1. ACADEMIA
FORMULARIO DE TRIGONOMÉTRIA
IDENTIDADES
TRIANGULOS NOTABLES TRIGONOMÉTRICAS
45º
60º 53º PITAGORICAS
1 − sen 2 x = cos 2 x
2 2 5
3
sen 2 x + cos 2 x = 1 1 − cos 2 x = sen 2 x
1 1
45º 30º 37º
1 3 4
1 + tg 2x = sec 2 x sec 2 x − tg 2 x = 1
1 + ctg 2 x = csc 2 x csc 2 x − ctg 2 x = 1
127° 153° 75°
5 10 2 4
2
1 1 6- 2
53° 37°
2 2 15°
2 3 6+ 2
POR COCIENTE
senx cos x
74º 76º 82º
tgx = ctgx =
25 17 5 2 cos x senx
7 1 1
16º 14° 8º
24 4 7 RECÍPROCAS
1
csc x =
62º 59º senx. csc x = 1 senx
17 31
8 1 3 1
45° cos x. sec x = 1 sec x =
28° 2 31º
cos x
15 2 +1 5
tgx.ctgx = 1
1
ctgx =
tgx
IDENTIDADES AUXILIARES
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE
ÁNGULOS NOTABLES
30º 60º 45º 37º 53º
1 3 2 3 4
sen
2 2 2 5 5
3 1 2 4 3
cos
2 2 2 5 5
3 3 4 IDENTIDADES PARA ARCOS
tg 3 1
3 4 3
COMPUESTOS
3 4 3
ctg 3 1
3 3 4 sen(x ± y) = senx.cosy ± cosx.seny
2 3 5 5 cos(x ± y) = cosx.cosy m senx.seny
sec 2 2
3 4 3
tgx ± tgy
2 3 5 5 tg(x ± y) =
csc 2 2 1 m tgx.tgy
3 3 4
Prof. Julio C. Cerón Velásquez

2. IDENTIDADES AUXILIARES PARA COMPUESTOS
IDENTIDADES PARA ARCO
sen(x + y).sen(x - y) = sen 2 x − sen 2 y
DOBLE
cos(x + y).cos(x - y) = cos 2 x − sen 2 y
sen(x ± y) sen2x = 2senx.cosx
tgx ± tgy = cos2x = cos 2 x − sen 2 x
cos x. cos y
sen(y ± x)
ctgx ± ctgy = cos2x = 2cos 2 x - 1 AUXILIARES
senx.seny
cos2x = 1 − 2 sen 2 x
cos(x ± y) 2cos 2 x = 1 + cos2x
1 m tgx.tgy =
cos x. cos y 2sen 2 x = 1 - cos2x
2tgx
cos(x ± y) tg2x = ctgx + tgx = 2csc2x
ctgx.ctgy m 1 = 1 - tg 2 x
senx.seny ctgx − tgx = 2ctg2x
tgx ± tgy ± tg(x ± y).tgx.tgy = tg(x ± y) sec2x + 1 = tg 2x.ctgx
sec2x − 1 = tg 2x.tgx
Triangulo del ángulo doble
PROPIEDADES
1) asenx±bcosx= a 2 + b2 .sen(x±θ) tal que: 2 x
tg 2
sen2x= 2tg x
b a 1+ 2 tg x
1 + tg2 x
senθ = y cos θ =
a 2 + b2 a 2 + b2 2x 2
cos2x= 1 –tg x
1 + tg2 x
1 – tg 2 x
2) ∀ x ∈ R se cumple que:
- a 2 + b 2 ≤ asenx ± bcosx ≤ a 2 + b 2
(MINIMO) (MAXIMO) IDENTIDADES PARA ARCO
MITAD
AUXILIARES PARA TRES ANGULOS
AUXILIARES
x 1 − cos x
1) Si A + B + C = 180° sen = ± x
2 2 cscx + ctgx = ctg
Se cumple: 2
1 + cos x x
tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC cos
x
=± cscx − ctgx = tg
2 2 2
ctgA.ctgB+ctgA.ctgC+ctgB.ctgC=1
x 1 − cos x
2) Si: A+B+C=90° tg =±
2 1 + cos x
Se cumple:
Donde el signo ± dependerá del cuadrante en el que se
ctgA+ctgB+ctgC=ctgA.ctgB.ctgC
x
TgA.tgB+tgAtgC+tgB.tgC=1 ubique
2
Prof. Julio C. Cerón Velásquez

