Matemática básica: 40 conceptos clave explicados de forma sencilla

MATEMÁTICA BASICA

José Darío Sánchez Hernández
Bogotá -Colombia. julio- 2009
danojuanos@hotmail.com
danojuanos@tutopia.com
danojuanos@yahoo.com

Algunos de mis apreciados visitantes me proponían un material
elemental dirigido a estudiantes un poco más neófitos, pero
conservando el espíritu inicial que me he propuesto desde la
iniciación de mi trabajo en el ciberespacio. Es ésta la razón para
colocar un cursillo que
sea como una invitación al aprendizaje de la matemática
avanzada en el campo virtual.

CONTENIDO
§1. Fundamentos de Lógica............................................................. 2
§2. Conjuntos................................................................................. 8
2.1 Clases de conjuntos........................................................ 9
2.2 Proposiones condicionales y cuantificadores…………..... 12
§3. Métodos de una demostración................................................... 16
§4. Parejas ordenadas y producto cartesiano................................... 20
§5. Relaciones y funciones.............................................................. 23
§6. Clases de funciones................................................................... 27
6.3 Función inversa............................................................... 28
6.6 Algunas propiedades de las funciones............................ 29
§7. Leyes de composición interna (operaciones)............................. 32
7.2 Clases de leyes de composición...................................... 34
§8. Concepto de Grupo.................................................................. 37
§9. Los números reales.................................................................. 40
9.3 Métodos geométricos y expansión decimal..................... 42
9.4 Propiedades algebráicas.................................................. 42
9.5 Propiedades de orden..................................................... 46
9.6 Propiedades de completitud............................................ 49
§10. Los números naturales........................................................... 52
§11. Los números enteros.............................................................. 54
§12. Números racionales................................................................ 57

J. Darío Sánchez H. MATEMÁTICA BASICA 2

12.6 Construcción de los elementos racionales.................... 58
§13. Acotación. Terminación. Extremación..................................... 61
13.5 Principio de buena ordenación...................................... 64
13.6 Divisibilidad.................................................................. 66
13.7 El algoritmo de Euclides................................................ 69
§14. Teorema fundamental de la aritmética................................... 73
§15. Congruencias......................................................................... 75
§16. Clases Residuales.................................................................. 79
§17. Números complejos............................................................... 83
17.2 Valor absoluto de un número complejo........................ 85
17.3 Imposibilidad de ordenar los números complejos........ 88
17.4 Exponenciales complejas.............................................. 89
17.5 Argumento de un número complejo............................. 90
17.6 Potencias enteras y raíces de números complejos....... 92
17.7 Logaritmos complejos................................................... 92
17.8 Potencias complejas...................................................... 93
Bibliografia...................................................................................... 97

§ 1. FUNDAMENTOS DE LÓGICA

1.1 Los vocablos verdadero y falso son fundamentales en el estudio de
la matemática, se consideran completamente conocidos y se aceptan sin
definir, es decir se admiten intuitivamente como ideas iniciales y se notan

Z , J

1.2 Las oraciones en las cuales se pueden establecer uno de los vocablos
verdadero o falso se denominan proposiciones o afirmaciones. Son
frecuentemente notadas por letras minúsculas :ß ;ß <ß =ß á

EJEMPLOS.Las frases: ¿Cómo estas?, ¿Cuál es tu nombre?, que la suerte te
acompañe; no son proposiciones
Bolivar es un hombre muy conocido, Bogotá es la capital de Bolivia,
Venezuela es la patria del Libertador; son proposiciones.

Toda proposición suele ir acompañada de una tabla


:
Z
J

llamada tabla de verdad y que indica las posibilidades de que la
proposición : sea verdadera o falsa

1.3 Negar una proposición es el procedimiento, mediante el cual una
proposición que es verdadera se convierte en falsa y recíprocamente si es
falsa se convierta en verdadera.
Se usa en estos casos : para la proposición y c: para su negación

: c:
Z J
J Z

1.4 PROPOSICIONES COMPUESTAS. Una propiedad fundamental de las
proposiciones se encuentra en el hecho de poderlas componer para
obtener nuevas oraciones las cuales son nuevamente proposiciones
llamadas proposiciones compuestas y estan caracterizadas por tablas
llamadas tradicionalmente tablas de verdad.

1.4.1 CONJUNCIÓN: Dadas dos proposiciones : y ; la proposición
compuesta : • ; ( : y ; ) es llamada conjunción y está definida por la
siguiente tabla

: ; :•;
Z Z Z
Z J J
J Z J
J J J

es decir su tabla depende estrechamente de los valores de verdad de las
proposiciones componentes.

EJEMPLO.Hoy es lunes y estamos a 28 de frebrero de 1936.
Esta es una conjunción y es una proposición falsa por que estar a 28 de
febrero de 1936 es una proposición falsa.

1.4.2. DISYUNCIÓN: Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : ” ;
(leáse : o ; ) es una proposición compuesta llamada disyunción y está
definida mediante la tabla


: ; :”;
Z Z Z
Z J Z
J Z Z
J J J

EJEMPLO. Colombia es una nación de América del sur o estamos a 9 de
abril de 1948.
Esta proposición es una disyunción la cual es claramente una proposición
verdadera, por que es verdad que Colombia es una nación de América del
sur.

Se sigue entonces que la veracidad o falsedad de la disyunción o de la
conjunción depende de la verdad o falsedad de las proposiciones
componentes.

Hay una variación de la disyunción que se presenta en proposiones como
"el papa Juan Pablo II está vivo o el papa Juan Pablo II está muerto"
esta es llamada el o exclusivo o el aut y está definida por la siguiente
tabla

: ; :”;
Z Z J
Z J Z
J Z Z
J J J

1.4.3 IMPLICACIÓN: Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : Ê ; es
llamada implicación, la cual se lee de una de las formas siguientes

: implica ;
si : entonces ;
: sólo si ;
: es una condición suficiente para ;
; es una condición necesaria para :

y es una proposición compuesta definida por la tabla


: ; :Í;
Z Z Z
Z J J
J Z Z
J J Z

EJEMPLO. Si no me da pereza, entonces estudio geometría

Es de notar que la mayoria de los enunciados de la matemática están en
forma de implicación, de donde su importancia.

EJEMPLO. Si +ß , y - son las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo entonces - # œ +#  ,# .

1.4.4 EQUIVALENCIA: Sean : y ; dos proposiciones, la proposición : Í ; es
llamada equivalencia, la cual se lee de una de las siguientes maneras

: es equivalente a ;
: si y sólo si ;
: es una condición necesaria y suficiente para ;

es una propsición compuesta definida mediante la siguiente tabla

: ; :Í;
Z Z Z
Z J J
J Z J
J J Z

EJEMPLO. Sean + y , números enteros entonces se tiene + Ÿ , si y sólo si
,  + es un número natural.

Los símbolos c, • , ” , ” , Ê , Í
- son referidos como los conectivos
proposicionales.

En adelante, además de :ß ;ß <ß =ß á , usaremos :" ß :# ß :$ ß á como símbolos
para designar proposiciones y nos referiremos a ellos como los símbolos
proposicionales. Tenemos tantos símbolos proposicionales como
números naturales, disponemos de una buena cantidad de ellos,
suficientes para representar cualquier proposición que tengamos en la
memoria; seguramente una persona no alcanza en toda su vida a fijar en
su mente más proposiciones que números. Así, podemos considerar que
cada símbolo proposional representa una única proposición simple.


A cualquier combinación de símbolos proposicionales, se le determina
fórmula, y aquellas para las cuales se les puede construir su tabla de
verdad son frecuentemente llamadas fórmulas bien formadas a0 Þ,Þ0 b.
Las reglas que gobiernan las fórmulas bien formadas son:
a"b Los símbolos proposicionales son fórmulas bien formadas
a#b Si ! es una fórmula bien formada, entonces su negación ac!b es una
fórmula bien formada.
a$b Si ! y " son fórmulas bien formadas entonces también lo son a! • " bß
a! ” " bß a!  " bß a ! Ê " b y a ! Í " b
a%b Una expresión es una fórmula bien formada si y sólo si el que lo sea
”

se sigue de aplicar a"bß a#b y a$b.

La regla a%b significa que las únicas fórmulas bien formadas son las que se
pueden construir combinando a"bß a#b, a$b un número finito de veces.
Como una fórmula bien formada se ha obtenido a partir de finitos
símbolos proposicionales y por aplicación de a"bß a#b y a$b finitas veces,
siempre es posible construir su tabla de verdad: se dan a los símbolos
proposicionales que aparecen en la fórmula bien formada los valores Z ß J
combinándolos adecuadamente para obtener todos los casos posibles y
luego se van construyendo paso a paso las tablas de verdad de las
fórmulas bien formadas que se han ido formando hasta llegar a la de la
fórmula bien formada dada inicialmente (Nótese que si aparecen 8
símbolos proposicionales en una fórmula bien formada, su tabla de
verdad tendrá #8 filas, correspondientes a las #8 formas posibles de
combinar Z y J )

Unos ejemplos aclararán lo dicho: Construir la tabla de verdad de : ” c:,
Ð: ” ;Ñ • c:, y Ò: • a: Ê ; bÓ Ê ; :

: c: : ” c: ß : ; :”; c: a: ” ; b • ac:b
Z J Z Z Z Z J J
J Z Z Z J Z J J
J Z Z Z Z
J J J Z J

: ; :Ê; : • a: Ê ; b Ò: • a: Ê ; bÓ Ê ;
Z Z Z Z Z
Z J J J Z
J Z Z J Z
J J Z J Z


Observando las tablas de verdad anteriores, vemos que existen fórmulas
bien formadas como : ” c:, Ò: • a: Ê ; bÓ Ê ; , tales que en su tabla de
verdad únicamente aparece el valor Z , sin importar la verdad o falsedad
de sus proposiciones componentes; estas fórmulas se llaman tautologías.
Son las fórmulas bien formadas más importantes, debido a que
corresponden a proposiciones compuestas que intuitivamente son
siempre verdaderas, independientemente de la veracidad de sus
proposiciones componentes.

1.5 NEGACIÓN: Es de utilidad conocer la negación de los conectivos
proposicionales y está dado por las siguientes tautologias:

ca: ” ; b Í ac:b • ac; b
ca: • ; b Í ac:b ” ac; b
ca: Ê ; b Í : • ac; b
ac:b Í ;
ca: Í ; b Í œ  Í ca: • c; b ” ac: • ; bd
: Í ac; b

1.6 EJERCICIOS.

1. Negar las siguientes proposiciones
a+b Si el sol sale esta tarde, entonces voy a jugar
a,b Estudiaré sólo si llueve
a- b Comeré frutas si y solamente si es una pera o una manzana
2. Haga los cuadros de verdad para cada una de las proposiciones
siguientes y concluya si son tautologías o no
a + b : • a ; ” < b Í a : • ; b ” a: • < b
a , b : ” a ; • < b Í a : ” ; b • a: ” < b
a- b a: Ê ; b Í ac:b ” ;
a. b a : Í ; b Í a : Ê ; b • a ; Ê < b
a/b cac:b Í :
a0 b : • : Í :
a1 b : ” : Í :
3. De cada una de las expresiones siguientes, diga si es una 0 Þ,Þ0 Þ o no;
dé las razones de sus respuestas:
a+b ac: Ê c; b Ê ca: ” ; b
a,b : Ê  c< • ;
a- b a:" • :# b • :$ Í ac:% ” :$ b
”

a. b aa:" Ê ac:# bb • :" b Ê c:#
a/ b : • ; ” : • <
a0 b a c ” : b Ê a; • < b
a1b ca: • ; b Ê aac:b • ac; bb.


