Pesquisa Operacional: Programação Linear Lista de exercícios resolvidos - Método Simplex

1. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
EXERCÍCIO Nº 1
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex.
Max. z = 3x1 + 5x2
s.a.
2x1 x2
6x1 x2
x1 -x2
x1 e x2 0
1º Normalizar as inequações:
2x1 x2+ f 1 = 
6x1 x2+ f 2 = 20
x1 -x2+ f 3 = 
- 3x1 - 5x2 = 
2º Tabular os coeficientes.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 2 4 1 0 0 10
f2 6 1 0 1 0 20
f3 1 -1 0 0 1 30
Z -3 -5 0 0 0 0
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 2 4 1 0 0 10 10 / 4 = 2,5
f2 6 1 0 1 0 20 20 / 1 = 20
f3 1 -1 0 0 1 30 30/ -1 = -30
Z -3 -5 0 0 0 0
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 1 0,5 1 0,25 0 0 2,5

2. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5
f2 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
f3 1,5 0 0,25 0 1 32,5
Z -0,5 0 1,25 0 0 12,5
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f2
Antiga 6 1 0 1 0 20
- (1 x NEP ) 0,5 1 0,25 0 0 2,5
Nova 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
Para f3
Antiga 1 -1 0 0 1 30
- (-1 x NEP ) -0,5 -1 -0,25 0 0 -2,5
Nova 1,5 0 0,25 0 1 32,5
Para L
Antiga -3 -5 0 0 0 0
- (-5 x NEP ) -2,5 -5 -1,25 0 0 -12,5
Nova -0,5 0 1,25 0 0 12,5
6º Analisar o resultado. Como o valor de x1 ainda é negativo, é necessário repetir o ciclo.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5
f2 5,5 0 -0,25 1 0 17,5
f3 1,5 0 0,25 0 1 32,5
Z -0,5 0 1,25 0 0 12,5
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

3. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
7º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô  N.E.P. = E.P. / Pivô
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Solução
Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5
f2 5,5 0 -0,25 1 0 17,5 17,5 / 5,5 = 3,18
f3 1,5 0 0,25 0 1 32,5 32,5 / 1,5 = 21,67
L -0,5 0 1,25 0 0 12,5
8º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 2 1 0 -0,045 0,18 0 3,18
9º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f3
Antiga 1,5 0 0,25 0 1 32,5
- (1,5 x NEP ) 1,5 0 -0,067 0,27 0 4,77
Nova 0 0 0,317 -0,27 1 27,73
Para L
Antiga -0,5 0 1,25 0 0 12,5
- (-0,5 x NEP ) -0,5 0 0,022 -0,09 0 -1,59
Nova 0 0 1,228 0,09 0 14,09
10º Analisar o resultado. Como não há mais valores negativos para as variáveis não básicas x1 e
x2, a solução é ótima.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x2 0,5 1 0,25 0 0 2,5
x1 1 0 -0,045 0,18 0 3,18
f3 0 0 0,317 -0,27 1 27,73
L 0 0 1,228 0,09 0 14,09
Prova: F.O.  3x1 + 5x2  ( 3 . 3,18) + ( 5 . 2,5 ) = 9,54 + 12,5 =
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

4. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
EXERCÍCIO Nº 2
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex.
Max. z = 4x1 + 3x2
s.a.
x1 x2
2x1 x2
x1 x2
x1 e x2 0
1º Normalizar as inequações:
x1 x2+ f 1 = 7
2x1 x2+ f 2 = 8
x1 x2+ f 3 = 
- 4x1 - 3x2 = 
2º Tabular os coeficientes.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 3 1 0 0 7
f2 2 2 0 1 0 8
f3 1 1 0 0 1 3
Z -4 -3 0 0 0 0
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 3 1 0 0 7 7 / 1 = 7
f2 2 2 0 1 0 8 8 / 2 = 4
f3 1 1 0 0 1 3 3 / 1 = 3
Z -4 -3 0 0 0 0
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 3 1 1 0 0 1 3

5. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 0 2 1 0 -1 4
f2 0 0 0 1 -2 2
x1 1 1 0 0 1 3
L 0 1 0 0 1 12
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f1
Antiga 1 3 1 0 0 7
- (1 x NEP ) 1 1 0 0 1 3
Nova 0 2 1 0 -1 4
Para f2
Antiga 2 2 0 1 0 8
- (2 x NEP ) 2 2 0 0 2 6
Nova 0 0 0 1 -2 2
Para L
Antiga -4 -3 0 0 0 0
- (-4 x NEP ) -4 -4 0 0 -4 -12
Nova 0 1 0 0 4 12
6º Analisar o resultado. Como não existem mais valores negativos, o processo termina.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 0 2 1 0 -1 4
f2 0 0 0 1 -2 2
x1 1 1 0 0 1 3
Z 0 1 0 0 1 12
Prova: F.O.  4x1 + 3x2 = 12  ( 4 . 3 ) + 3x2 = 12  x2 = 0
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

6. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
EXERCÍCIO Nº 3
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex.
Max. z = 5x1 + 2x2
s.a.
x1 
x2 
x1 x2
x1 e x2 0
1º Normalizar as inequações:
x1 + f 1 = 3
X2 + f 2 = 4
X1 + 2x2 + f 3 = 9
-5x1 – 2x2 = 0
2º Tabular os coeficientes.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4
f3 1 2 0 0 1 9
Z -5 -2 0 0 0 0
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 1 0 1 0 0 3 3 / 1 = 3
f2 0 1 0 1 0 4 4 / 0 = 
f3 1 2 0 0 1 9 9 / 1 = 9
Z -5 -2 0 0 0 0
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 1 1 0 1 0 0 3

7. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4
f3 0 2 -1 0 1 6
Z 0 -2 5 0 0 15
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f2
Antiga 0 1 0 1 0 4
- (0 x NEP ) 0 0 0 0 0 0
Nova 0 1 0 1 0 4
Para f3
Antiga 1 2 0 0 1 9
- (1 x NEP ) 1 0 1 0 0 3
Nova 0 2 -1 0 1 6
Para L
Antiga -5 -2 0 0 0 0
- (-5 x NEP ) -5 0 -5 0 0 -15
Nova 0 -2 5 0 0 15
6º Analisar o resultado. Como o valor de x2 ainda é negativo, é necessário repetir o ciclo.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4
f3 0 2 -1 0 1 6
Z 0 -2 5 0 0 15
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

8. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
7º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô  N.E.P. = E.P. / Pivô
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Solução
Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4 4 / 1 = 4
x2 0 2 -1 0 1 6 6 / 2 = 3
L 0 -2 5 0 0 15
8º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 3 0 1 -1/2 0 1/2 3
9º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f2
Antiga 0 1 0 1 0 4
- (1 x NEP ) 0 1 -1/2 0 1/2 3
Nova 0 0 1/2 1 -1/2 1
Para L
Antiga 0 -2 5 0 0 15
- (-2 x NEP ) 0 -2 1 0 -1 -6
Nova 0 0 4 0 1 21
10º Analisar o resultado. Como não há mais valores negativos para as variáveis não básicas x1 e
x2, a solução é ótima.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 0 1/2 1 -1/2 1
x2 0 1 -1/2 0 1/2 3
L 0 0 4 0 1 21
Prova: F.O.  5x1 + 2x2  ( 5 . 3 ) + ( 2 . 3 ) = 15 + 6 = 21
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

9. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
EXERCÍCIO Nº 4
Dado o modelo abaixo, resolva-o através do Método Simplex.
Max. z = 4x1 + 8x2
s.a.
3x1 x2
x1 x2
x1 
x1 e x2 0
1º Normalizar as inequações:
3X1 + 2x2 + f 1 = 18
X1 + x2 + f 2 = 5
X1 + f 3 = 3
-4x1 – 8x2 = 0
2º Tabular os coeficientes.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 3 2 1 0 0 18
f2 1 1 0 1 0 5
f3 1 0 0 0 1 3
Z -4 -8 0 0 0 0
4º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
f1 3 2 1 0 0 18 18 / 2 = 9
f2 1 1 0 1 0 5 5 / 1 = 5
f3 1 0 0 0 1 3 3 / 0 = 
Z -4 -8 0 0 0 0
5º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 2 1 1 0 1 0 5

10. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4
f3 0 2 -1 0 1 6
Z 0 -2 5 0 0 15
6º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f2
Antiga 0 1 0 1 0 4
- (0 x NEP ) 0 0 0 0 0 0
Nova 0 1 0 1 0 4
Para f3
Antiga 1 2 0 0 1 9
- (1 x NEP ) 1 0 1 0 0 3
Nova 0 2 -1 0 1 6
Para L
Antiga -5 -2 0 0 0 0
- (-5 x NEP ) -5 0 -5 0 0 -15
Nova 0 -2 5 0 0 15
6º Analisar o resultado. Como o valor de x2 ainda é negativo, é necessário repetir o ciclo.
Variáveis na Variáveis de Decisão Valores da
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

11. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
Solução x1 x2 f1 f2 f3 Solução
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4
f3 0 2 -1 0 1 6
Z 0 -2 5 0 0 15
7º Identificar a variável que entra, a que sai e o pivô  N.E.P. = E.P. / Pivô
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Solução
Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
f2 0 1 0 1 0 4 4 / 1 = 4
x2 0 2 -1 0 1 6 6 / 2 = 3
L 0 -2 5 0 0 15
8º Aplicar a nova equação do Pivô.  N.E.P. = E.P. / Pivô
f 3 0 1 -1/2 0 1/2 3
9º Calcular os valores para f2, f3, e Z:
Para f2
Antiga 0 1 0 1 0 4
- (1 x NEP ) 0 1 -1/2 0 1/2 3
Nova 0 0 1/2 1 -1/2 1
Para L
Antiga 0 -2 5 0 0 15
- (-2 x NEP ) 0 -2 1 0 -1 -6
Nova 0 0 4 0 1 21
10º Analisar o resultado. Como não há mais valores negativos para as variáveis não básicas x1 e
x2, a solução é ótima.
Variáveis na
Solução
Variáveis de Decisão Valores da
Soluçãox1 x2 f1 f2 f3
x1 1 0 1 0 0 3
Coeficiente da Nova Equação
Nova Equação =Equaçãoanterior
Coluna de Entrada do Pivô
   
    
   

12. Pesquisa Operacional – Lista de Exercícios Método Simplex
B a c h a r e l e m S i s t e m a s d e I n f o r m a ç ã o
f2 0 0 1/2 1 -1/2 1
x2 0 1 -1/2 0 1/2 3
L 0 0 4 0 1 21
Prova: F.O.  5x1 + 2x2  ( 5 . 3 ) + ( 2 . 3 ) = 15 + 6 = 21