2. 372.7
And.
Introducción al desarrollo
del pensamiento matemático
Federación Internacional Fe y Alegría, 2005.
30 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980 6418 69-7
Matemáticas, conocimiento matemático.
2
3. “El maestro debe entender que el centro
educativo no es tanto el lugar donde él va
a enseñar, sino que es el lugar donde él va
a aprender a enseñar. La práctica y la
reflexión sobre ella es el elemento primordial
para construir el proceso de la propia
formación-transformación.”
Antonio Pérez Esclarín
3
5. 1. Introducción los centros educativos comunitarios” (Fe En definitiva, con nuestra propuesta
En las líneas que siguen, así como en y Alegría, 2002, p.23). –como trataremos de hacer ver a conti-
los sucesivos Cuadernos, vamos a Nuestra propuesta formativa va nuación– pretendemos colaborar en la
plantearnos algunas cuestiones relativas inserta en las líneas del Proyecto Latino- formación de “un educador capaz de
al desarrollo del pensamiento matemático, americano de Educadores Populares. generar procesos de cambio y transfor-
de nuestro pensamiento matemático. Pretendemos contribuir al desarrollo de mación social; reflexivo y con capacidad
Pero no se trata de un proyecto abstracto. nuestro pensamiento matemático como para potenciar el diálogo de saberes y el
Esta propuesta nace de las dificultades un modo de “potenciar un proyecto discernimiento creativo, indispensable
detectadas en los procesos de formación educativo capaz de fortalecer la realiza- para inventar y seguir inventando
de nuestros educadores, y va dirigida a ción autónoma de los educandos, de su nuevas ideas y formas de alcanzar la
los maestros y maestras que vivimos con familia y de su comunidad, para que realización de esa sociedad y de ese
ilusión y entrega los ideales educativos de puedan tomar decisiones propias y libres sujeto deseado” (ibid, p. 3).
Fe y Alegría en el ámbito latinoamericano. acerca de su destino y el de los suyos; […]
Es decir, a los que asumimos como misión de formar educadores con conocimientos,
educativa “formar a los niños, niñas, destrezas y actitudes para formar al sujeto
jóvenes y adultos de los sectores más persona, comunitario y ciudadano, capaz
empobrecidos […], en valores humano- de superar la visión estrecha que
cristianos y con el dominio de las presentan y ofrecen las empresas globa-
competencias básicas fundamentales, en lizadas de producción de cultura y de
el marco de la misión de Fe y Alegría valor” (Federación Internacional de Fe y
como movimiento de Educación Popular, Alegría, 2002, p.2).
desde la construcción y consolidación de
5
6. Continuando con la referencia al la relación existente entre la matemática Pero esta transformación no se
Proyecto Latinoamericano de Educa- y la sociedad actual. Y para iniciar este produce en un mundo equilibrado y
dores Populares, digamos finalmente análisis debemos asomarnos a esta neutro. Los fenómenos de la globalización
que nuestra propuesta se enmarca última. Castells (1994) la califica como esconden, tras su apariencia de alcance
particularmente en dos de sus dimen- sociedad informacional, concepto que universal y pretendidamente igualitario,
siones: asume e integra los calificativos de gérmenes de una nueva colonización. Los
• En la formación de herramientas y sectores nuevamente colonizados –el
actitudes para seguir aprendiendo, Cuarto Mundo, como lo califica Castells
dentro del tema generador “Compe- (1994), que incluye al Tercero y
tencias para el saber pensar”. también a vastos sectores de los
• En la formación pedagógica del propios países desarrollados– son
educador. aquellos irrelevantes para la
producción y el consumo del
Todas las consideraciones anteriores conocimiento y de la infor-
están orientadas a hacernos ver que el mación.
tema del desarrollo del pensamiento
matemático no es algo extemporáneo ni Este desarrollo contradictorio
ajeno o agregado a los proyectos y planes conduce así a la emergencia de
de nuestra formación como educadores la paradoja de la inclusión, que
populares. Nuestro tema está en el centro “se refiere al hecho de que el
de tales proyectos y planes. actual modelo de globalización de
la organización social, que esta-
Y esto es lo que vamos a hacer a blece como principio el acceso y la
continuación: reflexionar acerca del inclusión universal, también conduce
porqué de esa centralidad, de esa a una marcada exclusión de ciertos
pertinencia. Vamos a asomarnos, pues, sectores sociales”(Skovsmose y Valero,
al papel que tiene el pensamiento mate- sociedad de la información y sociedad 2002, p.386).
mático –y su construcción y desarrollo– del aprendizaje. Lo que se sostiene con
en la sociedad, en nuestra formación tales precisiones es que el impacto de la ¿Qué papel tiene la matemática en
como ciudadanos y docentes y en la tecnología –particularmente las de la este escenario? Davis y Hersh (1988) –en
formación de nuestros alumnos. información y comunicación– ha inci- un texto de sugerente título, “El sueño
dido en las estructuras culturales, econó- de Descartes: El mundo según las
2. La relación matemática - micas y políticas de nuestra sociedad. Matemáticas”– hablan de una matema-
sociedad Se instauran, además, el conocimiento tización prescriptiva presente desde la
La primera aproximación al tema se y la información como fuentes de valor y antigüedad en situaciones tales como la
centra, indudablemente, en el análisis de de poder. medida de magnitudes físicas, el esta-
6
7. blecimiento de calendarios cluye así su reporte acerca Para afrontar esta segunda paradoja,
y relojes, los sistemas de las matemáticas ante el y so pena de convertirse en cómplice de
monetarios, los planos para nuevo milenio: “Los mate- los desequilibrios que fomenta la actual
construir máquinas y edi- máticos nos planteamos globalización, la educación debe adoptar
ficaciones, etc. Pero esta dos objetivos ahora que una postura crítica. Esto significa que
incidencia se ha incremen- entramos en un nuevo debe investigar las condiciones en las
tado casi ilimitadamente milenio. El primero es el de que se adquiere el conocimiento, que
hasta nuestros tiempos y ser capaces de mantener la debe estar atenta para identificar y
ha penetrado numerosos tradicional fortaleza de evaluar los problemas que se presentan
sistemas: de calificación nuestra investigación bá- en la sociedad, y que debe convertirse
personal –cociente inte- sica, que es semillero de en una fuerza de reacción frente a tales
lectual, calificaciones esco- nuevas ideas y nuevas situaciones problemáticas (Skovsmose,
lares…–, de seguros, de aplicaciones. El segundo 1994a).
