Sr sp-latn fizika--_poglavlje3

 Iskustvo pokazuje da nijedni tijelo ne može promjeniti stanje kretanja ili
mirovanja bez utjecaja drugih tijela. Na primjer, kola koja miruju, točkovi
vodenice ili lokomotive neće se nikada sami pokrenuti. Ako su kola
promjenila svoje mjesto - onda ih je pomjerio čovjek ili konj, voda okreće
točkove vodenice, a vodena para točkove lokomotive. Dakle, promjena
stanja kretanja nekog tijela uzrokovanja je interakcijom sa drugim
tijelima.
 Ako se o uže objesi jedno tijelo, uže se zateže. Objesi li se još jedno tijelo,
zatezanje užeta postaje veće. Prema tome, interakcija dva tijela može biti
različita po svojoj jačini. Otuda i mogučnost da se ta interakcija prikazuje i
mjeri nekom fizičkom veličinom.
 Fizička veličina koja služi kao mjera za interakciju, odnosno za
uzajamno dejstvo tijela naziva se sila.
 Egzaktno, prema Njutnu, sila je uzrok promjene kretanja tijela bilo po
veličini ili po smjeru.

 Jedno tijelo može djelovati na drugo tijelo na razne načine. Ta dva tijela
mogu biti u međusobnom dodiru ili povezana.
 Na primjer, jedno tijelo može vući ili guratu drugo tijelo neposrednim
dodirom. Osim toga, tijelo može izazvati promjenu kretanja drugog tijela i
bez neposrednog dodira.
 Na primjer, gravitaciono privlačenje tijela, privlačenje ili odbijanje
naelektrisanih tijela, promjena brzine tijela u magnetnom polju drugog tijela,
itd., sve su to uzajamna dejstva jednih tijela na druga posredstvom tzv:
fizičkih polja.
 I za takve interakcije dva ili više tijela uzima se kao mjera fizička veličina
koja se naziva sila.
 Prema tome sila u fizici ima mnogo širi smisao od pojma sile u
svakodnevnom iskustvu, koji je obično povezan sa naprezanjem čovječijih ili
životinjskih mišića.
 Sila nije pristupačna direktnom posmatranju niti direktnom mjerenju. Sile
možemo prepoznati samo po njihovom djelovanju.

 Priroda sile kao fizičke veličine odmah se uočava na ma kojem primjeru
uzajamnog dejstva dva tijela
 Ako, naime, jedno tijelo djeluje na drugo tijelo tako da ga privlači ka sebi,
onda je očigledno da je sila kao mjera tog privlačenja okarakterisana
najprije: intenzitetom ili jačinom.
 Zatim ga karakteriše: pravac u kome se interakcija vrši i najzad smjer u
kojem se interakcija javlja. Jasno je da su ovo karakteristike vektorskih
veličina.
 Prema tome, sila je vektorska veličina.
 Sama riječ vektor vodi projeklo od latinske riječi veko, vehere = vući, što je
povezano sa uzajamnim dejstvom tijela, odnosno sa silom. Silu ćemo
obično označavati sa .
 Uobičajeno je da se u fizici govori o dejstvu sile, iako ustvari jedno tijelo
djeluje na drugo ili polje na tijelo
F
ur

 Rekli smo da se pod dejstvom sile mjenja brzina tijela, odnosno nastaje
ubrzanje. Međutim, sila može djelovati na tijelo, a da se ono ne pomjera u
cjelini, ali se može deformisati pod uticajem sile itd. Na primjer, ako spužvu
pritisnemo, ona se deformiše. Sve ove razne slučajeve tretiraju razne oblasti
fizike ponaosob.
 Na osonovu do sada izloženog možemo reći:
Sila je uzrok promjeni stanja kretanja tijela ili njegovoj
deformaciji.
 Kao mjera za silu može se uzeti veličina deformacije koju sila prouzrokuje
na nekom tijelu (na primjer: izduženje opruge). Takav način mjerenja sile
zove se statičko mjerenje sile.
 Kao mjera za silu mogli bi uzeti za koliko se promjeni brzina neke određene
mase kad na nju djeluje sila. Mjerenje sile pomoću ubrzanja kojeg ta sila
daje tijelu određene mase zove se dinamičko mjerenje sile.
 Dio mehanike, koji proučava kretanje tijela u vezi sa uzrocima, tj. silama
koje uslovljavaju ovakav ili onakav karakter kretanja, zove se dinamika
(grčki: dinamis = sila). Pitanje odnosa sile i kretanja zapravo je centralno
pitanje dinamike.

 Osnovu takozvane klasične ili njutnovske mehanike čine tri prirodna zakona
dinamike, koje je prvi jasno uočio Isak Njutn (Isac Newton, 1643 - 1727) i
formulisao 1687. godine u djelu „Philosophiae naturalis principia
mathematica“ ili u prijevodu „Matematički principi prirodne nauke“.
 To naravno ne znači da je mehanika počela sa Njutnom. Njemu je na tom
polju prethodilo mnogo ljudi, među kojima je svakako najistaknutiji bio
Galileo Galilej.
 Njutnovi zakoni nastali su kao rezultat uopštavanja velikog mnoštva
eksperimentalnih činjenica. Galilej je proučavanjem ubrzanog kretanja
postavio temelje Njtnovoj formulaciji tri zakona.
 Njutnovska mehanika u toku dva stoljeća postigla je takve ogromne uspjehe
da se smatralo da objasniti bilo kakvu fizičku pojavu znači svesti je na
mehanički proces koji se potčinjava Njutnovim zakonima.
 Međutim, sa razvojem nauke otkrivene su nove činjenice koje se nisu mogle
ukolpiti u okvire klasične mehanike.

 Otkriće teorije relativnosti (Ajnštajn, 1905.) dovelo je do izgradnje
„mehanike velikih brzina“ ili relativističke mehanike. Nova mehanika ipak
nije dovela do negiranja stare klasične mehanike. Jednačine relativističke
mehanike u graničnoj vrijednosti (za brzine, koju su male u poređenju sa
brzinom svjetlosti) prelaze u jednačine klasične mehanike. Prema time,
klasična mehanika ušla je u relativističku mehaniku kao njen poseban
slučaj.
 Dvadesetih godina našeg vijeka nastala je kvantna mehanika kao rezultat
razvitka fizike atoma. Jednačine kvantne mehanike takođe daju u graničnoj
vrijednosti (za mase velike u poređenju sa masom atoma) jednačine
klasične mehanike. To znači da je klasična mehanika ušla u kvantnu
mehaniku u svojstvu njenog graničnog slučaja.
 Prema tome, razvoj nauke nije opovrgao klasičnu mehaniku, već je samo
pokazao njenu ograničenu primjenljivost. Klasična mehanika, koja se
zasniva na Njutnovim zakonima, ostaje mehanika tijela velikih masa (u
poređenju sa masom atoma), koja se kreću malim brzinama (u poređenju
sa brzinom svjetlosti).

 Iskustvo pokazuje da se ni jedno tijelo, koje je u relativnom miru, samo od
sebe neće pokrenuti nego tek pod dejstvom kakvog drugog tijela, tj. sile.
 Na primjer, da bismo pokrenuli vagon koji se nalazi u miru na kolosjeku
moramo na njega djelovati silom naših mišića. Pri tome najveće naprezanje
moramo upotrijebiti baš u trenutku kada započinje njegovo kretanje.
Međutim, kada je vagon u kretanju, onda ga možemo dalje kretati sa
manjim naprezanjem, dok je potrebno veliko naprezanje da se vagon
zaustavi.
 Ovu osobinu svih tijela, koja se ispoljava kao težnja da održavaju svoju
brzinu nepomjenljivom, uočio je Galilej (1609. godine) i nazvao ju je
postojanošću ili inercijom (latinski: inertia = lijenost). Pri ovome se
pretpostavlja održavanje kako veličine tako i pravca brzine.

 Inercija se jasno ispoljava baš onda kada spoljašnji uzroci mijenjaju brzinu
tijela. To potvrđuju mnogi primjeri iz iskustva.
 Kada stojimo u kolima, pa kola naglo krenu naprijed, gornji dio tijela
trgne se unazad; ako se kola naglo zaustave, tijelo nam poleti naprijed.
U prvom slučaju naše tijelo je težilo da ostane u miru, a u drugom
nastojalo da se kreće.
 Poslije pokretanja tijela njegova inercija se ispoljava u težnji da zadrži
već dobivenu brzinu. Na primjer, onaj koji iskače iz vagona (tramvaja)
trči u pravcu kretanja vagona (tramvaja). Automobil ili voz produžuju
svoje kretanje i poslije zaustavljanja rada mašine.
 Usljed inercije tijelo teži da zadrži i pravac svoje brzine. Na primjer, ako
se vozimo u kolima koja naglo skreću, mi padamo u suprotnu stranu.
Isto tako biciklistima je teško skrenuti na okukama ako se kreću velikom
brzinom.

 Do Galileja i Njutna u nauci je vladalo Aristotelovo učenje o ravnomjernom
kretanju tijela. Smatralo se da se tijelo kreće samo dotle dok na njega
djeluje neko drugo tijelo, odnosno sila.
 Galilej je međutim otkrio da se jednoliko pravolinijsko kretanje vrši bez
uticaja sile. To je bila velika novost u nauci, te ni mnogi Galilejevi
savremenici nisu u prvi mah razumjeli pojam inercije. njutn je ovoj činjenici
dao definitivnu naučnu formulaciju i ovu osobinu tijela prihvatio kao
aksiom i formulisao ga ovako:
Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog
pravolinijskog kretanja sve dok dejstvom spoljnih sila nije
prinuđeno da svoje stanje promjeni.
 Drugim riječima, tijelo održava stečenu brzinu kada prestanu djelovati sile ili
kada na njega ne djeluju sile.
 Matematički izraz prvog Njutnovog zakona, odnosno zakona inercije, je
vrlo jednostavan: ., 0v const ili a= =
r r

 Gornji uslov je moguć samo kada na tijelo ne djeluje nikakva spoljašnja
sila, tj.
 Proizvod mase i brzine tijela naziva se količina kretanja i označava se sa
 Uvođenjem ovog pojma, zakon inercije se može matematički formulisati i u
slijedećem obliku:
 Dakle, u odsustvu dejstva sila na tijelo količina kretanja tog tijela ostaje
konstantna.
 U specijalnom sličaju može biti: = 0, odnosno: , a to je slučaj
mirovanja.
 Tvrdnja sadržanja u prvom zakonu nije nipošto očigledna. Naime,
pokrenuto tijelo trebalo bi produžiti kretanje istom brzinom i istim pravcem.
Ovu tvrdnju, pod okolnostima na Zemlji, nemoguće je dokazati jer se
potrebni uslovi ne mogu ostvariti. Nemoguće je istovremeno otkloniti sva
spoljnja djelovanja: Zemljinu težu, trenje, otpor sredine, koja sprečavaju
kretanje.
0F =
ur
, ( ).k k m v= ×
r r r
m v const× =
r
v
r
0m v× =
r

 Važno je istaći da se u odsustvu sila stečena brzina održava kao vektorska
veličina.
 Ako se tijelo kreće po ma kakvoj krivoj liniji, a to znači da se kreće ubrzano,
pa u nekom momentu prestane dejstvo sile, onda tijelo zadrži stečenu
trenutnu brzinu. Tijelo se više neće kretati po krivoj liniji nego po pravoj, koja
je tangenta na putanju u onoj tački koja prikazuje položaj tijela u momentu
prestanka dejstva sile (blato sa točkovima automobila).
 Sve je ovo precizno obuhvaćeno opštom formulacijom prvog Njutnovog
zakona kretanja.
 Iz iskustva poznata jednolika pravolonijska kretanja nisu kretanja po
inerciji, već kretanja u uslovima u kojima se više dejstava na tijelo
međusobno poništavaju.
 Na primjer, na vozilo djeluje sila vuče, a opet se ono kreće jednoliko. U ovom
slučaju osim vučne sile djeluje i sila trenja (i otpot vazduha) koja se
uravnotežuje sa vučnom silom. Na ovoj činjenici zasniva se i Aristotelovo
mišljenje da je za jednoliko kretanje potrebna sila.

 Zbog inercije ne može se ni brzina jednog tijela momentalno prenijeti na
drugo tijelo, već je zato potrebno neko kratko vrijeme.
 Npr. Metak iz puške probija prozorsko okno samo na onom mjestu na kome
neposredno udari, jer taj dio prsne prije nego što se brzina metka prenese
na ostale dijelove stakla.
 Ako čašu poklopimo komadom kartona na koji smo stavili metalni novčić, pa
karton naglo povučemo u horizontalnom pravcu, novčić će pasti u čašu; ako
karton lagano vučemo novčić će ostati na njemu. Zašto?

 Ako za konac A, koji je pričvršćen za stativ S (sl. 3. 2). objesimo teg G na
kome je privezan drugi konac B iste dužine i jačine, pa lagano vučemo donji
konac, onda će se prekinuti gornji konac, jer se pored zatezanja tega vrši
zatezanje i naše ruke. Ako naglo povučemo donji konac, onda će se ovaj
prekinuti prije nego što se zatezanje prenese na gornji konac.
Sl. 3.2.

 Eksperiment Leonarda da Vinčija je lijep primjer za inerciju (sl. 3. 3). Iz
stuba sagrađenog od drvenih okruglih ploča možemo zgodnim udarcem
izbiti bilo koju od ploča a da se stub pri tome ne sruši. Trenje između ploče
koju izbijamo i ploča koje su ispod i iznad ove, djeluje prekratko vrijeme da
bi moglo pokrenuti te ploče.