4. Use las tablas de verdad para probar que a: • c:b Ê ; es una
tautología.
5. Sea !ß " fórmulas bien formadas. Se dice que "! implica
tautológicamente a " " si ! Ê " es una tautología. Se dice que " ! es
tautológicamente equivalente a " " si ! implica tautológicamente a " y "
implica tautológicamente a !, o lo que es igual, si ! Í " es una
tautología. Halle cuatro ejemplos de implicaciones tautológicas y cuatro
de equivalencias tautológicas
6. Una contradicción es una 0 Þ,Þ0 compuesta que siempre es falsa,
independientemente de la veracidad de las proposiciones componentes.
Dar cinco ejemplos de contradicciones, demostrando que lo son
mediante tablas de verdad, si es el caso.
7. Dadas las proposiciones :: Hace frío, y ; : Está de noche, y suponiendo
que la primera es verdadera en este momento y la segunda falsa, escriba
en términos de :ß ; y los conectivos, las proposiciones siguientes, y halle
sus valores de verdad:
a+b No está de noche o no hace frío.
a,b Hace frío o no está de noche.
a- b Ni está de noche ni hace frío
a. b Está de noche pero no hace frío.

§2. CONJUNTOS

Otra idea fundamental en el estudio de la matemática, es la de conjunto y
la tomamos sin definir como materia prima. Intuitivamente es una
colección de objetos llamados elementos, esta idea la vemos por ejemplo
en un panal de abejas , en un rebaño de ovejas, en una planta de crianza
de truchas, son ejemplos de conjuntos.
El hecho de pertenecer a un conjunto es otro concepto primitivo y que se
toma como materia prima.
Notacionalmente los conjuntos suelen indicarse por letras del alfabeto en
mayúscula y los elementos que los componen serán indicados por letras
minúsculas en este caso se dice que los conjuntos están dados por
extensión.
Cuando se dan las propiedades que definen a los elementos se dice que
el conjunto se da por comprensión, es cuando se usan los corchetes y las
palabras "conjunto de elementos tales que".
Si denotamos por :aBb a una condición redactada en términos de la letra
B, el conjunto determinado por ella se escribe

eBÎ:aBbf ó eB À :aBbf


A la condición le llamaremos muchas veces una proposición condicional.
Usaremos también la palabra colección como sinónimo de conjunto
La fórmula "+ − Q " es utilizada para indicar "+ es elemento del conjunto
Q " y suele leerse "+ pertenece a Q "

2.1 CLASES DE CONJUNTOS. Los conjuntos se clasifican según el número de
elementos que ellos tienen, así se tendrán conjuntos finitos y conjuntos
infinitos.
El conjunto universal o referencial es un conjunto variable y es el más
grande conjunto que se considere en un determinado problema, por
ejemplo hablando de números el universo podría ser el conjunto de los
números reales o el de los números complejos dependiendo de la teoría,
si es real o si es compleja.
El conjunto vacío es un conjunto que carece completamente de
elementos, se nota por la letra griega F ó ef.

Algunos conjuntos frecuentemente usados y utilizados son:

 œ e!ß "ß #ß á f números naturales
™ œ eá ß  "ß !Þ"ß #ß á f números enteros
 œ ˜BÎB œ + ß + − ™ß , − ™  Ö!×™ números racionales
,
d el conjunto de los números reales
‚ el conjunto de los números complejos

2.1.2 DEFINICIÓN. Sea E un conjunto de un universo dado, un subconjunto
Q de E, notado Q § E, está definido por la proposición condicional


si B − Q entonces B − E

Esta idea puede visualizarse por medio de un diagrama llamado diagrama
de Venn

A
M

U

E © Q Í aB − E Ê B − Q b

Decir que un elemento B no está en E se denota por la proposición
compuesta


B Â E Í caB − Eb

2.1.3 DEFINICIÓN. Un conjunto E se dice igual a un conjunto F si la
siguiente proposición es verdadera

E§F•F §E
 

o sea

E œ F Í aE § F • F § E b
 

2.1.4 PROPOSICIÓN. Sea E un conjunto arbitrario de un universo dado Y
entonces F § E.


DEMOSTRACIÓN. La proposición condicional B − F Ê B − E es siempre
verdadera, pues B − F es falsa

2.1.5 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado. La reunión
de E con F , notada E  F , está definida por la proposición compuesta

B−EF ÊB−E”B−F

es decir, es el conjunto de los elementos que están en E o están en F.
Si hacemos uso de diagrama de Venn tenemos

A
B

E  F œ eBÎB − E ” B − F f

2.1.6 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado, la
intersección de E con F , notado E  F , está definida por la siguiente
proposición

B − E  F Í aB − E • B − F b

es decir, el conjunto de los elementos comunes a E y F ; en diagrama de
Venn se tiene


A
B
U
E  F œ eBÎB − E • B − F f

2.1.7 PROPOSICIÓN. a+b E œ F implica E  F œ E  F œ E œ F
a,b Si E § F entonces E  F œ F y E  F œ E
a- b E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b


E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b
a. b E  F œ E
a/ b E  F œ F  E
a0 b E  F œ F  E
La demostración se propone como ejercicio.

2.1.8 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado, la diferencia
de E con F es notada E  F y está definida por la siguiente proposición

B−EF ÍB−E•BÂF

con diagrama de Venn sería:

A U
B A B B A
U A U B

E  F œ eB − Y ÎB − E • B Â F f

2.1.9 DEFINICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo dado Y y tal que
E § F entonces el complemento de E con respecto a F es definido por


CF E œ F  E

Cuando F es el universo Y se dice simplemente el complemento de E
notado CY E ó CE y está definido por la proposición

B − CE Í B Â E

2.1.10 PROPOSICIÓN. Sean E y F conjuntos de un universo Y , entonces
a3b CaE  F b œ aCEb  aCF b


a33b CaE  F b œ aCEb  aCF b
a33b aCEb  E œ F
a3@b aCEb  E œ Y
a@b CaY b œ F
a@3b CaFb œ Y

DEMOSTRACIÓN. Se hacen en forma directa usando las definiciones y la
fórmulas bien formadas dadas en la sección anterior así:
a 3b B − CaE  F b Í B Â aE  F b Í caB − E  F b
Í caB − E ” B − F b Í caB − Eb • caB − F b
Í B Â E • B Â F Í B − CE • B − CF Í B − aCEb  aCF b
Siguiendo el mismo orden de ideas se demuestran las restantes
afirmaciones.

2.2 PROPOSICIONES CONDICIONALES Y CUANTIFICADORES

2.2.1 DEFINICIÓN. Sea E un conjunto de un universo dado, una variable de
E es un símbolo que representa a cualquier elemento de E y una
constante en E es un símbolo que representa exactamente un elemento
de E bien determinado.

2.2.2 DEFINICIÓN. Una proposición condicional es una sucesión de
símbolos envolviendo variables y que se convierten en proposición al
reemplazar estas variables en un universo conveniente y notan

:B Î B − Y ß :C Î C − Y á

siempre y cuando B ó C sean las variables.

EJEMPLOS. a"b :B À B  " œ ! es una sucesión de símbolos
a:B À B  " œ !baB − ™b es la proposición condicional
a#b :B À B#  "  #B œ ! es una sucesión de símbolos
a:B À B#  "  #B œ !baB − d b es la proposición condicional
a$b :B À B#  " œ aB  "baB  "b es una sucesión de símbolos
a:B À B#  " œ aB  "baB  "b baB − d b es la proposición condicional

2.2.3 DEFINICIÓN. Se llama conjunto solución de una proposición
condicional al subconjunto del universo dado, donde la proposición
condicional es verdadera.
Sea a:B baB − Y b y T su conjunto solución entonces

T œ eB − Y Î:B es verdaderaf


2.2.4 PROPOSICIÓN. Sea a:B baB − Y b una proposición condicional, si T es el
conjunto solución de a:B baB − Y b entonces

eB − Y /:B es falsof œ eB − Y Îca:B b es verdadf œ CT

DEMOSTRACIÓN. Sea + − eBÎcÐ:B Ñf Í c:+ es verdadero es falso
Í + Â eBÎ:B f œ T Í + − CT .
Í :+

2.2.5 PROPOSICIÓN. Sean a:B baB − Y b y a;B baB − Y b dos proposiciones
condicionales con T y U como conjuntos de soluciones entonces

eBÎ:B • ;B f œ T  U

DEMOSTRACIÓN. Sea + − eBÎ:B • ;B f Í :+ • ;+ es verdadera Í :+ es
verdadera y ;+ es verdadera Í + − T y + − U Í + − T  U.


eB − Y /:B ” ;B f œ T  U

DEMOSTRACIÓN. Sea + − eB − Y Î:B ” ;B f Í :+ ” ;+ es verdadera Í :+ es
verdadera, ó , ;+ es verdadera Í + − T ” + − U Í + − T  U.


eB − Y Î:B Ê ;B f œ aCT b  U

DEMOSTRACIÓN. Se sabe que a: Ê ; b Í aac:b ” ; b es una tautologia por lo
tanto
eB − Y Î:B Ê ;B f œ eB − Y Îac:B b ” ;B f œ aCT b  UÞ


eB − Y Î:B Í ;B f œ aT  Ub  aCT  CUb

DEMOSTRACIÓN. eB − Y Î:B Í ;B f œ eB − Y Îa:B Ê ;B b • a;B Ê :B bf œ


œ eB − Y Î:B Ê ;B f  eB − Y Î;B Ê :B f œ aCT  U b  aCU  T b œ
œ caCT  U b  CUd  caCT  Ub  T d œ
œ caCT  CUb  aU  CUbd  caCT  T b  aU  T bd
œ aT  Ub  aCT  CUb

2.2.9 Un cuantificador es un símbolo que nos responde a la pregunta
¿Cúantos elementos del universo en consideración satisfacen a una
proposición condicional?
Así los cuantificadores son de dos tipos: existencial y universal
El cuantificador existencial denotado con b y está definido así:
Sea a:B baB − Y b una proposición condicional y T § Y su conjunto solución

entonces
abB − Y ba:B b Í T Á F
léase existe un B en Y tal que :B es verdadera y esto es equivalente a
decir que el conjunto solución de :B no es vacío.
El cuantificador universal notado a, está definido así: Sea a:B baB − Y b una
proposición condicional y sea T § Y es el conjunto solución de :B

entonces
aaB − Y ba:B es verdaderab Í T œ Y
léase para todo B en Y :B es verdadera y esto es equivalente a decir el
conjunto solución de :B es igual al universo.

EJEMPLOS. a"b La proposición condicional aB#  " œ !baB − ‚b tiene conjunto
solución no vacío, entonces se puede usar el cuantificador así
abB − ‚baB#  " œ !b
a#b aB#  " œ aB  "baB  "bbaB − ‚b tiene por conjunto solución al conjunto
‚ entonces se puede usar el cuantificador así:
aaB − ‚baB#  " œ aB  "baB  "bb

2.2.10 NEGACIÓN DE CUANTIFICADORES

PROPOSICIÓN. a"b cabB − Y ba:B b Í aaB − Y bac:B b
a#b caaB − Y ba:B b Í abB − Y bac:B b

Veamos el caso a#b : Sea T el conjunto solución de :B entonces
caaB − Y ba:B b Í caT œ Y b Í caT œ T  CT b Í CT Á CaT  CT b œ CT  CaCT b
Í CT Á F Í abB − Y bac:B b

EJEMPLO. Todos los hombres son buenos
Cuantificación: Sea Y œ eHombres del mundof
aaB − Y baB es buenob
Si queremos la negación tendríamos


abB − Y baB no es buenob
En español sería: Hay hombres que son malos.

