1. El infinito en el aula de matemática. Un estudio de sus representaciones sociales desde la socioepistemología Coloquio de Doctorado Patricia Lestón Directora: Dra. Cecilia Crespo Crespo 1 de julio de 2009

2. Índice Capítulo 1 Planteamiento del Problema de Investigación Capítulo 2 Antecedentes a la Investigación Capítulo 3 La socioepistemología y la Teoría de las Representaciones Sociales (TRS) Capítulo 4 Representación Social del infinito intuitivo y filosófico de los alumnos de escuela secundaria Capítulo 5 Estudio epistemológico del infinito matemático: Cantor y Bolzano

3. Capítulo 6 Primera Experiencia: La Representación Social del infinito matemático de los estudiantes del Profesorado de Matemática Capítulo 7 ¿Cómo se constituye el infinito matemático en un objeto social? Capítulo 8 Análisis de los procesos de construcción del infinito intuitivo, filosófico y matemático. Vínculos y rompimientos. Capítulo 9 Conclusiones Referencias bibliográficas

4. Planteamiento del Problema de Investigación Discurso Matemático Escolar Infinito matemático necesita utiliza aunque desconoce Infinito intuitivo No son iguales, no siempre son compatibles

6. Antecedentes a la Investigación Monaghan (2001) Frente a la indagación de concepciones debe recurrirse a la matemática, ya que fuera de esta ciencia, no hay objetos infinitos el infinito intuitivo responde a cuestiones prácticas, sensibles o filosóficas, no infinitas matemáticamente

7. Garbin (2003, 2005) se rechaza el infinito en acto dentro de la matemática Fuera de la matemática, las cosas son infinitas en sí. En la matemática, lo infinito “puede hacerse infinito” pero no es infinito

9. Jahnke (2001) Cantor’s inner intuition |M| < |N|, |M| = |N| or |M| > |N| no tenía prueba alguna para tal afirmación La intuición interna le permite a Cantor “imaginar mundos que yacen bajo nuestro mundo empírico de todos los días” En la escuela, la intuición se rechaza y se pierde la posibilidad de dejar “ver” a los estudiantes

10. Lestón (2008) ¿por qué alguien cambiaría un modelo que no tiene problemas (el modelo intuitivo) por un modelo que se muestra contradictorio, conflictivo y que “no convence” (el modelo matemático)? (p. 115) Contamos con eso, en esas cosas están pensando nuestros alumnos. El problema ahora es llevarlos a reconocer la necesidad de pensar también en otras cosas. La enumeración La medida La temporalidad La clasificación numérica La clasificación cualitativa

11. La Socioepistemología y la Teoría de las Representaciones Sociales (TRS) Socioepistemología Componente Didáctica Componente Epistemológica Componente Social Componente Cognitiva Construcción del conocimiento Teoría de las Representaciones Sociales Escenario sociocultural Cantor y Bolzano Discurso Matemático Escolar

12. Escenario sociocultural: son los ámbitos en los que actúan los grupos sociales. Están definidos por prácticas culturales específicas que manifiestan necesidades de tipo ideológico, psicológico, fisiológico o ambiental de los individuos que constituyen las sociedades específicas. En estos escenarios se explicitan peculiaridades históricas y cotidianas, de carácter filosófico, epistemológico, ideológico, o podemos decir más generalmente: culturales (Crespo Crespo, 2007, p. 7)

13. Existen interrelaciones entre los escenarios, que determinan influencias entre ellos y por lo tanto, en las conductas que generan. […] Por otra parte, también en estas conductas se ponen de manifiesto maneras de pensar y de comprender la realidad propia del individuo. (Crespo Crespo, 2007, p. 35) -Infinito intuitivo -Infinito filosófico -Infinito matemático