 Prvi Njutnov zakon ne može se primjeniti u svakom sistemu referencije.
Razmotrimo dva sistema referencije koji se jedna u odnosu na drugi kreću
izvjesnim ubrzanjem.
 Ako tijelo u odnosu na jedan sistem miruje, to će se u odnosu na drugi,
očigledno, kretati sa ubrzanjem.
 Iz toga slijedi da prvi Njutnov zakon nije ispunjen istovremeno u oba
sistema.
 Sistem referencije u kojem važi prvi Njutnov zakon zove se inercijalni
sistem.
 Sistem referencije u kojem se prvi njutnov zakon ne ispunjava zove se
neinercijalni referentni sistem.
 Inercijalnih sistema ima beskonačno mnogo.
 Svaki sistem referencije, koji se kreće u odnosu na neki inercijalni sistem
jednoliko pravolinijski, sa svoje strane biće inercijalan.
 To proističe iz pravila slaganja brzina.

 Razmotrimo kretanje tačke M u dva sistema referencije: S (xoy) i S' (x'o'y'),
(Sl. 3. 4).
Sl. 3.4.
 Neka se sistem S' u odnosu na sistem S kreće konstantnom brzinom .
 Označimo brzinu tačke M u odnosu na sistem S' sa . Kretanje te tačke u
odnosu na sistem S slagaće se iz kretanja zajedno sa sistemom S' koji se
vrži brzinom i kretanjem u sistemu S' koji se vrši brzinom . Brzina
tačke M u odnosu na sistem K biće, prema tome, jednaka:
 odakle izlazi da je:
0v
r
'v
r
0v
r
'v
r
0 'v v v= +
r r r
0'v v v= −
r r r

 Budući da je konstantna i ako je konastantno onda je i konstantno.
Prema tome, ako je sistem S inercijalan, to će i sistem S', koji se kreće
jednoliko u odnosu na sistem S, biti inercijalan.
 Gorni stav je tzv. klasični princip relativnosti.
 On tvrdi da su svi inercijalni sistemi ekvivalentni, te da se oblik fizičkih
zakona ne smije mijenjati ako se oni izražavaju u raznim inercijalnim
sistemima.
 Ovaj princip se može iskazati i tvrdnjom da apsolutna brzina nema smisla,
jer se ni na koji način ne može izmjeriti.
 Eksperimentalnim putem je dokazano da je inercijalan sistem referencije i
onaj čiji je centar Sunce.
 Taj sistem se zove heliocentrični sistem referencije.
 Zemlja u odnosu na Sunce kreće se po krivolinijskoj putanji (elipsa), a i
okreće se oko svoje ose. Zbog toga se sistem referencije koji je povezan sa
Zemljinom površinom kreće u ubrzano u odnosu na heliocentričini sistem i,
prema tome, nije inercijalan. Međutim, ubrzanje tog sistema je toliko malo
da ga praktično možemo smatrati inercijalnim.
0v
r
v
r
'v
r

 Drugi Njutnov zakon govori o odnosu sile i promjene kretanja koju ona
izaziva.
 Posmatranjem kretanja tijela pod dejstvom sile uočeno je da postoji prosta
ralacija između intenziteta kretanja koju ona izaziva.
 Pri posmatranju slobodnog padanja uočeno je da sva tijela dobivaju isto i
stalno ubrzanje.
 Kod slobodnog padanja kretanje biva pod dejstvom stalne sile, tj. težine
tijela. Ubrzanje ostaje stalno, te se može zaključiti da konstantna sila izaziva
uvjek konstantno ubrzanje.
 Posmatranjem kretanja tijela pos strmoj ravni uočeno je da je ubrzanje
utoliko veće ukoliko je nagib strme ravni veći, odnosno ukoliko je sila u
pravcu strme ravni veća.
 Prva sistematska ispitivanja i provjeravanja pomenutih odnosa vršena su na
Atvudovoj mašini, pa ćemo i mi iz eksperimenta na Atvudovoj mašini doći do
drugog Njutnovog zakona.
 Izvešćemo tri grupe eksperimenata.

1. Na krajevima konca objesimo dva
jednaka tega G1 i G2 čije su mase m1 =
m2 = 98g i na desni teg G1 dodamo
preteg P mase mp = 4g. Preteg
svojom težinom djeluje kao
konstantna sila F koja msi m = m1 +
m2 + mp = 98g + 98g + 4g = 200g
saopštava ubrzanje.
 Cijeli sistem se kreće jednako
ubrzano, pa iz zakona puta:
možemo izračunati ubrzanje, mjereći
pređeni put za neko određeno
vrijeme. Pri ovim uslovima dobiva se
da je ubrzanje a = 20cm/s2
.
 (Na primjer, za t = 2s teg G1 pređe put
s = 40cm), (sl. 3. 5).
a) b) c)
Sl. 3.5.
21
2
s at=

2. Ako na preteg P dodamo još jedan preteg mase 4g, onda preteg P' ima
masu mp' = 8g, pa je sila F1 koja djeluje na sistem dva puta veća (F1 =2F),
dok možemo smatrati da se masa sistema nije promjenila i da je m1 = m =
200g.
 Mjereći sada ubrzanje naći ćemo da ono iznosi a1 = 40cm/s2
. (Na primjer, za
vrijeme t = 1s, teg sa pretegom pređe put s = 20cm, (sl. 3. 5b).
3. Na tegove G1 i G2navrnemo tegove jednakih masa, tako da mase tegova G1' i
G2'iznose: m1' = m2' = 196g, dok ostavimo isti preteg P' mase 8g.
 Sada težina pretega. tj. sila F1' = F1 = 2F, djeluje na masu m' = 196 + 196 +
8 = 400g i saopštava joj ubrzanje.
 Pri ovim uslovima dobiva se da je ubrzanje a' = 20cm/s2
. (Na primjer, za
vrijeme t = 2s teg G1' sa pretegom P' pređe put s = 40cm), (sl. 3. 5c).

 Kad uzmemo u obzir navedene podatke i sredimo ih, dobijamo ovu tabelu:
 Iz poadataka 1. i 2. vidimo da je masa sistema tegova u oba slučaja bila
ista, ali je dva puta veća sila istoj masi saopštila dva puta veće ubrzanje, pa
zaključujemo:
Ubrzanje koje različite sile daju istoj masi upravo su
proporcionalna jačinama tih sila, tj: a : a1 = F : F1
ili možemo reći da je ubrzanje upravo proporcionalno sili:
a F∝

 iz podataka 2. i 3. vidimo da je u oba slučaja djelovala ista sila, ali je
ubrzanje a1 koje je dobio sistem tegova kad mu je masa bila: m = 200g, dva
puta veća od ubrzanja a' koje je dobio sistem kada mu je masa bila m' =
400g. Budući da je masa m dva puta manja od mase m', izlazi:
Ubrzanja koja ista sila daje raznim masama obrnuto su
proporcionalna tim masama, tj: a1 : a' = m' : m1
ili možemo reći da je ubrzanje obrnuto proporcionalno masi:
 Jednačine a F i možemo napisati u obliku:∝
gdje je: k - faktor proporcionalnosti, pa možemo zaključiti:
 Ubrzanje, koje dobija pokrenuta masa zbog djelovanja neke
sile, upravo je proporcnionalno jačini te sile, a obrnuto
proporcionalno masi.
1
a
m
µ
1
a
m
µ
F
a k
m
= ×

 Odabraćemo sistem jedinica takav da faktor proporcionalnosti bude jednak
jedinici (k = 1). Budući da je sila vektor i smjer ubrzanja se popdudara sa
smjerom sile, jednačina (3. 5) se može napisati u vektorskom obliku:
 odnosno:
 Ova jednačina je osnovna jednačina klasične mehanike i ona predstavlja
matematičku formulaciju drugog njutnovog zakona. Ona predstavlja
osnovnu jednačinu kretanju materijalne tačke.
 Jednačina kazuje da ubrzanje koje sila saopštava tijelu zavisi samo
od sile i mase tijela.
 To znači, ubrzanje ne zavisi od toga da li se tijelo na koje je djelovala sila
nalazilo u miru ili kretanju.
F
a
m
=
ur
r
F m a= ×
ur r
F
a
m
=
ur
r

 Kako se kretanje može vršiti ili suljed inercije ili pod djelovanjem neke sile,
izlazi da je djelovanje jedne sile nezavisno od toga da li na tijelo
djeluju neke druge sile.
 Ovaj zaključak koji proizilazi iz drugog Njutnovog zakona zove se princip
nezavisnosti djelovanja sila.
 Razmljivo je da će završno kretanje tijela pod ukupnim dejstvom nekoliko
sila biti drugo, nego pod dejstvom svake od njih posebno, ali i u tom slučaju
svaka sila saopštava ono ubrzanje koje bi dala ona sam.
 Tako, na primjer, teža saopštava tijelu isto ubrzanje i u vakuumu i u
vazduhu, ali otpor vazduha mijenja završno kretanje, dok ne mijenja
djelovanje teže.
 Svoj drugi zakon Njutn je formulisao u obliku i njegova formulacija
u prijevodu glasi:
--Promjena kretanja proporcionalna je sili koja djeluje na tijelo
i vrši se u prevcu dejstva sile.
F m a= ×
ur r

 Ako se izborom jedinica podesi da faktor proporcionalnosti bude jednak
jedinici, onda je matematički izraz Njutnove formulacije drugog zakona:
 Gornji zakon možemo iskazati na slijedeći način:
-Brzina promjene količine kretanja jednaka je sili koja djeluje i
ima istu orjentaciju kao i sila.
 U klasičnoj fizici masa se smatra konstantnom veličinom, te promjena
kretanja nastaje samo promjenom brzine kretanja, odnosno:
pa se zakon može napisati u obliku:
-tj. sila je jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja koje ta sila
izaziva.
( )d m v
F
dt
×
=
r
ur
( )m v m v∆ × = ×∆
r r
dv
F m m a
dt
= = ×
r
ur r

 Iako je Njutn smatrao da je masa konstantna, svoj zakon nije izrazio u
obliku: ,
 već u obliku: koji se može primjeniti i kada masa nije
konstantna.
 Može se lako vidjeti da se izraz za prvi Njutnov zakon može dobiti iz drugog
Njutnovog zakona
 Ako u jednačinu stavimo , dobijamo:
 No, ako je promjena ma kakve veličine jednaka nuli, onda je ta veličina
konstantna, tj: ako je onda je:
-a to je matematički izraz zakona inercije.
F m a= ×
ur r
( )d m v
F
dt
×
=
r
ur
( )d m v
F
dt
×
=
r
ur
0F =
ur ( )
0
d m v
dt
×
=
r
( ) 0m v∆ × =
r
mv const=
r

 Iz izraza:
F = m ·a izvodi se jedinica za silu.
 To je ona sila koja jedinici mase daje jedinicu ubrzanja. Jedinica za silu je 1
njutn (1N).
 Njutn je sila koja masi od jednog kilograma daje ubrzanje od
1m/s2
.
 Prema definiciji je:
2 2
1 1 1 1
m kgm
N kg
s s
= × =

 Njutnovi zakoni u do sada navedenim oblicima važe samo u inercijalnim
referentnim sistemima.
 Neinercijalni referentni sistemi se kreću ubrzano u odnosu na inercijalne
referentne sisteme.
 Razmotrimo drugi zakon u neinercijalnim referentnim sistemima.
 Pretpostavimo da jedan neinercijalni referentni sistem S ima u odnosu na
inercijalni referentni sistem S' ubrzanje
 Ako je ubrzanje tijela u odnosu na neinercijalni (ubrzani) referenti
sistem, onda je ubrzanje tijela u odnosu na inercijalni sistem:
 Drugi Njutnov zakon može se sada napisati u obliku:
odnosno:
0a
r
Na
r
a
r
0Na a a= +
r r r
0( )Nm a m a a× = × +
r r
0NF m a m a= × + ×
ur r r

 Dakle u neinercijalnom sistemu moramo uvijek ubrzanje dodati .
 Ako navedemo izraz:
možemo pisati: (3.12)
 Sila je „realna sila“ koja djeluje na tijelo, a je tzv.
„inercijalna sila“.
 Ta sila nije realna, (često se zove „fiktivna sila“), ona se javlja zbog
neinercije tijela.
 Lijeva strana jednačine (3. 12) predstavlja rezultantnu „realne“ i
„inercijalne“ sile.
 Ova rezultanta sila je jednaka proizvodu mase tijela i ubrzanja u odnosu na
ubrzani neinercijalni sistem.
Na
r
0a
r
0 0F m a= − ×
ur r
0 NF F m a+ = ×
ur ur r
F
ur
0 0F m a= ×
ur r

 Kada se ubrzanje mjeri u odnosu na koordinatni sistem koji se kreće sa
tijelom (tijelo u neinercijalnom sistemu miruje), tada je = 0, dok postaje
ubrzanje tijela u odnosu na inercijalni sistem.
 Jednačina (3. 12) svodi se na: (ovo je D'Alambertov princip)
ili:
tj.
 Kao primjer razmotrimo kretanje tijela (kosmonauta) u kosmičkom brodu
koji slobodno pada.
Na
r
Na
r
a
r
0 0F F+ =
ur ur
0 0F m a− × =
ur r
0F m a= ×
r

 Referentni sistem vezan za brod ima ubrzanje u odnosu na Zemlju kao
inercijalni sistem , te je inercijalna sila .
 Na kosmonauta u brodu djeluje realna gravitaciona sila:
pa na osnovu jednačine dobijamo:
odnosno: = 0
 Posmatrajmo iz kosmičkog broda, dato tijelo (kosmonaut) se ne ubrzava, iako na
njega djeluje stalna realna gravitaciona sila.
 Ovo tijelo ne djeluje nikakvom silom na brod i kaže se da ono lebdi. Ovakvo
stanje tijela naziva se „beztežinsko stanje“.
0a g=
r ur
0F mg= −
ur ur
F m g= ×
ur ur
0F m a= ×
r
0 N
N
F F m a
mg mg m a
+ = ×
− = ×
ur ur r
ur ur r
Na
r

