1. 14/02/2012
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CONCEPTOS BÁSICOS Y
EQUIVALENCIA DEL DINERO
A TRAVÉS DEL TIEMPO
Capítulo 2
Tomado Fundamentos de Ingeniería Económica por Gabriel Baca
2012
Ing. Luis Baba Nakao
SIMBOLOGÍA
P = Valor Presente
F = Valor Futuro
A = Anualidades
i = Tasa de interés del periodo
r = Tasa de interés
n = Número de periodos
Baba, L. (2012). Conceptos básicos y equivalencia del dinero a través
del tiempo. Recuperado de la base de datos de UESAN (027067)

2. 14/02/2012
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FÓRMULAS A USAR
Dado: F y P, Hallar: i
Dado: P, Hallar: F
Dado: F, Hallar: P
Dado: P, Hallar: A
Dado: A, Hallar: P
Dado: A, Hallar: F
Dado: F, Hallar: A
Fórmula 2.1
Fórmula 2.6
Fórmula 2.7
Fórmula 2.8
Fórmula 2.9
Fórmula 2.10
Fórmula 2.11
EL CONCEPTO DE INTERÉS Y DE
PERIODO DE CAPITALIZACIÓN
• Ejemplo 2.1:
Una persona presta $3,500 con la condición de que le paguen $4,025 al
cabo de un año. ¿Cuál es la tasa de interés anual que cobra el
prestamista?
Solución:
Para encontrar una fórmula que permita hacer este cálculo, simplemente se
divide la cantidad de interés cobrado: (F-P) = 4,025 – 3,500 = 525 sobre la
cantidad original, lo cual, si se multiplica por 100, determinará el porcentaje
de ganancia sobre la cantidad original, o sea, la tasa de interés
correspondiente a ese periodo.
Dado: F y P, Hallar: i Fórmula 2.1

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INTERÉS SIMPLE
• Ejemplo 2.2 A
El prestamista del ejemplo anterior cobra interés simple en sus
operaciones. Si presta $3 500 durante cuatro años al 15% de interés anual
y acuerda que tanto el capital como los intereses se pagarán en una sola
suma al final de los cuatro años, ¿a cuánto asciende este único pago?
Solución:
Como se cobra interés simple, esto significa que cada año se acumularán
intereses por $525, aunque no se efectúe ningún pago al propietario del
dinero, por tanto, la suma pagada al final del año cuarto será:
Dado: i, Hallar: F
F = 3,500 + (525 x 4) = 5,600
INTERÉS CAPITALIZADO
• Ejemplo 2.2 B
Ahora supóngase que el propietario del dinero del ejemplo 2.1 en vez de
prestar su dinero al 15% de interés simple anual durante cuatro años, decide
depositarlo, es decir, prestarlo a un banco, que paga un interés del 15%
capitalizado anualmente, también por un periodo de cuatro años. ¿Cuánto
tendrá acumulado al final del año cuarto?
Solución:
El banco hará las siguientes consideraciones para calcular el saldo del ahorrista
al final del año cuarto.
1. Se deposita el dinero en el periodo cero, y al final del primero año los
$3,500 habrán ganado 3,500 x 0.15= 525, por lo que la suma acumulada al
final del año 1 es:
F1= 3,500 + 3,500 (0.15) = 4,025

4. 14/02/2012
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2. El ahorrista inicia el año 2 con $ 4,025 y sobre esa cantidad vuelve a
ganar otro 15%, por lo que al final de ese año habrá acumulado:
F2= 4,025 + 4,025 (0.15)= 4,628.75
3. Bajo el mismo razonamiento, al final del año tres habrá acumulado:
F3= 4,628.75 + 4,628.75 (0.15) = 5,323.06
4. Y al final del cuarto año habrá acumulado:
F4= 5,323.06 + 5,323.06 (0.15) = 6,121.52
Obsérvese cómo sobre el interés ganado cada año se vuelve a ganar más
interés, de ahí el nombre de interés capitalizado, lo que significa que a
partir de un interés ganado se produce o se gana más capital.
• Ejemplo 2.3
Una persona espera recibir una herencia dentro de cinco años por un total
de $50,000. Si la tasa de interés es de 12% anual capitalizado cada año,
¿a cuánto equivalen los $50,000 al día de hoy?
Solución:
Los datos son F5= 50 000, i= 12%, n=5.
Dado: F, Hallar: P Fórmula 2.7
Años
Heredero
i C-A= 12%