comunicaciones, moneta- es ampliar nuestro con-
rios, de consumo, de armamentos, de tacto con el mundo que está más allá de Este planteamiento coincide con el
votación, de transporte… Son sistemas la ciencia” (Griffiths, 2000, p. 41). que ya ha sido sustentado por diversos
que regulan y alteran nuestra vida y autores desde hace algún tiempo y ante
caracterizan a nuestra civilización. Y 3. La educación matemática otros fenómenos de exclusión. Así, y en
todos ellos reflejan una matematización De todo lo anterior, puede inferirse, nuestro medio latinoamericano, Paulo
prescriptiva, desconocida para la gran pues, que la matemática está en el Freire considera a la educación como
mayoría de personas. centro de la paradoja de la inclusión. práctica de la libertad (Freire, 1969,
Ahora bien, ¿qué significa esto para 1970), es decir, como una acción de
En esta misma línea, Skovsmose nosotros como docentes de matemática? conocer, una aproximación crítica a la
(1994a) suscribe también la tesis de que
la matemática tiene la capacidad de En primer lugar, debemos plantear-
moldear –“formatear”– a la sociedad, por nos el papel que debe tener la educación
ser el principio básico para el diseño de en un escenario como el descrito. Por-
la tecnología, particularmente de aquella que, de entrada, se presenta una nueva
que sustenta los sistemas de informa- paradoja, la paradoja de la ciudadanía,
ción y comunicación. que alude a que “por un lado, la educa-
ción parece dispuesta a preparar para el
Que esta ingerencia fundamental de ejercicio de una ciudadanía activa, pero
la matemática continuará en el futuro por el otro, parece garantizar la adap-
queda claro, por ejemplo, en el testimonio tación de los individuos al orden social
de P. Griffiths, Secretario de la Unión establecido” (Skovsmose y Valero, 2002,
Matemática Internacional, quien con- p.386).
7
8. realidad, pues sólo en su relación en las instituciones y en las acciones de
dialéctica con la realidad puede la la sociedad, así como en las decisiones
educación concebirse como un proceso de alcance público que nos afectan como
transformador, de constante liberación ciudadanos.
del hombre. Para ello, debe promover la
concientización, proceso que permite La educación matemática que
problematizar la realidad y percibir las planteamos se inscribe, pues, en un
restricciones que impone, con el fin de proyecto educativo que tiende a formar
dar paso a una acción transformadora. a las personas para que aprendan no
sólo a analizar críticamente su entorno,
La educación matemática debe sino también a participar en su transfor-
situarse en este ámbito crítico. mación. Para que la declaración anterior basadas en la aplicación de conceptos y
Skovsmose (1994b) –en una línea general no quede reducida a un mero discurso de procedimientos matemáticos.
ya iniciada por Freire– le asigna como de relleno, debemos destacar las dimen-
objetivo propiciar la alfabetización siones del conocer que se intenta cons- Lograr un conocimiento tecnológico
matemática de los individuos. Esto truir en el ámbito de una educación significa, pues, descubrir la matemática
significa atribuirle el propósito de formar matemática crítica. presente en los sistemas que rigen
ciudadanos críticos, mediante un empo- nuestra vida como personas y como
deramiento que permita a docentes y La primera dimensión de este grupos de ciudadanos. Sistemas que se
alumnos reorganizar y reconstruir sus conocer podría calificarse como un refieren a situaciones que van desde lo
interpretaciones relativas a las institu- conocer matemático. Nos estamos más cercano (la organización del trans-
ciones sociales. Es decir, capacitarlos refiriendo al dominio de los conceptos y porte público, el contenido de los recibos
para discutir críticamente la utilización procedimientos propios de la de servicios tales como luz, teléfono,
de la matemática en el diseño tecnoló- matemática, así como a la adquisición agua…, la formación de los precios de
gico y, por esta vía, las condiciones a que de los procesos, habilidades, destrezas las cosas, las transacciones comerciales,
se ve sometida su vida por la aplicación y competencias propios de la disciplina.
de esta tecnología.
Alcanzar este conocimiento es algo
En otras palabras, ubicarnos en el fundamental y absolutamente necesario,
contexto de una educación matemática imprescindible. Pero –contra lo que
crítica es recalcar su intencionalidad pudiera creerse– no es un fin en sí
transformadora, su estar al servicio de un mismo, sino un requisito indispensable
proyecto alfabetizador de la población, para una segunda dimensión: el conocer
que le permita a ésta comprender y tecnológico. Este tipo de conocimiento
analizar críticamente la realidad circun- se refiere al de las aplicaciones basadas
dante, el trasfondo ideológico que impera en modelos matemáticos, es decir,
8
9. la organización de los espacios públicos, conocimientos matemáticos construi- samiento matemático es la de lograr
la toma de decisiones en situaciones dos previamente. desarrollar en nosotros, docentes, y en
probabilísticas, etc.) hasta lo más nuestros alumnos –constituidos todos
sofisticado. Skovsmose (1994b) insiste en este en comunidad–, ese conocer reflexivo
tercer tipo de conocer como una especie asociado a la construcción del conoci-
Pero todavía más allá de esta dimen- de metaconocimiento acerca de la tecno- miento matemático.
sión existe una tercera, la del conocer logía, que nos permite verla en un con-
reflexivo. Este conocer se refiere a los texto más amplio, es decir, en el contexto 4. Nuestra educación
de las implicaciones sociales, ecológicas, matemática
económicas y políticas. No puede haber Una reacción lógica ante los plantea-
alfabetización matemática si no se mientos anteriores debe ser, sin duda, la
alcanza este tercer nivel del conocer, ya de preguntarnos por dónde andamos
que las competencias matemática y nosotros. Es decir, si la concepción que
tecnológica no poseen de suyo la tenemos de la matemática, y la praxis de
capacidad de predecir y de analizar los su enseñanza, se ajustan a la perspec-
resultados de su propia producción. tiva de una educación matemática crítica
concebida en los términos propuestos.
Definitivamente, la consecución de Porque, ante el reto de exigirnos un
esta dimensión del conocer reflexivo es desarrollo del pensamiento matemático
la que de verdad nos posibilita, plena y dentro de los lineamientos presentados,
acertadamente, la participación en la necesitamos tomar en cuenta la situación
transformación de nuestro entorno, ya en que se halla la construcción del
que es la que nos permite alcanzar un pensamiento matemático en nosotros, los
nivel de concientización acerca de la docentes, y en nuestros alumnos.
realidad –por la vía de su problematiza-
ción, como lo sugería Freire–, paso Aunque sea difícil generalizar, se
aspectos sociológicos y éticos inhe- previo y necesario para intentar su puede afirmar que todos tenemos una
rentes a los objetivos y a la forma en que transformación. Pero, a su vez, el cono- idea bastante aproximada de la situa-
se maneja esa tecnología basada en cer reflexivo no tiene ningún sentido si ción, recogida de diversas evaluaciones
modelos matemáticos. Desarrollar el no puede referirse a los dos anteriores. hechas al respecto. He aquí algunos de
conocer reflexivo significa fomentar la Simplemente, porque no puede cons- sus trazos más destacados:
capacidad para descubrir y analizar truirse cabalmente sin los cimientos de
críticamente las estructuras tecnológi- los conoceres matemático y tecnológico. • Una concepción negativa acerca de
cas y formales que actúan dentro de la la matemática, considerada como un
sociedad, utilizando, justamente para En resumen, la propuesta funda- área excluyente y discriminadora,
ese descubrimiento y ese análisis, los mental de construir un verdadero pen- accesible a unos pocos privilegiados.
9
10. • Un aprendizaje de la matemática
caracterizado como mecánico, repe-
titivo, memorístico, alejado del
desarrollo de procesos y de la reso-
lución de problemas, carente de
significado y, en buena medida,
desconectado de la vida.
