1. 1. Campos Vectoriales:
MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
Campos Vectoriales
R2. ¿Cómo se representa gráficamente?. ¿Cómo se
1.1. Defina campo vectorial sobre R
. expresa en
términos de sus funciones componentes?.
Sea D un conjunto en Un campo vectorial en
función
que asigna a cada punto (x, y) un vector de dos
dimensiones
en D
La mejor forma de graficarlos es a través de flechas que
representan el vector
.
Como
es un vector bidimensional, podemos escribir
la función en término de sus componentes P y Q

2. P y Q (o M y N) son funciones escalares de dos variables, y se llaman campos escalares para
diferenciarlos de los campos vectoriales.
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
es una

3. ciarlos Page 1

4. MMMMAAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
1.2. Indique cuáles de las siguientes funciones son campos escalares y cuáles campos
vectoriales:
1.2.a. f (t) = x(t)i + y(t) j
1.2.b. f (x, y) x 3xseny = 2 +
1.2.c. F x y = x2 y ⋅ i + senx ( , )
xseny Campo escalar
⋅ j Campo Vectorial
R3.
1.3. Defina campo vectorial sobre R
Función escalar
Sea E un sub-conjunto de . Un campo vectorial en
función
que asigna a cada punto (x, y, z) en E un vector
tridimensional
Se representa también con vectores pero en tres
como lo indica la figura
1.4. Identifique las funciones componentes del campo vectorial
representación gráfica.
Las componentes son
En

5. = -y (P o M)
En
= x (Q o N)
1.5. Indique de qué modo se puede representar un campo vectorial.
+ x ⋅ j y realice su
Los campos vectoriales se pueden representar mediante un conjunto de vectores direccionados, si
bien es una tarea compleja, la misma puede hacerse fácilmente a través de programas cada vez
potentes en computadoras personales, en el grafico de abajo se ilustra la graficación de tres
funciones de campos vectoriales
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
es una
dimensiones
F (x, y) = −y ⋅ i
más
Page 2

6. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
1.6. En el siguiente cuadro se dan tres aplicaciones físicas de los campos vectoriales, complete el
cuadro siguiendo las indicaciones:
Campo de fuerza
Gravitacional
Expresar la ley de gravitación universal de Newton en lenguaje coloquial y simbólico
La ley de Newton de la gravitación enuncia que la magnitud de la fuerza gravitacional entre dos
objetos, con masas m y M es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa
! #$ $ %
$ $ !!'
Si m está en la posición
(( )
(( y M esta en el origen, la fuerza
gravitacional ejercida de M sobre m actúa con dirección hacia el origen y el vector unitario en esta
dirección es * +
(+(
+
*
(,,( - ,, $,
,,
+
*
- ,
$ ,,
$. /. 01
(,,(
23 3 3
*
3 3 3 4 $. *
3 3 3 4 /. *
3 3 3 4 01
Campo de fuerza eléctrica
Expresar la Ley de Coulomb en forma vectorial
La ley de Coulomb enuncia que una carga eléctrica Q localizada en el origen ejerce una fuerza
eléctrica sobre una carga q localizada en un punto (x, y, z) con vector posición
+
56
(,,( - ,,
7 $8 %! 6 9 : ) % ;8! !!78%$#
7 $$ 6 : ) % ;8! ! $#
Campo de velocidades
SiV (x, y) = −y ⋅ i + x ⋅ j es un campo de velocidades ¿Qué información física describe.
¿Cómo se indica la rapidez del movimiento en cada punto?
Si =,+
*

7. es un campo de velocidades =, podría describir la rotación de un eje en
sentido anti-horario. La rapidez en cualquier punto se indica mediante la longitud de la flecha.
1.7. ¿Cómo se definen los campos cuadráticos inversos?
Sea

8. 0?
el vector posición del punto P, el campo vectorial
es un campo cuadrático
inverso (o de variación inversa) al cuadrado de la distancia, si
puede ser expresado como:
0
((
- @, @,
((
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 3

9. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
1.8. ¿A qué se denomina campo vectorial gradiente?
Si f es una función escalar de 2 variables, su gradiente A; está definida por
A;
;+

10. ;
Por lo que A; es un campo vectorial sobre R2 llamado Campo Vectorial Gradiente
A;
,,
;+