2.3 EJERCICIOS

a"b Tomando como referencia al conjunto de los números reales, hallar
los conjuntos que definen las condiciones siguientes
a+b aB#  )B  "&baB  "b œ !
a,b B#  &B  "& !
a- b B#  #
a#b Resolver el ejercicio a"b tomando como referencial el conjunto ™ de los
enteros.
a$b Resolver el ejercicio a"b considerando como referencial el conjunto
Ö'ß (ß )ß *ß á × de todos los números naturales mayores o iguales a '.
a%b En cada uno de los tres ejercicios anteriores, anteponer a cada
condición un cuantificador adecuado para que se obtenga una
proposición verdadera; dar las razones de sus respuestas.
a&b Escribir la negación de cada una de las proposiciones siguientes:
Todos los hombres son mortales.
aaBbaB  ! œ Bb
abBbaaCbaB  C  !b
a'b Tomando como referencial al conjunto de los números reales, hallar
una condición :aBß C b en dos variables, tal que
abBbaaCba:aBß C bb sea falsa y
aaCbabBba:aBß C bb sea verdadera
a(b a+b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"ß #ß $× o sea T aÖ"ß #ß $×b
a,b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"ß #× (T aÖ"Þ#×b)
a- b Hallar todos los subconjuntos del conjunto Ö"× (T aÖ"×b)
a. b Hallar todos los subconjuntos del conjunto F.
a/b ¿Podría usted adivinar una relación entre el número de elementos
de un conjunto finito y el número de sus subconjuntos?
a)b Escribir la negación de cada una de las expresiones siguientes:
aaBba:aBb Ê ; aBbb
aaBb:aBb Ê a; aBb ” <aBbb
abBbaaD ba:aBß D b • ; aD bb
a*b Sea W un referencial para una condición :aBb. Sea E © W . Definimos
aaB − Eba:aBbb como aaBbaB − E Ê :aBb es verdaderab. Análogamente,
definimos abB − Eba:aBbb como abBbaB − E • :aBb es verdaderab.
Demuestre que
caaB − Eba:aBbb Í abB − Ebac:aBb b
y que
cabB − Eba:aBbb Í aaB − Ebac:aBbb
a"!b ¿Qué sentido tiene para usted expresiones como


aaBba#  $ œ &bß abBba# † % œ )b ?
¿Son éstas proposiciones? ¿Se podría suprimir el cuantificador?
a""b Dé justificaciones a las equivalencias siguientes:
aaBba: • ; aBbb Í a: • aaBb; aBbb
aaBba: ” ; aBbb Í : ” aaBba; aBbb
abBba: • ; aBbb Ê : • abBba; aBbb
abBba: ” ; aBbb Ê : ” abBba; aBbb
Nota: : es una proposición en la cual no aparece B.
a"#b Escriba en español correcto la negación de las frases siguentes:
a+b Si las Matemáticas son fáciles, aprobaré el curso
a,b Existe un número natural 7 tal que cualquiera sea el natural 8ß 7 Ÿ 8
a- b Si el costo de vida continúa subiendo, algunos tendremos que dejar la
"costumbre burguesa" de comer tres veces al día o trabajar por un
cambio de estructuras.
a. b Todos tenemos problemas y algunos nos dejamos vencer por ellos.
a/b Todos los gatos son pardos o algunos estamos miopes.
a"$b Diga, dando las razones de sus respuestas, cuáles de las
afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles no:
a+b Ö"ß "ß #× © Ö"ß #×
a,b Ö"ß #ß #× œ Ö#ß "×
a- b + − ÖÖ+××
a/b E © F Ê E œ F.

§3. MÉTODOS DE UNA DEMOSTRACIÓN

Uno de los criterios de deducción más importantes y el cual es inherente
al hombre, es el dado por la tautología
c : • a: Ê ; b d Ê ;
llamada el modus ponens la cual afirma que con el conocimiento de : y
: Ê ; se deduce la veracidad de ; , es el razonamiento del hombre
prehistórico cuando razonaba así:
Yo mato toro y, si yo mato toro entonces calmo hambre, entonces yo calmo hambre.
Este criterio es utilizado en la mayoria de las pruebas de la matemática
aunque siempre está tácita su utilización. A continuación se darán unos
métodos clásicos de demostración.

3.1 Método trivial ; se trata de estudiar la veracidad de la proposición
: Ê ; estudiando la proposición : en si misma. Si : es falsa no importa
que sea ; , : Ê ; siempre es verdadera.


EJEMPLO. Estamos en el siglo XXII, entonces hoy es viernes, es una
proposición compuesta verdadera por que la hipótesis es falsa.

3.2 Método vacío ; consiste en estudiar la veracidad de la proposición
: Ê ; estudiando la proposición ; en si misma, así si ; es vedadera no
importa cual sea el valor de verdad de : la proposición compuesta : Ê ;
siempre es verdadera.

EJEMPLO.Si Julio César fue un gran guerrero, entonces Bogotá es la capital
de Colombia. Esta proposición es verdadera
En álgebra, si aaB − ™baB#  # œ "bentonces # œ "  ", en una proposición
verdadera.

3.3 Método indirecto ; se aplica en el estudio de la veracidad de la
proposición : Ê ; , procediendo de la siguiente forma
a3b Supóngase que ; es falsa
a33b Con este hecho y otros conocidos dentro de la teoría se
demuestra que : es falsa.
Entonces se tiene que : Ê ; es verdadera. Este método también es
conocido como el contrarrecíproco.

EJEMPLO. Si +# es par entonces + es par

PRUEBA: a3b Supongamos que + no es par
a33b existe 7 −  tal que + œ #7  "
a333b +# œ a#7  "b# œ %7#  %7  " œ #a#7#  #7b  "
así, existe 5 œ #7#  #7 −  tal que +# œ #5  " ó sea que +# no es par.

3.4 Método directo ; se trata de probar que la proposición : Ê ; es
verdadera y se procede así;
a3b Se supone que : es verdadera
a33b Con este hecho y otros bien conocidos de la teoría se
demuestra que ; es verdadera.
Así : Ê ; es verdadera.

EJEMPLO.Si ?EFG es un triángulo rectángulo, entonces +#  , œ - #
donde +ß , son las longitudes de los catetos y - es la longitud de la
hipotenusa.
B
c a

a3b Supongamos que
A C
PRUEBA: b es un triángulo rectángulo


A
c b

a33b con el triángulo B
C
a construimos un cuadrado que
tenga de lado +  , así;
a b
b c a
c

a c c b

b a
a333b El área del cuadrado de lado +  , será
a+  ,b# œ +#  #+,  , #
pero sumando áreas tenemos que
a+  ,b# œ - #  #+,
así
+#  #+,  ,# œ - #  #+,
de donde tenemos
+#  , # œ - #

3.5 Método de contradicción (Absurdo). Sea 7 una teoría y : una
proposición de la teoría, de la cual se desea saber su veracidad. El
método consiste en:
a3b Construir una nueva teoría 7 w obtenida adjuntado a 7 la proposición c:
a33b Se demuestra que la teoría 7 w es contradictoria ó inconsistente,
hallando en 7 w una proposición ; verdadera y c; verdadera.
Así tenemos que : es una proposición verdadera en 7 .

EJEMPLO. No se puede dividir por cero

PRUEBA. a3b Sea 7 la teoría de los números reales y : la proposición: no se
puede dividir por cero.
a33b Sea 7 w la teoría de los números reales en los cuales se puede dividir
por cero.
a333b Consideremos en 7 w la siguiente igualdad
+œ, +ß , − ™  Ö!×
Se multiplica por + ambos miembros de la anterior igualdad obteniéndose
+# œ +,
Agregue  ,# a los dos lados de la igualdad


+#  ,# œ +,  , #
Factorizando se tiene
a+  ,ba+  ,b œ a+  , b,
Como en 7 se puede dividir por cero, entonces simplificamos por a+  ,bß
w

así se obtiene
+, œ,
Como + œ ,ß se tiene
#+ œ +
Simplificando por + se llega a la proposición
#œ"
Así en la teoría 7 w se tendría simultáneamente
#Á" y #œ"
obteniéndose que 7 w es una teoría contradictoria, ( es usual afirmar en
estos casos que 7 w es absurdo)
Luego no se puede dividir por cero.

3.6 Método del contra-ejemplo. Dada una proposición : la cual quiere ser
probada, es decir, la cual se desea adjuntar como verdadera dentro de
una teoría. El método consiste en hallar un ejemplo donde se diga lo
contrario de la proposición deseada, así la proposición queda
automáticamente falsa dentro de la teoría.

EJEMPLO.En la teoría de los números enteros si el cuadrado de un número
entero es impar el número es primo.

PRUEBA. Se usa el método del contra-ejemplo, así )" œ *# es número impar
sin embargo * no es número primo.
Así la proposición es falsa en la teoría de los números enteros.

3.7 EJERCICIOS.

a"b Puede suceder que E  F œ F ; dé un ejemplo en el cual se cumpla
dicha igualdad. ¿Podría idear (demostrándolo) una condición necesaria y
suficiente para que tal iguadad se cumpla?
a#b Se pide lo mismo que en el a"b pero con respecto a E  F œ E.
a$b Demuestre que si E © F y F © G entonces E © G y que si Q © R
entonces T aQ b © T aR b
Aquí T aQ b œ ÖÎ © Q × el conjunto llamado partes de Q .
a%b Pruebe que
E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b
y que
E  a F  G b œ aE  F b  aE  G b .


a&b Sea W un conjunto referencial y sean Eß F subconjuntos de W :
Demuestre que
E  F œ E  a CW F b .
a'b Puede suceder que E  F œ F; dé dos ejemplos en los cuales se
cumpla dicha igualdad e idee (demostrándolo) una condición necesaria y
suficiente para que tal igualdad se cumpla.
a(b Sean E" ß E# ß á ß E8 conjuntos. Pruebe que si aE" © E# b y aE# © E$ bß yá y
aE8" © E8 b y aE8 © E" b, entonces E" œ E# œ â œ E8 .
a)b Sean T , U subconjuntos de un conjunto referencial W . Demuestre que
T © U si y sólo si aCW Ub © aCW T b.
a*b Pruebe que aE  F b  G § E  aF  G b, pero que en general no se
tiene la contenencia en el sentido contrario. Demuestre además que
E  aF  G b § aE  F b  aE  G b
a"!b Muestre que E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b
E  aF  G b œ aE  F b  aG  Eb
Pero que en general la unión no es distributiva respecto de la diferencia.
a""b a+b Dé una justificación a la equivalencia
aaBba:aBb • ; aBbb Í ÒaaBba:aBbb • aaBba; aBbbÓ
a,b Úsela para demostrar que
abBba:aBb ” ; aBbb Í abBba:aBbb ” abBba; aBbb.
Ayuda: niegue en los dos lados de la equivalencia anterior
a"#b Análogamente al ejercicio anterior, justifique que
abBba:aBb • ; aBbb Ê cabBba:aBb • abBba; aBbbbd.
a"$b Halle un referencial y condiciones :aBb, ; aBb adecuadas para hacer
ver que en general abBba:aBbb • abBba; aBbb no implica abBba:aBb • ; aBbb.
a"%b Si E es el conjunto de los enteros múltiplos de ' y F el de los
múltiplos de "!, halle E  F y E  F .
a"&b a+b ¿ Podría hallar dos subconjuntos infinitos del conjunto F de los
números naturales, que sean disyuntos?
a,b ¿Podría hallar siete subconjuntos infinitos de  que sean disyuntos
dos a dos?
a- b ¿Será posible hallar 8 ( siendo 8 número natural mayor que ")
subconjuntos infinitos de  que sean disyuntos dos a dos?

