2 REGLAMENTO RM 0912-2024 DE MODALIDADES DE GRADUACIÓN_.pptx
Portafolio de Cálculo integral
1. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
Calidad, Pertinencia y Calidez
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL
SEGUNDO SEMESTRE 2018
Diarios de clase
Materia
Calculo Integral
Estudiante
Víctor Joel Matute Carrión
Curso
Segundo semestre
Paralelo
-B-
Docente
Ing. Carlos Loor Loor
Machala-El oro- Ecuador
2018-2019
14. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL
Carrera de Ingeniería Civil
AUTORRETRATO
Mi nombre es Víctor Joel Matute Carrión soy estudiante de la asignatura de Calculo
Integral, actualmente curso el Segundo Semestre en la carrera de Ingeniería Civil de la
Unidad Académica de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica de Machala. Soy una
persona que se caracteriza por cumplir todos sus objetivos que se propone en la vida y
convertirme en un ingeniero civil es una de ellas.
Mis metas son aprender más de esta asignatura, que en mi carrera y en mi vida sé que me
servirá para poder desarrollarme como profesional, aspiración que pienso llevarla hasta
cuarto nivel mediante una maestría en estructuras, para de esa manera poder tener cumplir
con las necesidades de las demás personas que requieran de mi conocimiento y así mismo
forjar una vida y estatus formidable sin tener que depender de nadie. Mi perseverancia será
mi herramienta más útil a lo largo de este camino, conjuntamente con el apoyo de mi
familia y los conocimientos compartidos por mis maestros.
15. UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
Misión: La Universidad Técnica de Machala es una institución de educación superior
orientada a la docencia, a la investigación y a la vinculación con la sociedad, que forma y
perfecciona profesionales en diversas áreas del conocimiento, competentes,
emprendedores y comprometidos con el desarrollo en sus dimensiones económico,
humano, sustentable y científico-tecnológico para mejorar la producción, competitividad y
calidad de vida de la población en su área de influencia.
Visión: Ser líder del desarrollo educativo, cultural, territorial, socio-económico, en la
región y el país.
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL
Misión: Alcanzar un alto nivel de eficiencia técnico profesional que permita a la Faculta
d contribuir activamente en el desarrollo socio-económico provincial, regional y nacional co
n profesionales altamente calificados.
Visión: La Facultad de Ingeniería Civil en cumplimiento de sus funciones de Docencia,
Investigación, Proyección Social, y; apoyo de la gestión administrativa está en una búsque
da permanente de la excelencia académica, con la participación planificada, coordinada y
coherente de sus actores, a través de procesos educativos eficientes, eficaces y de efectiv
idad en la formación de profesionales; en concordancia al desarrollo científico-tecnológico
y a las necesidades del desarrollo Provincial, Regional y Nacional en el campo de las Cien
cias Físicas y Matemáticas.
18. EL PROBLEMA DE CALCULAR EL ÁREA
Apliquemos la idea más general y empezamos por subdividir S en (n) franjas
S1, S2, . . . , Sn , de igual ancho con los puntos del lado izquierdo como se
muestra en la Figura El ancho del intervalo [a, b] es b - a, de modo que el
ancho de cada una de las (n) franjas es
19. EL PROBLEMA DE CALCULAR EL ÁREA; LA INTEGRAL
DEFINIDA
Apliquemos la idea más general y empezamos por subdividir S en n franjas S1,
S2, . . . , Sn de igual ancho con los puntos del lado derecho como se muestra en
la Figura El ancho del intervalo [a, b] es b - a, de modo que el ancho de cada
una de las n franjas es
20. EL PROBLEMA DEL ÁREA
´´Una integral es el área bajo la curva entre dos rectas´´
Apliquemos la idea más general y empezamos por subdividir S en n franjas S1,
S2, . . . , Sn de igual ancho con los puntos medios del intervalo [xi-1, xi] como
se muestra en la Figura
En todos los casos mientras más divisiones tenemos más exacta es el área bajo
la curva, tal como se muestra en la figura de abajo
21. Definición: El área de la región que se encuentra debajo de la gráfica de f(x)
es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación
LA INTEGRAL DEFINIDA
Definición: Si f(x) es una función continua definida para, dividimos el intervalo
[a, b] en n sub intervalos de igual ancho .Hacemos que sean los puntos extremos
22. de estos sub intervalos y elegimos los puntos muestras en estos sub intervalos,
de modo que se encuentre en eiésimo sub intervalo [xi-1, xi].Entonces la
integral definida de f(x), des de (a) hasta (b), es
La integral definida ∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
es un número que no depende de x. de hecho,
podríamos usar cualquier letra en lugar de x, sin cambiar el valor de la integral
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓( 𝑢) 𝑑𝑢
𝑏
𝑎
Debido a que la función es continua, se puede probar que el límite de la
definición siempre existe y da el mismo valor, sin importar cómo elijamos
• La suma 𝑓( 𝑧) = ∑ 𝑓(𝑥𝑖∗
)∆𝑥𝑛
𝑖∗=1 Se llama suma de Riemann, en honor
del matemático alemán Bernhard Riemann (1826 1866).
