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2. Comunicaciones Digitales
José Ignacio Ronda Prieto
GTI, SSR, ETSIT, UPM
http://www.gti.ssr.upm.es/˜jir/comdig
jir@gti.ssr.upm.es
José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 1

3. Sistema de transmisión digital
● title1
Portadora fc
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales Transmisor
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
Fuente Modulador Modulador
observación continua
● Regiones de decisión
{mi } digital de canal
Ruido gaussiano v(t) = n sI(n) (t − nT )
El receptor óptimo
Modulación DBLC
Canal
Receptor n(t)
Presentacion Demodulador Demodulador
{mi } digital r(t) de canal
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4. Detección de señales
● title1
si (t) r(t)
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua
● Regiones de decisión n(t)
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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5. Detección de señales
● title1
si (t) r(t)
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua
● Regiones de decisión n(t)
Ruido gaussiano
Información a priori:
El receptor óptimo
■ Conjunto de señales transmitidas {si }
Modulación DBLC ■ Probabilidades Pi = P [si ].
■ Caracterización probabilística del ruido n(t)
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6. Detección de señales
● title1
si (t) r(t)
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua
● Regiones de decisión n(t)
Ruido gaussiano
Información a priori:
El receptor óptimo
■ Conjunto de señales transmitidas {si }
Modulación DBLC ■ Probabilidades Pi = P [si ].
■ Caracterización probabilística del ruido n(t)
Problema de estimación:
■ Incógnita: si
■ Observación: r
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7. Detección de señales
● title1
Problemas parecidos aparecen con frecuencia
Introducción
● Sistema de transmisión digital
● Detección de señales
● Detección de señales
● Estimación bayesiana con
observación continua
● Regiones de decisión
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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8. Estimación bayesiana con observación continua
● title1
Suponemos que nuestra observación es una VA continua
Introducción
● Sistema de transmisión digital
multidimensional X = (X1 , ..., XL ) caracterizada por las
● Detección de señales
● Detección de señales
funciones de densidad de probabilidad condicionadas
● Estimación bayesiana con
observación continua
● Regiones de decisión
fX (x1 , ..., xL |I = ai ).
Ruido gaussiano
Intentamos hallar una función g que asigne a cada valor de x
El receptor óptimo
un valor de I de forma que se minimice la probabilidad de error
Modulación DBLC
PE = P [I = g(X)]
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9. Estimación bayesiana con observación continua
● title1
La función g que maximice P [I = g(x)|X = x] en cada punto x
Introducción
● Sistema de transmisión digital
nos dará la probabilidad de error mínima. Esta función la
● Detección de señales
● Detección de señales
podemos definir como
● Estimación bayesiana con
observación continua
● Regiones de decisión
g ∗ (x) = arg m´x P [I = ai |X = x]
a
ai
Ruido gaussiano
= arg m´x f (x|I = ai )P [I = ai ]/f (x)
a
El receptor óptimo ai
Modulación DBLC = arg m´x f (x|I = ai )P [I = ai ].
a
ai
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10. Regiones de decisión
● title1
Podemos especificar g en términos de sus regiones de
Introducción
● Sistema de transmisión digital
decisión:
● Detección de señales
● Detección de señales
Ri = {x ∈ RL |g(x) = ai }
● Estimación bayesiana con
observación continua La probabilidad de error asociada a g queda
● Regiones de decisión
Ruido gaussiano M
El receptor óptimo PE = PE|I=ai P [I = ai ]
Modulación DBLC i=1
M
= P [g(X) ∈ Ri ]P [I = ai ]
/
i=1
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11. El misterioso ruido blanco
● title1
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral de
Introducción
potencia bilateral (depb) N0 /2,
Ruido gaussiano ■ ¿Cuánto vale E[n2 (t)]?
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos
■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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12. El misterioso ruido blanco
● title1
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con densidad espectral de
Introducción
potencia bilateral (depb) N0 /2,
Ruido gaussiano ■ ¿Cuánto vale E[n2 (t)]?
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos
■ ¿Cuál es la probabilidad de que 0 < n(t) < 1?
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios Si x(t) = n(t) ∗ h(t),
gaussianos
● Teorema de filtrado ■ ¿Cuánto vale E[x2 (t)]?
● El ruido blanco gaussiano, por
fin ■ Si x(0) = x0 , ¿qué sé sobre x(1)?
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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13. Procesos estacionarios gaussianos
● title1
Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantes
Introducción
t1 , . . . tn , la fdp
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
f (x1 , . . . , xn ), xi = x(ti ).
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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14. Procesos estacionarios gaussianos
● title1
Conocer un proceso x(t) es conocer, dados unos instantes
Introducción
t1 , . . . tn , la fdp
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
f (x1 , . . . , xn ), xi = x(ti ).