• Ausencia, en la planificación de la
enseñanza de la matemática, de las
dimensiones relativas a las aplica-
ciones de la matemática y a la refle-
xión acerca de su uso en la resolu-
ción de los problemas humanos.
• Una planificación por proyectos • Falta de comprensión de la eva- lezas que debilidades. Las situaciones
e duc at ivo s – c u a ndo e x i s t e – luación como un acompañamiento concretas deben ser muy diversas. Pero
insuficientemente desarrollada, y en el proceso de formación mate- lo que sí es cierto es que tales síntomas
enfrentada a la profundización de los mática de los estudiantes. se hallan presentes en muchas de
conocimientos matemáticos. nuestras escuelas. De todos modos,
• Desconocimiento de suficientes queda abierta la reflexión y la discusión
• Una falta de desarrollo, en docentes experiencias exitosas en el campo acerca de la situación que se presenta
y alumnos, de factores afectivos y de la enseñanza de la matemática aquí, en mi escuela, y en las redes de
actitudinales positivos hacia la que puedan servir como referentes escuelas afines a la mía…
matemática y hacia su aprendizaje. para el trabajo propio.
Pero la idea no es pintar un pano-
• En el saber y hacer de los docentes, • Dotación insuficiente de recursos rama tan sombrío que sólo pueda
una mecanización y falta de refle- bibliográficos y didácticos. llevarnos al desaliento y a la inacción.
xión en relación con su trabajo en el Todo lo contrario. Se trata de tocar piso,
área, así como poco dominio de los Es muy probable que no todos de saber de dónde arrancamos… y de
contenidos y de la didáctica de la nuestros centros presenten la totalidad avanzar hacia la meta de una construc-
matemática. de estos síntomas y que, incluso, en ción del pensamiento matemático que
algunas de las áreas indicadas –apren- nos deje realmente satisfechos, a la luz
• Ausencia de la resolución de proble- dizaje en el aula, motivación, praxis de los planteamientos de una educación
mas como vía primordial para desa- docente, planificación, recursos docen- matemática crítica.
rrollar el conocimiento matemático. tes, evaluación…– existan más forta-
10
11. ¿Cuál puede ser el punto de partida Así que nos tomamos nuestro tiem- ¿Cuál de estos números es mayor:
para el avance hacia esta meta? Antes po, y adelante. 266, 344, 533?
de intentar contestar esta pregunta clave
–y para que no todo sean caras serias en ¿Qué número es mayor: 14 decenas o ¿Cuántas centenas tiene el número
plan de reflexión– vamos a proponer 1.395 décimas? 4.384,109?
algunas cuestiones y preguntas acerca
de temas matemáticos, junto con la ¿Un triángulo puede ser, simultánea- Cuando alguna(s) cifra(s) del minuen-
invitación para intentar resolverlas. A lo mente, isósceles y obtusángulo? do es(son) menor(es) que su(s) corres-
mejor, además de saber formular sus pondiente(s) del sustraendo, ¿hay alguna
respuestas, podemos llegar a percibir qué ¿Por qué número se ha multiplicado 43,7 otra forma de realizar la resta que no
relación tiene el hecho de saber resolver para obtener como resultado 0,437? sea la de “quitar prestada” una unidad a
cuestiones matemáticas con la pregunta la cifra de la izquierda en el minuendo?
relativa a cuál es el punto de partida para ¿Cómo se clasifican los paralelogra-
mejorar nuestra situación en cuanto a la mos, tomando como criterio sus ¿Existe alguna fracción entre 7/9 y 8/9?
construcción del pensamiento matemá- diagonales?
tico en nuestros centros… ¿Por qué se llama numerador al número
¿Podemos sumar, restar y multiplicar de que se encuentra en la parte superior
5. Un poco de ejercitación izquierda a derecha? ¿Por qué? y denominador al que se encuentra en
previa la parte inferior de una fracción?
Y una sugerencia que consideramos ¿Cuál es el resto de dividir 2.003156
muy pertinente. No nos limitemos al entre 5? ¿Puedo construir un conjunto de 20 datos
intento de resolver estas cuestiones enteros cuya media aritmética sea 13,
aplicando nuestros conocimientos ¿Por qué, para obtener el m.c.d. o el m.c.m. su mediana 15 y su moda 9?
matemáticos… y ya. Es muy importante de dos números, debemos descomponer
que vayamos tomando conciencia del previamente cada uno de ellos en sus ¿Cuál es la probabilidad de que, al
proceso que seguimos para su resolución, factores primos? ¿Será que no hay otro lanzar dos dados seguidos, la diferencia
paso a paso, así como de los elementos procedimiento para obtenerlos? entre los puntos del primero menos
–cognitivos, actitudinales, emociona- los del segundo sea al menos 2?
les…– que se presenten en dicho proceso. ¿De cuántas maneras soy capaz de
Como recalcaremos posteriormente, ésa realizar mentalmente la multiplicación ¿Por qué, al sumar dos fracciones, se
es la forma de “estudiar matemática” 16 x 25? multiplican en cruz numeradores y
propia de un docente, que siempre piensa denominadores, y luego se suman esos
en cómo se desenvolverían sus alumnos a ¿Qué fracción de una cantidad total productos para obtener el numerador de
la hora de afrontar estas mismas tareas…, es la mitad de los dos tercios de los la fracción suma? ¿Y cómo se hace si se
para poder entenderlos a partir de la propia tres cuartos de dicha cantidad? trata de sumar tres o más fracciones?
experiencia como “estudiante”.
11
12. ¿Qué se obtiene cuando a la suma de dice, finalmente, nuestra recién vivida problematizador y creativo. Y también
dos números se le agrega su diferen- experiencia de resolver los ejercicios su valor cultural, como disciplina clave
cia? ¿Y si a esa suma se le resta su anteriores? en la aventura del desarrollo del conoci-
diferencia? ¿Qué conclusiones pode- miento de la humanidad a lo largo de su
mos sacar de estos dos resultados? Probablemente, la respuesta será historia.
casi unánime: Necesito profundizar en
¿Soy capaz de estimar (dar el valor mis conocimientos matemáticos, nece- Pero una de las razones fundamen-
aproximado de) el cociente de la división sito tener seguridad en mi desempeño tales que debe impulsarnos a su apren-
0,00125 : 391? matemático: no puedo dar lo que no dizaje es la percepción de su carácter
tengo… esencial para constituirnos –nosotros y
nuestros alumnos– en ciudadanos
6. ¡A estudiar matemática…! Tenemos que “estudiar” matemá- críticos y participativos en la transfor-
Bien. Esperamos que la ejercitación tica, mantener permanentemente mación de nuestro entorno, por las
anterior haya sido productiva, que nos abierta la puerta de la formación en razones esgrimidas anteriormente.
