por lo tanto: Existe un unico u ∈ H tal que:
´

∀v ∈H : a(u, v) = f (v)

Con lo que el Teorema queda demostrado.

Lema 1.3.2. Sea (H, ·, · )H un espacio Hilbert entonces (H × H, ·, · H2) es un
espacio Hilbert.
Donde ·, · H 2 = ·, · H + ·, · H

Demostraciń. Facilmente se prueba que dado (x, y) ∈ H × H se tiene:
o
2 2 2
(x, y) H2 = x H + y H

Sea (xn , yn ) una sucesiń de cauchy en H × H, dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que si
o
∀m, n ≥ n0 entonces (xn , yn ) − (xm , ym ) H 2 < ǫ
2 2 2
(xn , yn ) − (xm , ym ) H2 = xn − xm H + yn − ym H <ǫ

de esto se deduce que (xn ), (yn ) son sucesiones de cauchy en H al ser H un espacio
completo se tiene que existe (x, y) ∈ H × H tal que

xn → x, yn → y

Afirmo que (xn , yn ) converge a (x, y) en efecto:
ǫ ǫ
Dado √2 > 0 existe n1 ∈ N tal que ∀n ≥ n1 implica que xn − x H < √2
ǫ ǫ
Dado 2 > 0 existe n2 ∈ N tal que ∀n ≥ n2 implica que yn − y H < √2
Sea n0 = m´x{n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se tiene
a
2 2 2
(xn , yn ) − (x, y) H2 = xn − x H + yn − y H < ǫ2

dado ǫ > 0 existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0 implica que (xn , yn ) − (x, y) H 2 < ǫ
(xn , yn ) una sucesiń convergente en H × H, de aqui (H × H, ·, · H 2 ) es un espacio
o
Hilbert.

11

1.4. Propiedades del C´lculo
a
Se dar´ un breve pero conciso resumen sobre los principales resultados del c´lculo
a a
vectorial.
Sea Ω ⊆ R2 , definimos el siguinte campo vectorial u ∈ C 2 (Ω) donde:

u:Ω → R2
u(x, y) = (u1 (x, y), u2(x, y))
Se define la divergencia de u como:
∂u1 ∂u2
div(u) = ∇ · u = +
∂x ∂y
Se define laplaciano de u como:
∂ 2 u1 ∂ 2 u1 ∂ 2 u2 ∂ 2 u2
∆(u) = ∇2 u = ( + , + )
∂x2 ∂y 2 ∂x2 ∂y 2
Dado una φ ∈ C 2 (Ω) un campo escalar definido como:

φ:Ω → R
φ(x, y) = φ
Se define el gradiente de φ como:
∂φ ∂φ ∂φ
∇φ = ( , , )
∂x ∂y ∂z
Se define laplaciano de φ como:
∂2φ ∂2φ
△φ = + 2
∂x2 ∂y

1.4.1. Identidades del Cćulo
a
Se cumplen las siguientes identidades:
∇ · (u + v) = ∇ · u + ∇ · v
∇ · (uφ) = φ∇ · u + u · ∇φ
∇2 φ = ∇ · (∇φ)
Teorema 1.4.1 (Identidades de Green.). Sea φ, ϕ ∈ C 2 (Ω) entonces se cumple:

φ△ϕdx = φ(∇ϕ · η)dS − ∇φ · ∇ϕdx
Ω ∂Ω Ω

∂ϕ ∂φ
(φ△ϕ − ϕ△φ)dx = (φ − ϕ )dx
Ω ∂Ω ∂η ∂η

12

Demostraciń. La demostraciń de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6]
o o e

Teorema 1.4.2 (Teorema de la divergencia.). Sea u ∈ C 2 (Ω) un campo vectorial
entonces se cumple:
∇ · udx = u · ηdS
Ω ∂Ω

Demostraciń. La demostraciń de ´ste teorema se encuentra en la referencia [6]
o o e

1.5. Espacios de Sobolev.
1.5.1. El espacio L2 (Ω)
Considerando a Ω ⊂ R2 un conjunto abierto.

Definiciń 1.5.1 (Espacios L2 (Ω)).
o

L2 (Ω) := {[v]/v : Ω → R es una f uncion medible y |v(x)|2 dx < ∞}
Ω

donde: [v] = {u : Ω → R/u(x) = v(x) excepto en un conjunto de medida nula}

Observaciń:
o
Asumiremos que v ∈ L2 (Ω) ≡ [v] ∈ L2 (Ω)

