area entre 2 curvas definicion y ejemplos del tema

2. Para encontrar el área de una región entre dos curvas, hay que considerar dos
funciones y , las cuales tiene que ser continuas en los intervalos [a,b].
Si las graficas están sobre el eje x y la grafica esta debajo de la grafica
, se puede interpretar geométricamente el área de la región entre las graficas, es decir restar
el área de la función al área de la función , esto nos dará el área entre
2 curvas en determinados intervalos.
Definición
Si y son continuas en [a,b] y ≤ para todo x en
[a,b], entonces el área de la región acotada por las graficas y y las
rectas verticales y es

Área de una región entre dos curvas que se intersecan
Se utiliza el mismo método, con excepción que aquí los intervalos se buscan, ya que
como intervalos se utilizan los puntos donde se intersecan las graficas. Hay veces que las
graficas se intersecan mas de 2 veces y de aquí sale que se sumas las 2 regiones, sin

3. importar que grafica pase arriba o abajo, ya que para eso solo se utiliza la misma lógica
de ≤ o ≤ y de esa forma se tendrá los 3
intervalos, uno para [a,b] y otra para [b,c].

Si la grafica de una función de y es una frontera de una región, es a menudo
conveniente usar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área integrando
en la variable y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se usan



4. Donde (x1, x2) y (y1 , y2) son los puntos adyacentes de intersección de las dos curvas
implicadas o puntos sobre las rectas de la frontera especificadas.
Ejemplo # 1
Encontrar el área de la región:

Solución
Como se observa en la figura nuestra función de arriba es y la de abajo
es por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde
donde

5. 
Ejemplo # 2
Encontrar el área de la región:
Solución
Como se muestra en la figura la función de arriba es y en la parte de abajo
es por lo tanto utilizamos nuestra ecuación donde
donde

6. 
Ejemplo # 3
Calcule el área del a región definida por las parábolas:
Solución
Ecuación de la parábola:
completamos al cuadrado

7. igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones:
ó
ó

8. Ejemplo # 3
Calcule el área de la región definida por las parábolas:
Ecuación de la parábola:
Para graficar esta parábola en caso de que no nos acordemos como se hace solo con
viendo la ecuación podemos graficarla metiéndole valores a X para saber cuánto vale en Y
y así graficarla

9. Igualamos las ecuaciones para encontrar las intersecciones(los puntos en donde
evaluaremos la integral):
y
ya teniendo las intercesiones que es 0 y 2 (esto quiere decir que integraremos de 0 a 2 que
es el área que encierran las dos parábolas)
integramos:

10. Ejemplo # 4
Calcule el área de la región definida por:
Solución
Igualamos las ecuaciones para encontrar los intervalos en que crece el área delimitada:

11. tomamos |x| como positivo por ser el valor absoluto de |x|:
factorizamos utilizando el método cuadrático:
pero como la recta de la que depende el área es |x| (el valor absoluto de x) es positiva
evaluamos en 0, y los intervalos nos quedan:
Ahora evaluamos el área sub i
Ahora para aproximarnos más al área evaluamos el límite:</tex>
Ahora calculamos la integral: