5. Índice
Profesor: ¡Bienvenido a Emat! 7
El laboratorio Emat 9
Hoja electrónica de cálculo 15
Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat! 25
Actividades básicas 27
Un paseo corto por una hoja de cálculo 28
Introduciendo fórmulas 29
Más fórmulas 31
Otra fórmula ¿conocida? 33
Comprando ropa 34
Adivina la fórmula 36
Invierte la fórmula 37
Generando secuencias de números 38
Comparando secuencias 40
Comprando ropa (versión avanzada) 42
Actividades expresivas 43
Divisibilidad 44
¿Sabes qué significa MCD? 46
¿Sabes qué significa mcm? 48
Porcentajes (1) 50
Descuentos y más descuentos 51
Variación proporcional (1) 53
Variación proporcional (2) 56
Variación proporcional (3) 58
Raíz cuadrada y cúbica 59
Ecuaciones (1) 61
Ecuaciones (2) 63
Ecuaciones (3) 65
¿Sabes qué es una razón? 66
Otro tipo de razones 68
Una investigación con razones 70
Máquinas transformadoras 72
Números consecutivos 73
Del perímetro y el área a los lados 75
Variación lineal (1) 77
6. Variación lineal (2) 79
Variación lineal (3) 82
Lineales que caen 84
Ecuaciones explícitas vs. recursivas 87
Recursividad (1) 89
Recursividad (2) 91
Péndulo 93
Ángulo de elevación y de depresión 95
Explosión demográfica 98
Inflación contra salario 99
Interés compuesto 101
Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto 103
Construyendo dados 105
El problema del cumpleaños 108
Actividades exploratorias 110
Descomposición en primos 112
Cálculo del MCD y el mcm 113
Fracciones equivalentes 115
Polígonos regulares 118
Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm 121
Analizando gráficas de rectas 123
Sistema de dos ecuaciones 124
Ecuaciones diofantinas 127
Funciones cuadráticas 129
Simulación con el modelo de urna (1) 131
Simulación con el modelo de urna (2) 133
Simulación con el modelo de urna (3) 134
Jugando con dados de tres caras 136
Chances 139
Análisis de textos 142
Apuestas 144
Adivina qué está pasando 147
¿Por dónde saldrá? 149
Anexos 153
Descripción del archivo FactPrim.xls 154
Descripción del archivo HojaAlg.xls 155
Descripción del archivo Rndmz.xls 156
Examen: Hoja de cálculo. Primer grado 158
Examen: Hoja de cálculo. Segundo grado 164
Examen: Hoja de cálculo. Tercer grado 169
7. Profesor:
¡Bienvenido a Emat!
E
ste libro forma parte de la serie de publicaciones derivada de los materiales
diseñados y puestos a prueba dentro del proyecto Enseñanza de las Mate-
máticas con Tecnología (Emat). A principios de 1997, por iniciativa de la
Subsecretaría de Educación Básica y Normal y el Instituto Latinoamericano de la Co-
municación Educativa, se puso en marcha la fase piloto de este proyecto de innova-
ción educativa en 15 escuelas secundarias públicas de ocho estados de la república.
Los propósitos generales del proyecto Emat se enmarcan en los del Programa de Mo-
dernización Educativa y son los siguientes:
Elevar la calidad de la enseñanza de las matemáticas en la escuela secun-
daria.
Impulsar la formación de profesores de matemáticas de este nivel escolar.
Promover el uso de las nuevas tecnologías en la educación.
Generar y actualizar métodos y contenidos educativos de la matemática
escolar.
Más específicamente, con el proyecto Emat se busca mostrar que es factible
aprovechar las nuevas tecnologías —apoyadas en un modelo pedagógico que
permita construir ambientes de aprendizaje apropiados— para enriquecer y
mejorar la enseñanza actual de las matemáticas en la escuela secundaria. En-
tre las características principales del modelo que propone el proyecto Emat se
encuentran:
1. La utilización de piezas de software y herramientas que hacen posible dar
un tratamiento fenomenológico a los conceptos matemáticos; es decir, con
dichas piezas y herramientas se puede concretar la idea de que los con-
ceptos son organizadores de fenómenos. Así, la contextualización de las
actividades matemáticas no es una mera ambientación, sino que las situa-
ciones planteadas por la actividad corresponden a comportamientos de
fenómenos que —en cierto modo— forman parte de la esencia del concepto
que se busca enseñar.
2. La utilización de piezas de software y herramientas que impliquen repre-
sentaciones ejecutables, es decir, que contemplen la manipulación directa
de objetos o de representaciones de objetos (matemáticos).
7@
8. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
3. La utilización de piezas de software y herramientas cuyo uso está relacio-
nado con un área específica de la matemática escolar (aritmética, álge-
bra, geometría, probabilidad, modelación, matemática del cambio).
4. La especialización de los usuarios de la tecnología (alumnos y maestros)
en una o más piezas de software o herramientas, de tal forma que logren
dominarla y, al mismo tiempo, la empleen en la enseñanza y aprendizaje
de temas curriculares específicos, antes de pasar al uso de otra herramien-
ta en el aula.
5. La puesta en práctica de un modelo de cooperación para el aprendizaje:
los estudiantes trabajarán en parejas frente a la computadora en una mis-
ma actividad, lo que promoverá la discusión y el intercambio de ideas.
6. La práctica de un modelo pedagógico en el que el profesor promueve el
intercambio de ideas y la discusión en grupo, y al mismo tiempo actúa
como mediador entre el estudiante y la herramienta, es decir, el ambiente
computacional —asistiendo a los estudiantes en su trabajo con las activida-
des de clase y compartiendo con ellos el mismo medio de expresión.
@8
9. El laboratorio Emat
E
studios realizados en los últimos años han demostrado que el uso de nuevas
tecnologías abre perspectivas interesantes para la enseñanza de las mate-
máticas y otras ciencias. Entre los beneficios que brindan podemos mencio-
nar los siguientes:
Ofrece al estudiante ambientes de trabajo que estimulan la reflexión y lo
convierten en un ser activo y responsable de su propio aprendizaje.
Provee un espacio problemático común al maestro y al estudiante para
construir significados.
Elimina la carga de los algoritmos rutinarios para concentrarse en la con-
ceptualización y la resolución de problemas.
Da un soporte basado en la retroalimentación.
Reduce el miedo del estudiante a expresar algo erróneo y, por lo tanto, se
aventura más a explorar sus ideas.
La computadora y la calculadora nunca van a suplir al maestro: son instrumen-
tos de apoyo, como el pizarrón y el gis, aunque sus características sean esencial-
mente diferentes.
El objetivo principal del empleo de la tecnología en el aula no se reduce a
practicar algoritmos, sino que ayuda al alumno a descubrir y construir conceptos y
técnicas mediante el ejercicio de la reflexión. Así, la matemática pasa a ser mucho
más que una simple mecanización de procedimientos.
Una característica importante de los paquetes de cómputo que se han elegido
para el proyecto Emat es que son abiertos. Es decir, el usuario decide qué hacer
con ellos, en vez de que el programa computacional dirija todo el trabajo —como
ocurre en los programas tutoriales—. Estos paquetes abiertos pueden usarse con
objetivos didácticos muy diversos, muchos de los cuales están definidos por las
actividades que se proponen en este libro.
Un laboratorio Emat está integrado básicamente por el siguiente equipo:
Computadoras para los alumnos Reguladores de corriente
Computadora para el maestro Calculadoras
Impresora Mesas y sillas adecuadass
Módem (opcional)
9@
10. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Para instalar un laboratorio Emat en una escuela es necesario contar con un
aula de buen tamaño (por ejemplo de 8 x 12 m) que tenga corriente eléctrica de
110 voltios y que cuente con contactos trifásicos. Si se desea que alguna computa-
dora tenga acceso a internet debe contarse, además, con una línea telefónica.
Dado que el equipo que integra el laboratorio es muy costoso, resulta indispen-
sable instalar en el aula varias protecciones; por ejemplo: puerta con llave, enreja-
do en las ventanas, mueble para guardar las calculadoras. Es importante también
que las computadoras estén conectadas a reguladores de corriente.
Para el buen funcionamiento del trabajo en un laboratorio Emat, recomenda-
mos que, en la medida de lo posible, las computadoras se acomoden en forma de
herradura, como se muestra en el esquema.
Al instalar las computadoras hay que procurar que entre ellas quede espacio
suficiente para que puedan sentarse cómodamente dos o tres niños por máquina.
La disposición en herradura tiene múltiples ventajas. Por un lado, facilita al maestro
pasar de un equipo de alumnos a otro y observar el trabajo que están realizando.
Por el otro, con sólo girar las sillas, dando la espalda a la computadora, los alum-
nos pueden acomodarse para participar en una discusión colectiva o atender las
explicaciones que el maestro dirija a todo el grupo.
Es necesario también que en el centro del aula haya mesas de trabajo. Los alum-
nos las utilizarán, sobre todo, cuando trabajen con las calculadoras, pero también
cuando sus actividades requieran desarrollar alguna tarea con lápiz y papel.
Para enseñar matemáticas en un laboratorio Emat se hace uso de distintos pa-
quetes computacionales (Cabri-Géomètre, Excel, SimCalc MathWorlds, Stella).
@ 10
11. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• El laboratorio Emat
Algunos de estos son de acceso libre y pueden obtenerse en internet; otros son
comerciales y necesitan adquirirse con los proveedores junto con los permisos para
usarse en grupo. Para más información al respecto puede consultar la página de
Emat en internet, cuya dirección es:
http://emat-efit.ilce.edu.mx/emat-efit/emat
Metodología de trabajo
Enseñar matemáticas utilizando computadoras o calculadoras conlleva muchos
cambios en la organización del trabajo. Éstos se reflejan principalmente en el pa-
pel que desempeña el maestro en este contexto, en la organización del trabajo de
los alumnos y en la manera de evaluar su rendimiento.
El papel del maestro
Las nuevas tecnologías requieren otro tipo de acercamiento a la enseñanza, por lo
que el papel del maestro cambia radicalmente cuando la clase de matemáticas se
desarrolla con tecnología apoyada en hojas de trabajo. Con esta combinación,
tecnología y hojas de trabajo, el profesor tiene la posibilidad de mediar el aprendi-
zaje de sus alumnos de tres formas distintas:
Mediante las hojas de trabajo que les proporciona.
Apoyando y guiando a los estudiantes durante la resolución de las hojas
de trabajo en el salón de clase. Los 45 o 50 minutos de la clase son los más
valiosos en el aprendizaje de los alumnos. En ese tiempo se tiene la oportu-
nidad de interactuar con ellos y de observar sus avances y dificultades, lo
que permitirá darles sugerencias cuando lo necesiten.
En discusiones del grupo completo. El profesor no debe convertirse en el
centro de la discusión; debe procurar que los estudiantes se apropien de
ella. Los alumnos deben presentar sus opiniones e ideas a los demás y el
profesor sólo debe coordinar esta actividad.
En el aula Emat el maestro asume el papel de organizador del trabajo, de guía
y de asesor. Propicia que sus alumnos desarrollen un espíritu abierto a la investiga-
ción; en otras palabras, los invita a:
Explorar.
Formular hipótesis.
Probar la validez de las hipótesis.
11 @
12. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Expresar y debatir sus ideas.
Aprender a partir del análisis de sus propios errores.
En este contexto, el maestro ya no agota el tiempo de clase repasando o
explicando temas nuevos, sino que la mayor parte la dedica a que los alumnos
trabajen para resolver las actividades planteadas en las hojas de trabajo previa-
mente elaboradas. En el aula Emat, el maestro no resuelve las actividades, sus
intervenciones tienen como finalidad que los alumnos reflexionen y encuentren
por sí mismos una solución aceptable. Esta función se ve reforzada por la organi-
zación de los alumnos en equipos de trabajo, pues así el maestro puede pasar de
un equipo a otro observando el trabajo que realizan y auxiliándolos, cuando sea
necesario, para que puedan llevar a cabo la actividad propuesta. Cuando este
tipo de intervención no es suficiente, conviene que el maestro muestre un camino
de solución posible y los invite a adoptarlo y continuar por sí mismos. En estos
casos no se debe proporcionar demasiada información, pues lo importante es que
los equipos sigan trabajando de manera autónoma. El propósito siempre debe ser
ayudar a los alumnos a que se involucren en la actividad, pongan en juego su
saber matemático anterior y lleguen a desarrollar correctamente ideas matemáti-
cas nuevas a partir de sus propias experiencias.
Si la mayoría de los alumnos se enfrenta con el mismo tipo de dificultades al
abordar una actividad determinada, es conveniente organizar una discusión para
tratar de resolver el problema colectivamente. Discusiones de este tipo son buenas
oportunidades para resumir y sistematizar los avances y resultados sobre los que
existe consenso, así como para introducir información nueva que permita a los
alumnos avanzar en su trabajo.
La organización del trabajo de los alumnos
El uso de las computadoras no implica necesariamente un aprendizaje
individualizado. Esta idea parte de que algunos programas de cómputo han sido
diseñados para que sólo una persona trabaje a la vez (es el caso de los llamados
tutoriales). Los programas de cómputo seleccionados para trabajar en el aula Emat
fomentan la interacción de los alumnos entre sí y con su profesor, gracias al em-
pleo de hojas de trabajo. En este acercamiento social del aprendizaje la comuni-
cación desempeña un papel crucial.
Es aconsejable que los alumnos trabajen en equipos (de preferencia de dos
integrantes). Esto fomenta la discusión y produce un aprendizaje más completo y
sólido. Para que el trabajo en equipo sea en verdad efectivo, habrá que evitar
que los estudiantes desempeñen siempre las mismas funciones (por ejemplo, que
@ 12
13. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• El laboratorio Emat
sólo uno lea y el otro trabaje con la computadora o la calculadora), pues si esto
ocurre, solamente adquirirán unas habilidades específicas pero no otras. Los es-
tudiantes pueden formar sus equipos como deseen, pero es aconsejable que
intercambien las tareas para que desarrollen todas las habilidades requeridas:
manejo del software, planteamiento del problema, lectura y comprensión de las
actividades, etcétera.
La organización de los alumnos en equipos de trabajo presenta muchas venta-
jas, sin embargo, no siempre los alumnos tienen experiencia en trabajar de este
modo. Es, por lo tanto, necesario que el maestro les ayude a adoptar esta manera
de trabajar. El trabajo en equipo propicia el intercambio y confrontación de ideas
entre los alumnos. Al trabajar de este modo se espera que cada individuo exponga
su punto de vista, lo discuta y confronte con los demás integrantes. Este intercambio
ayuda al alumno a organizar sus propias ideas y a comunicarlas, a reflexionar
sobre ellas, a defenderlas y a modificarlas cuando sea necesario, a escuchar y
debatir los argumentos de los demás e ir reafirmando sus conocimientos matemáti-
cos y adquiriendo otros nuevos.
Las hojas de trabajo
Las hojas de trabajo son una herramienta fundamental para realizar las activida-
des que se plantean en el aula Emat. En ellas se presenta un problema de manera
sucinta y se formulan preguntas que pueden llevar alguna sugerencia implícita
para que los alumnos empiecen a explorar el problema propuesto. Si bien las
actividades planteadas tienen que desarrollarse usando la tecnología, es necesa-
rio que los alumnos contesten por escrito las preguntas que se formulan en las
hojas de trabajo. Esto tiene un doble propósito. Por un lado, obliga a los alumnos
a reflexionar sobre el procedimiento y el resultado que obtuvieron empleando la
máquina y a sintetizar su experiencia para comunicarla; por otro lado, proporcio-
na información al maestro acerca de la comprensión que los alumnos han alcan-
zado de los conceptos matemáticos involucrados en la tarea. Esta información es
fundamental para que el maestro decida qué acciones pondrá en práctica en las
clases sucesivas, y para que conozca y evalúe el progreso de sus alumnos.
La mayoría de las actividades están pensadas para que todo un grupo de estu-
diantes las lleve a cabo durante las horas normales de clase. Al comenzar la sesión
de trabajo el maestro cuidará que todos los equipos cuenten con las hojas de traba-
jo necesarias para esa sesión y les pedirá que las lean. Es importante que el maes-
tro se cerciore de que los alumnos han entendido en qué consiste la actividad y qué
se espera que hagan. Si hay dudas al respecto, conviene leer la hoja de trabajo
frente a todo el grupo y llegar a un consenso acerca de lo que en ella se plantea.
13 @
14.
15. Hoja electrónica
de cálculo
Propósitos
¿Cuál es el objetivo didáctico de la hoja de cálculo?
La hoja electrónica de cálculo no se creó con un propósito educativo específico,
sin embargo, se ha encontrado que puede ser un gran apoyo para la enseñanza
de diversos temas de matemáticas. Entre las ventajas que reporta el uso didácti-
co de la hoja electrónica de cálculo se pueden mencionar los siguientes:
Permite desarrollar conceptos matemáticos importantes.
Es posible diseñar una experiencia didáctica para el aprendizaje de un
tópico particular.
Permite plantear un problema matemático para su solución.
Se puede construir un modelo matemático y usarlo en la enseñanza de las
ciencias.
Facilita la resolución de problemas de la vida cotidiana (depósitos en ban-
cos, compras en supermercados, etcétera).
¿Cuáles son las ventajas específicas de una hoja
electrónica de cálculo?
En primer lugar debe considerarse que permite hacer muchos cálculos repetitivos
de manera instantánea. Aunque una calculadora es una herramienta más adecua-
da para este propósito, la hoja de cálculo tiene otras virtudes:
La situación que queremos describir o el problema que debemos resolver
puede ordenarse en columnas; cada una de estas columnas representa
una de las variables de la situación.
A cada columna se le puede asignar una cabeza o título para no perder
de vista qué cantidad o variable se está representando.
Es posible designar cantidades especiales (parámetros) para que puedan
variarse fácilmente y observar su efecto.
Permite el empleo de fórmulas sencillas para relacionar las columnas o las
celdas subsecuentes.
Pone a nuestro alcance tablas de valores y sus gráficas correspondientes.
15 @
16. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Por lo anterior, la hoja de cálculo facilita el planteamiento y la resolución de
una amplia diversidad de problemas matemáticos, aunque no de todos; es por
esto que el profesor debe proporcionar a sus alumnos una amplia gama de recur-
sos para solucionar situaciones con y sin la computadora.
¿Qué tipo de técnicas matemáticas aparecen
al utilizar una hoja de cálculo?
Si bien la hoja de cálculo puede utilizarse para enseñar casi cualquier tema, mu-
chas veces el enfoque resulta diferente del usual, ya que las técnicas para plantear
un problema con y sin la hoja de cálculo son distintas. Por ejemplo, una función
lineal puede plantearse mejor en una hoja de cálculo cuando se aborda con base
en sus cambios (lineal = cambios constantes). En general, el trabajo que se realiza
con la hoja de cálculo muestra que ésta es una herramienta adecuada para la
enseñanza de las relaciones recursivas.
Otro tema que se adapta sin problemas a la hoja de cálculo es el de las funciones
exponenciales, cuando se emplean para establecer un modelo de una situación real.
Por supuesto, existen otras técnicas y temas matemáticos relevantes e importan-
tes que se pueden abordar con la hoja electrónica de cálculo, si bien no todos
están incluidos en nuestro programa de estudios.
Contenidos matemáticos relacionados
con la hoja de cálculo
Uno de los objetivos primordiales de este proyecto de enseñanza con tecnología
es que el alumno adquiera conocimientos y habilidades que le sean de utilidad no
sólo en materias de carácter científico y en estudios posteriores, sino también en su
vida cotidiana.
En algunos países se ha probado con éxito un enfoque didáctico conocido
como modelación matemática. En éste, el alumno se enfrenta a problemas basa-
dos en situaciones reales, y al resolverlos, se apropia de una serie de herramien-
tas matemáticas importantes. Como los conceptos, tópicos o métodos matemáti-
cos forman parte de la resolución de un problema real adquieren importancia y
así se justifica su estudio. Todas las actividades de este libro se rigen por esa
idea y pueden ser de gran utilidad para el aprendizaje de los estudiantes de
secundaria, aun cuando no sean del tipo que tradicionalmente se enseñan en el
salón de clase.
@ 16
17. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Hoja electrónica de cálculo
Temas
Las actividades para trabajar con la hoja de cálculo electrónica están organiza-
das en tres grupos, los cuales se describen a continuación.
Actividades básicas. Se trata de 10 hojas de trabajo que introducen al alumno
en el manejo de la hoja electrónica de cálculo, al mismo tiempo que se abordan
algunos tópicos matemáticos importantes, con lo cual se inicia también el trata-
miento de algunos contenidos de la asignatura.
Actividades expresivas. El objetivo de esta serie de actividades es que los estu-
diantes construyan sus propias hojas de cálculo al tiempo que abordan nuevos
temas matemáticos.
Actividades exploratorias. Se llamó así al tercer grupo de hojas de trabajo
debido a que los alumnos emplearán archivos previamente elaborados para ex-
plorar diversos temas de la asignatura (el presente libro viene acompañado de un
CD con los archivos respectivos).
¿Para qué necesito hojas de trabajo?
Las nuevas tecnologías requieren un acercamiento didáctico diferente, basado en
el alumno y su interacción con las herramientas tecnológicas. Las hojas de trabajo
guían al alumno para que esta comunicación sea lo más provechosa posible y,
algo muy importante, le transfieren la responsabilidad de su aprendizaje.
Las estrategias de enseñanza que se plantean en este libro no se aplican sólo
cuando se usan herramientas tecnológicas, pues también reportan grandes benefi-
cios en el aula tradicional.
¿El diseño de las hojas de trabajo?
Para diseñar una hoja de trabajo se considera el tema, el objetivo didáctico que se
persigue y la herramienta computacional que se planea utilizar.
Con base en estas directrices, se estableció la secuencia para las hojas de
trabajo del presente libro y su contenido. A continuación se describe cada parte
de la secuencia con el fin de proporcionar al maestro una guía que permita dise-
ñar sus propias hojas de trabajo.
1. Se plantea una situación problemática en un contexto real. Esto ayuda al
estudiante a encontrar el significado de lo que está aprendiendo.
17 @
18. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
2. Se formulan preguntas que ayudan a reflexionar sobre el problema. Estas
preguntas tienen como objetivo que el alumno entienda el problema plan-
teado y que formule algunas expectativas y predicciones antes de trabajar
con la computadora.
3. Se pide al alumno que explore y resuelva el problema con la herramienta
computacional.
4. Se plantean preguntas sobre los resultados así como retos. Para que el
alumno no se limite a realizar la actividad, conviene brindarle oportunida-
des para que cuestione los resultados y exprese ideas relacionadas con el
problema (esto, por falta de espacio, no siempre se hace explícito en la
hoja de trabajo, pero se debe considerar cada vez que se lleve a cabo una
actividad).
5. Discusión y conclusiones. Es importante que el alumno trate de extraer al-
gunas conclusiones de la actividad y que las exponga ante el grupo para
su discusión. En este caso se puede guiar a los alumnos destacando los
elementos más importantes de la actividad.
6. Trabajo extra. Un grupo siempre es heterogéneo y con frecuencia hay estu-
diantes que terminan de trabajar rápidamente. Para ellos se propone al final
de cada actividad un trabajo extra. No se trata de que todos los alumnos
lleven a cabo la actividad adicional, basta con que cubran el material básico.
Como puede observarse, al inicio de la hoja de trabajo se dirige bastante al
estudiante y ya al final se vuelve más abierta para que tenga la posibilidad de
explorar sus ideas.
¿Se pueden diseñar más hojas de trabajo?
Desde luego; para ello puede seguirse el modelo descrito en la sección anterior.
Sin embargo, se debe tener presente que diseñar hojas de trabajo no es sencillo y
que una vez diseñadas deben probarse y refinarse continuamente.
Es muy importante no abusar de la herramienta computacional que tenemos a
la mano. No convendría por ejemplo, usar una hoja de cálculo para hacer tres o
cuatro operaciones, cuando una calculadora sería realmente lo apropiado en este
caso. La hoja de cálculo es idónea, por ejemplo, para hacer cálculos repetitivos.
Debemos por tanto aprovechar las ventajas específicas que nos proporciona y no
emplearla para cualquier situación.
