ELE2611 Classe 8 - Circuits non-linéaires dynamiques, oscillateurs

Introduction
ELE2611 - Circuits Actifs
3 credits, heures/semaine: 4 - 0 - 5
https://moodle.polymtl.ca/course/view.php?id=1756
Cours 8 - Circuits non-lin´eaires dynamiques, oscillateurs
Instructeur: Jerome Le Ny
jerome.le-ny@polymtl.ca
Version du 13 novembre 2014 ELE2611 - Circuits Actifs - c Le Ny, J. 1/47

Introduction
Motivation pour ce cours
Jusqu’ici, nous avons rencontré seulement des circuits qui transforment
des signaux (filtres, comparateurs, etc.).
Nous avons aussi besoin de circuits qui génèrent des signaux avec des
caractéristiques données (fréquence, amplitude, forme).
Signaux d’horloge, porteuses de signal en communication, signaux de test,
signaux audio, signaux d’excitation de capteurs, etc.
Théoriquement, on peut générer des signaux périodiques sinuso¨ıdaux avec
un circuit linéaire dont les pôles sont complexes conjugués sur l’axe des
imaginaires. En pratique, un oscillateur purement linéaire n’est pas
réalisable, il faut p. ex. un mécanisme (non-linéaire) de rétroaction pour
maintenir les pôles exactement sur l’axe des fréquences. En bref, tout
oscillateur nécessite un élément non-linéaire.
Nous allons analyser dans ce cours divers circuits dynamiques permettant
d’implémenter des fonctions utiles qui nécessitent des éléments
non-linéaires, en particulier des oscillateurs.

Introduction
Plan pour ce cours
Circuits linéaires par morceaux du premier ordre
Parcours dynamique
Analyse algébrique
Ciruits à résistance négative du premier ordre : multivibrateurs
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal) ou multivibrateur astable
Flip-Flop ou multivibrateur bistable
Multivibrateur monostable (timer)
Timer 555
Oscillateurs harmoniques (générateurs de sinuso¨ıdes)
Oscillateurs à résistance négative du second ordre
Oscillateurs harmoniques à rétroaction

Introduction
Parcours dynamique
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Parcours dynamique
Circuits non-linéaires du premier ordre
F(i,v)=0
i
+
-
vC
i = C
dv
dt
F(i,v)=0
i
+
-
v
circuit statique
nonlinéaire
(actif ou passif)
circuit statique
nonlinéaire
(actif ou passif)
v = L
di
dt
L
v
i
i > 0 )
dv
dt
< 0
i = 0 : Équilibre
i < 0 )
dv
dt
> 0
(stable ou instable)
v > 0 )
di
dt
< 0
v < 0 )
di
dt
> 0
v = 0 : Équilibre
(stable ou instable)
v
i
eq.
stable
eq.
instables
eq.
stables
eq. instable

Introduction
Parcours dynamique
Parcours dynamique
La technique d’analyse du parcours dynamique pour ces circuits du premier
ordre repose sur les principes suivants (cf. figure de la diapositive précédente) :
Le point (i(t), v(t)) se déplace nécessairement sur la caractéristique
courant-tension F(i, v) = 0 du dipôle statique au cours du temps.
Le sens de parcours est déterminé par l’équation de l’élément dynamique
(condensateur ou bobine) qui donne le signe de dv
dt
ou de di
dt
.
Exemple : pour un condensateur, l’équation dv
dt
= −i/C implique que si
(i(t0), v(t0)) est un point sur la trajectoire pour lequel i(t0) > 0, alors
nécessairement la trajectoire doit se déplacer à ce point dans le sens des
tensions v décroissantes.
Toujours pour un condensateur, si i(t0) = 0, alors dv
dt
(t0) = 0, i.e., le
système est en équilibre (en l’absence de perturbation, v(t) ne change
plus, i(t) reste à 0). Pour une bobine, les équilibres correspondent aux
points v = 0.
Toutefois, ces équilibres peuvent être stables ou instables (étudier une
petite perturbation de i). Un équilibre instable n’est pas observé en
pratique car il n’est pas robuste aux perturbations.

