Resolución de triángulos y ecuaciones trigonométricas

1. Razones trigonométricas

2. Medidas de ángulos
La medida de ángulos se basa en la medida del arco que
intercepta sobre una circunferencia un ángulo cuyo vértice es el
centro de aquella.
Grado:
Un grado es el ángulo plano que
teniendo su vértice en el centro de
la circunferencia intercepta sobre
la circunferencia un arco de
longitud
𝟐𝝅𝒓
𝟑𝟔𝟎 𝟎
Radián:
Un radián es el ángulo plano que
teniendo su vértice en el centro de
la circunferencia intercepta sobre
la circunferencia un arco de
longitud el radio de la
circunferencia.
Longitud del arco = longitud del radio

3. Equivalencia entre grados y radianes
Cómo la longitud de toda circunferencia es de 2𝜋𝑟, un ángulo que
abarque toda ella tiene 2𝜋 rad, es decir, 360 grados equivalen a
2𝜋 rad. Por tanto:
1 rad es igual a
𝟑𝟔𝟎 𝟎
𝟐𝝅
= 𝟓𝟕 𝟎
𝟏𝟕′
𝟒𝟓′′
, 𝟕𝟏. .
1 grado es igual a
𝟐𝝅
𝟑𝟔𝟎 𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟕𝟒𝟓𝟑 … 𝒓𝒂𝒅
GRADOS RADIANES
360 2π
180 π
90 π/2
60 π/3
45 π/4
30 π/6

4. Razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo
Dado un triángulo rectángulo, se definen sus razones
trigonométricas respecto de uno de sus ángulos α como:
α
Catetoopuestoaα
Cateto contiguo a α
Hipotenusa
A
B
C
a
b
c𝒔𝒆𝒏𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
=
𝒂
𝒄
𝒄𝒐𝒔𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
=
𝒃
𝒄
𝒕𝒈𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐
=
𝒂
𝒃

5. Razones inversas
Las razones inversas del seno, coseno y tangente se denominan,
respectivamente, cosecante, secante y cotangente.
α
Catetoopuestoaα
Cateto contiguo a α
Hipotenusa
A
B
C
a
b
c
𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝜶 =
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
=
𝒄
𝒂
=
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝜶
𝒔𝒆𝒄𝜶 =
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐
=
𝒄
𝒃
=
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝜶
𝒄𝒐𝒕𝒈𝜶 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒈𝒖𝒐
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒐
=
𝒃
𝒂
=
𝟏
𝒕𝒈𝜶

6. Cálculo de las razones trigonométricas
del ángulo de 30 𝑜
Si en un triángulo equilátero trazamos una de las alturas, queda
dividido en dos triángulos rectángulos con ángulos de 30 𝑜
y 60 𝑜
ll/2
El triángulo ABC es equilátero y el triángulo ADC es rectángulo,
un cateto es la mitad de la hipotenusa (AC=2AD).
La altura CD se puede calcular utilizando el teorema de
Pitágoras: 𝐴𝐶2
= 𝐴𝐷2
+ 𝐶𝐷2
⇒ 𝑙2
=
𝑙
2
2
+ 𝐶𝐷2
𝐶𝐷2
=
3
4
𝑙2
⇒ 𝐶𝐷 =
3
2
𝑙
Ya podemos calcular las razones trigonométricas:
sen300
=
cateto opuesto
hipotenusa
=
l
2
l
=
1
2
𝑐𝑜𝑠300
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
3
2
𝑙
𝑙
=
3
2
𝑡𝑔300 =
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
=
1
2
𝑙
3
2
𝑙
=
1
3

7. Cálculo de las razones trigonométricas
del ángulo de 60 𝑜
Si en un triángulo equilátero trazamos una de las alturas, queda
dividido en dos triángulos rectángulos con ángulos de 30 𝑜
y 60 𝑜
ll/2
El triángulo ABC es equilátero y el triángulo ADC es rectángulo,
un cateto es la mitad de la hipotenusa (AC=2AD).
La altura CD se puede calcular utilizando el teorema de
Pitágoras: 𝐴𝐶2
= 𝐴𝐷2
+ 𝐶𝐷2
⇒ 𝑙2
=
𝑙
2
2
+ 𝐶𝐷2
𝐶𝐷2
=
3
4
𝑙2
⇒ 𝐶𝐷 =
3
2
𝑙
Ya podemos calcular las razones trigonométricas:
sen600
=
cateto opuesto
hipotenusa
=
3
2
𝑙
𝑙
=
3
2
𝑐𝑜𝑠600
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
l
2
l
=
1
2 𝑡𝑔600
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
=
3
2
𝑙
1
2
𝑙
= 3