haya hecho reflexionar acerca de nues- esta área del conocimiento, en esta
tras fortalezas y debilidades en el forma de pensamiento. Este es el punto En este sentido, la construcción del
terreno de nuestros conocimientos de partida. Insuficiente, como todo pensamiento matemático resulta
matemáticos y acerca de cómo presen- punto de partida. Pero absolutamente insustituible para nosotros y para
tamos estos temas a nuestros alumnos. necesario. nuestros alumnos. La ausencia de este
Y que nos hayamos tomado un descan- pensamiento no puede ser llenada por
sito antes de proseguir… Ahora, vamos Las razones que avalan este plan- ninguna otra presencia. Al igual que
a intentar responder a la pregunta que teamiento son diversas y alcanzan tanto entendemos que la alfabetización
nos quedó pendiente antes de la ejerci- el ámbito de lo estrictamente individual –referida al campo del manejo básico
tación matemática. como de lo colectivo. Es decir, tienen de la lectura y de la escritura– es
que ver con la esfera de la formación fundamento imprescindible para la
¿Cuál puede ser el punto de partida personal y con la que nos atañe como formación integral de una persona y
para el avance hacia la meta de una educadores, como responsables de la para posibilitar su participación y su
construcción del pensamiento matemá- formación de nuestros alumnos y de la aporte en la vida social y cultural,
tico que nos deje realmente satisfechos, transformación de nuestro entorno debemos comprender que la alfabeti-
a la luz de los planteamientos de una comunitario. zación matemática es igualmente
educación matemática crítica? Para imprescindible. Y que ambas alfabeti-
llegar a su respuesta, tratemos de En este orden de ideas, tenemos que zaciones –en el lenguaje y en lo mate-
contestar a estas otras preguntas: ¿Qué recalcar el valor formativo que posee la mático– llaman a progresivas capaci-
nos dice nuestra doble experiencia matemática, y su estudio, como forja- taciones a lo largo de la vida.
como “estudiantes” de matemática y dora de un pensamiento racional, sis-
como docentes de la misma? ¿Qué nos temático, lógico y, a la vez, indagador,
12
13. 7. Pero, ¿cómo es la única forma posible de presentación es separada del contexto histórico y social
matemática, el pensamiento mediante expresiones formalizadas, en que se elabora. Y, como construcción
matemático, que hay que fruto de un razonamiento deductivo humana, también es falible.
construir? impecable, y en la que sólo a los grandes
matemáticos (cuyo trabajo casi nadie Verla de esta forma, como un proceso
7.1. La concepción conoce ni entiende) les es permitido y no como un producto elaborado y formal
de la matemática inventar, ensayar y construir. que hay que transmitir, es determinante
Pregunta muy pertinente, porque la para entender la matemática y para
matemática es una vieja amiga –o trabajarla en el aula. Es considerarla como
“enemiga”… – en el devenir de nuestra una forma de pensamiento abierto, con
experiencia como estudiantes y como margen para la creatividad y el pensa-
docentes. Por eso es muy importante miento divergente, que tiene su modo
saber qué pensamos de la matemática peculiar de integrar valores, hábitos,
como disciplina, porque este pensa- formas de razonamiento y expresión, y
miento va a ser clave para determinar procesos tales como disciplina mental,
lo que sentiremos acerca de su aprendi- racionalidad, habilidad para resolver
zaje y de su enseñanza. Y sobre esto va problemas, desarrollo de la intuición, de
a versar nuestra primera reflexión. la memoria, de la transferencia, de la
solidaridad… Es ver la matemática como
Probablemente tenemos catalogada Una matemática de esta natura- oficio y no como lección. Es entender que
a la matemática como una de las áreas leza, ya hecha, intocable, lógicamente lo que hacemos con nuestros alumnos
de estudio más desagradables y difíciles. debería transmitirse de la misma puede parecerse a ese proceso de
Claro que éste es un juicio derivado de forma en que se recibe, so pena de construcción histórica de los conoci-
la experiencia de haber sido (o de ser traicionarla y desfigurarla. La didác- mientos matemáticos.
todavía) estudiantes de matemática y de tica de la matemática que se deriva
ser (con mayor o menor éxito) docentes de aquí es simple: el docente debe ser Quizás esta reflexión de entrada nos
de la misma; pero quizá no nos damos un expositor del contenido matemá- pueda resultar, en primer lugar, dolorosa,
cuenta de que una de las barreras que tico; y el alumno, un sujeto repetidor al percibir la distancia a la que nos
nos separan de esta disciplina, de su de lo recibido. encontramos, no sólo de la matemática,
aprendizaje y de su enseñanza, es, sino también de esta forma de percibirla
precisamente, este tipo de opinión Pues bien, este enfoque debe ser como oficio. Distancia hecha, probable-
negativa. cuestionado. La matemática es fruto de mente, de muchas experiencias perso-
un proceso de construcción humana nales negativas, de muchos desencuen-
Quizá estamos viendo la matemática como respuesta a la tarea de resolver tros. No podemos eludir esta impresión:
como una ciencia abstracta y estática, problemas y, como tal, fruto de un que éste sea nuestro punto de partida.
basada en fundamentos absolutos, cuya proceso cultural, imposible de ser Pero tenemos que estar claros en que
13
14. nuestra andadura como docentes en que me la están presentando ahora, Diversidad en los sistemas de
arranca con la disposición para ver la necesito tener con ella un encuentro representación de un concepto
matemática, para encontrarnos con ella, distinto. Necesito verla y que me la Sea el caso de las fracciones. Su
para construirla, de otra manera. Porque presenten de otra forma, porque si no, concepto se refiere a que tomamos un
así será la “manera” en que afrontaremos todo será de nuevo lo mismo y la frus- todo o unidad, lo dividimos en n partes
su aprendizaje en lo personal y su tración será mayor. iguales, y de ellas consideramos m
enseñanza en el aula. partes. Así, tenemos la fracción m/n.
Para allá vamos (no hacia la frus- Algunas veces, esta conceptualización
Pero, por otro lado y a pesar de todo, tración, sino a intentar mostrar la suele hacerse con representaciones
probablemente seguimos pensando en matemática de otra forma…). distintas, tales como “tenemos un pastel,
que las reflexiones anteriores no resuel- o una fruta, o una lámina de papel, que
ven el problema de: 7.2. Matemática, dividimos en…”, proposición que suele
unidad en la diversidad plasmarse gráficamente en algo que
Generalmente, pensamos que en llamamos sistema “parte-todo continuo”:
matemática hay caminos únicos para un rectángulo (u otra figura geométrica)
hacer las cosas. Así nos lo han ense- dividido en n partes interiores congruen-
ñado… y así lo enseñamos… y así lo tes, de las cuales rayamos m partes.
aprenden nuestros alumnos: “La maes-
tra nos dijo que esto se hace de esta Pero, habitualmente, para todas las
forma” es argumento concluyente para tareas posteriores propuestas en el
cerrar el paso a otra vía alternativa. campo de las fracciones –comparación u
ordenamiento, equivalencia, operaciones
Pero esto no es así. No lo ha sido aritméticas, pequeños problemas de
nunca en la historia de la matemática. aplicación–, acudimos al sistema de
Hay unidad en la disciplina, pero mu- representación m/n. De hecho, ¿alguna
chas maneras de llegar. ¿Qué significa vez aprendimos –o enseñamos– a sumar
esto en concreto? Significa que pueden fracciones en el sistema de representa-
existir diversos sistemas para repre- ción parte-todo continuo?
sentar un concepto, diversos procedi-
mientos o algoritmos para hacer ope- Manejar un solo sistema de repre-
raciones, diversas formas de resolver un sentación de las fracciones no es sólo
mismo problema, diversas vías para un error didáctico; es, sobre todo, una
demostrar una proposición matemática. carencia de conocimiento matemático.
