1. CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA CICATA-IPN PROYECTO DE TESIS “Diseño de una secuencia didáctica para el aprendizaje de la Transformación Lineal en R2” Trabajo que presenta Héctor Hernández Guzmán Directores de tesis MC. Juan Gabriel Molina Zavaleta Dr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza México, D. F. agosto de 2009

2. C O N T E N I D OLa primera parte de este reporte contempla el desarrollo y estado del protocolo de investigación, el cual da respuesta a los puntos indicados en él. En la segunda parte se exponen las actividadesrealizadas de manera general sobre algunostemas de este proyecto.

3. PRIMERA PARTE Protocolo de investigación

4. LÍNEA DE INVESTIGACIÓN La cognición en los procesos de aprendizaje de las matemáticas y Pensamiento y lenguaje variacional En la materia de Álgebra Lineal que se imparte en las carreras de ingeniería y otras áreas, los estudiantes se enfrentan a obstáculos durante el desarrollo de los procesos cognitivos que significa su estudio, situación que se puede deber al elevado grado de abstracción de sus temas, siendo uno de ellos el de la Transformación Lineal. Coincidimos con Fischbein (1989) que varias de las dificultades que los estudiantes enfrentan en ciencia y matemáticas se deben a la influencia de modelos tácitos intuitivos actuando descontroladamente durante el proceso de razonamiento, dado que los modelos intuitivos manipulan el significado, el uso y las propiedades del concepto en estudio. La línea de investigación elegida nos permite identificar aquellos modelos implícitos que pueden tener los estudiantes, y la influencia de éstos, en su entendimiento de la matemática, y particularmente en nuestro caso, la Transformación Lineal.

5. TEMÁTICA ELEGIDA Y NIVEL EDUCATIVO El tema elegido es el de la TRANSFORMACIÓN LINEAL, y forma parte del temario de la materia Álgebra Lineal que se imparte en las carreras de ingeniería, con carácter de obligatorio en el nivel superior.

6. PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN En el trabajo realizado por Molina (2004) se analizaron las respuestas dadas por un grupo de estudiantes a una serie de preguntas sobre la existencia de la transformación lineal en contexto geométrico. Durante este análisis se pudo observar en los estudiantes dificultad al responder las preguntas, la explicación al respecto fue que los estudiantes contaban con un universo de modelos intuitivos, y cuando alguna pregunta incluía una TL que no encajaba dentro de su universo de modelos, negaban que se tratara de una TL. Esta dificultad en el proceso de razonamiento consideramos que tiene su origen en los modelos tácitos intuitivos presentes en ellos. Al respecto Fischbein (1989) menciona “los modelos tácitos no son inalterables, estos pueden ser modificados una vez que se han identificado”. Por lo anterior, nuestra pregunta de investigación es: ¿El planteamiento de modelos intuitivos explícitos en relación con la transformación lineal en contexto geométrico, pueden ayudar a los alumnos a adquirir un conocimiento sobre la TL?

7. JUSTIFICACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN En Fischbein (1989) se lee al respecto de los modelos mentales, intuitivos, tácitos y primitivos “son representaciones de ciertas nociones, matemáticas abstractas, que se desarrollan en ellas mismas en un estado inicial del proceso de aprendizaje, y que continúan influenciando tácitamente las interpretaciones y las decisiones de solución en el aprendizaje”. Considerando esta teoría, los modelos que crean los estudiantes son en la mayoría de los casos representaciones imperfectas de los conceptos modelados, llevándolos a interpretaciones erróneas o impidiéndoles aceptar como ciertas algunas relaciones o ideas. En el trabajo de Molina (2004) se han identificado, en un cierto grupo de estudiantes, modelos intuitivos que ellos pudieran tener y que dan cuenta de algunas de las dificultades que manifestaron al responder algunas preguntas con relación a la TL. Los resultados obtenidos no pueden generalizarse a todos los estudiantes, sin embargo aporta elementos que podemos aprovechar para el diseño de una secuencia didáctica en contexto geométrico para la enseñanza de la TL.

8. MARCO TEÓRICO El marco teórico en el que se desarrollará esta investigación es el trabajo de Fischbein (1989), considerado también en Molina (2004), el cual tiene enfoque cognitivo.

9. ESTADO DEL ARTE Esta etapa se desarrolla en dos fases, que son: Fase Heurística. Búsqueda y recopilación de las fuentes de información. Fase Hermenéutica. Analizar la información seleccionada.

