2. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
1
1INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL
MATERIA:
MÉTODOS NUMÉRICOS
CARRERA:
INGENIERÍA CIVIL
GRUPO:
“1”
INVESTIGACIÓN:
UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
“REPORTE DE LAS PRÁCTICAS DE GNU OCTAVE”
ALUMNO:
CARBALLO GÓMEZ JESÚS DARÍO 15550964
CATEDRÁTICO:
ING. RUSBEL BERMÚDEZ RIVERA
CERRO AZUL, VER. 23 DE MARZO DEL 2017.
3. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
2
2INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
INTRODUCCIÓN
En esta segunda unidad de la materia de Métodos Numéricos para la especialidad de
Ingeniería civil, se analizará lo que es la interpolación, a lo que su definición dice que
es la obtención de nuevos puntos o resultados a partir de los ya propuestos o
encontrados; mediante la aplicación de algunos métodos más sobresalientes
actualmente, lo nos facilitara la solución de algunas ecuaciones sencillas y algunas
otras complejas aplicados a problemas de actualidad.
Para ello se analizarán de forma computarizada, es decir mediante la aplicación de
software que faciliten la solución de estos con algunos sencillos y complejos
algoritmos y comandos, utilizando GNU OCTAVE similar a MATLAB, para la
solución de estas interpolaciones.
A continuación, se analizará la Interpolación Lineal, así como también la
Interpolación Cuadrática, los cual nos marcará a solución de una interpolación de
forma rudimentaria acercándonos al valor pedido de cierto modo; y también se
aplicará Polinomio de Interpolación de Newton, aplicando una solución más cercana
al resultado pedido, siendo este último el más rápido, debe mencionarse que los
resultados son de forma aproximada al valor buscado.
4. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
3
3INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
PRACTICA 3.1 INTERPOLACIÓN LINEAL
Uso de fprintf y los Formatos de Salida
Durante la práctica que es un polinomio de grado tres, se observó el uso de “fprintf” que es
la forma de salida en que despliega los puntos decimales dentro de Command Window, lo
que hace es manipular los dígitos después de los puntos decimales, este trabaja de forma
independiente de “Los Formatos de Salida” (short, long, long g, short g, bank, etc.), que
estos últimos se utilizan para también el número máximo de dígitos pero más notorio al
realizar tablas donde los cálculos son más extensos.
La forma de en qué pide los datos de salida fprintf es así por decir un ejemplo:
fprintf('Funcion Real:n fr=%8.5fn',fr)
Lo que al observar el resultado en Comman Window nos no lo despliega en un formato de
espaciado de 8 con 5 digitos, al resultado de salida, (figura 1).
Y al llamar estos en Command Window cada uno por separado (ya sea fr o f1), según lo
pedido en los datos de salida, nos despliega el resultado de la función con todos los dígitos
según los Formatos de Salida, (figura 2), es decir se llama a pantalla lo que se computariza
en el Editor y lo plasma en Command Window.
Se debe mencionar que el problema nos pide estimar el logaritmo natural de 2, realizando
primero el cálculo por interpolación lineal entre ln 1 y ln 6. Después con el intervalo menor
de ln 1 y ln 4 .
Figura 2 Formato de Salida con long g de ln 1 y ln 6Figura 1 Formato de Salida con short de ln 1 y ln 6
5. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
4
4INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
Las respuestas anteriores corresponden a una interpolación lineal de grado 3, con el intervalo
de ln 1a ln 6, con una aproximación a ln 2 = 0.6931472…; la interpolación se practica con
los formatos de salida de short (4 digitos) y long g (todos los dígitos).
Se observa que con los formatos de salida no hubo cambio como la pasada práctica de la
unidad 2, sino que se mantuvo con los mismos dígitos, y todo se debe al tipo de la función a
desarrollar; pero como se dijo líneas arriba al llamar a la función (fr, f1, Et), cada una dará
su resultado completo en la pantalla dependiendo del Formato de Salida dado.
A continuación, se darán los resultados de la siguiente interpolación como lo es para el
intervalo menor de ln 1 y ln 4, donde se utilizarán los mismos Formatos de Salida (short y
long g), y se cambiara el formato de fprintf por este:
fprintf('Funcion Real:n fr=%20.2fn',fr)
Lo que al observar el resultado en Comman Window nos no lo despliega en un formato de
espaciado de 20 y de 2 digitos al resultado de salida, (figura 3).