1
Proposiciń 1.5.1. Para v
o L2 (Ω) := ( Ω
|v(x)|2 dx) 2 se cumple:

1. | Ω
u(x)v(x)dx| ≤ u L2 (Ω) v L2 (Ω) (Desigualdad de Schwarz)

2. u + v L2 (Ω) ≤ u L2 (Ω) + v L2 (Ω) (Desigualdad Triangular)

3. (L2 (Ω), . L2 (Ω) ) es un espacio de Banach.

o o e o
[2]
Observaciń
o
La norma mencionada es inducida por el producto interno u, v L2 (Ω) = Ω
u(x)v(x)
asi L2 (Ω) es tambien un espacio de Hilbert.

13

1.5.2. Espacio Sobolev de orden 1.
Definiciń 1.5.2. Sea ϕ ∈ C ∞ (Ω) el soporte de ϕ esta definido por:
o
sop(ϕ) := {x ∈ Ω : ϕ(x) = 0}
Definiciń 1.5.3. Se define por D(Ω) o C0 (Ω) al conjunto de funciones C ∞ (Ω)
o ∞

con soporte compacto en Ω.
Dado f una funciń localmente integrable,entonces f puede ser identificada con
o
la siguiente distribuciń:
o

f, ϕ = f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ D(Ω)
Ω
N
N
Sea α = (α1 , . . . , αN ) ∈ N donde |α| = αi
i=1
De aqui se define:
α ∂u|α|
∂ u = α1 α
∂x1 . . . ∂xNN
Para u ∈ D ∗ (Ω) se puede definir: ∂ α u ∈ D ∗ (Ω) como:
∂ α u, ϕ = (−1)|α| u, ∂ α ϕ ∀ϕ ∈ D(Ω)
Observaciń:Si u es α-diferenciable entonces ∂ α u coincide con la derivada usual.A
o
partir de aqui podemos definir lo siguiente:
Definiciń 1.5.4. Se define al espacio Sobolev de orden 1 como:
o
H 1 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∂ α v ∈ L2 (Ω) α ≤ 1}
1
Definiciń 1.5.5. Definimos el conjunto H0 (Ω) como la cerradura de D(Ω) en
o
1
H (Ω), es decir:
1
H0 (Ω) = D(Ω)
1
Definimos la siguiente norma en H0 (Ω) de la siguiente forma:
1
u H1 =( |∂ α u(x)|2 dx) 2
|α|≤1 Ω

Observaciń
o
Asi definido se tiene que:(H 1 (Ω), · H 1 ) es un espacio banach. H0 (Ω) es un subes-
1

pacio cerrado de H 1 (Ω), definido con las misma norma es tambiń es un espacio de
e
banach.
Teorema 1.5.1 (Desiguadad de Poincar´). Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto y
e
acotado. Entonces existe C = C(Ω) > 0 tal que
∂v 2 ∂v 2
v 2 (x)dx ≤ C {( ) +( ) }dx, 1
∀v ∈ H0 (Ω)
Ω Ω ∂x1 ∂x2
Demostraciń. La demostraciń de ´ste teorema se encuentra en la referencia [7].
o o e

14

1.5.3. Identidades de Green para espacios Sobolev.
Definiciń 1.5.6. Se define el espacio de Sobolev de orden 2 como:
o

H 2 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) : ∂ α v ∈ L2 (Ω) α ≤ 2}

Proposiciń 1.5.2. Sea u, v ∈ H 1 (Ω) donde u = u(x1 , x2 ) y v = v(x1 , x2 ) entonces
o

∂u ∂v
vdx = − u dx + uvηi dΓ ∀i = 1, 2
Ω ∂xi Ω ∂xi ∂Ω

o o e o
[3]

Proposiciń 1.5.3. Sea u ∈ H 2(Ω) y donde v ∈ H 1 (Ω) donde u = u(x1 , x2 ) y
o
v = v(x1 , x2 ) entonces

∂u
− ∆uvdx = ∇u · ∇vdx − vdΓ ∀i = 1, 2
Ω Ω ∂Ω ∂η
o o e o
[3].