8. Cálculo de las razones trigonométricas
del ángulo de 45 𝑜
Si en un cuadrado trazamos una de las diagonales, queda dividido
en dos triángulos rectángulos isósceles con ángulos de 45 𝑜
.
El triángulo ABC es rectángulo e isósceles, por lo que AB=BC.
Podemos calcular el valor de la hipotenusa utilizando el teorema
de Pitágoras: 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 ⇒ 𝐴𝐶2 = 𝑙2 + 𝑙2
𝐴𝐶2
= 2𝑙2
⇒ 𝐴𝐶 = 2𝑙
Ya podemos calcular las razones trigonométricas:
sen450 =
cateto opuesto
hipotenusa
=
𝑙
2𝑙
=
1
2
=
2
2
𝑐𝑜𝑠450
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
=
𝑙
2𝑙
=
1
2
=
2
2
𝑡𝑔450
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
=
𝑙
𝑙
= 1
l
l

9. Ampliación del concepto de ángulo I
Sentido positivo: contrario al
movimiento de las agujas de un
reloj.
Sentido negativo: igual al
movimiento de las agujas de un
reloj.
Origen de los ángulos

10. Ampliación del concepto de ángulo II
Ángulo de 3150=
7
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑
Ángulo de -450=−
1
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑
Ángulo de
6750=3600+3150=2𝜋 +
7
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑
Ángulo de -4050 =-3600-450=
− 2𝜋 −
1
4
𝜋 𝑟𝑎𝑑
Ángulos mayores de 3600
11700 = 3·3600 + 900 = 6π+
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
72450 = 20·3600 + 450 = 40π+
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑

11. Razones trigonométricas de cualquier
ángulo I
Para un ángulo agudo
x
y
(x,y)
r
α
x
yr
α
senα =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
y
r
cosα =
𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
x
r
tgα =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎
=
y
x
=
senα
cosα

12. Razones trigonométricas de cualquier
ángulo II
Es posible extender la definición de las razones trigonométricas a
cualquier ángulo que no sea agudo (presente en un triángulo
rectángulo)
x
y
(x,y)
r
α
x
y r
senα =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
y
r
cosα =
𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
=
x
r
tgα =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎
=
y
x
=
senα
cosα

13. La circunferencia goniométrica
Las razones trigonométricas no dependen del radio de la circunferencia
elegida para definirla, pues los triángulos que se forman son semejantes.
La circunferencia más sencilla para definir las razones trigonométricas
tiene por radio uno y se denomina círculo unitario o circunferencia
goniométrica.
α
A’ B’
A
B
x
y
(x,y)
r=1
α senα =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
= 𝑦
cosα =
𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
= 𝑥
tgα =
𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
𝑎𝑏𝑐𝑖𝑠𝑎
=
y
x
Cuando r = 1

14. Signo de las razones trigonométricas
El signo de las razones trigonométricas dependerá del cuadrante donde se
encuentre el ángulo:
++
--
+-
+-
+-
-+
Seno Coseno Tangente

15. Relación fundamental
senα =
𝑦
𝑟
cosα =
𝑥
𝑟
Utilizando el teorema de Pitágoras:
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2
Dividiendo ambos miembros de la
igualdad por 𝑟2
queda:
𝑟2
𝑟2
=
𝑥2
𝑟2
+
𝑦2
𝑟2
Simplificando:
1 =
𝑥
𝑟
2
+
𝑦
𝑟
2
Es decir:
1 = 𝑠𝑒𝑛2α + 𝑐𝑜𝑠2α
𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 = 1

16. Relación entre las razones de ángulos
suplementarios
Ángulos suplementarios 𝜶 𝒚 𝟏𝟖𝟎 𝟎 − 𝜶
𝑠𝑒𝑛 1800 − 𝛼 = sen α
𝑐𝑜𝑠 1800 − 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑡𝑔 1800 − 𝛼 = −𝑡𝑔 𝛼
x
y
(x,y)
r
α
(-x,y)
-x
1800-α