Para comenzar a ejercitarse en el diseño de actividades, el maestro puede usar
dos archivos: Rndmz.xls y HojaAlg.xls. incluidos en el CD que acompaña este libro.
@ 18
19. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Hoja electrónica de cálculo
Los instructivos para emplearlos se encuentran en la sección de anexos (véanse pp.
153-156). Tras explorarlos, el maestro podrá aprovechar el primer archivo para
abordar las situaciones aleatorias, mientras que el segundo le será útil para plan-
tear temas algebraicos como las fórmulas inversas y la composición.
¿En qué orden debo aplicar las actividades?
Hay dos maneras: en la primera, si un alumno o un equipo ha concluido una activi-
dad, se le da la siguiente y así, cada uno avanza con un ritmo propio. En la segunda
opción, el grupo entero trabaja con la misma actividad y cuando ésta se da por
concluida, se pasa a la siguiente. La actividad concluye cuando la mayoría de los
estudiantes han terminado. Ambas formas de proceder tienen ventajas y desventa-
jas, pero aquí recomendamos la segunda por las razones expuestas a continuación.
El profesor debe preparar su clase con anterioridad para guiar a sus alumnos
adecuadamente cuando éstos tengan dudas y para prever dificultades que po-
drían presentarse. Obviamente se requiere más tiempo si se trabaja con varias
actividades simultáneamente, que si se emplea una a la vez.
Debe considerarse también que es más difícil dirigir una clase si cada alumno
resuelve una actividad diferente. Pero independientemente de las dificultades que
implica esta opción, quizá la ventaja más importante de trabajar la misma actividad
con todo el grupo es que pueden retomarse las ideas importantes de los alumnos
para comentarlas colectivamente. Este tipo de interacción es muy valiosa porque
unos aprenden de las ideas de otros (el profesor en este caso tiene el papel de un
director de orquesta que armoniza todos los instrumentos sin que se le oiga).
¿Cómo debo proceder si algunos estudiantes se atrasan en
las actividades?
El profesor puede obviar, con los estudiantes atrasados, algunas de las actividades
en las que se retoman temas ya vistos para que estos alumnos logren alcanzar a
todo el grupo. Sin embargo, hay que tener cuidado de que no se vaya a dejar sin
tocar algunas ideas relevantes.
Otra opción conveniente es que los estudiantes adelantados realicen activida-
des de enriquecimiento mientras los demás completan las actividades básicas, so-
bre todo cuando se está cerrando una unidad. Algunas de estas actividades de
enriquecimiento ya se encuentran diseñadas y representan el punto de partida
para que el profesor idee otras.
19 @
20. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
¿Se deben corregir las hojas de trabajo
contestadas por los alumnos?
Las hojas de trabajo no son cuestionarios. Las preguntas que incluyen tienen el
objetivo de guiar al estudiante y hacer que reflexione sobre las ideas que se están
tratando.
Por otro lado, una respuesta correcta no significa necesariamente que el estu-
diante haya entendido lo que está haciendo ni una respuesta errónea implica que
haya procedido de manera incorrecta. Lo importante es observar el trabajo de los
alumnos en clase.
¿Cómo se evalúa el trabajo de los alumnos?
Como ya mencionamos, los 45 o 50 minutos de clase son los más valiosos en el
aprendizaje de los alumnos. También es la mejor oportunidad del profesor para
evaluar a sus alumnos de una manera justa. Así, sugerimos que sea la evaluación
visual de las actividades diarias en el salón de clase la que le sirva para identificar
lo que aprendieron los estudiantes y sus dificultades individuales.
Por otro lado, el profesor tiene que definir sus propias estrategias para que esta
evaluación, además de serle útil para conocer el nivel de sus estudiantes, le sirva
para asignar una calificación a cada estudiante. Por ejemplo, al final de cada
clase puede asignar una clave (A = muy bien, B = bien, C = regular o D = deficien-
te) para representar el desempeño de cada estudiante durante el día.
¿Todas las actividades sugeridas están en el programa
de estudios?
Las actividades se basan en la modelación, que consiste en resolver problemas
relacionados con la vida real aplicando las matemáticas (desde luego, se pueden
escoger aquellos problemas en los que aparece la matemática que se desea ense-
ñar). Con este enfoque los diferentes tópicos de las matemáticas se van relacionan-
do y cubriendo de una manera global, al tiempo que adquieren sentido gracias a
que forman parte de un problema real.
La mayoría de las actividades están relacionadas con los programas de estu-
dios, sin embargo, la hoja de cálculo los aborda desde una perspectiva diferente.
Por ejemplo, las ecuaciones generalmente se tratan como una serie de técnicas
algebraicas para manipular la expresión y finalmente para “despejar la incógni-
@ 20
21. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Hoja electrónica de cálculo
ta”. En una hoja de cálculo el procedimiento implica la “búsqueda y refinamiento”
de los resultados. Hay que hacer énfasis que ambas formas son importantes y se
complementan.
Existen también varias actividades que no están explícitamente mencionadas
en el programa de estudios pero que por su importancia actual se han incluido.
Éstas están relacionadas con la recursividad, que junto con el uso de las
computadoras ha cobrado una gran relevancia en la enseñanza. Sugerimos in-
cluir este tipo de actividades ya que uno de los objetivos generales de la materia
de Matemáticas es mostrar al estudiante la conexión de las matemáticas con el
mundo real.
Ejemplo de distribución de actividades
No es necesario explicar a los estudiantes qué es una hoja de cálculo y cómo funcio-
na. Las mismas actividades los introducen poco a poco en el manejo de esta herra-
mienta. De hecho, las “Actividades básicas”, integradas por una serie de 10 hojas
de trabajo, cumplen con este propósito.
Después de que las “Actividades básicas” hayan sido cubierta por los alumnos,
se puede seleccionar cualquiera de las actividades que se encuentren en los otros
dos grupos: “Actividades expresivas” y “Actividades exploratorias”, dependiendo
de los temas específicos del programa que se deseen cubrir. Desde luego, es nece-
sario determinar si los estudiantes cuentan con los conocimientos suficientes para
trabajar con cada actividad, si bien casi todas son bastante sencillas y no requie-
ren de conocimientos previos.
Lo ideal es que el mismo profesor escoja la distribución de las actividades de
acuerdo con su programa de estudios. Aquí la flexibilidad puede ser la virtud más
importante. No siempre es necesario que el tema de la hoja de trabajo sea el
punto principal de la clase. La hoja de trabajo puede aprovecharse para introducir
ideas, como repaso o para presentar un enfoque diferente.
Aunque muchas hojas de trabajo aparentemente no tienen mucha relación
con el programa de estudios, pueden ser muy útiles para que los estudiantes re-
flexionen sobre una amplia gama de temas matemáticos.
Las hojas de trabajo están diseñadas con un contenido matemático específico,
el cual está delineado por el título de la misma. A continuación, se encuentra una
lista de las actividades incluidas, junto con su tema y su posible distribución dentro
de los tres años escolares de secundaria (la secuencia puede cambiar o mantener-
se de acuerdo con el criterio del profesor).
21 @
22. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Contenidos curriculares
Un paseo corto por una hoja de cálculo
Introduciendo fórmulas
Más fórmulas
Otra fórmula ¿conocida?
Comprando ropa (1)
Adivina la fórmula
Invierte la fórmula
Generando secuencias de números
Comparando secuencias
Comprando ropa (2)
Aritmética Divisibilidad 1
¿Sabes qué significa MCD? 1
¿Sabes qué significa mcm? 1
Porcentajes (1) 1 2
Descuentos y más descuentos 1 2
Variación proporcional (1) 1
Variación proporcional (2) 1
Variación proporcional (3) 1
Raíz cuadrada y cúbica 1 2
Preálgebra Ecuaciones (1) 1 2 3
Ecuaciones (2) 2 3
Ecuaciones (3) 2 3
Aritmética ¿Sabes qué es una razón? 1 2
Otro tipo de razones 1 2
Una investigación con razones 1 2
Máquinas transformadoras 2 3
Preálgebra Números consecutivos 2
Geometría y preálgebra Del perímetro y el área a los lados 2
Álgebra Variación lineal (1) 1 2 3
Variación lineal (2) 1 2 3
Variación lineal (3) 1 2 3
Lineales que caen 2 3
Nuevas ideas Ecuaciones explícitas vs. recursivas 3
Recursividad (1) 3
Recursividad (2) 3
Los números que aparecen del lado derecho corresponden al grado en el que se sugiere
realizar la actividad.