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios El estudio físico del ruido blanco y del ruido blanco filtrado
gaussianos
● Teorema de filtrado indica que se trata de un proceso estacionario gaussiano de
● El ruido blanco gaussiano, por
fin media nula (PEGMN). ¿Qué significa esto?
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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15. Procesos estacionarios gaussianos
● title1
Un proceso x(t) estacionario cuando f (x1 , . . . , xn ) es la
Introducción
misma para xi = x(ti ) y para xi = x(ti + ∆t).
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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16. Procesos estacionarios gaussianos
● title1
Un proceso x(t) estacionario cuando f (x1 , . . . , xn ) es la
Introducción
misma para xi = x(ti ) y para xi = x(ti + ∆t).
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
gaussianos
Es gaussiano de media nula cuando el vector aleatorio
● Procesos estacionarios
gaussianos
x = (x1 , . . . , xn ) es gaussiano de media nula.
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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17. Inciso: VAs gausianas
● title1
Una VA gaussiana X ∼ N (µ, Σ) con vector de medias µ y
Introducción
matriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco 1 1
● Procesos estacionarios
f (x) = exp − (x − µ) Σ−1 (x − µ),
gaussianos
● Procesos estacionarios
(2π)n/2 |Σ|1/2 2
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
x = (x1 , . . . , xn )
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
µ = (µ1 , . . . , µn ) , µi = E[xi ]
fin
2 2
El receptor óptimo
Σ = (σij ), σij = E[(xi − µi )(xj − µj )]
Modulación DBLC
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18. Inciso: VAs gausianas
● title1
Una VA gaussiana X ∼ N (µ, Σ) con vector de medias µ y
Introducción
matriz de varianzas-covarianzas Σ es la que tiene fdp
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco 1 1
● Procesos estacionarios
f (x) = exp − (x − µ) Σ−1 (x − µ),
gaussianos
● Procesos estacionarios
(2π)n/2 |Σ|1/2 2
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
x = (x1 , . . . , xn )
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
µ = (µ1 , . . . , µn ) , µi = E[xi ]
fin
2 2
El receptor óptimo
Σ = (σij ), σij = E[(xi − µi )(xj − µj )]
Modulación DBLC
Si X ∼ N (µ, Σ) e Y = αX + a, a cte., entonces
Y ∼ N (α2 Σ, αµ + a).
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19. Inciso: VAs gausianas
● title1
Un caso particular importante: Σ = σ 2 I:
Introducción
−1 1 2
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
(x − µ) Σ (x − µ) = 2 x − µ
● Procesos estacionarios
σ
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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20. Inciso: VAs gausianas
● title1
Un caso particular importante: Σ = σ 2 I:
Introducción
−1 1 2
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
(x − µ) Σ (x − µ) = 2 x − µ
● Procesos estacionarios
σ
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
2
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
1 x−µ
gaussianos f (x) = exp −
● Teorema de filtrado (2π)n/2 σ n 2σ 2
● El ruido blanco gaussiano, por
n
fin
1 (xi − µi )2
El receptor óptimo = √ exp −
Modulación DBLC i=1
2πσ 2σ 2
Es el caso de componentes independientes con la misma
varianza.
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21. Procesos estacionarios gaussianos
● title1
Definimos la función de autocorrelación de un proceso
Introducción
estacionario x(t) como
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
Rx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )].
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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22. Procesos estacionarios gaussianos
● title1
Definimos la función de autocorrelación de un proceso
Introducción
estacionario x(t) como
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
Rx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )].
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios Esta función nos proporciona todos los datos que necesitamos
gaussianos
● Teorema de filtrado para escribir las fdp de muestras de un PEGMN:
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
E[xi xj ] = E[x(ti )x(tj )] = Rx (tj − ti ).
Modulación DBLC
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23. Teorema de filtrado
● title1
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) es
Introducción
también un PEGMN y
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ).
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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24. Teorema de filtrado
● title1
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) es
Introducción
también un PEGMN y
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ).
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios La TF de la función de autocorrelación se llama densidad
gaussianos
● Teorema de filtrado espectral de potencia. En términos de estas funciones,
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Sy (f ) = Sx (f )H(f )H(−f ) = Sx (f )H(f )H ∗ (f ) = Sx (f )|H(f )|2 .
Modulación DBLC
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25. Teorema de filtrado
● title1
Si x(t) es un PEGMN e y(t) = x(t) ∗ h(t), entonces y(t) es
Introducción
también un PEGMN y
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
● Procesos estacionarios
Ry (τ ) = Rx (τ ) ∗ h(τ ) ∗ h(−τ ).