a) Si f(x) es positiva la suma de Riemann se puede interpretar como una suma
de áreas de los rectángulos de aproximación que se encuentran arriba del eje x
b) Si f(x) es negativa la suma de Riemann se puede interpretar como una suma
de áreas de los rectángulos de aproximación que están debajo del eje x
24. El Teorema Fundamental del Cálculo tiene dos partes y da la precisa relación
inversa entre la derivada y la integral. Fueron Newton y Leibniz quienes
explotaron esta relación y la usaron para perfeccionar sistemáticamente el
cálculo con un método matemático. La primera parte del Teorema Fundamental
se refiere a funciones definidas por una ecuación de la forma g(x)=
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
donde f es una función continua en [a, b]. Observe que g depende sólo de x,
que aparece como el límite superior variable en la integral. Si f es una función
positiva, entonces g(x) se puede interpretar como el área bajo la gráfica de f de
(a) a (x), donde x pude varía de (a) a (b).
• El Teorema Fundamental del Cálculo, Primera Parte Si f es
continua en el intervalo [a, b], entonces la función g(x) definida por
g(x)= ∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
a ≤ x ≤ b
Es una anti derivada de f, es decir, g’(x) = f(x).
Usando notación de Leibniz para derivadas, podemos escribir este teorema
como
𝑑
𝑑𝑥
∫ 𝑓( 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥)𝑥
𝑎 cuando f es continua. En términos
generales, esta ecuación dice que si primero integramos f y luego derivamos
el resultado, regresamos a la función original f.
25. • El Teorema Fundamental del Cálculo, Segunda Parte Si f es
continua en el intervalo [a, b]
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏)
𝑏
𝑎
− 𝐹(𝑎)
Donde F es cualquier anti derivada de f, esto es, F’(x)= f(x).
ANTIDERIVADAS
En el cálculo integral el problema es hallar una función F desconocida cuya
derivada es una función conocida f. Si existe esa función F, recibe el nombre de
anti derivada de f.
Definición Una función F se denomina anti derivada de f en un intervalo I si
F’(x) = f (x) para toda x en I.
Ejemplos de anti derivadas de f.
26. Teorema Si F es una anti derivada de f en un intervalo I, entonces la anti
derivada más general de f en I es F(x)+c
Hoja 1, 2
INTEGRALES INDEFINIDAS
Necesitamos una notación conveniente para antiderivadas que las haga fáciles
de trabajar. Como la relación dada por el Teorema Fundamental del Cálculo
parte 2 entre antiderivadas e integrales, la notación ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙
Se usa tradicionalmente para una antiderivada de f y recibe el nombre de
integral indefinida. Entonces
Se debe distinguir cuidadosamente entre integrales definidas e indefinidas.
Una integral definida es un NÚMERO, en tanto que una integral
indefinida es una FUNCIÓN (o familia de funciones).
28. Joja 3,4
INTEGRACIÓN POR PARTES
La regla de la sustitución parte de la regla de la cadena.
La regla del producto. ∫ 𝒖 ∗ 𝒅𝒗 = 𝒖 ∗ 𝒗 ∗ ∫ 𝒅𝒖 ∗ 𝒗
•
•
•
•
35. CASO I & El denominador es un producto de factores lineales
distintos.
36. CASO II & es un producto de factores lineales, algunos de los
cuales se repiten.
en la ecuación 2, se usaría
37.
38. CASO III & contiene factores cuadráticos irreducibles, ninguno de los
cuales se repite
39. CASO IV & contiene un factor cuadrático irreducible repetido.
40.
41.
42. Hoja 1, 11 ,12, 13,14
ESTRATEGIA PARA INTEGRACIÓN
ÁREAS BAJO LA CURVA
En este caso se usan integrales para calcular las áreas de regiones que quedan
entre las gráficas de dos funciones. Considere la región S que se ubica entre
dos curvas y y entre las rectas verticales x-a y x-b, donde f y t son funciones
continuas y para toda x en {a,b}. De la misma manera como se señala para
43. áreas bajo curvas, divida S en n franjas con igual anchura, y luego calcule el
valor aproximado de la i-ésima franja mediante un rectángulo con base y
altura . (Véase figura 2. Si lo desea, podría tomar todos los puntos de muestra
como extremos derechos, en cuyo caso .) Por lo tanto, la suma de Riemann
Al parecer, esta aproximación es mejor cuando n→∞
. Por lo tanto, defina área A de S como el valor límite de la suma de áreas de
estos rectángulos de aproximación
• Determine el área de la región acotada por arriba con y=ex
, por abajo
mediante y=x y a los lados por x = 0 y x =1.
44. La curva del límite superior es y=ex
y la curva del límite inferior es y=x.
De este modo use la fórmula del área con f(x)= ex
y g(x)= x, a=0, b= 1
• Calcule el área de la región definida por las parábolas y=x2
y y= 2x-
x2
VOLÚMENES