@ 22
23. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Hoja electrónica de cálculo
Aplicación Péndulo 3
Trigonometría Ángulo de elevación y de depresión 3
Álgebra y nuevas ideas Explosión demográfica 3
Inflación contra salario 3
Interés compuesto 3
Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto 3
Probabilidad Construyendo dados 2 3
El problema del cumpleaños 3 3
Aritmética Descomposición en primos 1
Cálculo del MCD y el mcm 1
Fracciones equivalentes 1
Geometría Polígonos regulares 1
Aritmética Algoritmo de Euclides para calcular el MCD y el mcm 1
Álgebra Analizando gráficas de rectas 2 3
Sistema de dos ecuaciones 2
Ecuaciones diofantinas 2
Funciones cuadráticas 3
Probabilidad Simulación con el modelo de urna (1) 2 3
Simulación con el modelo de urna (2) 3
Simulación con el modelo de urna (3) 3
Jugando con dados de tres caras 3
Tratamiento de información Chances 1 2
Probabilidad Análisis de textos
Apuestas
Adivina qué está pasando
¿Por dónde saldrá? 1 2 3
Situaciones aleatorias 1 2 3*
Álgebra Fórmulas inversas y composición 3*
Descripción de archivos Descripción del archivo FactPrim.xls
Descripción del archivo HojaAlg.xls
Descripción del archivo Rndmz
Exámenes Examen: Hoja de cálculo. Primer grado
Examen: Hoja de cálculo. Segundo grado
Examen: Hoja de cálculo. Tercer grado
* Esta actividad deberá diseñarla el profesor.
23 @
24. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Las hojas de trabajo
En las páginas siguientes se incluyen las hojas de trabajo que el maestro puede
usar con sus alumnos para trabajar problemas de aritmética, preálgebra y álge-
bra. Las hojas están agrupadas en “Actividades básicas”, “Actividades expresivas”
y “Actividades exploratorias”.
Antes de empezar el trabajo en el laboratorio Emat es conveniente que el maes-
tro lea a todo el grupo el texto “Estudiantes: ¡Bienvenidos a Emat!”. El propósito de
esta lectura es contestar algunas de las preguntas que suelen inquietar a los alum-
nos al empezar esta nueva manera de trabajar.
Como se observará, en las actividades exploratorias se menciona entre parén-
tesis algunos archivos de Excel que es necesario copiar en las computadoras que
usarán los alumnos. Para tener acceso a estos archivos entre al CD que acompaña
al libro y haga clic en ACTIVIDADES.
@ 24
25. Estudiantes:
¡Bienvenidos a Emat!
B
ienvenidos a Emat (Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología). A partir
de hoy muchas de las clases de Matemáticas se desarrollarán en este labo-
ratorio. Como podrán observar, en el laboratorio Emat hay varias compu-
tadoras y calculadoras. Trabajarán con unas u otras dependiendo del tema de estudio.
¿Cómo se trabaja en un laboratorio Emat?
En el laboratorio Emat el modo de trabajo es algo distinto al acostumbrado. Esto se
notará más todavía cuando se requiera el uso de las computadoras.
Se formarán equipos de dos o tres compañeros para que juntos resuelvan, con
ayuda de la computadora, las actividades que se propongan. A cada equipo se le
entregará una hoja de trabajo en la que vendrá detallada la actividad en cuestión.
Será necesario entonces que cada equipo lea con cuidado la hoja de trabajo y la
discuta hasta entender bien qué se espera de todos. Una vez entendida la activi-
dad, los equipos decidirán la estrategia que seguirán para resolverla. Es muy im-
portante que cada uno de los miembros del equipo participe y tenga en algún
momento acceso al teclado y al manejo del ratón.
¿Quién me puede ayudar?
Cuando necesiten ayuda para entender bien de qué trata la actividad o para sa-
ber cómo se maneja la computadora o la calculadora, pueden recurrir a otros
compañeros o al maestro. Lo importante al trabajar en el laboratorio Emat es com-
prender la actividad y realizarla. Es irrelevante si tu equipo trabaja más rápido o
más lento que los demás. No se trata de competir ni de ganar, se trata de aprender.
¿Cómo trabajaré en el laboratorio?
Para que los alumnos trabajen de manera provechosa en el laboratorio Emat, un
equipo de expertos ha diseñado una serie de actividades matemáticas que podrán
desarrollar usando la computadora o la calculadora y poniendo en juego sus co-
25 @
26. Matemáticas con la hoja electrónica de cálculo • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
nocimientos matemáticos anteriores; así aprenderán conceptos matemáticos nue-
vos. Las actividades se presentan en hojas de trabajo. Tendrán que leer las hojas
de trabajo con cuidado, discutirlas en equipo y contestar las preguntas que allí se
formulan. Discutan con el maestro y los demás compañeros los resultados que
obtengan en el equipo. Si resulta que al trabajar la misma actividad, otros compa-
ñeros llegan a resultados distintos, traten de entender por qué; quizá se trate de
resultados equivalentes o tal vez alguien cometió un error. Si esto último ocurre, no
hay que avergonzarse, pues de los errores podemos aprender mucho. Lo que se
debe hacer es analizar de nuevo el problema, entender dónde se cometió el error
y corregirlo.
¿Cuál es el papel del maestro?
En el laboratorio Emat no cambia sólo la manera de trabajar de los alumnos,
cambia también el papel del maestro. La función del maestro ya no será la de “dar
la clase”, sino la de coordinar el trabajo del grupo y dar seguimiento al trabajo de
cada equipo auxiliándolo cuando lo necesite. El maestro se vuelve entonces un
compañero experto que ayuda a los alumnos en su proceso de aprendizaje.
¿Cómo se evaluará el trabajo?
En el laboratorio Emat el maestro tomará en cuenta varios elementos. Considerará
la participación de cada quien en el equipo de trabajo así como las discusiones de
grupo. También valorará la constancia y el empeño que pongan en realizar las
actividades. De vez en cuando aplicará algún examen individual para ver qué
tanto han aprendido.
¿Cómo cuidar el equipo?
Finalmente queremos llamar la atención sobre el cuidado que hay que tener al
manejar el equipo del laboratorio Emat. Se trata de un equipo muy costoso que va
a ser usado por muchos compañeros. Al mismo laboratorio acudirán alumnos de
distintos grados y todos deben usarlo con provecho y cuidarlo. No hay que maltra-
tar el teclado ni la pantalla de las computadoras y se debe manejar el ratón con
cuidado, evitando que caiga al suelo.
@ 26
28. U n paseo corto por una hoja •••••••••••••••••••••••••
de cálculo
Nombre Edad
Escuela Fecha
El objetivo de esta actividad es que te familiarices con la hoja electrónica de cálculo.
En las celdas de una hoja de cálculo puedes introducir:
Texto:
Escribe la palabra Nombre en la celda A1 (para confirmar oprime la tecla
RETURN).
Escribe tu nombre en la celda B1.
Escribe la palabra Fecha en la celda F1.
Escribe la fecha de hoy en la celda G1.
Números:
Escribe un 8 en la celda C9.
Escribe un 9 en la celda D11.
Escribe un 7 en la celda E10.
Expresiones aritméticas (para que la hoja calcule expresiones aritméticas, debes
escribirlas empezando con el signo igual):
Escribe = 7 * 2 – 8 en la celda E9 y observa el resultado. Coloca nuevamente el
cursor en esta celda y fíjate en la expresión que escribiste en la barra CONTENIDO de la
hoja de cálculo.
Escribe = 9 – 2 * 2 en la celda D10 y verifica el resultado.
Escribe = (9 – 2) * 2 – 10 en la celda C11 y observa el resultado.
Fórmulas algebraicas (para escribir fórmulas también debes comenzar con el sig-
no igual):
Escribe = C9 – 5 en la celda C10. Explica el resultado:
Escribe = D10 – 4 en la celda D9. Explica el resultado:
Escribe = C11 / 2 en la celda E11. Explica el resultado:
Por último, escribe Cuadrado mágico en la celda D7. Coloca el texto en el centro de
la celda presionando el icono CENTRAR.