Y en la figura 4 se muestra la forma de salida descrita anteriormente, con un espaciado de 8
y de 5 dígitos en fprintf y con la definición de cada función donde nos muestra los datos
completos del formato de salida definido anteriormente.
En total “fprint” nos dice una forma de salida diferente a Los Formatos de Salida, al primero
definir en espaciado que va a tener la repuesta de la función, y luego al definir el número de
dígitos a mostrar en la pantalla de Command Window; y los Formatos de Salida al definirlos
uno por uno se despliega el resultado completo de la respuesta de la función.
Figura 3 Formato de Salida con short de ln 1 y ln 4 Figura 4 Formato de Salida con long g de ln 1 y ln 4
6. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
5
5INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
PRACTICA 3.2 INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Uso de % y de la Definición de la Letra Mayúscula y Minúscula
En esta práctica se utilizó la
interpolación cuadrática, un poco
parecida a la interpolación lineal, solo
que en esta se utilizan tres dígitos
como intervalo proporcionando un
resultado más aproximado (entre más
datos más aproximado es el resultado).
La práctica pide el ajuste de un
polinomio de segundo grado a los tres
puntos del In 1 In 4 In 6 evaluando
x=2 al igual que el problema anterior;
haciendo uso casi del mismo formato a
computarizar solo con unos ligeros
cambios para definir las tres variables
del intervalo.
En la figura 5 se muestra el Formato de Salida short, que al igual a la práctica anterior se
usara fprintf de un espaciado de 8 y de 5 dígitos, solo que aquí se agregara el signo de % para
ver qué pasa en al momento de correr la función.
Y en la figura 6 igualmente se utilizará el Formato de Salida long g, con el mismo fprintf del
mismo espaciado de 8 y con 5 dígitos, es lo mismo se pusiera otro espaciado solo mostraría
más alejado o más cerca y con menos o
más dígitos; y se definirá cada función
para que aparezca su resultado completo
según lo pedido.
Donde nos muestra en la figura 5 que el
signo % no afecto en nada al desarrollo
de la interpolación, esto es debido a que
no está bien estructurado, lo cual el
programa no lo puede leer, es decir es
como si estuvieras hablando en otro
idioma el cual la computadora no lo
puede leer correctamente, igualmente
pasaría lo mismo si pusiera otro signo o
y letras seguido de él, con ello puedes
agregar notas dentro del editor (figura 7).
Figura 5 Formato de Salida con short de ln 1 ln 4 ln 6
Figura 6 Formato de Salida con long g de ln 1 ln 4 ln 6
7. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
6
6INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
Como se observa la figura 7 se puso en
verde lo escrito en el Editor, y no pasó
nada con el resultado en Command
Window.
Pero si cambiaras una letra mayúscula
por una letra minúscula en el escrito
dentro del Editor de GNU OCTAVE, el
programa lo interpreta como si fuera un
error en lo pedido, ya que al hacer ello
y no se corrige en la definición de cada
función el resultado pedido no saldrá a
pantalla y nos indicara el error de la
interpolación, es igual si pusiéramos
otra interpolación diferente u otra
ecuación a evaluar en el programa, ya que al no estar correctamente estructurada el programa
marcará el error correspondiente (figura 8).
Como se observa en la figura 8, el cambio de la función Et por et, lo que afecto el resultado
la interpolación al tratar de calcular el error relativo porcentual, produciendo un error y
mostrándolo en la pantalla. Se observó que en la figura 9 se encuentra bien estructurada la
función.
Figura 7 Formato de Salida con short de ln 1 ln 4 ln 6
Figura 8 Formato de Salida con short de ln 1 ln 4 ln 6 Figura 9 Formato de Salida con short de ln 1 ln 4 ln 6
8. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
7
7INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
PRACTICA 3.3 INTERPOLACIÓN DE NEWTON
En esta práctica de interpolación, los resultados son a un más aproximados, porque
implementa las demás interpolaciones que se han visto en este reporte al aplicar desde una
interpolación lineal y una interpolación cuadrática, newton nos simplifica a una gran fórmula
para la solución de esta interpolación, compuesta de muchas otras fórmulas sencillas.
Para el desarrollo de esta práctica el ejemplo 3.2 de la practica anterior, los datos x0 = 1, x1
= 4 y x2 = 6 se utilizaron para estimar
ln 2. Ahora, agregando un cuarto
punto x3=5; se estimó ln 2 con un
polinomio de interpolación de
Newton de tercer grado.