§4. PAREJAS ORDENADAS Y PRODUCTO CARTESIANO

4.1 DEFINICIÓN. Sean E y F dos conjuntos de un universo dado, una pareja
ordenada a+ß ,b de un elementos de E y otro de F está definida por el
siguiente conjunto
a+ß ,b œ ee+fß e+ß , f f


Si + Á , entonces a+ß ,b Á a,ß +b ya que ee+fß e+ß , f f Á ee, fß e+ß , f f pues por
hipotesis + Á ,.

4.2 PROPOSICIÓN. Si a+ß ,b œ a-ß . b, entonces + œ - y , œ .

DEMOSTRACIÓN. Si a+ß ,b œ a-ß . b entonces ee+fß e+ß , f f=ee- fß e-ß . f f. Para que
se tenga la igualdad es natural que los conjuntos de un elemento sean
iguales o sea
e+f œ e- f y e+ß ,f œ e-ß . f
así del primero se tiene + œ - y del segundo e+ß ,f œ e+ß . f se deduce que
, œ ..

4.3 DEFINICIÓN. Sean E y F dos conjuntos de un universo dado. Se define
el producto cartesiano de E por F mediante la siguiente proposición
aBß Cb − E ‚ F Í B − E • C − F
es decir, es el conjunto de parejas ordenadas tales que la primera
componente está en E y la segunda en F . Si hacemos uso de un diagrama
de Venn, podríamos interpretarlo así

AXB

y (x,y)

B

A

E ‚ F œ eaBß CbÎB − E • C − F f
x

4.4 PROPOSICIÓN. Sean Eß F y G conjuntos de un universo dado
a 3b E ‚ a F  G b œ a E ‚ F b  a E ‚ G b
a33b E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b

DEMOSTRACIÓN. a3b Sea : − E ‚ aF  G b Í : œ aBß C b À aBß C b − E ‚ aF  G b
Í B − E • C − F  G Í B − E • aC − F ” C − G b Í aB − E • C − F b ” aB − E • C − G b
Í aBß Cb − E ‚ F ” aBß C b − E ‚ G Í : − E ‚ F ” : − E ‚ G
Í : − a E ‚ F b  aE ‚ G b
Análogamente se procede para a33b


4.5 EJERCICIOS.

a"b Sean Vß Wß X conjuntos de un universo dado. Demostrar que
aV  W b ‚ X § V ‚ aX  W b.
a#b En las hipótesis de a"b demuestre que V ‚ aW  X b § aV  X b ‚ W


a$b Negar las siguientes frases:


Si todos los animales tienen plumas, entonces algunos hombres
tienen cuernos.
Algunos animales son mamiferos y todos tienen piel, es equivalente
a decir que algunas aves tienen piel y todas son ovíparas.
Si todos los toreros son buenos, entonces algún toro Colombiano
embiste.
a%b Cuantifique las siguientes frases:
Los habitantes europeos son todos industriales
En la Universidad Nacional unos estudiantes son físicos
Las medidas de los ángulos interiores de un triángulo siempre
miden ")!! .
a&b ¿Qué sentido tiene para usted, expresiones como
aaBba#  $ œ &bß abBba# † % œ )b?. ¿Son estas proposiciones? ¿Se podría
suprimir el cuantificador?
a'b Sean Eß F y G conjuntos en un universo, muestre que
E  aF  G b œ aE  F b  aE  G b
E  aF  G b œ aE  F b  aG  Eb
pero que en general la unión no es distributiva respecto de la diferencia.
a(b Definimos una nueva operación entre conjuntos llamada la diferencia
simétrica así:
E?F =eBÎB − E  B − F f
a+b Usando una tautología apropiada pruebe la asociatividad de la
”

diferencia simétrica: aE˜F b˜G œ E˜aF˜G b
a,b Demuestre que E˜F œ aE  F b  aF  Eb
a- b Pruebe que la diferencia simétrica es conmutativa
a. b Pruebe que E˜F œ E  F  aE  F b
a/b Usando diagrama de Venn y luego prescindiendo de ellos, halle E˜F,
E˜E y E˜F si E § F .
a)b ¿En qué caso E ‚ F es igual a F ‚ E?


a*b Sea E œ Ö#ß $×, F œ Ö!ß "× y G œ Ö"×. Halle y represente gráficamente los
siguentes conjuntos: E ‚ F , F ‚ aE  G bß aE ‚ F b  aE ‚ G b, E ‚ aF  G b,
a E ‚ G b  a E ‚ G b , E ‚ aF  G b .
a"!b ¿Qué es Ò!Ó ‚ ÖBß C×, donde B y C son números reales?
a""b Si E es un conjunto cualesquiera, ¿qué es E ‚ Ö × ?
Nota: Recuerde que Ö × œ F œ conjunto vacío.
a"#b a+b Represente gráficamente Ò  #ß $Ó ‚ Ò  %ß  "Ó
a,b Idee una representación de a  #ß $b ‚ Ò  $ß  "Ó


a- b ¿Cuál sería la gráfica de Ö#× ‚ a"ß  _b?
a. b Idem. de d ‚ Ö$×.
a"$b Represente gráficamente:
a+b Ð  _ß #Ó ‚ Ð"ß  _Ñ a. b Ð"ß $Ó ‚ Ò  #ß  _Ñ
a,b Ò#ß  _Ñ ‚ Ð"ß  _Ñ a/b Ð  _ß #Ó ‚ Ò  "ß $Ñ
a- b Ò  #ß $Ó ‚ d a0 b d ‚ a  "ß $b
a"%b Demuestre que
E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b
y que
E ‚ aF  G b œ aE ‚ F b  aE ‚ G b.

§5. RELACIONES Y FUNCIONES

Sean E y F dos conjuntos de un universo dado, y consideremos su
producto cartesiano E ‚ F . Todo subconjunto de E ‚ F es llamado una
relación de E en F . Puesto que F § E ‚ F entonces el vacío F es también

una relación de E en F , lo mismo puede decirse de E ‚ F que es una
relación de E en F .

EJEMPLO.E œ e+ß ,ß - fß F œ e"ß #ß $f
V" œ ea+ß "bß a+ß #bß a,ß #bß a,ß $bß a-ß "bf
V# œ ea+ß "bfß V$ œ ea+ß "bß a+ß #bß a+ß $bf
son relaciones de E en F .

5.1 DEFINICIÓN. Sea V una relación de E en F , el conjunto
HV œ e+ − EÎab, − F baa+ß , b − V bf
es llamado el dominio de la relación.
De otra manera el conjunto de todos los primeros elementos de las
parejas que forman a V es llamado dominio de la relación.

5.2 DEFINICIÓN. Sea A una relación de E en F . El conjunto F es llamado
codominio de la relación y el conjunto
V/-A œ e, − FÎab+ − Ebaa+ß , b − Abf
es llamado el recorrido de la relación. Es decir el recorrido es el conjunto
de todos los segundos elementos de las parejas ordenadas que forman la
relación.

EJEMPLO. En el ejemplo anterior se tiene
V/-V " œ e"ß #ß $f HV" œ e+ß ,ß - f
V/-V# œ e"f HV# œ e+f


V/-V$ œ e"ß #ß $f HV$ œ e+f.

5.3 DEFINICIÓN. Sea V una relación de E en F se dice que V es una relación
funcional aó gráfica funcionalb si
a3b El dominio de V es E
a33b La siguiente proposición es siempre verdadera
aaBbaaCbaaD baaBß C b − V • aBß D b − V Ê C œ D b.

EJEMPLOS a"b šaBß CbÎC œ È"  B# › § Ò  "ß "Ó ‚ d es una relación funcional

de Ò  "ß "Ó en d mientras que
K œ eaBß C bÎB#  C # œ "f
no lo es , ya que a!ß "b y a!ß  "b son elementos de K y no se cumple la
condición a33b de la definición.
a#b Sean œ e%ß &ß 'ß (f y ] œ e+ß ,ß -ß .ß /f 0 œ ea%ß +bß a&ß +bß a'ß +bß a(ß /bf es
una relación funcional, mientras que J œ ea%ß +bß a&ß ,bß a'ß . bf no lo es ya
que HJ Á .

5.4 NOTACIÓN. Cuando 0 es una relación funcional, aBß C b − 0 se
acostumbra escribir C œ 0 aBb. También, "0 es una función de en ] " se
escribe

0
0 À ⎯→ ] ó ⎯→ ]

La función 0 descrita en el ejemplo a#b se puede escribir entonces en la
forma

X Y
4 a
5 b
6 c
7 d
e
Así, la condición a3b dada al comienzo significa: de todo elemento de
sale una flecha y la condición a33b de ningún elemento de salen dos o
más flechas. Es de notar que a un elemento de ] pueden llegar varias
flechas o ninguna.

5.5 DEFINICIÓN. Sea un conjunto de un universo dado, se llama diagonal
de al conjunto


? œ eaBß BbÎB − f

EJEMPLO. Si œ e+ß ,ß - f entonces ? œ ea+ß +bß a,ß , bß a-ß - bf

5.6 DEFINICIÓN. Sean e ] conjuntos, sea K § ‚ ] una gráfica o

relación. Se llama gráfica inversa de K al conjunto

K" œ eaBß C bÎaCß Bb − Kf § ] ‚


5.7 DEFINICIÓN. Sean K" § ‚ ] y K# § ] ‚ ^ . se llama gráfica compuesta
 
por K" y K# y se nota K# ‰ K" al conjunto

eaBß D bÎabC − ] baaBß C b − K" • aCß D b − K# bf

nótese que K# ‰ K" § ‚ ^ .


EJEMPLO. a"b Sea œ e"ß #ß $fà ] œ e+ß , fà ^ œ e+ß ‡f consideremos
K" œ ea"ß +bß a#ß +bß a"ß ,bß a$ß ,bf
K# œ ea+ß ˆ bß a+ß ‡bf
K$ œ ea,ß ‡bf
entonces
K# ‰ K" œ ea"ß ˆ bß a"ß ‡bß a#ß ˆ bß a#ß ‡bf y K$ ‰ K" œ ea"ß ‡bß a$ß ‡bf
a#b Sean K" œ eaBß C bÎB − d • C œ B# fß K# œ eB − d • C œ sin Bf
entonces
K# ‰ K" œ eaBß C bÎB − d • C œ sin B# f.

Podemos ahora preguntarnos ¿si al componer dos gráficos funcionales
se obtiene un gráfico funcional?, la respuesta es si. Más exactamente
tenemos.

5.8 PROPOSICIÓN. Sean 0 À ⎯→ ] y 1 À ] ⎯→ ^ dos funciones entonces
1 ‰ 0 À ⎯→ ^ es una función

DEMOSTRACIÓN. a3b Como 0 es función se tiene la veracidad de la siguiente
proposición
aaB − babxC − ] baaBß C b − 0 b
y como 1 es también función para cada C − ] habrá un elemento D − ^ tal
que aCß D b − 1. Entonces ligando estas dos afirmaciones tenemos que
aaB − babD − ^ baaBß D b − 1 ‰ 0 b Ê § Ha1 ‰ 0 b §
 
entonces se tiene que
H a1 ‰ 0 b œ
a33b Tomemos aBß D b − 1 ‰ 0 • aBß D w b − 1 ‰ 0 entonces
cabC − ] baaBß C b − 0 • aCß D b − 1bd • cabC w − ] baaBß C w b − 0 • aC w ß D w b − 1bd


de la asociatividad de la conjunción se desprende que
caBß Cb − 0 • aBß C w b − 0 d • caCß D b − 1 • aC w ß D w b − 1d
Como 0 es una función cumple el axioma a33b por lo tanto
C œ C w • caCß D b − 1 • aC w ß D w b − 1d
ahora como 1 es funcional cumple también a33b de donde
D œ Dw
Así como 1 ‰ 0 cumple a3b y a33b de la definición de función se sigue que
1 ‰ 0 es una función de en ^ . En este caso es costumbre escribir
aBß D b − 1 ‰ 0 en la forma D œ a1 ‰ 0 baBbß óß D œ 1a0 aBbb.