17. Relación entre las razones de ángulos
que distan 1800
x
y
(x,y)
r
α
(-x,-y)
-x
1800+α
𝑠𝑒𝑛 1800 + 𝛼 = −sen α
𝑐𝑜𝑠 1800 + 𝛼 = −𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑡𝑔 1800 + 𝛼 = +𝑡𝑔 𝛼
Ángulos 𝜶 𝒚 𝟏𝟖𝟎 𝟎 + 𝜶

18. Relación entre las razones de ángulos
opuestos
𝑠𝑒𝑛 −𝛼 = −sen α
𝑐𝑜𝑠 −𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼
𝑡𝑔 −𝛼 = −𝑡𝑔 𝛼
Ángulos 𝜶 𝒚 − 𝜶
x
y
(x,y)
r
α
(x,-y)
-α

19. Relación entre las razones de ángulos
complementarios
𝑠𝑒𝑛 90 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠 α
𝑐𝑜𝑠 90 − 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼
𝑡𝑔 90 − 𝛼 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼
Ángulos 𝜶 𝒚 𝟗𝟎 𝟎 − 𝜶
x
(x,y)
α
90-α
y
(y,x)

20. EJEMPLOS

21. Ejemplo: cálculo de las razones
trigonométricas
Calcula las restantes razones trigonométricas sabiendo que:
𝑐𝑜𝑠 𝛼 =
4
5
; 2700 ≤ 𝛼 ≤ 3600
Solución:
Cómo el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante el seno y la tangente serán
negativos.
Utilizando la relación fundamental podemos calcular el seno:
𝑠𝑒𝑛2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 = 1; 𝑠𝑒𝑛2
𝛼 +
4
5
2
= 1, por tanto:
𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1 −
4
5
2
=
9
25
= −
3
5
La tangente la calculamos utilizando su definición:
𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
−
3
5
4
5
= −
3
4

22. Ejemplo: simplifica una expresión
trigonométrica
Simplifica la siguiente expresión: 𝑠𝑒𝑛 𝛼
1
𝑡𝑔 𝛼
Solución:
Cómo 𝑡𝑔𝛼 =
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
, sustituyendo en la expresión:
𝑠𝑒𝑛 𝛼
1
𝑡𝑔 𝛼
= 𝑠𝑒𝑛𝛼
1
𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼
=
𝑠𝑒𝑛𝛼 · 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑠𝑒𝑛𝛼
= 𝑐𝑜𝑠𝛼

23. Ejemplo: resolución de un triángulo
rectángulo
Resolver un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 3 cm y uno de sus
catetos 1 cm.
Solución:
Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos calcular el otro
cateto:
𝐴𝐶2
= 𝐶𝐵2
− 𝐴𝐵2
; 𝐴𝐶2
= 32
− 12
= 8; AC = 8
Podemos ahora calcular los ángulos utilizando la calculadora y las
funciones inversas de las razones trigonométricas:
𝑐𝑜𝑠𝐵 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
1
3
, 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑎
1
3
B = 70,520
Por tanto, como la suma de los ángulos debe ser 1800 el ángulo C
mide 19,080
3 cm
1 cm
A B
C

24. Ejemplo
Una escalera de 4 metros está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su ángulo de
inclinación si su base dista 2 metros de la pared?
4 m
2 m
A B
C
Solución:
Podemos calcular el ángulo utilizando el coseno del ángulo B:
𝑐𝑜𝑠𝐵 =
𝐴𝐵
𝐵𝐶
=
2
4
=
1
2
Por tanto, el ángulo cuyo coseno es un medio es el ángulo de 600.

25. Ejemplo
Calcular la altura de una torre sabiendo que su sombra mide 13 m cuando los
rayos del sol forman 50º con el suelo.
500
13 m
A B
CSolución:
Podemos calcular la altura utilizando la tangente del ángulo B:
𝑡𝑔500 =
𝐴𝐶
𝐴𝐵
=
13
𝐴𝐵
Sabiendo que 𝑡𝑔500 es aproximadamente 1,19:
𝐴𝐵 =
13
𝑡𝑔500 =
13
1,19
= 10,92 𝑚

26. FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS

27. Razones de la suma y la diferencia de
ángulos
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝛽 − sen 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑡𝑔 𝛼 + 𝛽 =
𝑡𝑔 𝛼 + 𝑡𝑔 𝛽
1 + 𝑡𝑔 𝛼 𝑡𝑔 𝛽
Suma de ángulos:
Diferencia de ángulos:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 − cos 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 − 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝛽 + sen 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑡𝑔 𝛼 − 𝛽 =
𝑡𝑔 𝛼 − 𝑡𝑔 𝛽
1 + 𝑡𝑔 𝛼 𝑡𝑔 𝛽