 Zemlja djeluje na sva tijela silom koja se zove sila teže ili sila
gravitacije.
 Zbog teže sva tijela, čim su sprječena da padaju, pritiskuju podlogu koja ih
zadržava ili zatežu nit o koju su obješena.
 Ukupni pritisak što ga tijelo zbog teže vrši na horizontalnu
podlogu ili zatezanje niti kada je tijelo obješeno, zovemo
težinom tijela.
 Ako se podloga ukloni, onda pod dejstvom ove slike nastaje slobodno
padanje tijela, a iskustvo pokazuje da sva tijela koja slobodno padaju
dobijaju isto ubrzanje, koje se zove ubrzanje teže ili ubrzanje
gravitacije i bilježi se sa g.
 Sila teže je uvjek orijentisana prema centru Zemlje.
 Budući da težina saopštava tijelu ubrzanje: , onda se ona može tretirati
po drugom Njutnovom zakonu.
 Označimo li težinu tijela sa , biće
g
ur
G
ur
G m g= ×
ur ur

 Vektori i imaju isti pravac i orijentisani su prema centru Zemlje,
odnosno u tehničkoj primjeni vertikalno.
 Iz ovoga se vidi da su masa i težina dvije različite veličine.
 Budući da su vektori i istog smjera, težinu možemo tretirati skalarno.
G = m · g
tj. težina tijela jednaka je proizvodu iz njegove mase i ubrzanja
teže na tom mjestu.
 Ubrzanje teže zavisi od geografske širine i nadmorske visine.
 To se javlja zbog spoljoštenosti Zemlje i različite udaljenosti tijela od centra
Zemlje.
 Promjena težine tijela na raznim mjestima geografske širine i na raznim
nadmorskim visinama ne može se zapaziti pri mjerenju utezima na
terazijama, jer ukoliko se promjeni težina tijela zbog promjene ubrzanja
teže, utoliko se promjeni i težina tegova.
G
ur
g
ur
G
ur
g
ur

 Promjena težine se može konstatovati samo na dinamometru, čiji se rad
zasniva na istezanju opruge, jer sila opruge ne zavisi od gravitacije.
 Budući da je težina G sila, to je jedinica za težinu njutn (1N).
 Tijelo mase 1kg ima težinu:
 Sila kojom Zemlja privlači etalon mase od 1kg na 45o
geograske širine zove
se 1 kilopond (kp). Dakle 1kp = 9,81N
 Hiljadu puta manja jedinica je 1 pond (p).
 Pond je sila kojom Zemlja privlači tijelo mase od jednog grama.
1 2
2 2
2
: 1 9,83 9,83
: 1 9,78 9,78
45 : 1 9,81 9,81o
m
na polu G kg N
s
m
na ekvatoru G kg N
s
m
na geografske širine G kg N
s
= × =
= × =
= × =

 Sila teže djeluje i onda kada je tijelo u miru, odnosno kada tijelo ne dobija
nikakvo ubrzanje.
 Budući da je težina tijela proporcionalna masi, to masu tijela možemo da
cijenimo prema sili teže.
 Ako su težine dva tijela G1 i G2 određene na jednoj te istoj tački Zemljine
površine jednake (G1 = G2), onda iz:
m1· g = m2 · g
slijedi: m1 = m2
 Dakle, ravnotežom na terazijama mjere se ne samo nepoznate težine, nego
i njihove mase.
 Ovakav način mjerenja mase zove se statičko mjerenje mase, a masa
dobijena na osnovu težine zove se teška ili gravitaciona masa.

 Ako, pak, masu tijela određujemo po inerciji prema drugom Njutnovom
zakonu: F = m · a, odakle je:
-onda se ta masa zove inertna (troma) ili inercijalna masa, a ovakav
način mjerenja mase zove se dinamičko mjerenje mase.
 U svakodnevnom iskustvu uočavamo često ovakve dvije mase.
 Tako, na primjer, ako hoćemo da procijenimo masu nekog tijela, možemo to
tijelo držati mirno u ruci, pri čemu konstatujemo njegovu tešku masu na
osnovu težine.
 Međutim, naročito kod malih tijela, njegovu masu možemo bolje da ocijemo
ako tijelo nekoliko puta neizmjenično podignemo naglo naviše i spustimo.
 Teška i inercijalna masa su prema današnjim shvatanjima identične i
eksperimentalno se ne može ustanoviti nikakva razlika između njih. Zato se
masa može definisati kao veličina otpora tijela protiv promjene
kretanja.
F
m
a
=

 Poznato je da jednake zapremine različitih tijela (tvari) nemaju jednake
mase, niti, pak, jednake mase različitih tijela imaju jednake zapremine.
 Kod homogenih tijela odnosi između mase, zapremine, težine su konstante
koje daju izvjesnu karakteristiku ovih tijela, odnosno materijala od koji su
ona načinjena.
 Ove konstante se vrlo često upotrebljavaju, jer omogućuju da se i za
raznovrsna tijela postave opšti obrasci.
 Odnos iz mase tijela i njegove zapremine zove se gustoća tijela i
obilježava sa ρ, pa je za homogeno tijelo:
 Za nehomogena tijela izraz (1) daje srednju ili prosječnu gustoću.
 Gustoća nam pokazuje kolika je masa jedinica zapremine, pa se gustoća
zove još i zapreminska masa.
m
v
ρ =

 Dimenzija gustoće je:
(
-pa je jedinica za gustoću u SI - sistemu: kg/m3
.
 Često se gustoća izražava u g/cm3
.
 Lako je pokazati da je:
 Gustoća čiste vode na +4o
C je 1g/cm3
= 1000kg/m3
.
 Iz jednačine nalazimo da je: m = V · ρ
tj. masa tijela jednaka je proizvodu njegove zapremine i gustoće.
[ ] 3
3
M
M L
L
ρ − 
 = = ×   
 
3 3
1 1000
g kg
cm m
=
m
v
ρ =

 Zapremina jedinice mase homogenog tijela, tj. odnos zapremine i mase
tijela zove se specifična zapremina i označava se sa Vs.
 Specifična zapremina je, prema tome, recipročna vrijednost gustoće, tj:
 Jedinica za specifičnu zapreminu u SI - sistemu je m3
/kg, a često se izražava
i u l/kg = m3
/dm3.
 Specifična težina γ homogenog tijela je odnos iz težine tijela i njegove
zapremine:
 Specifična težina pokazuje kolika je težina jedinice zapremine.
 Za nehomogena tijela jednačina daje srednju specifičnu težinu.
 Jedinica specifične težine u SI - sistemu je N/m3
, a u praksi se često
upotrebljava nesistemska jedinica p/cm3
.
1
s
V
V
m ρ
= =
G
V
γ =
G
V
γ =

 Iz jednačine izlazi da je: G = V · γ
 tj. težina tijela jednaka je proizvodu iz njegove zapremine i specifične težine.
 Kako je G = m · g to zamjenom u dobijamo:
 tj. specifična težina nekog tijela jednaka je proizvodu gustoće i ubrzanja
teže na datom mjestu.
 Budući da težina tijela zavisi od mjesta na kome je mjerimo, to i specifična
težina istog tijela ima različite vrijednosti na različitim mjestima geografske
širine.
G
V
γ =
G
V
γ =
G m g m
g g
V V V
γ ρ
×
= = = × = ×

 Gustoća i specifična težina zavise od temperature, jer se tijela pri
zagrijavanju obično šire.
 Zato uz vrijednosti ovih veličina obično se označuje i temperatura.
 Čvrsta tijela veoma malo mijenjaju zapreminu pri zagrijavanju, pa se
promjena gustoće usljed promjene temperature često zanemaruje.
 Kod tečnih tijela promjene zapremine sa temperaturom su znatno veće, pa
se obično uzima u obzir.
 Gasovi se daleko više šire pri zagrijavanju, a pored toga oni mijenjaju
zapreminu i usljed pritiska, pa se pored temperature naznačuje i pritisak.
 To je obično temperatura od 0o
C i pritisak od 1013mb (760 mm Hg).

 U donjoj tabeli date su vrijednosti gustoće i specifične težine nekih tijela:

 Treći Njutnov zakon izražava misao da u prirodi nastaju istovremena
djelovanja među tijelima, a u isto vrijeme on utvrđuje kvantitativni odnos tih
djelovanja.
 Svako djelovanje tijela jednog na drugo ima karakter uzajamnosti: ako tijelo
M1 djeluje na tijelo M2 nekom silom (kažemo da je to akcija), to će i
tijelo M2 sa svoje strane djelovati na tijelo M1 silom koja se zove
reakcija (sl. 3. 6).
Sl.3.6.
 Sila se, dakle, nikad ne može javiti sama nego uvijek u sudjelovanju sa
drugom silom.
21F
ur
12F
ur

 Na primjer, kad lokomotiva pokreće voz dvije sile vrše zatezanje spojnica
između lokomotive i voza: jedna, kojom lokomotiva vuče voz i usmjerena je
u pravcu kolosjeka unaprijed i druga, kojom voz djeluje na lokomotivu i
usmjerena je unazad.
 Uzmimo još jedan primjer:
 Za jedan kraj konca vežemo tijelo tako da ga možemo pokrenuti djelujući
rukom na drugom kraju konca (sl. 3. 7). Pri tome obavezno dolazi do
zatezanja konca, a jasno je da zatezanje konca ne može da prouzrokuje
samo jedna sila, već dvije sile koje djeluju na krajevima konca u suprotnom
smjeru.
sl.3.7.
 Eksperimenti pokazuju da su sile kojima tijela djeluju jedno na drugo uvijek
jednaka po veličini, a suprotna po smjeru.

 Prema formulaciji samog Njutna, taj zakon glasi:
 Akciji uvijek odgovara jednaka i suprotna reakcija; uzajamna
djelovanja dva tijela su uvijek jednaka i suprotno usmjerena.
 U ovoj definiciji sadržani su termini; „akcija“ i „reakcija“, zbog čega
može da se stvori predstava o nekoj razlici sila kojima tijela djeluju jedno na
drugo.
 „Akciji“ se nehotice pripisuje glavna, a „reakciji“ potčinjena uloga, što nije
uredu.
 Obadvije sile su potpuno ravnopravne.
 Koristeći se oznakama sila koje su predstavljene na slici akcije i reakcije,
matematički izraz trećeg Njutnovog zakona glasi:
 Važno je istaći da ove dvije sile djeluju na razna tijela. Inače bi rezultanta
bila jednaka nuli.
12 21F F= −
ur ur

 Kao posljedica trećeg njutnovog zakona izlazi da ako se dva tijela kreću
samo pod njihovim međusobnim djelovanjem (izolovano od djelovanja
vanjskih tijela) ona dobijaju ubrzanja koja su obrnuto proporcionalna
njihovim masama.
 Neka je m1 masa tije M1 sa slike: akcije i reakcije (3.6), a m2 mas tijela M2.
 Pod djelovanjem tijela dobijaju ubrzanja , pa će
prema jednačini biti:
 Ovu posljedicu lako uočavamo kod interakcije tijela slične mase.
 Tada su mjerljiva i njihova ubrzanja.
12 21F i F
ur ur
1 2a i a
r r
12 21F F= −
ur ur
1 1 2 2
1 2 2 1
.
: :
m a m a
tj
a a m m
× = ×
=

 Na primjer:
 Pri pucanju iz puške (artiljerijskog oružja) barutni gasovi izbace zrno naprijed, a pušku
trgnu nazad.
 Pri skoku iz čamca na obalu, čamac se vraća unazad.
 Često se dešava da je pri međusobnom djelovanju masa jednog tijela
znatno veća, pa se ne vidi djelovanje sile reakcije. To je naprimjer slučaj
kada odskočimo od tla ili kada kuglica odskače od čvrste podloge.
 U tom slučaju masa m2 je Zemlja, pa je ubrzanje a2 kojeg dobija Zemlja
zanemarljivo mala.
 Poznat je primjer prividnog paradoksa: zašto konj vuče kola?
 Po trećem Njutnovon zakonu sila kojom konj vuče kola jednaka je i suprotna
sila kojom kola vuku konja. Reklo bi se da će se ove sile poništavati. No, nije
tako.
 Objašnjenje je slijedeće: opirući se o tlo, konj je čvrsto vezan sa Zemljom,
dok kola (ako zanemarimo trenje) to nisu.
 Sila kojom kola djeluju na konja djeluje zapravo na sistem: (konj + Zemlja).

 Po III Njutnovom zakonu je: mkola · a = (mkonja + MZemlje) · a1
 Očito je masa u zgradi znatno veća, pa je a >> a1i konj vuče kola.
 Da je ovo razmatranje ispravno vidimo kada nastupi poledica.
 Tada je veza konja sa Zemljom slaba i u tom slučaju konj zaista ne može
vuči kola.
 Na zakonu akcije i reakcije zasnovano je kretanje raketa kao i nekih živih
bića (sipa). Raketa izbacuje velikom brzinom gasove i zbog toga se kreće u
suprotnom smjeru (Segnerovo kolo).
 Kretanje brodova okretanjem elise (propelera) u vodi zasnovano je takođe
na ovom zakonu mehanike, jer elisa pokreže vodu, a ova djeluje na brod isto
tako jednakom, ali suprotnom silom.
 Dejstvo sila se ne može ograničiti samo na dva tijela, već uvjek postoji, u
većoj ili manjoj mjeri, i uticaj drugih tijela.
 Sva tri Nutnova zakona predstavljaju osnov klasične mehanike. Zato se
klasična mehanika naziva još i Njutnovom mehanikom.