5. 14/02/2012
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SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU
RELACIÓN CON EL PRESENTE (P)
• Ejemplo 2.4
Una persona compró una casa por $100,000 y decidió pagarla en 10 anualidades
iguales, haciendo el primer pago un año después de adquirida la casa. Si la
inmobiliaria cobra un interés del 10% capitalizando anualmente, ¿a cuánto ascienden
los pagos iguales anuales deberán hacerse, de forma que con el último pago se
liquide totalmente la deuda?
Solución:
Sea A el pago anual uniforme; P= $100,000 o el valor presente que tiene la casa;
n=10 pagos anuales iguales; i= 10%. El diagrama de flujo de efectivo para el
vendedor es:
Vendedor
Anual
i C-A = 10%
Para plantear una ecuación que resuelva este problema se utiliza la fórmula
anterior, pero aquí se tienen 10 cantidades futuras con respecto al
presente, con la particularidad de que todas son iguales y desconocidas.
Tomar en cuenta que:
a) El valor presente es conocido
b) Se desconoce el valor de “n” pagos iguales, en este caso 10 pagos,
llamados A
c) El primer pago se efectúa en el periodo 1 y el último pago, en el periodo
10.
d) Los pagos no se suspenden en el transcurso de los 10 periodos.
Entonces, la ecuación a usar será:
Dado: P, Hallar: A Fórmula 2.8

6. 14/02/2012
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• Ejemplo 2.6
Una ama de casa compra a crédito una lavadora y acuerda pagarla en 12 pagos
iguales mensuales de $95 comenzando dentro de un mes. Si el proveedor cobra un
interés del 2% mensual en sus ventas a crédito, ¿cuál es el valor de contado de la
lavadora?
Solución: Los datos del problema son A= 95, i= 2%, n= 12.El diagrama de flujo es:
Dado: A, Hallar: P
En este ejemplo se puede observar que la A no necesariamente es un pago anual y
que los periodos de capitalización “n” tampoco se cuantifican por necesidad en años;
los datos del problema están dados en meses, pero ellos no invalida la aplicación de
las fórmulas dadas. Por supuesto, el interés también se da mensualmente.
Mensual
i C-M= 2%
Vendedor
Fórmula 2.9
SERIE UNIFORME DE PAGOS Y SU
RELACIÓN CON EL FUTURO (F)
• Ejemplo 2.7
Si una persona ahorra $800 cada año en un banco que paga el 12% de
interés capitalizado anualmente, ¿cuánto tendrá ahorrado al finalizar el
noveno año, luego de hacer nueve depósitos de fin de año?
Solución:
Los datos del problema son: A= 800; i= 12%; n= 9. El diagrama de flujo del
problema es:
Anual
i C-A= 12%
Ahorrista

7. 14/02/2012
7
Dado: A, Hallar: F
Para resolver este problema de forma simplificada, se ha desarrollado una
fórmula nueva:
El diagrama generalizado de la fórmula 2.10 es el siguiente es la gráfica 2.8:
La aplicación de la fórmula 2.10 tiene las siguientes restricciones:
1. El pago de la primera A siempre se efectúa en el período uno y no en el
período cero.
2. El último pago se verifica en el período n, es decir, en el momento en el
que se calcula la F, por tanto, la última A ya no gana interés.
3. Los pagos de A son continuos, del periodo 1 al periodo n.
Fórmula 2.10
Como el ejemplo 2.7 está planteado de tal forma que no viola las
restricciones para el empleo de la fórmula 2.10, se aplica directamente:
Una serie de pagos uniformes también puede relacionarse en forma inversa
con respecto al futuro, es decir, se conoce el futuro pero se desconoce el
monto de los pagos uniformes. El diagrama de esta situación es similar a la
gráfica 2.8; la fórmula es la inversa de la fórmula 2.10, es decir:
Fórmula 2.11

