1. Choque de una pelota con un bate de béisbol
En la figura, se muestra el esquema del
choque entre un bate y una pelota de
béisbol. La pelota de masa m y
velocidad u, choca contra un bate de
masaM y de momento de
inercia I respecto de un eje que pasa por
su centro de masa. Vc es la velocidad
final del c.m. de bate, ω y ω0 son las
velocidades angulares inicial y final del
bate, x es la distancia desde el c.m. del
bate y el punto donde choca la pelota.
Podemos efectuar una primera aproximación, suponiendo que el bate es una
varilla rígida delgada de masa M y longitud L que está suspendida libremente
e inicialmente en reposo, y la pelota se comporta como una partícula de
masa m que lleva una velocidad u, y que choca con el bate a una
altura x medida desde su centro de masas.
En la figura de la izquierda, se muestra
la situación inicial y en la de la derecha
la situación final: la partícula lleva una
velocidad v, y la varilla describe un
movimiento de rotación alrededor de su
centro de masas con velocidad
angular ω, y su centro de masas se
traslada con velocidad Vc.
El sistema formado por la partícula y la varilla es aislado, la resultante de las
fuerzas exteriores es cero, por lo que son aplicables los principios de
conservación del momento lineal y angular.
Principio de conservación del momento lineal
mu=MVc+mv
Principio de conservación del momento angular
2. mu·x=Icω+mv·x
donde Ic=ML2/12 es el memento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular
a la varilla y que pasa por el c.m.
Tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas v, ω y Vc.
El balance energético de la colisión es la diferencia entre las energías cinética
final e inicial.
donde Q es la energía perdida en la colisión, una cantidad negativa que indica que la
energía final es menor que la inicial.
Si el choque es perfectamente elástico Q=0, disponemos de una tercera ecuación que
nos permite despejar las tres incógnitas: v, ω y Vc conocida la velocidad u de la
partícula incidente. En los demás casos desconocemos el valor de Q.
La definición de coeficiente de restitución e nos proporciona la tercera
ecuación
Podemos suponer que la partícula de masa m y velocidad u choca contra una
hipotética partícula inicialmente en reposo situada en el bate a una altura x.
Después del choque la primera partícula lleva una velocidad v, y la segunda
una velocidad Vc+ ω·x, la suma de la velocidad de traslación y rotación.
la velocidad relativa de
acercamiento es u-0
la velocidad relativa de
alejamiento es v-(Vc+ ω·x)
El coeficiente de restitución e se define
v-(Vc+ ω·x)=-e(u-0)
Si conocemos el dato del coeficiente de restitución e, disponemos de tres
ecuaciones con tres incógnitas. Después de algunas operaciones obtenemos
La velocidad angular ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por
el c.m.
3. La velocidad Vc de traslación del c.m. de la varilla
La velocidad v de la partícula después del choque
v=-eu+Vc+ω·x
A continuación, podemos calcular las energías de la partícula y de la varilla
antes y después del choque.
Choques elásticos
Conservación del momento lineal
mu=MVc+mv
Conservación del momento angular
mu·x=Icω+mv·x
No hay pérdida de energía en el choque
Despejamos la velocidad del c.m. de la varilla Vc y la velocidad angular de la
varilla ω.
que es el mismo resultado que hemos obtenido anteriormente con el
coeficiente de restitución e=1.
La velocidad angular de rotación podemos escribirla
El valor máximo de la velocidad angular de rotación ω de la varilla no lo
obtenemos cuando el parámetro de impacto es el mayor posible x=L/2. El
máximo de la función ω(x) se obtiene para
4. Si M>2m entonces xm>L/2 lo que no es posible. La velocidad angular ω crece
con x alcanzando el valor mayor cuando x=L/2 (curva de color rojo en la figura).
Si M<2m entonces xm<L/2, (curva de color azul)
Representamos esta función para M=2.5m y M=0.5 m.
En el segundo caso la función presenta un máximo para
Ejemplos
Velocidad inicial de la partícula u=1.0 m/s
Masa de la partícula m=0.25 kg
Masa de la varilla M=1.5 kg
Longitud de la varilla L=1.0 m
Coeficiente de restitución e=0.7
Parámetro de impacto de la partícula x=0.3
El momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la
varilla que pasa por su c.m. es
Ecuaciones
5. 1. Principio de conservación del momento lineal
0.25·1.0=1.5·Vc+0.25·v
2. Principio de conservación del momento angular
0.25·1.0·0.3=0.125ω+0.25v·0.3
3. Coeficiente de restitución
v-(Vc+ ω·0.3)=-0.7(1.0-0)
Resolvemos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y calculamos
después del choque
la velocidad de la partícula v=-0.262 m/s,
la velocidad del centro de masas de la varilla Vc=0.210 m/s,
la velocidad angular de rotación de la varilla alrededor de un eje perpendicular a
la varilla que pasa por su c.m, ω=0.757 rad/s
Balance energético de la colisión
Ejemplo 2:
Cambiamos el coeficiente de restitución e=1
v=-0.485 m/s, Vc=0.247 m/s, ω=0.891 rad/s
Balance energético de la colisión, Q=0
Actividades
Se introduce
La masa m de la partícula, en el control de edición titulado Masa partícula.
La masa de la varilla M, en el control de edición titulado Masa varilla
El coeficiente de restitución e, actuando en la barra de desplazamiento
titulada Coef. de restitución.
La longitud de la varilla L se mantiene fija e igual a 1 m.
La velocidad u de la partícula incidente se mantiene fija e igual a 1 m/s.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
6. Con el puntero del ratón, se arrastra la partícula incidente de color rojo, para
fijar el valor del parámetro de impacto x.
Se pulsa el botón titulado Empieza
La partícula incidente se mueve hacia la varilla. Choca y observamos el
movimiento de la partícula incidente (de color rojo) después del choque, y el
movimiento de traslación y de rotación de la varilla.
En la parte superior derecha, se nos proporciona los datos relativos a las
velocidades
v de la partícula después del choque
Vc de traslación del c.m. de la varilla
ω de rotación de la varilla alrededor de un eje que pasa por el c.m.
En la parte inferior izquierda, se representa un diagrama en forma de tarta que
muestra como se distribuye la energía después del choque. Los sectores
representan:
La energía cinética de la partícula incidente después del choque E1=mv2/2 (en
color rojo).
La energía cinética de traslación del c.m. de la varilla E2=MVc
2/2 (en color azul).
La energía cinética de rotación de la varilla E3=Icω2/2 (en color gris)
Si el choque es elástico, la energía inicial es igual a la final. Si el choque no es
elástico la energía inicial es mayor que la final. Un círculo de mayor radio de
color gris claro indica la energía inicial, y el de menor radio dividido en
sectores la energía final.