28. Razones del ángulo doble y el ángulo
mitad
𝑠𝑒𝑛 2𝛼 = 2𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛼
cos 2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2
𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2
𝛼
𝑡𝑔2𝛼 =
2𝑡𝑔 𝛼
1 − 𝑡𝑔2 𝛼
Ángulo doble
𝒔𝒆𝒏
𝛼
2
= ±
1 − cos 𝛼
2
𝑡𝑔
𝛼
2
= ±
1 − cos 𝛼
1 + cos 𝛼
Ángulo mitad
𝑐𝑜𝑠
𝛼
2
= ±
1 + cos 𝛼
2

29. Transformación de sumas en
productos
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2𝑠𝑒𝑛
𝛼 + 𝛽
2
cos
𝛼 − 𝛽
2
𝑠𝑒𝑛 𝛼 − 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝛽
2
𝑠𝑒𝑛
𝛼 − 𝛽
2
cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2𝑐𝑜𝑠
𝛼 + 𝛽
2
cos
𝛼 − 𝛽
2
cos 𝛼 − cos 𝛽 = −2𝑠𝑒𝑛
𝛼 + 𝛽
2
sen
𝛼 − 𝛽
2

30. Ecuaciones trigonométricas
En las ecuaciones trigonométricas las incógnitas son ángulos a los que se aplica
una función trigonométrica.
La solución se expresa como la medida de un ángulo más un número entero de
vueltas.
Ejemplo:
2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = − 2
Despejando cos x:
cos 𝑥 = −
2
2
Los ángulos cuyo coseno es −
2
2
, son 1350 y 2250.
Por tanto las soluciones son:
x1=1350 + 2kπ, ∀𝑘 ∈ ℤ
x2=2250 + 2kπ, ∀𝑘 ∈ ℤ

31. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
Teoremas del seno y del coseno

32. Teorema del seno
En cualquier triángulo de ángulos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, y de lados a, b y c, se verifica que:
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
A
B C
a
b
c
M
Demostración:
En el triángulo rectángulo AMB se verifica
que 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝐴𝑀
𝑐
En el triángulo rectángulo AMC se verifica
que 𝑠𝑒𝑛 𝐶 =
𝐴𝑀
𝑏
Despejando AM de las anteriores expresiones e igualando queda:
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵, despejando,
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
.
La otra igualdad se obtiene utilizando de forma análoga la altura sobre c

33. Teorema del coseno
En cualquier triángulo de ángulos 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, y de lados a, b y c, se verifica que:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝐶
A
B C
a
b
c

34. Teorema del coseno (demostración)
A
B C
a
b
c
M
Trazando la altura sobre el lado a se obtienen dos triángulos
rectángulos. Teniendo en cuenta el triángulo ABM
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝐴𝑀
𝑐
⇒ 𝐴𝑀 = 𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝐵 y 𝑐𝑜𝑠 𝐵 =
𝐵𝑀
𝑐
⇒ 𝐵𝑀 = 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝐵
Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo AMC
𝑏2
= 𝐴𝑀2
+ 𝑎 − 𝐵𝑀 2
sustituyendo los valores obtenidos de AM y BM.
𝑏2
= 𝐴𝑀2
+ 𝑎 − 𝐵𝑀 2
= 𝑐 2
𝑠𝑒𝑛2
𝐵 + 𝑎 − 𝑐 cos 𝐵
2
= 𝑐 2
𝑠𝑒𝑛2
𝐵 + 𝑐 2
𝑐𝑜𝑠2
𝐵 + 𝑎2
− 2𝑎𝑐 · 𝑐𝑜𝑠 𝐵
Sacando factor común a c2 y teniendo en cuenta la relación fundamental:
𝑏2
= 𝑐 2
𝑠𝑒𝑛2
𝐵 + 𝑐𝑜𝑠2
𝐵 + 𝑎2
− 2𝑎𝑐 · 𝑐𝑜𝑠 𝐵 = 𝑎2
+ 𝑐 2
− 2𝑎𝑐 · 𝑐𝑜𝑠 𝐵
El resto de igualdades se demuestran de forma análoga trazando las otras dos alturas