8. 14/02/2012
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• Ejemplo 2.8
Una persona desea contar con $13,000 dentro de ocho años. Su intención
para obtener esta suma es ahorrar una cantidad igual cada año, empezando
el próximo fin de año, en un banco que paga el 7% de interés capitalizado
anualmente. ¿A cuánto ascienden los depósitos iguales que deberá hacer
los años 1 al 8 para juntar los $13,000?
Solución:
Datos del problema: F8= 13 000; n= 8; i= 7%. El diagrama de flujo del
problema es:
Dado: F, Hallar: A
Anual
i C-A=7%
Ahorrista
Fórmula 2.11
TASA DE INTERÉS NOMINAL
Y EFECTIVA, Y
CAPITALIZACIÓN CONTINUA
Capítulo 3
Tomado de Ingeniería Económica por Leland T. Blank
2012
Ing. Luis Baba Nakao

9. 14/02/2012
9
FÓRMULAS A USAR PARA HALLAR
LA TASA DE INTERÉS EFECTIVA
Fórmula de interés compuesto
Fórmula 3.4:
Fórmula 3.5:
Fórmula 3.6:
Para calcular la tasa efectiva continua
Dado: i, Hallar: r
Fórmula 3.3
Fórmula 3.7
Fórmula 3.8
CÁLCULO DE TASAS DE INTERÉS
EFECTIVAS
• Ejemplo 3.1
Una compañía de crédito anuncia que su tasa de interés de préstamos es 2%
mensual.
a) Calcule la tasa de interés efectiva semestral.
b) Si la tasa de interés se expresa como 5% trimestral, encontrar la tasa
efectiva semestral y anual.
Solución:
Dado: r, hallar: i
Donde:
i= tasa de interés efectiva por período
r= tasa nominal de interés por período
n= número de períodos de capitalización
Fórmula 3.3

10. 14/02/2012
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(a) En esta parte del ejemplo, el período de capitalización es mensual.
El valor “n” en la fórmula 3.3 es igual a 6, entonces el interés debe ser
compuesto 6 veces en un período de 6 meses, así:
(b) Para una tasa de interés de 5% trimestral, el período de capitalización
es trimestral. Entonces, en un período semestral:
La tasa efectiva de interés anual puede ser determinada:
Comentario: Obsérvese que el término r/n en la fórmula 3.3 es siempre
igual a la tasa de interés efectiva para el período capitalizado.
Cuando la fórmula 3.3 se emplea para encontrar una tasa de interés
efectiva, la respuesta usualmente no es un número entero como se ilustró
en este ejemplo. Cuando esto ocurre, el valor del factor deseado debe
obtenerse a través de la interpolación en las tablas de interés. El siguiente
ejemplo ilustra estos cálculos.

11. 14/02/2012
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• Ejemplo 3.2
Una compañía de crédito universitario anuncia que la tasa de interés de los
préstamos es 1% mensual. Calcule la tasa de interés efectiva y encuentre
el correspondiente factor P/F para n=8
Solución:
Sustituyendo r/n= 0.01 y n=12 en la fórmula 3.3 encontramos:
Usando la tabla 3.3 y las tablas de factores de interés compuesto, se podrá
encontrar el correspondiente factor P/F para n=8. Interpolar entre i= 12% y
14%.
TABLA 3.3: TABULACIÓN DE TASAS
EFECTIVAS DE INTERÉS PARA
TASAS NOMINALES