14. Componente cognitiva Lestón (2008) Teoría de los Modelos Mentales de Fischbein (1989) La cognición es un proceso interno ajeno a lo que ocurre en la comunidad Cuando un yo cognitivo habla en expresiones cotidianas, también habla un yo colectivo y anónimo, expresando el saber y el sentir de un estrato social y cultural, enunciando un imaginario cultural particular, imaginario que no siempre es coherente con el saber matemático escolar. (Carrasco, 2008)

15. Teoría de las Representaciones Sociales La teoría de las R S constituye tan solo una manera particular de enfocar la construcción social de la realidad. La ventaja de este enfoque, sin embargo, es que toma en consideración y conjuga por igual las dimensiones cognitivas y las dimensiones sociales de la construcción de la realidad. (Araya Umaña, 2002, p. 15) El proceso interno de la construcción de conocimiento está indivisiblemente ligado a la comunidad de la cual el individuo es parte

16. se construye sobre un objeto con determinadas características ( objeto social) su existencia dependerán del grupo social Representación social es forma de adueñarse de un concepto o idea ese objeto se entiende como importante no sólo para la persona individual sino para el grupo

18. ¿Cuáles son las representaciones sociales que se construyen sobre el concepto de infinito, cómo y en función de qué experiencias se construyen? Presentar elementos que permitan empezar a caracterizar un infinito matemático escolar, accesible para los estudiantes de escuela media que les ayude a comprender la naturaleza del infinito matemático y la diferencia con el infinito intuitivo y el infinito filosófico.

19. El Capítulo 1 de Fundamentos para una teoría general de conjuntos. Escritos y correspondencia selecta de Georg Cantor (2006) (pp. 85-88) El Capítulo 12 de Las paradojas del infinito de Bernard Bolzano (1991) (pp. 46-50) Estudio epistemológico del infinito matemático: Cantor y Bolzano

20. Cantor caracteriza al infinito no como el resultado de lo finito cambiando, sino como un elemento con entidad, con existencia justificada por el uso previo a su definición, por su coherencia con lo ya existente y aceptado en un cuerpo de conocimiento. “ Conforme a este concepto, a todo conjunto bien definido le corresponde una potencia determinada, de modo que dos conjuntos tienen la misma potencia si se pueden coordinar uno con otro, elemento a elemento, biunívocamente” (Cantor, 2006, p. 88)

21. Bolzano discute en este fragmento las caracterizaciones que se manejaban hasta ese momento para el infinito, refutándolas con ejemplos. “ El problema de si un objeto dado es o no infinito no puede, ciertamente, depender de si su cantidad es algo que podamos o no percibir, de si somos o no capaces de tener una visión global de ella” (Bolzano, 1991, p. 49)

22. 1- a. ¿Qué tipos de infinito distingue Cantor en este texto? Define, caracteriza y ejemplifica según lo expuesto por Cantor. b. ¿Qué opinas de esa distinción? Explícala utilizando argumentos de la historia y los fundamentos de la matemática y de la matem ática involucrada en la misma. 2- a. ¿Cuáles de esos infinitos están presentes en la escuela, y en las instituciones educativas en general? b. ¿Cómo consideras que son construidos por los estudiantes? Estudio epistemológico del infinito matemático: Cantor y Bolzano

23. 3- Bolzano discute algunas explicaciones de diversos autores en relación a lo que es el infinito. Compara éstas con la que da Cantor, analizando la naturaleza de los elementos que se discuten para fundamentarlas. 4- Las caracterizaciones de infinito que se critican en el texto de Bolzano suelen aparecer en la escuela. ¿Podrías pensar en otra forma de presentar el infinito en la escuela para que no cayera en ninguna de las críticas que hace Bolzano? 5- ¿Qué opiniones crees que surgieron a fines del siglo XIX y principios del XX frente a cada una de las ideas que plantean Cantor Y Bolzano en estos textos?

24. Estas preguntas cumplen un doble propósito: por un lado, conocer lo que los alumnos de Profesorado comprenden en relación a lo que Cantor y Bolzano han trabajado, y por otro, conocer las reflexiones que estos futuros docentes tienen en relación al infinito como elemento presente en la clase de matemática.