Exposición del metodo de Gauss para la solución de sistemas lineales

1. Licenciado Oscar Ardila
Chaparro

2. • Johann Carl Friedrich Gauss . (30 de abril de 1777,
Brunswick – 23 de febrero de 1855, Göttingen), fue un
matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó
significativamente en muchos campos, incluida la
teoría de números, el análisis matemático, la
geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la
óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y
"el matemático más grande desde la antigüedad",
Gauss ha tenido una influencia notable en muchos
campos de la matemática y de la ciencia, y es
considerado uno de los matemáticos que más
influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros
en extender el concepto de divisibilidad a otros
conjuntos. Ampliar Información ….

3. • El método de Gauss Jordan esta sustentado en las
siguientes operaciones entre renglones.
– Fila(Renglón ) por un escalar
*(a1, a2 , a3 ) a1, a2 , a3
Donde β es un escalar (Numero real).
– Suma entre Filas (Renglones)
a1 , a2 , a3
b1 , b2 , b3
a1 b1 , a1 b2 , a1 b3

4. • Teniendo como base un sistema de ecuaciones
3x3 de la forma:
a11 * x1 a12 * x2 a13 * x3 b1 Coeficientes
a21 * x1 a22 * x2 a23 * x3 b2 Variables
resultados
a31 * x1 a32 * x2 a33 * x3 b3
Se construye la matriz aumentada como sigue:
a11 a12 a13 b1
a21 a22 a23 b2
a31 a32 a33 b3

5. • A partir de la aplicación de operaciones entre
Filas, el método de eliminación de Gauss Jordán
busca la transformación de la matriz aumentada a
la forma:
1 0 0 R1 Diagonal Principal con unos
0 1 0 R2 Fuera de la diagonal principal con ceros
Resultados para cada variable Xn
0 0 1 R3
Donde X1=R1; X2=R2; y X3=R3

6. • Para la consecución del resultado esperado el método de
Gauss Jordan plantea los siguientes pasos para su
aplicación.
– Primero debemos hacer garantizar el primer uno como valor para
el coeficiente a11.
– Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los
valores de los elementos restantes de la primera columna (a21,
a31).
– Después debemos transformar el valor del coeficiente a22 a el
valor de 1 .
– Después mediante operaciones entre renglones cancelamos los
valores de los elementos restantes de la segunda columna (a12,
a32).
El proceso se repite para los demás términos de la matriz hasta
obtener la matriz deseada.

7. • Resolver el siguiente sistema de ecuaciones 3x3 ,
empleando el método de eliminación de Gauss Jordan:
2 * x1 4 * x2 6 * x3 18 Coeficientes
4 * x1 5 * x2 6 * x3 24 Variables
resultados
3 * x1 1* x2 2 * x3 4
Primero construimos la matriz aumentada como sigue:
2 4 6 18
4 5 6 24
3 1 2 4

8. • Para garantizar el primer uno para el coeficiente
a11 multiplicamos la primera fila por 1/2.
En esta operación se ve afectada la fila uno F1, las
demás permanecen sin modificación.
2 4 6 18 1
1 2 3 9
* F1
2
4 5 6 24 4 5 6 24
3 1 2 4 3 1 2 4

9. • Ahora debemos transformar en ceros los coeficientes
restantes de la columna a21, a31 , para tal efecto operamos
la fila 1 (F1) por -4 y sumamos el resultado a la fila 2 (F2).
De manera similar operamos la fila 1 (F1) por -3 y
sumamos el resultado a la fila 3 (F3).
1 2 3 9 4*F1 F2 1 2 3 9
3*F1 F3
4 5 6 24 0 3 6 12
3 1 2 4 0 5 11 23
En esta operación se ven afectada la fila dos F2 y la
fila 3 F3, la fila 1 F1 permanece sin modificación.

10. • Con base en lo expuesto anteriormente seguimos
operando la matriz obtenemos el uno en la posición a22.
1 2 3 9 1
1 2 3 9
*F2
3
0 3 6 12 0 1 2 4
0 5 11 23 0 5 11 23

11. • Transformamos en ceros los demás coeficientes de la
columna 2.
1 2 3 9 2* F2 F1 1 0 1 1
5*F2 F3
0 1 2 4 0 1 2 4
0 5 11 23 0 0 1 3

12. • Transformamos a uno el valor de la posición a33
1 0 1 1 1 0 11
1*F3
0 1 2 4 0 1 2 4
0 0 1 3 0 0 1 3

13. • Transformamos en ceros los demás coeficientes de la
columna 3.
1 0 11 1*F3 F1 1 0 0 4
2*F3 F2
0 1 2 4 0 1 0 2
0 0 1 3 0 0 1 3
• De esta manera tenemos la solución del sistema como
sigue:
X1=4; X2=-2; y X3=3

14. Esperamos que esta información oriente tu proceso formativo y la
comprensión de los conceptos de la asignatura.
Licenciado Oscar Ardila
Chaparro