12. 14/02/2012
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TABLA 17: FLUJO DE EFECTIVO
DISCRETO: FACTORES DE INTERÉS
COMPUESTO CON i= 12%
TABLA 18: FLUJO DE EFECTIVO
DISCRETO: FACTORES DE INTERÉS
COMPUESTO CON i= 14%

13. 14/02/2012
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Con el fin de encontrar el factor P/F, es necesario interpolar entre i=12% y
14%
Entonces:
(P/F, 12.68%, 8)= 0.4039-0.0181= 0.3858
Si el valor de i= 12.68% y n= 8 sustituyendo en el factor P/F, el resultado
es:
Comentario: La diferencia entre las respuestas de los dos métodos se
produce porque el método de la interpolación se asume lineal siendo que
todos los factores de las ecuaciones no son lineales. El método de
interpolación, sin embargo, aproxima la respuesta mientras que las
ecuaciones dan resultados exactos.
TASA DE INTERÉS EFECTIVAS PARA
CAPITALIZACIONES CONTINUAS
• Ejemplo 3.3
a) Para una tasa de interés de 18% anual capitalizable continuamente, calcular
la tasa efectiva mensual y anual de interés.
b) Si una inversionista requiere una tasa mínimo de retorno de 15% por su
dinero, ¿cuál es la tasa mínima normal anual que puede aceptar, si la
capitalización es continua?
Solución:
a) La tasa nominal mensual es
Dado: r, Hallar: i
Del mismo modo, la tasa efectiva anual es:
Fórmula 3.7

14. 14/02/2012
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(b) Empleando la ecuación anterior con i=15% resolvemos r tomando
logaritmos naturales.
Entonces, una tasa de 13.976% anual capitalizable continuamente genera
un tasa de retorno efectiva del 15%.
Comentario: La fórmula general para encontrar la tasa nominal dada la
tasa efectiva continua es la fórmula 3.8:
FACTORES DE PAGO ÚNICO
Ejemplo 3.4
Si una señora deposita $1,000 hoy, $3,000 dentro de cuatro años y $1,500
dentro de seis años a una tasa de interés de 12 % anual compuesto
semestralmente, ¿cuánto dinero tendrá en su cuenta 10 años después?
Solución:
El diagrama de flujo de caja se muestra en la Figura 3.2
Dado: A, Hallar: F: Fórmula 3.3
Ahorristaa
Anual
i C-S= 12%

15. 14/02/2012
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Debemos asumir que decidimos usar una tasa de interés anual para
resolver el problema. Siendo que solamente la tasa de interés efectiva
puede usarse en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa
efectiva anual.
Usando la fórmula 3.3 con r= 12%:
Siendo que i fue tomado en unidades “por año”, n debe ser expresado en
años. Así:
F= 1,000 (F/P, 12.36%,10) + 3,000 (F/P, 12.26%,6) + 1,500 (F/P,
12.36%,4) =$11,634. 50
Alternativamente, se puede usar la tasa efectiva de 6% semestral y
entonces usamos periodos semestrales n. En este caso, el valor futuro
sería:
F= Dado P, hallar F+ Dado P, hallar F+ Dado P, hallar F
F= 1,000 (F/P, 6%, 20) + 3,000 (F/P, 6%,12) + 1,500 (F/P, 6%, 8)=
$11,634.50
Comentario: El segundo procedimiento es el más fácil de los dos, puesto
que las tablas de interés pueden usarse sin necesidad de interpolar.
FACTORES DE SERIE UNIFORMES
• Ejemplo 3.5
Si una mujer deposita $500 cada 6 meses durante 7 años, ¿cuánto dinero
tendrá en su cuenta después de que haga el último depósito si la tasa de
interés es 20% anual capitalizada trimestralmente?
Solución:
El diagrama de flujo de caja se muestra en la Figura 3.3.
i C-T= 20%
Ahorrista
Anual