Introduction
Parcours dynamique
Points d’impasse
i = C
dv
dt
v = L
di
dt
Condensateur + dipôle statique
F(i, v) = 0
v
i
points
d'impasse
saut
(v constant)
Bobine + dipôle statique
F(i, v) = 0
v
i
saut
(i constant)
Avec les circuits du premier ordre, l’analyse du parcours dynamique peut
nous amener à des points d’impasse
Plus de progrès continu n’est possible sur la caractéristique F(i, v) = 0, en
suivant les règles précédentes.
En même temps, on n’est pas à un point d’équilibre (i = 0 pour un
condensateur, v = 0 pour une bobine) et donc la trajectoire doit continuer
à évoluer.
Cela est dû à une modélisation insuffisante. Malgré tout, la solution
mathématique, si elle est possible, est d’effectuer un saut instantané :
Pour un condensateur, le saut doit s’effectuer à tension constante.
Pour une bobine, le saut doit s’effectuer à courant constant.

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Analyse algébrique des temps de parcours
Une fois le parcours dynamique déterminé, on calcule les temps de
parcours sur la caractéristique.
Cela n’est pratique analytiquement que si l’on a fait une approximation
linéaire par morceaux de la caractéristique.
Pour le temps de parcours sur chaque morceau, on remplace le dipôle
statique par une source continue + une résistance (négative ou positive),
comme discuté au cours 7.
On résout ensuite pour v(t) (condensateur) ou i(t) (bobine) : solution
valide tant que l’on reste sur le même segment de la caractéristique.
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
vC
i
R
C vs
i
+
-
v
v (V)
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
v
i
L
L isR
+
-
v
i
P3
10
I0

Introduction
Rappels : équa. diff. linéaires d’ordre 1 à coeffs. constants
Il faut savoir intégrer ces équations différentielles, rapidement et sans
aide : dx
dt
= αx + C, x(t0) = x0.
Solutions de forme exponentielles sauf pour α = 0.
α < 0 : système stable, solution en régime permanent : x(t) → −C
α
pour
t → +∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO), x(t) → ±∞ quand t → −∞.
α > 0 : système instable, solution tend vers ±∞ quand t → +∞, vers −C
α
quand t → −∞ (prendre dx/dt = 0 dans l’EDO).
α = 0 : instable (ou “marginalement stable”), x(t) = x0 + C(t − t0).
Cas α = 0. Pour C = 0 ⇒ x(t) = eα(t−t0)
x0.
Pour C = 0 constante, on se ramène au cas précédent car
d
dt
x +
C
α
= α x +
C
α
⇒x(t) = x0 +
C
α
eα(t−t0)
−
C
α
En bref, la solution est de la forme M1 exp(α(t − t0)) + M2, et on ajuste
M1, M2 pour satisfaire la condition aux limites +∞ (système stable) ou −∞
(système instable), et la condition initiale.

Introduction
Rappels : équa. diff. linéaires d’ordre 1 à coeffs. constants (résumé)
L’équation
dx
dt
= αx + C, x(t0) = x0.
a pour solution
Si α = 0 :
x(t) = x0 + C(t − t0).
Si α < 0 :
x(t) = (x0 − x∞) eα(t−t0)
+ x∞, avec x∞ = −
C
α
= lim
t→∞
x(t).
Si α > 0 :
x(t) = (x0 − x−∞) eα(t−t0)
+ x−∞, avec x−∞ = −
C
α
= lim
t→−∞
x(t).
Toujours valider votre solution en vérifiant que la condition initiale et à ±∞
voulues sont satisfaites.