 Među raznovrsnim dejstvima sile karakteristični su slučajevi kada sila
djeluje velikim intenzitetom, ali vrlo kratko vrijeme.
 Na primjer, pri sudaru tijela ili pri eksploziji javlja se kratkotrajno ali
intenzivno dejstvo sile.
 Za vrijeme djelovanja takve sile prevaljeni put je beskrajno mali.
 Ovakve trenutne sile velikog intenziteta, pri čijem se trajanju dejstva može
zanemariti kretanje tijela, nazivamo impulsnim silama.
 Prema time, promjena stanja kretanja tijela (tj. promjena veličine i smjera
brzine) zavisi ne samo od veličine sile F koja na tijelo djeluje, već i od
trajanja njenog djelovanja. Promjena kretanja mora biti proporcionalna kako
sili F tako i intervali vremena ∆t u toku kojeg se vršilo djelovanje.
 Proizvod sile i vremena njenog djelovanja (F · ∆t) zove se impuls sile i
označava se sa .
p
ur

 Ako vektor sile nije konstantan, impuls za vrijeme koje je prošlo od
momenta t0 do momenta t određuje se izrazom:
 Prema drugom Njutnovom zakonu je:
 Budući da je masa m konstantna, može se pisti jednačina:
p
ur
0
t
t
p F dt= ×∫
ur ur
.
dv
F m a m
dt
tj
F dt m dv
= × = ×
× = ×
r
ur r
ur r
( )F dt d mv× = ×
ur r

 Ako je u trenutku to tijelo imalo brzinu , u trenutku t poslije djelovanja
impulsa imalo brzinu , onda integracijom gornje jednačine dobijamo:
-tj. impuls sile jednak je promjeni količine kretanja koju ta sila
uzrokuje.
 Specijalno, ako je tijelo prije dejstva impulsa bilo u miru, tj. , onda je:
-tj. impuls sije na tijelo, koje je prethodno bilo u miru, jednak je
količini kretanja tijela.
0v
r
p
ur
v
r
0 0 0
0
( )
t v v
t v v
F dt d mv m dv
odnosno
p m v m v k
× = × =
= × − × = ∆
∫ ∫ ∫
ur r r
ur r r r
0 0v =
r
p m v k= × =
ur r r

 Ako, dakle, želimo da se tijelo kreće jednoliko, moramo na to tijelo djelovati
impulsom. Koliku brzinu će tijelo dobiti ovisi o masi tijela, odnosno o
impulsu.
 Uzmimo da na dvije mase m1 i m2 koje su ustanju mirovanja djeluje isti
impuls:
 Tada je:
 gdje su i brzine tijela poslije djelovanja impusla .
 Odavde je: -tj. oba tijela dobila su istu količinu kretanja.
 Gornju jednačinu možemo pisati u obliku:
 Iz ove jednačine zaključujemo: putevi nakon istog vremenskog
intervala koje prevale tijela nakon što su primila isti impuls
odnose se obrnuto nego mase tijela:
p F t= ×∆
ur ur
11
22
F t m v
F t m v
×∆ = ×
×∆ = ×
ur r
ur r
1v
r
2v
r
p
ur
1 21 2m v m v× = ×
r r
1 2 2 2
2 1 1 1
m v v t s
m v v t s
×
= = =
×
1 2
2 1
m s
m s
=

 Mjereći puteve u istom vremenskom intervalu što ih prevale tijela različitih
masa nakon što su primila isti impuls, možemo odrediti mase tih tijela.
 Na taj način određene mase zovu se inercijalne (trome) mase, a način
na koji se te mase odrede zove se dinamičko određivanje mase.
 Prije smo određivali mase tijela pomoću vage na pero (dinamometri),
mjereći silu teže koja djeluje na masu.
 Tim načinom odredili smo tešku masu.
 Da su inercijalna i teška masa jednake, možemo se uvjeriti sljedećim
eksperimentom.

 Istom silom kratko vrijeme djelujemo na dva tijela različitih masa, koja se
nalaze na rubu stola.
 Oba tijela padat će isto vtijeme do poda (t), ali će prevaliti različite puteve u
horizontalnom smjeru (s1 i s2).
 Mjereći s1 i s2 odredimo odnos njihovih inercijalnih masa m1 i m2. Zatim
dinamometrom odredimo odnos njihovih teških masa.
 Eksperiment pokazuje da je odnos inercijalnih (tromih) masa jednak odnosu
teških masa.
 Iz gornjih razmatranja zaključujemo: kada pomjeranja tijela pri postojanju
udaraca (impulsa) moraju biti zanemarljivo mala, tijela koja trpe udarce
grade se masivno, kao što su nakovnji, postolja mašina i dr.
 Impuls je vektorska veličina kao i količina kretanja.
 Dimenzija impulsa je: [F · ∆t] = [M · L · T-1
] a jedinica N · s.

 Skup od dva ili više tijela nazivamo sistem tijela.
 Tijela kad ulaze u sistem mogu da interagiraju, kako uzajamno, tako i sa
tijelima koja ne ulaze u sistem.
 U vezi sa tim, sile koje djeluju na tijela sistema mogu se podijeliti na:
unutrašnje i vanjske sile.
 Unutrašnjim silama zvaćemo sile koje djeluju na tijelo od strane ostalih
tijela sistema, a vanjskim - sile kojima tijela izvan sistema djeluju na tijelo
sistema.
 U zavisnosti od sila koje djuluju na sistem, sistemi mogu biti: zatvoreni i
otvoreni.
 Sistem je zetvoren ako na njega djeluju samo unutrašnje sile. Ako na sistem
sem unutrašnjih djeluju i vanjske sile - sistem je otvoren.
 Zakon održanja količine kretanja (odnosno impulsa) direktna je posljedica
trećeg Njutnovog zakona. Posmatraćemo ga za zatvoreni (izolovani) sistem.

Sl. 3.9.
 Posmatrajmo zatvoreni sistem od
dva tijela masa, m1 i m2. Neka je
tijelo A u tački s radijus vektorom
a tijelo B u tački s radijus
vektorom (sl. 3. 9).
 Neka tijela djeluju međusobno
silama .
 Tada je:
 Ove jednačine možemo pisati u
obliku:
1r
r
2r
r
12 21F i F
ur ur
2
1 1
12 1 1
2
2 2
21 2 2
d r dv
F m m
dt dt
d r dv
F m m
dt dt
= × = ×
= × = ×
r r
ur
r r
ur
12 1 11 1
21 2 22 2
( )
( )
F dt m dv d m v
F dt m dv d m v
× = × = × ×
× = × = × ×
ur r r
ur r r

 Budući da je po trežem Njutnovom zakonu:
 pa možemo pisati:
12 21
12 21
.
F F
tj
F dt F dt
= −
× = − ×
ur ur
ur ur
1 21 2
1 21 2
( ) ( )
:
( ) 0
d m v d m v
ili
d m v m v
× × = − ×
× + × =
r r
r r

 Dakle u zatvorenom sistemu u kojem postoje samo dva tijela u interakciji
ukupna promjena količina kretanja jednaka je nuli.
 Integrisanjem gore navedene jednačine dobijamo:
 Drugim riječima, u zatvorenom sistemu od dva tijela u interakciji, zbir
količina kretanja je konstantan.
 Ovaj zaključak vači bez obzira na prirodu sila, koje postoje između dva tijela,
a koje mogu biti veoma komplikovane.
1 21 2
2
1
ii
i
m v m v const
ili
m v const
=
× + × =
=∑
r r
r

 Zaključak se lako da proširiti i na sistem od n tijela koja integriraju.
 Tada je:
 tj.iukupna količina kretanja zatvorenog sistema ne mijenja se u
toku kretanja.
 Gore navedena jednačina predstavlja matematički izraz zakona održanja
količine kretanja, zatvorenog sistema tijela. Ovaj zakon se u mehanici
smatra kao jedan od osnovnih i opštevažećih zakona.
 Ako u nekom zatvorenom sistemu pored unutrašnjih sila djeluju još i neke
spoljašnje silje čija je rezultanta F, onda se količina kretanja ovakvog
sistema mijenja.
1
1
n
i
i
m v const
=
=∑
r

 Priraštaj ukupne količine kretanja sistema je onda jednak impulsu
rezultante spoljašnjih sila, tj:
 Iz gornjih razmatranja zaključujemo da jedan sistem pod uticajem
unutrašnjih sila ne može da izmijeni ukupnu količinu kretanja. Za tu
promjenu neophodno je dejstvo spoljašnjih sila.
 U svakodnevnom iskustvu susrećemo mnoge primjere zakona održanja
količine kretanja.
 Navedimo neke:
1
1
:
n
i
i
i
m v F t
ili
p k
=
∆ = ×∆
=∆
∑
r ur
ur r

 Lokomotiva se ne može pokretnuti samo unutrašnjim silama dejstva pare.
Kretanje nastaje usljed vanjske sile trenja između šina i točkova, odnosno
usljed vanjske sile između lokomotive i Zemlje sa kojom su šine povezane.
Količina kretanja koju dobija lokomotiva jednaka je količini kretanja koja je
tom prilikom predata Zemlji.
Sl.3.10.
 Uzmimo kao drugi primjer slučaj
čovjeka na čamcu (sl. 3. 10).
 Neka na početku čovjek i
čamac miruju i neka masa
čovjeka m1, a masa čamca
m2. Ako zenamarimo sile
trenja sa vodom i
vazduhom, onda se sistem
čovjek - čamac može
smatrati zatvorenim
(izolovanim). U početku
ukupna količina kretanja
ovog sistema jednaka je
nuli.

 Ako čovjek pođe u horizontalnom pravcu po čamcu, brzinom v1, dobiće
količinu kretanja m1 · v1. Pri tome će čamac krenuti u suprotnom smjeru i
dobiće količinu kretanja m2 · v2. Ukupna količina kretanja mora ostati
jednaka nuli, tj. mora biti:
 Čamac će se kretati sve dok se i čovjek kreće, a kada se čovjek zaustavi i
čamac će se zaustaviti. Iz ovoga se vidi da čovjek ne može da dovede u
stalno kretanje cijeli sistem djelujući samo unutrašnjim silama na čamac.
 Za stalno kretanje čamca neophodno je upotrijebiti veslo, odnosno spoljna
sila kojom će se djelovati na vodu. Djelovanjem vesla voda se potiskuje
unazad, a čamac se kreće unaprijed.
1 21 2
1 21 2
0
:
m v m v
odnosno
m v m v
× + × =
× = − ×
r r
r r

 Ako sada čovjeka, čamac i vodu smatramo izolovanim sistemo, onda voda
dobija količinu kretanja unazad, a čamac sa čovjekom istu količinu kretanja
u suprotnom smjeru, tj. unaprijed.
 Na ovaj način se može postepenim izolovanjem preći cijeli svemir, koji će
važiti kao izolovani sistem, čija je ukupna količina kretanja stalna.
 Zakon o održanju količine kretanja teže se može uočiti u sličajevima kada u
izolovani (zatvoreni) sistem spada i zemlja kao ogromna masa.
 Kada, naprimjer, automobil krene, on dobije izvjesnu količinu kretanja, ali
se pri tome ne može uočiti da je istu toliku količinu kretanja dobila i Zemlja
u suprotnom smjeru, jer joj je masa ogromna, pa je njena brzina koju pri
tom dobije praktino jednaka nuli.

a) Balističko klatno
 U balistici se zakon održanja količine kretanja primjenjuje za određivanje
brzine metka iz vatrenog oružja. Za tu svrhu služi tzv. „balističko
klatno“.
 Balističko klatno sastoji se od sanduka napunjenog pijeskom koji visi na
konopcu (sl. 3. 11).
Sl.3.11.

 Neka metak mase m brzinom v u horizontalnom pravcu pogodi sanduk sa
pijeskom mase M. Usljed toga sanduk zajedno sa metkom dobija istu
količinu kretanja koju je imao metak, tj:
m · v = (M + m) · v1
-gdje je: v1 - brzina metka i sanduka poslije udara metka.
 Odavde je brzina metka:
 Brzina v1 brojno je jednaka brzini koju tijelo stekne pri slobodnom padanju
sa visine h (sl. 3. 11), tj:
 Kako je h = l - l cosθ = l(1 - cosθ) dobijamo da je:
 Veličine l i θ se lako mjere, pa se iz gornje jednačine izračunava brzina v
metka.
1 2· ·v g h=
2 (1 cos )
M m
v g l
m
θ
+
= × × −
1
M m
v v
m
+
= ×

b) Kretanje rakete i kosmičkih brodova
 Karakteristična primjena zakona održanja količine kretanja javlja se kod
raketnog pogona. Izolovani sistem, u ovom slučaju, čine raketa i gasovi koji
se izbacuju iz rakete kao produkti sagorjevanja.
 Ako zbir masa konstrukcije rakete i goriva koje se u njoj nalazi u trenutku t
označimo sa m = m(t), a brzinu kretanja ove mase u tom trenutku sa v =
v(t), tada količina kretanja posmatranog sistema iznosi: k(t) = m · v
 U toku infinitezimalnog vremena dt raketa ispusti masu dm produkata
sagorjevanja.
 Ovi produkti sagorjevanja mase dm u odnosu na raketu dobiju brzinu vg, koja
zavisi od tipa goriva i načina sagorjevanja, ali se ne mijenja u vremenu.
 Za račun izbačenih produkata sagorjevanja brzina rakete se promjeni za dv,
tako da u trenutku t+dt iznosi v+dv.
 (Pošto se kretanje rakete i produkata sagorjevanja vrši u istom pravcu, ne
uvodimo vektorske oznake).

 Masa konstrukcije rakete i preostalog goriva je: m+dm, pri čemu je dm<0.
Na osnovu toga zaključujemo da je u trenutku t+dt količina kretanja
sistema:
k (t + dt) = (m + dm) · (v + dv) + dm[vg + (v + dv)] dm<0
Sl.3.12.

 Brzina kretanja produkata sagorjevanja mase dm u odnosu na posmatrača
sa Zemlje predstavlja razliku brzine vg koju produkti sagorjevanja (gasovi)
dobiju u procesu sagorjevanja i brzine v+dv koju u trenutku t+dt ima raketa.
 Na osnovu zakona održanja količine kretanja izlazi da je k(t) = k(t+dt) tj.