16. 14/02/2012
16
Siendo que el período de capitalización (trimestres) es menor que el
período de pagos (semestral), el primer paso es hacer “n” igual al número
de pagos (14). Dado: A, Hallar: F
Ahora, siendo “n” un periodo semestral, una tasa efectiva semestral debe
usarse. Con el fin de convertir una tasa semestral a partir de la tasa de
interés dada, es necesario utilizar la fórmula 3.3 como sigue:
El valor i=10.25% parece razonable, siendo que se esperaba una tasa
efectiva ligeramente más alta que la tasa nominal del 10% por semestre.
Esta tasa efectiva puede ahora usarse en la fórmula F/A y encontrar el
valor futuro de depósitos semi-anuales donde n=2(7)=14 periodos
Dado A, Hallar F: fórmula 2.10
F=$14,244.50
Fórmula 2.10
INTERÉS COMPUESTO
E INFLACIÓN
Capítulo 5
Tomado de Matemáticas Financieras por Héctor Vidaurri Aguirre
2012
Ing. Luis Baba Nakao

17. 14/02/2012
17
FÓRMULAS A USAR
Hallar el interés compuesto
Hallar el monto compuesto al final de n periodos de capitalización. Dado: P,
Hallar: F
Hallar la tasa de inflación
Hallar la inflación acumulada
Hallar la inflación acumulada cuando la inflación no es constante
Fórmula 5.1
Fórmula 5.2
Fórmula 5.8
Fórmula 5.9
Fórmula 5.10
INTERÉS COMPUESTO
Ejemplo 5.1
Tomás invierte $500,000 a 15% anual capitalizable cada mes, a un plazo
de 6 meses. Calcule:
a) El monto compuesto al cabo de 6 meses. Dado P, hallar F
b) El interés compuesto ganado. Dado F, Hallar i
c) Compare el monto compuesto con el monto simple.

18. 14/02/2012
18
Solución:
a) Como el periodo de capitalización es mensual, es necesario convertir la
tasa de interés anual a tasa de interés mensual:
El monto compuesto obtenido al final de los 6 meses es de $538,691.60
Tabla de capitalización
b) El interés compuesto de la inversión se obtiene usando la fórmula 5.1:
I=F-P
Donde I representa el interés compuesto; F, el monto compuesto y P, el
capital original. Entonces:
I= 538,691.60 – 500,000= $38,691.60
c) Si la inversión hubiera sido con interés simple, el monto obtenido sería:
M= 500,000 [1+(0.0125)(6)]= $537,500
Comparando los dos montos, se observa que el interés compuesto es
mayor que el interés simple. Esto se debe a que en el interés compuesto se
ganan intereses sobre los intereses capitalizados. Debido a la
capitalización de los intereses, el monto compuesto crece en forma
geométrica, mientras que el monto simple crece en forma aritmética.

19. 14/02/2012
19
• Ejemplo 5.2
Determine el monto compuesto después de 4 años, si se invierten
$100,000 a una tasa de 18% con capitalización trimestral.
Solución:
La tasa de interés dada es anual y el periodo de capitalización es trimestral.
Por tanto, la tasa de interés por periodo de capitalización es:
El tiempo de inversión es de 4 años, esto es, 16 trimestres, ya que un año
consta de 4 trimestres. Por tanto, hay 16 periodos de capitalización.
Dado: P, Hallar: F
Donde F es el monto compuesto o valor futuro de un capital original P, i es
la tasa de interés por periodo de capitalización y n es el número total de
periodos de capitalización.
Fórmula 5.2
• Ejemplo 5.4
¿Qué interés producirá un capital de $50,000 invertido a 15% anual
compuesto cada 28 días, en 2 años? Utilice el año natural.
Solución:
La palabra compuesto cada 28 días significa capitalizable cada 28 días. La
tasa de interés por periodo de capitalización se obtiene de la siguiente
forma:
Un año tiene 365/28= 13.0357 periodos de 28 días. Por tanto, la tasa de
interés por periodo de capitalización será:
15%/ 13.0357= 1.15068% por periodo de 28 días.
En 2 años de inversión, se tendrán (2)(13.0357)=26.0714 periodos de
capitalización.
Dado: P, Hallar: I
Por tanto:
Fórmula 5.2