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios Si H(f ) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho de
gaussianos
● Teorema de filtrado banda (unilateral) ∆B,
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
∞ ∞
2
El receptor óptimo
E[y (t)] = Ry (0) = Sy (f )df = Sx (f )|H(f )|2 df
Modulación DBLC −∞ −∞
= Sx (f )df
Banda de paso
Esta formula es la justificación del nombre densidad espectral
de potencia para Sx (f ).
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26. El ruido blanco gaussiano, por fin
● title1
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Introducción
N0 N0
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
Rn (τ ) = δ(τ ) ⇔ Sn (f ) = .
● Procesos estacionarios 2 2
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
Por tanto E[n2 (t)] = E[n(t)n(t + 0)] = Rn (0) = ∞.
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin
El receptor óptimo
Modulación DBLC
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27. El ruido blanco gaussiano, por fin
● title1
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Introducción
N0 N0
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
Rn (τ ) = δ(τ ) ⇔ Sn (f ) = .
● Procesos estacionarios 2 2
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
Por tanto E[n2 (t)] = E[n(t)n(t + 0)] = Rn (0) = ∞.
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin Si y(t) = n(t) ∗ h(t),
El receptor óptimo
∞ ∞
N0
Modulación DBLC
E[y 2 (t)] = Ry (0) = Sy (f )df = |H(f )|2 df.
−∞ −∞ 2
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28. El ruido blanco gaussiano, por fin
● title1
El ruido blanco gaussiano se define como un PEGMN n(t) con
Introducción
N0 N0
Ruido gaussiano
● El misterioso ruido blanco
Rn (τ ) = δ(τ ) ⇔ Sn (f ) = .
● Procesos estacionarios 2 2
gaussianos
● Procesos estacionarios
gaussianos
Por tanto E[n2 (t)] = E[n(t)n(t + 0)] = Rn (0) = ∞.
● Inciso: VAs gausianas
● Procesos estacionarios
⇒ De densidades de probabilidad ni hablamos.
gaussianos
● Teorema de filtrado
● El ruido blanco gaussiano, por
fin Si y(t) = n(t) ∗ h(t),
El receptor óptimo
∞ ∞
N0
Modulación DBLC
E[y 2 (t)] = Ry (0) = Sy (f )df = |H(f )|2 df.
−∞ −∞ 2
Si h(t) corresponde a un filtro paso banda ideal de ancho de
banda (unilateral) ∆B,
B+∆B
N0
E[y 2 (t)] = Ry (0) = 2 df = N0 ∆B.
B 2
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29. Espacio de señales de energía finita
● title1
La energía de una señal (compleja de tiempo continuo) se
Introducción
define como
∞
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
E[x] = |x(t)|2 dt.
● Espacio de señales de
−∞
energía finita
● Producto escalar El espacio de las señales de energía finita es el espacio
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales vectorial de las señales de energía finita considerando iguales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de dos señales si la energía de su diferencia es cero.
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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30. Producto escalar
● title1
En el espacio de las señales de energía finita definimos el
Introducción
producto escalar (PE)
Ruido gaussiano
∞
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
x, y = x(t)y ∗ (t)dt.
energía finita −∞
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades
● Proyección ortogonal ∗
● Ortogonalización de
■ x, y = y, x
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z
ruido blanco
x, αy = α∗ x, y
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
■ αx, y = α x, y ,
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0
óptimo
■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)
Modulación DBLC
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31. Producto escalar
● title1
En el espacio de las señales de energía finita definimos el
Introducción
producto escalar (PE)
Ruido gaussiano
∞
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
x, y = x(t)y ∗ (t)dt.
energía finita −∞
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades
● Proyección ortogonal ∗
● Ortogonalización de
■ x, y = y, x
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z
ruido blanco
x, αy = α∗ x, y
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
■ αx, y = α x, y ,
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0
óptimo
■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)
Modulación DBLC
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32. Producto escalar
● title1
En el espacio de las señales de energía finita definimos el
Introducción
producto escalar (PE)
Ruido gaussiano
∞
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
x, y = x(t)y ∗ (t)dt.
energía finita −∞
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades
● Proyección ortogonal ∗
● Ortogonalización de
■ x, y = y, x
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z
ruido blanco
x, αy = α∗ x, y
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
■ αx, y = α x, y ,
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0
óptimo
■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)
Modulación DBLC
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33. Producto escalar
● title1
En el espacio de las señales de energía finita definimos el
Introducción
producto escalar (PE)
Ruido gaussiano
∞
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
x, y = x(t)y ∗ (t)dt.
energía finita −∞
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades
● Proyección ortogonal ∗
● Ortogonalización de
■ x, y = y, x
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z
ruido blanco
x, αy = α∗ x, y
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
■ αx, y = α x, y ,
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0
óptimo
■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)
Modulación DBLC
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34. Producto escalar
● title1
En el espacio de las señales de energía finita definimos el
Introducción
producto escalar (PE)
Ruido gaussiano
∞
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
x, y = x(t)y ∗ (t)dt.