Introduction
Analyse alg´ebrique, temps de parcours : cas du condensateur
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
0
P0
P1
P2
F(i,v)=0
-
vC
R
C vs
i
+
-
v
F(i,v)=0
-
vL
L isR
+
-
v
i
10
R = 0 : Is = C
dv
dt
(prendre une source de courant Is )
R = 0 : v = vs + Ri = vs − RC
dv
dt
,
i.e.,
dv
dt
= −
1
RC
(v − vs )
Temps ∆t = t1 − t0 pour passer de v(t0) `a v1 = v(t1) :
Cas R = 0 : ∆t = C
Is
(v1 − v0)
Cas R > 0 : v(t) = vs + (v(t0) − vs )e−(t−t0)/τ
, τ = RC > 0, v(t) → vs
quand t → +∞
∆t = τ ln
vs − v(t0)
vs − v1
Cas R < 0 : v(t) = vs + (v(t0) − vs )e(t−t0)/τ
, τ = |RC| > 0, v(t) → vs
quand t → −∞
∆t = τ ln
vs − v1
vs − v(t0)

Introduction
Exemple avec un condensateur
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
vC
i
R
C vs
i
+
-
v
v (V)
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
v
i
L
L isR
+
-
v
i
P3
10
I02.5V
2V
P0
P1
t
3.25V
v
31.9 μs
v(t) = 3.25 0.75 exp
✓
t (en µs)
62.5
◆
v(t) = 2 exp
✓
t 31.9 (en µs)
100
◆
La caractéristique F(i, v) = 0 est donnée ci-dessus. Pour v(0) = 2.5 V ,
C = 0.5 µF, re-déterminer et tracer v(t) pour t ≥ 0.
Trajectoire P0 → P1 : v(0) = 2.5V , relation v = 3.25 + R1i,
R1 = −1.25
0.01
= −125 Ω.
Trajectoire P1 → P2 : v(t1) = 2V , relation v = R2i, R2 = 2
0.01
= +200 Ω.
N.B. : si on avait un segment horizontal, on utiliserait une source de
courant.

Introduction
Exemple avec une bobine
3.25 V
v (V)2.5 V
2 V
A)
P0
P1
v (V)
0
i (mA)
P0
P1
P2
F(i,v)=0
+
-
v
i
L
L isR
+
-
v
i
P3
I0
Pour le circuit ci-dessus, la caractéristique du dipôle statique (contrôlé en
courant) est donnée à droite. En supposant i(0) = I0 A (= −iL(0)),
déterminer i(t) pour tout t ≥ 0 (introduisez les paramètres de la
caractéristique dont vous aurez besoin).
N.B. : Dans ce cas (pour R = 0), on utilise le circuit de Norton équivalent
au dipôle statique au lieu du circuit de Thévenin.

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Oscillateur de relaxation (non sinuso¨ıdal)
Condensateur + rés. nég. type S, ou
bobine + rés. nég. type N
Régime linéaire instable, transitoire si
mode initial
Tant que v0 = +Vsat , iin < 0 et vin
augmente
Quand vin atteint v+ = βVsat , la
tension d’entrée de l’AO s’inverse et vo
devient −Vsat
Lors du saut, vin est constant et iin
s’inverse
vin se met alors à diminuer, jusqu’à
atteindre à nouveau v+ = −βVsat , et le
cycle recommence
Aussi appelé multivibrateur astable
vin
iin
-Saturation
+
Saturation
Vsat
Vsat
pente
R1
R2Rf
1/Rf
1/Rf
=
R2
R1 + R2
Montage résistance négative type S
-
+
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
vo
t
+Vsat
-Vsat
C
C