15

Cap´
ıtulo 2

Formulaciń F´
o ısica-Matem´tica
a
del Problema de Brinkman.

Consideremos un cuerpo poroso que ocupa un dominio bidimensional Ω ⊆ R2
acotado y abierto con frontera continua Lipschitz ∂Ω, asumiendo que existe un fluido
viscoso incomprensible que pasa a trav´s del cuerpo poroso hom´geneo con permea-
e o
bilidad k.Ahora sea el campo vectorial v en H 1 (Ω) × H 1 (Ω) y una funcion escalar p
en L2 (Ω) definidos de la siguiente forma:

v : Ω → R2
v(x, y) = (v1 (x, y), v2(x, y)).
p:Ω→R
p(x, y) = p(x, y).
Siendo estos el vector velocidad y la funciń escalar presiń respectivamente.
o o
Ahora consideremos la ecuaciń brinkman y la ecuaciń de continuidad asociadas a
o o
este fluido:
µef
−∇p + µef f ∇2 v − v = 0, en Ω (2.1)
k
∇.v = 0 en Ω (2.2)
Con una condiciń de contorno de la siguiente forma:
o

v = g, en ∂Ω (2.3)

Siendo g ∈ C 2 (Ω) con ∇ · g = 0. en x ∈ Ω

16

2.1. Adimensionalizaciń de las ecuaciones de con-
o
servaciń.
o
Sea R0 la longitud caracteristica de la regiń Ω y u∞ la magnitud de la velocidad
o
caracteristica,introducimos las cantidades adimensionales de la siguiente forma:
→
−∗ ∗
p∗
− = x ,v = v ,p =
→
x .
µef
.
R0 u ∞ µef u ∞ /R µ
0 ef f

De (2.1) reemplazando sus valores dimensionales se obtiene lo siguiente ecuaciń
o
adimenisional:
1 µef f µef u∞ µef f ∞ 2 u∞ µef
− .( ). ∇p + 2 u ∇ v − v=0
R0 µef R0 R0 R0

Simplificando y factorizando se obtiene las siguiente ecuaciń:
o

−∇p + ∇2 v − χ2 v = 0, en Ω (2.4)

R µef
Donde: χ = √0
k µef f
.
de manera similar para (2.2) se prueba que su forma adimensional coincide con su
forma dimensional.De aqui reformulamos nuestro problema de la siguiente forma:

∇.v = 0, en Ω (2.5)
∇p + (−∇2 + χ2 )v = 0, en Ω (2.6)
Para la condiciń de frontera de similar forma se prueba que:
o

v = g0 , en ∂Ω (2.7)

donde g0 (x, y) es la forma adimensional de g. Observar que estas ecuaciones son las
adimensionales a pesar que la primera ecuaciń se ve exactamente igual a la ecuaciń
o o
dimensional,adema´ de ello:
s
∂g(xR0 , yR0 ) ∂g(xR0 , yR0 ) 1
∇ · g(− , →) =
→ −
x y + =0= ∇ · g0
∂xR0 ∂yR0 R0
de aqui se deduce que: ∇ · g0 = 0.

2.2. Modificaciń de la ecuaciń adimensional de
o o
Brinkman.
Dado el anterior sistema consideremos el siguiente cambio de variable:

u(x, y) = v(x, y) − g0 (x, y) ; x ∈ Ω

17

Vamos redefinir el sistema en funciń a este cambio de variable:
o

∇p + (−∇2 + χ2 )(u + g0 ) = 0, en Ω
∇p − ∇2 u + χ2 u − ∇2 g0 + χ2 g0 = 0, en Ω
observar que: ∇2 g0 = 0. ya que:

∇ · g0 = 0. (2.8)
derivando respecto de x a (2.8) y luego respecto de y a (2.8) sumas las ecuaciones y
se obtiene lo pedido.
reemplazando ∇2 g0 = 0. se obtiene:

∇p − ∇2 u + χ2 u = −χ2 g0 , en Ω (2.9)

Luego, considerando (2.8) se obtiene:

∇ · u = ∇ · (v − g0 ) = −∇ · g0 = 0. x ∈ Ω (2.10)