 U trenutku: t0 = 0 ispaljivanja rakete njena brzina jednaka je nuli. Ukupnu
masu rakete i goriva u njoj u trenutku t0 označavamo sa M. Na osnovu toga
možemo pisati:
 Odakle je:
 Iz ove jednačine zaključujemo da brzina rakete zavisi od količine produkada
sagorjevanja koju ona ispusti tokom leta.
 Za danas poznata goriva brzina vg iznosi oko 3km/s. U optimalnom slučaju
gorivo sačinjava 90% odnosno 9/10 mase M.
 Ako se ono potpuno iskoristi tokom leta, onda je m(t) = M/10, gdje je t
moment kada je svo gorivo iskorišteno. Za ovajj slučaj dobijemo
maksimalnu brzinu rakete:
vmax = vg · ln 10 = 3km/s · 2,3 ≈ 7km/s
( ) ( )
0
v t m t
g M
dm
dv v
m
= −∫ ∫
ln
( )
g
M
v v
m t
=

 Ova brzina nije dovoljna da raketu izvede iz polja zemljine teže, pa se zato
pri lansiranju koriste višestepene rakete.
 Vidimo da je brzina izbacivanja pogonskog sredstva važan ograničavajući
faktor u maksimalnoj brzini rakete.
 Zbog toga potiče ideja da se u budućnosti prave rakete koje će reaktivnu
silu ostvarivati izbacivanjem svjetlosnih kavanata - fotona.
 Član dv/dt je ubrzanje rakete a, te prvi član u ovoj jednačini (ma) predstavlja
reaktivnu silu rakete F, pa je:
 tj. pogonska sila rakete proporcionalna je izbačenoj masi gasa u jedinici
vremena dm/dt i brzine vg isticanja gasova.
0g
dv dm
m v
dt dt
+ × =
g
dm
F v
dt
= ×

 Pri startu Apola 11 (koji je odnio kosmonaute na Mjesec) raketni motori su
izbacivali 12 tona sagorjelih gasova u sekundi (dm/dt = 12 · 103
kg/s),
rauvijajući pogonsku silu F = 3,2 · 107
N.
 Na osnovu ovih podataka izlazi da je brzina isticanja gasova: vg = 2700m/s
= 2,7km/s.
 Budući da se kretanje raketa zasniva na zakonu održanja količine kretanja,
to znači da se one mogu kretati kroz bezvazdušni prostor.
 To je tzv. princip reaktivnog pogona.
 Atmosferski vazduh samo ometa kretanje rakete usljed sile trenja.
 Reaktivni pogon jedino je mogući pogon u astronautici.

 Kada se jedno tijelo kreće bilo po čvrstoj podlozi ili kroz neki fluid na njega
između ostalih sila djeluje i sila trenja.
 Sila trenja se javlja, kada se tijela koja se relativno kreću jedno prema
drugom, međusobno dodiruju izvjesnim dijelovima svoje površine.
 Sile trenja su uvijek usmjerene nasuprot pravcu kretanja tijela , odnosno
nasuprot brzini tijela i nastoje da spriječe kretanje. Zato se pokrenuta tijela
prije ili kasnije zaustavljaju, ako su prepuštena sama sebi.
 Trenje koje se javlja ili nastaje pri relativnom pomjeranju dva tijela koja se
dodiruju zove se vanjsko (spolješnje) trenje.
 Trenje koje nastaje između dijelova jednog te istog kompaktnog tijela (npr.
tečnosti ili gasa) zove se unutrašnje trenje.

 Trenje između površina dva čvrsta tijela kada između njih nema nikakvog
međusloja (na primjer, nekog maziva) zove se suho kretanje.
 Trenje između čvrstog tijela tečne ili gasovite sredine kao između slojeva
kakve sredije, zove se viskozno ili tečno trenje.
 Trenje između čvrstih tijela može biti: trenje klizanja i trenja
kotrljanja.
 Samo trenje je vrlo komolikovanja pojava i mada možemo reći da je trenje
posljedica djelovanja međumolekularnih sila na površini tijela,
detaljni mehanizam trenja još nije sasvim poznat.

 Na primjer, pri klizanju dvije ploče jedne preko druge (sl. 3. 13) trenje se
tumači postojenjem udubina i izbočina na dodirnim površinama.
 Pri relativnom kretanju izbočine upadaju u udubine i javlja se otpor pri
kretanju jednog tijela po drugom.
 Bitnu ulogu imaju i sile adhezije, koje kod uglačanih površina dobijaju
značajne veličine.
 Prilikom trenja u manjoj ili većoj mjeri dolazi do trošenja, odnosno kršenja
materijala, što zavisi od prirode tijela koja se dodiruju. Općenito govoreći,
pojava trenja je jako složen proces.
Sl. 3. 13.

 Budući da je trenje sila koja djeluje suprotno brzini, to se veličina sile trenja
može eksperimentalno odrediti. Za tu svrhu služi tribometar.
 Tribometar se sastoji iz horizontalne ploče B na koju se stavlja prizma A od
materijala čije trenje želimo da ispitamo u odnosu na materijal ploče B (sl.
3. 14a).
 Tijelo A vezano je koncem koji je prebačen preko kotura, dok je na drugom
kraju konca obješen tas sa tegovima. Pod uticajem težine tegova tijelo A se
kreće po tijelu B, a između njih je dodirna površina gdje se javlja sila trenja
tangencijalno, tj. u pravcu konca (sl. 3. 14b).
Sl.3.14.

 Ako se biranjem tegova podesi da se tijelo kreće jednoliko, onda je veličina
sile trenja jednaka težini tegova sa tasom, tj. vučnoj sili.
 Naime, kada se vučna sila izjednači sa silom trenja tijelo se kreće jednoliko,
jer je rezultanta sila koje na njega djeuluju jednaka nuli.
 Od čega zavisi trenje klizanja možemo zaključiti iz ovih eksperimenata.
 Drvenu prizmu težine G stavimo na tribometar (sl. 3. 14) i dodajemo tegove
na tas dok se prizma ne počne kretati jednoliko.
 Pri tome lagano udaramo olovkom po tribomentru. Težina tegova zajedno sa
tasom je veličina sile Ftr.
 Ako na prizmu A dodajemo tegove sve veće težine, tj. ako povećavamo
normalnu silu N, naći ćemo da se povećava i sila trenja.
 Potražimo li omjere između sile trenja i normalne sile vidjećemo da su ti
omjeri međusobno jednaki.

 Označimo li vrijednost tih imjera sa μ, možemo pisati:
 Dakle, sila trenja proporcionalna je normalnoj sili.
 Faktor proporcionalnosti μ nazova se koeficijent trenja.
 Ako je podloga horizontalna, kao u našem slučaju, manualna sila jednaka je
težini G tijela, pa je:
.
tr
tr
F
N
tj
F N
µ
µ
=
= ×
trF Gµ= ×

 Eksperimentalno je utvrđeno da sila suhog trenja ne zavisi od veličine
dodirnih površina, nego samo od njihovih kvalitetnih osobina.
 Nezavisnost sile trenja od veličine dodirne površine možemo prikazati
eksperimentom kao na slici 3. 15a i 3. 15b.
Sl.3.15.
 U oba slučaja sile trenja su jednake, iako je dodirna površina u drugom
slučaju dva puta manja.
 To možemo pokazati i ako uzmemo tijelo oblika kvadra kojeg vučemo po
podlozi. Sila trenja ne zavisi od toga kojom stranicom se to tijelo tare i drugu
površinu. Ovo je tzv. II Kulonov zakon trenja.

 Koeficijent trenja se može jednostavno odrediti na strmoj ravni (sl. 3.16).
Sl. 3.16.
 Ako se tijelo nalazi na strmoj ravno težina tijela se razlaže na dvije
komponente - komponentu: u pravcu strme ravni i normalnu
komponentu:
G
ur
sinF G α= ×
ur ur
cosN G α= ×
uur ur

 Na osnovu (sl. 3. 15) može se napisati da je sila trenja:
 Ako se ugao strme ravni podesi tako da tijelo klizi niz strum ravan stalnom
brzinom (v = const.), onda su sile u ravnoteži pa je:
 Odnosno:
 Ova jednačina omogućuje da se mjerenjem nagibnog ugla strme ravni
odredi koeficijent trenja. Ugao α pri kojem tijelo počinje da klizi jednoliko,
zove se granični ugao mirovanja.
costrF N Gµ µ α= × = × ×
ur uur ur
trF i F
ur ur
sin cosG Gα µ α× = × ×
ur ur
sin
cos
tg
α
µ α
α
= =

 Trenje se javlja kako pri kretanju tijela tako i pri pokušaju da se izazove
kretanje.
 U slučaju mirovanja sila trenja spriječava kretanje tijela sve dok spoljašnja
sila ne dostigne vrijednost sile trenja.
 Trenje pri mirovanju zove se statičko trenje (trenje mirovanja) za
razliku od dinamičkog ili kinetičkog trenja koje se javlja pri kretanju
tijela i o kojem je do sada bilo riječi.
 Eksperimentalno je utvrđeno da je maksimalna vrijednost statičkog
trenja proporcionalna normalnoj sili, a faktor proporcionalnosti μ0
zove se statički koeficijent trenja ili koeficijent trenja mirovanja.
 Sila statičkog trenja F0 može, dakle poprimiti sve vrijednosti od nule do μ0 · N,
tj.
 Ovaj izraz predstavlja I Kulonov zakon trenja.
0 0F Nµ≤ ×

 Dakle, da bismo pokrenuli tijelo po horizontalnoj podlozi moramo na njega
djelovati silom: .
 Iskustvo pokazuje da se sila trenja smanjuje kada se tijelo počne kretati po
podlozi, tj:
μ < μ0
 Naglasimo da koeficijent trenja zavisi od prirode tijela koja se dodiruju i
obrađenosti dodirnih površina, kao i od brzine kretanja tijela.
 Koeficijent trenja ima najveću vrijednost (μ0) na početku kretanja kada je
relativna brzina v = 0.
0 0F Nµ= ×

 Sa povećanjem brzine njegova
vrijednost se smanjuje (sl. 3. 17).
 Pri malim brzinama ta ovisnost se
može zanemariti.
 Da dobijemo predstavu o veličini
koeficijenta trenja u donjoj tabeli
je dato nekoliko vrijednosti za μ0
koje su utvrđene
eksperimentalnim putem:Sl. 3.17.

 Trenje kotrljanja potčinjava se istim zakonima kao i trenje klizanja, ali je
koeficijent trenja u tom slučaju znatno manji.
 Zato u praksi nastojimo da trenje klizanja preobratimo u trenje kotrljanja gdje
god je to moguće.
 To se postiže da tijelo stavimo na kola ili ako ispod njega postavimo valjkaste
grede (sl. 3. 18b).
Sl.3.18.
 Kod kretanja kola imamo trenje kotrljanja točkova na podlozi i trenje klizanja
osovine u njenom ležištu (blazini). Ovo posljednje smanjujemo podmazivanjem.
 Da se trenje svede na još manju mjeru između osovine i ležišta umetne se niz
slobodnih kugli ili valjaka (kuglični, valjkasti ležaji) pa se i ovo trenje klizanja
preobrati u trenje kotrljanja (sl. 3.18).

 Sile trenja igraju veliku ulogu u prirodi. Trenje može biti štetno i korisno.
 Štetno je svuda gdje se za njegovo savlađivanje mora utrošiti beskoristan rad,
na primjer za kretanje mehanizam u mašinama.
 U tom slučaju nastojimo da ga što više smanjimo, podmazivanjem ili
pretvaranjem trenja klizanja u trenje kotrljanja, gdje god je to moguće.
 Trenje je često i veoma korisna sila u životu i tehnici.
 Bez trenja život bio nemoguć.
 Hodanje kretanje vozila, vezivanje konopaca, ukivanje, zvartanje, šivanje i
tkanje, transmisija, kočenje vozila, itd., moguće je samo zbog trenja.
 Sjetimo se samo poteškoća koje doživljavaju pješaci ili transportna sredstva za
vrijeme poledice, kada trenje između površine puta i stopala pješaka, odnosno
točkova vozila znatno smanjilo.

 Iz iskustva znamo da rukom lakše mašemo kroz vazduh nego kroz vodu. To
znači da se voda jače opire kretanu tijela no vazduh, tj. otpor vode je veći od
otpora vazduha.
 Međutim, i u istoj materijalnoj sredini razna tijela trpe različit otpor, jer on ne
zavisi samo od gustoće sredine nego i od nekih drugih faktora. Zbog otpora
sredine brzina tijela tijela opada.
 Pod otporom sredine podrazumjevamo otpor koji se javlja pri kretanju
čvrstog tijela kroz neki fluid, tj. tečnost ili gas. Zašto se javlja otpor sredine i
od čega on zavisi možemo zaključiti iz ovog razmatranja.
 Pri kretanju tijelo mora otklanjati djeliće sredine na koje nailazi, tj. mora
savlađivati njihovu inerciju, koheziju i međusobno kretanje.
 Zbog toga otpor sredine raste sa njenom gustoćom. Isto tako otpor sredine
raste s brzinom tijela i veličinom njegovog glavnog presjeka, jer ukoliko se
tijelo brže kreće i ukoliko je veći presjek, utoliko u svakoj sekundi otklanja
veći broj njenih djelića. Ispitivanjem je utvrđeno da je otpor sredine sve veći
ukoliko tijelo jače poremeti raspored njenih slojeva i ukoliko se iz tijela
obrazuju veći vrtlozi sredine, što zavisi od oblika tijela.

 Eksperimentalno je utvrđeno da je jačina otpora sredine: F = k · S · v2
-gdje je: v = brzina tijela, S = površina glavnog presjeka a k = konstanta čija
vrijednost zavisi od obilika tijela i od viskoznih svojstava sredine i zove se
koeficijent otpora.
 Na primjer, za glicerin je k mnogo veći nego za ovdu. Koeficijent otpora
određuje se eksperimentalno.
 Zavisno od oblika, tijela istog glavnog presjeka imaće razlićite koeficijente
otpora.
 Na slici (3. 19) su prikazani profili nekih tijela jednakih glavnih presjeka sa
vrijednostim odgovarajućih koeficijenata otpora k, kada se ona kreću u
vazduhu u smjeru koji pokazuje strijelica:
Sl.3.19.