energía finita −∞
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales que tiene las propiedades
● Proyección ortogonal ∗
● Ortogonalización de
■ x, y = y, x
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del ■ x + y, z = x, z + y, z , x, y + z = x, y + x, z
ruido blanco
x, αy = α∗ x, y
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
■ αx, y = α x, y ,
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor ■ x, x = 0 ⇔ x = 0
óptimo
■ x, y = X, Y (la TF preserva el PE)
Modulación DBLC
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35. Definiciones relacionadas
● title1 ■ E[x] = x, x
Introducción
■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como
● Espacio de señales de
energía finita
d(x, y) = x − y .
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas
ruido blanco
● El receptor óptimo
las de C.
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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36. Definiciones relacionadas
● title1 ■ E[x] = x, x
Introducción
■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como
● Espacio de señales de
energía finita
d(x, y) = x − y .
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas
ruido blanco
● El receptor óptimo
las de C.
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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37. Definiciones relacionadas
● title1 ■ E[x] = x, x
Introducción
■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como
● Espacio de señales de
energía finita
d(x, y) = x − y .
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas
ruido blanco
● El receptor óptimo
las de C.
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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38. Definiciones relacionadas
● title1 ■ E[x] = x, x
Introducción
■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como
● Espacio de señales de
energía finita
d(x, y) = x − y .
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas
ruido blanco
● El receptor óptimo
las de C.
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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39. Definiciones relacionadas
● title1 ■ E[x] = x, x
Introducción
■ Definimos la norma de una señal x como x = E[x]
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
■ Definimos la distancia entre dos señales x e y como
● Espacio de señales de
energía finita
d(x, y) = x − y .
● Producto escalar
● Definiciones relacionadas ■ Se dice que x e y son ortogonales (x ⊥ y) si x, y = 0.
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal ■ El subespacio ortogonal a un conjunto C de señales es el
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
subespacio C ⊥ de las señales que son ortogonales a todas
ruido blanco
● El receptor óptimo
las de C.
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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40. Sistemas ortonormales
● title1 ■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales
Introducción
{ψi (t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,
Ruido gaussiano
tales que ψi , ψj = δij .
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistema
energía finita
● Producto escalar ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L se puede escribir como
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
L
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
x(t) = x, ψk ψk (t).
● Representación vectorial del
ruido blanco k=1
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
■ Si x(t) = x1 ψ1 (t) + . . . + xL ψL (t) y
óptimo
y(t) = y1 ψ1 (t) + . . . + yL ψL (t), entonces
Modulación DBLC
x, y = x1 y1 + · · · + xL yL .
¯ ¯
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41. Sistemas ortonormales
● title1 ■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales
Introducción
{ψi (t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,
Ruido gaussiano
tales que ψi , ψj = δij .
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistema
energía finita
● Producto escalar ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L se puede escribir como
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
L
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
x(t) = x, ψk ψk (t).
● Representación vectorial del
ruido blanco k=1
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
■ Si x(t) = x1 ψ1 (t) + . . . + xL ψL (t) y
óptimo
y(t) = y1 ψ1 (t) + . . . + yL ψL (t), entonces
Modulación DBLC
x, y = x1 y1 + · · · + xL yL .
¯ ¯
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42. Sistemas ortonormales
● title1 ■ Un sistema ortonormal es un conjunto de señales
Introducción
{ψi (t)}i=1,...,L unitarias y ortogonales entre sí, es decir,
Ruido gaussiano
tales que ψi , ψj = δij .
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
■ Una señal x(t) del subespacio generado por el sistema
energía finita
● Producto escalar ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L se puede escribir como
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
L
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
x(t) = x, ψk ψk (t).
● Representación vectorial del
ruido blanco k=1
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
■ Si x(t) = x1 ψ1 (t) + . . . + xL ψL (t) y
óptimo
y(t) = y1 ψ1 (t) + . . . + yL ψL (t), entonces
Modulación DBLC
x, y = x1 y1 + · · · + xL yL .
¯ ¯
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43. Proyección ortogonal
● title1
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio S
Introducción
generado por las {ψi (t)}i=1,...,L es la señal PS x de S definida
Ruido gaussiano
por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:
El receptor óptimo ■ El error de proyección x − PS x es ortogonal a todo S.
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar
■ PS es la señal de S que minimiza x − PS x .
● Definiciones relacionadas
L
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
■ PS x(t) = k=1 x, ψi ψi (t)
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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44. Proyección ortogonal
● title1
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio S
Introducción
generado por las {ψi (t)}i=1,...,L es la señal PS x de S definida
Ruido gaussiano
por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:
El receptor óptimo ■ El error de proyección x − PS x es ortogonal a todo S.