Introduction
Oscillations : solution alg´ebrique
iin
+
-
vinC
Vsat
Rf
Région +Sat
Vo=+Sat
vin = Vsat+Rf iin
vin: -β Vsat ➙ +β Vsat
iin
+
-
vinC
Vsat
Rf
Région -Sat
Vo=-Sat
vin = -Vsat+Rf iin
vin: +β Vsat ➙ -β Vsat
t
vin
t1
βVsat
-βVsat
t2
𝝉 = Rf C
vin(t2) = Vsat,
d
dt
(vin + Vsat) =
1
⌧
(vin + Vsat),
) vin(t) = Vsat
✓
1
R1 + 2R2
R1 + R2
e
t t2
⌧
◆
vin(t1) = Vsat,
d
dt
(vin Vsat) =
1
⌧
(vin Vsat),
) vin(t) = Vsat
✓
1
R1 + 2R2
R1 + R2
e
t t1
⌧
◆
Après phase transitoire, vo oscille entre
-Vsat et +Vsat, et vin entre +βVsat et -βVsat,
avec β=R2 / (R1+R2).
vo est constante par morceaux, vin est
exponentielle par morceaux.
Analyse du circuit avec les modèles linéaires
équivalents dans chaque région.

Introduction
Période des oscillations
Par symmétrie, T = 2 × ∆t[P1→P2]
Sur le segment P1 → P2, on a
vin = Vsat + Rf iin
le circuit statique est équivalent à une
source +Vsat en série avec une
résistance Rf
D’après la diapositive 12, on a
∆t[P1→P2] = (Rf C) ln
Vsat − vP1
Vsat − vP2
⇒ T = 2Rf C ln
1 + β
1 − β
T = 2Rf C ln 1 +
2R2
R1
La période se règle sur un instrument
en commutant entre valeurs de C et en
faisant varier R de manière continue
vin
iin
- Saturation
+
Saturation
Vsat
Vsat
pente
R1
R2Rf
1/Rf
1/Rf
=
R2
R1 + R2
Vsat
Vsat
P1
P2
P3
P4

Introduction
Formes des oscillations à l’entrée
Les oscillations de vC (ou iL pour un montage avec bobine) sont presque
triangulaires si T est suffisamment petite par rapport à τ = Rf C (ou
τ = L
Rf
), c’est-à-dire β suffisamment petit : on exploite la quasi-linéarité
du début de la courbe exponentielle

Introduction
Un autre point de vue sur l’oscillateur de relaxation
vin
vo
Rf
C vovin
t
vin
t1
βVsat
-βVsat
t2
vo
t
+Vsat
-Vsat
VsatVsat
Vsat
Vsat
Connection en rétroaction d’une bascule inverseuse et d’un circuit RC
vo = +Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers Vsat, jusqu’à atteindre le
seul de bascule +βVsat
Alors vo = −Vsat ⇒ vin tend exponentiellement vers −Vsat, jusqu’à
atteindre le seul de bascule −βVsat

Introduction
Génération de signaux triangulaires de meilleure qualité
vin
vo
vovin
vo
t
+Vsat
-Vsat
Vsat
Vsat
VthVtl
-
+
R
C
t
vin
t1
Vth
Vtl
t2
On remplace le passe-bas RC précédent par un intégrateur inverseur
(notez la bascule, non-inverseuse).
Analysez ce circuit. Montrez que t1 = (t2 − t1) = RC Vth−Vtl
Vsat
.

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Flip-flop
Echangeons le condensateur avec un bobine,
+ rés. nég. type S (autre réalisation possible :
condensateur + résistance négative type N)
Pour l’instant vs ≡ 0
Régime linéaire instable, transitoire si présent
vs ≡ 0 ⇒ d
dt
iin = −vin
L
Pour vs = 0, suivant la condition initiale iin(0),
le circuit atteint un des deux équilibres stables
(et vo = ±Vsat )
Signal vs permet de changer l’état du circuit
d’un équilibre à l’autre (prochaine diapositive)
Equilibre instable (0, 0) jamais observé en
pratique
Flip-flop = multivibrateur bistable
vin
iin
-Sat
+
Sat
Vsat
Vsat
pente
R1
R2Rf
1/Rf
1/Rf
=
R2
R1 + R2
Montage résistance négative type S
-
+
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
L
L
=
+vs(t)
=
+vs(t)
vin
+
-
iin
Equilibres
stables
Parcours dyn.
pour vs=0
-
-
Q1
Q2
+
-
vL

