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Ing. Álvaro Chávez Galavíz domingo, 29 de enero de 2023
Algebra Lineal
Unidad I
Números Complejos

1.1 Definición y origen de los números
complejos
• Un número Complejo es una expresión
del tipo
• donde a y b son números reales, i es
un símbolo que denota la parte
imaginaría
bi
a
z 


complejos
• Este tipo de números, por el
momento, aparecen entre las
soluciones de ecuaciones algebraicas
con una incógnita. Por ejemplo la
ecuación
0
1
2


 x
x

complejos
• Comenzaremos por introducir un
nuevo número o símbolo, denotado por
i, el cual sería llamado la unidad
imaginaria y que cumple con la
condición
• O bien
1
2


i
1


i

complejos
• Ejemplos
i
z 3
2 

8

z
i
z 12

Número
imaginario puro

1.2 Operaciones fundamentales con
números complejos
• Suma
• Ejemplo
i
b
a
z
i
b
a
z 2
2
2
1
1
1 y
Sean 



   
sería
suma
La
2
1
2
1
2
1 i
b
b
a
a
z
z 




i
z 4
3
1 
 i
z 9
3
2 



números complejos
• Resta
• Ejemplo
i
b
a
z
i
b
a
z 2
2
2
1
1
1 y
Sean 



   
sería
resta
La
2
1
2
1
2
1 i
b
b
a
a
z
z 




i
z 4
3
1 
 i
z 9
3
2 



números complejos
• Estas operaciones de suma y resta
satisfacen las siguientes propiedades
generales
– Sean: Z, W y U números complejos
1. Propiedad del cierre para la suma
Z + W como Z - W son complejos
2. Propiedad asociativa
Z + ( W + U ) = (Z + W ) + U

números complejos
3. Propiedad conmutativa
Z + U = U + Z
4. Propiedad del elemento neutro
Z + 0 = Z
5. Propiedad del opuesto
Z + ( - Z ) = ( - Z ) + Z = 0

números complejos
• Ejemplos
i
z
i
z 4
8
con
2
3
Sumar 2
1 




i
z
i
z 3
2
restarle
7
4
A 2
1 



       
 
 
i
i
i
-
i 2
7
3
6
8
10
12
5
Z
en
Z
de
valor
el
Calcular








números complejos
• Producto
di
c
W
bi
a
Z 


 y
Sean
   
es
producto
El
i
bc
ad
bd
ac
ZW 




números complejos
• Ejemplo
i
W
i
Z 5
3
y
2
6
Sean 



ZW
Encontrar
i
W
Z 2
3
y
8
Sean 


ZW
Encontrar

números complejos
• Propiedades del producto
1. Propiedad del cierre para la suma
Z W es un número complejo
2. Propiedad asociativa
Z ( W U ) = (Z W ) U
3. Propiedad conmutativa
Z U = U Z

números complejos
4. Propiedad del elemento neutro
Z 1 = Z
5. Propiedad del inverso
Z Z-1 = 1
6. Propiedad distributiva
Z ( W + U ) = Z W + Z U

números complejos
• Conjugado de Z
• Si es un número complejo,
entonces el CONJUGADO de Z,
denotado por , es un número
complejo definido por
• Ejemplos
bi
a
Z 

Z
bi
a
Z 

i
Z 9
2
 i
Z 9
7


números complejos
• División
• Sean: Z y W dos números complejos, y
W0 podemos hacer la división de Z ente
W de la forma siguiente
•
2
W
W
Z
W
W
W
Z
W
Z



números complejos
• Ejemplo
i
W
i
Z 5
3
y
2
6
Sean 



W
Z
Encontrar
i
W
i
Z 3
2
y
4
3
Sean 



W
Z
Encontrar

números complejos
• Ejercicios

Tarea
• Algebra y trigonometría con geometría
analítica
– Walter Fleming/Dale Varberg
– Editorial Prentice Hall
• Pag. 45
• Sección de problemas 1-6
– Del 1 al 22 (impares)

1.3 Potencias de “i”, módulo o valor
absoluto de un número complejo
• Representación geométrica
– Plano complejo
Eje real
Eje imaginario

• El modulo de Z
• Si es un número complejo,
el MODULO de Z, es el número real
• Ejemplos
bi
a
Z 

2
2
b
a
Z 

i
Z 4
3
 i
Z 9
3



• Algunas propiedades del modulo son:
1
1
.
5
.
4
.
3
0
si
solo
y
si
0
.
2
0
.
1










Z
Z
W
Z
ZW
W
Z
W
Z
Z
Z
Z

• El módulo de un número complejo Z es
igual a la distancia desde el punto Z
hasta el origen

1.4 Forma polar y Exponencial de un
número complejo
Nota: Utilizar la calculadora en el modo Rad para calcular el ángulo
Forma exponencial
𝒛 = 𝒓𝒆𝒊𝜽
𝒁 = 𝒓 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐
Forma polar
𝒁 = 𝒓 𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝜽
𝜽 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒃
𝒂
1er cuadrante
𝜽 = 𝝅 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒃
𝒂
2do cuadrante
𝜽 = 𝝅 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒃
𝒂
3er cuadrante
𝜽 = 𝟐𝝅 + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒃
𝒂
4to cuadrante

número complejo
• Ejemplos
– Hallar la forma cartesiana y polar de:
a) En el primer cuadrante
b) En el segundo cuadrante
c) En el tercer cuadrante
d) En el cuarto cuadrante
.
i
Z 2
2

i
Z 4
3


i
Z 4
3


i
Z 2
1


número complejo
• Multiplicación y división en la forma
polar
   
 



 


 isen
W
Z
ZW cos
   
cos
y
cos
Sean 


 isen
W
W
isen
Z
Z 



   
 



 


 isen
W
Z
W
Z
cos

número complejo
• Ejemplo
• Calcular la multiplicación y división en
forma polar
i
W
i
Z 5
3
y
2
6
Sean 




1.5 Teorema de Moivre, potencias y
extracción de raíces de un número complejo.
• Teorema de Moivre y raíces
• Entonces
• Ejemplo
– Sea calcule la potencia de
orden cinco de este número, es decir Z5
–
  positivo
entero
un
es
y
cos
Sea n
isen
Z
Z 
 

 

 n
isen
n
Z
Z
n
n
cos
Sea 

i
Z 2
6 


extracción de raíces de un número complejo.
• Teorema de Moivre y raíces
• Entonces
• Ejemplo
– Hallar todas las ráices cúbicas de
.
 

 isen
Z
Z 
 cos
Sea
buscada
raiz
...
3
,
2
,
1
,
0
donde
2
2
cos
2
2
cos
Sea
1
1
1
1












 






 












 






 


k
n
k
isen
n
k
Z
W
n
k
isen
n
k
Z
Z
n
n
n
k








i
Z 5
3


extracción de raíces de un número
complejo.
• Tarea

Tarea
• Álgebra lineal sexta edición
– Stanley I. Grossman
– Mc Graw Hill
• Pag. 638
– Problemas A2
» Del 1 al 45 (impares)

1.6 Ecuaciones polinómicas
• Algunas ecuaciones que no se pueden
resolver en el conjunto de los
números reales, tiene solución ene l
conjunto complejo.
• En general, se verifica que toda
ecuación polinómica con coeficientes
reales en el conjunto de los números
complejos, pudiendo ser éstas número
reales o imaginarios.

1.6 Ecuaciones polinómicas
• Ejemplo
0
16
6
0
5
4
0
9
2
3
2
2









x
x
x
x
x
x

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