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar
■ PS es la señal de S que minimiza x − PS x .
● Definiciones relacionadas
L
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
■ PS x(t) = k=1 x, ψi ψi (t)
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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45. Proyección ortogonal
● title1
La proyeccìón ortogonal de la señal x(t) sobre el subespacio S
Introducción
generado por las {ψi (t)}i=1,...,L es la señal PS x de S definida
Ruido gaussiano
por cualquiera de las siguientes propiedades equivalentes:
El receptor óptimo ■ El error de proyección x − PS x es ortogonal a todo S.
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar
■ PS es la señal de S que minimiza x − PS x .
● Definiciones relacionadas
L
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
■ PS x(t) = k=1 x, ψi ψi (t)
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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46. Ortogonalización de Gram-Schmidt
● title1
Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales
Introducción
{si (t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk }k=1,...,L del
Ruido gaussiano
subespacio que generan.
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
Escribiremos Pψ1 ,...,ψr para referirnos a la proyección
energía finita
● Producto escalar
ortogonal sobre el subespacio generado por las señales
● Definiciones relacionadas ψ1 , . . . , ψr .
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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47. Ortogonalización de Gram-Schmidt
● title1
Este algoritmo proporciona, dado un conjunto finito de señales
Introducción
{si (t)}i=1,...,M , una base ortonormal {ψk }k=1,...,L del
Ruido gaussiano
subespacio que generan.
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
Escribiremos Pψ1 ,...,ψr para referirnos a la proyección
energía finita
● Producto escalar
ortogonal sobre el subespacio generado por las señales
● Definiciones relacionadas ψ1 , . . . , ψr .
● Sistemas ortonormales
s1
● Proyección ortogonal ■ Tomamos ψ1 = .
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
s1
● Representación vectorial del
ruido blanco ˜ ˜
■ Calculamos ψ2 = s2 − Pψ1 s2 . Si ψ2 = 0, definimos
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
˜
ψ2
● Implementación del receptor ψ2 = .
óptimo ψ˜2
Modulación DBLC
■ En general, si toca procesar sk y en la base tenemos
˜
ψ1 , . . . , ψr , calculamos ψr+1 = sk − Pψ1 ,...,ψr sk y, si es
˜
ψr+1
distinto de cero, definimos ψr+1 = .
˜r+1
ψ
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48. Representación vectorial del ruido blanco
● title1
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0 /2 y
Introducción
{ψi (t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector
Ruido gaussiano
El receptor óptimo n = (n1 , . . . , nL ), ni = n, ψi
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de media
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales nula de componentes independientes con varianza σ 2 = N0 /2.
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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49. Representación vectorial del ruido blanco
● title1
Si n(t) es ruido blanco gaussiano con depb N0 /2 y
Introducción
{ψi (t)}i=1,...,L un sistema ortonormal, el vector
Ruido gaussiano
El receptor óptimo n = (n1 , . . . , nL ), ni = n, ψi
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar es una variable aleatoria gaussiana multidimensional de media
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales nula de componentes independientes con varianza σ 2 = N0 /2.
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Además el error de proyección
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
L
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo n(t) = n(t) −
¯ nk ψk (t)
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
k=1
óptimo
Modulación DBLC
es indepediente de los ni .
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50. El receptor óptimo
● title1
Tomamos una base ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L del subespacio
Introducción
S generado por las {si }i=1,...,M (espacio de señal).
Ruido gaussiano
El receptor óptimo si (t) = s1 ψ1 (t) + . . . + sL ψl (t),
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar
sik = si , ψk
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales si (t) ≡ si = (si1 , . . . , siL )
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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51. El receptor óptimo
● title1
Tomamos una base ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L del subespacio
Introducción
S generado por las {si }i=1,...,M (espacio de señal).
Ruido gaussiano
El receptor óptimo si (t) = s1 ψ1 (t) + . . . + sL ψl (t),
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar
sik = si , ψk
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales si (t) ≡ si = (si1 , . . . , siL )
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo PS r(t) = PS si (t) + PS n(t) = si (t) + PS n(t)
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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52. El receptor óptimo
● title1
Tomamos una base ortonormal {ψi (t)}i=1,...,L del subespacio
Introducción
S generado por las {si }i=1,...,M (espacio de señal).
Ruido gaussiano
El receptor óptimo si (t) = s1 ψ1 (t) + . . . + sL ψl (t),
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar
sik = si , ψk
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales si (t) ≡ si = (si1 , . . . , siL )
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
La proyección ortogonal sobre S de la señal recibida será
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo PS r(t) = PS si (t) + PS n(t) = si (t) + PS n(t)
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo Y el error de proyección será
Modulación DBLC
r(t) = r(t) − PS r(t) = si (t) + n(t) − [si (t) + PS n(t)]
¯
= n(t) − PS n(t) = n(t).