 Vidi se da najmanji otpor daje tijelo koje ima oblik kišne kapi, koja slobodno
pada kroz vazduh.
 Stoga kažemo da je oblik aerodinamičkih linija.
 Zbog toga da se smanji otpor vazduha, tijelima koja se brzo kreću (avion,
automobil) dajemo aerodinamičan oblik
 Budući da otpor sredine djeluje suprotno brzini, to će se tijelo kretati
jednoliko od trenutka kada se otpor sredine izjednači sa silom koja pokreće
tijelo.
 Ovu brzinu kojom se tijelo kreće jednoliko, a na njega djeluje stalna sila,
zovemo graničnom brzinom. Za najveću kišnu kapljicu granična brzina
iznosi oko 8 m/s, a za padobran 5 m/s.

 U kinematici smo pokazali da se ubrzanje kod kružnog kretanja može
razložiti na normalnu an i tangencijalnu komponentu at.
 Kod jednolikog kružnog kretanja (ω = const.) javlja se samo normalno
ubrzanje an,dok tangencijalno ubrzanje at = 0.
 U tehnici je jednoliko kružno kretanje jedno od čestih oblika kretanja, pa
ćemo istražiti sile koje se javljaju kod takvog kretanja.
 Ove sile se najbolje maogu uočiti pri kruženju tijela vezanog koncem za
nepokretnu tačku O.

 Zatezanje konca izazivaju sile čiji se pravac poklapa sa pravcem konca.

 Neka se tijelo mase m (sl. 3. 20) ravnomjerno kreće po krugu radiusa r. Pri
ovakvom kretanju postoji samo normalno (radijalno) ubrzanje : , kojeg je
intenzitet:
 Prema II Njutnovom zakonu ovo ubrzanje je posljedica sile, intenziteta
Sl. 3.20.
na
r
2
n
v
a
r
=
2
n n
m v
F m a
r
×
= × =
koja je usmjerena ka centru kruga. Ova
sila se naziva: centripetalnom
(centrotežnom) silom (lat. centrum =
središte, petere = težiti). Ona svojim
dejstvom vuče tijelo prema centru i savija
njegovu putanju .

 U našem primjeru tijela vezanog koncem, ako drugi kraj konca držimo u
ruci, onda je centripetalna sila ona sila kojom naša ruka zateže
konac i preko njega djeluje na tijelo prinuđujući ga da se kreće
po krugu.
 Sila se uvijek javlja kao međusobno dejstvo tijela.
 Po zakonu akcije i reakcije javlja se sa tijela sila iste jačine, a suprotnog
smjera, tj. i tijelo djeluje preko konca na ruku silom koja teži da ruku odvuče
od centra.
 Ova sila reakcije koja djeluje na centar naziva se: centrifugalnom
(centrobježnom) silom (lat. centrum = središte, fugere = bježati).
 Očigledno je:
 Centripetalna i centrufugalna sila se javljaju kao međusobno djelovanje dva
tijela, u našem primjeru između tijela i ruke.
 Te dvije sile su jednake po veličini, imaju isti pravac ali suprotan smjer - te
su u ravnoteži. Međutim, ravnoteža se ne odnosi na tijelo koje se okreće,
nego na tijelo koje ga spaja sa centrom okretanja (konca, šipka). Zato čim
prestane djelovanje centripetalne sile - prekine se konac - prestane i
c nF F= −
ur ur

Eksperiment: E
 Sva ova izlaganja važe u nepokretnom sistemu referencije, odnosno za
posmatrača koji stoji van tijela koje rotira. Nešto drugačije okolnosti javljaju
se ako se posmatrač okreće zajedno sa tijelom.
 Neka se tijelo mase m nalazi na horizontalnoj rotirajućoj platformi i neka je
vezano elastičnom oprugom za centar rotacije (sl. 3. 21).
Sl.3.21.

 Sile koje djeluju na tijelo u sistemu koji jednoliko rotira analiziraćemo sa
stanovišta posmatrača koji miruje i nalazi se van platforme i sa stanovišta
posmatrača koji se nalazi na sredini platforme i rotira zajedno sa tijelom.
 Posmatrač koji se nalazi izvan platforme, uočava da tijelo jednoliko kruži
oko središta platforme pod djelovanjem elastične sile opruge , koja
djeluje prema centru platforme (sl. 3. 21a).
 Uzmimo sada da posmatrač rotira zajedno sa tijelom na platformi. Za
njega tijelo miruje.
 S druge strane, on uočava da je opruga rastegnuta uvijek konstantnom
silom, tj. da opruga djeluje konstantnom silom na tijelo (sl. 3. 21b).
 Kako tijelo uprkos tome miruje, posmatrač mora zaključiti da na tijelo
djeluje još jedna sila koja poništava djelovanje opruge.
 Ta sila mora po intenzitetu biti jednaka sili opruge (centripetalnoj), a po
smjeru mora biti suprotna.
NF
ur
icF
ur

 Drugi Njutnov zakon za posmatrača izvan platforme može da se piše:
 a za posmatrača koji rotira na platformi (rotirajući sistem):
 Sa označena je dodatna sila koja djeluje na tijelo u neinercijalnom
sistemu.
 Iz jednačine izlazi da je , dok je njen intenzitet:
-tj. dodatna sila ima istu vrijednost kao i centripetalna.
 Ta sila predstavlja tzv. inercijalnu silu, koju prema njenom djelovanju (od
centra van) nazivamo centrifugalnom inercijalnom silom.
2
N N
m v
F m a
r
×
= × =
ur
0N icF F+ =
ur ur
icF
ur
0N icF F+ =
ur ur
ic NF F= −
ur ur
2
ic
m v
F
r
×
=
ur

 Ova centrifugalna sila se pojavljuje samo u (neinercijalnom) sistemu koji
rotira.
 To je, dakle, zamišljena sila koje nema u (mirujućem) inercijalnom sistemu,
a koju dodajemo u neinercijalnom sistemu da bi sačuvala važnost II
Njutnovog zakona.
 Ako posmatrač u neinercijalnom sistemu želi da primjeni drugi Njutnov
zakon, tada mora uključiti djelovanje tzv. inercijalne sile:
 pa će za posmatrača u neinercijalnom sistemu II Njutnov zakon glasiti: zbir
svih realnih sila i inercijalne sile jednak je proizvodu
mase i ubrzanja:
 ili u skalarnom obliku:
 gdje je F „realna” sila koja djeluje na tijelo, aR = ubrzanje referentnog
sistema prema inercijalnom i a = ubrzanje tijela prema referentnom
(neinercijalnom sistemu).
i RF m a= − ×
ur r
F∑
ur
iF
ur
iF F m a+ = ×∑
ur ur r
RF m a m a− × = ×∑

 Prema izloženom zaključujemo da inercijalna centrifugalna sila, (pisaćemo
je samo sa Fc):
-uz konstantan r raste sa masom tijela i kvadratom brzine.
 Iz svakodnevnog iskustva je poznato da je na jednoj istoj krivini
centrifugalna sila veća za natovaren nego prazan kamion. Ako su kamioni
jednakih masa, onda je centrifugalna sila veća za onaj kamion koji ide brže.
Opasnosti od klizanja i prevrtanja automobila na krivinama naglo raste sa
brzinom v kretanja automobila.
 Isto tako iz gornje jednačine vidimo da je centrifugalna sila veća, ukoliko je
krivina oštrija ( ), tj. ukoliko je radius krivine manji.
 Kako je: v = r·ω centrifugalna sila se može napisati u obliku:
 odakle vidimo da je centrifugalna sila proporcionalna radijusu pri rotaciji
stalnom ugaonom brzinom ω.
2
c
m v
F
r
×
=
ur
1
k
r
=
2
cF m rω= × ×

 Pri rotaciji nekog tijela najveću centrifugalnu silu trpe čestice koje su najviše
udaljene od ose rotacije.
 Iz gornje jednačine vidimo da je centrifugalna sila proporcionalna kvadratu
ugaone brzine ω.
 Kod mašina koje se okreću velikim ugaonim brzinama centrifugalna sila
dostiže ogromne razmjere.
 Zakone za centrifugalnu silu možemo provjeriti eksperimentom pomoću
centrifugalne mašine (sl. 3. 22).
Sl. 3. 22

 Na dvije horizontalne šipke (sl. 3. 23)
postavljene su lako pokretne mase m i
M koje su međusobno vezane koncem.
Kada se mašina stavi u pogon, na tijelo
veće mase M djeluje veća centrifugalna
inercijalna sila, tako da ono privuče
manju masu m.
 Da je centrifugalna sila za jednake mase,
pri istoj ugaonoj brzini ω, veća ukoliko je
radijus kružne putanje veći možemo se
uvjeriti ovakvim eksperimentom.
 Na horizontalnu metalnu ploču sa
udubljenjima na jednakim rastojanjima od
centra (sl. 3. 24) postavimo dvije jednake
metalne kuglice tako da se nalaze u
udubljenjima na različitim udaljenostima
od centra. Kada se pomoću centrifugalne
mašine ploča stavi u okretanje (sl. 3.
24b), sa ploče će sletjeti prvo ona kuglica
koja se nalazi na većem rastojanju od
centra rotacije.
Sl. 3.23.
Sl. 3.24.

 Pomoću dva elastična metalna
obruča možemo pokazati da je
centrifugalna sila najveća za one
tačke na obručima koje su na
najvećem udaljenju od osovine
obrtanja (sl. 3. 25).
 Ovaj nam eksperiment ujedno
objašnjava zbog čega se Zemlja
spljoštila još kada je bila u tečnom
stanju.
Sl. 3.25.

 Centrifugalna putanja (vražja
petlja) je žlijeb u vidu strme ravni
koji u jednom dijelu prelazi u kružni
oblik (sl. 3. 26). Kada se po ovoj
petlji pusti iz tačke A mala kuglica,
ona će obići krug i neće pasti kada
dođe u najvišu tačku B.
 Naime, centrifugalna sila na
kružnom dijelu putanje pritiskuje
kuglicu uz žlijeb; pa stoga kuglica
neće pasti kada dospije u tačku B,
nego će nastaviti kretanje i
dospjeće u tačku C.
 Na ovom principu zasniva se
kretanje motociklista uz „zid smrti“.
Sl. 3.26.

 Centrifugalna sila ima različite
primjene u tehnici među kojima
spominjemo ove:
 1. Centrifugalni regulator
sastoji se od dvije metalne kugle K1
i K2 postavljene tako da kad miruju
vise pored jedne vertikalne okretne
osovine O (sl. 3. 27). Prsten P, za
koji su vezane obje kugle, obuhvata
osovinu O, a spojen je pomoću
poluge na lakat ab sa
horizontalnom osovinom ventila V.
 Ovaj propušta vodenu paru iz
parnog kotla kroz cijev C. Kada se
osovina okreće, kugle se razmiču
zbog centrifugalne sile i to sve više
ukoliko se osovina brže okreće.
Sl. 3.27.
 Kada se kugle podižu, podiže se i
prsten P, a preko poluge ab podiže
se ventil iz horizontalnog položaja i
smanjuje dovod pare kroz cijev.
Kod sporijek okretanja osovine
kugle se spuštaju i ventila V se
probližava horizontalnom položaju i
dopušta sve veće priticanje pare.
 Tako ovaj regulator omogućava
ravnomjerno obrtanje osovine.
Izumio ga je engleski naučnik Vat
(Wat James), pa se po njemu zove i
Vatov regulator.

 2. Centrifuga za cijeđenje rublja je metalni šuplji sud A u koji se
stavlja mokro rublje.
 Sud A se nalazi u subu B i okreće se oko zajedničke osovine O (sl. 3. 28).
 Usljed centrifugalne sile iz rublja se izdvaja voda i pada u sud B.
 Na taj način rublje se ocijedi i brzo se može osušiti.
Sl. 3.28.

 3. Centrifuga za med (maslac). Slična je centrifugi za sušenje rublja, a
služi za izdvajanje meda (maslaca) iza saća (mlijeka).
 4. Separator za taloge (sl. 3.29) služi za taloženje čvrstih čestica koje se
nalaze u nekoj tečnosti. Upotrebljava se u medicinskim laboratorijama pri
analizi krvi i mokraće.
Sl. 3.29.

 5. Centrifugalni šmrk (pumpa)
služi za prebacivanje vode u vodovodne i
kanalizacione mreže. To je točak A sa
razvijenim lopatama, koji se može
okretati u stublinu B (sl. 3. 30).
 U stublini B se nalaze dvije cijevi : C koja
ulazi u pravcu osovine točka A i D koja
ima pravac tangente prema točku A.
Kada se stublina ispuni vodom, onda pri
brzom okretanju točka A voda biva
potisnuta napolje usljed djelovanja
centrifugalne sile.
 Zbog odlaženja vode iz stubline,
atmosferski pritisak potiskuje vodu u
cijev C, koja se nalazi u vodi (kanalu).
 Ovaj šmrk ne radi na mahove nego
ravnomjerno (kontinuirano), a pošto
nema ventila podesan je za prebacivanje
vode koja ima mulja i pijeska.
Sl. 3.30.