∇ · u = 0, x ∈ Ω. (2.11)
El sistema conformado por las ecuaciones (2.9) y (2.11) se le denominar´ ecuaciones
a
de Brinkman-Stokes, la misma que est´ asociada la condiciń de contorno del tipo
a o
Dirichlet hom´genea,
o
u = 0, x ∈ ∂Ω (2.12)
conformar´ el problema en estudio de este trabajo.
a

2.3. Formulaciń Variacional del Problema de Brinkman-
o
Stokes(PVBS).
Comenzaremos hallando la formulaciń variacional de (2.9) tomando producto
o
1 1
escalar a cada lado de la igualdad con una funciń ϕ ∈ H0 (Ω) × H0 (Ω):
o

∇p.ϕ − ∇2 u.ϕ + χ2 u.ϕ = −χ2 g0 · ϕ

integrando sobre Ω se tiene:

∇p.ϕdx − ∇2 u.ϕdx + χ2 u.ϕdx = − χ2 g0 .ϕdx. (2.13)
Ω Ω Ω Ω

Veamos para ∇2 u = (∇2 u1 , ∇2 u2 ) y denotando ϕ(x, y) = (ϕ1 (x, y), ϕ2(x, y))
entonces ∇2 u.ϕ = ∇2 u1 .ϕ1 + ∇2 u2 .ϕ2 .Se sabe que

∇.((∇ui )ϕi ) = ∇ϕi .∇ui + ϕi ∇.(∇ui ), para i=1,2

= ∇ϕi .∇ui + ϕi ∇2 ui , para i=1,2

18

ϕi ∇2 ui dx = ∇.((∇ui )ϕi )dx − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2
Ω Ω Ω
Pero por el teorema de Green se sabe:

∇.((∇ui )ϕi )dx = (ϕi ∇ui ).ˆd(Γ), para i=1,2
η
Ω ∂Ω

siendo η un vector normal unitario a la regiń Ω entonces reemplazando en lo anterior
ˆ o
se tiene:

ϕi ∇2 ui dx = (ϕi ∇ui ).ˆd(Γ) −
η ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2
Ω ∂Ω Ω

De aqui se obtiene:
∂ui
ϕi ∇2 ui dx = ϕi d(Γ) − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 (2.14)
Ω ∂Ω ∂η Ω

Se tiene que u = 0 en ∂Ω entonces (2.14) se reduce a la siguiente expresiń:
o

ϕi ∇2 ui dx = − ∇ϕi .∇ui dx, para i=1,2 (2.15)
Ω Ω

De (2.15) sumando los casos (i=1)+(i=2) usaremos la siguiente notaciń:
o

∇ϕ·∇u = ∇ϕ1 · ∇u1 + ∇ϕ2 · ∇u2

ϕ.∇2 udx = − ∇ϕ·∇udx. (2.16)
Ω Ω
Ahora trabajemos con la presiń:Del c´lculo vectorial se tiene:
o a

∇.(pϕ) = ∇p.ϕ + p∇.ϕ

− ∇p.ϕ = p∇.ϕ − ∇.(pϕ)
Ω Ω Ω
Realizando el mismo procedimiento anterior se obtiene:

− ∇p.ϕ = p∇.ϕ − pϕ.ηdΓ.
Ω Ω ∂Ω

1
Como ϕ ∈ H0 (Ω) entonces la expresiń anterior se reduce:
o

− ∇p.ϕ = p∇.ϕ (2.17)
Ω Ω

De (2.16) y (2.17) en (2.13) se tiene:

− p∇.ϕdx + ∇ϕ·∇udx + χ2 uϕdx = 0, ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1
(2.18)
Ω Ω Ω

19

Se define :

a : (H0 (Ω))2 × (H0 (Ω))2 →
1 1
R
a(u, v) = Ω
∇v·∇udx + χ2 Ω
u · vdx

l : {ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 /∇.ϕ = 0} →
1
R
l(ϕ) = − Ω
χ2 g0 .ϕdx.