11. ;
Campo Vectorial Gradiente en el plano
1.9. Indique cuándo se dice que un campo vectorial F es un campo vectorial conservativo.
Sea P y Q (o M y N) dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R.
El campo vectorial dado por

12. B
o

13. es conservativo si y solo si
CB
C
C
C
Un Campo Vectorial se llama Campo Vectorial Conservativo si es el Gradiente de alguna función
escalar f, es decir, si existe ;4
A; . a f se le llama función potencial para .
1.10. ¿Cuándo una función escalar f es una función potencial del campo F ?
Una función escalar f es una función potencial del campo
si A;
1.11. Indique si es verdadero o falso y justifique:
“El campo gravitacional es un campo vectorial conservativo” Verdadero
Si
;
*
D3 3 3
A;
*
D3 3 3
$. *
D3 3 3
/. *
D3 3 3
01
El campo gravitacional se define como:
*
E,
D3 3 3
$. *
D3 3 3
/. *
D3 3 3
01
)E,
A;
E,
!!# $#
1.12. Enuncie el teorema que establece la condición necesaria y suficiente para que un campo
vectorial en el plano sea conservativo.
Sea P y Q (o M y N) dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en un disco abierto R.
El campo vectorial dado por

14. B
o

15. es conservativo si y solo si
CB
C
C
C
Por lo tanto existe un f / A;
E,
1.13. Ídem para campos conservativos en el espacio.
Sea
un campo vectorial en el espacio, E,+F
G+F

16. H+F
I+F 0?
donde M, N y P
son funciones escalares con derivadas parciales continuas, el campo vectorial E, es conservativos y
solo si
C
C
CB
C
C
C
C
C
CB
C
C
C
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 4

17. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
Por lo tanto existe un f / A;
E,
2. Divergencia y Rotacional:
2.1. Defina la divergencia de un campo vectorial F en R3.
Si el campo vectorial

18. 0?
tiene derivadas parciales continuas de primer
orden en una bola abierta perteneciente a R3, la divergencia de
es la función de 3 variables o
campo escalar definido por $#
A
2.2. Exprese la divergencia de un campo vectorial usando el operador “nabla” o “del”
$#
C
C
C
C
C
C
- B A
$#
C
C
CB
C
C
C
) J %
2.3. Calcule la divergencia del siguiente campo vectorial F x y z xz i xyz j y k 2 ( , , ) = ⋅ + ⋅ + − .

19. *0?
A
2.4. ¿Qué información física brinda la divergencia de un campo de velocidades de un fluido?
Si
es el campo de velocidad de un fluido, la $#
en un punto P mide la tendencia de ese fluido a
alejarse si $#
9 : ; y a acumularse en torno de P si $#
: . Si la $#
9 : en P, habrá una
fuente y si la $#
: habrá un sumidero en P. Si la $#
: se dice que el campo es
incompresible o Solenoidal.
2.5. Defina el rotacional de un campo vectorial F en R3.
Si el campo vectorial

20. 0?
tiene derivadas parciales continuas de primer
orden en una bola abierta perteneciente a R3, el rotacional de es la función de 3 variables o campo
escalar definido por
A K
2.6. Exprese el rotacional de un campo vectorial usando el operador “nabla” o “del”.
A K
L
$
/
C
C
C
C
0?
C
C
B
L
C
C
A K
$
M
*
CB
C
C
C
N * /
M
*
C
C
N 0?
M
CB
C
*
C
C
N
2.7. Calcule el rotacional del campo vectorial definido por F x y z xz i xyz j y k 2 ( , , ) = ⋅ + ⋅ + − .

21. *0?
A K ,,

22. *3 * *
: * 0?
* :
OPQ- ,,
*3 *

23. 0?
2.8. Enuncie y demuestre el teorema correspondiente al rotacional del campo gradiente.
Si f es una función de tres variables con derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces:
A;
:R!!' !S% $ 8
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 5

24. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
A;
A K A;
L
L
$
/
C
C
C
C
0?
C
C
C;
C
C;
C
L
T
L
C;
C
C3;
CC
*
C3;
CC
U $
* T
C3;
CC
*
C3;
CC
U /
T
C3;
CC
*
C3;
CC
U0?
:$
* :/
:0?
: ) A;
:
Si
es conservativo entonces
:,
2.9. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso, justifique:
“Si el rotacional de F es distinto del vector nulo entonces F no es conservativo”.
Verdadero. Porque para un
conservativo el
:, por el teorema de Clairaut.
2.10. Demuestre que el campo vectorial F x y z xz i xyz j y k 2 ( , , ) = ⋅ + ⋅ + − no es conservativo.