Para revisar si tu cuadrado mágico es correcto, suma cualquier columna o fila. El
resultado de la suma siempre deber ser 15. También debes obtener 15 como resultado
si sumas cualquiera de las dos diagonales.
@ 28 actividades básicas
29. I ntroduciendo fórmulas •••••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
Digamos que en una panadería el pan dulce se vende a $1.75 la pieza, y para calcu-
lar el costo de las piezas vendidas se usa la siguiente fórmula:
= A2 * 1.75
Escribe la fórmula en la celda B2. Oprime RETURN.
A B C
1 PIEZAS A PAGAR
2 3 = A2 * 1.75
3
4
En la celda B2 aparece el valor 5.25. ¿Sabes por qué? Si tu respuesta fue afirmati-
va, ya estás listo para vender pan dulce. Cambia el número 3 en la celda A2 por el 8.
¿Cuánto hay que pagar por 8 piezas de pan dulce?
¿Cuánto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce?
Una persona va a comprar pan dulce para una fiesta con un billete de $100.
¿Cuántas piezas puede comprar?
(Cambia paulatinamente el número de la celda A2 hasta que en la celda B2 te
aproximes al 100, pero sin rebasar dicho número.)
Supón ahora que el precio de la pieza de pan dulce sube a $2.25. Cambia la
fórmula en la celda B2 por la correcta en esta nueva situación.
¿Cuánto hay que pagar por 12 piezas de pan dulce?
¿Cuántas piezas se pueden comprar como máximo con $100?
Piensa ahora que estás en el año 2010. Sin que vea tu compañero, cambia el precio
de la pieza de pan dulce en tu hoja de cálculo de acuerdo con esta nueva situación.
actividades básicas 29 @
30. Introduciendo fórmulas ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Pídele a tu compañero que adivine la fórmula que pusiste en la celda B2 variando el
contenido de la celda A2 (está prohibido que escriba el número 1 en esta celda).
Fórmula:
Inviertan los papeles. Ahora tu compañero debe escribir la fórmula para que tú la
adivines.
Fórmula:
Guarda esta hoja de trabajo hasta el año 2010 para ver quién de los dos tenía
razón.
@ 30 actividades básicas
31. M ás fórmulas ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
La siguiente fórmula relaciona la edad de un niño con su estatura.
estatura = 5 * edad + 85
Para calcular la estatura, se debe multiplicar la edad por 5 y sumarle 85.
En una hoja de cálculo como la siguiente, escribe en la celda B2 la fórmula
= 5 * A2 + 85
para calcular la estatura de un niño de 5 años (celda A1).
A B C
1 EDAD ESTATURA
2 5
3
4
El resultado es 110 cm.
Escribe ahora tu edad en la hoja de cálculo.
¿Qué estatura obtuviste al aplicar la fórmula?
¿Cuál es tu estatura real?
Explica la diferencia:
Con la fórmula de arriba es posible determinar la estatura promedio de niños cuya
edad es de entre 5 y 15 años. Introduce en la hoja de cálculo varias edades diferentes
y valora los resultados que obtengas.
De acuerdo con la fórmula contesta las siguientes preguntas:
¿Cuál es la estatura en centímetros de un adulto de 63 años de edad?
actividades básicas 31 @
32. Más fórmulas •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
¿A cuántos metros equivale?
Como puedes apreciar, la fórmula no es válida para personas adultas.
Una fórmula válida para niños de Estados Unidos es:
estatura = 6 * edad + 80
¿Cuánto debe medir un niño de 5 años en los Estados Unidos?
¿Cuál es la estatura promedio de niños de tu edad en los Estados Unidos?
@ 32 actividades básicas
33. O tra fórmula ¿conocida? •••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
¿Conoces las siguientes fórmulas?
distancia = velocidad * tiempo
tiempo = distancia / velocidad
En esta actividad usarás la segunda para realizar algunos cálculos.
Supón que un coche sale de la ciudad de México y se dirige a Acapulco. Si la
velocidad promedio del coche es de 100 km/h y Acapulco se encuentra a 400 km de
distancia, ¿cuánto tiempo tardará en realizar este recorrido? Para encontrar la respues-
ta llena una hoja de cálculo como la siguiente:
A B C
1 DISTANCIA VELOCIDAD TIEMPO
2 400 100
3
4
Escribe en la celda C2 la fórmula = A2/B2. El resultado debe ser de 4 horas.
¿Cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido un camión que se mueve a 60
km/h? Esto equivale a: horas y minutos.
os.
La distancia entre la ciudad de México y Mérida es de 1560 km.
¿Cuánto tardará el mismo camión en realizar este recorrido?
La distancia entre la ciudad de México y Mexicali es de 2760 km. Si un coche
quiere hacer este recorrido en 24 horas exactamente, ¿qué velocidad promedio debe
mantener? (Sugerencia: Inserta esta distancia en tu hoja de cálculo y varía el valor de la
velocidad hasta que obtengas 24 horas en la columna tiempo.)
actividades básicas 33 @
34. C omprando ropa •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
Si una mamá compra para sus tres hijos 6 camisas y cada una tiene un precio de
$71.00, ¿cuál es el costo total de las 6 camisas?
En la siguiente hoja de cálculo se registran los artículos que compró esta señora, con
sus respectivas cantidades y precios. Completa la hoja calculando el costo total de
cada tipo de prenda. Para ello, sigue estas instrucciones:
En la celda D2 escribe la fórmula para calcular el costo de las camisas compradas,
esto es:
= B2 * 71.00
En la celda D3 escribe la fórmula para calcular el costo de las playeras, esto es:
= B3 * 31.50
En la celda D9 escribe la fórmula para calcular el costo total, esto es:
= D2 + D3 + D4 + D5 + D6 + D7
A partir de la celda D4 sigue escribiendo fórmulas similares a las anteriores que
calculen el costo de cada uno de los artículos restantes.
A B C D
1 ARTÍCULO CANTIDAD PRECIO COSTO
2 Camisa 6 71.00
3 Playera 3 31.50
4 Falda 2 123.00
5 Pantalón 4 168.50
6 Shorts 6 39.90
7 Calcetines 9 11.90
8
9 TOTAL
Tu total debe ser de $1 787.00. Si no es así, revisa tu trabajo o compáralo con el de
alguno de tus compañeros y realiza las correcciones pertinentes.
@ 34 actividades básicas
35. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Comprando ropa
Ahora considera la siguiente lista de artículos:
ARTÍCULO CANTIDAD
Camisa 3
Playera 3
Falda 1
Pantalón 2
Shorts 3
Calcetines 6
Introdúcelos en tu hoja de cálculo para obtener el total que se debe pagar.
Si sólo se compraran 2 camisas y 3 faldas, ¿cuánto se tendría que pagar?
Pídele a un compañero que complete la siguiente tabla como desee:
ARTÍCULO CANTIDAD
Camisa
Playera
Falda
Pantalón
Shorts
Calcetines
Introduce las nuevas cantidades en tu hoja de cálculo para que sepas cuánto debe-
rías pagar si hicieras esa compra.
Considera que, para el año siguiente, el precio de cada artículo subirá como se
indica en la tabla siguiente:
ARTÍCULO CANTIDAD
Camisa 88.00
Playera 43.00
Falda 150.00
Pantalón 195.00
Shorts 49.50
Calcetines 16.50
Introduce estos datos en tu hoja de cálculo. Calcula el nuevo total que la primera
señora tendrá que pagar si compra las mismas cantidades de ropa para sus tres
hijos. Nota que vas a tener que cambiar la columna C (precios) y también las fórmu-
las de la columna D, ya que éstas contienen los precios anteriores.
actividades básicas 35 @
36. A divina la fórmula •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
Observa la siguiente tabla.
A B C
1
2 3
3 7
4
El número 7 resulta de escribir la fórmula = A2 + 4.
Ahora, sin que tu compañero vea, escribe un número en la celda A2 y una fórmula
en la celda B3. Puedes emplear cualquier operación para tu fórmula, por ejemplo:
= A2 – 5, = A2 * 3,
= A2 / 4, etcétera.
