1. IE SANTA MAGDALENA SOFÍA

2. RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
CUALQUIER MAGNITUD
Prof. Jany Velásquez Santa Cruz

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE CUALQUIER
MAGNITUD
Y
• Un ángulo está en
posición normal,
estándar o canónica,
si su vértice está en
el origen de un
sistema de ejes
coordenados y su
lado inicial coincide
con el eje X
positivo.
B
O
A
X
O
A
X
Y
B

4. I. Razones trigonométricas de ángulos
en posición normal
• Anteriormente
estudiamos Razones
trigonométricas en el
triángulo rectángulo, ésta
vez las generalizaremos
hallando las Razones
Trigonométricas de
cualquier ángulo en
posición normal.
• En el capítulo anterior se
tomaba como base el
cateto opuesto, el cateto
adyacente y la hipotenusa;
esta vez como se trata del
Plano Cartesiano la base
es: La abscisa (X), la
ordenada (y) y el radio
vector (r), de un punto del
final del ángulo.

5. I. Razones trigonométricas de ángulos
en posición normal
Sea un ángulo en posición normal y P(x,y)un punto del lado final de
dicho ángulo, entonces las R.T. se definen de la siguiente manera:
Y
Sen
ordenada de P
sen
radio vector
B
α
Cos
r
O
-X
A
X
Tg
ordenada de P
r
Tg
abscisa de P
Ctg
-Y
2
y
abscisa de P
2
Sec
radio vector
Ctg
radio vector
ordenada de P
,
x
0
x
,
y
0
,
x
0
,
y
0
y
Sec
abscisa de P
Csc
y
x
ordenada de P
recordar que :
x
x
Cos
radio vector
P(x,y)
r
abscisa de P
y
r
x
Csc
r
y

6. SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN CADA CUADRANTE
• En el primer cuadrante las coordenadas de cualquier
punto son positivas, en consecuencia todos los valores de
las razones son positivas.
• En el segundo cuadrante, la abscisa x es negativa y la
ordenada y es positiva (r siempre es positivo) en
consecuencia, solamente el , sen
y
r
y csc
r
y
son
positivas, las otras cuatro razones mas son negativas.
• Análogamente se puede determinar los signos en los
cuadrante III y IV

7. CUADRO RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
IC
IIC
IIIC IVC
Sen
+
+
-
-
Cos
+
-
-
+
Tg
+
-
+
II C
Sen
IC
Todas las razones
trigonométricas son +
-
Csc
+
Cos
III C
Tg
Ctg
+
-
+
Sec
+
-
-
+
Csc
+
+
-
-
-
Ctg
+
Sec
IV C
+

8. II. Ángulos Cuadrantales
• Se dice que un ángulo es
cuadrantal, cuando su lado
final coincide con uno de
los semiejes.
• Las definiciones de las
razones trigonométricas
son válidas para éstos
ángulos, aunque para
algunos no está definido
por tener denominador
cero.
, , , , son cuadrantales

9. La siguiente tabla muestra los ángulos cuadrantales:
En radianes
En grados
sex.
3 /2
/2
90
Donde K = 1;
180
2;
2
.....
k /2
270
360
.....
90 k
3;
4; .......

10. Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales
Sean x,y Є R/ x ≥0 y ≥ 0
a) Razones trigonométricas de 90
x =0 r =y
ND : No está definido.
y
y
x
0
r
Cos 90
y
r
sen 90
y
y
y
x
Tg 90
X
Csc 90
x
0
r
y
0
r
y
y
y
ND
y
x
Sec 90
0
0
y
Ctg 90
1
0
ND
1

11. Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales
b) Razones trigonométricas de 180
y =0 , r =x
ND : No está definido.
180
Cos 180
y
0
r
sen 180
x
x
r
(-x;0)
Tg 180
y
x
Ctg 180
0
x
x
0
0
x
x
x
y
Sec 180
r
x
ND
0
x
Csc 180
1
1
x
r
x
y
0
ND

12. Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales
c) Razones trigonométricas de 270
x =0 , r =y
Sen 270
y
y
r
Tg 270
x
0
r
Cos 270
y
y
x
Ctg 270
x
ND
0
0
0
y
r
y
x
Csc 270
0
y
y
Sec 270
1
y
0
r
y
ND
y
y
1

13. Razones Trigonométricas de los ángulos cuadrantales
d) Razones trigonométricas de 360
y =0 , r =x
Cos 360
P (x; 0)
X
0
x
x
x
r
Sen 360
y
r
Y
x
y
x
0
x
x
y
Ctg 360
1
0
x
Tg 360
0
0
ND
Csc 360
x
x
Sec 360
r
x
1
r
x
y
0
ND

14. RESUMEN DE LAS R.T.DE ÁNGULOS CUADRANTALES
(rad)
0
/2
3 /2
2
(grados)
0
90
180
270
360
Sen
0
1
0
-1
0
Cos
1
0
-1
0
1
Tg
0
ND
0
ND
0
Ctg
ND
0
ND
0
ND
Sec
1
ND
-1
ND
1
Csc
ND
1
ND
-1
ND

15. III. Ángulos Coterminales
•
Los ángulos
coterminales son
aquellos ángulos que
tienen el mismo lado
inicial y el mismo lado
final, obviamente el,
mismo vértice.
ejemplos

16. PROPIEDADES
PROPIEDAD 1
•
La diferencia de dos ángulos coterminales es igual a un número
entero de vueltas.
n vueltas n Є Z- {0}
Si y son ángulos coterminales
Como 1 vuelta es igual a 360 o 2π rad, entonces:
ó
n Є Z- {0}
n 360
n 2 rad
Esta propiedad es útil para determinar si dos ángulos son
coterminales con un ángulo dado.
PROPIEDAD 2
•
•
Las razones trigonométricas de dos ángulos coterminales son
respectivamente iguales
Si y son ángulos coterminales y los ubicamos en posición
normal(evidentemente pertenecen al mismo cuadrante). Como
tienen el mismo lado final se cumple:
Sen
Sen
Tg
Cos
Cos
Ctg
Tg
Ctg
Sec
Sec
Csc
Csc

17. IV. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS NEGATIVOS:
•
Dado un ángulo y P un
punto de su lado final tal que
(x,y) son sus coordenadas.
• Entonces (- ) será su
simétrico respecto al eje
x, en consecuencia las
coordenadas de P serán
(x,-y).
• Observa que:
sen
y
Sen (- )
r
Cos
-y
r
x
r
Cos -
x
r

18. de éstas dos igualdades se deduce:
Sen(
)
Sen
Cos(
)
Cos
Análogamente se deduce:
Tg (
)
Tg
Ctg(
)
Ctg
Sec(
)
Sec
Csc(
)
Csc

19. PRÁCTICA
1) Si el lado terminal
del ángulo α en
posición normal
pasa por el punto
P(4,-3) determina
el valor de Cscα
a) 4/3
b) 5/4
c) -4/5
d) -5/3

20. PRÁCTICA
2) Sea θ un ángulo
en posición
normal, ¿En qué
cuadrante el Sen
(θ) y la Tg (θ)
tienen el mismo
signo?
a) I y III
b) I y II
c )I y IV
d) II y III

21. PRÁCTICA
3) El resultado de:
a) 0
Csc270º (Sen90º +
cos180º),
es:
b) -1
c) 2
d) -2

22. PRÁCTICA
4) ¿Son coterminales los ángulos?
a) 445º y 85º
b) 69º y 429º
c) -17º y 343º
d) 735º y 25º
( Falso)
( Falso)
( Falso)
( Falso)
(Verdadero)
(Verdadero)
(Verdadero)
(Verdadero)

23. PRÁCTICA
a) -1/2
5) El valor de
[sen(-30)]3
es:
b) -1/4
c) -1/8
d) -1/6