10. Fase Heurística Dreyfus, T., Hillel, J., Sierpinska, A. (1998). Cabri based Linear Algebra: transformations. Articulo presentado en Cerme-1. European Research in Mathematics Education (pp.209-221). Osnabrück. Sierpinska, A. (1996). Problems related to the design of the teaching and learning process in Linear Algebra. Articulo presentado en Research Conference in Collegiate Mathematics education, Central Michigan University. Sierpinska, A., Dreyfus, T., Hillel, J. (1999). Evaluetion of a teaching design in Linear Alhgebra: The case of Linear Transformation. Recherches en Didactique des Mathématiques 19(1), 7-40. Sierpinska, A. (2000). On some aspects of students’ thinking in algebra. En JL Dorier (ed.), On the Yteaching of Linear Algebra. Kluwer Academic publishers, 209-246. Unicab, R., Oktaç, A. (2006). Transformaciones Lineales en un ambiente de geometría dinámica. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 9 (3), 459-490. Otras referencias son: Molina, J.G. (2004). Las concepciones que los estudiantes tienen sobre la Transformación Lineal en contexto geométrico. Tesis de maestría, Cinvestav, México. Andrioli, D. (2008). Análisis de los obstáculos en la construcción del concepto de Dependencia Lineal de vectores en alumnos de primer año de la universidad. Tesis de maestría, Cicata, México. Ramírez, O. (2008). Modelos intuitivos que tienen algunos estudiantes de matemáticas sobre el concepto de Transformación Lineal. Tesis de maestría, Cinvestav, México. Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics. An educational approach. Holland: Reidel Publishing. Fischbein, E. (1989). TacitModels of MathematicalReasoning. For the Learning of Mathematics, 9 (2), 9-14. Lay, David C. (2007). Álgebra Lineal y sus aplicaciones. México, D. F, México.: Pearson Educación.

11. Fase Hermenéutica Este punto continúa EN PROCESO

12. ELECCIONES METODOLÓGICASEl planteamiento metodológico tiene sus fundamentos en los siguientes dos puntos Antecedentes de la tesis. En el trabajo de Molina (2004) se identificaron los modelos intuitivos que un grupo de estudiantes tiene en relación a la Transformación Lineal (TL) en un contexto geométrico. La investigación reportó que los estudiantes cuentan con un conjunto de modelos que asocian a la transformación lineal y con ellos determinan cuándo una transformación es lineal o no. Básicamente contemplan expansiones, contracciones, rotaciones y combinaciones de éstas. Cuando se topan con transformaciones lineales que no las pueden expresar en términos de sus modelos las rechazan como transformaciones lineales. Proyecto Tesis. Diseñar una secuencia didáctica para la enseñanza de la Transformación Lineal en contexto geométrico retomando los resultados y marco teórico de Molina (2004).

13. Planteamiento metodológico a.Reflexionar sobre el marco teórico. b. Analizar y responder a los reactivos de la entrevista de Molina (2004). c.Reflexionar sobre el análisis a posteriori realizado en la entrevista.d.Proponer una secuencia inicial de actividades matemáticas alusivas a la TL que se puedan desprender de los resultados del trabajo de Molina (2004) para la enseñanza de la TL y que use los elementos teóricos que fundamentan su diseño, lo que implica un análisis a priori que intente explicar el comportamiento de los alumnos ante la clase diseñada.e. Perfeccionar el diseño. f.Explicar el plan de cómo se pondrá en funcionamiento la secuencia didáctica. g. Aplicación.h.Descripción de la aplicación.i. Conclusiones.

14. SEGUNDA PARTE Actividadesrealizadas

15. OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN Considerando la definición formal de Transformación Lineal dada en Lay (2007, p.77) como sigue: Una transformación (o mapeo) T es lineal si: i. T(u+v)=T(u)+T(v), para toda u y v en el dominio de T y ii. T(cu)=cT(u)para toda u y todos los escalares c. Así como lo expresado en Molina (2004), donde se menciona que un rasgo característico del Álgebra Lineal es el alto nivel de abstracción que presenta en los conceptos que la componen, incluyendo a la TL, estudiantes manifiestan tener dificultad en su aprendizaje. Lo anterior se traduce en un problema para los estudiantes (por lo menos los considerados en la investigación), ellos tienden a olvidar dichos conceptos vistos desde un enfoque formal, como es el caso de las propiedades de la TL ya mencionadas. La explicación al respecto que da el autor se basa en las ideas de Fischbein (1989) quien dice que “El estudiante simplemente olvida las propiedades formales y tiende a recordar las impuestas por un modelo”, modelo que generalmente ignoran que poseen y que caracteriza lo que éstos entienden por transformación lineal, donde el término modelo se entiende como una representación de algo.

