calculo

1. RECTAS Y PLANOS EN R3
Divide las dificultades
que examinas en tantas
partes como sea posible
para su mejor solución.
RENÉ
DESCARTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la unidad, el estudiante aplica el Paralelismo y Ortogonalidad entre planos para
resolver problemas de aplicación en Ingeniería, así como determina la intersección entre Planos
y el ángulo Diedro”
5.10. Planos Paralelos
Dos planos P1 : a1x + b1y + c1z = d1;
P2 : a2x + b2y + c2z = d2 son paralelos si
sus vectores normales lo son, es decir:
P1 //P2 ⇐⇒ −→n 1 //−→n 2 ⇐⇒ −→n 1 = −→n 2
P1 //P2 ⇐⇒ −→n 1 //−→n 2 ⇐⇒ −→n 1 × −→n 2 =
−→
0
5.11. Planos Perpendiculares
Dos planos P1 : a1x + b1y + c1z = d1;
P2 : a2x + b2y + c2z = d2 son perpendicu-
lares si sus vectores normales lo son, es decir:
P1 ⊥ P2 ⇐⇒ −→n 1 ⊥ −→n 2
P1 ⊥ P2 ⇐⇒ −→n 1 · −→n 2 =
−→
0
Ejemplo 65. Dados los planos: P2 :x + 3y −
2z = 6 ; P1 :P = (4, −3, 2) + r (2, −2, 4) + t (2, 1, 1);
. Determine si son paralelos u ortogonales. En
caso de no ser paralelos, hallar la intersección
entre los planos.
Solución. :
91

2. RECTAS Y PLANOS R3
5.12. Ángulo entre Planos
Dados los planos P1 : −→n 1 · (P − P1 ) = 0
y P2 : −→n 2 · (P − P2 ) = 0 cuyas normales son
−→n 1 y −→n 2respectivamente.
El angulo θ entre dichos planos es igual al
suplemento del ángulo β formado por los vec-
tores normales, es decir:
β = arc cos
−→n 1·−→n 2
−→n 1
−→n 2
=⇒ θ = 180 − β
Ejemplo 66. Sean los planos P1 :2x+y +2z =
8.; P2 :x−2y+2z = 3.Determine el ángulo entre
dichos planos
Solución. :
5.13. Distancia Punto - Plano
La distancia de un punto Q0 (x0 , y0 , z0 ) ∈
R3 a un plano P : ax + by + cz + d = 0 está
dada por la fórmula:
d(Q0 , P) = |ax0 +by0 +cz0 +d|
√
a2 +b2 +c2
Ejemplo 67. : Hallar la distancia del punto
Q (3, −2, 7) al plano P que pasa por el pun-
to A (5, 1, 1), donde los vectores −→u = (2, 1, 2);
−→v = (−4, −5, 7) son paralelos a él.
Solución. :
UTP Sede Arequipa Página 92

3. RECTAS Y PLANOS R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 10 Sesión 02
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Sean las rectas L1 :x−3
−5 = y−1
2 , z = 3;
L2 :
3x − y + z = 0
x + 2y − z = 0
Hallar la ecuación
de un plano que pasa por A (−1, −1, 0)y
es paralelo a las dos rectas.
Solución. :
Respuesta:
2. Dados los planos P1 :2x − 3y + 4z =
12.; P2 :9y − 6x − 12z = 5 y
P3 : P = (3, 3, 5) + t (−2, 3, 6) + r (1, 4, 1)
Determine quienes son paralelos u ortogo-
nales. Seleccione dos planos NO paralelos
y halle su ángulo y su intersección.
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 93

4. RECTAS Y PLANOS R3
3. Halle la ecuación del plano P que
pasa por el punto de intersección
de la recta L1 :



x = −2 + 3u
y = u
z = 4 + 2u
y
el plano 2x + 3y − z + 11 = 0; y es
paralela al plano que contiene los
puntos A(1, −2, 3), B(−2, 1, 1) y
C(−3, 2, −1).
Solución. :
Respuesta:
4. Hallar la ecuación del plano que pasa por
el punto Q (5, 0, −1) y que es ortogo-
nal al plano que contiene a las rectas:
L1 :x−1
2 = y+1
2 = z−7
3 ; L2 :x+5
3 = 1−y =
−z − 2;
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 94

5. RECTAS Y PLANOS R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Para que valores de a y b la recta
L1 : x−2
a = y+1
4 = z−5
−3 es perpendicular
al plano 3x − 2y + bz + 1 = 0
Solución. :
Respuesta:
2. Encuentre la ecuación del plano que con-
tiene a la recta
L1 : x = 3 + 2t; y = t; z = 8 − t y es
paralelo al plano 2x + 4y + 8z = 17
Solución. :
Respuesta:
3. Encuentre la ecuación del plano que
pasa por la intersección de los planos
P1 :x − z = 1 y P2 :y + 2z = 3 y es per-
pendicular al plano x + y − 2z = 1
Solución. :
Respuesta:
4. Escribe la ecuación del plano que
pasa por los puntos A(1, −3, 2)
yB(0, 1, 1) y es paralelo a la recta
L2 :
3x − 2y + 1 = 0
2x + 3z − 3 = 0
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 95

6. RECTAS Y PLANOS R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas:
L1 :2−x
4 = y−5
−3 = z+1
2 ; L2 :



x = 4 + 4t
y = −3 + 3t
z = −2t
2. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (0, −2, 5) y (−1, 3, 1) y es perpendicular
al plano 2z = 5x + 4y.
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, −1, 1) y contiene a la recta x = 2y = 3z
4. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (1, 5, 1) y es perpendicular a los planos
2x + y − 2z = 2 y x + 3z = 4
5. Encuentre la ecuación del plano que pasa por la intersección de la recta
L : P = (1, −2, 3) + t (2, −1, 1) y el plano P1 : 2x − 3y + 4z + 2 = 0
UTP Sede Arequipa Página 96