25. *0?
A K
LL
$
/
C
C
C
C
0?
C
C
*3
LL
C*3
C
A K
$
T
*
C
C
U * /
T
C*3
C
*
C
C
U 0?
T
C
C
*
C
C
U
V*3 * W$
* V: * W/
V * :W0?
*3 * $
/
0?
Como el
X : Y
no es conservativo
2.11. Bajo que condiciones se cumple el recíproco del teorema anterior.
Debe ser un campo definido sobre R3 completamente (es decir que su dominio es simplemente
conexo, sin hoyos o huecos), sus derivadas parciales ser continuas y su
:, entonces si es
conservativo.
2.12. Demuestre que el campo vectorial F x y z x z i xyz j xy z k 2 3 3 2 2 ( , , ) = ⋅ + 2 ⋅ + 3 es conservativo y
encuentre la función potencial f.
Solución
Calculamos el Rotacional de F
A; K
LL

26. 0?
C
C
C
C
C
C
3 Z
LL
[ * [

27. * Z * Z
3 * 3 0?
:
Derivadas Parciales
;+
;
3 ;F
Z
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 6

28. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
;+
3
^
Z
0
;
;
;
;
;
;F
;
_
2.13. ¿Qué información física brinda el rotacional de un campo de velocidades de un
fluido?.
Si
representa el campo velocidad en los flujos de los fluidos, el vector rotación
rotaciones. Las partículas que están cerca de (x, y, z) en el fluido tienden a rotar alrededor del eje
que señala en la dirección de
medida de rapidez con que se mueven las partículas alrededor del eje. Si el
entonces el fluido está libre de rotaciones en p y
remolinos ni movimientos parásitos.
2.14. Enuncie y demuestre el teorema
Si

29. ]0?
es un campo vectorial sobre R
de segundo orden:
$#,,
C
C
$#,,
CC
2.15. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso, justifique:
“Si la divergencia de F es distinta de cero entonces
$#,, X : ) ,, X
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
se asocia con las
y la longitud de este vector rotacional constituye una
: en el punto P,
se llama irrotacional en P, o sea que no existen
correspondiente a la divergencia del rotacional.
3 , P, Q y R tienen derivadas parciales continuas
M
C]
C
*
C
C
N
C
C
M
C
C
*
C]
C
N
C
C
M
C
C
*
C
C
N
C]
*
C
CC
C
CC
*
C]
CC
C
CC
*
C
CC
$#,,
:
F no es el rotacional de algún
vectorial G”. Verdadero
,, $#,,
: ) ,,
,, $#- ,,
:
campo
Page 7
:

30. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
2.16. Demuestre que el campo vectorial F x y z xz i xyz j y k 2 ( , , ) = ⋅ + ⋅ + − se puede escribir como
el rotacional de otro campo vectorial, es decir F ≠ rotG .
Solución
$#
A-
C
C
C
C
C
C
*
Para que $#
$#=0, pero como en este caso $# X :, ello implica que
no es rotacional de
ningún otro campo vectorial
2.17. ¿Qué operador surge cuando se calcula la divergencia de un campo vectorial gradiente?
Cuando se calcula la divergencia de un campo vectorial gradiente A;, surge otro operador
diferencial. Si f es una función de tres variables,
$#A;
A- A;
C;
C
C;
C
C;
C
A;
El operador A
A- A se denomina Operador de Laplace, debido a su relación con la ecuación de
Laplace.
A;
C;
C
C;
C
C;
C
Si A;
: se dice que f es una función armónica.
3. Integrales de línea:
3.1. Defina integral de línea de una función f a lo largo de una curva C.
Sea C una curva suave dada por
`
` a a b, si f esta definida sobre Ci se define
Integral de línea de f a lo largo de C a
;
c
d
efg
)h
k j
l
i;j
k
jmn
dj
Si el límite existe.
3.2. ¿Qué fórmula permite evaluar una integral de línea?. ¿Bajo qué condiciones?.
;
c
r
d
; o pqM
C
C
N
M
C
C
N
s
Esta fórmula permite evaluar una integral de línea bajo la condición de que f sea continua.
3.3. Para un caso especial de curva C, la integral de línea se reduce a una integral simple
ordinaria como las estudiadas en Matemática II. Describa en forma paramétrica esta curva C.
En el caso especial en que C es el segmento de recta que une a (a, 0) con (b, 0), al utilizar a x como
parámetro podemos escribir las ecuaciones parametricas de C como
: a a b ;
c
r
d
; :
s
Integral ordinaria de una variable.
3.4. Indique si el siguiente enunciado es verdadero o falso y justifique:
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 8

31. MMMMAAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
“La integral de línea de una función
interpretarse como un área”.
f(x, y) ≥ 0 puede
Verdadero
Si ; t :, u ; c d representa el área de un
lado de una superficie, cuya base es C y cuya altura
encima del punto (x, y) es f (x, y)
3.5. Evalúe
∫ ( + )
C
x y ds 2 2
, donde
C es la mitad superior del círculo unitario
Solución:
Primero debemos parametrizar las ecuaciones que representan a C.
el circulo puede ser parametrizado por medio de las siguientes
ecuaciones
vPw
!
3
c
x
d
3 vPw
y
x
3 vPw wfz
y
x
3 vPw wfz
y
3{
3
Z
3.6. Defina integral de línea de una función
M
x
Si C es una curva suave a trozos, la integral a lo largo de C es
;
c
d
c
3.7. Evalúe la integral
∫ ( ) C
2x ds
(0,0) a (1,1) seguido por el segmento de recta vertical
Solución
La curva esta en función de x, por lo parametrizamos con x y la
Entonces
3
c|
n
d
3
y
qT
U
3
T
3
3
Para C2 elegiremos y como parámetro, entonces
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
x2 +
! : a a {
wfz qM
N
N
D$
}3 *
vPw
Z
~
y
f(x, y) sobre una curva suave a trozos.
;
c|
d ;
c
d € ;
c
d
, donde C está formada por el arco C1 de la parábola
C2 (1,1) a (1,2)
ecuación C1 queda como:
: a a ‚
U
n
y
D‚ ƒ3
„‚
ƒ
-
3
Z
‚ ƒ
n
…
y
Page 9
1 y 2 =
2 y = x de
†‡† * ‚
[

32. 3
c
d
Entonces
3
c
MMMMAAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
3‚
d
‚
‚ a a 3
3
T
3
3
3.8. Sea ρ(x, y) la densidad de masa de un alambre en el plano,
su masa.
'
efg
)h
k j
l
i;j
k
jmn
dj $
3.9. ¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de
¿Cómo se indican?. ¿Cómo se evalúan?.
calcular
, x e y.
Las integrales de línea de f a lo largo de C con respecto a x e y son las integrales con respecto a esos
elementos respectivamente
;
c
;
c
`
Se evalúan como:
;
c
;
c
C
∫ + 2 donde (a)
3.10. Evalúe y dx xdy
de recta de (-5,-3) a (0,2) y (b)
de 2 x = 4 − y de (-5,-3) a (0,2)
Solución
La representación paramétrica queda como
† * †
† *
y
*†*Z n
:3
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
r
r
GERARDO
n
qT
U
U
n
3
3
c|
d 3
c
d
†‡† * ‚
[
3
hallar la expresión para
;
c
d
C, con respecto a las variables
;
efg
)h
k j
i;j
k
l
jmn
ˆj
;
efg
)h
k j
i;j
k
l
jmn
ˆj
`
‰`
‰`
;
;Š` ` ‹
s
‰`
;
;Š` ` ‹
s
‰`
C= C1 es el segmento
C= C2 es el arco de parábola
Z : a a ‚
†
†
Page 10

33. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
c|
n n
3†
Z
n
† * Z † † * † †
†3† * 3† ƒ
† }
*
3†
3
ƒ~
y
y
y
†
[
Tomaremos a y como parámetro en C2
ƒ *
*Z a a 3
*3
c
*3 ƒ *
*3 * ƒ
}*
Œ
3
*
Z
ƒ~



