Este documento explora o conceito matemático de autossimilaridade aplicado ao Tapete de Sierpinski. Apresenta as definições formais de transformações similares e autossimilaridade, além de exemplos como triângulos e quadrados. Descreve como construir objetos autossimilares através de redução, rotação e translação. Finaliza propondo uma atividade didática sobre o Tapete de Sierpinski.

1. Explorando o Tapete de Sierp´nski
Sara Cruz e Ingra Dantas
Licenciatura em Matem´atica
Universidade Federal do Par´a
Resumo:
1 Introdu¸c˜ao
A autossemelhan¸ca ou autossimilaridade ´e uma ideia antiga e uma propriedade
geom´etrica simples. ´E a “simetria atrav´es das escalas”, ou seja, um objecto possui
autossemelhan¸ca se apresenta a mesma forma a qualquer escala em que seja observado.
Naturalmente, nem todos os objetos geom´etricos tˆem esta propriedade. Por exemplo,
um c´ırculo numa escala muito grande n˜ao ´e nada mais do que uma reta. Por outro
lado, um quadrado ´e um conjunto autossimilar do plano, pois pode ser formado por
quatro c´opias deles mesmo reduzidas por um fator
1
2
.
Autossimilaridade ´e um conceito muito associado com a geometria fractal, pois
um fractal ´e um conjunto que possui infinitas pequenas c´opias dele pr´oprio, ou seja,
´e um objeto autossimilar.
Matematicamente, a propriedade de autossimilaridade ´e descrita por transforma¸c˜oes
cujas imagens dos objetos sejam “c´opias reduzidas” do mesmo e que “reconstituam”
integralmente o mesmo objeto. Tais transforma¸c˜oes s˜ao chamadas transforma¸c˜oes
similares.
Neste trabalho,
1

2. 2 Aspectos matem´aticos
Defini¸c˜ao 2.1 Dizemos que a transforma¸c˜ao f : R2
→ R2
´e uma “transforma¸c˜ao
similar” com raio r se existe um n´umero real r > 0 tal que
||f(x) − f(y) = r||x − y||, ∀x, y ∈ R2
com ||x − y|| = |x1 − y1|2 + |x2 − y2|2 e x = (x1, y1) e y = (x2, y2)
Se r < 1, f ´e chamada uma “contra¸c˜ao”.
Geometricamente, transforma¸c˜oes similares incluem uma homotetia, uma isome-
tria e suas composi¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 2.2 Dois conjuntos s˜ao similares se um ´e a imagem do outro por uma
transforma¸c˜ao similar. Um conjunto E ´e “autossimilar”’ se ´e a uni˜ao de imagens
similares de sim mesmo, ou seja,
E =
m
k=1
fk(E). (2.1)
Um conjunto autossimilar ´e chamado “conjunto invariante” ou “atrator” de um
sistema de fun¸c˜oes iteradas- IFS dado por {f1, f2, . . . , fm} com fk transforma¸c˜oes
similares. com raio rk, respectivamente. A teoria da Geometria fractal garante que
se estamos trabalhando com espa¸cos m´etricos completos e todas as transforma¸c˜oes fk
s˜ao contra¸c˜oes ent˜ao existe um ´unico conjunto compacto E que satisfaz (2.1) (para
mais detalhes consulte [1].)
Um conceito bastante relacionado com autossimilaridade ´e o conceito de auto
afinidade. Para um conjunto auto afim temos que as transforma¸c˜oes fk s˜ao trans-
forma¸c˜oes afins. Uma transforma¸c˜ao afim ´e formada por uma transforma¸c˜ao linear
e uma transla¸c˜ao. Seus raios podem ser diferentes em diferentes dire¸c˜oes. Trans-
forma¸c˜oes autossimilares s˜ao casos particulares de transforma¸c˜oes afins. As trans-
forma¸c˜oes afins s˜ao dadas por
f


x
y

 =


a b
c d




x
y

 +


e
f

 .
2

3. Exemplo 2.1 Considere um triˆangulo equil´atero ∆ de lado igual a 1 e a trans-
forma¸c˜ao que reduz ∆ de tal modo que cada lado seja a metade do anterior. Ent˜ao,
f : ∆ → R2
´e dada por
f(x, y) =
1
2
(x, y).
Observe que, se aplicarmos a transforma¸c˜ao f infinitamente temos que os triˆangulos
ser˜ao reduzidos de modo que seus lados ser˜ao cada vez menores, ou seja, a sequˆencia
de triˆangulos tender´a a um ´unico ponto.
Figura 1: Redu¸c˜ao
Podemos construir um objeto autossimilar reduzindo (ou ampliando), rodando
e/ou transladando este objeto. Por exemplo, considere um quadrado Q unit´ario, se
queremos reduzir este quadrado a metade (fator de redu¸c˜ao 1/2) devemos “transfor-
mar” todos os pontos deste quadrado em novos pontos cujas coordenadas ser˜ao a
3

4. metade das coordenadas dos pontos originais (veja figura 2). Se queremos transladar
Q duas unidades a direita da sua posi¸c˜ao inicial devemos “transformar” todos os
pontos de Q em novos pontos cujas coordenadas ser˜ao as coordenadas originais mais
duas unidades. No que segue, descreveremos estas transforma¸c˜oes.
Figura 2:
Por exemplo, se P = (x, y) ´e um ponto de Q, para reduzirmos Q a metade
transformaremos P = (x, y) no ponto P1 = (x1, y1) tal que x1 =
x
2
e y1 =
y
2
.
Podemos representar esta transforma¸c˜ao do seguinte modo: f1(x, y) =
x
2
,
y
2
.
O mesmo vale para a transla¸c˜ao. Transformaremos o ponto P = (x, y) no ponto
P1 = (x1, y1) tal que x1 = x + 2 e y1 = y. Esta transforma¸c˜ao tem a seguinte
representa¸c˜ao: f2(x, y) = (x + 2, y).
Agora, se quisermos rodar Q um ˆangulo θ◦
no sentido anti-hor´ario, cada ponto P =
(x, y) de Q deve ser transformado no ponto P1 = (x1, y1) tal que x1 = x cos θ−y senθ e
y1 = x senθ+y cos θ (veja figura 3). Esta transforma¸c˜ao tem a seguinte representa¸c˜ao:
f3(x, y) = (x cos θ − y senθ, x senθ + y cos θ).
Observe que estas transforma¸c˜oes acima s˜ao transforma¸c˜oes afins. De fato,
f1


x
y

 =



1
2
0
0
1
2





x
y

 ,
f2


x
y

 =


1 0
0 1




x
y

 +


2
0

 ,
4

5. Figura 3:
f3


x
y

 =


cos θ −senθ
senθ cos θ




x
y

 .
3 Atividade de ensino
Nesta sec¸c˜ao nosso objetivo ´e apresentar uma atividade que consiste na abordagem
do conceito de autossimilaridade no Tapete de Sierpinski.
3.1 Apresenta¸c˜ao
Figura 4:
5

6. 3.2 Objetivos
3.3 Meteriais necess´arios
3.4 Descri¸c˜ao da atividade
Referˆencias
[1] K. Falconer, Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications,
Jonh Wiley and Sons, Chichester, 2003.
[2] C. Vaz, Explorando a geometria fractal, Notas de aula, 2009.
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