20. 14/02/2012
20
INTERÉS COMPUESTO CON PERIODOS
DE CAPITALIZACIÓN FRACCIONARIOS
• Ejemplo 5.17
Obtenga el monto compuesto de 12,500 a 20% capitalizable cada semestre
al cabo de 2 años y 3 meses.
Solución:
Como un semestre son 6 meses, y 2 años 3 meses son 27 meses,
entonces:
n=27/6=4.5 semestres
Sustituyendo los valores numéricos en la fórmula 5.2: Dado: P, Hallar: F
El procedimiento anterior recibe el nombre de “cálculo teórico”.
• Ejemplo 5.18
La “regla comercial” consiste en obtener el monto compuesto para los
periodos enteros de capitalización y utilizar el interés simple para la fracción
de periodo.
Resuelva el ejemplo anterior según la regla comercial.
Solución:
Se obtiene el monto compuesto para los 4 periodos semestrales (2 años),
que son los periodos completos.
En seguida se calcula el monto simple para la fracción de periodo,
utilizando como capital el monto compuesto obtenido previamente. La
fracción de periodo son 3 meses.
Como se observa, la regla comercial proporciona un monto mayor que el
cálculo teórico. Sin embargo, el cálculo teórico es más justificable.

21. 14/02/2012
21
INFLACIÓN
• Ejemplo 5.40
Si el índice de precios de Diciembre del año 2000 fue de 93.2482 y el de
Diciembre de 2002 fue de 102.9040, calcule la tasa de inflación ocurrida en
esos dos años.
Solución:
La tasa de inflación se simboliza mediante la letra griega λ lambda. Sea λ la
tasa de inflación ocurrida entre diciembre de 2000 y diciembre de 2002, se
tiene:
93.2482+(λ)(93.2482)=102.9040
Por tanto:
λ=0.1035 x 100=10.35%
La tasa de inflación puede calcularse mediante la ecuación 5.8:
λ=( I2/I1 – 1) x 100
En donde I1 es el índice de precios al inicio de un periodo e I2 es el índice de
precios al final del periodo. Por tanto:
λ=[( 102.9040/93.2482) -1] x 100= 10.35%
• Ejemplo 5.41
La economía mexicana experimentó una inflación anual de 51.97% en
1995. Suponiendo que esta tasa de inflación se hubiera mantenido
constante a partir de entonces, obtenga el precio que habría alcanzado un
escritorio a principios de enero de 2003, se sabe que en los primeros días
de enero de 1996 tenía un precio de $780.
Solución:
Ya se mencionó que la inflación tiene un efecto compuesto; esto es, se
comporta como un interés compuesto. En consecuencia, debido a la
inflación, el precio del escritorio aumenta a una tasa de 51.97% anual. Por
tanto:
Dado: P, Hallar: F Fórmula 5.2

22. 14/02/2012
22
• Ejemplo 5.42
La inflación del mes de enero de 2002 fue de 0.92%. Si esta tasa de
inflación mensual hubiera sido la misma todos los meses del año, ¿qué
tasa de inflación acumulada se hubiera tenido a fin de año?
Solución:
Para obtener la tasa de inflación acumulada en el año (tasa de inflación
anualizada) se utiliza la ecuación 5.2, suponiendo un valor para P y
haciendo que λ=i.
Sea:
P=$100, n= 12 meses, i= λ=0.92% cada mes
Dado: P, Hallar: F Fórmula 5.2
Si a principios del año un cierto artículo costaba $100, a fin de año costará
$111.62. Esto significa un aumento de11.62% en el año. Por tanto, si la
tasa de inflación mensual se hubiera mantenido constante en 0.92%, la
tasa de inflación acumulada para el 2002 hubiera sido de 11.62%. La
inflación real obtenida en 2002 fue de 5.70%
La siguiente fórmula nos permite encontrar la inflación acumulada al final
de n periodos, tomando como base la inflación de un periodo y suponiendo
que se mantiene constante en todos los demás periodos:
en donde λ0 es la tasa de inflación de un periodo, o inflación inicial.
Utilizando la ecuación 5.9 para resolver este ejemplo se tiene:
Fórmula 5.9