Introduction
Changement d’état du flip-flop
iin
-Sat
+
Sat
VsatVsat
Q1
Q2
P0
P1
P2
P3
P4
v
F(iin,vin)=0 F(iin,vin+E)=0
E V
E
T
t
vs
0 t1
t2
(t = t+
1 )
(t = t+
2 )
(t = t2 )
Un signal de commutation vs permet de passer d’un état à l’autre
La bobine voit la tension vL = vs + vin
Illustration pour le passage de Q1 à Q2. Conditions pour le changement
d’état : E > βVsat suffisamment grand pour que P1 soit dans le demi-plan
droit, et durée d’impulsion T suffisamment longue pour passer le point P2
Pour passer de Q2 à Q1, on donne une impulsion opposée −E : translation
de la caractéristique F(iin, vin) = 0 vers la gauche au lieu de la droite.

Introduction
Comparaison avec une bascule de Schmitt simple
Notez qu’une bascule de Schmitt permet aussi de réaliser un flip-flop (et
est aussi appelé multivibrateur bistable).
Pour la bascule de Schmitt, il y a seulement une condition sur l’amplitude
de l’impulsion à l’entrée pour basculer d’un état à l’autre (vin > βVsat ou
vin < −βVsat).
Le montage précédent ajoute une condition sur la durée minimum de
l’impulsion pour effectuer le basculement. Peut permettre de filtrer des
perturbations de grande amplitude mais de courte durée.

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Multivibrateur monostable ou générateur d’impulsion
Sur une impulsion d’entrée, le multivibrateur monostable passe dans un
état instable pendant une durée bien déterminée (contrôlée typiquement
par une constante RC), avant de revenir dans son état stable de départ.
Permet d’obtenir une fonction de minuteur (timer) en réponse à un
événement.
[Sedra et Smith, ch. 17]

Introduction
Timer 555
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Timer 555
Timer 555
http://en.wikipedia.org/wiki/555_timer_IC
Inventé en 1971 par Hans Camenzind (Signetics, racheté par Philips
Semiconductors, maintenant NXP). Un des circuits intégrés les plus
répandus, > 1 milliards d’unités produites chaque année.
3 modes d’opération suivant le circuit externe utilisé :
astable (oscillateur)
bistable (flip-flop)
monostable (one-shot pulse generator)

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Approches pour la génération de signaux sinuso¨ıdaux
Les signaux sinuso¨ıdaux sont probablement les plus importants et les plus
fréquemment utilisés en électronique.
Souvent (audio, comms), on a besoin de générer des sinuso¨ıdes les plus
pures possibles (c’est-à-dire, le contenu fréquentiel du signal ne contient
quasiment qu’une fréquence). Pureté mesurée par le THD (Total
Harmonic Distortion, ou taux de distortion harmonique), idéalement 0.
3 approches principales pour la génération de sinuso¨ıdes
Mise en forme d’un signal triangulaire par quadripôle statique non-linéaire.
Cf. cours 7. Le signal triangulaire peut être généré par un oscillateur de
relaxation. Approche simple et couramment utilisée, mais THD élevé.
Oscillateurs à rétroaction (quelquefois appelés “oscillateurs linéaires”). Les
plus courants pour un bon THD. Boucle de rétroaction maintenue à la
limite de la stabilité par un limiteur d’amplitude (composant non-linéaire).
Oscillateurs harmoniques à résistance négative. Ajout d’un second
composant dynamique aux oscillateurs de relaxation. Plutôt utilisés aux
hautes fréquences (RF) lorsque les oscillateurs à rétroaction ne
fonctionnent plus bien. Implémentations à base de transistors plutôt
qu’avec des AO comme ici, mais principes de fonctionnement identiques.