16. Desde nuestro punto de vista, el tema en cuestión es importante porque según la teoría considerada (Teoría de la Intuición de Fischbein), estos modelos que crean los estudiantes son en la mayoría de los casos representaciones imperfectas de los conceptos modelados, llevándolos interpretaciones erróneas o impidiéndoles aceptar como ciertas algunas relaciones o ideas. Considerando lo anterior, se analizaron las respuestas dadas por un grupo de estudiantes a una serie de preguntas sobre la existencia de la TL en contexto geométrico, con la intención de identificar modelos intuitivos que los estudiantes pudieran tener al responder algunas preguntas en relación con algunos modelos que definían a una transformación lineal en contexto geométrico, situación que se presentó en el trabajo de Molina (2004). Los resultados obtenidos nos llevaron a plantear como objetivo de investigación el diseño de una secuencia didáctica fundamentada en la teoría de los modelos intuitivos para favorecer el aprendizaje de la TL en los estudiantes. (Aún en proceso)

17. MARCO TEÓRICO En este punto se explican algunas consideraciones teóricas en que fundamentamos nuestro trabajo, como lo son la intuición y los modelos intuitivos tácitos, en el sentido de Fischbein (1989). La intuición. Fischbein señala que el papel de la intuición es el de crear una apariencia de certeza sobre las interpretaciones o representaciones, y considera que la intuición o conocimiento intuitivo es un tipo de cognición el cual se acepta de forma inmediata por ser evidente, por lo que no necesita de ninguna prueba formal o empírica, confiriéndole un carácter de certeza intrínseca. Se hace mención de los rasgos característicos de las nociones intuitivas, siendo estas: Evidentes, certeza intrínseca, perseverancia, coercitivo, estado de la teoría, extrapolación, globalidad e implícitas. Modelo. Con respecto a los modelos, Fischbein los entiende en el sentido de (Gentner, 1983): Generalmente hablando, un sistema B representa un modelo de un sistema A si, en la besa de un cierto isomorfismo, una descripción o una solución producida en términos de A puede ser reflejada consistentemente en términos de B y viceversa (cf. Gentner, 1983, citado en Fischbein, 1987, p. 121)

18. Un modelo como lo menciona Fischbein (1989), es la representación de ciertas nociones matemáticas (intuitivamente más accesibles, que sustituyen a nociones abstractas) que se desarrollan ellas mismas en un estado inicial del proceso de aprendizaje, y que continúan influenciando inconscientemente las decisiones del sujeto en la solución de un problema durante el proceso de aprendizaje operacional. Se describen los modelos en base a su clasificación, siendo esta: Modelos abstractos e intuitivos, modelos explícitos e implícitos (o tácitos) y modelos analógicos y paradigmáticos. (Aún en proceso)

19. SECUENCIA DIDÁCTICA Frecuentemente estudiantes manifiestan tener dificultad en el aprendizaje y comprensión de las matemáticas, mismo que se presenta también durante el estudio de la TL. Esta situación se observa en el trabajo de Molina (2004), donde a partir de un conjunto de modelos intuitivos sobre la TL, presentado a un grupo de estudiantes, ellos determinan si la transformación es lineal o no. Aquí los alumnos manipulan representaciones geométricas (modelos explícitos) que en algunos casos no dan cuenta de que se trata de una TL y en consecuencia los estudiantes no la consideran como tal. Por otra parte, en el trabajo de Ramírez (2008) se les proporciona a un grupo de estudiante información para identificar aquellos modelos intuitivos que persisten en los alumnos , respecto al concepto de Transformación Lineal. Este trabajo se desarrolla tanto en contexto geométrico coma algebraico, por lo que también se les presentan las propiedades que definen a una TL en R2. Por lo anterior, la secuencia didáctica que se pretende desarrollar considera los resultados obtenidos por Molina (2004) y Ramírez (2008) sobre los modelos intuitivos que tiene los estudiantes sobre la TL y sus propiedades en contexto geométrico.