5.9 EJERCICIOS

a"b Halle las gráficas inversas de
J œ ˜aBß CbÎB − d  Ö!× • C œ B ™ ; K œ eaBß C bÎB − d • C œ sin Bf
"

a#b Sean K" y K# gráficas de en ] demuestre que
a+b Si K" § K# entonces K" § K#
" "

a,b aK" b œ K"
 
" "

a$b ¿ Que relación encuentra entre dominio Kß recorrido de Kß dominio de
K" y recorrido de K" ?
a%b ¿La relación "B es profesor de C" es una función? ¿Lo sería la relación "B
es alumno de C" ?.
a&b Halle dominio y recorrido de la relación "B es hijo de C" . ¿ es una
función?. Reflexione antes de responder.
a'b Sean E œ Ö!ß &ß (ß %× y F œ Ö"ß #ß $× dos conjuntos. Defina cuatro
funciones de E en F y cuatro de F en E.
a(b Dadas las funciones
a+b 0 aBb œ B#
"
a,b 1aBb œ "  #B# a- b J aBb œ #B  $
a. b KaBb œ  É $B  $
#
a/b ,aBb œ É B#
B"

a0 b ?aD b œ D #  # a1b @aBb œ B#
#
B

3Ñ Calcule su valor en el número real ".
33Ñ Halle los números 0 a)bß 1a"Þ&bß ,ˆ " ‰ß J a!bß Ka  $bß ?a'bß ?a!bß ?a  &bß @a$bß y
@ a !b Þ
&

333Ñ Halle el dominio y el recorrido de cada una de ellas
a)b Consideremos las siguientes funciones:

a+b d ⎯→ d a,b d ⎯→ d a- b d ⎯→ d
J -$ 1

B È B#  & BÈ$ B È B$

a. b a/b d ⎯→ d a0 b d ⎯→ d
3. = P
d ⎯→ d
B È 3. aBb œ B BÈ B B È $B  #


+,=
a1b B È B si B !
d ⎯→ d

B È  B si B  !
es decir, +,=aBb œ B si B ! y si B  !, +,=aBb œ  B (Se llama valor
absoluto de B, en lugar de +,=aBb se acostumbre escribir lBl )
a3b Halle -$ a!bß -$ a  "bß -$ a"!bß 1a  "bß 3. a#bß 3. a  $bß Pa#bß Pa  &bß =a#bß =a!bß
+,=a  #bß +,=a#bß +,=a!bß l  "  l!llÞ
a33b Halle el recorrido de cada una de las funciones inmediatamente
anteriores.

§6. CLASES DE FUNCIONES

6.1 DEFINICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función. Si el recorrido de 0 es todo ] ,
entonces 0 se llama sobreyectiva o una epiyección o simplemente 0 es
una función de sobre ] .

Puede también decirse en forma equivalente, que 0 À ⎯→ ] es una
función sobre cuando la siguiente proposición es verdadera
aaC − ] babB − baC œ 0 aBbb

6.2 DEFINICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función. Se dice que 0 es una función
uno a uno ó una inyección si la siguiente proposición es verdadera
aaBbaaCba0 aBb œ 0 aC b Ê B œ C b

Esta proposición es claramente equivalente a
aaBbaaCbaB Á C Ê 0 aBb Á 0 aC bbÞ

EJEMPLO. a"b eaBß CbÎB − d • C œ B$ f es una función uno a uno de d sobre d
a#b 0 œ eaBß C bÎB − d • C œ #B f es una función uno a uno de d en d . No es
sobre, pues el recorrido de 0 no contiene al cero ni a los números
negativos. Se puede volver sobre tomando œ d e ] œ d œ números
reales positivos. Así
0 ⎯→ ]
B È #B
es uno a uno y sobre.

Una función que a la vez es una inyección y una epiyección se le llama
una biyección.


6.3 FUNCIÓN INVERSA

Sea 0 À ⎯→ ] una función. Sabemos que 0 " œ eaCß BbÎaBß C b − 0 f es una
gráfica inversa, nos preguntamos ¿en que caso 0 " es una función?
Veamos antes algunos ejemplos.

f :X Y
1 a
2 b
3 c
4 d
e
o sea 0 œ ea"ß +bß a#ß ,bß a$ß /bß a%ß . bf, la gráfica inversa es
0 œ ea+ß "bß a,ß #ba/ß $bß a.ß %bf. Analizando el dominio de 0 , vemos que
" "

H0 " Á ] . Luego 0 " no puede ser función ¿la causa? puesto que
Recorrido de 0 Á Dominio de 0 " ; tenemos que 0 no es sobre.
Consideremos otro caso dado por

g
X Y
α a
β b
γ c
δ
o sea 1 œ ea!ß +bß a" ß ,bß a# ß - bß a$ ß +bf entonces su gráfica inversa será

1" œ ea+ß !bß a,ß " bß a-ß # bß a+ß $ bf

puesto que ! Á $ y a+ß !b − 1" ß • ß a+ß $ b − 1" , se sigue que 1" no es
función ¿la causa? 1 no es uno a uno.

Estos ejemplos nos dicen que si 0 no es uno a uno ó 0 no es sobre
entonces 0 " no es una función. Es decir, si 0 " es función, entonces 0
debe ser uno a uno y sobre. Como 0 œ a0 " b es una función entonces
"

0 " es también uno a uno y sobre.

En este caso, para todo B − existe C − ] tal que aBß C b − 0 • aCß Bb − 0 "
de donde aBß Bb − 0 " ‰ 0 por lo tanto B œ a0 " ‰ 0 baBb œ ? aBb luego
0 " ‰ 0 œ ? œ .3+198+6 de .

Análogamente, para todo C − ] existe B − tal que aCß Bb − 0 " • aBß C b − 0
entonces aCß Cb − 0 ‰ 0 " entonces C œ a0 ‰ 0 " baC b œ ?] aC b luego
0 ‰ 0 " œ ?] œ .3+198+6 de ] Þ


En forma de diagonal

X Y X-1
Y X Y
-1 -1
x f(x) f (f(x))= x y f (y) f(f (y))= y
∆X ∆Y

6.4 DEFINICIÓN. Sean 0 À ⎯→ ] y 1 À ] ⎯→ funciones, se dice que 0 y
1 son funciones inversas si
1 ‰ 0 œ ? y 0 ‰ 1 œ ?]
Las ideas anteriores quedan resumidas en el siguiente teorema

6.5 TEOREMA. Sea 0 À ⎯→ ] una función, 0 tiene función inversa si y sólo
si 0 es uno a uno y sobre.

DEMOSTRACIÓN. a+b " Ê " Sea 0 una función y 1 su inversa
Si 0 aBb œ 0 aBw b entonces 1a0 aBbb œ 1a0 aBw bb
o sea a1 ‰ 0 baBb œ a1 ‰ 0 baBw b entonces ? aBb œ B œ Bw œ ? aBw b
Luego 0 es uno a uno
Ahora como 1 es función se tiene aaC − ] babB − ba1aC b œ Bb entonces
0 a1aCbb œ 0 aBb œ a0 ‰ 1baC b œ ?] aC b œ C
Luego aaC − ] babB − ba0 aBb œ C b así 0 es sobre.
a,b" É " Supongamos que 0 es uno a uno y sobre entonces
aaC − ] babB − ba0 aBb œ C b
pero éste B es único ya que 0 es uno a uno. Si llamamos
1 œ eaCß BbÎC œ 0 aBbf
1 es una función de ] en y evidentemente 1 œ 0 " ya que:
a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ 1aC b œ B œ ? aBb
a0 ‰ 1baCb œ 0 a1aC bb œ 0 aBb œ C œ ?] aC b.

6.6 ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

6.6.1 DEFINICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función, y E § , llamamos 0 aEb al

conjunto de las imágenes de los elementos de E
0 aEb œ e0 aBbÎB − Ef
Notacionalmente : − 0 aEb Í abB − Eba0 aBb œ :b.

6.6.2 PROPOSICIÓN. Sean 0 À ⎯→ ] una función, E § • F § . Las
 
siguientes proposiciones son verdaderas
a + b 0 a E  F b œ 0 aE b  0 aF b
a , b 0 a E  F b © 0 aE b  0 aF b

DEMOSTRACIÓN. Usando tipo de demostración directa tenemos:


a+b : − 0 aE  F b Í abB − E  F ba0 aBb œ :b Í abBbaB − E  F • 0 aBb œ :b Í
Í abBbaaB − E ” B − F b • 0 aBb œ :b Í abBbaaB − E • 0 aBb œ :b ” aB − F • 0 aBb œ :bb
Í a: − 0 aEb ” : − 0 aF bb Í : − 0 ÐEÑ  0 ÐFÑ
a,b : − 0 aE  F b Í abBbaB − E  F • 0 aBb œ :b
entonces
abBbaB − E • B − F • 0 aBb œ :b
entonces
abBbacB − E • 0 aBb œ :d • cB − F • 0 aBb œ :db
entonces
: − 0 aEb • : − 0 aF b
de donde
: − 0 aEb  0 aF b

La igualdad de a,b no se tiene en general como lo podemos apreciar en el
siguiente ejemplo

EJEMPLO. Sea œ eBß Cß Dß +ß ,ß -ß /ß 0 ß 1f, ] œ e!ß "ß #ß ?ß %f, E œ eBß Cß 1f,
F œ e+ß ,ß -ß 1f y consideremos la función dada por

f: X Y
x α
y
z β
a
b γ
c
e
f ∆
g
ε

tenemos 0 aEb œ e!ß " fß 0 aF b œ e?ß %ß !ß " f, 0 aEb  0 aF b œ Ö!ß " ×, E  F œ Ö1×
y 0 aE  F b œ Ö!×, de aquí tenemos
0 aE  F b œ Ö!× § Ö!ß " × œ 0 aEb  0 aF b

6.6.3 DEFINICIÓN: Sean 0 À ⎯→ ] y H © ] ; se llama imágen recíproca de
H por 0 al conjunto
0 " aHb œ ÖB − Î0 aBb − H×
En el lenguaje de la teoría de conjuntos tenemos
: − 0 " aHb Í 0 a:b − H

EJEMPLO. Sea la función


f:X Y
1 a
2 b
3 c
4 d
5
entonces 0 " aÖ,ß -ß .×b œ Ö"ß $ß %ß &×ß 0 " aÖ.×b œ Fß 0 " aÖ-×b œ Ö%ß &×. Es
evidente que 0 " a] b œ .

6.6.4 PROPOSICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función G © ] y H © ] entonces
0 " aG  Hb œ 0 " aG b  0 " aHb.

DEMOSTRACIÓN. Sea B − 0 " aG  Hb Í 0 aBb − G  H Í 0 aBb − G ” 0 aBb − H
ÍB−0 "
aG b ” B − 0 " aHb Í B − 0 " aG b  0 " aHb.