Pide a tu compañero que adivine la fórmula cambiando el número de la celda A2.
Una vez que la haya adivinado, dile que la escriba en la celda C3, para comprobar
que las fórmulas son iguales.
¿La fórmula de tu compañero es igual a la que tú pensaste? Escribe aquí la fórmula:
Intercambien ahora los papeles: tu compañero escribirá la fórmula y tú la adivinarás.
Escribe aquí la fórmula:
Repitan una vez más el juego. Escriban a continuación las fórmulas:
@ 36 actividades básicas
37. I nvierte la fórmula •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
Escribe un número en la celda A2 y una fórmula en la celda B3. Enséñale a tu
compañero la fórmula y pídele que escriba una fórmula en la celda C2 que invierta
la acción de la fórmula que aparece en B3; es decir, el resultado de la celda C2
siempre debe ser igual al valor que aparece en A2.
Observa el ejemplo siguiente:
A B C
1
2 3 3
3 7
4
Para obtener el 7 de la celda B3 se escribió la fórmula = A2 + 4. Para invertir esta
fórmula, en C2 se escribió = B3 – 4. Así se obtuvo el 3 en C2, cuyo valor es igual que
en A2. Si cambias el valor en A2, cambiará en C2.
A continuación, escribe una fórmula en B3, y en C2 la fórmula que invierta su
acción. Después llena la tabla siguiente:
FÓRMULA FÓRMULA QUE LA INVIERTE
Para terminar, regresa a la actividad “Adivina la fórmula” (p. 16), pero ahora pide
a tu compañero que encuentre fórmulas con dos operaciones como las siguientes:
= 2 * A2 + 1,
= 3 * A2 – 2, etcétera.
actividades básicas 37 @
38. G enerando secuencias de números ••• •• •• •• •• •••
Nombre Edad
Escuela Fecha
Escribe un 4 en la celda A1 y en la celda A2 la fórmula: = A1 + 1. Tu hoja debe verse
como sigue:
A B C
1 4
2 5
3
4
En la celda A3 debes tener el valor 6 y la fórmula: = A2 + 1.
En la celda A4 debes tener el valor 7 y la fórmula: = A3 + 1.
Si esto es así, ¿qué fórmula debes tener en la celda A5? Compara tu fórmula con la
de tu hoja.
Cambia ahora el 4 de la celda A1 por el número 15 y observa lo que pasa. ¿Qué
secuencia obtienes ahora en la columna A?
¿Qué harías para obtener la secuencia 100, 101, 102, 103… en la columna A?
Hazlo.
Escribe el número 100 en la celda B1. En la celda B2 escribe una fórmula que te dé
como resultado el número 99. Cópiala hacia abajo para que obtengas en la columna B
la secuencia 100, 99, 98, 97… Tu hoja debe verse como sigue:*
A B C
1 100 100
2 101 99
3 102 98
4 103 97
*Pide a tu maestro que te explique cómo copiar hacia abajo la fórmula que pusiste en A2.
@ 38 actividades básicas
39. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Generando secuencias de números
Construye en la columna C la secuencia 1, 3, 5, 7… Recuerda que en C1 debes
poner el primer número, en C2 la fórmula que te dé el segundo número y después
copiarla hacia abajo.
Después construye las siguientes secuencias:
En la columna D: 10, 5, 0, -5… En la columna F: 40, 20, 10, 5, 2.5…
En la columna E: 1, 2, 4, 8, 16… En la columna E: 5, -5, 5, -5, 5…
Discute con el resto del grupo si una fórmula cambia o no cuando se copia hacia
abajo.
actividades básicas 39 @
40. C omparando secuencias ••••••••••••••••••••••••••••••
Nombre Edad
Escuela Fecha
Piensa en el siguiente problema: Tu papá te ofrece dos opciones para tu gasto semanal.
En la primera, te dará 100 pesos para empezar y cada semana incrementará 100
pesos a la cantidad inicial. En la segunda opción, te dará un centavo para empezar,
aunque promete que cada semana te dará el doble de la semana anterior. ¿Cuál de las
dos opciones escogerías?
Para averiguar cuál es la mejor elección, construye la siguiente hoja de cálculo usan-
do fórmulas en la fila 3 para generar las tres series.
A B C
1 SEMANA 1A OPCIÓN 2A OPCIÓN
2 1 100 0.01
3 2 200 0.02
4 3 300 0.04
Extiende tu tabla hasta la semana 52 (un año) y contesta las siguientes preguntas:
¿En qué semana la cantidad de la segunda opción será igual a la de la primera?
¿Cuánto tendría que darte tu papá en la semana 26 (después de medio año) si
hubieras escogido la segunda opción?
¿Cuánto tendría que darte en esta misma opción en la semana 30?
¿Crees que pueda seguirte pagando tu semana?
En una secuencia aritmética se suma un número fijo al valor anterior para obtener el
siguiente. En una secuencia geométrica se multiplica el valor anterior por un número fijo
para obtener el siguiente.
¿Cuál de las secuencias de arriba es geométrica y cuál es aritmética?
@ 40 actividades básicas
41. ••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Comparando secuencias
Clasifica las secuencias de la actividad “Generando secuencias de números”
(pp. 38-39) como aritméticas o geométricas.
Aritméticas:
Geométricas:
En las líneas de abajo, inventa tres secuencias aritméticas y tres secuencias geométricas:
actividades básicas 41 @
42. C omprando ropa (versión avanzada) • • • • • • • • • • • •
Nombre Edad
Escuela Fecha
Usa una hoja de cálculo para obtener el costo de tres uniformes escolares, dos de
niñas y uno de niño. En la celda D2 escribe una fórmula que calcule el costo total
de cada rubro, multiplicando el costo unitario por la cantidad. Copia esta fórmula en
las celdas de abajo. En la celda D9 escribe una fórmula para calcular el costo total.
A B C D
1 ARTÍCULO COSTO UNITARIO CANTIDAD COSTO
2 Camisa 71.90 3
3 Playera 31.90 3
4 Falda 123.90 2
5 Pantalón 168.00 1
6 Shorts 39.90 3
7 Calcetines 11.90 3
8
9 TOTAL
Usa esta hoja para calcular el costo total de las siguientes ventas:
a) 2 camisas, 3 playeras, 1 falda, 1 pantalón, 2 shorts y 4 pares de calcetines.
b) 5 camisas, 2 playeras, 3 faldas, 2 pantalones y 6 pares de calcetines.
Si tuvieras 600 pesos para gastar en el uniforme de la escuela y debes comprar por
lo menos 1camisa, 1playera, 1pantalón, 1short y un par de calcetines, ¿de cuántas
maneras diferentes puedes aprovechar tus 600 pesos? Usa tu hoja para encontrarlas.
Acabas de enterarte de que todos los precios aumentaron 8%, ¿cómo afecta esto a
tus respuestas a las preguntas anteriores?
@ 42 actividades básicas
44. D ivisibilidad •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Aritmética
Nombre Edad
Escuela Fecha
¿Cómo podemos saber si el número 1232 es divisible entre 2, 3, 4…? Recuerda que
divisible significa que el resultado de la división es un número entero. Hay criterios
que nos ayudan a determinar esto sin tener que efectuar las divisiones. Sin embargo,
como veremos en esta actividad, con una hoja de cálculo apropiada, estas operacio-
nes resultan automáticas.
Construye una hoja de cálculo como la siguiente e introduce en la segunda columna
las fórmulas apropiadas; por ejemplo: = B1/2, = B1/3… y así hasta llegar a la división
entre 12.
A B C
1 Número (N) 1232
2 N entre 2 616
3 N entre 3 410.6666666
4 N entre 4 308
5 N entre 5 246.4
6 N entre 6 205.3333333
7 N entre 7 176
8 N entre 8 154
9 N entre 9 136.8888888
10 N entre 10 123.2
11 N entre 11 112
12 N entre 12 102.6666666
¿Entre qué números resultó divisible el 1232?
¿Entre qué números es divisible el 2 311?
¿Entre qué números es divisible el 2 520?
Busca un número que sea divisible entre los primeros 12 números.
¿Cuál encontraste? Verifícalo en tu hoja de cálculo.
@ 44 actividades expresivas
45. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• Divisibilidad
Escribe el número 72 en la celda B1 para obtener su divisibilidad. Observa que el
número en B4 es el doble del que está en B8.