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Perturbation de l’oscillateur de relaxation
-
+
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
C
L
+
-
vin
1+
-
vo
Rf
R1
R2
iin
LC
t t
T = 2Rf C ln
✓
1 + 2
R2
R1
◆
T = 2
L
Rf
ln
✓
1 + 2
R1
R2
◆
+
-
vc
iL
osc. de rel. précédents → ondes carrées pour vo, ondes ∼ dents de scie ou
triangulaires pour vc ou iL suivant le cas et valeur de τ.
Saut dans le parcours dynamique peut en fait s’expliquer comme la limite
d’un meilleur modèle avec un deuxième élément dynamique formant un
circuit LC.
Pour déterminer si l’élément parasite est en série ou parallèle, le faire
tendre vers 0. On doit alors retrouver les montages précédents. Ex : L en
parallèle de C pour le montage de gauche ci-dessus court-circuiterait C
quand L → 0.
Si le L ou C additionnel est plus grand, on peut en fait générer des ondes
à peu près sinuso¨ıdales pour vC ou iL.

Introduction
Exemple
Les oscillateurs harmoniques à résistance négative emploient un circuit
résonnant connecté à un circuit montrant une résistance négative et
fournissant de l’énergie.

Introduction
Analyse de l’osc. harmonique à résistance négative
L’analyse mathématique rigoureuse de l’oscillateur harmonique à
résistance négative n’est pas particulièrement facile. On ne donnera que
quelques idées qui peuvent guider la conception.
On voit sur la simulation précédente qu’initialement l’AO travaille dans
son régime linéaire.
Dans ce mode, la partie statique (AO, R1, R2, Rf ) du circuit se comporte
comme une résistance négative RN = −Rf
R2
R1
. On a alors
|RN |C
L r
bobine (avec r parasite)
Si RN + r ≤ 0, i.e., Rf ≥ R1
R2
r, alors le circuit RLC ci-dessus est instable
(Q < 0, polynôme du 2nd degré avec changement de signe, montrer qu’il
y a un pôle à droite), ce qui permet initialement de faire grandir les
oscillations spontanément à partir d’un bruit quelconque (il faut aussi
|Q| > 1/
√
2 pour avoir des oscillations).

Introduction
Analyse de l’osc. harmonique à rés. négative (cont.)
Les oscillations vont finir par arrêter de grandir, parce que le montage de
rés. nég. ne fournit plus assez d’énergie (remarquer que viniin devient > 0,
passif, pour |vin| ou |iin| grands).
Une fois les oscillations établies à vo, on peut voir le montage comme un
circuit RLC qui filtre ce signal vo, pour tenter de ne conserver qu’une
harmonique.
C
L r
bobine
=
+
Rf
vo
La fréquence de l’oscillation ∼ sinuso¨ıdale vC est alors ∼ ω0 = 1√
LC
.
La pureté de la sinuso¨ıde aux bornes de C est liée au facteur de qualité
Q = 1
Rf
L
C
. Une bonne sinuso¨ıde demande donc Rf faible. Mais Rf trop
faible tuerai les oscillations en pratique car on doit respecter Rf ≥ R1
R2
r.
Autre point de vue : il ne faut pas prendre RN trop grand, sinon le circuit
est initialement trop instable et on n’obtiendra pas un signal sinuso¨ıdal.
On peut aussi prendre L
C
1 mais C et surtout L sont des paramètres
moins flexibles, en particulier avec ω0 spécifié.

Introduction
Analyse de l’osc. harmonique à rés. négative II
“L’analyse” précédente peut être une source d’intuition pour guider le
choix des composants.
Analyse mathématique :
Équations du circuit L, C série + rés. nég. type S (vin = f (iin)). Puisque
vin = f (iin) = −Ldiin
dt
+ vc , en dénotant i = iin, on obtient
di
dt
=
vc
L
−
1
L
f (i),
dvc
dt
= −
i
C
0
Vsat
Vsat
RfRf
Rf
R2
R1
(1 )Vsat
Rf
(1 )Vsat
Rf
i
f(i)
=
R2
R1 + R2
Vsat+
R
fi
V
sat+
R
fi
Vsat
Rf
Vsat
Rf