23. 14/02/2012
23
• Ejemplo 5.43
¿Cuál fue la inflación en el primer trimestre del año 2003, si las inflaciones
mensuales fueron las siguientes?:
Solución:
Como la tasa de inflación mensual no es constante, la fórmula 5.9 no
funciona. En este caso, la inflación acumulada se obtiene mediante la
fórmula 5.10:
En donde λ1,λ2,λ3…λn son las tasas de inflación por periodo.
Sustituyendo los datos en la fórmula 5.10, se obtiene:
•Ejemplo 5.44
Si el índice de precios de Diciembre de 2001 fue de 97.3543 y el de Junio
de 2002 fue de 99.9172, calcule,
a) La tasa de inflación en el primer semestre de 2002.
b) La tasa promedio de inflación mensual para el primer semestre de 2002.
Solución:
a) Mediante la fórmula 5.8 se obtiene:
b) En la realidad la inflación mensual fue variable, sin embargo, se puede
obtener una tasa mensual de inflación media o promedio, cuyo efecto final
es exactamente el mismo que el obtenido al acumular las tasas mensuales
reales; esto es 2.63% en el semestre.

24. 14/02/2012
24
La tasa mensual de inflación promedio será equivalente a una tasa
compuesta mensual que haga que el índice pase de 97.3543 a 99.99.9172
en 6 meses. Por tanto, si λ=i, entonces la tasa mensual de inflación
promedio se obtiene al calcular i de la fórmula de interés compuesto. Esto
es:
Por tanto:
λ= 0.434% mensual promedio
ANUALIDADES ORDINARIAS
Y ANTICIPADAS
Capítulo 3
Tomado de Ingeniería Económica por Guillermo Baca
2012
Ing. Luis Baba Nakao

25. 14/02/2012
25
FÓRMULAS A USAR EN ANUALIDADES
Dado: A, Hallar: F
Dado: A, Hallar: P
Dado: F, Hallar: A
Dado: P, Hallar: A
Fórmula 1
Fórmula 2
Fórmula 4
Fórmula 3
ANUALIDADES VENCIDAS:
INTRODUCCIÓN
• Ejemplo 1
Una persona compra un terreno cuyo valor, al contado, es de $2 millones.
Si le dan la facilidad para pagarlo en cuatro cuotas trimestrales de $A c/u,
que se efectuarán al final de cada trimestre, y, además se le cargaría un
interés del 40% CT, hallar el valor de la cuota trimestral de amortización.
Solución:
Primero construimos un dibujo que muestre las fechas, el valor de la deuda
y el valor de los pagos (esto también se conoce con el nombre de flujo de
caja). Puesto que la tasa tiene efectividad trimestral y los pagos son
trimestrales usaremos el trimestre como período.
Trimestral
Vendedor
i C-T = 40%

26. 14/02/2012
26
Si planeamos la ecuación de valor poniendo la fecha focal en cero nos
quedaría la ecuación así:
Factorizando A se tendrá:
Si hubiéramos planteado la ecuación de valor con fecha focal al final nos
habría quedado así:
Factorizando se tiene:
ANUALIDAD
Una Anualidad es una serie de pagos que cumple con las
siguientes condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo.
3. A todos los pagos se les aplica la misma tasa de interés.
4. El número de pagos es igual al número de periodos.

