Este documento trata sobre operaciones con logaritmos y ecuaciones logarítmicas y exponenciales. Explica la definición de logaritmo, propiedades como el cambio de base y aplicaciones a ecuaciones. Detalla el método para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales, que consiste en expresar los términos como un único logaritmo o exponente y luego igualarlos. También cubre sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales.
2. Definición de logaritmo
El logaritmo en base b (b > 0) de un número N es el
exponente X al que hay que elevar la base para obtener
dicho número
Logaritmo en base “b” del número N
Base del logaritmo
4. Logaritmos y potencias
Cómo hemos podido comprobar, los logaritmos y las
potencias tienen relación, de hecho la función logarítmica y
la función exponencial son inversa una de la otra.
5. Algunas consideraciones importantes
• El logaritmo de un número menor o igual a cero no existe.
• El logaritmo de 1 siempre es 0, independientemente de la base
• Si no se indica la base de un logaritmo, se trata de un logaritmo
decimal (base 10)
• El logaritmo neperiano tiene por base el número real
neperiano se indicará cómo ln.
e. El logaritmo
7. Ejemplos de aplicación de las
propiedades I
Logaritmo de una potencia
Logaritmo de un cociente
Logaritmo de una potencia
Interpretamos una raíz como potencia
Logaritmo de un cociente
8. Ejemplos de aplicación de las
propiedades II
Suma de logaritmos
Logaritmo de un cociente
Logaritmo de la base
Logaritmo de la base
Logaritmo de una potencia
9. Expresión de un logaritmo en función del
valor de un logaritmo conocido
Supongamos que 0,301 es el valor aproximado de log2 y queremos
calcular log(16/5).
La estrategia consiste en manipular el número de tal forma que lo
podamos expresar como producto, división o potencia del logaritmo
conocido y de potencias de la base.
Sustituimos el valor, obteniendo
el valor aproximado
Aplicamos la propiedad una potencia
Aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente
Expresamos la fracción como potencias de 2 y de 10 (el logaritmo conocido y la base)
10. La función logaritmo es inyectiva
• Se dice que una función es inyectiva cuando a distintos elementos del
conjunto origen le corresponden distintas imáges.
• Esta propiedad de la función permite reducir en un gran número de
ocasiones el cálculo con logaritmos en un cálculo sin logaritmos.
1
2
a
b
e
4
5
i
c
16. Ecuación logarítmica: método de
resolución
Cuando en una ecuación aparecen uno o varios logaritmos, se denomina
ecuación logarítmica.
El procedimiento general para poder resolver este tipo de ecuaciones consiste:
Aplicar las propiedades de los logaritmos y expresar cada uno de los miembros de la
ecuación como un único logaritmo
Posteriormente, cómo la función logaritmo es inyectiva, será posible obtener una
ecuación que no tenga logaritmos.
Por ultimo, habrá que comprobar que los resultados de esta ecuación nos
proporcionan valores válidos para la ecuación original.
17. Ejemplo 1
•
Aplicamos la propiedad de la potencia
Aplicamos la propiedad de la diferencia de logaritmos
Los miembros de la ecuación son logaritmos, por tanto pasamos a resolver una
ecuación de segundo grado
La solución que aceptamos es x=12, la otra
solución no es válida al no existir el logaritmo
de un número negativo
18. Ejemplo 2
•
Expresamos los términos numéricos en forma de
logaritmo. Así 1 pasa a expresarse como el logaritmo
de 10.
Los miembros de la ecuación son logaritmos, por tanto pasamos a resolver una
ecuación de segundo grado
Aceptamos ambas soluciones
19. Ejemplo 3
Aplicamos el cambio de variable t = log x , de
esta forma obtenemos una ecuación de segundo
grado que resolvemos
Para cada uno de los valores obtenidos deshacemos el cambio
21. Ecuaciones exponenciales: método de
resolución
Cuando en una ecuación aparecen uno o varias potencias en cuyo exponente
aparecen incógnitas, se denomina ecuación exponencial.
El procedimiento general para poder resolver este tipo de ecuaciones consiste:
Aplicar las propiedades de las potencias y expresar cada uno de los miembros de la
ecuación como una única potencia
Posteriormente, cómo la función exponencial es inyectiva, será posible igualar los
exponentes.
Por ultimo, habrá que comprobar que los resultados de esta ecuación nos
proporcionan valores válidos para la ecuación original.
En otras ocasiones, se habrá de realizar un cambio de variable.
25. Método de resolución
En este tipo de sistemas se aplican las ideas que se han
aplicado en el método de resolución de una ecuación.
En definitiva se trata de convertir el sistema de ecuaciones
en un sistema que sepamos resolver.