Introduction
Dans la région autour de i = 0, f (i) = −Rf
R2
R1
i = −RN i donc
di
dt
=
Rf R2
LR1
i +
vc
L
,
dvc
dt
= −
i
C
⇒
d2
i
dt2
=
RN
L
di
dt
+
1
L
−i
C
, i.e.,
d2
i
dt2
−
RN
L
di
dt
+
1
LC
i = 0
Equation caractéristique : X2
− RN
L
X + ω2
0 = 0, ω2
0 = 1
LC
, changement de
signe ⇒ au moins une solution instable.
Coefficient d’amortissement : ζ = −1
2
C
L
RN . On a des oscillations (pôles
complexes) pour |ζ| < 1, i.e., RN < 2 L/C.
Ces oscillations sont croissantes i(t) ∝ eαt
cos(ωd t + φ), avec α = RN
2L
,
ωd = ω0 1 − ζ2
vc = v(0) −
t
0
i(τ)
C
dτ est aussi oscillant et croissant

Introduction
Au bout d’un certain temps, i sort de la région ou f (i) = −RN i, puis sort
de la région active ou i × f (i) < 0 (i.e., |i| > vsat /Rf ). Hors de cette
région, le dipôle non linéaire est passif et cesse donc de fournir de
l’énergie.
Ce mécanisme limite l’amplitude des oscillations, qui se stabilisent
finalement à une valeur indépendente des conditions initiales. La
détermination analytique de cette amplitude exacte n’est pas simple.
L’étude complète du système à 2 équations différentielles peut se visualiser
par son portrait de phase, qui présente un cycle limite.
Distortion de la sinuso¨ıde liée à la forme du cycle limite.
Des analyses similaires peuvent être faites pour L C connecté à une
résistance négative de type N. Le circuit RLC considéré pour la résonance
et le filtrage de vo est alors un RLC parallèle.

Introduction
Portrait de phase pour un oscillateur harmonique

Introduction
Plan pour ce cours
Parcours dynamique
Timer 555

Introduction
Aux fréquences modérées ( 500 MHz), les oscillateurs harmoniques à
rétroaction (feedback oscillators) sont les plus répandus. Ceux-cis peuvent
employer des AO + circuits RC jusqu’aux fréquences de l’ordre de 1 MHz.
Au-delà, on utilisera des transistors + circuits LC ou crystaux.
Ces oscillateurs sont formés d’une boucle de rétroaction positive, avec A
un amplificateur (dont on contrôle précisémment le gain) et H(s) un filtre
sélectionnant la fréquence des oscillations.
A
y
H(s)
+
+
u
u: bruit ou perturbation
t
Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s))
Y (s) =
A
1 AH(s)
U(s)
1 AH(s0) = 0 pour s0 ⇡ +✏ ± j!0
On démarre les oscillations avec un bruit quelconque excitant un circuit
instable dont les pôles sont complexes conjugués avec partie imaginaire
proche de la pulsation ω0 désirée

Introduction
Oscillateurs harmoniques à rétroaction : stabilisation d’amplitude
Démarrage des oscillations
A
y
H(s)
+
+
u
u: bruit ou perturbation
t
Y (s) = A(U(s) + H(s)Y (s))
Y (s) =
A
1 AH(s)
U(s)
1 AH(s0) = 0 pour s0 ⇡ +✏ ± j!0
Intuition par l’analyse linéaire : une fois l’amplitude des oscillations
suffisamment grande, un mécanisme non-linéaire de contrôle de gain réduit
le gain A à la valeur A0 permettant de ramener les pôles exactement à
±jω0. Si les oscillations décroissent, ce mécanisme augmente de nouveau
le gain. La condition (nécessaire) sur A0 et H(jω0) pour avoir des
oscillations à ω0 est le critère de Barkhausen
A0H(jω0) = 1
et en particulier si A0 ∈ R, il faut ∠H(jω0) = 0.
N.B. : pour analyser ces oscillateurs mathématiquement rigoureusement
dans le régime où les oscillations sont établies (cycle limite), il faudait
encore étudier le système non-linéaire avec le contrôle de gain.

