Este documento describe los sistemas de numeración decimal, binario, octal y hexadecimal. Explica que el sistema decimal utiliza 10 dígitos y es la base del sistema de numeración que usamos habitualmente. También describe la historia y evolución del sistema binario desde su descubrimiento en la antigua India hasta su uso actual en informática. Finalmente, resume brevemente cómo funcionan los sistemas octal y hexadecimal.

1. SISTEMAS DE NUMERACION
SISTEMA DECIMAL
Su origen lo encontramos en la India y fue introducido en España por los árabes. Su
base es 10.
El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone
de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor
dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas,
millares, etc.
El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que
coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente
igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.
En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:
5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:
5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:
500 + 20 + 8 = 528
En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso,
algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos
colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se
calcularía como:
8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos
8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:
8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97
Si un número decimal tiene un número finito de cifras decimales se suele llamar
decimal exacto y se corresponde con una fracción irreducible cuyo denominador
descompuesto en factores primos sólo tenga los factores 2 y 5. Por ejemplo:
Por ser el denominador una potencia de 10 sólo tiene factores 2 y 5, y al reducir la
fracción sólo quedan estos factores.
Hay decimales con un número infinito de cifras que se repiten periódicamente. Se
llaman decimales periódicos y se obtienen a partir de fracciones irreducibles cuyo
denominador tenga algún factor que no sea 2 ni 5.
Por último, existen números decimales con infinitas cifras que no se repiten
periódicamente. No corresponden a ninguna fracción y, por tanto, son números
irracionales. Es el caso de d = 3,141592… f = 1,41424…
Los números decimales pueden ser representados sobre la recta real: si tienen un
número finito de cifras se pueden situar de manera teóricamente exacta; si sus cifras son
infinitas, se pueden situar con tanta aproximación como se desee.

2. SISTEMA BINARIO
El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).
En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que
ocupe.
El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual
a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el
sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2)
para representar los números.
De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:
1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:
8 + 0 + 2 + 1 = 11
y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:
10112 = 1110
HISTORIA Y EVOLUCION
El antiguo matemático hindú Píngala presentó la primera descripción que se conoce de
un sistema de numeración binario en el siglo tercero antes de nuestra era, lo cual
coincidió con su descubrimiento del concepto del número cero.
Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas, análogos a 3 bit y números
binarios de 6 bit, eran conocidos en la antigua china en el texto clásico del I Ching.
Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizados en sistemas de
adivinación tradicionales africanos como el Ifá, así como en la geomancia medieval
occidental.
Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia
decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo, fue desarrollado por el erudito y
filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI. Sin embargo, no hay ninguna prueba de que
Shao entendió el cómputo binario.
En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían
reducirse a secuencias de dígitos binarios, la cuales podrían ser codificados como
variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.
El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo
diecisiete, en su artículo "Explication de 'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los
símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz usó el 0 y el 1, al igual que el
sistema de numeración binario actual.
En 1854, el matemático británico George Boole, publicó un artículo que marcó un antes
y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra
de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del
sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

3. En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba
el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera
vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés,
la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.
En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los
Laboratorios Bell, construyó un ordenador basado en relés - al cual apodó "Modelo K"
(porque lo construyó en una cocina, en inglés "kitchen")- que utilizaba la suma binaria
para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de
investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando.
El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una Calculadora de Números Complejos,
la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en
la conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940,
Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números
Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo.
Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de
teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración
fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, el cual escribió acerca de
dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.
SISTEMA OCTAL
En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos
diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto
dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene
determinado por las potencias de base 8.
Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:
2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610
2738 = 149610
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada
tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor
decimal.
SISTEMA HEXADECIMAL
En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F
representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque
no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal.
El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se
calcula mediante potencias de base 16.
Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:

4. 1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160
1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719
1A3F16 = 671910
Para convertir un número n dado en base 10 a base b, se divide (en el sistema decimal) n
por b, el cociente se divide de nuevo por b y así sucesivamente hasta que se obtenga un
cociente cero. Los restos sucesivos de esta serie de divisiones son los dígitos que
expresan n en base b (la base se suele escribir como un subíndice del número). A
medida que la base sea mayor, se necesitan más guarismos, pero la representación de un
número requiere menos dígitos.
Su uso actual está muy vinculado a la informática. Esto se debe a que un dígito
hexadecimal representa cuatro dígitos binarios (4 bits = 1 nibble); por tanto, dos dígitos
hexadecimales representan ocho dígitos binarios (8 bits = 1 byte, (que como es sabido
es la unidad básica de almacenamiento de información).
Dado que nuestro sistema usual de numeración es de base decimal, y por ello sólo
disponemos de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del
alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E
= 14 y F = 15. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico
de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando
multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.

5. TABLA DE LAS UNIDADES DE MEDIDA