L2 (Ω) = {q ∈ L2 (Ω)/
0 Ω
qdx = 0}

b : (H0 (Ω))2 × (L2 (Ω)) →
1
0 R
b(u, q) = − Ω
q∇.udx

De (2.5) resolver la ecuaciń de Brinkman se reformula en:
o
 1
 encontrar u ∈ (H0 (Ω))2 , p ∈ L2 (Ω) :
0
(F V ) a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1

b(u, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω)
0

A este nuevo sistema (FV) se llama la formulaciń d´bil o variacional de la ecuaciń
o e o
adimensional de Brinkman,la cual probaremos que admite soluciń y adem´s es
o a
unica para ello utilizaremos resultados importantes del an´lisis funcional.
´ a

20

Cap´
ıtulo 3

Existencia y Unicidad de la
Soluciń del Problema de
o
Brinkman.

En secciń se probara que el sistema (FV) admite soluciń y adem´s que esta
o o a
soluciń es unica tambiń probaremos que dado la soluciń de (FV) est´ es solu-
o ´ e o a
ciń del sistema de ecuaciones que involucra a (2.5) y (2.6).Antes de ello algunos
o
resultados importantes del an´lisis funcional.
a

3.1. Estudio de la Existencia y Unicidad de la so-
luciń del PVBS.
o
Recordemos como estaba definido (FV):
encontrar v ∈ (H0 (Ω))2 , p ∈ L2 (Ω) :
1
0
a(v, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1

b(v, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω)
0

Se define V = {v ∈ [H0 (Ω)]2 /∇.v = 0}, definido con el siguiente producto interno:
1
1 2
Siendo u, v ∈ [H0 (Ω)] , con u = (u1 , u2 ); v = (v1 , v2 )

u, v V = ∂ α u1(x).∂ α v1 (x)dx + ∂ α u2 (x).∂ α v2 (x)dx
|α|≤1 Ω |α|≤1 Ω

Dado que H0 (Ω) es un subespacio cerrado de H 1 (Ω) respecto al producto interno
1

·, · V y al ser H 1 (Ω) un espacio de Hilbert entonces H0 (Ω) es un espacio Hilbert.De
1

aqui en virtud del lema (1.3.2) se tiene que [H0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert y dado
1
1 2
que V es un subespacio cerrado de [H0 (Ω)] esto es por [3] entonces (V, ·, · V ) es
un espacio Hilbert.
dado ese producto interno induce una norma de la siguiente manera:
∂u1 2 ∂u1 2 ∂u2 2 ∂u2 2
u 2 = (
V ) dx + ( ) dx + ( ) dx + ( ) dx
Ω ∂x Ω ∂y Ω ∂x Ω ∂y

21

de aqui claramente:

2 ∂u1 2 ∂u2 2 ∂u1 2 ∂u2 2
u V = L2 (Ω) + L2 (Ω) + L2 (Ω) + L2 (Ω) . (3.1)
∂x ∂y ∂y ∂x

Para fijar ideas probaremos que a(·, ·) es una forma bilineal coerciva y continua y
utilizaremos 1.3.1 para hallar nuestro candidato a soluciń v y utilizando un lema
o
adicional probaremos la existencia y unicidad de p.

Teorema 3.1.1. Sea (V, ·, · V ) es un espacio Hilbert,definido a : V 2 × V 2 → R
como:
a(u, v) = ∇v·∇udx + χ2 u.vdx
Ω Ω

entonces a(·, ·) es una forma bilineal continua coerciva en V.

Demostraciń. Sea u, v ∈ V con u = (u1 (x, y), u2(x, y)), v = (v1 (x, y), v2(x, y)) Para
o
empezar demostraremos que:
a(·, ·) es una forma bilineal. Solo demostraremos la linealidad en una componente
para demostrar en la otra es un proceso completamente an´logo.
a
Sea α ∈ R y w ∈ V con w = (w1 (x, y), w2(x, y)) entonces:

a(αu + v, w) = χ2 (αu + v) · wdx + ∇(αu + v)·∇wdx
Ω Ω

= αχ2 u · wdx + χ2 v · wdx
Ω Ω

+ {∇(αu1 + v1 ) · ∇w1 + ∇(αu2 + v2 ) · ∇w2 }dx
Ω

= αχ2 u · wdx + χ2 v · wdx
Ω Ω

+ {α∇u1 · ∇w1 + ∇v1 · ∇w1 + α∇u2 · ∇w2 + ∇v2 · ∇w2 }dx
Ω

= α{χ2 u · wdx + ∇u·∇wdx} + {χ2 v · wdx + ∇v·∇wdx}
Ω Ω Ω Ω
= αa(u, w) + a(v, w)