Veamos esto con algunos ejemplos. Porque resulta que el concepto de
Y es verdad. Para que yo pueda ver fracción puede ser representado en
la matemática y su estudio de la forma diversos sistemas:
14
15. • como número de la forma m/n; por ran que una persona llega a dominar un Habitualmente, suele procederse a
ejemplo: 2/5 concepto matemático sólo cuando es descomponer ambos números en sus
capaz de: factores primos; luego se toman los
• como número decimal; por ejemplo: factores comunes con su menor
0,4 • identificarlo en cualquiera de sus exponente. Esta es la “regla”, cuya
posibles sistemas de representación; justificación rara vez se da, lo que genera
• como expresión verbal; por ejemplo: • representarlo en todos ellos; que su soporte fundamental sea la
“las dos quintas partes de” • saber pasarlo –“traducirlo”– de cada memoria, sometida al riesgo de no
sistema a todos los demás. confundirse con el caso de la regla para
• como un gráfico parte-todo continuo; el mínimo común múltiplo, “lamentable-
por ejemplo: En el caso que nos ocupa, si una mente” tan parecida…
persona no posee la capacidad de
XXX XXX afrontar estas tareas con solvencia, no Pero, aun cuando se justifique el
puede decirse que domine el concepto procedimiento anterior –y a ello
• como un gráfico parte-todo discreto; de fracción. ¿Podemos asegurar que volveremos posteriormente–, no
por ejemplo, la parte del total de dominamos el concepto de fracción? debemos obviar otras formas de proceder
figuras que representa el número de ¿Esto es lo que aprendí de ese con- igualmente válidas. He aquí algunas.
▲ en el conjunto cepto? ¿Esto es lo que he enseñado
posteriormente a mis alumnos? Si recurrimos al concepto de “máxi-
mo común divisor” como el mayor de los
✵ ▲
Cerremos de momento este punto divisores comunes de ambos números,
▲ ✵
ratificando la importancia de conocer y encontramos en este breve enunciado un
✵ manejar con solvencia los distintos procedimiento sencillo y directo para su
sistemas de representación de un búsqueda:
• como un punto en la recta numérica; concepto matemático. Y reconociendo
por ejemplo: que esta diversidad está inserta en la • hallamos los divisores de ambos
misma matemática que intentamos números.
aprender y enseñar. • detectamos los que son comunes.
0 1/5 2/5 3/5 4/5 1 • seleccionamos el mayor de estos
Diversidad en los procedimientos divisores comunes.
• como un porcentaje; por ejemplo: operacionales
40% Pasemos ahora al punto de la di- Por ejemplo, para hallar m.c.d. (36, 54):
versidad en los procedimientos o al-
Esta diversidad en los sistemas de goritmos operacionales. Vamos, por • D(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}
representación de un concepto es algo ejemplo, al caso del cálculo del máximo D(54) = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54}
tan importante, que los autores conside- común divisor de dos números enteros.
15
16. • Divisores comunes: 1, 2, 3, 6, 9, 18 alcance –y al de nuestros alumnos…– oportunidad de resolverlos de todas las
para hallar el máximo común divisor de formas posibles a nuestro alcance.
• El mayor de los divisores comunes: dos números enteros. Dominar este tema
18 supone, pues, conocer los diversos pro- Esta oportunidad puede presentarse
cedimientos operativos y saber utili- en planteamientos muy sencillos. Por
Este procedimiento puede ser muy zarlos, así como tener la capacidad de ejemplo, sea la siguiente situación: La
útil y no requiere sino recordar el propio discernir cuál es el que mejor puede maestra da, a cada uno de los seis niños
concepto de máximo común divisor de servirme en un caso concreto. de la primera fila del salón, un paquete
dos números enteros. Y puede tener una que contiene tres libros de lectura. Los
variante más sencilla para quienes Diversidad en las formas libros son diferentes, pero en cada
están habituados a operar mentalmente de resolución de un problema paquete hay uno de 50 páginas, otro de
(que deberíamos ser todos…). Veamos. 35 y otro de 30. ¿Cuántas páginas van a
leer entre los seis niños de la primera fila?
Basta con referirse a los divisores del
menor de los dos números dados, 36 en Una forma de llegar a la respuesta
el ejemplo anterior. Estos divisores se puede ser la de calcular el número de
ordenan de mayor a menor: 36, 18, 12, páginas que va a leer cada niño, es
9,… Y se inicia una indagatoria pro- decir, que contiene cada paquete de
gresiva con ellos, preguntando si cada libros (50 + 35 + 30 = 115), y luego
divisor considerado divide al otro multiplicar por 6 el resultado anterior
número, a 54 en este caso. Así, ¿36 (115 x 6 = 690). Pero también puede
divide a 54? La respuesta es no, y se optarse por calcular cuántas páginas
pasa al siguiente divisor: ¿18 divide a van a leer los 6 niños en cada tipo de
54? La respuesta es sí, con lo que ya libro (6 x 50 = 300; 6 x 35 = 210; 6 x 30
llegamos a obtener m.c.d. (36, 54). En Nos referimos aquí a problemas = 180), y luego sumar estos totales
efecto, hemos hallado el mayor de los matemáticos similares a los que pueden parciales (300 + 210 + 180 = 690).
divisores comunes. tener cabida en el aula. Muchos de ellos
suelen ser muy sencillos y más bien Lo que importa, como actitud, es no
Hay otro procedimiento, reconocido representan situaciones apropiadas para dar por concluida la actividad de resolver
como el algoritmo de Euclides, que aplicar modelos matemáticos –opera- un problema sólo porque ya se llegó a la
también puede utilizarse con el mismo ciones aritméticas, reglas, construc- respuesta. Obtenida ésta y verificado su
propósito, sobre todo en el caso de ciones y fórmulas geométricas, algorit- carácter de correcta, la actividad de
números enteros relativamente grandes. mos estadísticos…–, una vez discernido resolución del problema continúa con la
No vamos a insistir en él ahora. Pero sí, el sentido del problema y justificada y búsqueda de otras posibles formas de
dejar constancia de la existencia de al planificada la forma de buscar su resolverlo. Y si conseguimos alguna(s),
menos cuatro procedimientos a nuestro solución. Pero no debemos dejar pasar la resulta interesante –e imprescindible–
16
17. averiguar la razón de la convergencia de temporales planteadas en el enunciado, De donde se llega a la ecuación:
esas diversas formas en la misma se identifican las dos incógnitas:
respuesta. 4 (R – 5) = 2 (R + 1)
Sea J la edad actual de Juan
Por ejemplo, en el caso anterior, las Sea R la edad actual de Roberto Pero existe otro planteamiento (mo-
dos formas de resolución del problema delo) de carácter aritmético, inducido
convergen en la misma respuesta por- Se escriben las ecuaciones corres- por las características atribuidas en el
que se ajustan a la siguiente identidad pondientes: enunciado a los números que represen-
matemática: tan a ambas edades: La edad actual de
J – 5 = 5 (R – 5) Juan es un múltiplo de 5 (¿por qué?) y la
6 x (50 + 35+ 30) = 6 x 50 + 6 x 35 + 6 J + 1 = 3 (R + 1) edad que tendrá dentro de 1 año será
x 30 múltiplo de 3 (¿por qué?). De la conside-
La resolución de este sistema nos ración conjunta de ambas condiciones
Identidad que corresponde a la lleva al resultado solicitado. (J múltiplo de 5, y J + 1 múltiplo de 3) se
propiedad distributiva de la multipli- obtiene un conjunto de posibles valores
cación con respecto a la suma. La pri- Pero existe otra instancia de modeli- de J: {5, 20, 35, 50, 65,...}. El ensayo de
mera vía de resolución llegaba a la zación, también de carácter algebraico. estos valores, uno por uno, conducirá a
respuesta por la operación del miembro Si observamos que la diferencia entre las la respuesta deseada.