ƒ:
†
[
3.11. Bajo que condiciones la integral de línea no depende de la parametrización de la curva C.
Una integral de línea no depende de la parametrización de la curva C cuando es independiente de la
trayectoria.
3.12. La parametrización de una curva C induce una orientación: positiva (indicada C),la
correspondiente a t creciente y negativa la opuesta (indicada -C). Complete entonces las
siguientes igualdades, teniendo en cuenta que se conoce el valor de la integral de línea sobre
C, justifique.
∫−
=
a) f (x, y)dx
C
∫−
=
b) f (x, y)dy
C
∫−
=
c) f (x, y)ds
C
`
` a a b S
;
*;
c c
;
* ;
c c
;
*;
c c
;
* ;
c c
; d
; d
c c
ˆdj$!'7!!7$$#
ˆjˆj 'b$ !$ %$#!$% $! $!S
3.13.
3.13.a. Defina integral de línea en el espacio.
Si C es una curva suave en el espacio dada por
`
`
` a a b `
`

34. `
` 0?
Si f es una función de tres variables continua en una región que contiene a C, la integral de línea de f
a lo largo de C es:
;
c
d
efg
)h
k j
l
i;j
k j
k
jmn
dj
3.13.b. Exprese una fórmula que permita efectuar su cálculo.
;
c
r
d
; o pqM
C
C
M
N
C
C
M
N
C
C
N
s
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 11

35. MMMMAAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
3.13.c. Escriba la fórmula del punto b) en forma vectorial.
; d
;Š, ‹
;
c
3.13.d. ¿Qué entiende por integrales de línea, a lo largo de C, con respecto a las
y, z? . ¿Cómo se indican?. ¿Cómo se evalúan?.
Las integrales de línea a lo largo de C on respecto a x, y, z se definen con:
;
c
;
c
;
c
d
r
3.14. Calcule las siguientes integrales de línea
C
∫ ⋅ ⋅ donde
y = sent , z = t , 0 ≤ t ≤ 2
3.14.a. y senz dy
!
c
x
d
! !qM
s
x
Š!3‹D!
s
‡3
‚
3
‚ * vPw
x
s
M
C
∫ + + , donde
seguido por el segmento de recta de
3.14.b. ydx zdy xdz
k j
x
x
‡3{
Según la ecuación que representa a un segmento de línea que
empieza en r0 y termina en r1
`
‚ * y
La ecuación de la Recta queda de la siguiente manera
`
‚ * 3:: Z
O en su forma paramétrica como
3
ƒ
Entonces
c|
n
ƒ
y
n
‚: 3Ž
y
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
r
s
- , 
ndican?.
efg
)h
i;j
k j
k
l
jmn
ˆj
;Š` ` ` ‹
s
‰`
c
]
variables x ,
C es la hélice circular dada por las ecuaciones
π
qM
C
C
N
C
C
N
M
C
C
N
‹ ! ‚
Š!3‹‡‚ ‚
s
3
‡3
3
‘ *
‚
3
wfz 3…
y
C consta del segmento de recta C1 de
(3,4,5) a (3,4,0)
n : a a ‚
ZĠ
3 ƒ †
† : a a ‚
† ƒ 3 †
„‚: 3Ž
3
n
3ƒ-†
~
y
x = cos t ,
(2,0,0) a (3,4,5)
Page 12

36. Para C2
MMMMAAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
`
‚
O en su forma paramétrica como
* Zƒ† Zƒ:
Zƒ† * †
† * † : a a ‚
:
Z
ƒ
Entonces
c
c
Z*†
4. Integrales de línea de campos vectoriales:
4.1. Sea F = Mi + Nj + Pk F un campo de fuerzas continuo en R
una partícula a lo largo de una curva suave
Si

37. B
0?
es un campo de fuerzas continuo en R
, mover
trabajo para mover una partícula a lo largo de
esta dado por la siguiente ecuación que dice que el trabajo es la
integral de línea respecto a la longitud del arco de la componente
tangencial de la fuerza.
’
c
-R,
4.2. Si la curva suave C está expresada por la función vectorial
permita calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas
una partícula sobre C.
r
4.3. Si F es un campo vectorial continuo, defina integral de línea de
c
-
r
4.4. Teniendo en cuenta que el campo
F = M(x, y, z)i + N(x, y, z) j +
ecuaciones paramétricas x = x(t), y= y(t), z = z(t)
realizado por el campo de fuerzas
una partícula a lo largo del cuarto
para 0 ≤ t ≤π 2
vPw
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
n
y
*‚†
3ƒ-† * ‚†
Ž-†
R3, calcule el trabajo para
C.
3; el
C, para a a b,
al
c
-R,
r (t) , escriba una integral
F = Mi + Nj + Pk
’
s
Š` ‹- ,,‰`
para desplazar
F sobre la curva
s
Š` ‹- ,,‰`
c
-R,
P(x, y, z)k y que la curva C tiene
t).Calcule el trabajo
F x y = x2i − xyj ( , ) al mover
del círculo r (t) = cos ti + sentj
w“z
que
suave C.
Page 13

38. MMMMAAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
3 $. * vPw wfz /. ,,,‰
,,Š, ‹
vPw3
c
x
-
y
Š` ‹- ,,‰`
x
4.5. ¿La integral de línea de un campo vectorial F a lo largo de
Justifique su respuesta.
c -
u
c -R,
Aun cuandou
cuando se invierte la orientación, sigue siendo cierto
tangente unitario R, se sustituye con su valor negativo, cuando
4.6. Evalúe ∫ ⋅
c
F dr donde F = xyi
donde 0 ≤ t ≤1
`

39. 0?
,,‰`

40. 3
c
r
-
s
n
Š` ‹- ,,‰`
y
x
n
4.7. ¿Cuál es la relación entre las integral de línea del campo vectorial F y las integrales
de los campos escalares correspondientes a las funciones componentes?
Si

41. ]0?
es un campo de fuerzas continuo en R
c
r
-
s
Š` ‹- ,,‰`
r
”Š` `
s
c
r
r
-
s
5. Teorema fundamental para integrales de línea
5.1. Escriba el enunciado del Teorema fundamental de las integrales de línea. Indique
y tesis. Efectúe la demostración justificando todos los pasos.
Dado el Teorema fundamental del Calculo
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
*w“z $. vPw /.
‹ `
*3 vPw !
y
„3
vPw
Z
•
y
*
C cambia con la
y las integrales respecto a la longitud de arco, no cambian
u
c -
*u
c -
–C reemplaza a C.
+ yzj + zxk y C es el cubo torcido dado por :
Z0?
Š` ‹

42. –
Œ0?
†—
„Œ
ƒ
†˜
™
•
y
3™
3š
3 en forma de sus componentes escalares
Š

43. ]0?
‹
s
- Š‰`

44. ‰`
‰` 0?
‹
` ‹‰` Š` ` ` ‹‰` ]Š` `
]

45. ]0?
‰+
r
s
s
r
Page 14
3
Z
’
orientación de C?
Porque el vector
x = t; y=t2; z=t3 ;
de línea
us ‹
` ‹‰` ›
hipótesis

46. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
Sea C una curva suave dada por la función vectorial ` a a b y sea f una función derivable de
2 o 3 variable, cuyo vector gradiente A; es continuo sobre C; entonces
A;
c
-
;Šr ‹ * ;Šs ‹
Este teorema nos permite evaluar la integral de línea de un campo vectorial conservativo con solo
conocer el valor de f en los extremos de C. Si f es una función de 2 variables y C una curva en el
plano, con un punto inicial œn n y punto final 
A;
c
-
; * ;n n 7%
A;
c
-
; * ;n n n !7 $
Demostración (por la regla de la cadena):
A;
c
r
-
A;Š` ‹- Š‰` ‹
s
C;
C
r
M
-
C
C;
C
-
C
C;
C
-
C
N
s
r
C
C
s
;Šr ‹
Entonces por el teorema fundamental del cálculo
A;
c
-
;Šr ‹ * ;Šs ‹
5.2. ¿Cuándo se dice que la integral de un campo vectorial es independiente de la trayectoria?
Una integral de un campo vectorial es independiente de la
trayectoria si:
A;
c|
-
A;
c
-
A;
c
-
5.3. Indique si el enunciado es verdadero o falso:
“Las integrales de línea de campos vectoriales conservativos son independientes de la trayectoria”.
Justifique. Verdadero
Porque la integral de línea del campo vectorial conservativo tendrá el mismo valor si la evaluamos
por distintos caminos (curvas)
5.4. ¿Qué entiende por curva cerrada?.
Una curva es Cerrada si su punto terminal coincide con su punto inicial, es decir que
Šr ‹
Šs ‹
5.5. Un teorema proporciona una condición necesaria y suficiente para que integral de línea de
un campo vectorial F sea independiente de la trayectoria.
5.5.a. Enuncie y justifique dicho teorema.
u
c - es independiente de la trayectoria en D Sii u
c -
: para toda la trayectoria cerrada C
en D.
Como u
c - de un Campo de fuerzas conservativo es independiente de la trayectoria, por lo tanto
u
c -
: para trayectorias cerradas.
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 15

47. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
5.5.b. Interprete físicamente el enunciado
La interpretación física es que el trabajo que lleva a cabo el campo de fuerzas conservativo (
gravitacional y el eléctrico) al mover un objeto alrededor de una trayectoria cerrada es igual a cero.
5.6. Un teorema afirma que los únicos campos vectoriales para los cuales las integrales
son independientes de la trayectoria son los conserv
dicho teorema para una curva C en el plano.
ativos. tesis y justifique
Si
es un campo vectorial continuo sobre una región abierta conexa D y si
de la trayectoria en D, entonces
;žA;
Sea œ b un punto fijo en D. La función potencial f, para cualquier punto (x, y) en D es:
;
u ,,- , +
b
;
,,-
c|
+
;
,,-
b
C
C
;
:
Si

48. S
,,-,
c
c
C
C
C
C
;
C
C
c
C
C

49. C;
C

50. C;
C
+
como el
de líneas
es independiente
5.7. Un teorema proporciona condiciones necesarias que deben cumplir las funciones
componentes del campo para que este campo vectorial sea conservativo. Enuncie y
Demuestre.
Si

51. es un campo v
parciales continuas de primer orden sobre un dominio D, entonces en todo D tenemos que:
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
conservativos. Enuncie hipótesis,
u
c -
es un campo vectorial conservativo sobre D, es decir que existe
, ,,- ,
c
, ,,- ,
c
C
C
,,- ,
c
!
: n a a
;
‚
;
C
C
‚
A; )
!!# $#
vectorial conservativo, donde P y Q tienen derivadas
C
C
C
C
C;
C
C;
C
C
C
C;
CC
C
C
C;
CC
!%!!' !S% $ 8
C
C
C
C
Page 16
ervativo ectorial

52. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
5.8. Un teorema proporciona una condición suficiente para que un campo vectorial sea
conservativo. Indique las hipótesis de este teorema. Enuncie la tesis correspondiente.
Sea

53. es un campo vectorial sobre una región abierta simplemente conexa D. Si P y Q
tienen derivadas de primer orden que son continuas y
5.9. Determine si el campo vectorial
Siendo
Al ser las derivadas parciales distintas se concluye que
5.10. Determine si el campo vectorial
Sea
Al ser las derivadas parciales iguales se concluye que
5.11. Si un campo es conservativo puede encontrar la función potencial f aplicando la
“integración parcial”. Aplique esta técnica para
5.11.a. Encontrar una función
Del ejercicio anterior tenemos que las derivadas parciales son
;+
Integrando obtenemos
Diferenciando
;
Integrando respecto de y obtenemos
Agregando el resultado obtenemos la función potencial f
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY
GERARDO
Ÿ
Ÿ
Ÿ¡
Ÿ+
en todo D; entonces
F (x, y) = (x − y)i + (x − 2) j es conservativo.
*
* 3
C
C
*‚
C
C
‚
C
C
X
C
C
no es conservativo
F (x, y) (3 2xy)i (x 3y ) j = + + 2 − 2 es conservativo.
Z 3
* Z
C
C
3
C
C
es conservativo
f tal que F = ∇f .
Z 3 ;
* Z
;
Z
‰ ) ¢
*Z
* 0
Page 17
es conservativo.
servativo.
técnica de

54. MAMMMAAATTTTHHHHEEEEMMMMAAAATTTTIIIICCCCSSSS
;
Z * 0
5.11.b. Evalúe la integral de línea ∫ ⋅
c
F dr donde C es la curva dada por
r t e sent i e t j ( ) = t ⋅ + t cos ⋅ para 0 ≤ t ≤π
y
:‚ x
:*!x 0
:
c
-
A;
c
-
;: *!{ * ;:‚
!Z{ * *‚
!Z{ ‚
5.12. Calcule la función potencial correspondiente al campo
F x y z y i xy e j ye k z z ( , , ) ( ) (2 ) (3 ) = 2 + + 3 + 3
;+
;
3 !F ;F
Z!F
;
;
B
3 !F
!F ^
;
Z!F
!F 0
;
!F 0
CHAPTER 10 – VECTOR FIELDS – BY GERARDO Page 18