6.6.5 PROPOSICIÓN. Sea 0 À ⎯→ ] una función y sea E © . Entonces
tenemos
a+b 0 " a0 aEbb ª E
a,b Si 0 es uno a uno, 0 " a0 aEbb © E

DEMOSTRACIÓN. a+b Sea B − E entonces 0 aBb − 0 aEb usando la definición de
imágenes recíprocas se tiene B − 0 " a0 aEbb
a,b Sea B − 0 " a0 aEbb entonces 0 aBb − 0 aEb teniéndose que
a! b B Â E  a" b B − E
Veamos que a!b es falsa, en esta forma a" b es verdadera y quedará la
”

proposición demostrada.
Si B Â E, como C œ 0 aBb − 0 aEb deberá existir por definición de 0 aEbß un
elemento Bw − E tal que 0 aBw b œ C − 0 aEb entonces 0 aBb œ 0 aBw b y B Á Bw esto
implica que 0 no es uno a uno lo cual está contra la hipótesis de que 0 es
uno a uno

6.7 EJERCICIOS

a"b Hallar las funciones inversas de

a+b d ⎯→ d a,b d ⎯→ d a- b d ⎯→ d
B È B$
a#b Demuestre que si 0 es uno a uno entonces 0 aEb  0 aF b © 0 aE  F b con
B È #B B È B#

lo cual la parte a,b de 6.6.2 se tendría 0 aEb  0 aF b œ 0 aE  F b
a$b Demuestre que 0 " aG  Hb œ 0 " aG b  0 " aHb


a%b Sea 0 À ⎯→ ] y sea H © ] Þ Demuestre que
a+b 0 a0 " aHbb © H
a,b Si 0 es sobre 0 a0 " aHbb œ H
a&b Pruebe que una restricción de una función 0 À E⎯→ F se puede definir
simplemente como una función 1 À G ⎯→ H tal que 1 © 0 y H © F
Nota: significa que aBß C b − 1 Ê aBß C b − 0 es decir,
aB − H97a1ba1aBb œ 0 aBbb
1©0

a'b a+b Si E es un conjunto con diez elementos y F un único elemento,
halle todas las funciones de E en F .
a,b Halle todas las funciones de un conjunto E con tres elementos, en
otro con dos elementos.
a- b Halle todas las funciones de un conjunto E con cuatro elementos en
otro F con dos elementos.
a. b Podría hallar una fórmula para calcular el número de funciones de un
conjunto E con 8 elementos en otro F con 7 elementos. ¿ Podría
justificar dicha fórmula?
a(b Dada la función 0 aBb œ B#  #B  ) de d en d ,
a+b Halle su recorrido.
a,b Restrinja el codominio de 0 para obtener una función sobreyectiva.
a- b Sin variar el codominio de la función en a,b, halle una restricción
biyectiva que sea contínua.
a. b Halle gráfica y algebráicamente la función inversa de la restricción
hallada en a- bÞ
a)b Si 0 À E⎯→ F y 1 À G ⎯→ H son biyecciones, demuestre que la
función inversa de 1 ‰ 0 es 0 " ‰ 1" .
a*b Sean 0 À E⎯→ F biyectiva, 0 " su inversa y R un subconjunto de F.
Pruebe que la imagen recíproca 0 " es igual a la imagen directa de R por
medio de la función inversa 0 " .

§ 7. LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNA aOPERACIONESb

7.1 DEFINICIÓN: Sea I un conjunto. Una función X de I ‚ I en I
X À I ‚ I ⎯→ I
se llama una ley de composición interna definida en toda parte de I ó
una operación binaria definida en todo I .
En adelante, siempre que digamos ley de composición definida en I , se
entenderá definida en toda parte de I . Se acostumbra notar X aBß C b en la
forma BX C.

EJEMPLOS 1. Una ley de composición interna es la suma de números
naturales

a7ß 8b È  a7ß 8b œ 7  8
 : ‚  ⎯→ 


es decir,
 œ eaa7ß 8bß 7  8bÎ7 −  • 8 − f

2. La suma común y corriente de números reales

aBß Cb È aBß Cb œ B  C
 À d ‚ d ⎯→ d

es claramente una ley de composición interna en d.

Nótese que los ejemplos a"b y a#b son diferentes, aún cuando se notan las
funciones con el mismo signo.

3. Sea I œ e+ß ,f consideremos X œ eaa+ß +bß +bß aa+ß , bß , bß aa,ß +bß +bß aa,ß , bß +bf
se obtiene que X es una ley de composición interna en I ; también se
acostumbra escribir en la forma

+X + œ +ß +X , œ ,ß ,X + œ + y ,X , œ +

ó en un cuadrado de la forma

X + ,
+ + ,
, + +

Así si se quiere hallar BX C, deberá tomarse B sobre la primera columna de
la izquierda y C sobre la primera fila y el resultado está en el cruce de la
fila con la columna correspondiente.

4. Sea I el conjunto de todas las proposiciones. Decimos que dos
proposiciones son iguales, si son equivalentes, es decir : œ ; significa :
es verdadera si y sólo si ; es verdadera.

a:ß ; b È : • ;
Entonces • À I ‚ I ⎯→ I (la conjunción entre proposiciones)

es una ley de composición interna en I .

5. Sea I como en el ejemplo 4. la implicación de dos proposiciones

a:ß ; b È : Ê ;
Ê À I ‚ I ⎯→ I

es una ley de composición interna.

6. Sea un conjunto y denotemos con c ÐÑ al conjunto formado con
todos los subconjuntos de , también llamado partes de . La reunión es
una ley de composición interna definida en cÐÑ
 À c ÐÑ ‚ c ÐÑ⎯→ c ÐÑ
aEß F b È E  F


7. la exponenciación definida en los
aBß Cb È B‡C œ BC
‡ À d ‚ d ⎯→ d

números reales positivos es una ley de composición interna definida en
toda parte de d . Si en lugar de d se toma d , no se tendría definida una
ley de composición definida en toda parte de d ya que B # no es real
"

cuando B  !.

8. Sea un conjunto no vacío. Sea ¹ el conjunto de todas las funciones
de en (¹=e0 Î0 À ⎯→ f)

a0 ß 1 b È 0 ‰ 1
‰ À ¹ ‚ ¹ ⎯→ ¹

la composición usual entre funciones, es una ley de composición interna
en ¹.

7.1.2 EJERCICIOS

a"b Sea d el conjunto de los números reales

aBß Cb È B  C
 À d ‚ d ⎯→ d

la diferencia entre números reales, se pregunta ¿es  una ley de
composición interna definida en toda parte de d?

a#b Sea I un conjunto cualquiera y ! − I . ¿ Son

aBß Cb È B ¼ C œ B aBß C b È BX C œ !
¼ : I ‚ I ⎯→ I ß X À I ‚ I ⎯→ I

leyes de composición definidas en toda parte de I ?

a$b Consideremos
aBß Cb È B ƒ C
ƒ À d ‚ d ⎯→ d la división en d entonces ƒ

no es una ley de composición interna definida en toda parte de d ¿por
qué?

7.2 CLASES DE LEYES DE COMPOSICIÓN

a+b Una ley de composición X À I ‚ I ⎯→ I se llama asociativa si y sólo
si
aa+ − I baa, − I baa- − I baa+X , bX - œ +X a,X - bb
Se puede probar fácilmente que las leyes de composición dadas en los
ejemplos a"bß a#bß a$bß a%bß a'b y a)b anteriores son leyes asociativas. Así para
a)b, tenemos
aa0 ‰ 1b ‰ 2baBb œ a0 ‰ 1ba2aBbb œ 0 a1aBbbß
a0 ‰ a1 ‰ 2bbaBb œ 0 aa1 ‰ 2baBbb œ 0 a1a2 aBbbb
aB −
aB −
Como coinciden en todos los puntos de se tiene
a 0 ‰ 1 b ‰ œ 0 ‰ a1 ‰ 2 b
Las leyes de los ejemplos a&b y a(b no son asociativas, puesto que


c a : Ê ; b Ê < d Á c : Ê a; Ê < b d
puesto que si se toman proposiciones :ß ;ß < todas falsas entonces
a: Ê ; b Ê < resulta falsa pero : Ê a; Ê <b es verdadera.
Ahora en a(b se tiene
a#‡$b‡# œ a#$ b Á #ˆ$ ‰ œ #‡a$‡#b
# #

a,b Una ley de composición X se llama conmutativa si
ÐaB − IÑaaC − I baBX C œ CX Bb
Las operaciones binarias de los ejemplos a"bß a#bß a%b y a'b anteriores son
conmutativas, mientras que a$bß a&bß a(bß a)b no son conmutativas. Así en a$b
+X , œ , Á + œ ,X +, en a&b : Ê ; Á ; Ê : en muchos casos, en a(b #$ Á $# y
en a)b 0 ‰ 1 Á 1 ‰ 0 en general

a- b Una ley de composición binaria X en I se llama modulativa si existe
/ − I tal que
ÐaB − IÑa/X B œ BX / œ Bb
/ es llamado el módulo de X .

a"b • À d ‚ d ⎯→ d
aBß Cb È B•C
EJEMPLOS. el producto de números reales es

modulativo pues, ÐaB − dÑaB † " œ " † B œ Bb

a#b Si suponemos que cero es un número natural entonces la suma de
números naturales es modulativa pues; Ða8 − Ña!  8 œ 8  ! œ 8b

a$b Para la suma entre números reales el cero también es el módulo; en el
cunjunto ca b partes de el conjunto vacío es el módulo para la unión
de conjuntos pues, ÐaE − c ÐÑÑaE  F œ F  E œ Eb; en el conjunto ¹ de
todas las funciones definidas sobre un conjunto la aplicación idéntica
de , ó la diagonal de es el módulo para la composición de funciones
pues, Ða0 − ¹Ña0 ‰ ? œ ? ‰ 0 œ 0 b
Claramente los ejemplos a$bß a%b y a&b de la sección 7.1 no son modulativos
lo mismo que a(b ya que " Á " œ .

a. b Una operación X en I modulativa, se llama invertiva si
ÐaB − IÑÐbBw − IÑaBX Bw œ Bw X B œ /b
donde / es el módulo de I para X .

EJEMPLOS. a"b El ejemplo a"b del numeral 7.1 no es invertiva ya que no
existe un número natural Bw tal que &  Bw œ Bw  & œ !

a#b De la misma sección el ejemplo a#b es una ley invertiva; el ejemplo a'b
es de una ley modulativa pero no es invertiva puesto que


ÐaE − c ÐÑÑaE  F œ F  E œ Eb, pero dado E Á F no existe un conjunto
Ew tal que E  Ew œ Ew  E œ F ya que E  Ew ¨ E Á F.

a$b La ley de composición dada en el ejemplo 8 de la sección 7.1 no es
invertiva, pues si 0 À ⎯→ es una función que no es ni uno a uno ni
sobre, no existe 0 w tal que 0 ‰ 0 w œ 0 w ‰ 0 œ ? . Sin embargo en este
conjunto se habla con frecuencia de funciones invertibles a la derecha ó a
la izquierda. Ahora si se toma À como el conjunto de las funciones de
en que son uno a uno y sobre ó sea de las biyecciones entonces

a0 ß 1 b È 0 ‰ 1
‰ À À ‚ À ⎯→ À

es una ley de composición invertible.

7.3 EJERCICIOS.

a"b Sea W œ Ö:+<ß 37:+<× y definamos en W una adición así:
W ‚ W ⎯→ W
a:+<ß :+<b È :+<  :+< œ :+<
a:+<ß 37:+<b È :+<  37:+< œ 37:+<
a37:+<ß :+<b È 37:+<  :+< œ 37:+<
a37:+<, 37:+<b È 37:+<  37:+< œ :+<
¿Es una operación eta adición? ¿ en caso de serlo es modulativa e
invertiva?
a#b ¿Es la operación resta entre números reales modulativa e invertiva?.
a$b Busque dos ejemplos más de operaciones no conmutativas y dos de
operaciones modulativas no invertivas.
a%b a+b En un conjunto de dos elementos, defina una operación asociativa
y no conmutativa.
a,b ¿Conoce una operación asociativa y no conmutativa definida en un
conjunto infinito?.
a&b Definamos +  , œ a+  ,b  a+ † ,b siendo + y , números reales
cualesquiera; demostrar que
a+b  es una operación
a,b  es conmutativa
a- b  es asociativa
a. b ¿Bajo qué condiciones  es modulativa?
a/b ¿Es  invertiva?
Nota:  es llamada adiplicación.
a'b Pruebe que para una operación modulativa, el módulo es único
a(b Demuestre que si ‡ es invertiva en W , entonces para un elemento
cualquiera, su inverso es único.


§8. CONCEPTO DE GRUPO

8.1 DEFINICIÓN. Sea K un conjunto en el cual se ha definido una ley de
composición interna X . K se llama un grupo para X , ó la dupla ØKß X Ù se
llama un grupo, si X es una ley de composición que es asociativa,
modulativa e invertiva. Si además X es conmutativa, K se llama un grupo
abeliano o conmutativo.

EJEMPLOSa"b Ødß  Ù, es decir, los números reales con la suma son un
grupo abeliano.

a#b Ød  Ö!×ß •Ù es un grupo abeliano, pues los axiomas de d afirman que
Ða+ − d  Ö!×Ñaa, − d  Ö!×bÐa- − d  Ö!×Ñaa+ † , b † - œ + † a, † - bb
Ða+ − d  Ö!×Ña" † + œ + † " œ +b
Ða+ − d  Ö!×Ñab+w − d  Ö!×ba+ † +w œ +w † + œ "b
Ða+ − d  Ö!×ÑÐa, − d  Ö!×Ña+ † , œ , † +b

a$b Sea À œ e0 À ⎯→Î0 es uno a uno y sobref donde Á F,
consideremos

a0 ß 1 b È 0 ‰ 1
‰ À À ‚ À ⎯→ À

como ley de composición en À. Entonces ØÀß ‰ Ù es un grupo no
abeliano. Ya demostramos que la composición de funciones cualesquiera
es asociativa, luego en particular en este caso se tiene la asociatividad.
Como ? es uno a uno y sobre, ? − À, entonces se tiene que la
composición es modulativa y también es invertiva.

a%b Sea K œ ™Îa#b œ ™ÎT +</= œ ˜ ! ß " ™ y considere la tabla
• •
• •
+ ! "
• • •
! ! "
• • •
" " !
la cual define en ™/a#b una operación, asociativa, modulativa ( ! es el
•
módulo), invertiva ˆ !  ! œ ! • "  " œ ! ‰ y conmutativa, Luego Ø™/a#bß  Ù
• • • • • •
es un grupo abeliano.

a&b Consideremos el plano euclidiano y en él un punto fijo T à podemos
rotar alrededor de T el plano un ángulo :
 $'!!  :  $'!!
ó mejor
 #1  :  # 1
se mide en radianes. : es considerado positivo cuando se rota en el
sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj, y negativo en el
otro sentido. Una rotación del plano en un ángulo : lo denotaremos V: y


es en realidad una aplicación del plano en si mismo, más aún es una
función uno a uno del plano sobre si mismo. Sea
K œ eV: ÎV: es una rotación del planof
Definimos en K la operación

aV: ß V< b È V: ‰ V< œ V:<
‰ À K ‚ K ⎯→ K

Sabemos ya que ‰ es asociativa, además tomando V! como módulo la ley
es modulativa y como
V : ‰ V : œ V ! œ V  : ‰ V : aV:
se sigue que la ley es invertiva. Claramente es conmutativa, luego ØKß ‰ Ù
es un grupo abeliano.

a'b Sea # un plano euclidiano con un sistema de coordenadas
cartesianas. Sabemos que un punto T se determina dando sus
coordenadas aBß Cb. Identifiquemos entonces T con sus coordenadas
aBß Cb. Definimos una función
L> À #⎯→ #
así
L> aaBß C bb œ a>Bß >C b >Á!
Teniéndose que L> es uno a uno, ya que
L> aaBß Cbb œ L> aaB" ß C" bb Í a>Bß >C b œ a>B" ß >C" b Í >B œ >B" • >C œ >C"
como > Á ! podemos simplificar para obtener
B œ B" • C œ C" Í aBß C b œ aB" ß C" b
L> es sobre; puesto que dado aBß Cb − # entonces ˆ B ß C ‰ − # y se tiene que
L> ˆ B ß C ‰ œ aBß C b
> >

Sea ahora L œ šL> À #⎯→ #‚> − d  Ö!×› y definimos en L la siguiente
> >

ley de composición

aL> ß L= b È L> ‰ L= œ L>=
‰ À L ‚ L ⎯→ L

entonces resulta que ‰ es asociativa y conmutativa en L , como se
prueba fácilmente. Además L" es el módulo y
L> ‰ L " œ L" aL>
>

luego la ley es invertiva. Así ØLß ‰ Ù es un grupo abeliano llamado de las
homotecias del plano.

a(b Sea # un plano euclidiano, si aBß Cb − # y +ß , − d definimos la
aplicación X+ß, :#⎯→ # como sigue:
X+ß, aaBß Cbb œ a+  Bß ,  C b
Es fácil ver que X+ß, es uno a uno y sobre. Considérese
Ã œ šX+ß, :#⎯→ #‚+ß , − d ›
al conjunto de todas las posibles X+ß, , y definamos en Ã la siguiente ley
de composición


‰ :Ã ‚ Ã ⎯→ Ã
aX+ß, ß X-ß. b È X+ß, ‰ X-ß. œ X+-ß,.
la cual resulta asociativa y conmutativa en Ã como fácilmente se puede
verificar, X!ß! es el módulo, además como
a
X+ß, ‰ X+ß, œ X!ß! X+ß,
entonces la ley es también inversible, así ØÃ, ‰ Ù es un grupo abeliano
llamado el grupo de las translaciones.

8.2 EJERCICIOS

a"b. Demuestre que L= ‰ L> œ L=> , donde L> se define como en el ejemplo
a'b de la anterior sección.
a#b Dé una interpretación geométrica a los efectos producidos en el plano
por las homotecias y las translaciones.
a$b En el conjunto cociente ™/a5 b œ ˜!ß "ß #ß á ß 5  "™ definimos una
relación muy especial dada por
™Îa5 b ‚ ™Îa5 b ⎯→ ™/a5 b
ˆ+ß ,‰ È +  ,
Demuestre que esta relación es una ley de composición en ™/a5 b y que
esta operación hace de ™/a5 b un grupo conmutativo.
NOTA. Este ejercicio es una generalización del ejemplo a%b de la sección
anterior, donde se ha definido una operación análoga en el conjunto
cociente ™/a#b.
a%b Pruebe que el conjunto I es el módulo de la operación "  " definida
en T aI b œ ÖR ÎR © I× pero que ningún subconjunto propio de I tiene
inverso para ella. ¿Es "  " cancelativa?.
a&b Demuestre que ØT aI bß  Ù no es grupo. ¿Es la unión cancelativa?
a'b Defina una nueva operación entre subconjuntos de I llamada la
diferencia simétrica:
E?F œ ÖB − IÎB − E  B − F×.
Teniéndose en cuenta la tabla de verdad del "o" exclusivo a§1b y la
”

tautología a:  ; b  < Í :  a;  <b (verifíquelo primero), pruebe que:
a+b aE?F b?G œ E?aF ?G b
” ” ” ”

a)b E?F œ aE  F b  aF  Eb
a- b La diferencia simétrica es modulativa, dando el módulo
explícitamente.
a. b "?" es invertiva en T aI bÞ
a/b ØT aI bß ?Ù es un grupo conmutativo.
a0 b La intersección es distributiva con respecto a la diferencia simétrica.
a*b ¿ La operación + — , œ + † ,  + entre números reales es asociativa?


§9. LOS NÚMEROS REALES

9.1 En épocas pasadas bastaban al hombre, para sus necesidades
referentes a conteos y mediciones, los llamados números naturales
"ß #ß á . En cambio hoy en día no es demasiado exigir que un estudiante
de secundaria esté acostumbrado a manejar números como,
È &
È
!ß "ß  #ß "$ß  $ ß  $"ß %#ß  %$")!# ß #ß 1ß Š $‹ ß /ß á />- ,
"(
%
los cuales manejan en calculadoras y computadores, y que son llamados
"números reales", aunque, por otra parte, no se sepa qué son en última
instancia; es decir, que nunca se haya o lo hayan enfrentado con la
pregunta ¿qué es un número real? . En lo que sigue se usarán sin
comentario previo, algunos de los hechos más elementales relativos a
estos números; entre ellos su representación geométrica por medio de
los puntos de una recta

a cada punto de dicha recta ("recta real", ó, "recta numérica") le
corresponde un número, y sólo uno, y a cada número un punto, y sólo
uno, de la recta. En todo caso, y con el objeto de representar los
conceptos, se enunciaran a continuación las propiedades características
de lo números reales, los cuales se llamarán en adelante, salvo que se
advierta lo contrario, simplemente números.
El filósofo griego Pitágoras (hacia el 600 a.C.) sabía ya que la razón < œ .
entre la longitud de la diagonal de un cuadrado a. b y la longitud 6 de su
6

lado, satisface la igualdad
. # œ a<6b# œ 6#  6# a"b
Así pues, razonaba él: existe un "número" < tal que <# œ "  " œ #Þ . Pero
por otra parte, Pitágoras reconoció que < no podía representarse como un
cociente < œ + de enteros. En efecto, tomando + y , primos entre si
ˆ + ‰# œ # Ê +# œ #,#
,

,
Más aún, descomponiendo + en factores primos, resulta que +# es
divisible por # un número par de veces aes decir, + œ #5 b y por lo análogo
# dividirá a #,# un número impar de veces (es decir, #,# œ a#5 b# o sea
%5 # œ #,# Í #5 # œ ,# de donde , œ #7 ) y + no sería primo relativo con ,.
Luego +# œ #,# es imposible para + y , enteros. Unicamente podemos
solucionar este "dilema de Pitágoras" introduciendo los números
irracionales: números que no son cociente de enteros.
Razonamientos análogos demuestran que la razón È$ entre la longitud
de la diagonal de un cubo G y la longitud de su arista.


q

2 =
Estos resultados son casos particulares del siguiente teorema mucho más
general:

9.2 TEOREMA. Sea :aBb œ B8  +" B8"  â  +8 un polinomio con su primer
coeficiente igual a " y los demás +" ß +# ß á ß +8 enteros. Si la ecuación
:aBb œ ! tiene raices racionales, éstas son números enteros.

DEMOSTRACIÓN. Supongamos que :aBb œ ! para alguna fracción B œ + . ,
Dividiendo + y , por su 7Þ-Þ. (máximo común divisor) puede expresarse B
como cociente B œ 6< de dos enteros <ß 6 primos entre sí. Sustituyendo este
valor en :aBb y quitando denominadores
! œ 68 :ˆ < ‰ œ <8  +" <8" 6  +# <8# 6#  â  +8 68
6
luego
<8 œ  +" <8" 6  â  +8 68
de donde 6 divide a <8 . Esto exige que cualquier factor primo de 6 divide a
<8 y por lo tanto a <. Pero < y 6 no tienen divisores comunes, y por lo
tanto 6 œ „ ", y la fracción dada B œ „" œ „ < es un número entero, lo
<

cual queríamos demostrar.