izquierdo de la identidad, mientras que edades de Juan y Roberto es constante
la segunda vía lo hacía por la operación en el tiempo, podemos igualar las Como puede apreciarse, el intento
de su miembro derecho. expresiones que nos reflejan dicha de resolución de este problema nos ha
diferencia en los dos instantes de tiempo llevado a encontrar modelos y vías
A veces, esta diversidad de formas de a los que se alude en el enunciado: significativamente diferentes, dos en el
afrontar y de resolver un problema tiene terreno de lo algebraico y uno en el de
que ver, incluso, con modelos tomados de • Edad de Roberto hace 5 años: R – 5 lo aritmético. Cada uno de ellos tiene
distintos campos de la matemática: • Edad de Juan hace 5 años sentido, y los tres nos llevan a la misma
aritmética, álgebra, geometría… Véase (5 veces la de Roberto): 5 (R – 5) respuesta.
el siguiente ejemplo, un poco más compli- • Diferencia hace 5 años:
cado: Hace cinco años la edad de Juan 5 (R – 5) – (R – 5) = 4 (R – 5) En otras oportunidades, un ejercicio
era cinco veces mayor que la de su hijo o problema bien definido y referido a un
Roberto. El año que viene será el triple. • Edad de Roberto dentro de 1 año: contenido matemático preciso puede,
¿Cuántos años tienen actualmente? R+1 sin embargo, ser susceptible de más de
• Edad de Juan dentro de 1 año una forma de resolución según sea el
La resolución habitual de este pro- (3 veces la de Roberto): 3 (R + 1) sistema de representación que se adopte
blema se plantea en el terreno alge- • Diferencia dentro de 1 año: para el concepto a que hace referencia
braico: Considerando las dos situaciones 3 (R + 1) – (R + 1) = 2 (R + 1) el contenido en cuestión. Veamos, por
17
18. ejemplo, esta cuestión, planteada en la Y con respecto a esta nueva tota- Seguramente nos estaremos pregun-
ejercitación anterior: ¿Qué fracción de una lidad, sus dos tercios vienen repre- tando: ¿y cómo se hace en el sistema de
cantidad total es la mitad de los dos ter- sentados así: siempre, en el de las fracciones de la
cios de los tres cuartos de dicha cantidad? forma m/n? Obsérvese que aquí las
fracciones actúan como operadores,
Evidentemente, estamos en el como indicativos de lo que hay que
terreno de las fracciones. El enunciado Finalmente, la mitad de esta tota- hacer. Por ejemplo, tomar los 3/4 de la
relata un proceso temporal. Primero, lidad viene a ser la siguiente región: cantidad inicial significa que a la unidad
tengo la cantidad total. De ella, consi- inicial hay que dividirla entre 4 y luego
deramos sus tres cuartos. De esta nueva multiplicar ese resultado por 3. Esto
totalidad, sus dos tercios. Y finalmente, equivale a multiplicar 1 por 3/4. Al
la mitad de lo obtenido hasta aquí. ¿Qué De donde se puede inferir que la resultado de esta operación, 3/4, hay que
fracción de la cantidad inicial representa porción final equivale a un cuarto de la multiplicarlo ahora por 2/3 (3/4 x 2/3 =
esa porción final? Para obtenerla, vamos totalidad inicial. 6/12 = 1/2). Finalmente, este último
a trabajar en el terreno de las fracciones. resultado debe multiplicarse por 1/2, con
Ahora bien, si nos situamos en el lo que se llega (1/2 x 1/2 = 1/4) a la
Pero, como ya dijimos, el concepto sistema parte-todo discreto, podemos relación final, 1/4 de la cantidad inicial.
de fracción admite diversos sistemas de considerar un conjunto de determinado
representación. Es muy probable, pues, número de elementos. Este número total La revisión de estos ejemplos nos está
que haya más de una vía de resolución, de elementos puede ser cualquiera; pero, llevando seguramente a la conclusión
en función del sistema considerado. en razón de que en el enunciado se habla planteada anteriormente: puede haber
de mitades, cuartas y terceras partes, más de una manera de resolver un pro-
Si nos ubicamos, por ejemplo, en el parece adecuado y preferible considerar blema matemático, bien sea porque
sistema parte-todo continuo, la totalidad ese total como un múltiplo común de 2, podemos referirlo a modelos de distintos
se nos presenta como una región que, 3 y 4; por ejemplo, 24. campos de la matemática, bien porque
en atención a lo que sigue, mostramos podemos situarnos en diferentes siste-
dividida en 4 partes congruentes: Sigamos ahora el proceso del pro- mas de representación de un concepto,
blema. Las tres cuartas partes de 24 o bien porque podemos basarnos en
son 18; los dos tercios de 18 son 12; y propiedades y relaciones que nos per-
la mitad de 12 es 6. Este valor final miten una mayor libertad de acción. Lo
Si tomamos las tres cuartas partes equivale a la cuarta parte de la importante es recordar que con la llegada
de la totalidad inicial, llegamos a la cantidad inicial, 24. Puede tomarse a la respuesta del problema y su corres-
siguiente región: cualquier otro valor inicial y, lógica- pondiente verificación no se termina la
mente, cambiarán los valores interme- resolución del mismo: siempre tendre-
dios, pero la relación final será siempre mos que hacer el esfuerzo de intentar
la de 1/4. otras vías de solución.