35. Resolución de un triángulo
Conocidos los tres lados
Se aplica el teorema del coseno para obtener dos ángulos
Se utiliza el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es 1800.
Conocidos dos lados y el ángulo que forman
Se aplica el teorema del coseno para obtener el lado que falta
Se utiliza el teorema del seno para calcular otro ángulo
Se utiliza el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es 1800.
Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Se aplica el teorema del seno para obtener el otro ángulo opuesto
Se utiliza el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es 1800.
Se aplica el teorema del seno para calcular el otro lado
Conocidos un lado y dos ángulos
Se utiliza el hecho de que la suma de los ángulos de un triángulo es 1800.
Se aplica el teorema del seno para obtener los otros dos lados

36. Conocidos tres lados
Resuelve el triángulo que tiene por lados 22, 15 y 17
Solución:
Sean los lados a= 15, b=22 y c =17. Aplicando el
teorema del coseno:
𝒄𝒐𝒔 𝑨 =
−𝒂 𝟐+𝒃 𝟐+𝒄 𝟐
𝟐𝒃𝒄
=
−𝟐𝟓𝟓+𝟒𝟖𝟒+𝟐𝟖𝟗
𝟕𝟒𝟖
= 𝟎′ 𝟕𝟑𝟐𝟔 por tanto
𝑨 = 𝟒𝟐 𝒐 𝟓𝟒 ′
𝒄𝒐𝒔 𝑩 =
−𝒃 𝟐+𝒂 𝟐+𝒄 𝟐
𝟐𝒂𝒄
=
−𝟒𝟖𝟒+𝟐𝟓𝟓+𝟐𝟖𝟗
𝟓𝟏𝟎
= 𝟎′
𝟓𝟖𝟖 por tanto
𝑩 = 𝟖𝟔 𝒐 𝟑𝟖 ′
𝒄𝒐𝒔 𝑪 =
−𝒄 𝟐+𝒂 𝟐+𝒃 𝟐
𝟐𝒂𝒃
=
−𝟐𝟖𝟗+𝟐𝟐𝟓+𝟒𝟖𝟒
𝟔𝟔𝟎
= 𝟎′
𝟔𝟑𝟔𝟑 por tanto
𝑪 = 𝟓𝟎 𝒐 𝟐𝟖 ′

37. Conocidos dos lados y el ángulo
comprendido
Resuelve el triángulo que tiene por lados 10, 7 y el ángulo comprendido es de
30o.
Solución:
Sean los lados a= 10, b=7 y 𝐶 = 30
Aplicando el teorema del coseno:
𝑐2
= 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝑐 = 100 + 49 + 140 cos 30 𝑜 = 5,27
Aplicando el teorema del seno para calcular el otro lado:
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
⇒ 𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
𝑏 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑐
= 0′
664 ⇒ 𝐵 = 41 𝑜37′52′′
𝐵 = 138 𝑜22′7′′
La solución será 𝐵 = 41 𝑜37′52′′, ya que a > c y el ángulo obtuso será 𝐴. Para calcular 𝐴
basta recordar que la suma de los ángulos de un triángulo son 180o.
𝐴 = 1800
− 30 𝑜
− 41 𝑜
37′
52′′
= 108 𝑜
22′
8′′

38. Conocido dos ángulos y un lado
Resuelve el triángulo de la figura
Solución:
𝐴 = 1800
− 105 𝑜
− 45 𝑜
= 30 𝑜
Aplicando el teorema del seno calculamos los otros lados:
𝑏 =
𝑎 · 𝑠𝑒𝑛 𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 6 ·
2
2
1
2
= 6 2
𝑐 =
𝑎 · 𝑠𝑒𝑛 𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝐴
= 6 ·
𝑠𝑒𝑛 105 𝑜
𝑠𝑒𝑛 30 𝑜
= 11′6

39. Conocidos dos lados y el ángulo
opuesto a uno de ellos
Resuelve el triángulo de la figura
Solución:
Aplicando el teorema del seno calculamos 𝐴:
𝑠𝑒𝑛 𝐴 =
𝑎
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵 =
4
2,07
𝑠𝑒𝑛30 𝑜
= 0′
97 si
𝑠𝑒𝑛 𝐴 = 0′
97 ⇒ 𝐴 = 750
𝐴 = 1050
. Puesto que tenemos la figura y el triángulo es acutángulo
seleccionamos 𝐴 = 750
, por tanto, el otro ángulo es 𝐶 = 750
.
Podemos calcular la longitud del otro lado utilizando el teorema del seno, pero como el
triángulo es isósceles, el lado c mide 4.