 6. Centrifugalna inercijalna sila
djeluje i na vozila u krivini radiusa r. Da bi
se kompenzovalo radijalno dejstvo točkova
na put, ondnosno na šine, moramo ravan
puta negnuti za neki ugao (sl. 3. 31).
 Ako bi se voz kretao brzinom V po
kolosjeku koji nije nagnut (sl. 3. 31), na
šine bi u horizontalnom pravcu djelovala
centrifugalna sila Fc, koja bi težila da
makne voz sa šine. Ova sila iznosi:
- gdje je: m = masa voza.
 Ako se kolosjek nagne za ugao i težina G
se razloži na dvije komponente: normalnu
N i horizontalnu Fh. Veličina horizontalne
komponente je:
Sl. 3.31.
2
c
m v
F
r
×
=
hF m g tgθ= × ×

 Promjena ugla mijenja se i veličina horizontalne komponente Fh.
 Za jednu vrijednost g, komponenta Fh će imati istu vrijednost kao i
centrifugalna sila Fc, pa će se poništavati. Za ovaj slučaj kada je Fh = Fc, ostaje
samo normalna komponenta i voz djeluje na šine samo okomito na ravan
kolosjeka, pa ne dolazi do habanja šina,
 Ugao gse onda određuje iz:
 odakle je:
 U ovoj jednačini se ne javlja masa voza, što znači da je ugao g ne zavisi od
mase vozila, već samo od brzine i radijus akrivine r. Zato nagib puta mora
da bude veći na oštrim krivinama (radijus krivine r manji) i auto-putevima
(brzina v veća).
θ
θ 2
g
m v
m g tg
r
θ
×
× × =
2
g
v
tg
r g
θ =
×

 Pojam rada u mehanici razlikuje se od pojma rada u svakodnevnom životu.
 U svakodnevnom životu pod nazivom rad podrazumjeva se svaki oblik
fizičke ili umne aktivnosti.
 Umni rad ima sasvim drugo značenje od pojma rada u fizici.
 U fizici je pojam rada strogo definisan i odnosi se na savlađivanje sila na
datom putu.
 Kad na neko tijelo djeluje sila, koja savladava sve otpore i pokrene tijelo,
kažemo da sila vrši mehanički rad.
 Na primjer, kad lokomotiva vuče voz, onda vučna sila lokomotive vrši rad
savladavajući trenje točkova o kolosjek i otpor vazduha. Pri kopanju zemlje
sila naših mišića vrši rad protiv otpora zemlje, tj. adhezije. Dizanje tereta
nasuprot sili teže također predstavljati rad, itd.
 Navedeni primjeri, koji čine malen dio mnogobrojnih slučajeva rada,
pokazuju da se rad vrši onda kada sila pomjera tijelo na izvjesno odstojanje,
pa možemo reći: mehanički rad je savljađivanje sile (otpora) na
nekom putu.

 Pri dizanju tereta izvršeni rad je utoliko veći ukoliko teret dižemo ovom na
veću visinu, a isto tako rad je veći ako je teret kojeg dižemo veći. U ovom
slučaju izvršeni rad je proporcionalan proizvodu ove dvije veličine,
tj. proizvodu iz sile i puta na kome se vrši pomjeranje. Ako se pomjeranje
vrši u pravcu sile, onda se izvršeni mehanički rad definira proizvodom
sile i puta na kome je djelovala sila.
 Neka je tijelo (3. 32) pod djelovanjem sile pomjera po horizontalnoj ravni.
Pri ovome sila vrši pomjeranje tijela savlađujući silu trenja, koja ima
suprotan smjer od sile , a pomjeranje se vrši u pravcu sile . Označimo li
izvršeni rad sa A, a pređeni put sa s, onda je izvršeni rad skalarna veličina:
A = F · s
 Ovakva jednačina važi u najprostijem slučaju kada se pravci sile i puta
poklapaju i kada sila ima stalan intenzitet. Poopćenje izraza za rad može se
najprije izvršiti za slučaj kada se pravac sile i puta s ne poklapaju.

 Neka je tijelo (3. 32) pod
djelovanjem sile pomjera po
horizontalnoj ravni.
 Pri ovome sila vrši pomjeranje
tijela savlađujući silu trenja, koja
ima suprotan smjer od sile , a
pomjeranje se vrši u pravcu
sile .
 Označimo li izvršeni rad sa A, a
pređeni put sa s, onda je izvršeni
rad skalarna veličina:
A = F · s
 Ovakva jednačina važi u
najprostijem slučaju kada se pravci
sile i puta poklapaju i kada sila ima
stalan intenzitet.
 Poopćenje izraza za rad može se
najprije izvršiti za slučaj kada se
pravac sile i puta s ne poklapaju.
F
ur
F
ur
F
ur
F
ur
F
ur
Sl. 3.32.

 Neka je tijelo prinuđeno da se
kreće po putu s (vagon po šinama),
a sila djeluje u nekom drugom
pravcu koji sa pravcem puta s
zaklapa neki ugao α (sl. 3. 33). U
tom slučaju sila se razlaže na
dvije komponente:
 jednu koja djeluje u pravcu puta
i drugu koja je okomita na put.
 Normalna kompontenta ne vrši rad
jer se pomjeranje ne vrši u tom
pravcu. Ako se tijelo pomjeri za put
s, onda je izvršen rad:
A = · s
 Kako je
= F · cosα,
-nalaz imo da je rad:
= F · s · cosα
 Iz ove jednačine
možemo zaključiti
slijedeće:
sF
ur
NF
ur
F
ur
F
ur
sF
ur
sF
ur
sF
ur
 Ako sila i pravac pomjeranja
obrazuju oštar ugao ( )
rad je pozitivan.
 Pri rad je jednak nuli.
,cos 0
2
π
α α< >
2
π
α =
Sl. 3.33.

 Ako je α tupi ugao ( ) rad je negativna veličina.
 Negativni rad nastaje u slučaju kada sila spriječava kretanje koje se već
vrši. Takve su, na primjer, sile trenja pri kočenju ili zaustavljanju tijela.
 Rad je skalarna veličina, dok su sila i pomjeranje vektorske veličine.
 Iz definicije skalarnog proizvoda vektora
i jednačine za rad A = F · s · cosα
vidimo da se rad može izraziti skalarnim proizvodom, tj.
 Dakle, rad je skalarni proizvod sile i pomjeranja .
,cos 0
2
π
α α> <
F
ur
s
r
a i b
r r
| | | | cos ( , )a b a b a b× = × × </
r r r r r r
A F s= ×
ur r
F
ur
s
r

 Dosad izložene jednačine važe samo kada je sila stalna veličina.
 U opštem slučaju sila koja djeluje na tijelo može da se mijenja duž
pomjeranja.
 Tada u infinitezimalno kratkom vremenu dt možemo smatrati da je sila
konstantna i da će tijelo za to vrijeme preći infitezimalni dio puta ds (sl. 3.
34). Sila će izvršiti infinitezimalni dio rada.
dA = F · ds · cosα
 Ukupan rad u vremenu t pri čemu se tijelo pomjeri od s1 do s2 biće:
Sl. 3.34.
2
1
coss
s
A F dsα= ∫ × ×

 Pomoću ovog izraza može se izračunati rad samo onda kada je poznata sila
F kao funkcija pomjeranja s. Integracija može često biti vrlo komplikovana.
 Neka je promjena intenziteta sile u zavisnosti od pomjeranja s predstavljeno
krivom MN na grafikonu (sl. 3. 35). Elementarni rad dA predstavljen je
dvostruko išrafiranom površinom ispod krive MN.
 Kao primjer, izračunajmo koliko rad izvrši tijelo mase m kad slobodno padne
sa visine h.
Sl. 3.35.

 Sila koja djeluje u smjeru puta je sila teže. F = G = m · g
-pa je
 Naći ćemo rad koji se vrši pri rastezanju opruge koja se potčinjava Hukovom
zakonu, tj. kada je:
F = k · x - gdje je: x = izduženje opruge.
 Sila djeluje u smjeru pomjeranja (sl. 3. 36), pa rad koji treba izvršiti da se
izazove izduženje opruge x, iznosi:
 Pri sabijanju opruge za veličinu x vrši se po veličini i predznaku isti rad kao i
pri rastezanju.
 Projekcija sile u tom slučaju je negativna (sl. 3. 36), a i izduženje dx je
negativno, zbog čega je F · dx pozitivno.
0 0
h h
A F ds m g ds m g h= ∫ × = ∫ × × = × ×
2
0 0
1
2
x x
A F dx k x dx k x= ∫ × = ∫ × × = × ×

 Prema osnovnoj relaciji za rad dimenzija rada je:
 Prema istoj relaciji jedinica rada je onaj rad koji se izvrši jediničnom silom
koja djeluje na jedinici dužine u pravcu pomjeranja.
 U SI - sistemu jedinica rada je džul (1J), koji je jednak radu koji izvrši
sila od jednog Njutna na putu od jednog metra (ako je sila u
pravcu puta) tj.
1J = 1N · 1m.
[ ] [ ] 2 2 2
A F s M L T L M L T− −
   = × = × × × = × ×   
Sl. 3.36.

 Pri definiciji rada nismo uzimali u obzir vrijeme za koje je izvršen rad.
 Na primjer, pri podizanju predmeta mase m na visinu h izvršili smo rad m ·
g · h bez obzira na to da li smo predmet podigli naglo ili sporo.
 U mnogo slučajeva, međutim, potrebno je znati brzinu kojom se vrši rad,
odnosno količinu izvršenog rada u određenom intervalu vremena.
 Tako, na primjer, jedan mali motor, može da izvrši mnogo rada ako se pusti
da radi dugo vremena. Međutim, ako je potrebno da se isti rad izvrši za
kraće vrijeme, moramo uzeti veću mašinu.
 Dakle, procjenu sposobnosti rada raznih mašina treba izračunavati njihove
radove za jednake vremenske razmake. Fizička veličina koja karakterizira
brzina vršenja rada zove se snaga ili efekat i obilježava sa P.
 Ako je u vremenu t izvršen rad A, onda je srednja snaga veličina koja je
jednaka odnosu rada i vremena za koje je taj rad izvršen, tj.
A
P
t
=

 Ako se za jednake, po volji male intervale vremena ∆t vrši nejednak rad ∆A,
snaga se mijenja sa vremenom. U tom slučaju uvodi se trenutna snaga
kao:
 Snaga je skalarna veličina, što se slaže sa činjenicom da se dobija
dijeljenjem rada kao skalarne veličine sa vremenom, koji je također skalar.
 Neka se za vrijeme dt hvatište sile pomjeri za tada će elementarni rad dA
koji se izvrši za vrijeme dt biti:
-pa se snaga može predstaviti u obliku:
 Prema tome, snaga je jednaka skalarnom proizvodu vektora sile
sa vektorom brzine, kojom se kreće hvatište sile:
0
lim
t
A dA
P
t dt∆ →
∆
= =
∆
ds
r
dA F ds= ×
ur r
dA F d s
P F v
dt dt
×
= = = ×
ur r
ur r
P F v= ×
ur r

 Dimenzija snage je:
 Jedinica snage izvedena je iz jedinice za rad i jedinice za vrijeme.
 U SI - sistemu jedinica za snagu je vat (W), koji odgovara brzini vršenja rada
od 1 džula u 1 sekundi, tj.:
 Kako je to veoma mala jedinica, u praksi se upotrebljava: 1KW = 103
W i
1MW = 106
W
 U tehnici se rad često izražava pomoću jedinice za snagu. Prema jednačini:
 izlazi da je: 1W · 1s = 1J
 Jedinica 1W · 1s zove se vat-sekunda, pa se 1J često naziva i vat-sekunda.
Vat-sekunda (Ws) ke rad koji mašina snage 1W izvrši za vrijeme od 1s, tj.:
1Ws = 1W · 1s = 1J
[ ] [ ] 2 3A
P F v M L T
t
− 
 = = × = ×   
1 1
J
W
s
=
1 1
J
W
s
=

 Fizička veličina koja karakterizira sposobnost tijela (ili sistem tijela) da
vrši rad zove se energija (grč. energija = djelovanje).
 Tijela mogu vršiti rad usljed stečene brzine odnosno, usljed kretanja, a
isto tako i usljed položaja koji su kretanjem zauzela.
 Sva tijela u kretanju raspolažu energijom tako da pri zaustavljanju ili
usporavanju mogu izvršiti određeni rad.
 Pri vršenju rada prvobitna energija tijela se smanjuje. Brzi tokovi
rijeka i vjetar praktično se iskorištavaju za dobijanje rada.
 Energija koju posjeduje tijelo usljed brzine zove se kinetička energija ili
energija kretanja.
 Isto tako i u relativno mirnom tijelu može postojati energija. Očevidan
primjer za ovakav slučaj je uzdignuto tijelo ili zategnuta opruga. Ako
uzdignutom tijelu izmaknemo podlogu ono će padati i pri tome može izvršiti
određeni rad.
 Dakle, uzdignuto tijelo posjeduje energiju.

 Poznat je primjer kod vodopada gdje se za dobijanje rada koristi energija
položaja vode. Osim „brzinske“ i „visinske“ energije tijelo može imati
energiju i usljed poremećaja ravnotežnog položaja molekula, odnosno usljed
elastičnosti materijala.
 Kao primjer uzmimo navijenu oprugu sata. Za navijanje opruge izvršen je
određeni rad. Navijena opruga je u stanju da pokreće mehanizam sata, tj.
sposobna je da vrši rad. Ona, dakle, raspolaže izvjesnom energijom, koja je
slična energiji položaja.
 Sposobnost mirnog tijela da rad koji je utrošen za promjenu njegovog
položaja ili za njegovu deformaciju, bilo kad opet vrati, zove se
potencijalna energija.
 Iz navedenog zaključujemo da u mehanici postoje dva glavna oblika
energije: kinetička i potecijalna.
 Ukratko se može reći da je kinetička energija - energija kretanja, a
potencijalna energija je energija položaja.
 Definicija energije jasno pokazuje da su dimenzije i jedinice za energiju iste
kao i za rad.