Con esto se probo la linealidad de la primera componente.
a(·, ·) es continua en V.

|a(u, v)| = |χ2 u · vdx + ∇u·∇vdx| ≤ χ2 |u · v|dx + |∇u·∇v|dx
Ω Ω Ω Ω

= χ2 |u1 v1 + u2v2 |dx + |∇u1 · ∇v1 + ∇u2 · ∇v2 |dx
Ω Ω
∂u1 ∂v1 ∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2 ∂u2 ∂v2
≤ χ2 { |u1 v1 |dx + |u2 v2 |dx} + | + + + |dx
Ω Ω Ω ∂x ∂x ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y

22

Ahora aplicando la desigualdad de chauchy-schwarz se tiene:
∂ui ∂vi ∂ui ∂vi
|ui vi |dx ≤ ui L2 (Ω) vi L2 (Ω) ; | |dx ≤ L2 (Ω) L2 (Ω)
Ω Ω ∂xj ∂xj ∂xj ∂xj

siendo x1 = x; x2 = y. veriﬁcandose para i, j = 1, 2;entonces aplicando estas de-
sigualdades a la inecuaci´n anterior se tiene:
o
∂u1 ∂v1
|a(u, v)| ≤ χ2 ( u1 L2 (Ω) v1 L2 (Ω) + u2 L2 (Ω) v2 L2 (Ω) ) +( L2 (Ω) L2 (Ω)
∂x ∂x
∂u1 ∂v1 ∂u2 ∂v2 ∂u2 ∂v2
+ L2 (Ω) L2 (Ω) + L2 (Ω) L2 (Ω) + L2 (Ω) L2 (Ω) ) (3.2)
∂x2 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y
De (3.1) se tiene lo siguiente:

∂ui ∂vi ∂ui ∂vi
L2 (Ω) ≤ u V; L2 (Ω) ≤ v V de aqu´
ı L2 (Ω) L2 (Ω) ≤ u V v V
∂xj ∂xj ∂xj ∂xj
(3.3)
para i, j =, 2 Adem´s de la desigualdad de Poincar´ se tiene:
a e

2 ∂ui 2 ∂ui 2
ui L2 (Ω) = u2 dx ≤ C
i {( ) +( ) }dx (3.4)
Ω Ω ∂x ∂y

de (3.4) se deduce:

2 ∂ui 2 ∂ui 2 2
ui L2 (Ω) ≤ C( L2 (Ω) + L2 (Ω) ) ≤C u V (3.5)
∂x ∂y

,Ahora aplicando (3.3) y (3.5) a (3.2) se tiene:

|a(u, v)| ≤ χ2 (C u V v V +C u V v V )+( u V v V+ u V v V+ u V v V+ u V v V )

|a(u, v)| ≤ (2χ2 C + 4) u V v V

Con esto queda probado que a(·, ·) es continua en V.
a(·, ·) es coerciva en V.
se tiene:
a(u, u) = χ2 u · u + ∇u·∇u
Ω Ω

a(u, u) = χ2 u·u+ ∇u1 · ∇u1 + ∇u2 · ∇u2 = χ2 u·u+ u 2
V
Ω Ω Ω Ω
2
Pero como χ Ω
u · u ≥ 0 se tiene:
2
a(u, u) ≥ u V

Con esto queda probado que a(·, ·) es coerciva en V.
Con esto queda probado el teorema.

23

Teorema 3.1.2. dado l ∈ V ∗ definido como:

l(ϕ) = − χ2 g0 .ϕdx.
Ω

entonces l es lineal acotada.
1 2 i 1
Demostraciń. Sea g0 (x, y) = (g0 (x, y), g0 (x, y)) siendo g0 (x, y) ∈ H0 (Ω) con i = 1, 2
o
entonces se tiene:

|l(ϕ)| = | − χ2 g0 .ϕdx.| = χ2 | (g0 ϕ1 + g0 ϕ2 )dx| ≤ χ2 (|
1 2 1
g0 ϕ1 dx| + | 2
g0 ϕ2 dx|)
Ω Ω Ω Ω