18
19. En conclusión: diversidad ciones. Todo en ella está relacionado de ca…–. Y es también muy probable que
Ya hemos hablado de la diversidad algún modo. No hay cosas que queden hayamos trasladado este estereotipo de
que ofrece la matemática, tanto en la re- aisladas, guindando solas. Así ocurre, aprendizaje a nuestra enseñanza de la
presentación de los conceptos y en los por ejemplo, con las operaciones matemática en el aula.
procedimientos operativos, como en la re- aritméticas definidas para los números
solución de problemas. Igualmente po- enteros. Adición y sustracción son dos Ejemplos de esta situación son, entre
dríamos hacerlo en lo relativo a la demos- operaciones opuestas. Lo mismo ocurre otros, las consignas de “ordena y suma”
tración de proposiciones matemáticas, con la multiplicación y la división. Por para proceder a la adición de cantidades;
aunque de momento obviaremos este otro lado, la multiplicación de enteros el “multiplicar en cruz” para sumar dos
punto. puede considerarse como una suma fracciones, o para compararlas, o para
repetida. Y análogamente, la división dividirlas; el “descomponer en factores
Una cosa debe quedarnos clara: la como una sustracción repetida, en la primos y tomar los comunes con el menor
matemática es fuente de diversidad en sí que el cociente indica el máximo núme- exponente” para calcular el máximo
misma, y así debemos entenderla… y ro de veces que se puede restar el común divisor de dos números; la norma
abordarla. Y, posteriormente, trabajarla divisor del dividendo, hasta que quede inefable de que “lo que está sumando
con nuestros alumnos. El desarrollo de un resto menor que el divisor. pasa restando...” a la hora de resolver
nuestro pensamiento matemático pasa ecuaciones. Y otros muchos ejemplos
necesariamente por la adquisición de esa Esta es la forma de ir construyendo que todos podríamos agregar, en los que
perspectiva de diversidad. De esta forma, el pensamiento matemático: relacionan- no se dice –o no se sabe– el porqué de
podemos generar efectos transversales en do lo nuevo con lo anterior y no constru- tales reglas.
nuestro aprendizaje: desarrollo del lengua- yendo compartimentos estancos, en los
je, puesto que partimos de diversas repre- que los conocimientos matemáticos Retomando el ejemplo del cálculo del
sentaciones conceptuales; desarrollo de queden aislados unos de otros. Sólo máximo común divisor de dos números
procesos de pensamiento, tanto cogniti- mediante el establecimiento de estas enteros, sin duda nos debe llamar la
vos como metacognitivos, pues –entre relaciones puede dotarse de pleno senti- atención la sencillez de los procedimien-
otras cosas– la diversidad nos obliga a do a los conceptos y a los procedi- tos segundo y tercero –propuestos más
establecer conjeturas, a tomar decisiones mientos operativos. arriba– en comparación con el habitual
y a controlar los efectos de estas últimas; de descomponer en factores primos y
desarrollo de múltiples valores, incluido el Un caso particular que nos interesa tomar los comunes con el menor expo-
del ejercicio de la libertad, al presentár- destacar es, justamente, el de la relación nente. Esta disparidad se debe a que
senos opciones concretas para elegir… necesaria entre conceptos y procedi- este último procedimiento está más
mientos. Es muy probable que estemos “alejado” del concepto de máximo co-
7.3. Matemática, manejando algunos algoritmos de una mún divisor como el mayor de los di-
ciencia de relaciones forma mecánica, memorística, cuya visores comunes, y a que habitualmente
Se ha dicho que la matemática es explicación y justificación no domine- no suele explicarse el nexo existente
fundamentalmente una ciencia de rela- mos –y que quizá no entendimos nun- entre ambos, concepto y procedimiento.
19
20. De esta forma, ambos pierden su sig- porqué de los procedimientos matemá- propias de establecer relaciones y de
nificado y quedan aislados, refugiados ticos que utilizamos personalmente y en resolver problemas en nuestra vida.
en la sola memoria. el aula.
Plantearse, así, una matemática en
Para culminar este punto, no está de 7.4. Una matemática la vida, significa además reconocer y
sobra añadir el efecto multiplicador –en inserta en la cultura legitimar aquellos conocimientos, par-
cuanto a la comprensión de las ideas de cada sociedad ticularmente los procedimentales, que
matemáticas y a su profundización– Es cierto que la matemática cons- a veces utilizamos aun cuando desco-
que tiene el establecimiento de una tituye un campo disciplinar universal, nozcamos su fundamento matemático
sólida relación entre conceptos y compartido por personas de todos los o no sepamos cómo explicarlo. Ejemplo
procedimientos cuando esta relación se países y culturas. Este es un hecho de esta última situación puede ser el
formula en un contexto de diversidad, innegable. Matemáticos de muy diver- efectuar las sustracciones, no por la vía
tanto en la representación conceptual sas partes del mundo conocen sus tra- del “quitar prestado”, cuando se trata de
como en la operatividad procedimental. bajos respectivos, a veces estudian los restas “con dificultad”, sino por la vía del
En estas circunstancias, no es difícil mismos temas e, incluso en ocasiones, “dar un vuelto”, tal como lo hacen los
imaginarse la potencia que adquiere la llegan simultáneamente a los mismos buhoneros, procedimiento que resulta
construcción del pensamiento matemá- resultados. Aún más, es la comunidad más sencillo y práctico. Otro caso puede
tico, tanto en nosotros como en nuestros matemática mundial la que sirve de juez ser el del cálculo mental, o el de la es-
alumnos. para validar los trabajos y las conclusio- timación, con su diversidad de modos
nes a las que llegan los colegas indivi- de hacer. En todos estos casos debemos
Tenemos ya, pues, dos caracterís- dualmente o en grupo. valorar y develar la carga matemática
ticas de este pensamiento matemático subyacente.
que pretendemos construir en nosotros Pero este no es todo el campo de
mismos: un pensamiento abierto a la existencia de la matemática. Porque ella Otro punto a destacar, en referencia
diversidad, y en el que los procedimien- posee una vertiente de aplicación hacia a una matemática en la vida, es el del
tos están íntimamente ligados a los otras ciencias y, en particular, hacia la lenguaje. La universalidad de la mate-
conceptos y hallan en ellos su signifi- vida. Esto significa que, al abordarla mática como forma de pensamiento
cado pleno. De esta forma podemos individualmente o con nuestros alum- exige la utilización de un lenguaje pre-
lograr una construcción eficiente del nos, debemos tomar en cuenta los con- ciso, con una sintaxis rigurosa, que hay
conocer matemático, requisito básico textos que nos son próximos, tanto para que conocer y asimilar. De hecho,
–recordémoslo una vez más– e indis- buscar en ellos las situaciones a mode- muchos autores consideran la matemá-
pensable para alcanzar las dimensiones lizar matemáticamente, como para en- tica como un lenguaje.
tecnológica y reflexiva que constituyen, contrar aquellas que sirvan de aplica-
escalonadamente, el objetivo de nuestra ción a los conocimientos adquiridos. Del Adquirir ese lenguaje formal es una
propuesta. Entre otras cosas, porque mismo modo, significa aceptar en meta del aprendizaje de la matemática,
nos habituaríamos a preguntarnos el nuestro aprendizaje nuestras formas a todos los niveles. Pero eso no significa
20
21. que la rigurosidad de su uso deba ser la Muy bien. Hemos hablado de la ne- enseñamos en el aula, además de
misma en todos los niveles, ni que el cesidad de construir el conocer mate- reflexionar acerca de cómo nuestro
lenguaje formal deba ser necesaria- mático como punto de partida indispen- conocer limita y condiciona nuestro
mente el lenguaje de partida. La impo- sable para desarrollar nuestro pensa- trabajo docente. De esta forma,
sición desencarnada del lenguaje mate- miento matemático y el de nuestros integrar nuestra práctica docente en
mático formal, sin ir acompañada por la alumnos, en el marco de una educación nuestro estudio.