3. CASO II
IDENTIDADES PARA ARCO
TRIPLE Para el producto de dos términos, Senos y/o
Cosenos a suma o diferencia.
sen3x = 3senx - 4sen 3 x Siendo : x > y
cos3x = 4cos 3 x - 3cosx
3tgx - tg 3 x 2 Senx Cosy = Sen(x + y) + Sen(x − y)
tg3x =
1 - 3tg 2 x 2 Seny Cosx = Sen(x + y) − Sen(x − y)
2 Cosx Cosy = Cos(x + y) + Cos(x − y)
AUXILIARES
2 Senx Seny = Cos(x − y) − Cos(x + y)
sen3x = senx(2cos2x + 1)
cos3x = senx(2cos2x − 1)
2. SERIES TRIGONOMETRICOS
 2cos2x + 1 
tg3x = tgx  Para la suma de Senos o Cosenos cuyos ángulos
 2cos2x + 1  están en progresión aritmética.
4 senx .sen(60° − x ).sen(60 ° + x ) = sen 3x
Sen nr ( )
4 cos x. cos(60° − x ). cos(60° + x) = cos 3x
Senα + Sen(α +4 + Sen(α + 2r) + ..... =
2
(
Sen P + U )
tgx .tg(60° − x ).tg(60 ° + x ) = tg 3x
tgx + tg(60° + x) + tg(120 ° + x ) = 3tg 3x
1444444 r) 24444444
“n” términos
3
Sen r
2 () 2
Sen nr ( )
TRANSFORMACIONES Cosα + Cos (α +4 + Cos (α + 2r) + ..... =
2
(
Cos P + U )
()
14444444 r)
24444444 4
3 2
TRIGONOMÉTRICAS “n” términos Sen r
2
1. IDENTIDADES PARA LA SUMA Y
PRODUCTO DE SENOS Y/O COSENOS P : primer ángulo; U : último ángulo
r = razón
CASO I : Para la suma o diferencia de dos Senos
o Cosenos a producto.
3. SERIE ESPECIAL DE COSENOS
 A+B  A −B Propiedad ∀n ∈ Z +
SenA + SenB = 2Sen   Cos  
 2   2 
SenA − SenB = 2Sen  A − B  Cos  A + B 
   
Cos ( 2nπ+ 1 ) + Cos ( 2n3π 1 ) + Cos ( 2n5π 1 ) + .... n tér min os = 1
+ + 2
 2   2 
Propiedad ∀n ∈ Z +
CosA + CosB = 2Cos  A + B  Cos  A − B 
   
 2   2 
CosB − CosA = 2Sen  A + B  Sen  A − B 
   
Cos ( 2n2π 1 ) + Cos ( 2n4π 1 ) + Cos ( 2n6π 1 ) + .... n términ os = − 1
+ + + 2
 2   2 
Prof. Julio C. Cerón Velásquez

4. 4. PRODUCTOS TRIGONOMETRICOS 3. TEOREMA DE TANGENTES
Dado un triángulo ABC
Sen ( 2nπ+ 1) Sen ( 2n2π+ 1 ) Sen ( 2n3π+ 1 )....Sen ( 2nnπ+ 1) = 2n + 1
2n B
( 2nπ+ 1 ) Cos ( 2n π 1 ) ( 2n π 1 ) ( 2n π 1 ) = 21
B
Cos 2 Cos 3 .... Cos n
+ + + n c a
Tg ( 2nπ+ 1 ) Tg ( 2n2π 1 ) Tg ( 2n3π 1 ) ... Tg ( 2nnπ 1 ) =
+ + +
2n + 1 A
A
b
C
C
Se cumple:
RESOLUCION DE TRIANGULOS I. a – b =
tg A – B
2 ( )
OBLICUOS a+b tg A + B
2 ( )
1. TEOREMA DE SENOS b–c =
tg B – C
2 ( )
( )
II.
En todo triángulo ABC de circunradio R se verifica b+c tg B+C
(O: centro). 2
B III. a – c =
tg A–C
2 ( )
c a
• a = 2R sen A
• b = 2R sen B
a+c tg A+C
2 ( )
R
O • c = 2R sen C
A
b C
4. TEOREMA DE PROYECCIONES
También:
C
a = b = c = 2R
sen A sen B sen C a
b
2. TEOREMA DE COSENOS A B
En todo triángulo ABC A B
b cos A
B c cos B
C
a
c
A Se cumple:
A C
b
C = b cos A + c cos B
Tambien:
Se cumple:
a 2 = b2 + c 2 – 2bc cos A .......... (1) a = b cos C + c cos B
2 2 2
b = a + c – 2ac cos B .......... (2) b = a cos C + c cos A
c 2 = a 2 + b2 – 2ab cos C .......... (3)
Si de (1) se despeja cos A obtenemos:
2 2 2
cos A = b + c – a
2bc
Prof. Julio C. Cerón Velásquez