Para ello se utilizarán dos formas de
hacerlo de manera práctica utilizando
la descomposición de las demás
interpolaciones generándolas de
manera de código para que el
programa entienda lo que se está
pidiendo.
En la fragua 10 se observa el código
que se utilizó para poder realizar el
cálculo de interpolación de newton,
en donde nos pide los valores de la
entrada de los intervalos a utilizar,
luego se define cada formula utilizar
de manera analítica, luego se plasma
las funciones que definen cada
fórmula, se agrega la formula general
donde engloba todos los resultados de
las fórmulas de manera general y por
último se plasma la forma de salida
del Editor, es decir como te dará la
respuesta de cada fórmula pedida
anteriormente.
Como se observa en la figura 12 se
aprecia el valor aproximado a ln 2,
realizando varias funciones y resolviendo las formulas.
Figura 10 Primer Código de Interpolación de Newton
Figura 12 Primer Código de Interpolación de Newton
9. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
8
8INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
La otra forma de realizar la Interpolación de Newton es por
medio de desarrollo de matrices aplicadas a en el código para
el programa, en donde se utiliza “zeros” que crea el arreglo de
una matriz de n * n o n + n, y el uso de A(:,:1) que significa
que todas las filas (:) y las columnas (:) de A se encuentran en
la primera página (1). En general es para ordenar la matriz de
forma correcta.
El uso de “pretty” el cual permite imprimir o mostrar el texto en el
plano de forma ordenada y el uso de “hold on” el cual conserva el
trazado actual y propiedades de ejes para que se agregue al grafico
existente, en general conserva el texto resultante de las funciones y
de las fórmulas que se resolvieron en forma tabular.
Para realizarlo se utilizaron los mismos datos que a la anterior forma
que se hizo en la Interpolación de Newton, solo que aquí se definió
el grado del polinomio el cual fue 4, con lo que se tuvo que introducir
5 puntos a interpolar en la función (x, y) los cuales son los
marcados en la tabla al final de los apuntes.
Figura 14 Segunda Interpolación de Newton parte del código con el grado del polinomio
Figura 13 Gráfica y Tabla que se
utilizaron
10. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
9
9INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
Figura 15 Command Window de la Segunda Interpolación de Newton
Lo que paso es que la solución no salió completa, se realizó la parte de la matriz de diferencias
divididas en forma ordenada, pero el resultado del polinomio de newton el más impórtate no
resulto, debido a que el GNU OCTAVE que se tiene, no tiene instalada el formato o comando
o la orden “syms” y “expand” con lo que no es posible seguir con la solución del problema
de este modo, te pide que descargues OCTAVE FORGE porque es el que lo contiene.
Solo en MATLAB es posible sacar la solución de este tipo de problema de esta forma debido
a que se encuentra completo su formato.
11. UNIDAD 3 INTERPOLACIÓN
MÉTODOS NUMÉRICOS
10
10INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL INGENIERÍA CIVIL
CONCLUSIÓN
En conclusión, la forma de interpolar en el programa puede ser muy diferente claro
dependiendo el método y el grado con el que se va interpolar.
Los métodos de interpolación nos sirven para definir un nuevo punto o un nuevo dato
entre dos datos o dos puntos, lo cual nos sirve para obtener un resultado aproximado
al requerido de manera práctica durante la interpolación, provocando el desarrollo de
la función y como ello el implemento de las formulas a utilizar.
La forma de la estructuración de una interpolación es muy importante, ya que con ello
llegas a una solución coherente y aproximada, ya que si no se hace de forma correcta
la función pude darte resultados incorrectos y con ello salir mal en la interpolación
del problema pedido.
La interpolación lineal y la cuadrática son las más sencillas de realizar, ya que utiliza
intervalos de dos y de tres, claro recordado que entre más datos más cercano es el
resultado aproximad al real, y con la interpolación de newton lo único que hace es e
englobar las fórmulas utilizadas en las otras interpolaciones de manera a que unta los
resultados de estas en una sola formula general para la solución de estos datos de
interpolación.
En general la interpolación en una estrategia factible para encontrar un valor que no
se proporciona y que se sabe que se necesita para lograr el cálculo requerido ya sea
para cualquier problema de aplicación.