¯
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53. El receptor óptimo
● title1
Podemos expresar PS r como un vector r = (r1 , . . . , rL ):
Introducción
Ruido gaussiano PS r(t) = r1 ψ1 (t) + . . . + rL ψL (t)
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
rk = r(t), ψk (t) = si , ψk + n, ψk
energía finita
● Producto escalar = sik + nk
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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54. El receptor óptimo
● title1
Podemos expresar PS r como un vector r = (r1 , . . . , rL ):
Introducción
Ruido gaussiano PS r(t) = r1 ψ1 (t) + . . . + rL ψL (t)
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
rk = r(t), ψk (t) = si , ψk + n, ψk
energía finita
● Producto escalar = sik + nk
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal r (t) = n(t) es independiente de la señal enviada si
¯ ¯
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
⇒ No aporta información directamente.
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 22

55. El receptor óptimo
● title1
Podemos expresar PS r como un vector r = (r1 , . . . , rL ):
Introducción
Ruido gaussiano PS r(t) = r1 ψ1 (t) + . . . + rL ψL (t)
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
rk = r(t), ψk (t) = si , ψk + n, ψk
energía finita
● Producto escalar = sik + nk
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal r (t) = n(t) es independiente de la señal enviada si
¯ ¯
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
⇒ No aporta información directamente.
ruido blanco
● El receptor óptimo
n(t) también es independiente de los coeficientes de ruido ni
¯
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
⇒ No nos aporta información tampoco indirectamente (a
● Implementación del receptor través de las ecuaciones rk = sik + nk ).
óptimo
Modulación DBLC
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56. El receptor óptimo
● title1
Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptima
Introducción
basándonos exclusivamente en los coeficientes ri
Ruido gaussiano
⇒ Problema de estimación bayesiana con observación
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
continua r
energía finita
● Producto escalar N0
● Definiciones relacionadas r|si = si + ni ≡ N µ = si , Σ = I
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
2
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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57. El receptor óptimo
● title1
Por tanto podemos realizar la decisión de forma óptima
Introducción
basándonos exclusivamente en los coeficientes ri
Ruido gaussiano
⇒ Problema de estimación bayesiana con observación
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
continua r
energía finita
● Producto escalar N0
● Definiciones relacionadas r|si = si + ni ≡ N µ = si , Σ = I
● Sistemas ortonormales
● Proyección ortogonal
2
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
Por tanto la fdp de la observación es
ruido blanco
● El receptor óptimo 2
● El receptor óptimo 1 r − si
● El receptor óptimo f (r|si ) = L exp −
● Implementación del receptor σ (2π)L/2 2σ 2
óptimo
2 N0
Modulación DBLC
σ =
2
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58. Implementación del receptor óptimo
● title1
Los productos escalares pueden implementarse mediante
∗
Introducción
filtros de respuesta al impulso hk (t) = ψk (t0 − t):
Ruido gaussiano
∗
El receptor óptimo
r, ψk = r(t) ∗ ψk (t0 − t)|t=t0 .
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar El parámetro t0 podemos elegirlo libremente.
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales
Si la señal ψk (t) termina en t1 , el menor valor que hace el filtro
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
causal es t0 = t1 .
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor
óptimo
Modulación DBLC
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59. Implementación del receptor óptimo
● title1
Introducción ψ1 (t0 − t)
∗
Ruido gaussiano
r1
El receptor óptimo
● Espacio de señales de
energía finita
● Producto escalar ψ2 (t0 − t)
∗
● Definiciones relacionadas
● Sistemas ortonormales r(t) r2 arg m´xi P (si |r)
a ˆ
si
● Proyección ortogonal
● Ortogonalización de
Gram-Schmidt
● Representación vectorial del
ruido blanco
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● El receptor óptimo
● Implementación del receptor ψL (t0 − t)
∗
óptimo
rL
Modulación DBLC
g ∗ (r) = arg m´x P (si |r) = arg m´x f (r|si )Pi
a a
si si
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60. Modelo de sistema de transmisión digital
● title1
Portadora fc
Introducción
Ruido gaussiano Transmisor
El receptor óptimo
Fuente Modulador Modulador
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de {mi } digital de canal
transmisión digital
● Modulación DBLC
v(t) = n sI(n) (t − nT )
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
Canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora Receptor n(t)
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y Presentacion Demodulador Demodulador
equivalente
{mi } digital r(t) de canal
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61. Modulación DBLC
● title1
Modulación en Doble Banda Lateral en Cuadratura
Introducción
Ruido gaussiano
(xc (t), xs (t)) → x(t) = xc (t) cos ωc t − xs (t) sin ωc t
˜
El receptor óptimo
donde el ancho de banda de xc e yc es menor que B y
Modulación DBLC ωc
● Modelo de sistema de fc = 2π ≥ B.