respectiva formación de significado, matemática crítica. Hemos planteado
acentuaría nuestros niveles de depen- una matemática abierta a la diversidad, • Como complemento a lo anterior,
dencia. que establece una red de relaciones construir el conocer de cada tópico
entre conceptos y procedimientos, y que matemático pensando en cómo lo
En consecuencia, es muy impor- también se manifiesta en cada cultura podemos llevar al aula. Para ello,
tante poder utilizar nuestro lenguaje según formas propias… tomar conciencia del proceso que
corriente, poder “dialogar” –entre seguimos para su construcción,
nosotros o entre los propios alumnos– a Vamos a estudiar esta matemática. paso a paso, así como de los elemen-
la hora de estudiar la matemática, Pero no lo vamos a hacer como si fué- tos –cognitivos, actitudinales, emo-
hacerlo en pequeños grupos y permi- ramos simplemente unos alumnos que cionales…– que se presenten en
tirnos expresar nuestras ideas matemá- posteriormente van a ser evaluados, y dicho proceso. Porque, a partir de
ticas con nuestras propias palabras. Y ya. No. Nosotros somos docentes –do- esta experiencia reflexiva como
hacia esta meta debe tender también la centes de matemática en su momento– estudiantes, podremos entender y
exposición que hagamos de cualquier y este rasgo debe caracterizar la forma evaluar mejor el desempeño de
contenido matemático. de construir nuestro pensamiento mate- nuestros alumnos –a su nivel– ante
mático. ¿Qué significa esto? los mismos temas.
8. Estudiar la matemática…
como docentes • La presencia constante de la meta de En definitiva, entender que la
nuestro estudio: alcanzar unos ni- matemática es la base de su didáctica:
veles de conocimiento tecnológico y la forma en que se construye el conoci-
reflexivo, lo cual debe abrir ese estu- miento matemático es una fuente im-
dio hacia la búsqueda de aplicacio- prescindible a la hora de planificar y
nes de lo aprendido, hacia el análisis desarrollar su enseñanza.
de los sistemas que dan forma a nues-
tra vida y utilizan ese conocimiento
matemático, y hacia criterios sociales
y éticos para juzgarlos.
• Construir el conocer de cada tópico
matemático pensando en cómo lo
21
22. NUESTRO PROYECTO La presentación y el tratamiento de - Fe y Alegría (2002). La Escuela
Hasta aquí hemos presentado las lí- estos temas intentarán ajustarse a los Necesaria. Proyecto para la acción en Fe
neas maestras de lo que entendemos co- criterios formulados en este Cuaderno y Alegría. Maracaibo: Centro de Forma-
mo conocimiento matemático, paso pre- nº 1: se insistirá en la diversidad mate- ción Padre Joaquín.
vio indispensable para lo que sigue. Lo mática (conceptos, procedimientos, - Federación Internacional de Fe y
que nos planteamos como objetivo en resolución de problemas), en el esta- Alegría (2002). Proyecto Latinoame-
nuestro proyecto es el desarrollo de blecimiento de relaciones entre con- ricano de Formación de Educadores
nuestro pensamiento matemático como ceptos y procedimientos y en la incor- Populares. La propuesta formativa de Fe
docentes. Para contribuir a su logro, pro- poración de elementos matemáticos y Alegría. Documento definitivo. Cara-
ponemos un proceso de autoformación presentes en nuestra cultura. cas: Federación Internacional de Fe y
–individual y en el colectivo de cada es- Alegría.
cuela–, soportado por los Cuadernos que En cuanto al modo de uso de estos - Freire, P. (1969). La educación como
constituirán la serie siguiente, referida a Cuadernos, sugerimos su estudio y asi- práctica de la libertad. Madrid: Siglo XXI.
tópicos que se tratan en los primeros milación individual y colectiva “como do- - Freire, P. (1970). Pedagogía del
grados de nuestros sistemas educativos: centes”. De todas formas, como los textos oprimido. Madrid: Siglo XXI.
no son cerrados, esperamos nuevos apor- - Griffiths, P. (2000). Las Matemá-
• El sistema numérico decimal tes, propuestas de tratamientos adiciona- ticas ante el cambio de milenio. En La
• Adición les o alternativos, otros ejemplos, ejerci- Gaceta de la Real Sociedad Matemática
• Sustracción cios y problemas, etc. La idea es ir eva- Española, Vol. 3, nº 1, 23-41.
• Multiplicación luando los Cuadernos para enriquecerlos - Skovsmose, O. (1994a). Towards a
• Potenciación permanentemente. Estamos empezando critical mathematics education. En
• División una tarea, una tarea que es de todos. Educational Studies in Mathematics, 27,
• Divisibilidad 35-57.
• Fracciones I: Concepto Referencias - Skovsmose, O. (1994b). Towards a
y representación bibliográficas philosophy of critical mathematics
• Fracciones II: Orden y operaciones education. Dordrecht: Kluwer Acade-
• Razones y proporciones mic. [Trad. por Paola Valero, Hacia una
• Geometría: conceptos filosofía de la educación matemática
y construcciones elementales - Castells, M. (1994). Flujos, redes e crítica. Bogotá: una empresa docente,
• Polígonos identidades: Una teoría crítica de la 1999].
• Circunferencia y círculo sociedad informacional. En: M. Castells - Skovsmose, O., Valero, P. (2002).
• Cuerpos geométricos et al., Nuevas perspectivas críticas en Democratic access to powerful mathe-
• Estadística y probabilidad I educación, pp. 13-53. Barcelona: Paidós. matical ideas. En: L. D. English (Ed.),
• Estadística y probabilidad II - Davis, P., Hersh, R. (1988). Descar- Handbook of international research in
• Introducción al Álgebra. Ecuaciones tes’ dream: The world according to mathematics education, pp. 383-407.
• Funciones matemáticas mathematics. London: Penguin Books. Mahwah: LEA.
22
23. Índice
1. Introducción 5
2. La relación matemática-sociedad 6
3. La educación matemática 7
4. Nuestra educación matemática 9
5. Un poco de ejercitación previa 11
6. ¡A estudiar matemática...! 12
7. Pero, ¿cómo es la matemática,
el pensamiento matemático, que hay que construir?
7.1. La concepción de la matemática 13
7.2. Matemática, unidad en la diversidad 14
Diversidad en los sistemas
de representación de un concepto 14
Diversidad en los procedimientos operacionales 15
Diversidad en las formas de resolución de un problema 16
En conclusión: diversidad 19
7.3. Matemática, ciencia de relaciones 19
7.4. Una matemática inserta en la cultura de cada sociedad 20
8. Estudiar la matemática... como docentes 21
NUESTRO PROYECTO 22
23
24. Este libro se terminó de imprimir
en el mes de abril de 2005.
24