 Svako tijelo koje se kreće u stanju je da izvrši neki rad i to u toku procesa
dok se ne zaustavi.
 Neka se posmatrano tijelo kreće brzinom v.
 Da bi se iz stanja mirovanja dovelo u stanje kretanja brzinom v, treba na to
tijelo da djeluje neka sila u da pri tome izvrši rad nad tim tijelom. Isto tako
da bi se tijelo, koje se kreće brzinom v, zaustavilo mora se izvršiti izvjestan
rad.
 Neka je sila koja zaustavlja to tijelo konstantna. Prilikom zaustavljanja tijela
ta sila izaziva negativno ubrzanje tj. usporenje a.
 Rad te sile koja zaustavi tijelo predstavlja mjeru za količinu kinetičke
energije tijela, koje se kreće brzinom v.
 Neka je m masa tijela koje se kreće brzinom v.
 Potražimo jednačinu za kinetičku energiju tog tijela uz konstataciju da je
njegova kinetička energija jednaka radu koju to tijelo može da izvrši, tj.:
Ek = A

 Neka je F stalna sila koja zaustavlja tijela, a s put kojeg tijelo prevali do
zaustavljanja (sl. 3. 37). Tada je:
Ek = A = F · s
 Kretanje tijela je jednako usporeno, pa ako je a usporenje tijela, onda je
sila: F = m · a
--a pređeni put s možemo naći iz relacije:
-- gdje je v' = 0 na kraju puta s.
Sl. 3.37.
2
' 2v v a s= − × ×

 Odavde je:
 Zamjenom vrijednosti za F i s u jednačinu Ek = A = F · s dobijamo jednačinu
za kinetičku energiju:
 kinetička energija tijela mase m koje se kreće brzinom v,
jednaka je polovini proizvoda mase i kvadrata brzine tog tijela.
 Vršenje rada nad tijelom dovodi do porasta njegove kinetičke energije.
 Pokazaćemo to za silu koja se na proizvoljan način mijenja sa vremenom.
2
2
v
s
a
=
×
2 2
2 2
k
v m v
E F s m a
a
×
= × = × × =
×

 Neka se tijelo mase m u datom momentu vremena kreće brzinom v i neka
se nalazi pod djelovanjem sile F koja ima isti smjer kao i brzina v.
 Za vrijeme dt nad tijelom će biti izvršen rad: dA' = F · ds = F · v · dt
 Zbog čega će se brzina tijela povećati za veličinu:
 Odavde je: F · dt = m · dv
 Zamjenom ove vrijednosti u jednačinu (dA' = F · ds = F · v · dt) dobijamo:
dA' = m · v · dv
 Desni dio ove jednačine predstavlja diferencijal izraza , tj.:
 Prema tome je:
F
dv a dt dt
m
= × = ×
2
2
m v×
2
2
m v
d m v dv
 ×
= × × ÷
 
2
' ( )
2
k
m v
dA d d E
 ×
= = ÷
 

 Dakle, rad dA', koji se vrši nad tijelom, jednak je povećanju veličine ,
tj. povećanju kinetičke energije tijela Ek.
 Sumirajući elementarne radove, koje nad tijelom vrši sila, dobićemo:
 odnosno: A' = Ek2 - Ek1
--gdje je: Ek1 početna, a Ek2 konačna kinetička energija tijela.
 Na osnovu ove jednačine izlazi: priraštaj kinetičke energije jednak je
radu koji izvrši sila.
 Prema tome zaključujemo da i obratno, kada neko tijelo vrši rad, njegova
energija se smanji za količinu toga rada.
 Tijelo, dakle, ne može pretrpjeti nikakvu transformaciju, a da mu se energija
ne promjeni.
2
2
m v×
2
1
2 2 2
2 1
'
2 2 2
v
v
m v m v m v
A dA d
 × × ×
= ∫ = ∫ × = − ÷
 

 Pomjeranje nekog tijela može da se vrši pod dejstvom neke sile uz ulaganje
rada.
 U nekim slučajevima tijelo i kada ne dobija kinetičku energiju može da dođe
u takav položaj da može vratiti uloženi rad pri vračanju u prvobitni položaj.
 U takvom položaju tijelo ima potencijalnu energiju u odnosu na prvobitni
položaj (lt. potentia = moć).
 Zato se potencijalna energija popularno definiše kao sposobnost tijela da
izvrši rad zahvaljujući položaju u kome se nalazi.
 U mehanici uglavnom postoje dva oblika ove energije: gravitaciona
potencijalna energija i elastična potencijalna energija.

 Gravitaciona potencijalna
energija mjeri se radom koji
treba izvršiti da se tijelo mase m
digne na visinu h računajući od
nekog proizvoljnog nivoa, recimo
površine Zemlje (sl. 3. 38).
 Kako je težina tijela G = m · g to
je sila F potrebna da podignemo
tijelo po intenzitetu konstantna i
jednaka težini tijela:
F = G = m · g
 Rad potreban da podignemo
tijelo na visinu h iznosi:
A = Ep = F · h = m · g · h
--tj. potencijalna energija nekog
tijela u gravitacionom polju zavisi
samo od njegove visine u odnosu na
površinu Zemlje (h = 0).
Sl. 3.38.

 Kako se nulti nivo potencijalne energije bira proizvoljno, ovaj vid energije
može biti i negativan.
 Na primjer, prema slici posmatrano tijelo ima na površini Zemlje
potencijalnu energiju Ep = 0 na visini h je Ep = mgh a u jami dubine h1
potencijalna energija je: Ep = - m · g · h1.
 Pretpostavimo sada da tijelo nismo podizali vertikalno, nego po bilo kakvoj
krivoj površini bez trenja prikazanoj na slici (3. 39).
 Za vrijeme infinitezimalnog pomaka ds duž krive postoje tri sile koje djeluju
na tijelo: težina: G = m · g prema dolje, normalna sila N koja predstavlja
reakciju podloge i vanjska sila F koja pomjera tijelo prema gore.
Sl. 3.39.

 Neka sila F zatvara sa tangentom na površini ugao , dok tangenta sa
horizontom zatvara ugao . Ako se tijelo jednoliko pomjera po površini onda
tangencijalne komponente svih sila moraju biti u ravnoteži, tj. mora biti:
 Odnos između infinitezimalnog puta ds, njegove vertikalne komponente dy i
ugla prikazan je na slici (3. 40b).
cos sin 0F Gθ ϕ× − × =
Sl. 3.40.
2
1 cosA F dsθ= ∫ × ×
(3.65)
 Rad koji izvrše vanjske sile
pomjerajući tijelo iz tačke 1 u
tačku 2 iznosi:
 Kako je prema jednačini (3. 65)
-to je
cos sinF m gθ ϕ× = × ×
2
1 sinA m g dsϕ= ∫ × × ×
ϕ

 Vidimo da je:
--pa je:
-odnosno: A = m · g · (y2 - y1)
 Ova jednačina pokazuje da izvršeni rad zavisi samo od početnog i krajnjeg
položaja.
 Bitno je istaći da je izvršen rad u polju Zemljine teže nezavisan od oblika
putanje duž koje smo pomjerali tijelo.
 Fizička polja u kojima izvršeni rad ima ovakvu osobinu zovu se:
konzervativnim poljima.
 Sile koje imaju ovakva polja zovu se: potencijalne sile.
sins yd dϕ× =
2 2
1 1y yA mg d m g d= ∫ × = × ∫

 Energija koju sadrži rastegnuta ili savijena spiralna opruga zove se:
elastična potencijalna energija.
 Iznos potencijalne energije jednake je radu koji je izvršen za rastezanje
opruge.
 Posmatraćemo elastičnu silu čiji se intenzitet linearno povećava sa
rastojanjem elastičnog sistema od ravnotežnog položaja:
--gdje je x = izduženje opruge.
 Sile sa ovakvim osobinama zovu se: haramonijskim silama.
 Sila istezanja je:
--pa rad pri istezanju opruge za
dužinu x iznosi:
eF k x= − ×
ur r
i eF F k x= − = ×
ur ur r
2
0 0
1
2
x x
iA F d x k x dx k x= ∫ × = ×∫ × = × ×
ur r
Sl. 3.41.

 Možemo reći da je ovim radom povećanja i potencijalna energija opruge
od o na:
 Zavisnost potencijalne energije opruge Ep od izduženja x prikazano je na
slici:
21
2
pE k x= × ×
Sl. 3.42.

 Tijelo u kretanju može istovremeno imati i kinetičku i potencijalnu energiju.
 Suma tih energija čini punu mehaničku energiju.
 Potencijalna i kinetička energija mogu se pretvarati jedna u drugu.
 Pitanje koje možemo postaviti jeste: da li se energija u tim procesima
transformacije izgubi ili ostaje sačuvana.
 Posmatraćemo izoliran (zatvoren) sistem, tj. takav sistem na koji ne
djeluju spoljašnje sile.
 Sile u takvom sistemu se pojavljuju samo kao međudjelovanja tijela u
sistemu.
 Takav sistem ne daje okolini nikakvu energiju, niti je prima od okoline. Rad
u tom sistemu se odvija kroz izmjenu energije.
 Neka je u takvom sistemu na račun potencijalne energije izvršen rad dA.
Sistem je izgubio dio potencijalne energije: -dEp, tj.:
dA= - dEp (3.71)

 Na račun tog rada dA sistemu se povećala kinetička energija za dEk, tj.:
dA= dEk
 Iz: (3. 71) i (3. 72) slijedi da je:
dEk = - dEp
 ili
dEk + dEp= 0
 odnosno:
d(Ek + Ep) = 0
 Dakle, u izoliranom sistemu promjena sume kinetičke energije i
potencijalne nergije jednaka je nuli.
 Integrišući gornju jednačinu dobijamo:
Ek + Ep = const
 U izoliranom sistemu zbir kinetičke i potencijalne energije je
konstantan.
(3.72)

 Ovo pravilo se zove: zakon o održanju mehaničke energije.
 Tu se radi samo o sumi mehaničkih energija, međutim, kasnije ćemo vidjeti
da to vrijedi za sve energije u izoliranom sistemu.
 Provjerimo ovaj zakon na primjeru slobodnog pada.
 Neka se tijelo mase m nalazi u tački A na visini H, u odnosu na neki
referentni nivo (sl. 3. 43). U tački A kinetička energija tijela jednaka je nuli
(tijelo miruje), a potencijalna energija je: m·g·H.
 Ukupna energija u tački A je: EA = m·g·H
 Posmatrajmo tijelo kad dospije u tačku B, koja je od
referentnog nivoa udaljen za h. U toj tački tijelo ima brzinu,
što znači da ima kinetičku energiju i potencijalnu
energijuEp = m·g·h.
 Ukupna energija u tački B je:
Sl.3.43.
21
2
kE m v= × ×
2
2
B
m v
E m g h
×
= + × ×

 Kako je brzina kod slobodnog pada na kraju pređenog puta , a
vidimo da je h = H-x, dobijamo da je ukupna energija u tački B:
--tj. jednaka je prvobitnoj energiji tijela.
 Posmatrajmo dalje energiju u tački C, tj. kada tijelo padne na površinu
Zemlje (h = 0). Potencijalna energija mu je jednaka nuli, pa tijelo ima samo
kinetičku energiju. Ukupna energija u tački C je:
 Kako je brzina u trenutku udara o Zemlju dobijamo da je:
--tj. jednaka je energiji tijela koju je ono imalo u početnom pložaju.
: 2x v gx=
2 ( )
2
B
m
E g x m g H x m g H= × × × + × − = × ×
2
2
c
c
m v
E
×
=
2cv gH=
2
2
c
m
E gH mgH= × =

 Ovaj primjer jasno pokazuje da je zbir kinetičke i potencijalne energije
konstantna veličina, iako se potencijalna energija pretvara u kinetičku.
 Prilikom formulisanja zakona održanja mehaničke energije pretpostavili smo
da je sistem izolovan, tj. da ne postoji pretvaranje mehaničke energije u
druge nemehaničke oblike.
 Kao primjer toga pretvaranja može poslužiti slučaj postojanja sila trenja,
koje su „rasipne“ prirode.
 Pretvaranje potencijalne energije u kinetičku možemo posmatrati na
Maksvelovom točku (sl. 3. 44) ili na običnom klatnu (sl. 3. 45).

 Demonstrirani zakon je jedan od fundamentalnih zakona fizike i u opštem
slučaju važi za sve prijelaze i ostalih energija iz jednog oblika u drugi.
 Važnost ovog zakona lako se može uočiti pri izračunavanju pojedinih fizičkih
veličina.
 Mnogi problemi kretanja mogu se riješiti jednostavnije ako se primjeni
zakon održanja energije nego direktnom upotrebom drugog Njutnovog
zakona.
Sl.3.44. Sl.3.45.
Maksvelov točak Klatno

 Uzmimo primjer prikazan na slici (3. 46).
 Neka tijelo iz stanja mira klizi iz tačke 1
na visini h1 do tačke 2 na visini h2 bez
trenja. Kolika je brzina tijela u tački 1?
 Dok bi rješenje pomoću II Njutnovog
zakona bilo prilično komplikovano, zakon
o održanju energije daće nam rješenje na
vrlo jednostavan način:
 Na početku (tačka 1) kinetička energija je
nula, a potencijalna mgh1.
 Konačna kinetička energija je:
--a potencijalna: mgh2.
2
2
1
2
mv
Sl.3.46.

 Iz održanja energije izlazi: Ek1+Ep1 = Ek2+Ep2
 odakle je:
 Ako se posmatra kretanje tijela sa trenjem (sistem neizoliran, djeluju
spoljašnje sile), onda se ne može govoriti o održanju totalne mehaničke
energije, ali: prvobitna energija mora biti jednaka zbiru energija
na kraju kretanja i rada sile trenja.
 U ovom slučaju možemo reći da se mehanička energija „rasipa“ pretvarajući
se u toplotnu energiju.
2
2
1 20
2
m v
mgh m g h
×
+ = + × ×
2 1 22 ( )v g h h= × × −

Sr sp-latn fizika--_poglavlje3

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie Sr sp-latn fizika--_poglavlje3

Ähnlich wie Sr sp-latn fizika--_poglavlje3 (10)

Sr sp-latn fizika--_poglavlje3