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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62. Modulación DBLC
● title1
Viendo el par (xc (t), xs (t)) como una señal compleja:
Introducción
Ruido gaussiano x(t) = xc (t) + jxs (t) → x(t) = [x(t)ejωc t ]
˜
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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63. Modulación DBLC
● title1
Viendo el par (xc (t), xs (t)) como una señal compleja:
Introducción
Ruido gaussiano x(t) = xc (t) + jxs (t) → x(t) = [x(t)ejωc t ]
˜
El receptor óptimo
En frecuencia:
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
x(t) →x(t)ejωc t →˜(t) = [x(t)ejωc t ]
x
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC X(f ) →X(f − fc ) ˜
→X(f ) = Her[X(f − fc )]
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
1
● Representación vectorial del
rbg complejo
= [X(f − fc ) + X ∗ (−f − fc )]
● Canal paso bajo equivalente 2
● Error en la fase de la
X ∗ (−(f +fc ))
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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64. Modulación DBLC
● title1
X(f )
Introducción
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC ˜
X(f )
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
˜
Por tanto X(f ) es esencialmente X(f ) desplazada a fc más
X ∗ (−f ) desplazada a −fc , luego
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
˜
X(f ) = 2X(f + fc )u(f + fc ),
es decir, X(f ) es la señal paso bajo equivalente o envolvente
˜
compleja de X(f ).
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65. Ruido en el canal
● title1
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0 /2, en el
Introducción
lado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blanco
Ruido gaussiano
paso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,
El receptor óptimo
que es un proceso complejo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
ne (t) = nc (t) + jns (t)
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
del que se demuestra:
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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66. Ruido en el canal
● title1
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0 /2, en el
Introducción
lado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blanco
Ruido gaussiano
paso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,
El receptor óptimo
que es un proceso complejo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
ne (t) = nc (t) + jns (t)
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
del que se demuestra:
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos
● Representación vectorial del
rbg complejo
independientes de media nula
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la 2. y con densidad espectral de potencia
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas Snc (f ) = Sns (f ) = N0
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de los
filtros del demodulador DBLC.
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67. Ruido en el canal
● title1
Si el canal añade ruido blanco gaussiano con depb N0 /2, en el
Introducción
lado receptor, el demodulador lo convierte en ruido blanco
Ruido gaussiano
paso banda, del que se obtiene la señal paso bajo equivalente,
El receptor óptimo
que es un proceso complejo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
ne (t) = nc (t) + jns (t)
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
del que se demuestra:
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
1. nc y ns son procesos estacionarios gaussianos
● Representación vectorial del
rbg complejo
independientes de media nula
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la 2. y con densidad espectral de potencia
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas Snc (f ) = Sns (f ) = N0
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
para |f | < B, donde B es el menor ancho de banda de los
filtros del demodulador DBLC.
En los desarrollos teóricos se suele suponer ancho de banda
infinito, lo que no afecta al resultado (ejercicio 1.12 de los
apuntes de la asignatura).
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68. Ruido en el canal
● title1
cos ωc t 2 cos ωc t
Introducción
Ruido gaussiano
sc (t) FPBajo rc (t)
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital − sen ωc t FPBanda −2 sen ωc t
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
ss (t) n(t) FPBajo rs (t)
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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69. Ruido en el canal
● title1
Introducción
sc (t) rc (t)
Ruido gaussiano
El receptor óptimo
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
nc (t)
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
ss (t) rs (t)
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
ns (t)
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
José Ignacio Ronda - SSR - UPM Comunicaciones Digitales 30

70. Representación vectorial del rbg complejo
● title1
Si ne (t) = nc (t) + jns (t) es rbg complejo como el que
Introducción
acabamos de describir, pero con Snc (f ) = Sns (f ) = N0 y
Ruido gaussiano
{ψi (t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
El receptor óptimo
Modulación DBLC
ni = nic + jnis = ne (t), ψi (t)
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
ne (t) = ne (t) − (n1 ψ1 (t) + . . . + nL ψL (t)) .
¯
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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71. Representación vectorial del rbg complejo
● title1
Si ne (t) = nc (t) + jns (t) es rbg complejo como el que
Introducción
acabamos de describir, pero con Snc (f ) = Sns (f ) = N0 y
Ruido gaussiano
{ψi (t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
El receptor óptimo
Modulación DBLC
ni = nic + jnis = ne (t), ψi (t)
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
ne (t) = ne (t) − (n1 ψ1 (t) + . . . + nL ψL (t)) .