Para probar la irracionalidad de È#), por ejemplo fundándonos en el
teorema 9.2, procedemos como sigue: Si lBl ', entonces B#  #)  ! , y,
si lBl Ÿ &, entonces B#  #)  !; luego ningún entero puede ser solución de
B#  #) œ !, y por el teorema 9.2 la solución de B# œ #), que es È#) no
puede ser racional.
Otros números irracionales son 1ß / y muchos otros.
Es de notar que la mayoria de los números reales son irracionales e
incluso, a diferencia de È#, no pueden satisfacer ninguna ecuación
algebráica. Este resultado que hemos ampliado, nos indica ya que para
contestar a la pregunta ¿qué es un número real? necesitamos utilizar
ideas enteramente nuevas.
La naturaleza de estas ideas y la relación entre los números reales y los
racionales serán examinadas parcialmente en los parágrafos que siguen.


9.3 MÉTODO GEOMÉTRICO Y EXPANSIÓN DECIMAL

Los griegos de la época clásica usaron un método geométrico de
aproximación para el cálculo de los números reales. Para ellos, un
número era simplemente una razón a+ À ,b entre dos segmentos
rectilíneos + y ,. En consecuencia, dieron construcciones geométricas
para establecer la igualdad entre razones, así como para la adición,
sustración, multiplicación y división de razones. De este modo las leyes
del álgebra aparecen como teoremas geométricos.
La versión griega de la noción de igualdad entre números racionales y
reales se basaba en una condición debida a Eudoxio, que especificaba
cuándo eran iguales dos razones. Esta condición se hacía depender de las
posibilidades de formar geométricamente los múltiplos enteros 7 † + de
un segmento dado + y comparar geométricamente las longitudes de los
dos segmentos. Se estipulaba que a+ À ,b œ a- À . b cuando, para todo par
de enteros positivos 7 y 8
si 7+  8,ß también 7-  8. , si 7+  8,ß también 7-  8. a#b
Algebraícamente, 7+  8, significa que +  7 suponiendo siempre que ,
8

y 7 sean positivos. Entonces a#b puede leerse así:
,

, œ . , cuando cualquier número racional 7 que sea mayor que , es
+ - 8 +

también mayor que . . -

La validez de la condición a#b de Eudoxio expresa, evidentemente, la
circunstancia de que dos números reales positivos a+ À ,b y a- À . b son
diferentes si y sólo si existe algún número racional mayor que uno de
ellos y menor que el otro. También su condición para a+ À ,b  a- À . b tiene
el mismo fundamento y es el siguiente:
<+  6, y <-  6. , para enteros convenientes < y 6 a$b
El estudio geométrico de los números reales es ya desacostumbrado. En
la actualidad se les estudia aritméticamente, mediante aproximaciones
racionales, en expanción decimal (un decimal es, como se sabe, un
número racional cuyo denominador es potencia de diez (10)). Por
ejemplo, el irracional È# se reemplaza en la práctica por las
aproximaciones sucesivas
"ß "Þ%ß "Þ%"ß "Þ%"%ß "Þ%"%#ß á a%b
El número 1 es aproximado análogamente, por los decimales
." œ $Þ"ß .# œ $Þ"%ß .$ œ $Þ"%"ß .% œ $Þ"%"&ß .& œ $Þ"%"&*ß á a&b
y así sucesivamente.

9.4 PROPIEDADES ALGEBRAICAS

Para cada par aBß Cb de números está definido un número ay uno sólob
designado B  C, que es la suma de B con C, y un número (y uno sólo)


designado por BC que es su producto. La operación que al par aBß C b le
hace corresponder en número B  C arepectivamente BC b se llama adición
(respectivamente multiplicación) y se tienen los siguientes axiomas
A.1 La adición y la multiplicación son asociativas, es decir para
cualesquiera números Bß Cß Dß se cumple
B  a C  D b œ aB  C b  D
BaCD b œ aBCbD
A.2 Los números ! y " a! Á "b son módulos para la adición y la
multiplicación respectivamente, en el sentido siguente
B  ! œ !  B œ Bß a B − d
B † " œ " † B œ Bß aB−d
A.3 Dado un número B, existe un número Bw , y uno sólo, tal que
B  Bw œ Bw  B œ !. Éste Bw se llama el opuesto de B y se designa por  B.
Análogamente dado B un número tal que B Á !, existe un número Bww , y
uno sólo, tal que BBww œ Bww B œ ". Este Bww es el inverso de B y se le denota
por B" .
A.4 La adición y la multiplicación son conmutativas, es decir
B  C œ C  Bß BC œ CB
para todo número B y todo número C.
A.5 La adición es distributiva con respecto a la multiplicación, esto es,
BaC  D b œ BC  BD
cualesquiera que sean los números Bß Cß D
A.6 El número " es diferente al número !.
A.7 Si + œ , y - œ . entonces +  - œ ,  .ß +- œ ,. .

9.4.1 TEOREMA. + † ! œ ! para todo número +

PRUEBA. " œ "  !ß entonces + † " œ +a"  !b de A.2 y A.5
+ œ + † "  + † ! Í + œ +  + † ! aplicando A.7
a  +b  + œ a  +b  a+  + † !b de A.3 y A.1 tenemos
! œ Òa  +b  +Ó  + † ! de A.3
!œ!+†! de A.2 se tiene finalmente
!œ+†!

9.4.2 TEOREMA. Si +, œ !, entonces + œ ! ß óß , œ !.

PRUEBA. Supongamos que + Á !, entonces existe +" por lo tanto
+" a+,b œ +" † ! œ !
pero
+" a+,b œ a+" +b, œ " † , œ ,
por lo tanto
,œ!


9.4.3 TEOREMA. El ! no tiene inverso. Esto es, no hay un número real B tal
que ! † B œ ".

PRUEBA.Conocemos por 9.4.1 que ! † B œ ! . Si tenemos ! † B œ " para algún
B, tendríamos que ! œ ", y , ! Á " por el axioma A.6, esto es una
contradicción.

9.4.4 TEOREMA. (Ley cancelativa de la adición) Si +  , œ +  - entonces
, œ -.

PRUEBA. Si +  , œ +  - , entonces a  +b  a+  , b œ a  +b  a+  - b, usando
el axioma A.1 tenemos ca  +b  +d  , œ ca  +b  +d  - pero de A.3 se
recibe !  , œ !  - finalmente de A.2 se tiene , œ - .

9.4.5 TEOREMA. (Ley cancelativa de la multiplicación) Si +, œ +- y + Á !
entonces , œ -

PRUEBA. Si +, œ +- y + Á !, entonces + tiene inverso +" . Por lo tanto de A.7
se tiene
+" a+,b œ +" a+- b
por A.1 tenemos
a+" +b, œ a+" +b-
usando A.3
"†, œ"†-
por A.2 se llega a
, œ -.

9.4.6 TEOREMA. Para cualquier número + se tiene  a  +b œ +.

PRUEBA. Por definición del opuesto, el número  a  +b es un número B tal
que
a  +b  B œ B  a  + b œ !
Para + por el axioma A.3 se tiene que
a  +b  + œ +  a  + b œ !
luego el número  Þ+ tiene dos opuestos aditivos a saber B y +, pero el
axioma A.3 garantiza que
+ œ B œ  a  + b.
Para mayor seguridad se puede demostrar la unicidad del opuesto


LEMA. El opuesto aditivo es único.
En efecto, sea + un número por el axioma A.3 existe +w tal que
+  + w œ + w  + œ !. Supongamos que hay otro +ww tal que
+  + œ +  + œ !ß resulta entonces que
ww ww

+w œ !  +w œ a+ww  +b  +w œ +ww  a+  +w b œ +ww  ! œ +ww Þ

9.4.7 TEOREMA. Para cualesquiera números + y , se tiene que
a  +b, œ  a+,b.

PRUEBA. Basta probar que
a  +b,  +, œ +,  a+b, œ !
puesto que en esta forma se tiene que a  +b, es el opuesto aditivo de +,
y según el lema anterior a  +b, œ  a+,b.
Ahora por el axioma A.5 tenemos
a  +b,  +, œ Òa  +b  +Ó,
por el axioma A.3 se tiene
a  +b,  +, œ ! † , œ !.

9.4.8 TEOREMA. a  +ba  ,b œ +, cualesquiera sean los números + y ,.

PRUEBA. a  +ba  ,b œ  Ò+a  ,bÓ ¿porqué? _________
œ  Òa  ,b+Ó ¿porqué? _________
œ  Ò  a+,bÓ ¿porqué? _________
œ ,+ œ +, ¿porqué? _________.

9.4.9 TEOREMA. Si + y , son números diferentes de cero cualesquiera,
entonces a+,b" œ +" ," .

PRUEBA. Debemos mostrar que
a+,ba+" ," b œ "
ahora
a+,ba+" ," b œ +c,a+" ," bd œ +c, a, " +" bd
œ +ca,," b+" d œ +c" † +" d œ ++" œ "
como el inverso multiplicativo de a+,b es a+,b" y por la unicidad del
inverso se tiene la igualdad.
Para mayor claridad mostemos que el inverso multiplicativo también es
único; sabemos que para + Á ! existe +w tal que ++w œ +w + œ "ß
supongamos ahora que existe otro número +ww tal que ++ww œ +ww + œ "
tenemos entonces
+ww œ " † +ww œ a+w +b+ww œ +w a++ww b œ +w † " œ +w .


9.4.10 TEOREMA. Para cualesquiera números + y , se tiene
 a+  , b œ a  + b  a  , b

PRUEBA. Nos basta con probar que
a+  , b  c a  + b  a  , bd œ !
En efecto; a+  ,b  ca  +b  a  ,bd œ +  a,  ca  +b  a  , bdb
œ +  a,  ca  ,b  a  +bdb œ +  ac,  a  , bd  a  +bb
œ +  a!  a  +bb œ +  a  +b œ !.

9.4.11 EJERCICIOS.

Pruebe cada una de las siguientes igualdades aclarando los axiomas y
resultado usados
a"b ,a  +b œ  a+,b
a#b a  +ba  ,b œ ,+
a$b +a,  - b œ +,  +-
a%b  ! œ !
a&b +  ! œ +
a'b ,  + œ ,  a  +b
a(b ˆ + ‰ œ ˆ . ‰ Í +. œ ,-
-

a)b ˆ + ‰ „ ˆ . ‰ œ a+.„,-b
,
-

a*b ˆ + ‰  ˆ + ‰ œ !
, ,.

a"!b ˆ + ‰ˆ . ‰ œ ,.
, ,
- +-

a""b ˆ + ‰ Á ! Ê ˆ + ‰ˆ + ‰ œ "
,
,

a"#b a  ,b" œ  a," b
, ,

a"$b Analice todas las demostraciones de los teoremas 9.4.1 a 9.4.10 y
concluya que tipo de demostración fue utilizada.

9.5 PROPIEDADES DE ORDEN

Existe en los números una relación  (es mayor que ) que establece un
orden entre los números y que está regida por los siguientes axiomas
llamados de orden
O.1 Dados dos números reales B, C cualesquiera, se cumple una y una
sola de las tres alternativas siguientes:
B  Cß B œ Cß CB
O.2 Si B  C, y a su vez C  D , entonces B  D .
OA.1 Si B  C entonces B  D  C  D , para todo número D .
OA.2 Si B  ! ß y , C  !, entonces BC  !.

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