Introduction
Exemple : oscillateur à pont de Wien
R
R
C
C
-
+
v0
va
R1
R2
filtre passe-bande
H(s) =
Va(s)
Vo(s)
gain A
Montage montré ici sans son mécanisme de
limitation d’amplitude
H(s) =
Zp
Zp + Zs
=
1
1 + Zs Yp
H(s) =
1
1 + (R + 1/Cs)(Cs + 1/R)
H(s) =
RCs
(RCs)2 + 3RCs + 1
ω0 =
1
RC
, H(jω0) =
1
3
(∠H(jω0) = 0)
Pour avoir des oscillations à ω0, il faut
A0 = 3 = 1 +
R2
R1
.
Equation caractéristique : 1 − AH(s) = 0 ⇔ (RC)2
s2
+ (3 − A)RCs + 1 = 0
Racines à droite pour A > 3, s0 = ±jω0 pour A = 3 et à gauche pour A < 3.

Introduction
Oscillateur à pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 1
R4
158k
C1
1n
C2
1n
R5
158k
R1
10k
R2
22.1k
R3
100k
D1
{myD}
D2
{myD}V1
5
U1
LTC1050
V2
-5
out
out2
V+-V
V+
V-
.lib opamp.sub
.model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.7)
.tran 5us 30ms 0ms 5us UIC
Initialement, pas de courant dans R3 → Amplificateur non-inverseur :
A = 1 + 22.1
10
= 3.21.
Quand l’amplitude de vout est suffisante, les diodes commence à être
passantes, le gain commence à diminuer vers A = 1 + 22.1 100
10
= 2.8,
jusqu’à la stabilisation des oscillations.
La taille des oscillations dépend des tensions de seuil des diodes, et des
valeurs des résistances de l’amplificateur.
On peut aussi prendre la sortie à out2, plus pure car filtrée, mais nécessite
un buffer si on a une charge.

Introduction
Oscillateur à pont de Wien : exemple de stabilisation d’amplitude 2
R4
158k
C1
1n
C2
1n
R5
158k
R1
10k
R2
20.3k
R3
1k
D1
{myD}
D2
{myD}5
V1
U1
LTC1050
-5
V2
R6
3k
R7
1k
R8
3k
V3
5
V4
5
V+-V
V+
V-
out
a
b
.lib opamp.sub
.model myD D(Ron=0.1 Roff=1G Vfwd=0.0)
.tran 5us 100ms 0ms 5us UIC
b
a
Ajout d’un limiteur d’amplitude en sortie (cf. cours 7).
Nécessité de démarrer les oscillations lentement (prendre R2 par trop
élevée) pour limiter la distortion introduite par le limiteur
Taille des oscillations : résoudre pour vout,max avec les équations
vout −vb ≈
vb + 5
3
(négliger courant dans D1), vb = v− +Vs,D1 , v− ≈ vout /3

Introduction
Conclusion
Voici un bref récapitulatif de ce cours
Etude des circuits dynamiques du premier ordre :
Commencer par analyser le parcours dynamique, y compris la présence et
nature des points d’équilibres.
Les trajectoires sur un parcours linéaire par morceaux se calculent en
résolvant des équations différentielles linéaires du premier ordre à
coefficients constants.
Oscillateurs de relaxation : réalisable avec un circuit d’ordre 1 et une
résistance négative, en l’absence d’équilibre stable sur le parcours
dynamique.
Flip-flop : réalisable avec un circuit d’ordre 1 et une résistance négative, en
présence de deux équilibres stables sur le parcours dynamique (ou, plus
simple, par une bascule de Schmitt).
Oscillateurs harmoniques : nécessitent des circuits d’ordre 2. On peut faire
une étude locale pour le démarrage des oscillations et obtenir de l’intuition
avec l’analyse linéaire, mais l’analyse rigoureuse des oscillations en régime
permanent (cycle limite) nécessite une analyse non-linéaire.

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