¿Por qué? ¿Será cierto esto para cualquier número?
Encuentra cinco relaciones más, como la anterior, de dobles y triples entre los núme-
ros en la columna B y explica por qué.
Para cada situación encuentra un número que sea divisible:
Entre 2 pero no entre 4
Entre 4 pero no entre 8
Entre 4 pero no entre 2
Entre 8 pero no entre 4
¿A qué conclusiones llegaste?
Para cada situación encuentra un número que sea divisible:
Entre 3 pero no entre 6
Entre 2 pero no entre 6
Entre 6 pero no entre 3
Entre 6 pero no entre 2
Si un número es divisible entre 6, debe ser divisible entre y
actividades expresivas 45 @
46. ¿ Sabes qué significa MCD? •••••• ••••• ••••• ••• Aritmética
Nombre Edad
Escuela Fecha
En esta actividad descubrirás el significado de estas tres letras. Para ello, analiza el
siguiente problema.
El dueño de una tienda tiene 56 cuadernos y quiere hacer paquetes para venderlos
al mayoreo. Todos los paquetes deben tener el mismo número de cuadernos y no debe
sobrar ninguno.
¿Puede hacer paquetes de 4 cuadernos sin que sobren?
¿Cuántos paquetes haría?
¿Puede hacer paquetes de 7 cuadernos sin que sobren?
¿Cuántos paquetes haría?
¿Puede hacer paquetes de 5 cuadernos sin que sobren?
¿Cuántos paquetes haría?
Primero conviene averiguar todas las posibilidades de empacar los cuadernos. Para
esto, construye una hoja de cálculo como la siguiente.
¿Qué fórmula se puede usar para obtener los números de la columna B?
A B C D
1 CUADERNOS TOTAL
POR PAQUETE DE PAQUETES
2 2 28
3 3 18.6666666
4 4 14
5 5 11.2
Como puedes observar, es posible hacer paquetes de 2 y 4 cuadernos sin que sobre
ninguno. Existen otras cinco posibilidades.
Extiende tu tabla para obtenerlas y anota cuáles son.
@ 46 actividades expresivas
47. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ¿Sabes qué significa MCD?
¿Los siete números que resultan son divisores (D) de 56?
Supón ahora que una sucursal de la tienda en cuestión tiene 80 de esos cuadernos
y también quiere agruparlos en paquetes. Utiliza la columna C para calcular el número
de paquetes resultante para este caso (toma en cuenta los cuadernos por paquete de la
columna A).
Anota cuántas posibilidades hay de formar paquetes con los cuadernos de la segun-
da tienda:
¿Estos nueve números son divisores (D) de 80?
El dueño de las tiendas ha resuelto que en ambas se vendan paquetes con el mismo
número de cuadernos. De las posibilidades que tiene cada una, ¿cuáles son las tres que
tienen en común?
Estos tres números son los divisores (D) comunes (C) de 56 y 80.
Como tienen tres posibilidades, deciden escoger la mayor de ellas. Es decir, ambas
tiendas forman paquetes de 8 cuadernos. Este número es el máximo común divisor (MCD)
de 56 y 80.
Considera ahora el siguiente problema.
Un obrero trabajó tres veces en una construcción. En cada oportunidad trabajó una
cantidad de días diferente, y le pagaron, respectivamente, $728, $1560 y $3 900.
Si quiere saber cuál fue su salario diario, ¿qué puede hacer para averiguarlo? Cons-
truye una hoja de cálculo para encontrar la respuesta.
A B C D
1 ¿SALARIO? PRIMER PAGO SEGUNDO PAGO TERCER PAGO
2 1 728 1560 3 900
3 2 364 780 1950
4 3 242.66666 520 1300
5 4 182 390 975
6 5 145.6 312 780
El número que encontraste, ¿es el MCD de 728, 1560 y 3 900?
actividades expresivas 47 @
48. ¿ Sabes qué significa mcm? • • • • • • • • • • • • • • • • • Aritmética
Nombre Edad
Escuela Fecha
Para averiguarlo, analiza el siguiente problema.
Se busca poner en funcionamiento una estación con tres trenes: uno cubrirá el
norte de la ciudad (tren N), otro el sur (tren S) y el tercero el este (tren E). Los recorri-
dos durarán, respectivamente, 28, 36 y 45 minutos y se realizarán una y otra vez
durante 24 horas. Los encargados de la planeación desean saber en qué momento
los tres trenes estarán de nuevo en la estación si todos inician su primer recorrido a la
misma hora.
El tren N regresará a la estación después de 28 minutos en su primera vuelta. Regre-
sará otra vez a los 56 minutos, a los minutos, a los 112 minutos, etcétera.
El tren S regresará a la estación después de minutos en su primera
a
vuelta, a los minutos en su segunda vuelta, a los minutos en
su tercera vuelta, etcétera.
El tren E regresará a la estación después de minutos en su primera
a
vuelta, a los minutos en su segunda vuelta, a los minutos en
su tercera vuelta, etcétera.
Como puedes observar, los minutos que tarda en regresar cada tren son los múltiplos
de su tiempo de recorrido. Para resolver el problema planteado construye una hoja de
cálculo como la siguiente.
A B C D
1 VUELTAS TREN N TREN S TREN E
2 1 28 36 45
3 2 56 72 90
4 3 84 108 135
¿Qué formula se usó para la columna B?
¿Qué formula se usó para la columna C?
¿Qué formula se usó para la columna D?
@ 48 actividades expresivas
49. •••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ¿Sabes qué significa mcm?
Extiende tu tabla hasta donde sea necesario para contestar las preguntas siguientes:
¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes N y S?
¿Cuántas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir?
¿Cuál es el siguiente tiempo en el que pasa esto otra vez?
¿En qué momento sucede de nuevo?
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28 y 36?
¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes N y E?
¿Cuántas vueltas dio cada uno en el momento de coincidir?
¿En qué minuto se vuelven a encontrar?
¿Y después?
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28 y 45?
¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los trenes S y E?
¿Cuántas vueltas lleva cada uno?
¿Cuál es el siguiente minuto en el que coinciden otra vez?
¿En qué minuto vuelve a ocurrir esto?
¿Y después en qué momento vuelven a coincidir?
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 36 y 45?
¿Después de cuántos minutos coinciden en la estación los tres trenes?
(Asegúrate de que tu resultado equivalga a 21 horas).
¿Cuántas vueltas ha dado cada uno?
¿Cuál es el mínimo común múltiplo (mcm) de 28, 36 y 45?
Pide a tu profesor que te dé otro problema de mínimo común múltiplo para que lo
resuelvas en otra hoja de cálculo.
actividades expresivas 49 @
50. P orcentajes (1) •••••••••••••••••••••••••••••••••• Aritmética
Nombre Edad
Escuela Fecha
Una tienda ofrece 30% de descuento en todos sus artículos. Construye una hoja de
cálculo que aplique este descuento a cada artículo de una lista de compras.
Calcula el descuento para una camisa de 90 pesos.
Multiplica 90 x 0.3.
¿Qué observas?
Calcula ahora el descuento para un pantalón de 140 pesos.
Construye la siguiente hoja de cálculo, introduciendo las fórmulas correctas en las
columnas C y D. Una vez que verifiques tus resultados con los valores dados, cambia a
tu gusto los cinco artículos y sus precios.
A B C D E
1 ARTÍCULO PRECIO 30% DE DESCUENTO PRECIO FINAL
2 Camisa 90 27 63
3 Pantalón 140 42 98
4 C. D. 110 33 77
5 Pan 24 7.20 16.80
6 Queso 65.50 19.65 45.85
7 300.65 TOTAL A PAGAR
Imagina ahora que en el departamento de ropa se ofrece 40% de descuento, en el
de comestibles 20%, y en el departamento de deportes y juguetes 35%. Construye
una hoja de cálculo para obtener los descuentos de seis artículos, dos de cada depar-
tamento, y el total a pagar.
Copia tu hoja de cálculo en la tabla siguiente:
A B C D E F
1 ARTÍCULO DEPARTAMENTO PRECIO DESCUENTO PRECIO FINAL
2
3
4
5
6
7 TOTAL A PAGAR
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