27. 14/02/2012
27
• Ejemplo 2
Un documento estipula pagos trimestrales de $80,000, durante 6 años. Si
este documento se cancela con un solo pago de:
a) $P al principio ó,
b) $F al final, con una tasa del 32% CT.
Solución:
El número de pagos n=4 x 6=24, A=$80,000,
a)
Dado: A, Hallar: P
Trimestral
Prestamista
Fórmula 2.9
b) Dado: A, Hallar F: Fórmula 2.10
Trimestres
Inversionista

28. 14/02/2012
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• Ejemplo 3
Una persona empieza el día primero de Julio de 1986 a hacer depósitos de
$1,000 mensualmente el día primero de cada mes. Estos depósitos son
efectuados en una entidad financiera que le paga el 24% CM; pero, a partir
del primero de Octubre de 1987, decidió que de ahí en adelante, sus
depósitos serían de $2,500. El último depósito lo hizo el primero de Agosto
en 1989. Si el primero de Diciembre de 1989 decide cancelar la cuenta.
¿Cuál será el monto de sus ahorros?
Solución: Persona
Fechas de periodos
i = 2%
Observemos que hay 2 anualidades: la de renta de $1,000 y la de renta de
$2,500. La primera anualidad empieza el 1-6-86 (primero de Junio de 1986)
y termina el 1-9-87 (primero de Septiembre de 1987) y la segunda
anualidad empieza el 1-9-87 y termina el 1-8-89. De ésta forma la primera
anualidad tendrá 15 periodos y su valor final deberá ser trasladado por 27
periodos para llevarlo a la fecha focal (desde 1-9-87 hasta el 1-12-89). La
segunda anualidad tendrá 23 periodos y su valor final lo debemos trasladar
por 4 períodos y así la ecuación de valor será:
Dado A (1000), hallar F1, (Dado P (F1), hallar F2)+ Dado A (2,500), hallar
F3 (Dado P (F3), hallar F4)
De donde se obtiene que:
F total= X =$107,574.69

29. 14/02/2012
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• Ejemplo 4
Una deuda de $50,000 se va a cancelar mediante 12 pagos uniformes de
$A c/u. Con una tasa de 2% efectivo para el periodo, hallar, el valor de la
cuota A situando:
a) La fecha focal el día de hoy y
b) Poniendo la fecha focal en 12 meses
Solución:
En este caso se usa Pni porque todo el flujo de caja debe ser puesto al
principio que es donde está la fecha focal y la ecuación de valor quedará
así:
Dado: P , Hallar: A: Fórmula 2.8
Mensual
Banco
i =2%
b)
En este caso puede usarse Fni porque todo el flujo de caja debe ser puesto
en el punto 12 que es donde está la fecha focal, pero la deuda de los
$50,000 sigue en 0 lo cual implica que deberá ser trasladada a valor final
junto con todos los pagos, entonces la ecuación quedará así:
Dado P, hallar F (fórmula 2.6) y dado F, hallar A (fórmula 2.11)
Banco
Anual
i =2%

30. 14/02/2012
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ANUALIDADES ANTICIPADAS
• Ejemplo 5
Una persona arrienda una casa en $50,000 pagaderos por mes anticipado. Si
tan pronto como recibe cada arriendo, lo invierte en un fondo que le paga el 2%
efectivo mensual. ¿Cuál será el monto de sus ahorros al final de un año?
Solución:
Obsérvese que de todos modos hay 12 periodos y 12 pagos. El valor final de
ésta anualidad está en el punto 12 (porque si comienza con pago debe terminar
con periodo) y la ecuación será:
Dado: A, hallar: F x (1+i): Fórmula 1
Persona
Mensual
i =2%
• Ejemplo 6
El contrato de arriendo de una casa estipula pagos mensuales de $40,000,
al principio de cada mes, durante un año. Si suponemos un interés del 30%
CM. ¿Cuál será el valor del pago único que, hecho al principio del contrato,
lo cancelaría en su totalidad?
Solución:
Dado: A, hallar: P x (1+i): Fórmula 2
Comprador
Mensual
i = 2.5%