Matemáticas aplicadas a la Economía II: Topología del espacio euclídeo

1. February 5, 2010
() February 5, 2010 1 / 18

2. Semana 3
Introducción a la Topología del espacio euclídeo.
Conjuntos abiertos, cerrados y acotados. Interior y
frontera. Conjuntos convexos
Matemáticas II
Universidad Carlos III. Madrid
Curso 2008-2009
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 2 / cerr

3. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea p ∈ Rn y r 0. Se dene la bola abierta con centro p y radio r al
conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x r }
y la bola cerrada con centro p y radio r al conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x ≤ r}
Observación
Recordemos que p − x es la distancia de p a x .
Para n = 1, se tiene que B (p, r ) = [p − r , p + r ] y
B (p, r ) = (p − r , p + r ).
[ ] ( )
p-r r p+r p-r r p+r
B(p,r) B(p,r)
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Semana Curso Conjuntos 3 / cerr

4. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea p ∈ Rn y r 0. Se dene la bola abierta con centro p y radio r al
conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x r }
y la bola cerrada con centro p y radio r al conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x ≤ r}
Observación
Recordemos que p − x es la distancia de p a x .
Para n = 1, se tiene que B (p, r ) = [p − r , p + r ] y
B (p, r ) = (p − r , p + r ).
[ ] ( )
p-r r p+r p-r r p+r
B(p,r) B(p,r)
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Semana Curso Conjuntos 3 / cerr

5. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea p ∈ Rn y r 0. Se dene la bola abierta con centro p y radio r al
conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x r }
y la bola cerrada con centro p y radio r al conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x ≤ r}
Observación
Recordemos que p − x es la distancia de p a x .
Para n = 1, se tiene que B (p, r ) = [p − r , p + r ] y
B (p, r ) = (p − r , p + r ).
[ ] ( )
p-r r p+r p-r r p+r
B(p,r) B(p,r)
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Semana Curso Conjuntos 3 / cerr

6. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea p ∈ Rn y r 0. Se dene la bola abierta con centro p y radio r al
conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x r }
y la bola cerrada con centro p y radio r al conjunto
B (p, r ) = {x ∈ Rn : p − x ≤ r}
Observación
Recordemos que p − x es la distancia de p a x .
Para n = 1, se tiene que B (p, r ) = [p − r , p + r ] y
B (p, r ) = (p − r , p + r ).
[ ] ( )
p-r r p+r p-r r p+r
B(p,r) B(p,r)
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Semana Curso Conjuntos 3 / cerr

7. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Para n = 2, 3, respectivamente, las bolas cerradas son
n=2 n=3
Para n = 2, 3, respectivamente, las bolas abiertas son
n=2 n=3
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Semana Curso Conjuntos 4 / cerr

8. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Para n = 2, 3, respectivamente, las bolas cerradas son
n=2 n=3
Para n = 2, 3, respectivamente, las bolas abiertas son
n=2 n=3
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Semana Curso Conjuntos 4 / cerr

9. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Se dice que p ∈ Rn es un punto interior de S si existe r 0
tal que B (p , r ) ⊂ S .
◦
Notación : S es el conjunto de puntos interiores de S .
Observación
◦ ◦
S ⊂ S porque p ∈ B (p, r ) para todo r 0. (Notar que si S = ∅, la
observación también se cumple).
Ejemplo
◦
Consideremos S ⊂ R2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces S = (1, 2) × (1, 2).
º
S S
2 2
1 1
1 2 1 2
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Semana Curso Conjuntos 5 / cerr

10. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Se dice que p ∈ Rn es un punto interior de S si existe r 0
tal que B (p , r ) ⊂ S .
◦
Notación : S es el conjunto de puntos interiores de S .
Observación
◦ ◦
S ⊂ S porque p ∈ B (p, r ) para todo r 0. (Notar que si S = ∅, la
observación también se cumple).
Ejemplo
◦
Consideremos S ⊂ R2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces S = (1, 2) × (1, 2).
º
S S
2 2
1 1
1 2 1 2
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Semana Curso Conjuntos 5 / cerr

11. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Se dice que p ∈ Rn es un punto interior de S si existe r 0
tal que B (p , r ) ⊂ S .
◦
Notación : S es el conjunto de puntos interiores de S .
Observación
◦ ◦
S ⊂ S porque p ∈ B (p, r ) para todo r 0. (Notar que si S = ∅, la
observación también se cumple).
Ejemplo
◦
Consideremos S ⊂ R2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces S = (1, 2) × (1, 2).
º
S S
2 2
1 1
1 2 1 2
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Semana Curso Conjuntos 5 / cerr

12. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Se dice que p ∈ Rn es un punto interior de S si existe r 0
tal que B (p , r ) ⊂ S .
◦
Notación : S es el conjunto de puntos interiores de S .
Observación
◦ ◦
S ⊂ S porque p ∈ B (p, r ) para todo r 0. (Notar que si S = ∅, la
observación también se cumple).
Ejemplo
◦
Consideremos S ⊂ R2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces S = (1, 2) × (1, 2).
º
S S
2 2
1 1
1 2 1 2
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Semana Curso Conjuntos 5 / cerr

13. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
◦
Consideremos S = [−1, 1] ∪ {3} ⊂ R. Entonces S = (−1, 1).
S º
S
[ ] ( )
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
Denición
◦
Un subconjunto S ⊂ Rn es abierto si S =S
Ejemplo
En R, el conjunto S = (−1, 1) ⊂ R es abierto, pero
T = (−1, 1] ⊂ R no lo es. º º
S T S = T = S
( ) ( ] ( )
-1 1 -1 1 -1 1
◦
Rn es abierto, pues Rn =Rn
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Semana Curso Conjuntos 6 / cerr

14. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
◦
Consideremos S = [−1, 1] ∪ {3} ⊂ R. Entonces S = (−1, 1).
S º
S
[ ] ( )
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
Denición
◦
Un subconjunto S ⊂ Rn es abierto si S =S
Ejemplo
En R, el conjunto S = (−1, 1) ⊂ R es abierto, pero
T = (−1, 1] ⊂ R no lo es. º º
S T S = T = S
( ) ( ] ( )
-1 1 -1 1 -1 1
◦
Rn es abierto, pues Rn =Rn
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Semana Curso Conjuntos 6 / cerr

15. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
◦
Consideremos S = [−1, 1] ∪ {3} ⊂ R. Entonces S = (−1, 1).
S º
S
[ ] ( )
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
Denición
◦
Un subconjunto S ⊂ Rn es abierto si S =S
Ejemplo
En R, el conjunto S = (−1, 1) ⊂ R es abierto, pero
T = (−1, 1] ⊂ R no lo es. º º
S T S = T = S
( ) ( ] ( )
-1 1 -1 1 -1 1
◦
Rn es abierto, pues Rn =Rn
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 6 / cerr

16. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
◦
Consideremos S = [−1, 1] ∪ {3} ⊂ R. Entonces S = (−1, 1).
S º
S
[ ] ( )
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
Denición
◦
Un subconjunto S ⊂ Rn es abierto si S =S
Ejemplo
En R, el conjunto S = (−1, 1) ⊂ R es abierto, pero
T = (−1, 1] ⊂ R no lo es. º º
S T S = T = S
( ) ( ] ( )
-1 1 -1 1 -1 1
◦
Rn es abierto, pues Rn =Rn
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 6 / cerr

17. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
El conjunto S = {(x , 0) ∈ R2 : −1 x 1} no es abierto en R2
( ( )) ( )
-1 1 -1 1
n=1 n=2
Compárese este ejemplo con el ejemplo anterior
La bola abierta B (p , r ) es un conjunto abierto, pero la cerrada B (p, r )
◦
no es un conjunto abierto, puesto que B (p , r )= B (p , r ) = B (p , r ).
º
B(p,r) B(p,r) = B(p,r)
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Semana Curso Conjuntos 7 / cerr

18. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
El conjunto S = {(x , 0) ∈ R2 : −1 x 1} no es abierto en R2
( ( )) ( )
-1 1 -1 1
n=1 n=2
Compárese este ejemplo con el ejemplo anterior
La bola abierta B (p , r ) es un conjunto abierto, pero la cerrada B (p, r )
◦
no es un conjunto abierto, puesto que B (p , r )= B (p , r ) = B (p , r ).
º
B(p,r) B(p,r) = B(p,r)
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 7 / cerr

19. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
El conjunto S = {(x , 0) ∈ R2 : −1 x 1} no es abierto en R2
( ( )) ( )
-1 1 -1 1
n=1 n=2
Compárese este ejemplo con el ejemplo anterior
La bola abierta B (p , r ) es un conjunto abierto, pero la cerrada B (p, r )
◦
no es un conjunto abierto, puesto que B (p , r )= B (p , r ) = B (p , r ).
º
B(p,r) B(p,r) = B(p,r)
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 7 / cerr

20. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }.
◦
Entonces S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1, x = y }. Notar que S no es
abierto.
S º
S
Proposición
◦ ◦
S es el conjunto abierto mas grande contenido en S. (Es decir, S es un
◦
conjunto abierto,
◦
S⊂ S y si A⊂S es otro conjunto abierto, entonces
A ⊂S ).
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Semana Curso Conjuntos 8 / cerr

21. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }.
◦
Entonces S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1, x = y }. Notar que S no es
abierto.
S º
S
Proposición
◦ ◦
S es el conjunto abierto mas grande contenido en S. (Es decir, S es un
◦
conjunto abierto,
◦
S⊂ S y si A⊂S es otro conjunto abierto, entonces
A ⊂S ).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 8 / cerr

22. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }.
◦
Entonces S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 1, x = y }. Notar que S no es
abierto.
S º
S
Proposición
◦ ◦
S es el conjunto abierto mas grande contenido en S. (Es decir, S es un
◦
conjunto abierto,
◦
S⊂ S y si A⊂S es otro conjunto abierto, entonces
A ⊂S ).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 8 / cerr

23. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Un punto p ∈ Rn es un punto de clausura de S si para
cada r 0 se tiene que B (p , r ) ∩ S = ∅.
Denotaremos por S al conjunto de puntos de clausura de S , y
¯
deniremos a S¯ como la clausura de S .
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = [1, 2) ⊂ R. Entonces, los puntos 1, 2 ∈ S .
¯
Pero, 3 ∈ S.
/ ¯
S
[ ) ( )
1 2 3
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Semana Curso Conjuntos 9 / cerr

24. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Un punto p ∈ Rn es un punto de clausura de S si para
cada r 0 se tiene que B (p , r ) ∩ S = ∅.
Denotaremos por S al conjunto de puntos de clausura de S , y
¯
deniremos a S¯ como la clausura de S .
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = [1, 2) ⊂ R. Entonces, los puntos 1, 2 ∈ S .
¯
Pero, 3 ∈ S.
/ ¯
S
[ ) ( )
1 2 3
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 9 / cerr

25. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Denición
Sea S ⊂ Rn . Un punto p ∈ Rn es un punto de clausura de S si para
cada r 0 se tiene que B (p , r ) ∩ S = ∅.
Denotaremos por S al conjunto de puntos de clausura de S , y
¯
deniremos a S¯ como la clausura de S .
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = [1, 2) ⊂ R. Entonces, los puntos 1, 2 ∈ S .
¯
Pero, 3 ∈ S.
/ ¯
S
[ ) ( )
1 2 3
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. 2008-2009 abiertos,18
Semana Curso Conjuntos 9 / cerr

26. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = B ((0, 0), 1) ⊂ R2 . Entonces, el punto
(1, 0) ∈ S . Pero, el punto (1, 1) ∈ S .
¯ / ¯
(1,1)
S
(1,0)
SeaS = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }. Entonces,
S = B ((0, 0), 1).
¯
S S
Sea S = [0, 1], T = (0, 1). Entonces S = T = [0, 1].
¯ ¯
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 10 / cerr

27. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = B ((0, 0), 1) ⊂ R2 . Entonces, el punto
(1, 0) ∈ S . Pero, el punto (1, 1) ∈ S .
¯ / ¯
(1,1)
S
(1,0)
SeaS = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }. Entonces,
S = B ((0, 0), 1).
¯
S S
Sea S = [0, 1], T = (0, 1). Entonces S = T = [0, 1].
¯ ¯
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 10 / cerr

28. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos el conjunto S = B ((0, 0), 1) ⊂ R2 . Entonces, el punto
(1, 0) ∈ S . Pero, el punto (1, 1) ∈ S .
¯ / ¯
(1,1)
S
(1,0)
SeaS = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }. Entonces,
S = B ((0, 0), 1).
¯
S S
Sea S = [0, 1], T = (0, 1). Entonces S = T = [0, 1].
¯ ¯
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 10 / cerr

29. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
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Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

30. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

31. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

32. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

33. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

34. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

35. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

36. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
B (p , r ) es la clausura de la bola abierta B (p , r ).
Observación
S ⊂ S.
¯
Denición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si F = F.
¯
Proposición
Un conjunto F ⊂ Rn es cerrado si y solo si Rn F es abierto.
Ejemplo
El conjunto [1, 2] ⊂R es cerrado. Pero, el conjunto [1, 2) ⊂R no lo es.
El conjunto B (p , r ) es cerrado. Pero, el conjunto B (p , r ) no lo es.
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es cerrado.
Rn es cerrado, pues Rn = Rn .
¯ Se sigue que ∅ es abierto y también cerrado.
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Semana Curso 2008-2009 11 / cerr

37. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Proposición
La clausura S de S es el conjunto cerrado mas pequeño que contiene a
¯
S . (Es decir S es cerrado, S ⊂ S y si F es otro conjunto cerrado que
¯ ¯
contiene a S , entonces S ⊂ F ).
¯
Denición
Sea S ⊂ Rn , se dice que p ∈ Rn es un punto frontera de S si para cada
r 0, se tiene que,
1B (p , r ) ∩ S = ∅.
2B (p, r ) ∩ (Rn S ) = ∅.
Notación: El conjunto de puntos frontera de S se denota por ∂ S = Fr (S ).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 12 / cerr

38. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Proposición
La clausura S de S es el conjunto cerrado mas pequeño que contiene a
¯
S . (Es decir S es cerrado, S ⊂ S y si F es otro conjunto cerrado que
¯ ¯
contiene a S , entonces S ⊂ F ).
¯
Denición
Sea S ⊂ Rn , se dice que p ∈ Rn es un punto frontera de S si para cada
r 0, se tiene que,
1B (p , r ) ∩ S = ∅.
2B (p, r ) ∩ (Rn S ) = ∅.
Notación: El conjunto de puntos frontera de S se denota por ∂ S = Fr (S ).
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Semana Curso 2008-2009 12 / cerr

39. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Proposición
La clausura S de S es el conjunto cerrado mas pequeño que contiene a
¯
S . (Es decir S es cerrado, S ⊂ S y si F es otro conjunto cerrado que
¯ ¯
contiene a S , entonces S ⊂ F ).
¯
Denición
Sea S ⊂ Rn , se dice que p ∈ Rn es un punto frontera de S si para cada
r 0, se tiene que,
1B (p , r ) ∩ S = ∅.
2B (p, r ) ∩ (Rn S ) = ∅.
Notación: El conjunto de puntos frontera de S se denota por ∂ S = Fr (S ).
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Semana Curso 2008-2009 12 / cerr

40. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Supongamos que S = [1, 2), T = (1, 2). Entonces ∂ S = ∂ T = {1, 2}.
S T ∂S = ∂T
[ ) ( )
1 1 1 2
2 2
Consideremos S = [−1, 1] ∪ {3} ⊂ R. Entonces ∂ S = {−1, 1, 3}.
S ∂S
[ ]
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
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Semana Curso 2008-2009 13 / cerr

41. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Supongamos que S = [1, 2), T = (1, 2). Entonces ∂ S = ∂ T = {1, 2}.
S T ∂S = ∂T
[ ) ( )
1 1 1 2
2 2
Consideremos S = [−1, 1] ∪ {3} ⊂ R. Entonces ∂ S = {−1, 1, 3}.
S ∂S
[ ]
-1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 13 / cerr

42. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos S ⊂ R2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces ∂S es
S ∂S
2 2
1 1
1 2 1 2
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }. Entonces,
∂ S = {(x , y ) : x 2 + y 2 = 1} {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }.
S
S ∂S
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 14 / cerr

43. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
Ejemplo
Consideremos S ⊂ R2 , S = [1, 2] × [1, 2]. Entonces ∂S es
S ∂S
2 2
1 1
1 2 1 2
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }. Entonces,
∂ S = {(x , y ) : x 2 + y 2 = 1} {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y }.
S
S ∂S
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 14 / cerr

44. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

45. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

46. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

47. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

48. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

49. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

50. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

51. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos abiertos y cerrados
La relación entre los conceptos anteriores se establece en la siguiente proposición.
Proposición
Sea S ⊂ Rn , entonces
◦
1 S = S ∂S
2 S = S ∪ ∂S
¯
3 ∂ S = S ∩ Rn S.
4 S es cerrado ⇔ S = S ⇔ ∂ S ⊂ S
◦
5 S es abierto ⇔ S =S ⇔ S ∩ ∂ S = ∅.
Proposición
1 La intersección nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
2 La unión nita de conjuntos abiertos (cerrados) es un conjunto abierto
(cerrado).
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 15 / cerr

52. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

53. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

54. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

55. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

56. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

57. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
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58. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

59. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
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60. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

61. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Compactos
Denición
S ⊂ Rn es acotado si existen R , p ∈ Rn , R 0, tales que S ⊂ B (p , R )
Ejemplo
La recta V = {(x , y , z ) ∈ R3 : x − y = 0, z = 0} no es un conjunto acotado
La bola B (p , M ) de centro p y radio M es un conjunto acotado
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es compacto si es cerrado y acotado
Ejemplo
S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es compacto (acotado, no cerrado)
S = {(x , y ) ∈ R2 : x − y = 0} no es compacto (cerrado, no acotado)
B (p , R ) no es compacto (acotado, no cerrado)
B (p , R ) es compacto.
(0, 1] no es compacto. [0, 1] es compacto.
[0, 1] × [0, 1] es compacto.
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 16 / cerr

62. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 17 / cerr

63. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 17 / cerr

64. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 17 / cerr

65. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 17 / cerr

66. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
Matemáticas II Universidad Carlos III. Madrid () 3 Introducción a la Topología del espacio euclídeo. Conjuntos abiertos,18
Semana Curso 2008-2009 17 / cerr

67. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
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68. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
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69. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Denición
Un subconjunto S ⊂ Rn es convexo si para cualquier x , y ∈ S y λ ∈ [0, 1]
se tiene que λ · x + (1 − λ) · y ∈ S .
Ejemplo
Si A es una matriz de orden n × m y b ∈ Rn , denamos
S = {x ∈ Rn : Ax = b}
como el conjunto de soluciones de Ax = b. Probaremos que S es convexo.
Tomemos dos soluciones, x , y ∈ Rn . Entonces Ax = Ay = b.
Fijemos λ ∈ [0, 1]. Entonces
A(λx + (1 − λ)y ) = λAx + (1 − λ)Ay = λb + (1 − λ)b = b
Es decir, λx + (1 − λ)y ∈ S , que era lo que queríamos demostrar.
En este caso el argumento es válido para cualquier λ ∈ R.
Esto es cierto incluso si no hay soluciones pues por denición, el
conjunto vacío es convexo
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70. El Espacio Euclídeo Rn Conjuntos Convexos
Ejemplo
El conjunto S = {(x , y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1, x = y } no es convexo:
S
x
y
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