¯
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
Entonces
● Ruido en el canal ■ El vector (n1c , n1s , . . . , nLc , nLs ) es una variable aleatoria
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
gaussiana de componentes independientes, media nula y
● Error en la fase de la
portadora
varianza σ 2 = N0 .
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
■ ne (t) es independiente de este vector.
¯
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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72. Representación vectorial del rbg complejo
● title1
Si ne (t) = nc (t) + jns (t) es rbg complejo como el que
Introducción
acabamos de describir, pero con Snc (f ) = Sns (f ) = N0 y
Ruido gaussiano
{ψi (t)}i=1,...,L es un sistema ortonormal, definimos
El receptor óptimo
Modulación DBLC
ni = nic + jnis = ne (t), ψi (t)
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
ne (t) = ne (t) − (n1 ψ1 (t) + . . . + nL ψL (t)) .
¯
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
Entonces
● Ruido en el canal ■ El vector (n1c , n1s , . . . , nLc , nLs ) es una variable aleatoria
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
gaussiana de componentes independientes, media nula y
● Error en la fase de la
portadora
varianza σ 2 = N0 .
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
■ ne (t) es independiente de este vector.
¯
● Resumen: Sistemas real y
equivalente Por lo tanto el esquema del receptor óptimo para señales
reales es también válido para señales complejas.
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73. Canal paso bajo equivalente
● title1
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por un
Introducción
sistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f )
Ruido gaussiano
obtenemos
El receptor óptimo ˜ ˜
Y (f ) = X(f )H(f )
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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74. Canal paso bajo equivalente
● title1
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por un
Introducción
sistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f )
Ruido gaussiano
obtenemos
El receptor óptimo ˜ ˜
Y (f ) = X(f )H(f )
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)
transmisión digital
● Modulación DBLC obtenemos
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal ˜ ˜
Y (f ) = 2Y (f + fc )u(f + fc ) = 2X(f + fc )H(f + fc )u(f + fc )
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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75. Canal paso bajo equivalente
● title1
Si la señal modulada pasa por un canal modelado por un
Introducción
sistema lineal invariante con respuesta en frecuencia H(f )
Ruido gaussiano
obtenemos
El receptor óptimo ˜ ˜
Y (f ) = X(f )H(f )
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de Luego al demodular (=obtener señal paso bajo equivalente)
transmisión digital
● Modulación DBLC obtenemos
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal ˜ ˜
Y (f ) = 2Y (f + fc )u(f + fc ) = 2X(f + fc )H(f + fc )u(f + fc )
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la ˜
= 2X(f + fc )u(f + fc ) H(f + fc )u(f + fc )
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas X(f ) He (f )
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
He (f ) es la respuesta del canal paso bajo equivalente
(atención a la definición (sin 2)).
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76. Error en la fase de la portadora
● title1
Si modulamos x(t) = xc (t) + jxs (t) con ej(ωc t+θ) en lugar de
Introducción
ejωc t , transmitimos
Ruido gaussiano
El receptor óptimo [x(t)ej(ωc t+θ) ] = [x(t)ejθ ejωc t ],
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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77. Error en la fase de la portadora
● title1
Si modulamos x(t) = xc (t) + jxs (t) con ej(ωc t+θ) en lugar de
Introducción
ejωc t , transmitimos
Ruido gaussiano
El receptor óptimo [x(t)ej(ωc t+θ) ] = [x(t)ejθ ejωc t ],
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
y si demodulamos con ejωc t recuperamos
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
x(t)ejθ .
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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78. Resumen: Ventajas de usar señales complejas
● title1
Las señales complejas proporcionan un modelo
Introducción
matemáticamente equivalente del proceso de transmisión de
Ruido gaussiano señales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de forma
El receptor óptimo muy sencilla:
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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79. Resumen: Ventajas de usar señales complejas
● title1
Las señales complejas proporcionan un modelo
Introducción
matemáticamente equivalente del proceso de transmisión de
Ruido gaussiano señales moduladas en DBLC, en el que se incluyen de forma
El receptor óptimo muy sencilla:
Modulación DBLC ■ La presencia de ruido en el canal.
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
■ La distorsión lineal del canal.
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC ■ Los errores de fase en la recuperación de la portadora.
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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80. Resumen: Sistemas real y equivalente
● title1
Introducción
DBLC H(f ) DBLC−1
Ruido gaussiano
ej(ωt+θ) ejωt
El receptor óptimo n(t)
Modulación DBLC
● Modelo de sistema de
transmisión digital
● Modulación DBLC
● Modulación DBLC
He (f )ejθ
● Modulación DBLC
● Ruido en el canal
● Ruido en el canal
● Representación vectorial del
ne (t)
rbg complejo
● Canal paso bajo equivalente
● Error en la fase de la
portadora
● Resumen: Ventajas de usar
señales complejas
● Resumen: Sistemas real y
equivalente
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