Por la desigualdad de cauchy-schwarz y luego aplicando la 3.5 se tiene:
√
≤ χ2 (|g0 |L2 (Ω) |ϕ1 |L2 (Ω) + |g0 |L2 (Ω) |ϕ2 |L2 (Ω) ) ≤ χ2 C(|g0 |L2 (Ω) |ϕ|V + |g0 |L2 (Ω) |ϕ|V )
1 2 1 2

Denotando como: √
M = χ2 C(|g0 |L2 (Ω) + |g0 |L2 (Ω) ) < ∞
1 2

De esto se obtiene l(ϕ) ≤ M|ϕ|V por lo tanto l es lineal acotado.
Dado el espacio (V, ·, · V ) Hilbert (3.1.1) nos garantiza que a(·, ·) es una for-
ma bilineal continua y coerciva y dado l ∈ V ∗ dado (3.1.2 nos garantiza que el
lineal)acotada entonces por (1.3.1) nos garantiza que ∃!u ∈ V tal que:

∀ϕ ∈ V : a(u, ϕ) = l(ϕ). (3.6)

Ahora veamos el siguiente lema:

Lema 3.1.1. ([3]) Sea Ω ⊂ R2 un conjunto abierto acotado con frontera continua
Lipschitz, y sea L ∈ ([H0 (Ω)]2 )∗ con L(v) = 0, ∀v ∈ V entonces existe una unica
1
´
2
funciń p ∈ L0 (Ω) tal que
o

L(ϕ) = p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2 .
1
Ω

Proposiciń 3.1.1. Asumiendo que: L : [H0 (Ω)]2 → R, y L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ)
o 1

donde u es definido por (3.6), entonces existe un unico par (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 ×L2 (Ω)
´ 1
0
que es soluciń del sistema del sistema (FV.)
o

Demostraciń. A partir de su definiciń se observa que L es lineal y continua en
o o
[H0 (Ω)]2 ,adem´s L se anula en el espacio en V en virtud de (3.6) entonces 3.1.1 nos
1
a
garantiza que ∃!p ∈ L2 (Ω) tal que:
0

L(ϕ) = p ∇.ϕdx, ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
Ω

24

de aqui reemplazando se tiene:

L(ϕ) = a(u, ϕ) − l(ϕ) = p ∇.ϕdx = −b(ϕ, p), ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
Ω

a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1

Ahora como v ∈ V por su definiciń de V se tiene: ∇.u = 0 entonces:
o

b(u, q) = q∇.u = 0; ∀q ∈ L2 (Ω)
0
Ω

Hemos probado que dado el sistema (FV) existe un unico para (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 ×
´ 1

L2 (Ω) que es soluciń de ese sistema.
0 o

3.2. Existencia y Unicidad de la soluciń del Pro-
o
blema de Brinkman.
En la secciń anterior hemos demostrado que dada la formulaciń d´bil de la
o o e
ecuaciń adimensional de Brinkman hemos probado que admite un unico par (v, p) ∈
o ´
[H0 (Ω)]2 × L2 (Ω) que es soluciń de (FV).Ahora probaremos que ese mismo par es
1
0 o
soluciń de la ecuaciń Brinkman-Stokes.
o o
Sea (u, p) ∈ [H0 (Ω)]2 × L2 (Ω) la soluciń del sistema (FV):
1
0 o

a(u, ϕ) + b(ϕ, p) = l(ϕ), ∀ϕ ∈ (H0 (Ω))2
1
(F V )
b(u, q) = 0, ∀q ∈ L2 (Ω)
0

Llamemos al siguiente problema (FC):

 ∇.u(x) = 0, x∈Ω
2 2 2
(F C) ∇p − ∇ u + χ u = −χ g0 , x ∈ Ω

u=0 x ∈ ∂Ω
1
Dado que u ∈ V se tiene u ∈ H0 (Ω) de aqui se deduce que u = 0, x ∈ ∂Ωcon
∇.u = 0 entonces se deduce la primera y tercera ecuaciń del sistema (FC). Para
o
deducir la segunda se obtiene de lo siguiente:

∇ · ((∇ui )ϕi ) = ∇ · (∇ui )ϕi + ∇ϕi · ∇ui = ∇2 ui .ϕi + ∇ϕi · ∇ui (3.7)

Primero se tiene que:

∇ · ((∇ui )ϕi )dx = (∇ui )ϕi dΓ = 0.
Ω ∂Ω

integrando 3.7 sobre el abierto Ω se tiene:

∇ · ((∇ui )ϕi )dx = ∇2 ui .ϕi dx + ∇ϕi · ∇ui dx = 0
Ω Ω Ω

25

de esto se deduce facilmente:

− ∇2 u.ϕdx = ∇ϕ·∇udx = 0
Ω Ω

Adem´s de ello de (2.17) se tiene:
a

− ∇p.ϕdx = p∇.ϕdx
Ω Ω

reemplazando estos en (FV) se tiene:

− ∇2 u · ϕdx + χ2 u · ϕdx + ∇p.ϕdx = − χ2 g0 · ϕdx
Ω Ω Ω Ω

(−∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ) · ϕdx = 0, ϕ ∈ [H0 (Ω)]2
1
(3.8)
Ω

Ahora probaremos que −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 en efecto:
1
2 2 2 1 2
claramente se tiene:∇ u, χ u, ∇p + χ g0 ∈ [H (Ω)] :
Solo falta mostrar que:

∇2 u(x) = 0, χ2 u(x) = 0, ∇p(x) = 0, χ2 g0 (x) = 0, cuando x ∈ ∂Ω

Probar que:∇2 u(x) = χ2 u(x) = 0 es claro ya que u=0, x ∈ ∂Ω;

Observaciń:Se tiene que ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 esto por [3].
o 1

Dado que [H0 (Ω)]2 es un espacio Hilbert ´ste posee estructura de espacio vecto-
1
e
rial entonces −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 ∈ [H0 (Ω)]2 a partir de esto evaluando
1

ϕ = −∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 en (3.8) se tiene:

−∇2 u + χ2 u + ∇p + χ2 g0 = 0, x∈Ω
2
y con esto (u, p) ∈ V × L0 (Ω) es soluciń de las ecuaciones Brinkman-Stokes.
o
Como garantizamos la existencia y unicidad de ese u(x, y) entonces v(x, y) = u(x, y)+
g0 (x, y) claramente esta representaciń existe y es unica de aqui (v, p) ∈ ([H 1 (Ω)]2 ×
o ´
L2 (Ω)) es soluciń unica de la ecuaciń adimensional de Brinkman y por tanto a
0 o ´ o
partir de las variables adimensionales regresando a las variables dimensionales se
obtendra soluciń (v, p) dimensional que es soluciń del sistema formado por las
o o
ecuaciones (2.1),(2.2) y (2.3).
A partir de aqu´ hemos probado que el problema de Brinkman admite soluciń unica
ı o ´
bajo una condiciń Dirichlet no hom´genea lo cual era nuestro objetivo inicial.
o o

26

Conclusiones.

Del siguiente trabajo podemos concluir lo siguiente:

El proceso de adimiensionalizaciń es una herramienta muy importante ya
o
que al momento de reemplazar por su equivalente adimensional te permite
simplificar t´rminos en la EDP lo cual reduce mucho el c´lculo.
e a

La formulaciń variacional del problema es muy importante ya que te permite
o
ver desde otro punto de vista el problema,para este caso con herramientas del
an´lisis funcional se prob´ su existencia y unicidad.
a o

Se observa tambiń que el subespacio de sobolev tomados para resolver pro-
e
blemas en su forma variacional dependen mucho de las condiciones de frontera
y la forma de su forma formulaciń d´bil de ahi viene el principal problema
o e
de que forma puedo tomar mi espacio de tal manera de encontrar soluciń a
o
la formulaciń variacional.
o

Lo importante de este trabajo es que nos permite ver en su desarrollo , que su
formulaciń variacional nos deja impl´
o ıcito la forma de hallar su aproximaciń
o
num´rica y este se resolver´ utilizando el m´todo de Galerkin para elementos
e a e
finitos mixtos lo cual se realizar´ en un pr´ximo trabajo.
a o

27

Bibliograf´
ıa

[1] Brenner S., Scott R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods
2002

[2] Brezis H., Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equa-
tions 2010

[3] Girault R., Raviart P. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations
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tions 2007

[5] Raviart P., Thomas J. Introduction ` l’analyse num´rique des ´quations aux
a e e
d´rivés partielles 1983
e e

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[8] Mantilla I., Soto J. Estudio Anal´
ıtico de la Ecuaciń de D-L-Brinkman 2012
o

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